THEORY OF STRUCTURES

By

Assoc. Prof. Dr. Sittichai SeangatithSCHOOL OF CIVIL ENGINEERING

INSTITUTE OF ENGINEERINGSURANAREE UNIVERSITY OF TECHNOLOGY

6.4 Influence Lines for Floor Girders

พนเปนพนทางเดยว (one-way slab)พนวางอยบน floor girders แบบ simple supportgirder วางอยบนเสาแบบ simple support

การหา influence line ของแรงเฉอนและของโมเมนตดดทจด P1. วางแรง 1 หนวยไวบนพน (slab)2. หาแรง FB และ FC ทเกดขนบนคานทรองรบพน

3. หาคาแรงปฏกรยาทจดรองรบของ girder ใหมคาเปน F1 และ F2

4. ใช method of sections หาคาของแรงเฉอนและของโมเมนตดดทจด P

Note: MP ขนอยกบตาแหนงของจด PMP = F1(d) - FB(d-s)

VP ไมขนอยกบตาแหนงจด PVP =(F1 - FB)

จงเขยนแผนภาพอนฟลเอนซไลนของแรงเฉอน VCD และโมเมนตดด MF ของคาน

EXAMPLE

1. วางแรง 1 หนวยทตาแหนงของคานทรองรบพน A

0CDV = 0FM =

1.0

2. วางแรง 1 หนวยทตาแหนงของคานทรองรบพน B1.0

0; 1/ 7H yM G= =∑

= 1/71/ 7CD yV G= − = −

6 6 / 7F yM G= =

3. วางแรง 1 หนวยทตาแหนงของคานทรองรบพน C1.0

0; 3/ 7H yM G= =∑

= 3/7

3/ 7CD yV G= − = −

6 18/ 7F yM G= =

4. วางแรง 1 หนวยทตาแหนงของคานทรองรบพน D

5. วางแรง 1 หนวยทตาแหนงของคานทรองรบพน E2 / 7CDV = 2.286FM =

1.0

0CDV = 0FM =

1.0

6 นาขอมลตางๆ ทไดมาเขยนแผนภาพอนฟลเอนซไลน

MFVCD

00E2.2862/7D18/7-3/7C6/7-1/7B00A

EXAMPLE

6.5 Influence Lines for Trusses

โดยการวางแรง 1 หนวยทจดตอของโครงขอหมนทละจด แลววเคราะหหาแรงทเกดขนในชนสวนทตองการหา เราจะเขยนแผนภาพอนฟลเอนซไลนของแรงปฏกรยา แรงทเกดขนในชนสวน และแรงเฉอนในชวงของโครงขอหมนได

จงเขยนแผนภาพอนฟลเอนซไลนของแรงปฏกรยา RA และ RG แรงทเกดขนในชนสวน AH และ BH แรงเฉอน VBI และแรงทเกดขนในชนสวน CI และ CD ของโครงขอหมน

EXAMPLE

โดยการวางแรง 1 หนวยทจดตอของโครงขอหมนทละจด แลววเคราะหหาแรงแรงปฏกรยาทเกดขน เราจะเขยนแผนภาพอนฟลเอนซไลนของแรงปฏกรยาโครงขอหมนไดเชนเดยวกนกบแผนภาพอนฟลเอนซไลนของแรงปฏกรยาของคานชวงเดยว

แผนภาพอนฟลเอนซไลนของแรงปฏกรยา RA และ RG ของโครงขอหมน

1

1

5/6

1/6

4/6

2/6

3/6

3/6

2/6

4/6

1/6

5/6

แผนภาพอนฟลเอนซไลนของแรงในชนสวน AH1. เมอแรง 1 หนวยอยทจด A แลว

2. เมอแรง 1 หนวยอยในชวง B-G แลว

FAH = 01 1

( 2)AH AF R= −

1

2(5 / 6)−

แผนภาพอนฟลเอนซไลนของแรงในชนสวน BH

1. เมอแรง 1 หนวยอยทจด A และจด C ถงจด G แลว

2. เมอแรง 1 หนวยอยทจด B แลว

FBH = 0

1 1

FBH = 1.0

1.0

แผนภาพอนฟลเอนซไลนของแรงเฉอนในชวง DI

1. เมอแรง 1 หนวยอยชวง A-C แลว จาก FBD ของชวง D-G

2. เมอแรง 1 หนวยอยชวง D-G แลว จาก FBD ของชวง A-C

1

DI GV R= −

RG

VDI

-1/3

RA

VDI

DI AV R=3/6 = 1/2

1

แผนภาพอนฟลเอนซไลนของแรงในชนสวน DI

1. เมอแรง 1 หนวยอยชวง A-C แลว จาก FBD ของชวง D-G

2. เมอแรง 1 หนวยอยชวง D-G แลว จาก FBD ของชวง A-C

1

2DI GF R= −

RG

FDI

RA

FDI

2DI AF R=

2 DI DIF V=

2 / 3−

2 / 2

1

แผนภาพอนฟลเอนซไลนของแรงในชนสวน CI

1. เมอแรง 1 หนวยอยชวง A-C แลว จาก FBD ของชวง D-G

2. เมอแรง 1 หนวยอยชวง D-G แลว จาก FBD ของชวง A-C

1

DI GV R=

RG

FCI

1/3RA

FCI

DI AV R= −

-3/6 = 1/2

1

CI DIF V= − แผนภาพอนฟลเอนซไลนของแรงในชนสวน CD

1. เมอแรง 1 หนวยอยชวง A-C แลว จาก FBD ของชวง D-G

2. เมอแรง 1 หนวยอยชวง D-G แลว จาก FBD ของชวง A-C

1

(4 6) / 6 4CD G GF R R= × =

RG

FCD

RA

FCD

4 / 3

1

1

(2x6) / 6 2CD A AF R R= =

6.7 Max. Influence at a Point Due to a Series of Concentrated Loads1. วธการลองผดลองถก (trial-and-error)2. วธการพจารณาการเปลยนแปลงของ functions ของ influence lineคาแรงเฉอนสงสด

(VC)1 = 5(0.75) + 50(0.667) +30(0.5)

= 52.1 kN

(VC)2 = 5(-0.167) + 50(0.75)+ 30(0.583)

= 54.155 kN

(0.75/9)8 = 0.667(0.75/9)6 = 0.50

(-0.25/3)2 = -0.167(0.75/9)7 = 0.583

(VC)3 = 5(0) + 50(-0.083) + 30(0.75)= 26.65 kN

ดงนน กรณท 2 ใหคาแรงเฉอนสงสด

(-0.25/3)1 = -0.083

(VC)max = 54.16 kN

(VC)2 = 54.155 kN(VC)1 = 52.1 kN

คาโมเมนตสงสด

(MC)1 = 5(2.25) + 50(2.00) + 30(1.50)= 156.25 kN-m

(2.25/9)8 = 2.00(2.25/9)6 = 1.50

(MC)2 = 5(1.5) + 50(2.25) + 30(1.75)= 172.5 kN-m

(MC)3 = 5(0) + 50(0.75) + 30(2.25)= 105.0 kN-m

ดงนน กรณท 2 ใหคาโมเมนตสงสด

(2.25/3)2 = 1.50 (2.25/9)7 = 1.75

(2.25/3)1 = 0.75

(MC)1 = 156.25 kN-m 6.8 Absolute Maximum Shear and MomentAbsolute maximum shear

1.0

1.0

1.0

Cantilevered beam Simply-supported beam

Absolute maximum moment

1.0

Cantilevered beamSimply-supported beam

1. สมมตให absolute maximum moment เกดขนทจดทแรง F2 กระทา ซงมระยะ x จากจดกงกลางของคาน

Simply-supported beamF1 F2 F3

d1 d2

L/2 L/2

xFR

x'

(x'-x)

2. หาคาแรงลพธ FR ของแรง F1 F2 และ F3

1 2 3RF F F F= + +

F1 F2 F3

d1 d2

L/2 L/2

xFR

x'

(x'-x)

0;BM =∑ ( )2y RLA L F x x⎡ ⎤′= − −⎢ ⎥⎣ ⎦

( )2

Ry

F LA x xL⎡ ⎤′= − −⎢ ⎥⎣ ⎦

4. ใช method of sections ตดคานระหวางจดรองรบ A และแรง F2

3. ใชสมดลของโมเมนตรอบจด B เพอหาแรงปฏกรยา Ay ของคาน

Ay

F1 F2 F3

d1 d2

L/2 L/2

xFR

x'

(x'-x)

2 1 12yLM A x F d⎡ ⎤= − −⎢ ⎥⎣ ⎦

1 1( )2 2

RF L Lx x x F dL⎡ ⎤ ⎡ ⎤′= − − − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

2

1 14 2R R R RF L F x F x F xx F d

L L′ ′

= − − + −

5. ระยะ x ทเกดคาโมเมนต M2 สงสดจะหาไดจาก 2 0dMdx

=

F1 F2 F3

d1 d2

L/2 L/2

x'/2FR

x'

x'/2

2 2 0R RdM F x F xdx L L

′= − + =

2

2 1 14 2R R R RF L F x F x F xxM F d

L L′ ′

= − − + −

2xx′

=

คาสงสดสมบรณของโมเมนตในคาน simply supported beam มกจะเกดขนทใตแรงทมคาสงสดในกลมนาหนกบรรทกจร โดยใหจดกงกลางระหวางแรงสงสดและแรงลพธของกลมนาหนกบรรทกจรวางอยทจดกงกลางของคาน

กาหนดให L = 18 m และ d1 = 2 m และ d2 = 6 m จงหาคาสงสดสมบรณของโมเมนตทเกดขนบนคาน

EXAMPLE

9 m 9 m2 m 6 m

1. หาคาแรงลพธ FR

FR

25 100 100 225 kNRF = + + =

2. หาระยะทวดจาก FR ไปยงแรงทมคาสงสดในกลมนาหนกบรรทกจร F2

x

225 100(0) 100(6) 25(2)x = + −

2.444 mx =

225 kN

3. วางกลมนาหนกบรรทกจรโดยใหจดกงกลางคานอยทตาแหนง / 2x

9 m 9 m2 m 6 m

225 kN1.222 m1.222 m

4. หาโมเมนต M2 ทเกดขนทหนาตดของคานใตแรง F2

9-1.222 = 7.778 m

0;BM =∑ (18) 225(7.778) 0yA − =

97.225 kNyA =

Ay

7.778 m

2 m25 kN 100 kN

97.225 kN

2 0;M =∑2 25(2) 97.225(7.778) 0M + − =

2 706.22 kN-mM =

5. ตรวจสอบคาโมเมนตทเกดขนทหนาตดของคานใตแรง F3

9 m 9 m2 m 6 m

225 kN1.778 m1.778 m

9-1.778 = 7.222 m

By

0;AM =∑(18) 225(7.222) 0yB − =

90.275 kNyB =

ระยะของ FR และ F3 = 6-2.444 = 3.556 m

90.275 kN7.222 m

M33 0;M =∑3 90.275(7.222) 651.97 kN-mM = =

ดงนน โมเมนตสงสดเกดขนทหนาตดของคานใตแรง F2 ซงเปนแรงทมคาสงสดในกลมนาหนกบรรทกจร และมคา 706.22 kN-m

EXAMPLEกาหนดให L = 18 m และ d1 = 2 m และ d2 = 6 m จงหาคาสงสดสมบรณของแรงเฉอนทเกดขนบนคาน

9 m 9 m

1.0

(VC)1 = 25(1) + 100(8/9) + 100(5/9)= 169.44 kN

2 m 6 m16/18 = 8/9 10/18 = 5/9

2 m 6 m

9 m 9 m2 m 6 m

1.0

(VC)2 = 100(1) + 100(2/3)= 166.67 kN

9 m 9 m2 m 6 m

2 m 6 m12/18 = 6/9 = 2/3

ดงนน คาสงสดสมบรณของแรงเฉอนเกดขนในกรณท 1 และมคา 169.44 kN

จงหาคาสงสดสมบรณของแรงเฉอนและคาสงสดสมบรณของโมเมนตทเกดขนบนคาน

EXAMPLE

1. หาคาแรงลพธ FR

FR = 4.6+8.2+8.2 = 21.0 T

คาสงสดสมบรณของโมเมนตทเกดขนบนคาน

2. หาระยะทวดจาก FR ไปยงแรง 4.6 T

3.750 m

3. วางกลมนาหนกบรรทกจรโดยใหจดกงกลางคานอยทตาแหนงกงกลางระหวางแรงลพธ (21 T) และแรงทมคาสงสด (8.2 T)

4. หาโมเมนตทเกดขนทหนาตดของคานใตแรง 8.2 T

Ay

M2 = 10.74(10.225)-4.6(4.2) = 90.46 T-m

5. ตรวจสอบคาโมเมนตทเกดขนทหนาตดของคานใตแรง 8.2 Tเมอทาการหาคาแรงปฏกรยาทจด B แลว คาโมเมนตทเกดขนทหนาตดของคานใตแรง 8.2 T จะหาไดโดยใช FBD ของสวน 2-B

By(20)By = 21(11.875)

By = 12.469 T

12.469

8.2M3

M3 = 12.469(11.875-4.2)-8.2(1.2) = 85.86 T-m

ดงนน โมเมนตสงสดเกดขนทหนาตดของคานใตแรง 8.2 T ซงเปนแรงทมคาสงสดในกลมนาหนกบรรทกจร และมคา 90.46 T-m

คาสงสดสมบรณของแรงเฉอนทเกดขนบนคาน

ดงนน คาสงสดสมบรณของแรงเฉอนเกดขนในกรณท 1 และมคา 19.27 T

End of Chapter 6