THEORY OF STRUCTURES
By
Assoc. Prof. Dr. Sittichai SeangatithSCHOOL OF CIVIL ENGINEERING
INSTITUTE OF ENGINEERINGSURANAREE UNIVERSITY OF TECHNOLOGY
6.4 Influence Lines for Floor Girders
พนเปนพนทางเดยว (one-way slab)พนวางอยบน floor girders แบบ simple supportgirder วางอยบนเสาแบบ simple support
การหา influence line ของแรงเฉอนและของโมเมนตดดทจด P1. วางแรง 1 หนวยไวบนพน (slab)2. หาแรง FB และ FC ทเกดขนบนคานทรองรบพน
3. หาคาแรงปฏกรยาทจดรองรบของ girder ใหมคาเปน F1 และ F2
4. ใช method of sections หาคาของแรงเฉอนและของโมเมนตดดทจด P
Note: MP ขนอยกบตาแหนงของจด PMP = F1(d) - FB(d-s)
VP ไมขนอยกบตาแหนงจด PVP =(F1 - FB)
จงเขยนแผนภาพอนฟลเอนซไลนของแรงเฉอน VCD และโมเมนตดด MF ของคาน
EXAMPLE
1. วางแรง 1 หนวยทตาแหนงของคานทรองรบพน A
0CDV = 0FM =
1.0
2. วางแรง 1 หนวยทตาแหนงของคานทรองรบพน B1.0
0; 1/ 7H yM G= =∑
= 1/71/ 7CD yV G= − = −
6 6 / 7F yM G= =
3. วางแรง 1 หนวยทตาแหนงของคานทรองรบพน C1.0
0; 3/ 7H yM G= =∑
= 3/7
3/ 7CD yV G= − = −
6 18/ 7F yM G= =
4. วางแรง 1 หนวยทตาแหนงของคานทรองรบพน D
5. วางแรง 1 หนวยทตาแหนงของคานทรองรบพน E2 / 7CDV = 2.286FM =
1.0
0CDV = 0FM =
1.0
6 นาขอมลตางๆ ทไดมาเขยนแผนภาพอนฟลเอนซไลน
MFVCD
00E2.2862/7D18/7-3/7C6/7-1/7B00A
EXAMPLE
6.5 Influence Lines for Trusses
โดยการวางแรง 1 หนวยทจดตอของโครงขอหมนทละจด แลววเคราะหหาแรงทเกดขนในชนสวนทตองการหา เราจะเขยนแผนภาพอนฟลเอนซไลนของแรงปฏกรยา แรงทเกดขนในชนสวน และแรงเฉอนในชวงของโครงขอหมนได
จงเขยนแผนภาพอนฟลเอนซไลนของแรงปฏกรยา RA และ RG แรงทเกดขนในชนสวน AH และ BH แรงเฉอน VBI และแรงทเกดขนในชนสวน CI และ CD ของโครงขอหมน
EXAMPLE
โดยการวางแรง 1 หนวยทจดตอของโครงขอหมนทละจด แลววเคราะหหาแรงแรงปฏกรยาทเกดขน เราจะเขยนแผนภาพอนฟลเอนซไลนของแรงปฏกรยาโครงขอหมนไดเชนเดยวกนกบแผนภาพอนฟลเอนซไลนของแรงปฏกรยาของคานชวงเดยว
แผนภาพอนฟลเอนซไลนของแรงปฏกรยา RA และ RG ของโครงขอหมน
1
1
5/6
1/6
4/6
2/6
3/6
3/6
2/6
4/6
1/6
5/6
แผนภาพอนฟลเอนซไลนของแรงในชนสวน AH1. เมอแรง 1 หนวยอยทจด A แลว
2. เมอแรง 1 หนวยอยในชวง B-G แลว
FAH = 01 1
( 2)AH AF R= −
1
2(5 / 6)−
แผนภาพอนฟลเอนซไลนของแรงในชนสวน BH
1. เมอแรง 1 หนวยอยทจด A และจด C ถงจด G แลว
2. เมอแรง 1 หนวยอยทจด B แลว
FBH = 0
1 1
FBH = 1.0
1.0
แผนภาพอนฟลเอนซไลนของแรงเฉอนในชวง DI
1. เมอแรง 1 หนวยอยชวง A-C แลว จาก FBD ของชวง D-G
2. เมอแรง 1 หนวยอยชวง D-G แลว จาก FBD ของชวง A-C
1
DI GV R= −
RG
VDI
-1/3
RA
VDI
DI AV R=3/6 = 1/2
1
แผนภาพอนฟลเอนซไลนของแรงในชนสวน DI
1. เมอแรง 1 หนวยอยชวง A-C แลว จาก FBD ของชวง D-G
2. เมอแรง 1 หนวยอยชวง D-G แลว จาก FBD ของชวง A-C
1
2DI GF R= −
RG
FDI
RA
FDI
2DI AF R=
2 DI DIF V=
2 / 3−
2 / 2
1
แผนภาพอนฟลเอนซไลนของแรงในชนสวน CI
1. เมอแรง 1 หนวยอยชวง A-C แลว จาก FBD ของชวง D-G
2. เมอแรง 1 หนวยอยชวง D-G แลว จาก FBD ของชวง A-C
1
DI GV R=
RG
FCI
1/3RA
FCI
DI AV R= −
-3/6 = 1/2
1
CI DIF V= − แผนภาพอนฟลเอนซไลนของแรงในชนสวน CD
1. เมอแรง 1 หนวยอยชวง A-C แลว จาก FBD ของชวง D-G
2. เมอแรง 1 หนวยอยชวง D-G แลว จาก FBD ของชวง A-C
1
(4 6) / 6 4CD G GF R R= × =
RG
FCD
RA
FCD
4 / 3
1
1
(2x6) / 6 2CD A AF R R= =
6.7 Max. Influence at a Point Due to a Series of Concentrated Loads1. วธการลองผดลองถก (trial-and-error)2. วธการพจารณาการเปลยนแปลงของ functions ของ influence lineคาแรงเฉอนสงสด
(VC)1 = 5(0.75) + 50(0.667) +30(0.5)
= 52.1 kN
(VC)2 = 5(-0.167) + 50(0.75)+ 30(0.583)
= 54.155 kN
(0.75/9)8 = 0.667(0.75/9)6 = 0.50
(-0.25/3)2 = -0.167(0.75/9)7 = 0.583
(VC)3 = 5(0) + 50(-0.083) + 30(0.75)= 26.65 kN
ดงนน กรณท 2 ใหคาแรงเฉอนสงสด
(-0.25/3)1 = -0.083
(VC)max = 54.16 kN
(VC)2 = 54.155 kN(VC)1 = 52.1 kN
คาโมเมนตสงสด
(MC)1 = 5(2.25) + 50(2.00) + 30(1.50)= 156.25 kN-m
(2.25/9)8 = 2.00(2.25/9)6 = 1.50
(MC)2 = 5(1.5) + 50(2.25) + 30(1.75)= 172.5 kN-m
(MC)3 = 5(0) + 50(0.75) + 30(2.25)= 105.0 kN-m
ดงนน กรณท 2 ใหคาโมเมนตสงสด
(2.25/3)2 = 1.50 (2.25/9)7 = 1.75
(2.25/3)1 = 0.75
(MC)1 = 156.25 kN-m 6.8 Absolute Maximum Shear and MomentAbsolute maximum shear
1.0
1.0
1.0
Cantilevered beam Simply-supported beam
Absolute maximum moment
1.0
Cantilevered beamSimply-supported beam
1. สมมตให absolute maximum moment เกดขนทจดทแรง F2 กระทา ซงมระยะ x จากจดกงกลางของคาน
Simply-supported beamF1 F2 F3
d1 d2
L/2 L/2
xFR
x'
(x'-x)
2. หาคาแรงลพธ FR ของแรง F1 F2 และ F3
1 2 3RF F F F= + +
F1 F2 F3
d1 d2
L/2 L/2
xFR
x'
(x'-x)
0;BM =∑ ( )2y RLA L F x x⎡ ⎤′= − −⎢ ⎥⎣ ⎦
( )2
Ry
F LA x xL⎡ ⎤′= − −⎢ ⎥⎣ ⎦
4. ใช method of sections ตดคานระหวางจดรองรบ A และแรง F2
3. ใชสมดลของโมเมนตรอบจด B เพอหาแรงปฏกรยา Ay ของคาน
Ay
F1 F2 F3
d1 d2
L/2 L/2
xFR
x'
(x'-x)
2 1 12yLM A x F d⎡ ⎤= − −⎢ ⎥⎣ ⎦
1 1( )2 2
RF L Lx x x F dL⎡ ⎤ ⎡ ⎤′= − − − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
2
1 14 2R R R RF L F x F x F xx F d
L L′ ′
= − − + −
5. ระยะ x ทเกดคาโมเมนต M2 สงสดจะหาไดจาก 2 0dMdx
=
F1 F2 F3
d1 d2
L/2 L/2
x'/2FR
x'
x'/2
2 2 0R RdM F x F xdx L L
′= − + =
2
2 1 14 2R R R RF L F x F x F xxM F d
L L′ ′
= − − + −
2xx′
=
คาสงสดสมบรณของโมเมนตในคาน simply supported beam มกจะเกดขนทใตแรงทมคาสงสดในกลมนาหนกบรรทกจร โดยใหจดกงกลางระหวางแรงสงสดและแรงลพธของกลมนาหนกบรรทกจรวางอยทจดกงกลางของคาน
กาหนดให L = 18 m และ d1 = 2 m และ d2 = 6 m จงหาคาสงสดสมบรณของโมเมนตทเกดขนบนคาน
EXAMPLE
9 m 9 m2 m 6 m
1. หาคาแรงลพธ FR
FR
25 100 100 225 kNRF = + + =
2. หาระยะทวดจาก FR ไปยงแรงทมคาสงสดในกลมนาหนกบรรทกจร F2
x
225 100(0) 100(6) 25(2)x = + −
2.444 mx =
225 kN
3. วางกลมนาหนกบรรทกจรโดยใหจดกงกลางคานอยทตาแหนง / 2x
9 m 9 m2 m 6 m
225 kN1.222 m1.222 m
4. หาโมเมนต M2 ทเกดขนทหนาตดของคานใตแรง F2
9-1.222 = 7.778 m
0;BM =∑ (18) 225(7.778) 0yA − =
97.225 kNyA =
Ay
7.778 m
2 m25 kN 100 kN
97.225 kN
2 0;M =∑2 25(2) 97.225(7.778) 0M + − =
2 706.22 kN-mM =
5. ตรวจสอบคาโมเมนตทเกดขนทหนาตดของคานใตแรง F3
9 m 9 m2 m 6 m
225 kN1.778 m1.778 m
9-1.778 = 7.222 m
By
0;AM =∑(18) 225(7.222) 0yB − =
90.275 kNyB =
ระยะของ FR และ F3 = 6-2.444 = 3.556 m
90.275 kN7.222 m
M33 0;M =∑3 90.275(7.222) 651.97 kN-mM = =
ดงนน โมเมนตสงสดเกดขนทหนาตดของคานใตแรง F2 ซงเปนแรงทมคาสงสดในกลมนาหนกบรรทกจร และมคา 706.22 kN-m
EXAMPLEกาหนดให L = 18 m และ d1 = 2 m และ d2 = 6 m จงหาคาสงสดสมบรณของแรงเฉอนทเกดขนบนคาน
9 m 9 m
1.0
(VC)1 = 25(1) + 100(8/9) + 100(5/9)= 169.44 kN
2 m 6 m16/18 = 8/9 10/18 = 5/9
2 m 6 m
9 m 9 m2 m 6 m
1.0
(VC)2 = 100(1) + 100(2/3)= 166.67 kN
9 m 9 m2 m 6 m
2 m 6 m12/18 = 6/9 = 2/3
ดงนน คาสงสดสมบรณของแรงเฉอนเกดขนในกรณท 1 และมคา 169.44 kN
จงหาคาสงสดสมบรณของแรงเฉอนและคาสงสดสมบรณของโมเมนตทเกดขนบนคาน
EXAMPLE
1. หาคาแรงลพธ FR
FR = 4.6+8.2+8.2 = 21.0 T
คาสงสดสมบรณของโมเมนตทเกดขนบนคาน
2. หาระยะทวดจาก FR ไปยงแรง 4.6 T
3.750 m
3. วางกลมนาหนกบรรทกจรโดยใหจดกงกลางคานอยทตาแหนงกงกลางระหวางแรงลพธ (21 T) และแรงทมคาสงสด (8.2 T)
4. หาโมเมนตทเกดขนทหนาตดของคานใตแรง 8.2 T
Ay
M2 = 10.74(10.225)-4.6(4.2) = 90.46 T-m
5. ตรวจสอบคาโมเมนตทเกดขนทหนาตดของคานใตแรง 8.2 Tเมอทาการหาคาแรงปฏกรยาทจด B แลว คาโมเมนตทเกดขนทหนาตดของคานใตแรง 8.2 T จะหาไดโดยใช FBD ของสวน 2-B
By(20)By = 21(11.875)
By = 12.469 T
12.469
8.2M3
M3 = 12.469(11.875-4.2)-8.2(1.2) = 85.86 T-m
ดงนน โมเมนตสงสดเกดขนทหนาตดของคานใตแรง 8.2 T ซงเปนแรงทมคาสงสดในกลมนาหนกบรรทกจร และมคา 90.46 T-m
คาสงสดสมบรณของแรงเฉอนทเกดขนบนคาน
ดงนน คาสงสดสมบรณของแรงเฉอนเกดขนในกรณท 1 และมคา 19.27 T
End of Chapter 6
