theory of elasticity - uut · هچخیرات اهتنا زکرمتم راب تحت هرط ریت...
TRANSCRIPT
1
تئوری الاستیسیتهشافعیعرفان دکتر
سازه، گروه مهندسی عمراندانشکده
2
سرفصل مطالب
o ریاضیمقدمه و مبانیoو تعادلتنشo هاکرنشتغییرشکل ها و oشروابط تنش و کرنo تحلیلو روش فرمول بندیoمسائل دوبعدیo قطبیمسائل مختصات
3
منابع و مراجع
تئوری الاستیسیته، مارتین هوارد ساد، ترجمه علی اصغر عطائی. 1
محمود . “و الاس ت ی س ی ت ه ک ارب ردیپ ی ش رف ت ه مصالح م ق اوم ت ”شاکری 2
وای فاه. “ار مصالحتئوری الاستیسیته و مدل سازی رفت”ترجمه محمود یحیاییچن، 3
محمدمهدی . “م ب ان ی ت ئ وری الاس ت ی س ی ت ه ”سعادت پور 4
محمد . “تئوری ارتجاعی”رحیمیان 5
نمره پروژه4+ میان ترم نمره 6+ نمره امتحان پایان ترم 10= نمره نهایی
4
مقدمه
5
مقدمه
:مکانیک جامدات.به بررسی تغییرشکل های ناشی از دسته نیروهای وارده بر جامد می پردازد
:جامدزمانی ر بازهدبه مایعنسبت نیروی برشی بیشتری به ماده ای اطلاق می شود که بتواند
.تحمل کندفرآیند طبیعی یک
:الاستیسیتهرشکل های شاخه ای از مکانیک جامدات بوده که به تعیین توزیع تنش ها، کرنش ها و تغیی
.تحت اثر نیروهای وارده می پردازد( ارتجاعی)یک جسم جامد الاستیک
6
مقدمه
الاستیک
F
D
کاملاً الاستیک
F
D
7
تاریخچه
.Galileo آزمایش خمش تیر طره تحت بار متمرکز انتها-1
.Newton اصل تعادل و قوانین سه گانه مکانیک-2
.Hooke ارتباط کشش با نرخ ازدیاد طول، پایه گذاری الاستیسیته خطی-3
.Bernoulli (قانون هوک)رابطه تنش و کرنش -4
.Navier (f، نیرو C، نرمی uتغییرشکل )لاستیک اتعادل و حرکت جامدات -5
.Poisson (ضریب پواسون)ارتباط تغییرشکل طولی و عرضی -6
.Cauchy یتهبیان تنش و کرنش در فضای سه بعدی، تعمیم قانون هوک، تنسور الاستیس-7
KF
0,,00 iFdt
dvmFdtdvF
0)2( ,
2 ikiki fuuC
ij
E
8
تاریخچه
.Saint 8-Venant-اصل سن ونان، خمش تیر، پیچش میله منشوری با مقطع غیردایره ای
.Kirchhoff تئوری خمش صفحات و پوسته ها-9
.Timoshenko تیر روی بستر الاستیک، تیر تیموشنکو، ارتعاشات الاستیک-10
.Von Karman تغییرشکل های بزرگ، پایداری و کمانش-11
.Rice (رشد ترک)مکانیک شکست -12
.Clough عددی مسائل الاستیسیتهو تحلیل گسسته سازی–13
.Zienkiewicz روش اجزای محدود-14
9
کاربرد
محاسبات سازه ها
شکل بال هواپیما ICتخمین پیوستگی مدار
10
فرضیات پایه
(Continuum)پیوسته
.محیط جسم یک پارچه و فاقد تخلخل باشد
(Homogenous)همگن
.خواص مکانیکی در تمامی نقاط یکسان باشد
(Isotropic)ایزوتروپ
.خواص مکانیکی در تمامی امتدادها یکسان باشد
(Perfectly Elastic)کاملاً الاستیک
.رابطه تنش و کرنش خطی باقی بماند
(Small Deformations)تغییرشکل های کوچک
.اثر تغییرشکل جسم روی توزیع نیروها قابل اغماض باشد
F
K
11
مبانی ریاضی و تحلیلیفصل اول
12
مبانی ریاضی
اسکالر و بردار. 1
نماد اندیسی و قانون جمع. 2
تبدیل مختصات. 3
تنسورها. 4
نماد . دلتای کرونکر5
ضرب . اسکالر، ضرب برداری و ضرب سه گانه6
میدان های . اسکالر و برداری7
13
(vector)و بردار (scalar)اسکالر
:اسکالر.کمیتی که اندازه داشته ولی جهت ندارد
:از جمله اسکالرهادانسیته جرمی. 1
مدول الاستیسیته . (ارتجاعی)2
ضریب پواسون. 3
مدول برشی. 4
:بردار.کمیتی که اندازه و جهت دارد
:از جمله بردارهابردار تغییرمکان. 1
بردار نیرو. 2321
321
eeeF
eeeu
321
321
FFF
uuu
G
E
zzyzxz
zyyyxy
zxyxxx
σ
؟=ماتریس تنش
14
(indicial notation)نماد اندیسی
e2
P
y
e1e3
xO
a
z
دستگاه مختصات کارتزین
e1, e2, e3بردارهای یکه
3 ,2 ,1هرکدام دارای مقادیر i, j, kاندیس های
3
2
1
33221
a
a
a
a
aaa
ia
eeea 1
15
(summation convention)قانون جمع
:قاعدهداد اگر اندیسی در یک عبارت دو بار ظاهر شود آنگاه عمل جمع روی آن اندیس به تع
.انجام می شود( سه در مختصات سه بعدی)شمارنده اندیس
332211
3
1
aaaaai
iiii
332211
3
1
bababababa iii
j
jijjij
333323321331
322322221221
3113211211113
1
3
1xxaxxaxxa
xxaxxaxxa
xxaxxaxxa
xxaxxai j
jiijjiij
3
2
1
333231
232221
131211
b
b
b
b
aaa
aaa
aaa
a
i
ij
16
(coordinate transformation)تبدیل مختصات
),cos( ji eeijQ
Qij کسینوس زاویه بین بردارهای یکهej وe'i
e2
y
e1e3
x
z
3332321313
3232221212
3132121111
eeee
eeee
eeee
QQQ
QQQ
QQQ
ijijjiji
jiji
Q
eeee
ee
17
(coordinate transformation)تبدیل مختصات
e2
y
e1e3
x
z
v
332211 eeev vvv vبردار فرضی
332211 eeev vvv
jijijiji vQvvQv ,
100
010
001
0
1
ki
kiQQ ikjkij
ماتریس دوران
(ماتریس واحد)δijنماد دلتای کرونکر
kjkijjiji vQQvQv
v' بیان جدید بردارv
TQQ 1
18
(coordinate transformation)تبدیل مختصات
(:1)مثال ت مطلوب اس. در دستگاه کارتزین ذیل مفروض استaبردار
ندازه مؤلفه های این بردار در دستگاه مختصات جدیدی که به ا.دوران یافته استzدرجه حول محور 60زاویه
تشکیل ماتریس دوران: حل
y
x
z
z'
x'
y'
3
100
02123
02321
)0cos()2
cos()2
cos(
)2
cos()3
cos()6
5cos(
)2
cos()6
cos()3
cos(
Q
a
2
4
1
a
19
(coordinate transformation)تبدیل مختصات
(:1)ادامه حل مثال 'aمحاسبه بردار تبدیل یافته
:نکته:ت ازماتریس باشد آنگاه تبدیل عبارت اسaاگر
2
232
3221
2
4
1
100
02123
02321
a
T
jqpqippqjqipij QaQaQQa
100
02123
02321
423
220
301
100
02123
02321
423
220
301
aa
20
(tensors)تنسورها
aa (اسکالر)تنسور مرتبه صفر (بردار)تنسور مرتبه اول
pipi aQa
pqjqipij aQQa (ماتریس)تنسور مرتبه دوم
تنسور با مرتبه کلیtpqrmtkrjqipmijk aQQQQa ...... ...
تنسور مرتبه سومpqrkrjqipijk aQQQa
تنسور مرتبه چهارمpqrslskrjqipijkl aQQQQa
21
(tensors)تنسورها
i
i
eeee
eeeev
i
i
vvvv
vvvv
332211
332211
تفاوت بین مؤلفه های تنسور و خود تنسور
jiij
jiij
A
A
AAA
AAA
AAAA
ee
ee
eeeeee
eeeeee
eeeeee
333323321331
322322221221
311321121111
مؤلفه ها
بردارهای یکه دستگاه مختصات
22
(tensors)تنسورها
.باشندبا هم برابرند زمانی که مؤلفه های نظیر یکدیگر با هم برابرbو aدو تنسور •
ijij ba
.جمع و تفریق دو تنسور هم مرتبه خود تنسوری با همان مرتبه است•
ijijij bac
.ضرب یک تنسور در یک اسکالر خود تنسوری با همان مرتبه است•
ijij ac
.تنسوری با مرتبه سه استbو تنسور مرتبه دو aمرتبه یک ضرب تنسور •
jkiijk bac
23
Kronecker)نماد دلتای کرونکر delta symbol)
100
010
001
0
1
ji
jiij
jiij
مؤلفه ها
تقارن
3332211 iiجمع
jiijijij aaaa , ضرب در تنسور مرتبه یک
ijikjkikjkij aaaa ,
3, ijijiiijij aa
ضرب در تنسور مرتبه دو
24
بردارهاضرب
iibabababa 332211ba
ab
babababa
ab ba
)cos(),cos(
a
b
ba
ab
321
321
321
bbb
aaa
eee
ba
(scalar product)ضرب اسکالر
(vector product)ضرب برداری
(triple product)ضرب سه گانه
321
321
321
ccc
bbb
aaa
cba
25
(vector field)و میدان برداری (scalar field)میدان اسکالر
),,( 321 xxx
بردار گرادیان میدان
3
3
2
2
1
1
eeeGxxxx
Gi
i
تابع میدان
3
3
2
2
1
1
eeexxx
(گرادیان)عملگر دل
i
i
x
v
x
v
x
v
x
vdiv
3
3
2
2
1
1)(vv (ضرب نقطه ای دل در بردار)دیورژانس
321
321
321
)(
vvv
xxxcurl
eee
vv (ضرب خارجی دل در بردار)کرل
26
تنش و تعادلفصل دوم
27
(equilibrium)تعادل و (stress)تنش
نیروهای حجمی و نیروی سطحی. 1
بردار تنش. 2
تنسور تنش. 3
حالت تنش در یک نقطه. 4
معادلات . تعادل5
تنش های صفحات اصلی. 6
تنش های . (هشت وجهی)اکتاهدرال صفحات 7
تنسور تنش متوسط و انحرافی. 8
28
(external loadings)بارهای خارجی
نیروهای حجمی . 1(body forces)
e1e3
e2
y
x
z
321
0lim
eeef
ff
zyx
V
fff
V
f
V3ef gg
29
(external loadings)بارهای خارجی
نیروهای سطحی . 2(surface tractions)
321
0lim
eeet
tt
zyx
S
ttt
S
t
S
e1e3
e2
y
x
z
30
(stress vector)بردار تنش
e1e3
e2
y
x
z
AAA AAA
τσpp
000limlimlim
p
A
p
A
(نرمال)تنش عمودی
(برشی)تنش مماسی
بردار تنش داخلی τσp
332211 eeeσ
332211 eeeτ
nσ
tτ
n
σ
t
τ
31
(stress tensor)تنسور تنش
تنسور تنش در یک نقطه
e1e3
e2
y
x
z
xxσ
yxτ
zxτ
e1e3
e2
y
x
z
e1e3
e2
y
x
z
yyσ
xyτ
zyτzzσ
yzτ
xzτ
xتنش در صفحه با نرمال yتنش در صفحه با نرمال zتنش در صفحه با نرمال
32
(stress tensor)تنسور تنش
zzyzxz
zyyyxy
zxyxxx
ij
σ
x
y
z
نماد تنسور تنش. 1
قرارداد مؤلفه های مثبت. 2
ارتباط بردار تنش و تنسور تنش؟. 3
s yy
s xx
s zz
zy
yx
zx
xy
xz
yz ipp
ijσ
33
x
y
z
s xx
zx
yx
xpyp
zp
p
(stress state at a point)حالت تنش در یک نقطه
المان هرمی شکل در فضای مختصات . کارتزین1
بردار تنش . 2p مایل روی سطح( بردار نرمالn)
تعادل نیرو در جهت محور . 3x
0 dhA3
1fAAAApF nxzzxyyxxxxnxx
dzA3
1dyA
3
1dxA
3
1dhA
3
1zyxn حجم هرم
dx
dy
dz
n
34
n
znz
n
y
ny
n
xnx
A
Aznl
A
Aynl
A
Axnl ),cos(,),cos(,),cos(
(stress state at a point)حالت تنش در یک نقطه
nبردار عمود هادیکسینوس های
dhflllp xnzzxnyyxnxxxx3
1
dhflllp
dhflllp
dhflllp
znzzznyyznxxzz
ynzzynyyynxxyy
xnzzxnyyxnxxxx
3
1
3
1
3
1
یک با داشتن مقادیر تنش در سه صفحه متعامد در
در نقطه می توان مقادیر تنش را در هر صفحه مایلی.آن نقطه محاسبه کرد
35
222
zyx pppp
(stress state at a point)حالت تنش در یک نقطه
(نرمال)اندازه تنش عمودی
pاندازه بردار تنش
nzznyynxx lplplp
22 p (برشی)اندازه تنش مماسی
aبردار تنش در سطحی با بردار نرمال مطلوب است . استمفروض σتنسور تنش : مثال
436.0
873.0
218.0
,
423
220
301
aσ
603.2
425.4
134.5
144.4
618.2
526.1
p
aσp
36
(stress transformation)تبدیل تنش
zxzzyxyzxxxz
x
z
zxzyyxyyxxxy
x
y
zxzxyxyxxxxx
x
x
lllp
lllp
lllp
x
y
z
dx
dy
dz
x
z
y
و 'xسطح مایل با نرمال 'zو 'yمحورهای مماسی
zz
x
zyz
x
yxz
x
xxz
zy
x
zyy
x
yxy
x
xxy
zx
x
zyx
x
yxx
x
xxx
lplplp
lplplp
lplplp
مؤلفه های بردار تنش روی سطح
تصویر مؤلفه ها روی محورهای جدید
37
'zو 'yبه همین منوال مؤلفه های تنش بر روی صفحات دارای نرمال های
.تصویر می شود'zو 'yو 'xنیز محاسبه شده و بر روی امتدادهای
(stress transformation)تبدیل تنش
ijljkikl ll دیگر رابطه اندیسی تبدیل تنسور تنش از مختصاتی به مختصات
QσQσQσQσفرم ماتریسی تبدیل تنسور تنش TT
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
zzyzxz
zyyyxy
zxyxxx
zzyzxz
zyyyxy
zxyxxx
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
lll
lll
lll
lll
lll
lll
38
(equilibrium equations)معادلات تعادل
dx
dy
dz
z
x
y
xf
xدر جهت محور نیروی المان تعادل
dxx
xxxx
s xx
yx
dyy
yx
yx
zx
dzz
zxzx
39
0)(
)()(
dxdydzfdxdydzz
dxdzdyy
dydzdxx
xzxzx
zx
yx
yx
yxxxxx
xx
(equilibrium equations)معادلات تعادل
0
0
0
zzzyzxz
y
zyyyxy
xzxyxxx
fzyx
fzyx
fzyx
شرط تعادل تنش های داخلی المان
40
(equilibrium equations)معادلات تعادل
zلنگر المان حول محور تعادل
dx
dy
dz
z
x
y
xf
yx
dyy
yx
yx
dxx
xy
xy
xy
22
2)(
2
2)(
2
dx
x
dy
y
dxdydzdx
x
dxdydz
dydxdzdy
y
dydxdz
xy
xy
yx
yx
xy
xyxy
yx
yxyx
با فرض میل ابعاد المان به سمت صفر
xzzxzyyzxyyx ,,
41
(principal stresses)تنش های صفحات اصلی
x
y
z
المان هرمی شکل در فضای مختصات کارتزین. 1
بردار تنش هم راستای بردار نرمال . 2n با اندازهσn
تنش برشی سطح صفر است. 3.
nzzznyyznxxzz
nzzynyyynxxyy
nzzxnyyxnxxxx
nznz
nyny
nxnx
lllp
lllp
lllp
lp
lp
lp
,
dx
dy
dz
n
xpyp
zp
n
42
(principal stresses)تنش های صفحات اصلی
0
0)(
0)(
0)(
nzzyzxz
zynyyxy
zxyxnxx
nznzznyyznxxz
nzzynynyynxxy
nzzxnyyxnxnxx
lll
lll
lll
.دترمینان ماتریس ضرایب بایستی صفر گردد
0)2(
)()(
222
22223
xzyzxyxyzzxzyyyzxxzzyyxx
nxzyzxyzzxxzzyyyyxxnzzyyxxn
zyxzyxzyx lllllllll 333322221111 ,,,,,,,,
و بردارهای ویژه امتدادهای اصلی( تنش های اصلی)مقادیر ویژه تنسور تنش
0)( ijnijjijnjij nn
43
.تنش های اصلی و امتدادهای اصلی آنمطلوب است . استمفروض σتنسور تنش : مثال
81.1539.085.3
39.081.1585.3
85.385.322.113
σ
12.152.1652.11306.2780218.380084.144
0
81.1539.085.3
39.081.1585.3
85.385.322.113
23
(principal stresses)تنش های صفحات اصلی
x
y
z
22.113
85.3
81.15
39.0
85.3
81.15
حل مسئله
44
تعیین امتدادهای تنش های اصلی
0
81.1539.085.3
39.081.1585.3
85.385.322.113
c
b
a
n
n
n
n
nnσ
(principal stresses)تنش های صفحات اصلی
0.04-0.04-0.99840c 97.71b 0.39 3.85
0c 0.3997.71b 3.85
0.1
52.1131
1
n
a
0.7071-0.70710.00c 0.39a 3.85 0.39
0c 3.85a 97.02- 3.85
0.1
2.162
1
n
b
0.7060.7060.0550b 0.69-a 3.85 0.39
0b 3.85a 98.1- 3.85
0.1
12.153
3
n
c
45
(principal stresses)تنش های صفحات اصلی
0.7060.7060.055
0.7071-0.70710.0
0.04-0.04-0.9984
Q
12.1500
02.160
0052.113
σQσQT
کنترل صحت تحلیل
81.1539.085.3
39.081.1585.3
85.385.322.113
σQσQT
1n
2n
3n
تبدیل به حالت اصلی
تبدیل به حالت اولیه
46
(principal stresses)تنش های صفحات اصلی
تنشتنسور (invariants)نامتغیرهای 032
2
1
3 III nnn
zzyzxz
zyyyxy
zxyxxx
xxxz
zxzz
zzzy
yzyy
yyxy
yxxx
zzyyxx
II
I
32
1
,
)(
32133132212
3211
,
II
I
نامتغیرها در مختصات اصلی
47
(maximum shear stresses)تنش های برشی حداکثر
22
33
2
22
2
11
2
3
2
3
2
2
2
2
2
1
2
1
2
22
33
2
22
2
11
2
2
3
2
3
2
2
2
2
2
1
2
1
2
333
222
111
nnnnnnn
nnnn
nnnn
n
n
n
llllll
lll
lllp
lp
lp
lp
نسبت به مختصات اصلیnبردار تنش در روی صفحه با نرمال
23
2
232
2
131
2
3
2
2
2
3
2
2
2
1
2
3
2
1
2
2
2
2
1
2
3
2
3
2
2
2
1
)()()()(
10.1
nnnnn
nnnnnn
llll
llllll
.تغییرات آن نسبت به کسینوس های هادی صفحه صفر شود: تنش برشی حداکثر
48
(maximum shear stresses)تنش های برشی حداکثر
21210
21210
0.10
0)()()(2
1
0)()()(2
1
312
321
321
2
232
2
131322
2
2
2
232
2
131311
1
2
nnn
nnn
nnn
nnn
n
n
nnn
n
n
lll
lll
lll
llll
llll
کسینوس های هادی صفحات دارای تنش های برشی حداکثر
ln1 0 0 ±1.0 0 ±1/√2 ±1/√2
ln2 0 ±1.0 0 ±1/√2 0 ±1/√2
ln3 ±1.0 0 0 ±1/√2 ±1/√2 0
49
(octahedral plane stresses)تنش های صفحات اکتاهدرال
شده و این صفحات در دستگاه مختصات اصلی بیاننرمال هر سطح با تمامی. در هشت ناحیه قرار دارند
.محورها زوایای یکسان می سازد
2
2
1
2
31
2
32
2
21
1321
321
623
1
)()()(3
1
3
1)(
3
1
31
II
I
lll
oct
oct
octoctoct
50
(mean and deviator stress tensors)تنسور تنش متوسط و انحرافی
تجزیه تنشور تنش به دو بخش متوسط و انحرافی
)(3
1,
00
00
00
zzyyxxm
mzzyzxz
zymyyxy
zxyxmxx
m
m
m
ijijmij S
33
13
22
12
11
27
33
3
m
m
m
m
m
m
II
II
II
(هیدرواستاتیک)نامتغیرهای تنسور تنش متوسط
نامتغیرهای تنسور تنش انحرافی
2723
3
0
3
12133
2
122
1
IIIII
III
I
d
d
d
51
(Mohr’s circle)دایره موهر
0.1
)(
2
3
2
2
2
1
22
33
2
22
2
11
2
3
2
3
2
2
2
2
2
1
2
1
2
22
33
2
22
2
11
2
nnn
nnnnnnn
nnnn
lll
llllll
lll
مؤلفه های عمودی و برشی بردار تنش روی صفحه مایلدر دستگاه مختصات اصلی
0))((
0))((
0))((
0))((
))((
0))((
))((
0))((
))((
21
2
31
2
32
2
2313
21
22
3
1232
31
22
2
3121
32
22
1
321
nnn
nnn
nnn
nnnn
nnnn
nnnn
l
l
l
52
(principal stresses)تنش های صفحات اصلی
2
21
2212
2
13
2312
2
32
2322
)(2
1)
2(
)(2
1)
2(
)(2
1)
2(
nn
nn
nn
نشبیان ترسیمی نامساوی های ت
53
تغییرمکان ها و کرنش هافصل سوم
54
(strains)و کرنش ها (displacements)تغییرمکان ها
تغییرشکل های کلی. 1
توصیف هندسی تغییرشکل. 2
تنسور کرنش و تبدیل مختصات. 3
کرنش در صفحات اصلی. 4
نامتغیرهای تنسور کرنش. 5
سازگاری کرنش ها . (معادلات سن ونان)6
55
(general deformations)تغییرشکل های کلی
.تغییرمکان های یک نقطه به صورت توابعی از مختصات مربوطه می باشند
:تغییرمکان یک نقطه تشکیل می شود ازانتقال و دوران جسم صلب. 1
تغییرشکل کرنشی. 2
.در انتقال و دوران جسم صلب فاصله دو نقطه از یک جسم ثابت باقی می ماندی نقاط آن یک جسم الاستیک زمانی دچار تغییرشکل کرنشی می شود که فاصله نسب
. تغییر یابد
),,(
),,(
),,(
32
zyxww
zyxvv
zyxuu
wvu
eeeu 1
56
e1e3
e2
y
x
z
PQ
PQ
wz
vy
ux
P
z
y
x
P
(general deformations)تغییرشکل های کلی
wwzz
vvyy
uuxx
Q
zz
yy
xx
Q
'Pبه Pانتقال نقطه
'Qبه Qانتقال نقطه
...
...
...
zz
wy
y
wx
x
ww
zz
vy
y
vx
x
vv
zz
uy
y
ux
x
uu
.کرنش ها مقادیر کوچکی دارند(تغییرات مرتبه دوم قابل صرفنظر است)
کرنش ها مقادیر پیوسته دارند(توابع تغییرمکان مشتق پذیرند)
rz
ry
rx
rl
rl
rl
PQ r
57
(general deformations)تغییرشکل های کلی
zwywxw
zvyvxv
zuyuxu
ux
uji
j
i,
(دپلاسمان)گرادیان تغییرمکان
iiijjii rrrrur ,
2
2
22
)(
)(
)()(
zz
wy
y
wx
x
wz
zz
vy
y
vx
x
vy
zz
uy
y
ux
x
uxrr
2
2
2
2
)1(
)1(
)1()1(
z
wl
y
wl
x
wl
z
vl
y
vl
x
vl
z
ul
y
ul
x
ul
rzryrx
rzryrx
rzryrx
'Qو 'Pبین دو نقطه ( کرنش)تغییر طول نسبی
58
(general deformations)تغییرشکل های کلی
)()()(
1
222
222
y
w
z
vll
x
w
z
ull
x
v
y
ull
z
wl
y
vl
x
ul
lll
rzryrzrxryrxrzryrx
rzryrx
)(2
1
2,)(
2
1
2,)(
2
1
2
,,
y
w
z
v
x
w
z
u
x
v
y
u
z
w
y
v
x
u
yz
yzxz
xz
xy
xy
zzyyxx
yzrzryxzrzrxxyryrxzzrzyyryxxrx lllllllll 222222
. نظر کرداگر مقادیر تغییرشکل ها کوچک فرض شوند آنگاه می توان از توان های بالاتر مشتق صرف
rکرنش در امتداد
59
(general deformations)تغییرشکل های کلی
222
222
222
)()()(2
1
)()()(2
1
)()()(2
1
z
w
z
v
z
u
z
w
y
w
y
v
y
u
y
v
x
w
x
v
x
u
x
u
zz
yy
xx
.ته می شوداگر مقادیر تغییرشکل ها بزرگ فرض شوند آنگاه صورت کلی کرنش به صورت ذیل نوش
z
w
y
w
z
v
y
v
z
u
y
u
y
w
z
v
z
w
x
w
z
v
x
v
z
u
x
u
x
w
z
u
y
w
x
w
y
v
x
v
y
u
x
u
x
v
y
u
yz
xz
xy
2
1)(
2
1
2
1)(
2
1
2
1)(
2
1
yzrzryxzrzrxxyryrxzzrzyyryxxrx lllllllll 222222 rکرنش در امتداد
60
(general deformations)تغییرشکل های کلی
e1e3
e2
y
x
z
QP
R
تغییر زاویه بین دو امتداد در اثر تغییرشکل
RzRyRx
QzQyQx
RzRyRx
QzQyQx
lllRP
lllQP
lllPR
lllPQ
QP
R
y
xQP
R
QP
R
u
vw
yy
v
)1(
yy
u
yy
w
xx
u
)1(
xx
w
xx
v
x
y
61
(general deformations)تغییرشکل های کلی
تغییر زاویه بین دو امتداد در اثر تغییرشکل
y
y
y
w
x
x
x
w
y
y
y
v
x
x
x
v
y
y
y
u
x
x
x
u
llllll
RPQP
RPQP
RzQzRyQyRxQx
)1()1(
)cos(
)sin()2
sin()cos(2
xyxy
yyxx y
y
x
x
1
1,
1
1
x
v
y
u
y
w
x
w
y
v
x
v
y
u
x
u
x
v
y
u
yyxx
xy
)1)(1(
1sin 1
62
y
x),( yxu
),( yxv dxdy
),( ydxxu
),( dyyxv
dyy
u
dxx
v
y
v
x
u
x
v
x
u
x
u
x
vdx
x
udxxd
dxdxdxxd
yyxx
xxxx
xxxx
,
)()(2121
)()1(
)1(
222
22222
کرنش طولی
تغییرشکل های کوچکتوصیف هندسی 63
کرنش برشی
y
x),( yxu
),( yxv dxdy
),( ydxxu
),( dyyxv
dyy
u
dxx
v
x
v
y
u
dyy
vdy
dyy
u
dxx
udx
dxx
v
xy
xy
xy
)sin()tan(
)sin()tan(
تغییرشکل های کوچکتوصیف هندسی 64
(دوران مختصات)تبدیل کرنش
zzxzxzzzyzyzyzxzxyzzzzyzyyxzxxzz
zyxyxzzyyyyzyyxyxyzyzzyyyyxyxxyy
zxxxxzzxyxyzyxxxxyzxzzyxyyxxxxxx
lllllllll
lllllllll
lllllllll
222
222
222
222
222
222 کرنش های محوری
کرنش های برشی
)()()( zxxyzyxxxzzxyyzyyxyzyxxyyyxxxy
zyzxzzyyyxyyxyxxxxyx
llllllllllll
llllll
)()()( zyxzzzxyxzzyyzzzyyyzyyxzyzxyxy
zzzyzzyzyyyyxzxyxxzy
llllllllllll
llllll
)()()( zxxzzzxxxzzxyzzzyxyzyxxzyzxxxy
zzzxzzyzyxyyxzxxxxzx
llllllllllll
llllll
65
(strain tensor)تنسور کرنش
)(2
1,, ijjiij uu
بیان اندیسی
بیان ماتریسی
zzyzxz
zyyyxy
zxyxxx
zzyzxz
zyyyxy
zxyxxx
ij
22
22
22
(تبدیل تنسور)دوران مختصات
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
zzyzxz
zyyyxy
zxyxxx
zzyzxz
zyyyxy
zxyxxx
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
lll
lll
lll
lll
lll
lll
QεQεQεQε TT
ijljkikl ll
66
(principal strains)اصلی کرنش در صفحات
0
0)det(
32
2
1
3
III nnn
ijnij
.صفحاتی که کرنش برشی صفر بوده و کرنش محوری اکسترمم هست
zzyzxz
zyyyxy
zxyxxx
xxxz
zxzz
zzzy
yzyy
yyxy
yxxx
zzyyxx
II
I
32
1
,
)(
32133132212
3211
,
II
I نامتغیرها در مختصات اصلی
67
(octahedral strains)اکتاهدرال کرنش در صفحات
شده و این صفحات در دستگاه مختصات اصلی بیاننرمال هر سطح با تمامی. در هشت ناحیه قرار دارند
.محورها زوایای یکسان می سازد
2
31
2
32
2
21
1321
321
)()()(3
2
3
1)(
3
1
31
oct
oct
octoctoct
I
lll
68
(mean and deviator strain tensors)تنسور کرنش متوسط و انحرافی
ijijkkij e 3
1 تجزیه تنسور کرنش به بخش متوسط و انحرافی
تنسور کرنش متوسط
100
010
001
)(3
1
3
1zzyyxxijkk
تنسور کرنش انحرافی
3)2(
3)2(
3)2(
zzyyxxyzxz
zyzzyyxxxy
zxyxzzyyxx
ije
69
(mean and deviator strain tensors)تنسور کرنش متوسط و انحرافی
(کلّی)نامتغیرهای تنسور کرنش انحرافی
ij
xzyzxyzzyyxx
zzyyxxii
eJ
eeeeeeJ
eeeeJ
3
222222
2
1
)222(2
1
0
(اصلی)نامتغیرهای تنسور کرنش انحرافی
3213
3132212
1 0
eeeJ
eeeeeeJ
J
کرنش برشی صفحات اکتاهدرال2
3
22 Joct
70
معادلات سن ونان–(strain compatibility)سازگاری کرنش
از توابع تغییرمکان پیوسته و دارای مقدار یکتا می توان به کرنش های پیوس. ته و دارای مقدار 1.یکتا رسید ولی بالعکس امکان پذیر نیست
به منظور برقراری شرط پیوستگی میدان تغییرشکل بایستی کرنش ها سا. زگار با یکدیگر 2.به عبارت دیگر در معادلات سازگاری کرنش ها صدق کنند. باشند
71
)(2
)(2
)(2
2
2
2
zyxzyx
zyxyzx
zyxxzy
xyxzyzzz
xyxzyzyy
xyxzyzxx
2
2
2
22
2
2
2
22
2
2
2
22
zxzx
yzzy
xyyx
xxzzxz
zzyyyz
yyxxxy
معادلات سن ونان–(strain compatibility)سازگاری کرنش
2
3
2
322
2
3
2
2
2
3
2
2
)(,,
,,
xy
v
yx
u
x
v
y
u
yxyxxy
v
xyx
u
y
x
v
y
u
y
v
x
u
xyyyxx
xyyyxx
72
معادلات سن ونان–(strain compatibility)سازگاری کرنش
دن به چنانچه جسم همبند ساده باشد، معادلات سازگاری شرط لازم و کافی برای رسیدر . اهند بودبرای تغییر مکان های نسبی از روی تغییر شکل های نسبی خویکتا جوابی
ای نباشد، معادلات سازگاری شرط لازم می باشند ولی برساده همبندصورتی که جسم .یکتا بودن جواب کافی نخواهند بود
73
کرنش-روابط تنش فصل چهارم
74
کرنش الاستیک-روابط تنش
روابط ساختاری مصالح. 1
مشخصه سازی مصالح. 2
مصالح الاستیک خطی. 3
تنسور الاستیسیته. 4
قانون . هوک5
تعبیر فیزیکی سختی. 6
75
(constitutive equations)روابط ساختاری مصالح
ختاری روابطی که خواص فیزیکی یک ماده جامد را بیان می کنند به عنوان معادلات سااز این جمله روابط در بحث مکانیک جامدات می توان به رابطه . نامیده می شوند
. مؤلفه های تنش در یک نقطه از ماده و مؤلفه های کرنش در همان نقطه اشاره کرد
),,,,( Ttf εεσ
تیک یا هدف مباحث تئوری الاستیسیته بررسی روابط ساختاری جامدات کاملاً الاس.است(linear elastic)الاستیک خطی
در یک جامد الاستیک با برداشته شدن بارگذاری های خارجی ماده به حالت اولیهارگذاری همچنین رفتار ماده مستقل از تاریخچه ب. تغییرشکل نیافته خود برمی گردد
(loading history) و همچنین سرعت بارگذاری(loading rate)است..داردنتایج تحلیل الاستیسیته خطی مطابقت مطلوبی با مشاهدات آزمایشگاهی
76
(material characterization)مشخصه سازی مصالح
تجهیزات آزمایش خواص مکانیکی مصالح
دستگاه آزمایش کشش در دمای(high temperature)بالا
(room temperature)دستگاه آزمایش کشش در دمای اتاق
77
(material characterization)مشخصه سازی مصالح
نمونه های میله ای و تخت برای آزمایش کشش مصالح
و(load cell)نیروسنج (clip gage)تغییرمکان سنج
A
P
L
L (تغییرشکل های کوچک)تعریف ساده تنش و کرنش
78
(material characterization)مشخصه سازی مصالح
کرنش مصالح-انواع منحنی های تنش
تنش حد تناسب (proportional limit)
تنش آستانه حد الاستیک (elastic limit)
حد تسلیم (yield point)
مصالح شکل پذیر (ductile materials)
مصالح ترد یا شکننده (brittle materials)
79
مصالح الاستیک خطی
(مهندسی)رابطه تنش محوری با کرنش محوری E
(کلی)رابطه تنسور تنش با تنسور کرنش εCσ
klijklij C
مولفه های تنش را به Cتنسور الاستیسیته مؤلفه های کرنش مربوط می سازد و واحد هر
.ترم نیرو بر واحد سطح است
ترم های تنسور الاستیسیته ؟
80
تنسور الاستیسیته
تنش ترم دارد که تنسور کرنش در یک دستگاه دلخواه را به تنسور81تنسور الاستیسیته در حالت کلی .در یک دستگاه دلخواه دیگر نظیر می کند
ت تقارن در صورتی که دستگاه های بیان تنسورهای تنش و کرنش یکسان بوده و همچنین از خاصی.مؤلفه کاهش می یابد36تنسورهای کرنش و تنش استفاده شود آنگاه تنسور الاستیسیته به
xz
yz
xy
zz
yy
xx
xz
yz
xy
zz
yy
xx
CCCCCC
CCCCCC
CCCCCC
CCCCCC
CCCCCC
CCCCCC
666564636261
565554535251
464544434241
363534333231
262524232221
161514131211
ور برای یک ماده ایزوتروپ مؤلفه های تنسمؤلفه ها با )الاستیسیته مستقل از هم نیستند
و ( ننددوران دستگاه مختصات تغییر نمی کدر کل بر حسب دو مقدار مدول
بیان (v)و ضریب پواسون (E)الاستیسیته . می شوند
ijlkjiklijkl CCC
81
کرنش-روابط تنش
:ر کنند بنابرایناگر دستگاه مختصات دوران یابد به دلیل ایزوتروپ بودن ماده نبایستی مؤلفه ها تغیی
zxzyyxzzyyxxzx
zxzyyxzzyyxxzy
zxzyyxzzyyxxyx
zxzyyxzzyyxxzz
zxzyyxzzyyxxyy
zxzyyxzzyyxxxx
CCCCCC
CCCCCC
CCCCCC
CCCCCC
CCCCCC
CCCCCC
666564636261
565554535251
464544434241
363534333231
262524232221
161514131211
به zاگر دستگاه مختصات حول :درجه دوران یابد180اندازه
xzzx
yzzy
xyyx
zzzz
yyyy
xxxx
xzzx
yzzy
xyyx
zzzz
yyyy
xxxx
zyx
,,,
1
0.0
0.0
,
0.0
1
0.0
,
0.0
0.0
1
82
کرنش-روابط تنش
:کرنش دستگاه جدید خواهیم داشت-با جایگذاری مقادیر بدست آمده در معادلات تنش
0.0
0.0
0.0
0.0
64546353
62526151
46453635
26251615
666564636261
565554535251
464544434241
363534333231
262524232221
161514131211
CCCC
CCCC
CCCC
CCCC
CCCCCC
CCCCCC
CCCCCC
CCCCCC
CCCCCC
CCCCCC
xzyzxyzzyyxxxz
xzyzxyzzyyxxyz
xzyzxyzzyyxxxy
xzyzxyzzyyxxzz
xzyzxyzzyyxxyy
xzyzxyzzyyxxxx
xzzx
yzzy
xyyx
zzzz
yyyy
xxxx
xzzx
yzzy
yxyx
zzzz
yyyy
xxxx
zyx
,,,
1
0.0
0.0
,
0.0
1
0.0
,
0.0
0.0
1
به xاگر دستگاه مختصات حول :درجه دوران یابد180اندازه
83
کرنش-روابط تنش
:کرنش دستگاه جدید خواهیم داشت-معادلات تنش در جایگذاری مقادیر دوباره با 0.06556434241342414 CCCCCCCC
ترم ذیل از 3درجه دوران کند آنگاه صرفاً 90و یا 180در صورتی که هرکدام از محورها به اندازه :تنسور الاستیسیته جسم ایزوتروپ باقی خواهد ماند
xz
yz
xy
zz
yy
xx
xz
yz
xy
zz
yy
xx
C
C
C
CCC
CCCCCC
CCCC
00000
00000
00000
000
000
000
665544
322331132112
332211
84
کرنش-روابط تنش
:درجه دوران کند خواهیم داشتθبه اندازه دلخواه zدر صورتی که دستگاه مختصات حول
zxzx
zyzy
yxyx
zzyyxxzz
zzyyxxyy
zzyyxxxx
C
C
C
,
cossin
sincos
2coscossin)(
,2sincossin
2sinsincos
22
22
xzyzzx
xzyzzy
xyxxyyyx
zzzz
xyyyxxyy
xyyyxxxx
cossin
sincos
2coscossin)(
,2sincossin
2sinsincos
22
22
xzyzzx
xzyzzy
xyxxyyyx
zzzz
xyyyxxyy
xyyyxxxx
85
(Hooke’s law)قانون هوک
2)(2
1CC
.ترم کاهش می یابد2ترم تنسور الاستیسیته به 3با ساده سازی معادلات
xz
yz
xy
zz
yy
xx
xz
yz
xy
zz
yy
xx
00000
00000
00000
0002
0002
0002
.در نتیجه تنسور الاستیسیته جسم ایزوتروپ به شکل ذیل ساده می شود
86
(Hooke’s law)قانون هوک
ijijkkij 2
.نامیده شده که رابطه تنش کرنش به صورت اندیسی ذیل است(Lame)ثوابت لمی μو λثوابت
2, ijjiijzzyyxxkk
( :Gیا λتعریف مدول برشی )قرار گیرد xyاگر ماده تحت وضعیت برش خالص در صفحه
xyxyxy
xzyzzzyyxx
G
0.0
(:Eتعریف مدول الاستیسیته )قرار گیرد xاگر ماده تحت وضعیت کشش خالص در امتداد
zzyyxx
zzyyxx
zzyyxxxx
xzyzxyzzyy
G
G
G
)2(0.0
)2(0.0
)2(
0.0
87
(Hooke’s law)قانون هوک
xxxxxx EG
GG
)32(
:با ساده سازی معادلات، تعریف مدول الاستیسیته برحسب ثوابت لمی مطابق ذیل است
G
GGE
)32(
:محاسبه می شودبرحسب ثوابت لمی همچنین ضریب پواسون مطابق ذیل
)(2
Gv
xx
zz
xx
yy
.ثوابت لمی برحسب مدول الاستیسیته و ضریب پواسون مطابق ذیل محاسبه می شوند
)21)(1(,
)1(2 vv
Ev
v
EG
88
(Hooke’s law)قانون هوک
(:K(Bulk)بالک تعریف مدول )گیرد فشار هیدرواستاتیک قرار اگر ماده تحت وضعیت
vzzyyxx
zzyyxx
zzyyxx
zzyyxx
xzyzxy
GGp
Gp
Gp
Gp
)32())(32(3
)2(
)2(
)2(
0.0
3
32
GpK
v
.مدول بالک میزان تغییر حجم ماده را برحسب فشار هیدرواستاتیک وارده تعیین می کند
)21(3 v
EK
89
(Hooke’s law)قانون هوک
:ته می شوندکرنش برحسب مدول الاستیسیته و ضریب پواسون به صورت ذیل نوش-روابط تنش
xz
yz
xy
zz
yy
xx
xz
yz
xy
zz
yy
xx
v
v
v
vvv
vvv
vvv
vv
E
2)21(00000
02)21(0000
002)21(000
0001
0001
0001
)21)(1(
(:نرمی)تنش برحسب مدول الاستیسیته و ضریب پواسون -روابط کرنش
ijijijijE
v
E
v
1
90
تعبیر فیزیکی سختی
.ودبه مقدار متوسط تنش های محوری در یک نقطه تنش متوسط یا هیدرواستاتیک گقته می ش
)(3
1zzyyxxm
zzyyxxv
zzyyxx
vABC
ABCCBA
V
V
)1()1()1( A
BC
A
BC
مجموع کرنش های محوری= کرنش حجمی = نرخ تغییرحجم المان
v
mmv K
E
v
)21(3
91
روابط بین ثوابت الاستیسیته92
مقادیر ثوابت لاستیسیته برای مصالح93
فرمول بندی و روش تحلیلفصل پنجم
94
تحلیل مسائل الاستیسیته
ترکیب معادلات حاکم. 1
شرایط مرزی و دسته بندی مسائل. 2
فرمول بندی تنش. 3
فرمول بندی تغییرمکان. 4
اصل جمع آثار قوا، اصل سن ونان. 5
تکنیک . الاستیسیتهتحلیل مسائل 6
95
تحلیل مسائل الاستیسیته
اری های در بحث تئوری الاستیسیته توزیع تنش در داخل یک محیط جامد براساس بارگذ.خارجی و شرایط مرزی تعیین می شود
.یدهدف حل مسئله رسیدن از توزیع نیرو به توزیع تنش ها و توزیع تغییرشکل ها رسمرحله اول ساده سازی معادلات حاکم بر مسئله از جمله تعادل تنش، سازگاری کرنش و
.کرنش است-معادلات تنش اری معادلات بدست آمده بایستی شرایط مرزی نیرویی و تغییرمکانی و همچنین سازگ
.تغییرشکل محیط را ارضاء کنندمعادلات تنش . معادله6= کرنش -1معادلات تعادل تنش . معادله3= 2معادلات کرنش . معادله6= تغییرمکان -3معادلات سازگاری کرنش . معادله3= 4
96
یادآوری معادلات حاکم
(معادله3)تعادل تنش
0
0
0
zzzyzxz
y
yzyyxy
xxzxyxx
fzyx
fzyx
fzyx
)(
)(
)(
,
y
w
z
v
x
w
z
u
x
v
y
u
z
w
y
v
x
u
yz
xz
xy
zz
yy
xx
(معادله6)تغییرمکان –کرنش
0, ijij f
)(2
1,, ijjiij uu
97
حاکمیادآوری معادلات
(معادله6)کرنش –تنش
xzxz
yzyz
xyxy
yyxxzzzz
zzxxyyyy
zzyyxxxx
G
G
G
vE
vE
vE
1
1
1
,
)(1
)(1
)(1
(معادله6)سازگاری کرنش (معادله مستقل3)
)(2
)(2
)(2
,
2
2
2
2
2
2
22
2
2
2
22
2
2
2
22
zyxzyx
zyxyzx
zyxxzy
zxzx
yzzy
xyyx
xyxzyzzz
xyxzyzyy
xyxzyzxx
xxzzxz
zzyyyz
yyxxxy
ijkkijijE
v
E
v
1
0,,,, ikjljlikijklklij
98
شرایط مرزی و دسته بندی مسائل
به منظور حل معادلات حاکم و ارائه حل یکتا رایط ش. بایستی شرایط مرزی مسئله معلوم باشد
و شرایط (load)مرزی شامل شرایط نیرویی .می باشد(displacement)تغییرمکانی
در برخی موارد شرایط مرزی به صورت جزئی در نواحی داخل محیط
.استن براساس تقارن محیط قابل تعیی
99
شرایط مرزی و دسته بندی مسائل
jiji nT
100
شرایط مرزی و دسته بندی مسائل
),cos(),cos(
),cos(),cos(
ynxnT
ynxnT
yyxy
n
y
xyxx
n
x
مثال دوبعدی
00
0
0
0
00
)1(0
0)1(0,
0
10
pl
xpl
xPT
PT
T
T
pl
xP
P
n
yyy
yxy
yy
xy
yy
xx
yyyyxyy
xyxxx
y
x
AB
(جهت نیروی گسترده به سمت بالا)ABمرز افقی A
B
C
x
y
h
p(x)p0
l
ABn
101
ACمرز مایل مثال دوبعدی
شرایط مرزی و دسته بندی مسائل
2tan
tan
tan
tan
cossin
cossin,
0
0
cossin
xxlhxyyy
xxlhxyxy
xyyy
xxxy
yy
xx
yyxyy
xyxxx
y
x
AC
PT
PT
T
T
P
P
n
AB
C
x
y
h
p(x)p0
l
ACn
BCمرز قائم
0.0
0.0
lx
lx
v
u
102
(ترکیب معادلات)تنش فرمول بندی
و معادله yمعادله دوم تعادل تنش نسبت به مشتق گیری شده و جمع زده zسوم نسبت به
ظر سپس از معادله اول عبارت متنا. می شوند.جایگذاری می شود
xxxxzxy
zyxzxyzzyyyz
fxzy
z
f
y
f
zyxzyzy
)(2
2
2
2
22
z
f
y
f
x
f
zyxzy
zyxzzyyxxyz
2
2
2
2
2
22
2
.را می توان در معادله دوم سازگاری کرنش جایگذاری کردyzکرنش صفحه -همچنین روابط تنش
)(
1)(
1)1(22
2
2
22
2
2
2
22
yyxxzzzzxxyyyzzzyyyz
vEy
vEzE
v
zyyzzy
)()()1(22
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
22
yyv
zzv
yzzyv
yyxxzzxxzzyyyz
2
2
2
2
2
2
2
22
)1()1(2yz
vyz
vzy
v zzyyyz
zzyyxx
103
(ترکیب معادلات)فرمول بندی تنش
:از ترکیب معادلات بدست آمده معادله ذیل نتیجه می شود
z
f
y
f
x
fvv
x
zyxxx )1()1( 2
2
22
2
2
2
2
2
22
zyx
.به همین منوال معادلات ذیل برای سایر امتدادها بدست می آیند
z
f
x
f
y
fvv
y
zxy
yy )1()1( 2
2
22
y
f
x
f
z
fvv
z
yxzzz )1()1( 2
2
22
(:شکرن–ترکیب تعادل، سازگاری کرنش و تنش )از جمع روابط فوق معادله ذیل حاصل می شود
z
f
y
f
x
f
v
v zyx
)1(
)1(2
104
(ترکیب معادلات)فرمول بندی تنش
:در معادلات ماقبل نتیجه می شوندθبا جایگذاری گرادیان مرتبه دوم دسته معادلات اول
z
f
z
f
y
f
x
f
v
v
zv
y
f
z
f
y
f
x
f
v
v
yv
x
f
z
f
y
f
x
f
v
v
xv
zzyxzz
yzyxyy
xzyxxx
211
1
211
1
211
1
2
22
2
22
2
22
:کرنش مربوطه مد نظر قرار گیرد آنگاه-اگر معادله چهارم سازگاری به همراه روابط تنش
xzxzyzyzxyxyzzyyxxxxxx
xyxzyzxx
E
v
E
v
E
vvv
E
zyxxzy
)1(2,
)1(2,
)1(2,)()1(
1
)(22
105
(ترکیب معادلات)فرمول بندی تنش
zxyxxzyv
v
zy
zxyxxE
v
zyv
zyv
E
xyxzyzxx
xyxzyzxx
22
2
222
22
2
222
1
)()1(2
)1(2
مشتق گرفته و در رابطه فوق yسوم تعادل نسبت به رابطه و از zاگر رابطه دوم تعادل نسبت به :جایگذاری گردد آنگاه نتیجه می شود
y
f
z
f
yzzyzyyxzx
zyyzyzzzyyxzxy
2
2
2
22222
y
f
z
f
zyv
zy
yz
22
1
1
106
(ترکیب معادلات)فرمول بندی تنش
x
f
z
f
zxv
y
f
z
f
zyv
x
f
y
f
yxv
zxxz
zy
yz
yxxy
22
22
22
1
1
1
1
1
1
:مطابق ذیل نتیجه می شونددوم معادلات دسته با این روند نیز
لات با نیروی حجمی اغلب صفر بوده یا ثابت هستند که تمامی معاد:به صورت ذیل بیان می شوندBeltrami-Michellعنوان روابط
0)()1(
0)()1(
0)()1(
,
0)()1(
0)()1(
0)()1(
22
22
22
2
22
2
22
2
22
zzyyxxxz
zzyyxxyz
zzyyxxxy
zzyyxxzz
zzyyxxyy
zzyyxxxx
zxv
zyv
yxv
zv
yv
xv
107
(معادلاتترکیب )تغییرمکان فرمول بندی
)(
)(
)(
,
2)(
2)(
2)(
x
w
z
u
y
w
z
v
x
v
y
u
z
w
z
w
y
v
x
u
y
v
z
w
y
v
x
u
x
u
z
w
y
v
x
u
xz
yz
xy
zz
yy
xx
کرنش را براساس مشتقات -روابط تنش
:تغییرمکان می توان مطابق روبه رو نوشت
ردد اگر روابط فوق در تعادل تنش جایگذاری گکان آنگاه حاصل روابط تعادل برحسب تغییرم
یا Navierبدست خواهد آمد که به روابط Lameمعروف است.
0)()(
0)()(
0)()(
2
2
2
z
y
x
fz
w
y
v
x
u
zw
fz
w
y
v
x
u
vv
fz
w
y
v
x
u
xu
108
(superposition principle)اصل جمع آثار
ستیسیته و الابا فرض تغییرشکل های کوچک و رفتار الاستیک خطی مصالح، تمامی معادلات میدانی اصل در صورتی که تمامی معادلات خطی باشند آنگاه می توان از. هستندروابط شرایط مرزی خطی
.جمع آثار استفاده کرد ها، اگر پاسخ معادلات حاکم برای یک محیط معلوم پیوسته از جمله تنشاصل جمع آثارطبق
همزمانی کرنش ها و تغییرشکل ها برای دو وضعیت بارگذاری دلخواه معلوم باشد آنگاه حل محط تحت.بارگذاری برابر خواهد بود با مجموع پاسخ های جداگانه هرکدامحالت هر دو
109
Saint-Venant’s)اصل سن ونان principle)
ند نیروهای از آنجایی که برآی. فرض کنید میله مطابق ذیل تحت سه نوع بارگذاری متفاوت قرار داردمکان میله ها وارده به هر سه جسم از نظر استاتیکی هم ارز یکدیگرند لذا میدان های تنش، کرنش و تغییر
.در مجاورت تکیه گاه با تقریب مطلوبی یکسان خواهد بوداستاتیکی تحت دو توزیع نیرویطبق اصل سن ونان میدان های تنش، کرنش و تغییرمکان در یک جسم
. در نواحی دورتر از ناحیه بارگذاری تقریباً یکسان استهم ارز
110
تکنیک تحلیل مسائل الاستیسیته
تهدستگاه معادلات محیط پیوسمجهول15معادله، 15
(کرنش6تنش، 6تغییرمکان، 3)
فرمول بندی تنشمجهول6معادله، 6
(کرنش-رابطه تنش 3رابطه تعادل، 3)
فرمول بندی تغییرمکانمجهول3معادله، 3
(انرابطه تعادل بر حسب تغییرمک3)
111
تکنیک تحلیل مسائل الاستیسیته
. ده می شوددر این روش با انتگرال گیری مستقیم از معادلات حاکم به پاسخ رسی:روش مستقیم( 1).معمولاً حل معادلات با پیچیدگی هایی همراه است و در نتیجه برای مسائل ساده کاربرد دارد
gzgdzgz
fz
gfff
z
zzzz
zzz
xzyzxyyyxx
zyx
000
0
,0,0
میله الاستیک تحت وزن خود
112
0),(0
),(),,(
),(2
),,(
0
0
0
0
0
2
zyu
xE
gv
x
w
x
w
z
u
x
w
z
u
zyuzxE
gvzyxuz
E
gv
x
u
Cyxwz
E
gzyxwz
E
g
z
w
xz
xx
zz
تکنیک تحلیل مسائل الاستیسیته
میله الاستیک تحت وزن خود
113
0),(0
),(),,(
0
0
0
0
zxv
yE
gv
y
w
y
w
z
v
y
w
z
v
zxvzyE
gvzyxvz
E
gv
y
v
yz
yy
zyE
gvzyxv
zxE
gvzyxu
lyxvzE
gzyxwlw
CyxvzE
gzyxw
yx
E
gvyxw
),,(
),,(
)(2
),,(0),0,0(
)(2
),,()22
(),(
2222
22222
0
تکنیک تحلیل مسائل الاستیسیته
خش مشخص بوده و ب( میدان تغییرمکان یا تنش)در این روش بخشی از پاسخ :روش معکوس( 2)تفاده از همچنین با اس. دیگر پاسخ براساس انتگرال گیری مستقیم از معادلات حاکم بدست می آید
. ه کردتئوری مقاومت مصالح می توان روابطی جهت سهولت تخمین میدان تنش یا تغییرمکان ارائ.ن کردهمچنین می توان طبق اصل سن ونان شرایط مرزی پیچیده را با حالات معادل ساده تر جایگزی
پیچش میله منشوری
yxwzuxw
xywywzv
xvyu
zw
yv
xu
yxww
xzv
yzu
xz
yz
xy
zz
yy
xx
0
,
0
0
0
),(
00
0
)(
)(
0
,
0
0
0
2
2
2
2
2
wy
w
x
w
fzyx
yxw
xyw
zzzyzxz
xz
yz
xy
zz
yy
xx
114
تکنیک تحلیل مسائل الاستیسیته
:سایر روش های تحلیلیسری های توانی . اکم معمولاً برای مسائل دوبعدی کاربرد داشته که و کل دستگاه معادلات ح-1
ن تابع به ای. تبدیل به یک معادله دیفرانسیل شده و در نهایت منجر به ارائه تابع تنش می گردد. صورت سری توانی فرض می شود و ضرائب آن براساس شرایط مرزی تعیین می شود
تبدیل انتگرال. ذف با اعمال این روش بسیاری از معادلات دیفرانسیل حاکم ساده و یا ح-2یل با اعمال شرایط مرزی و تبد. می شود و حل صورت تبدیل یافته معادلات را ساده می سازد
لات می توان به از این تبدی. معکوس معادلات به فضای اولیه بازگشته و پاسخ نهایی بدست می آید.اشاره کردتبدیل لاپلاس، تبدیل فوریه و تبدیل هانکل
متغیرهای مختلط. رهای بسیاری از مسائل از جمله مسائل مسطحه و پیچش به روش متغی-3.مختلط قابل بیان بوده و نتیجه دقیق تری ارائه می دهند
nm
mn yxCyx ),(
115
مسائل دوبعدیفصل ششم
116
(plane strain)روابط کرنش مسطحه
0.0,0.0,2
)()(
2)(
2)(
0.0
0.0
)(2
1
,
0.0
0.0
),(
),(
xzyzxyxy
yyxxyyxxzz
yyyyxxyy
xxyyxxxx
xz
yz
xy
zz
yy
xx
v
x
v
y
u
y
v
x
u
w
yxvv
yxuu
0.0)(
0.0)(
2
2
y
x
fy
v
x
u
yv
fy
v
x
u
xu
0.0
0.0
y
yyxy
x
xyxx
fyx
fyx
0.01
1)(2
y
f
x
f
v
yxyyxx
yxxy
xyyyxx
2
2
2
2
2
2
117
(plane stress)روابط تنش مسطحه
)(2
1
)(2
1
)(2
1
,
0.0
0.0
1
,
)(
)(1
)(1
0.0
0.0
),(
,
0.0
),(
),(
x
w
z
u
y
w
z
v
x
v
y
u
z
w
y
v
x
u
E
v
E
v
vE
vE
yx
yx
yx
xz
yz
xy
zz
yy
xx
xz
yz
xyxy
yyxxzz
xxyyyy
yyxxxx
xz
yz
xyxy
zz
yyyy
xxxx
0.0)1(2
0.0)1(2
2
2
y
x
fy
v
x
u
yv
Ev
fy
v
x
u
xv
Eu
0.0)1()(2
y
f
x
fv
yxyyxx
yxxy
xyyyxx
2
2
2
2
2
2
0.0
0.0
y
yyxy
x
xyxx
fyx
fyx
118
(plane stress)روابط تنش مسطحه
:تناقضات تئوری تنش مسطحهاست، xyاگرچه بارگذاری و شرایط مرزی در صفحه
zدارای تغییراتی در جهت vو uداخل صفحه تغییرشکل های دوبعدی هستند که نشانگر سه بعدی بودن مسئله علیرغم فرض
.آن است که متناقض می باشد
0.0
0.0
0.0)(2
1
0.0)(2
1
z
u
z
v
x
w
z
u
y
w
z
v
xz
yz
z
w
y
v
x
u
v
v
v
v
zz
yyxxzz
)(1
)(1
برحسب روابط zبا مقایسه تعاریف کرنش در جهت ن دریافت کرنش و به صورت دیفرانسیلی می توا-تنش
و وابسته zدارای تغییرات در جهت wکه تغییرشکل است که متناقض با فرض تنشyو xبه مختصات
.استzراستای صفر در
.باشدك بود که جسم به اندازه کافی نازبرخوردار خواهد دقت کافی زمانی از مسطحه فرض تنش
119
generalized)تنش مسطحه تعمیم یافته plane stress)
یط متوسط گیری به منظور رفع تناقضات تنش مسطحه از این تئوری استفاده شده که مقادیر متغیر در ضخامت محwندارند لذا تابع تغییرشکل zاز آنجائی که نیروی های سطحی و حجمی مؤلفه ای در جهت ضخامت . می شوند
.بوده و در نتیجه مقدار متوسط آن صفر خواهد بودzتابع فردی در جهت
)(2
0.0
2
2)(ˆ
2)(ˆ
0.0
),(
),(
2
2ˆyyxxzz
xzyzzz
xyxy
yyyyxxyy
xxyyxxxx
w
yxvv
yxuu
0.0
0.0
y
yyxy
x
xyxx
fyx
fyx
0.0)ˆ(
0.0)ˆ(
)1(2ˆ
2
2
y
x
fy
v
x
u
yv
fy
v
x
u
xu
v
E
0.02ˆ
)ˆ(2)(
2ˆ
)ˆ(21 2
y
f
x
fv
yxyyxx
120
(Airy stress function)تابع تنش ایری
ک مجهول با استفاده از این روش می توان تمامی معادلات حاکم را به یک معادله تبدیل کرد که صرفاً ی.ائه استمعادله بدست آمده به روش های گوناگون قابل حل بوده و لذا حل تحلیلی مسئله قابل ار. دارد
به همراه هدف از فرمول بندی تابع تنش، ارائه تابعی است که وضعیت تعادل تنش را در تمامی نقاط.شرط سازگاری کرنش ها ارضاء کند
y
Vf
x
Vf yx
,
(فرض کلی)جهت بیان نیروهای حجمی Vتابع پتانسیل .با تعریف ذیل معادلات تعادل و سازگاری را ارضاء می کندϕتابع تنش ایری
yx
Vx
Vy
xy
yy
xx
2
2
2
2
2
Vv
v
y
V
x
V
v
v
yyxx
24
2
2
2
2
4
4
22
4
4
4
1
21
1
212
Vvy
V
x
Vv
yyxx
24
2
2
2
2
4
4
22
4
4
4
)1()1(2
هکرنش مسطح
تنش مسطحه
121
تابع تنش چندجمله ای-مسائل مختصات کارتزین
در این بخش مسائل مسطحه بدون نیروی های حجمی در مختصاتاده از کارتزین در نظر گرفته شده و حل معادله حاکم روبه رو با استف
.توابع تنش ایری به شکل چندجمله ای توانی تعیین می گردد
0.024
4
22
4
4
4
yyxx
0 0
),(m n
nm
mn yxAyx
0)1()1)(2()1()1(2)1()1)(2( 2,22,2 nmmnnm AnnnnAnnmmAmmmm
را جهت صدق nو mبا جایگذاری چندجمله ای در معادله حاکم شرط ذیل حاصل می شود که مقادیر .کردن در معادله تعیین می کند
که این از آنجایی که تابع فوق توزیع چندجمله ای برای تنش ارائه می دهد لذا نمی توان انتظار داشتمرزی کلی ولی با استفاده از اصل سن ونان می توان شرایط. توزیع شرایط مرزی را به راحتی ارضاء کند
. گرددمسئله را به صورت چندجمله ای با اثر استاتیکی معادل نوشت تا اینکه حل دقیقی حاصل
122
صفحه تحت کشش خالص(: 1)مثال
0)0,(
0),0(,
0),(
0),(,
0),(
),(
xv
yu
cx
yl
cx
Tyl
xy
xy
yy
xx
:ثابت است لذا تابع تنش ایری به شکل ذیل فرض می شودxاز آنجائی که تنش در جهت
00
)(1
)(1
0
00
22
),(
2
2
2
02022
2
2
02
x
v
y
u
Gx
v
y
u
E
T
Ey
v
E
T
Ex
u
yx
VVx
TATVAV
y
yAyx
xy
xy
xxyyyy
yyxxxx
xy
yy
xx
yE
Txvy
E
Tyxv
xE
Tyux
E
Tyxu
)0,(),(
),0(),(
123
خمش تیر دوسر ساده تحت لنگر دو انتها(: 2)مثال
0)0,(
0)0,(
),(
0),(,
0),(
0),(
0),(
lv
lu
Mydyyl
dyyl
cx
cx
yl
c
cxx
c
cxx
yy
xy
xy
ه ب. شرایط مرزی نیرویی به صورت معادل ارضا می شونده عبارت اثر لنگر خمشی متمرکز طبق اصل سن ونان ب
.صورت توزیع تنش لحاظ می شود
خطی تابع تنش ایری درجه سوم توزیع تنش را به صورتیز صفر در ارتفاع بدست داده و برآیند لنگر حاصل از تنش ن
.می شود
0
0
2
3
466
3
303
2
0303
3
03
xy
yy
xx
c
cxx
yc
M
c
MAMdyyAyA
yA
124
خمش تیر دوسر ساده تحت لنگر دو انتها(: 2)مثال
0)()(2
30
)(4
3),(
2
3
)(2
3),(
2
3
3
2
33
33
xgyfxEc
M
x
v
y
u
G
xgyEc
Myxvy
Ec
M
y
v
yfxyEc
Myxuy
Ec
M
x
u
xy
xy
xx
xx
کیک متغیرهاتعیین توابع ثابت انتگرال گیری به روش تف
)()(4
3)()(
2
3)()(
2
3 2
333yfxgx
Ec
Myfxgx
Ec
Myfxgx
Ec
M
222
3
3
2
3
2
3
2
3
2
3
4
3),(
2
3),(
4
30)0,(
4
3
4
3),(
4
3)(
0)(0)0,(
lyxEc
Myxv
xyEc
Myxu
lEc
MClv
CxEc
My
Ec
MyxvCx
Ec
Mxg
yflu
125
خمش تیر دوسر ساده تحت لنگر دو انتها(: 2)مثال
(:عرض تیر واحد است)مقایسه توزیع تنش حاصل از حل الاستیسیته و حل مقاومت مصالح
222
33
2,
0,0,
3
2
12
8
lxyEI
Mvxy
EI
Mu
yI
M
ccI
xyyyxx
(اویلر-تیر برنولی )حل مقاومت مصالح
Euler-Bernoulli Beam Theory
عد از خمش پی اویلر به مسطح باقی ماندن سطح مقطع ب-با مقایسه روابط می توان به صحت فرض تیر برنولی .ودولی حل الاستیسیته و حل مقاومت مصالح در مورد سایر بارگذاری ها الزاماً برهم منطبق نخواهند ب. برد
126
خمش تیر یک سر گیردار تحت بار گسترده(: 3)مثال
wldyyl
wlydyyl
dyyl
cx
cx
wcx
c
cxy
c
cxx
c
cxx
xy
yy
yy
),(
2),(
0),(
,
0),(
0),(
),(2
.واند باشدتابع تنش ایری انتخابی به شکل ترکیبی از توابع چندجمله ای مرتبه دو الی مرتبه پنج می ت
5
05
4
14
32
23
23
32
4
41
5
505
4
04
3
13
22
22
3
31
4
404
3
03
2
12
2
21
3
303
2
0211
2
202
),(
),(
),(
),(
yAxyAyxAyxAyxAxAyx
yAxyAyxAyxAxAyx
yAxyAyxAxAyx
yAxyAxAyx
هایی از جمع با استفاده از خواص و صورت شرایط مرزی، ترم های مربوطه به تابع تنش حذف شده و تابع تنش ن.توابع فوق بدست خواهد آمد
127
خمش تیر یک سر گیردار تحت بار گسترده(: 3)مثال
2
2
xyy
نش قائم لذا ت. تنش قائم در پایین تیر صفر و در بالای تیر فشاری است•.خواهد بودxبه بالای 2و مستقل از توان های yتابعی فرد از
2
2
yxx
yعی فردی از به دلیل رفتار خمشی تیر، تنش طولی در ارتفاع تغییرعلامت خواهد داشت و تاب•
.استxاز 2همچنین لنگر خمشی تابع درجه ( yتوان فرد متغیر . )خواهد بود
.با توجه به موارد فوق ترم های ذیل از توابع تنش ایری منتخب حذف می شوند
5
05
32
23
3
03
2
21
2
20
5
05
4
14
32
23
23
32
4
41
5
505
4
04
3
13
22
22
3
31
4
404
3
03
2
12
2
21
3
303
2
0211
2
202
),(
),(
),(
),(
),(
yAyxAyAyxAxAyx
yAxyAyxAyxAyxAxAyx
yAxyAyxAyxAxAyx
yAxyAyxAxAyx
yAxyAxAyx
yxxy
2
xتنش برشی دارای تغییرات خطی در امتداد •
128
خمش تیر یک سر گیردار تحت بار گسترده(: 3)مثال
.تابع تنش ایری پاسخ معادله حاکم بوده و بایستی صدق کند
501202402 23
0505234
4
22
4
4
4 AAyAyA
yyxx
.لذا صورت تابع تنش اصلاح شده و مؤلفه های تنش نیز به صورت ذیل محاسبه می شوند
2
2321
3
232120
32
2303
52332
23
3
03
2
21
2
20
62
222
)3
2(66
5),(
xyAxA
yAyAA
yyxAyA
yA
yxAyAyxAxAyx
xy
yy
xx
:با اعمال شرایط مرزی مربوط به تنش قائم و برشی در سطوح بالا و پایین تیر خواهیم داشت
3232120
2
2321
3
232120
3
232120
8,
8
3,
4062),(
0222),(
222),(
c
wA
c
wA
wA
xcAxAcx
cAcAAcx
wcAcAAcx
xy
yy
yy
129
خمش تیر یک سر گیردار تحت بار گسترده(: 3)مثال
.برآیند لنگر انتگرال تنش طولی در محل تکیه گاه برابر با لنگر عکس العمل تکیه گاهی است
c
wA
wlwlwccA
wlydyyl
yylc
wyAyl
c
cxx
xx
202254
2),(
)3
2(
4
36),(
03
2223
03
2
32
303
.رضا می شودبرآیند تنش برشی در محل تکیه گاه برابر با برش عکس العمل تکیه گاهی است که خود به خود ا
wlwlwldyylycc
wlyl
c
cxyxy
),()(
4
3),( 22
3
. ه هر دو صفر هستندبرآیند تنش طولی و تنش برشی در ابتدای تیر برابر با لنگر خمشی و نیروی برشی است ک.لذا توزیع تنش بدست آمده ذیل صحیح است. این دو شرط نیز خود به خود ارضا می شوند
)(4
3,
3
2
34
3,
3
2)
5
2(
4
3 22
3
323
3
322
3ycx
c
wcyc
y
c
wycxy
c
wxyyyxx
130
خمش تیر یک سر گیردار تحت بار گسترده(: 3)مثال
(:عرض تیر واحد است)مقایسه توزیع تنش طولی حاصل از حل الاستیسیته و حل مقاومت مصالح
yc
wly
I
Mxx 3
2
4
3 (خط چین)حل مقاومت مصالح
(منحنی ممتد)حل تئوری الاستیسیته
2
2
2
2
3
2
3
2
5
21
4
3
l
y
l
cy
c
wlxx
2
3
3
4
wl
cxx
c
y1
c
l
131
خمش تیر دوسر ساده تحت بار گسترده(: 4)مثال
wldyyl
ydyyl
dyyl
cx
wcx
cx
c
cxy
c
cxx
c
cxx
xy
yy
yy
),(
0),(
0),(
,
0),(
),(
0),(
(مراتب دوم، سوم و پنجم)انتخاب تابع تنش ایری اولیه به صورت چندجمله ای ترکیبی
رضا می کنند ترم های با توان دو و سه به دلیل صفر شدن با چهار بار مشتق گیری به طور خودکار معادله حاکم را ا.و ترم های با توان پنج نیز طوری تنظیم شده اند که معادله حاکم برقرار باشد
:طبق روابط مقاومت مصالح
(yاز ، تابع درجه دو به بالا xتابع درجه دو از )تنش خمشی
(y، تابع درجه دو از xتابع خطی از )تنش برشی
52332
23
3
03
2
21
2
205
yA
yxAyAyxAxA
2
2321
3
232120
32
2303
62
222
)3
2(66
xyAxA
yAyAA
yyxAyA
xy
yy
xx
132
خمش تیر دوسر ساده تحت بار گسترده(: 4)مثال
3232120
2
2321
3
232120
3
232120
8,
8
3,
4062),(
222),(
0222),(
c
wA
c
wA
wA
xcAxAcx
wcAcAAcx
cAcAAcx
xy
yy
yy
2
3
3
3
32
32
2
4
3
4
3,
44
3
2,)
3
2(
4
3)
5
2(
4
3xy
c
wx
c
wy
c
wy
c
wwyyx
c
wy
c
l
c
wxyyyxx
:با اعمال سه شرط اول مرزی نیرویی خواهیم داشت
)5
2(
8)
5
2(
80),(
)3
2(
4
36
2
222
303
32
303
c
l
c
wcl
c
wAydyyl
yyxc
wyA
c
cxx
xx
:شرایط چهارم و ششم مرزی نیرویی خودبه خود ارضا شده و صرفاً شرط مرزی پنجم نوشته می شود
:لذا توزیع تنش برابر خواهد بود با
133
)(4
3)(
2
0
)(4
3)(
2
3
2
12
8
22
3
22
22
3
22
33
ycxc
wycx
I
w
It
VQ
yxlc
wyxl
I
wy
I
M
ccI
xy
yy
xx
(اویلر-تیر برنولی )حل مقاومت مصالح
Euler-Bernoulli Beam Theory
خمش تیر دوسر ساده تحت بار گسترده(: 4)مثال
لی در مقابل و. با مقایسه روابط می توان به یکی بودن تنش برشی حل الاستیسیته و مقاومت مصالح رسیدطی است در توزیع تنش طولی حاصل از الاستیسیته در ارتفاع مقطع غیرخ. تنش های محوری متفادت هستند
غییراتی همچنین تنش محوری قائم غیرصفر بوده و ت. صورتی که در حل مقاومت مصالح خطی فرض می شود.غیرخطی در ارتفاع مقطع دارد که در مقاومت مصالح صرف نظر شده است
(:عرض تیر واحد است)مقایسه توزیع تنش حاصل از حل الاستیسیته و حل مقاومت مصالح
134
خمش تیر دوسر ساده تحت بار گسترده(: 4)مثال
تیردر ارتفاع برای نسبت های طول به ارتفاعσxxتوزیع تنش
w
cxx
3
4 3
c
y
135
خمش تیر دوسر ساده تحت بار گسترده(: 4)مثال
2
3
32
32
23
3
3
3
32
32
2
4
3
4
3)1(2
)3
2(
4
3)
5
2(
4
3
44
3
2
1)(
1
44
3
2)
3
2(
4
3)
5
2(
4
31)(
1
xyc
wx
c
w
EGx
v
y
u
yyxc
wy
c
l
c
wy
c
wy
c
ww
EEy
v
yc
wy
c
wwyyx
c
wy
c
l
c
w
EEx
u
xy
xy
xxyyyy
yyxxxx
:جهت محاسبه میدان تغییرشکل ابتدا مؤلفه های کرنش مطابق ذیل محاسبه می شوند
:سپس از این معادلات نسبت به متغیر مربوطه انتگرال گرفته می شود
)()56
(2
)()3
2
212(
4
3),(
)()3
2
3()
5
2
3
2()
3(
4
3),(
2242223
224
3
323
233
2
3
xgycyy
xlycycy
Ec
wyxv
yfcycy
xycyxyx
xlEc
wyxu
136
خمش تیر دوسر ساده تحت بار گسترده(: 4)مثال
.صفر می شودuبا اعمال شرط مرزی ابتدای تیر مقدار ثابت تغییرشکل E
wlyflu
2)(0)0,(
)()()5
22(
34
3
)(4
3)1(2
222223
2
3
22
3
xgxycyxcyxx
xlEc
w
x
v
y
u
ycxc
w
EGx
v
y
u xy
.قابل تعیین استg(x)مقدار ثابت vو uبا استفاده از رابطه کرنشی برشی و مشتق گیری از تغییرشکل های
:خواهد بودg(x)از تساوی دو رابطه فوق، ساده سازی، انتگرال گیری و اعمال شرط مرزی تابع
2
2
3
4
2224
3
)25
4(
5
121
48
150)0,(
)5
8(
2124
3)(
l
c
Ec
wlClv
Cclxx
Ec
wxg
137
(حل الاستیسیته)خیز وسط دهانه
رشی تیر بیان با مقایسه روابط فوق، ضریب داخل براکت میزان اصلاح خیز ناشی از خمش را در اثر تغییرشکل بیی که نسبت طول و برای تیرها. برنولی از تغییرشکل برشی تیر صرف نظر می شود-در تئوری تیر اویلر . می کند
.داردبرنولی دقت لازم را-ارتفاع بزرگی دارند مقدار اختلاف خیز از دو روش کم بوده و فرض تیر اویلر
خمش تیر دوسر ساده تحت بار گسترده(: 4)مثال
(:عرض تیر واحد است)مقایسه تغییرشکل حاصل از حل الاستیسیته و حل مقاومت مصالح
2
2
3
4
)25
4(
5
121
48
15)0,0(
l
c
Ec
wlv
3
4
max48
15
Ec
wlv (حل مقاومت مصالح)خیز وسط دهانه
)
3
2
3()
5
2
3
2()
3(
4
3),( 32
323
32
3cyc
yxycyxy
xxl
Ec
wyxu
ع بعد از تغییرشکل با توجه به رابطه تغییرشکل طولی تیر می توان دریافت که فرض مسطح باقی ماندن سطح مقط.نادرست بوده و حل الاستیسیته به مراتب دقیق تر از حل مقاومت مصالح است
138
مسائل مختصات قطبیفصل هفتم
139
(مختصات قطبی)تغییرمکان -روابط کرنش 140
eeu
ee
ee
ee
eee
eee
ˆˆ
0ˆˆ
ˆˆ
,ˆˆ
cossinˆ
sincosˆ
21
21
uu
rr
rr
r
rr
r
بردارهای یکه
تغییرمکان-روابط کرنش
11
)()1()()()()(
),(
),(
222222
dr
BA
AB
ABBA
r
u
dr
BA
r
u
r
u
dr
BAdr
r
udr
r
udrBA
drr
uudr
r
uuB
uuA
rrr
rr
rr
r
r
urrr
141
(مختصات قطبی)تغییرمکان -روابط کرنش
(ادامه)تغییرمکان –روابط کرنش
1
1
)(
)()(
),(
),(
)(
22
2
22
2
rd
DA
AD
ADDA
r
u
r
u
r
u
r
ur
rd
DA
r
u
r
ur
r
u
rd
DA
rdr
udurrd
r
uDA
rdr
uurd
r
uuD
uuA
durHA
rdAD
rr
r
r
rr
r
r
uu
rr
1
142
(مختصات قطبی)تغییرمکان -روابط کرنش
(ادامه)تغییرمکان –روابط کرنش
IAIIABHADIABHAD
r
uIAI
r
uHAD
r
uIAB
rr
r
2
.موازی استABبا خط 'A'Iخط .متقاطع در مرکز استABبا خط A'Iخط
r
u
r
u
r
urrr
2
143
(مختصات قطبی)کرنش -تنش روابط
کرنش-روابط تنش
.وردچون ماده ایزوتروپ است لذا دوران مختصات تغییری در رابطه تنش و کرنش در مختصات قطبی بوجود نمی آ
0
0
)()(
2)(
2)(
rz
z
rr
rrrrzz
rr
rrrrrr
کرنش مسطحه
0
0
0
)1(2
)(1
)(
)(1
)(1
zz
rz
z
rr
rrrrzz
rr
rrrr
E
E
E
E
تنش مسطحه
144
(مختصات قطبی)تعادل تنش روابط
روابط تعادل تنش
0
0.1)2
cos(,2
)2
sin(
0)2
cos()(
)2
sin()())((
0
drrdfdrddrdrdrdr
drd
ddd
drrdfd
drdrd
ddrddrrdddrrdr
r
F
rrrr
rr
rrr
r
rrrr
rr
r
.از توان های بالاتر مشتقات صرفنظر می شود
0)(11
rrr
rrr frrr
02
1
f
rrr
rr
145
قطبیدستگاه مختصات ترکیب روابط حاکم در
2
2
22
2
2
22
2
2
2
2
2
2
2
22
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
22
2
2
2
2
22
2
22
2
22
2
2
2
2
2
2
1
222
cossin2cos2coscossin
cossin
cos2sin2sinsin
cos
sin2sin2sincos
sin
)(2)(
cos
sin
sin
cos
tan
rrrrrrryx
rrrrrrry
rrrrrrrx
xxxx
r
rrx
r
x
r
rx
xx
r
rx
rr
x
y
rr
y
x
r
y
y
r
r
x
x
r
x
y
yxr
146
ترکیب روابط حاکم در دستگاه مختصات قطبی
Beltrami-Michellرابطه
2
2
22
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2224
11
))((
rrrryx
yxyx
)11
)(11
(2
2
22
2
2
2
22
2224
rrrrrrrr
نش روابط تبدیل تین مختصات کارتزیگرو قطبی به یکد
2
)(
2coscossin)(
2sinsincos
2sinsincos
max
22
22
rr
xyxxyyr
xyxxyy
xyyyxxrr
ϕنش مؤلفه های تنش قطبی برحسب تابع ت
rrrrrrrrrr
2
22
2
2
2
2
11,,
11
yxxyxyyyxx
2
2
2
2
2
,,
22
max
22
22
)2
(
2coscossin)(
2coscossin
2cossincos
xy
yyxx
rrrxy
rrryy
rrrxx
147
(سیستم قطبی)حاکم حل معادله دیفرانسیل
براساس ریشه های معادله مشخصه تعیین bبرای تابع تنش که پارامتر ϕ(r,θ)=f(r)ebθدر صورت انتخاب فرم تفکیک پذیر.حاصل می گرددfبا جایگذاری فرم فوق در معادله دیفرانسیل نتیجه ذیل برای تابع . می شود
dr
dff
r
bbf
r
bf
r
bf
rf
,0
)4(212124
22
3
2
2
2)4(
.و اعمال آن در معادله فوق نتیجه می دهدr=eξبا تبدیل
d
dffbbfbfbff ,0)4(4)24(4 2222)4(
.خواهد بودصورت ذیل به (Michellحل )طبق ریشه های معادله مشخصه فوق، پاسخ تابع تنش معادله اصلی
2
2
43
2
21
2
2
43
2
21
1615
3
1413
12111615
3
1413
1211
2
7
2
654
2
3
2
210
sin)(cos)(
sin)lnln(cos)lnln(
)lnln(lnln
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n nrbrbrbrbnrararara
rrbrbrbr
brrbrbrrarara
r
arrara
rrararaarrararaa
148
حل مسائل مختصات قطبی
ان سعی و خطا در ویژگی استفاده از مختصات قطبی پیدا کردن حل صریح برای مسئله الاستیسیته است که امکا در بیان شرایط همچنین فرم متناوب پاسخ استفاده از روش سری های فوریه ر. انتخاب تابع تنش را از بین می برد.مرزی و حل مسئله آسان می سازد
(axisymmetric)مسائل متقارن محوری
ثابت است که منجر به θمتغیر بوده و در امتداد rدر این نوع مسائل بارگذاری و تمامی شرایط مرزی در امتداد .لذا تابع تنش مسائل متقارن محوری به صورت ذیل ساده می شود. می گرددθاستقلال پاسخ از متغیر
0.0
)ln23(2
)ln21(21
lnln
322
1
2
2
322
1
2
3
2
210
r
rr
raar
a
r
raar
a
rr
rrararaa
CrBAaE
ru
BA
rararraarE
ur
sincos4
cossin
)1(2)1(ln)1(2)1(1
3
2331
149
استوانه تحت فشار داخلی و خارجی-( 1)مثال
22322
2
122
11322
1
111
322
1
)ln21(2
)ln21(2
)ln21(2
praar
aprr
praar
aprr
raar
a
rr
rr
rr
دلیل این . از آنجائی که دو شرط مرزی و سه مجهول در معادلات تنش وجود دارد یک مجهول باقی می ماند. اده استپدیده ناکافی بودن معادلات سازگاری سن ونان جهت رسیدن به جواب یکتا برای اجسام همبند غیرس
.لذا بایستی از شرایط مرزی تغییرمکانی نیز بهره گرفت
CrBAaE
ru
sincos
43
.خواهد بودθمستقل از متغیر uθچون جسم متقارن محوری است لذا تغییرشکل 03 a
150
استوانه تحت فشار داخلی و خارجی-( 1)مثال
)()(1
)()(1
)(2
)(
2
2
2
1
2
2
2
2
21
2
1
2
1
2
2
2
2
2
112
2
2
1
2
2
2
2
21
2
1
2
1
2
2
2
2
2
112
2
2
1
2
2
2
2
21
2
12
2
1
2
2
2
2
2
1121
222
2
1
122
1
1
rr
prpr
rr
rrpp
r
rr
prpr
rr
rrpp
r
rr
prpra
rr
rrppa
par
a
par
a
rr
Cru
rrr
prpr
rr
rrpp
rEu
BActeu
r
r
)1()(
)()1(1
0)(
2
1
2
2
2
2
21
2
1
2
1
2
2
2
2
2
1121p
rr
1p
2,21
2
1
2 r
r
p
p
1r
r
151
فشار داخلیبی نهایت سوارخ دار تحت صفحه -( 2)مثال
2
2
11
2
2
11
2
1
2 0.0
r
rp
r
rp
r
pp
prr
ستوانه تحت فشار در صورتی که فشار وارده خارجی صفر بوده و شعاع بیرونی نیز به سمت بی نهایت میل کند آنگاه مسئله ا.تحل این مسئله نیز به شکل ذیل اس. می شودسوارخ تحت فشار در محیط بی نهایت داخلی و خارجی تبدیل به
r
rp
Eur
2
11)1(
زاویه ای به دلیل صفر بودن تنش در بی نهایت، تنش های شعاعی و.ئله استدر بی نهایت به سمت صفر میل می کنند که مطابق با مس
ر دوردست به تغییرشکل شعاعی نیز به دلیل صفر بودن تنش نیز دل با مشتق ولی به دلیل ارتباط تغییرشک. سمت صفر میل می کند
.کرنش، سرعت میل تغییرشکل کمتر از تنش است
p
rr
p
1r
r
152
ایتصفحه بی نهایت سوارخ دار تحت کشش دو محوره در بی نه-( 3)مثال
)1(
)1(
0
2
2
1
2
2
1
2
1
2
r
rT
r
rT
r
p
Tprr
فر بوده و این مسئله صورت خاصی از استوانه تحت فشار داخلی و خارجی است، فقط با این تفارت که فشار داخلی ص.در این حالت توزیع تنش های شعاعی و زاویه ای به صورت ذیل خواهد بود. استTتنش در بی نهایت کششی و برابر با
p
rr
p
1r
r
برابر تنش 2تنش حداکثر در مجاورت سوراخ بوده و برابر با ثر به که نسبت حداکتمرکز تنشلذا ضریب . استTدوردست
.است2تنش وارده است برای این مسئله برابر با
Trr
21
max
2max T
K
153
صفحه بی نهایت سوارخ دار تحت کشش تک محوره-( 4)مثال
شرایط مرزی . بستگی خواهد داشتθاین مسئله برخلاف حالات قبل به صورت متقارن محوری نبوده و تابع تنش به زاویه :استفاده از تبدیل مختصات کارتزین به مختصات قطبی به صورت ذیل خواهد بودحاکم بر مسئله با
2sin2
),(
)2cos1(2
),(
)2cos1(2
),(
cossincossin),(
sinsin),(
coscos),(
0),(,0),(
22
22
T
T
T
T
T
T
aa
r
rr
xxr
xx
xxrr
rrr
:ل استاگر فرض شود که هیچ سوراخی در محیط نباشد آنگاه حل مسئله به صورت ذی
)2cos1(4
)sin(22
0,0,
222
rT
rT
yT
T xyyyxx
.ودلذا حل متقارن محوری با حل نامتقارن ترکیب می ش. با دور شدن از سوراخ تنش به حالت یکنواخت میل می کند
154
صفحه بی نهایت سوارخ دار تحت کشش تک محوره-( 4)مثال
2cos)(lnln 24
2
23
4
22
2
21
2
3
2
210 ararararrararaa
2sin)26
62(
2cos)6
122(2)ln23(
2cos)46
2(2)ln21(
2
24
4
232
2221
4
234
22212
123
2
24
4
23212
123
r
a
r
araa
r
araa
r
aara
r
a
r
aa
r
aara
r
rr
:لذا تابع تنش مسئله به صورت ذیل قابل انتخاب است
.صفر باشندa22و a3از آنجائی که تنش ها در بی نهایت صفر می شوند بایستی ضرائب
.پنج شرط مرزی مسئله مطابق روابط ذیل اعمال می شوند
22
22
026
2
,046
2
02
2
21
2
24
4
2321
2
24
4
2321
2
12
Ta
Ta
a
a
a
aa
a
a
a
aa
a
aa
2,
4,
4,
4,
2
2
24
4
23212
2
1
Taa
Taa
Ta
Ta
Taa
155
صفحه بی نهایت سوارخ دار تحت کشش تک محوره-( 4)مثال
2sin)23
1(2
2cos)3
1(2
)1(2
2cos)43
1(2
)1(2
2
2
4
4
4
4
2
2
2
2
4
4
2
2
r
a
r
aT
r
aT
r
aT
r
a
r
aT
r
aT
r
rr
:ازدر نهایت مؤلفه های قطبی تنش عبارت خواهند بود
T
42 )(
2
3)(
2
11
2 r
a
r
aTxx
.در روابط فوق بدست می آیدθ=π/2در صفحه با جایگذاری σxxتوزیع تنش
3.است3برای تنش های طولی برابر با تمرکز تنشضریب max
T
K xx
156
صفحه بی نهایت سوارخ دار تحت برش خالص-( 5)مثال
حاصل می شود که زاویه yو بارگذاری فشاری در امتداد xاین حالت بارگذاری از جمع آثار بارگذاری کششی در امتداد .درجه دوران یافته است45به اندازه rامتداد محور
با بارگذاری برشیدرجه دوران45
بارگذاری دومحوره کششی و فشاری
بارگذاری کششی(1)در طول
بارگذاری فشاری(2)در عرض
ندازه در نهایت پاسخ بدست آمده به ا. محاسبه شده و سپس با هم ترکیب می شود( 2)و ( 1)توزیع تنش برای هر دو حالت . درجه دوران می یابد45
157
صفحه بی نهایت سوارخ دار تحت برش خالص-( 5)مثال
حل حالت کشش در امتداد طول-( 1)
2sin)23
1(2
,2cos)3
1(2
)1(2
,2cos)43
1(2
)1(2 2
2
4
4)1(
4
4
2
2)1(
2
2
4
4
2
2)1(
r
a
r
aT
r
aT
r
aT
r
a
r
aT
r
aTrrr
حل حالت فشار در امتداد عرض-( 2)
)2
(2sin)23
1(2
,)2
(2cos)3
1(2
)1(2
)2
(2cos)43
1(2
)1(2
2
2
4
4)2(
4
4
2
2)2(
2
2
4
4
2
2)2(
r
a
r
aT
r
aT
r
aT
r
a
r
aT
r
aT
r
rr
(:کشش و فشار دو محوره)برابر است با ( 2)و ( 1)ترکیب حالات
2sin)23
1(,2cos)3
1(
2cos)43
1(
2
2
4
4)2()1(
4
4)2()1(
2
2
4
4)2()1(
r
a
r
aT
r
aT
r
a
r
aT
r
rr
(:برش خالص)درجه دوران می یابد 45در نهایت زاویه
2cos)23
1(,2sin)3
1(
2sin)43
1(
2
2
4
4
4
4
2
2
4
4
r
a
r
aT
r
aT
r
a
r
aT
r
rr
158
(مسائل نیم صفحه)حل مسائل محیط های نیمه بی نهایت
درجه محدود است به مسائل محیط نیمه 180مسائلی که محیط سازه به دو مرز به زاویه های صفر و نش در خاک از جمله این مسائل به توزیع ت. یا مسائل نیم صفحه معروف هستند( نظیر خاک)بی نهایت
.تحت نیروهای متمرکز و گسترده سطحی اشاره کرد
نکته مورد توجه در این نوع مسائل تعادل تنش ها در مرز سطحبا نیروی متمرکز و یا گسترده وارده در محل مبدا Cنیم دایره
نش ها با لذا با دورترشدن از محل اثر نیرو، ت. مختصات قطبی است.کاهش می یابندr/1نسبت
159
محیط نیمه بی نهایت تحت اثر بار متمرکز-( 1)مثال
رابطه r/1متناسب با شعاع آن است لذا این تنش ها با نسبت Cبا توجه به اینکه تنش های داخلی روی سطح .آیدبایستی صفر باشند تا چنین توزیع تنشی بدستa16و a14و a13و a11بنابراین ترم های . خواهد داشت
cossin1
sincos1
sin)2(cos)2(1
1212
1212
15121512
bar
bar
abbar
r
rr
sin)ln(cos)ln(
sin)lnln(cos)lnln(
15121512
1615
3
1413
12111615
3
1413
1211
rbrrbrarra
rrbrbrbr
brrbrbrrarara
r
arrara
0
0
0
0
0.0),()0,(
0.0),()0,(
12
12
rrr b
a
rr
rr
.به دلیل صفر شدن تنش های برشی زاویه ای، به این نوع توزیع تنش شعاعی نیز گرفته می شود
160
محیط نیمه بی نهایت تحت اثر بار متمرکز-( 1)مثال
.باقی ثوابت تابع تنش براساس تعادل نیروهای خارجی با تنش های داخلی بدست می آید
Xb
Ya
aYrdrY
bXrdrX
rr
rr
15
15
150
150
00sin),(
00cos),(
0.0,sincos2
rrr YXr
:ودبوده و فقط نیروی متمرکز قائم در نظر گرفته شود آنگاه توزیع تنش خواهد بX=0اگر : حالت خاص
222
2
222
32
222
22
)(
2cossin
)(
2sin
)(
2cos
0.0
0.0
sin2
yx
xYy
yx
Yy
yx
yYx
r
Y
rrxy
rryy
rrxx
r
rr
sin
2
r
Yrr
161
محیط نیمه بی نهایت تحت اثر بار متمرکز-( 1)مثال
222
2
)(
2
yx
yYxxx
222
3
)(
2
yx
Yyyy
222
2
)(
2
yx
xYyxy
یتوزیع تنش افق متوزیع تنش قائ یتوزیع تنش برش
162
محیط نیمه بی نهایت تحت اثر بار متمرکز-( 1)مثال
.حال با فرض وضعیت تنش مسطحه در محیط روابط تغییرشکل محیط استخراج می گردد
0.0111
sin2
)(11
sin2
)(1
2
2
rr
rrr
rrr
rr
rrr
rE
Y
E
u
rr
u
rE
Y
Er
u
cos2
)1()()()()(0.0
)()(cos)ln(2
)(sinln2
sin2
)(sinln2
E
Ydffrgrrg
r
u
r
u
r
u
rgdfrE
Yufr
E
Y
E
Yu
frE
Yu
r
r
163
محیط نیمه بی نهایت تحت اثر بار متمرکز-( 1)مثال
cossincos)1()(cos2
)1()()(
)()()(
BAE
YfK
E
Ydff
KCrrgKrgrrg
.ی آیدبا جمع بندی معادلات بدست آمده، میدان تغییرشکل محیط نیمه بی نهایت به صورت ذیل بدست م
KCrBAE
Yr
E
Y
E
Yu
BArE
Y
E
Yur
sincoscos)1(
cosln2
sin)1(
cossinsinln2
cos)1(
صل با اعمال شرایط مرزی ثوابت عبارت فوق حا.می شوند
ییرشکل نکته قابل توجه غیرواقعی بودن میدان تغودن در بی نهایت است که ناشی از لگاریتمی ب
. فرم توابع می باشد
E
YBKCAru
2
)1(,00)
2,(
cos)1(cosln2sin)2
)(1(
sinln2cos)2
)(1(
rE
Yu
rE
Yur
164
محیط نیمه بی نهایت تحت اثر بار گسترده-( 2)مثال
به منظور حل . بررسی می گرددa<x<a–حال وضعیت تنش در محیط نیمه بی نهایت بارگذاری شده در طول پاسخ حاصله را این مسئله می توان از گسسته سازی بار گسترده به بی نهایت بار متمرکز بهره گرفت و در نهایت
.به روش جمع آثار ترکیب کرد
cossin2
cossin
sin2
sin
cossin2
cos
2
32
22
r
Y
r
Y
r
Y
rrxy
rryy
rrxx
cossin2
sin2
cos2
sin
sin)2
cos( 2
2
pd
pd
pd
prdpdxdY
rddxdx
pdxdY
xy
yy
xx
165
محیط نیمه بی نهایت تحت اثر بار گسترده-( 2)مثال محیط نیمه بی نهایت تحت اثر بار گسترده-( 2)مثال
.با انتگرال گیری از روابط دیفرانسیلی مقادیر تنش های داخلی مطابق ذیل محاسبه می شوند
12
1212
1212
2
2
2cos2cos2
)2sin2(sin)(22
)2sin2(sin)(22
cossin2
sin2
cos2
2
1
2
1
2
1
p
p
p
dp
dp
dp
xy
yy
xx
xy
yy
xx
-10-50510
0
2
4
6
8
10
-10-50510
0
2
4
6
8
10
-10-50510
0
2
4
6
8
10
yyxx xy
166
(کشش غیرمستقیم برزیلی)دیسک تحت فشار قطری -( 3)مثال
نده از جمله با استفاده از نتایج بدست آمده می توان به حل مسئله ای پرداخت که در آزمایش مصالح ترد و شکنبه صورت در این آزمایش دو بار متمرکز در طرفین قطر استوانه ای. بتن، سنگ، آسفالت و سرامیک کاربرد دارد
.ددر نتیجه قطر بارگذاری شده در جهت عمودی خود تحت اثر کشش قرار می گیر. فشاری وارد شده است. شودحل این مسئله با استفاده از اصل جمع آثار صورت گرفته و سه حالت بارگذاری در نظر گرفته می
ت محیط نیمه بی نهای( 1)زاز بالا تحت بار متمرک
ت محیط نیمه بی نهای( 2)مرکزاز پایین تحت بار مت
ش دیسک تحت کش( 3)یکنواخت شعاعی
167
(کشش غیرمستقیم برزیلی)دیسک تحت فشار قطری -( 3)مثال
با . فاده می شودمطابق شکل ذیل برای دیسک است( از بالا و پایین)برای حل این مسئله از مختصات جدید دوگانه :معادلات ذیل برقرار است( 2)و ( 1)استفاده از نتایج بدست آمده برای حالات
22
2
2
)2(
2
3
2
)2(
2
2
2
2
)2(
11
2
1
)1(
1
3
1
)1(
1
2
1
1
)1(
sincos2
cos2
sincos2
,
sincos2
cos2
sincos2
r
P
r
P
r
P
r
P
r
P
r
P
xy
yy
xx
xy
yy
xx
2
2
)2(
1
1
)1(
2
2
1
1
12
cos2
cos2
1sinsin
2
r
P
r
P
Drr rr
rr
168
(کشش غیرمستقیم برزیلی)دیسک تحت فشار قطری -( 3)مثال
Dر حاصل از ترکیب دو نیرو باعث ایجاد تنش شعاعی یکنواختی در محیط دایره ای به قطحل (: 3)حالت
.می شود که اندازه آن از رابطه ذیل بدست می آید
D
P
D
P
D
P
D
P
D
P
r
P
r
PT rrrr
2
)sin2
()cos2
()cos2
()cos2
(
)cos2
()cos2
()cos()cos(
2
1
2
1
2
2
2
1
2
2
2
2
2
1
2
1
2
2
)2(2
1
)1(
دایره است با توجه به اینکه این تنش به صورت یکنواخت و فشاری بر محیط.ی شودلذا جهت ایجاد حالت تنش نهایی دیسک این تنش از کل پاسخ کسر م
ت شعاعی بدیهی است که وضعیت تنش صفحه تحت کشش یکنواخ:در دو امتداد به شکل مقابل خواهد بود( 3حالت )
0.0,2
2
xyyy
xx
D
P
D
P
169
(کشش غیرمستقیم برزیلی)دیسک تحت فشار قطری -( 3)مثال
4
2
2
4
1
2
4
2
3
4
1
3
4
2
2
4
1
2
22
2
2
2
2
2
22
1
1
1
1
1
)2()2(2
1)2()2(2
1)2()2(2
)2(
2cos
sin
,
)2(
2cos
sin
r
xyD
r
xyDP
Dr
yD
r
yDP
Dr
xyD
r
xyDP
yDxr
r
yD
r
x
yDxr
r
yD
r
x
xy
yy
xx
:به صورت ذیل خواهد بود( 3)و ( 2)و ( 1)در نتیجه ترکیب معادلات حالات yyxx
xy
170
22
max )2
( xy
yyxx
(کشش غیرمستقیم برزیلی)دیسک تحت فشار قطری -( 3)مثال
(هفوتوالاستیسیت)مقایسه توزیع تنش های برشی تئوری الاستیسیته و نتایج آزمایشگاهی