استاتیک(مکانیک برداری برای مهندسان)

احسان کریمی

1392

تعادل جسم صلبفصل سوم

1392کریمی 2

مقدمه

جایی یا برای یک جسم صلب در تعادل استاتیکی، نیروها و گشتاورهای خارجی در تعادل بوده و باعث هیچ گونه جاب.دورانی در جسم نمی شوند

00 FrMF O

ی خارجی، شرط الزم و کافی برای تعادل استاتیکی یک جسم این است که نیرو و گشتاور برآیند ناشی از همه نیروها.یک سیستم تعادلی صفر را تشکیل دهند

معادله منجر می شود که به عنوان معادالت شرایط 6تجزیه هر کدام از نیروها و گشتاورها به مولفه های متعامد اش، به .تعادل استاتیکی به آنها اطالق می شود

000

000

zyx

zyx

MMM

FFF

دیاگرام آزاد

محدوده دیاگرام آزاد جسم را انتخاب کرده و آنرا از زمین و از همه قسمت های دیگر جدا -1.کنید

.نقطه اثر، بزرگی و جهت همه نیروهای خارجی از جمله وزن جسم را نشان دهید-2

.نقطه اثر و جهت فرضی نیروهای نامعلوم را نشان دهید-3این نیروها عموماً شامل نیروهای عکس العمل اجسام دیگر و زمین هستند که در خالف جهت

.حرکت احتمالی جسم قرار دارند

.ابعاد الزم برای محاسبه گشتاور نیروها را هم قرار دهید-4

ستم در حل مسائل مکانیک الزم است که نیروهای وارد بر جزء به جزء اجزای تشکیل دهنده سیه جزء برای این کار از دیاگرام آزاد که نمایشگر نیروهای وارد بر جزء ب. مکانیکی مشخص شوند

.اجزای تشکیل دهنده سیستم مکانیکی است استفاده می کنند

بعدیسازه های دو نیروهای عکس العملی در تکیه گاهها و اتصاالت برای

نیروهای عکس العملی معادل با یک نیرو با خط اثر معلوم

بعدیسازه های دو نیروهای عکس العملی در تکیه گاهها و اتصاالت برای

علومنیروهای عکس العملی معادل با یک نیرو با خط اثر و بزرگی نا م

علوم و نیروهای عکس العملی معادل با یک نیرو با خط اثر و بزرگی نا میک کوپل با بزرگی نامعلوم

تعادل یک جسم صلب در دو بعد

Ozyxz MMMMF 00

:برای همه نیروها و گشتاورهای موثر بر یک سازه دو بعدی داریم

000 Ayx MFF

:معادالت تعادل به صورت

.هر نقطه در صفحه سازه می تواند باشدAکه در آن

.مجهول می توان استفاده کرد3سه معادله را برای حداکثر

000 BAx MMF

.ن کرداما میتوان با آنها جایگزی. معادله دیگری را نمی توان به این سه معادله افزود

با . نیز معلومندSو P،Qنیروهای . ابعاد معلوم هستند. از وزن سازه صرف نظر کرده ایم.توجه به اینکه سازه را دو بعدی فرض کرده ایم، بنابراین سه معادله تعادل داریم

عکس العمل های نامعین استاتیکی

.ندمجهوالت بیشتر از معادالت هست .مجهوالت کمتر از معادالت هستند(نا پایدار)مقید ناقص

. دتعداد مجهوالت و معادالت برابر هستن.اما قید بندی سازه نا صحیح است

:مراحل حل مسالهمثال

کیلوگرم برای1000یک جرثقیل ثابت با وزن کیلوگرم 2400بلند کردن یک جعبه به وزن

.مورد استفاده قرار گرفته استو یک غلتک Aاین جرثقیل با یک پین در

مرکز ثقل . نگه داشته شده استBدر .قرار داردGجرثقیل در نقطه

را Bو Aمجموعه نیروهای عکس العملی در .تعیین کنید

.یک دیاگرام آزاد برای جرثقیل رسم کنید•توجه کنید که عکس العمل . را بدست آوریدBعکس العمل نقطع Aبا گشتاورگیری حول نقطه •

.هیچ شرکتی در این معادله ندارندAهای تکیه گاه از شرط جمع نیروها در دو راستای افقی و عمودی Aبرای تعیین عکس العمل های تکیه گاه •

.استفاده کنیدبایستی جمع گشتاور . کنترل کنیدBصحت مقادیر بدست آمده را با گشتاور گیری حول نقطه •

.برابر با صفر باشدBهمه نیروها حول

حل

0m6kN5.23

m2kN81.9m5.1:0

BM A

kN1.107B

0:0 BAF xx kN1.107xA

0kN5.23kN81.9:0 yy AF kN 3.33yA

:مراحل حل مسالهمثال

مسیریکرویبربارکشچرخیککلوزن.استگرفتهقرارشیبدار

کهباشدمی25kNمجموعاًباروچرخدرچرخاین.کندمیاثرGنقطهبر

ارقرکابلیکبوسیلهخودموقعیت.استگرفته

وکابلدرکششتعیینمطلوبست.هاچرخازجفتهرالعملعکس

شیبدار یک دیاگرام آزاد برای چرخ رسم کنید به شکلی که سیستم مختصات هم راستا با مسیر•.قرار گیرد

.یدبا گشتاور گیری نیروها حول نقاط باالی هر محور، نیروهای عکس العمل چرخ ها را حساب کن•.با جمع مولفه های نیروها در راستای موازی مسیر، نیروی کشش کابل را بدست آورید•ست آمده صحت مقادیر بد، (که باید برابر با صفر باشد)با جمع مولفه های نیروهای عمود بر مسیر •

.کنترل کنیدرا

حل

kN 0.51– 25sinkN 25

kN 65.2225coskN 25

y

x

W

W

0mm 1250

mm 150kN 65.22–mm625kN5.10–:0

2

R

M A

kN 82 R

0mm0125–

mm150kN 65.22–mm625kN 5.10:0

1

R

M B

kN 50.21 R

0–kN 65.22:0 TFx

kN 65.22T

:مراحل حل مسالهمثال

یکسقفازقسمتیشدهدادهنشانقابدرکشش.داردمینگهراکوچکساختمان

.است150kNکابلراEثابتانتهایدرالعملعکسنیروهای

.بیابیدحل

.یک دیاگرام آزاد برای قاب و کابل رسم کنید•.حل کنیدEسه معادله تعادل را برای مولفه های نیروی عکس العمل و کوپل در •

0kN1505.7

5.4:0 xx EF kN 0.90xE

0kN1505.7

6kN204:0 yy EF kN 200yE

:0EM

0m5.4kN1505.7

6

m8.1kN20m6.3kN20

m4.5kN20m7.2kN20

EM

mkN0.180 EM

تعادل اجسام دو نیرویی

بایدزیرشرطدواست،گرفتهقرار𝑭𝟐و𝑭𝟏نیرویدواثرتحتکهروبروشکلمانندجسمیکتعادلبرای:باشندبرقرار

𝐹 = 0 𝑀 = 0

نیرویاثراینکهبرای.نداردگشتاوردرتاثیریپسگذرد،میAاز𝑭𝟏نیروی:Aنقطهحولگیریگشتاور𝑭𝟐ازهمنیرواینراستایبایدشودصفرنیزAکندعبور.

.باشدمیAنقطههمانندشرایطنیزBنقطهحولگیریگشتاوردر

𝑴 :یعنیدورانیتعادلشرایطبرقراریبرای = 𝟎.باید دو نیرو در یک امتداد باشند

𝑭 :یعنیانتقالیتعادلشرایطبرقراریبرای = 𝟎 ⟶ 𝑭𝟏 + 𝑭𝟐 = 𝟎دو نیرو می بایست مساوی و مختلف الجهت باشند

.باشندبرای تعادل کامل جسم دو نیرویی دو نیرو باید مساوی، مختلف الجهت و در یک راستا: نتیجه

تعادل اجسام سه نیرویی

.کنیممیوصل𝑭𝟑اثرنقطهبهDاز.کنندقطعDنقطهدررایکدیگرتادهیممیامتدادرا𝑭𝟐و𝑭𝟏برداردو

𝑀𝐷 = 𝑟 × 𝐹3 = 0 تعادل دورانی

.سه نیرو میبایست متقارب باشند

𝐹 = 𝐹1 + 𝐹2 + 𝐹3 = 0 یانتقالتعادل

:برای تعادل کامل جسم سه نیرویی می بایست: نتیجه.سه نیرو متقارب بوده و همچنین شرط تعادل انتقالی نیز برقرار باشد

:مراحل حل مسالهمثالمتر4طولبهکیلوگرمی10تیرکیکمردی

.کندمیبلندطنابکشیدنبارا.بیابیدراAدرالعملعکسوطنابکشش

حل

که این . توجه کنید که تیرک یک جسم سه نیرویی است. یک دیاگرام آزاد برای تیرک رسم کنید•.بر جسم اثر می کنندAسه نیرو بوسیله طناب، وزن تیرک و عکس العمل نقطه

باید از محل Rبنابراین عکس العمل. بنا به شرط تعادل استاتیکی این سه نیرو باید متقارب باشند•را Rراستا و جهت نیروی عکس العمل. تقاطع راستای اثر دو نیروی طناب و وزن تیرک عبور کند

.بیابید.استفاده کنیدRاز مثلث نیروها برای تعیین بزرگی نیروی عکس العمل •

636.1414.1

313.2tan

m 2.313m 515.0828.2

m 515.020tanm 414.1)2045cot(

m 414.1

m828.245cosm445cos

21

AE

CE

BDBFCE

CDBD

AFAECD

ABAF

6.58

38.6sin

N 1.98

110sin4.31sin

RT

N 8.147

N9.81

R

T

مثالهمولفشکلدرشدهدادهنشانخرپایبرایراBوAهایگاهتکیهدرالعملعکسهای

.بیابید

حل

2𝑚2𝑘𝑁

2𝑘𝑁

1.5𝑚

1.5𝑚

𝐴 𝐵

2𝑚2𝑘𝑁

2𝑘𝑁

1.5𝑚

1.5𝑚

𝐴 𝐵

𝐴𝑦

𝐴𝑥

𝐵𝑦

𝐹𝑥 = 0 → 𝐴𝑥 + 2 + 2 = 0

𝐴𝑥 = −4𝑘𝑁

استجهتیمخالفآنجهتکهدهدمینشانمنفیعالمت.ایمکردهفرضماکه

𝑀𝐴 = 0 → 2𝐵𝑦 − 2 × 3 − 2 1.5 = 0

𝐵𝑦 = 4.5𝑘𝑁

𝐹𝑦 = 0 → 𝐴𝑦 + 𝐵𝑦 = 0 → 𝐴𝑦 = −𝐵𝑦

𝐴𝑦 = −4.5𝑘𝑁

.تندهسمعینالعملهایشعکساستاتیکیلحاظازساختاراین

مثالعکسشکلدرشدهدادهنشانتیربرای

.بیابیدراAگاهتکیههایالعمل

حل

𝐴 𝐵

2000𝑁

3000𝑁.𝑚

3𝑚 2𝑚

𝐴 𝐵

2000𝑁

3000𝑁.𝑚

3𝑚 2𝑚

𝐴𝑥

𝐴𝑦

𝑥

𝑦

𝐹𝑥 = 0 → 𝐴𝑥 = 0

𝐹𝑦 = 0 → 𝐴𝑦 − 2000 = 0 → 𝐴𝑦 = 2000𝑁

𝑀𝐴 = 0 → 2000 × 5 − 3000 + 𝑀 = 0 𝑀 = −7000𝑁.𝑚

تاسبودهنادرستبودیمکردهانتخابماکهاولیهجهتکهدهدمینشانمنفیعالمت(بودهبرعکس)

تعادل جسم صلب در سه بعد

00 FrMF O

000

000

zyx

zyx

MMM

FFF

:تبرای بیان شرایط تعادل یک جسم صلب در سه بعد در حالت کلی نیاز به شش معادله اس

مجهول که معموالً عکس العمل های تکیه گاهی یا نیروی اتصاالت 6این معادالت برای حداکثر .هستند، می توانند استفاده شوند

دست این معادالت اسکالر به راحتی با اعمال شکل برداری آنها برای شرایط تعادل می توانند ب.آیند

سازه های سه بعدینیروهای عکس العملی در تکیه گاهها و اتصاالت برای

:مراحل حل مسالهمثالوزن1200Nهمگنچگالیباتابلویکهکاسوگویاتصالیکبوسیلهودارد

شدهداشتهنگهکابلعدددووAدرای.است

Aدرالعملعکسوطنابهردرکشش.بیابیدرا

حل

. یک دیاگرام آزاد برای تابلو رسم کنید•.شرایط تعادل استاتیکی را اعمال کنید تا عکس العمل های نامعلوم بدست آیند•

دورانXمحورحولتواندمیتابلو.استناقصگذاریقیدوداردوجودتابلودرمجهولنیروی5تنها.باشدداشته

.استتعادلحالدرمساله،ایندرشدهدادهنشانهایبارگذاریباحالاینبااما

kjiT

kjiT

rr

rrTT

BD

BD

BD

BDBDBD

32

31

32

12

848

kjiT

kjiT

rr

rrTT

EC

EC

EC

ECECEC

72

73

76

7

236

0mN144077.08.0:

0514.06.1:

0N 1200m .21

0:

0N 1200:

0:

0N 1200

72

32

73

31

76

32

ECBD

ECBD

ECEBDBA

ECBDz

ECBDy

ECBDx

ECBD

TTk

TTj

jiTrTrM

TTAk

TTAj

TTAi

jTTAF

kjiA

TT ECBD

N 100.1N 448.9N 1502.1

N 1402N 6.450

:کنیممیحلمجهول5برایرامعادله5