1

BÀI 2: LỌC SỐ VÀ LÝ THUYẾT TỔNG HỢP LỌC SỐ

1.1. Tổng quan về lọc số

1.1.1. Khái niệm lọc số

Hoạt động chọn lọc tín hiệu (filtering) đóng vai trò hết sức quan trọng

trong lĩnh vực điện –điện tử. Các bộ lọc (filters) được sử dụng để chọn ra tín

hiệu mong muốn, hoặc chặn nhiễu từ hỗn hợp tín hiệu thu được, chúng có thể

được thực hiện trên miền thời gian hoặc miền tần số.

Trên miền tần số, mạch lọc có thể được chia thành các dạng sau:

Lọc thông thấp (Low Pass Filter -LPF): Bộ lọc thông thấp chỉ

cho qua tín hiệu ở vùng tần số thấp, không cho qua (chặn) tín

hiệu ở vùng tần số cao.

Lọc thông cao (High Pass Filter- HPF): Ngược lại với lọc thông

thấp, bộ lọc thông cao chỉ cho qua tín hiệu ở vùng tần số cao,

không cho qua (chặn) tín hiệu ở vùng tần số thấp.

Lọc thông dải (Band Pass Filter- BPF): Bộ lọc dạng này cho tín

hiệu đi qua ở một dải tần từ 1 20 0c c và gọi là dải thông

của mạch, bên ngoài dải này là dải chặn.

Lọc chặn dải (Band Stop Filter- BPF): Bộ lọc dạng này chặn tín

hiệu ở một dải tần từ 1 20 0c c , bên ngoài dải này là dải

thông.

Mạch lọc có thể thực hiện bằng mạch tương tự (analog) hoặc số (digital). So

với lọc tương tự, lọc số có rất nhiều ưu điểm như độ chính xác, tính ổn định,

tin cậy, kích thước nhỏ gọn, dễ dàng tích hợp và kết nối với các thành phần

khác của hệ thống. Thực hiện mạch lọc bằng con đường số cho phép thực

hiện các thuật toán lọc phức tạp và tinh thế như các mạch lọc thích nghi.

Cùng với sự phát triển của kỹ thuật vi điện tử, mạch lọc số ngày nay được ứng

dụng hết sức rộng rãi, hiện diện trên hầu hết các thiết bị điện- điện tử hiện đại.

Dải tần số mà bộ lọc cho tín hiệu đi qua gọi là dải thông, còn dải tần số

mà bộ lọc không cho tín hiệu đi qua gọi là dải chặn. Tần số phân cách giữa

dải thông và dải chặn gọi là tần số cắt và ký hiệu là c . Theo dạng của đặc

tính biên độ tần số )( ieH người ta chia bộ lọc số thành các loại sau:

- Bộ lọc thông thấp có dải thông (0, c ).

- Bộ lọc thông cao có dải thông ( c , ).

- Bộ lọc dải thông có dải thông ( 1 , 2 ).

- Bộ lọc chặn dải có dải thông (0, 1c ), ( 2c , ).

1.1.2. Phân loại lọc số theo dải thông

2

1.1.2.1. Bộ lọc số thông thấp lý tưởng

Định nghĩa: Đáp ứng biên độ của bộ lọc số thông thấp lý tưởng được

định nghĩa như sau:

(1.1)

Hình 1.1. Đặc tính biên độ của bộ lọc số thông thấp lý

tưởng

- Đáp ứng xung bộ lọc như sau:

h(n) =2

1

H(e j )e nj d =2

1

dec

c

ni

=jn2

1(e nj c -

e nj c )= nn

c

sin1

(1.2)

1.1.2.2. Bộ lọc số thông cao lý tưởng

Định nghĩa: Đáp ứng biên độ của bộ lọc số thông cao lý tưởng được

định nghĩa như sau:

)( ieH = (

1.3)

Đáp ứng xung h(n) tính như sau:

h(n) =2

1

H(e j )e nj d =2

1

de nj

- 2

1

dec

c

nj

=n

n

sin-

n

n

c

cc

sin = )(n

n

n

c

cc

sin

(1.4)

3

1.1.2.3. Bộ lọc thông dải lý tưởng

Định nghĩa: Đáp ứng biên độ của bộ lọc số thông dải lý tưởng được

định nghĩa như sau:

với

(1.5)

Đáp ứng biên độ của mạch lọc thông dải có dạng như sau:

Đáp ứng xung được tính như sau:

h(n) =2

1

H(e j )e nj d =2

1

dec

c

nj

2

2

-2

1

dec

c

nj

1

1

(1.6)

-ωc1 ωc1 ω

H(ejω) 1

0

Hình1.3. Đặc tính biên độ của bộ lọc số thông dải lý

tưởng

-ωc2 ωc2

H(ejω)

-ωc ωc

1

ω 0

Hình1.2. Đặc tính biên độ của bộ lọc số thông cao lý tưởng

4

=

2c

n

n

c

c

2

2sin

-

1c

n

n

c

c

1

1sin

1.1.2.4. Bộ lọc chắn dải lý tưởng

Định nghĩa:

Đáp ứng biên độ của bộ lọc số chắn dải lý tưởng được định nghĩa như

sau:

(1.7)

Đáp ứng xung được tính theo công thức:

h(n) = 2

1

H(e j )e nj d =2

1

de nj

-

2

1

dec

c

nj

2

2

+2

1

dec

nj

1

1

= )(n -

2c

n

n

c

c

2

2sin

-

1c

n

nc

1

1sin

(1.8)

1.1.2.5. Nhận xét chung về bộ lọc số lý tưởng

Các bộ lọc số lý tưởng không thể thực hiện đươc về vật lý mặc dù ta đã

xét trường hợp h(n) thực do chiều dài h(n) là vô cùng lớn và h(n) là không

nhân quả,tức là

L )(nh = , =

h(n) 0 khi n<0

1.1.3. Lọc FIR và IIR

-ωc1 ωc1

H(ejω) 1

0

Hình1.4. Đặc tính biên độ của bộ lọc chắn dải lý

tưởng

-ωc2 ωc2 -

π

5

Tùy thuộc vào dạng phương trình hiệu số, các bộ lọc số chia thành hai

nhóm: bộ lọc không đệ quy và bộ lọc đệ quy. Nếu xét đến tính chất của đáp

ứng xung của hai loại bộ lọc này, thì chúng được gọi tương ứng là bộ lọc với

đáp ứng xung có độ dài hưu hạn(Finite Response Digital Filter) hay bộ lọc

FIR và bộ lọc với đáp ứng xung có độ dài vô hạn(Infinite Response Digital

Filter) hay bộ lọc IIR. Trong đó đáp ứng xung h của bộ lọc là phản ứng

của bộ lọc đối với tác động xung đơn vị tác động ở đầu vào với các điều

kiện ban đầu bằng không. Đồng thời ta có h và hàm truyền tần số H( )

liên hệ với nhau qua cặp biến đổi Fourier:

h

1.1.3.1. Bộ lọc với đáp ứng xung có độ dài hữu hạn( bộ lọc FIR).

Đáp ứng xung h của một hệ rời rạc số có độ dài hữu hạn, nếu:

(1.9)

với và là các số nguyên thỏa mãn

Nhận xét:

Bộ lọc FIR có các mẫu đầu ra của một bộ lọc chỉ phụ thuộc vào các

trích mẫu của tín hiệu vào ở thời điểm hiện tại và một số lượng hữu hạn các

mẫu tín hiệu vào đã qua.

Hình1.5. Đáp ứng xung có độ dài hữu hạn

0

h[n]

N1=0 N2

-∞ n→∞

6

Bộ lọc FIR bao giờ cũng ổn định, vì theo tính chất ổn định thì tổng hữu

hạn các số hạng phải là một lượng hữu hạn.

1.1.3.2. Bộ lọc với đáp ứng xung có độ dài vô hạn( bộ lọc IIR)

Khác với bộ lọc có đáp ứng xung dài hữu hạn FIR, ở bộ lọc đáp ứng

xung dài vô hạn IIR, các trích mẫu tín hiệu ra y[n] không những phụ thuộc

vào các mẫu tín hiệu vào x[n] mà còn phụ thuộc vào các mẫu tín hiệu ra đã

qua. Sự phụ thuộc vào các mẫu đã qua của tín hiệu ra sẽ gây ra độ dài vô hạn

của đáp ứng xung đầu ra h[n]=y[n] ngay cả khi các giá trị tín hiệu vào đã

bằng không.Vì vậy, bộ lọc có tên gọi là bộ lọc có đáp ứng xung dài vô hạn.

1.1.3.3. So sánh các bộ lọc FIR và IIR

Các bộ lọc FIR và IIR đều có các ứng dụng thực tế. Tuy nhiên, chúng

đều có các ưu nhược điểm, do đó mỗi loại có các ứng dụng riêng.

Các bộ lọc FIR có các ưu nhược điểm sau:

- Bộ lọc FIR có thể được thiết kế để có đặc tính pha hoàn toàn tuyến

tính.

- Công suất tạp âm riêng của bộ lọc FIR nhỏ hơn rất nhiều tạp âm riêng

trong các bộ lọc IIR. Công suất này bằng không, tức là trong bộ lọc FIR

không có tạp âm riêng, trong trường hợp các phép cộng và phép nhân được

thực hiện một cách chính xác, ở bộ lọc IIR do có mạch phản hồi, nên có phép

nhân các trích mẫu tín hiệu ra với các hệ số, vì vậy có hiện tượng tràn tích số,

nên tạp âm luôn khác không. Như vậy, nếu xét về các tính chất biểu diễn các

số, nếu dùng phép đại số với dấu phẩy tĩnh, thì bộ lọc FIR sẽ tốt hơn nhiều so

với bộ lọc IIR.

- Bộ lọc FIR luôn ổn định.

- Bộ lọc FIR đặc biệt thích hợp với thực hiện lọc đa tốc độ.

- Các bộ lọc FIR có thể thực hiện một cách hiệu quả, khi dùng phép

biến đổi Fourier rời rạc DFT.

Nhược điểm của bộ lọc FIR so với bộ lọc IIR là với cùng các yêu cầu

đối với đáp ứng biên độ, khi không có yêu cầu đối với tính tuyến tính của đáp

ứng pha và với tần số rời rạc hóa cố định, thì bộ lọc FIR yêu cầu phải thực

hiện số lượng phép tính lớn hơn nhiều. Điều này dẫn đến sơ đồ thực hiện bộ

lọc FIR rất phức tạp.

Các bộ lọc IIR có một số các ưu điểm sau:

- Bộ lọc IIR bậc thấp có thể thiết kế để có đặc tính đáp ứng biên độ gần

lý tưởng.

- Các bộ lọc IIR có thể được thiết kế trực tiếp từ các bộ lọc tương tự

kinh điển.

7

- Các bộ lọc IIR thích hợp hơn cho các ứng dụng mô hình hóa tín hiệu,

mô phỏng hệ thống nếu so sánh với các bộ lọc FIR.

Mạch phản hồi trong bộ lọc IIR có thể gây ra nhiều vấn đề. Tuy nhiên,

mạch phản hồi làm tăng lên nhiều khả năng kỹ thuật của bộ lọc. Thí dụ như

đối với cùng một chỉ tiêu kỹ thuật, nhưng nếu thực hiện bằng bộ lọc FIR thì

cần từ 3 đến 8 lần bậc lớn hơn so với dùng bộ lọc IIR.

1.2. Phương pháp tổng hợp lọc FIR

Lọc FIR có nhiều ưu điểm, vì thế được sử dụng rất rộng rãi trong thực

tế. Với đặc điểm luôn ổn định, lọc FIR còn được sử dụng rộng rãi để thiết kế

các mạch lọc thích nghi. Lọc FIR có thể phân chia thành hai nhóm lớn:

- Bộ lọc FIR có đáp ứng pha tần số tuyến tính, hay bộ lọc FIR có pha

tuyến tính

- Bộ lọc FIR có pha tối thiểu.

Có 3 phương pháp chính để tổng hợp lọc số như sau:

- Phương pháp cửa sổ.

- Phương pháp lấy mẫu tần số.

- Phương pháp lặp.

1.2.1. Phương pháp cửa sổ

Phương pháp cửa sổ còn gọi là phương pháp tổng hợp bộ lọc FIR nhờ

khai triển Fourier.

Biến đổi Fourier là phương pháp cơ bản để thiết kế các bộ lọc số. Về

nguyên tắc nó có thể dùng để thiết kế lọc cho bất cứ yêu cầu đáp ứng tần số

biên độ. Tuy nhiên từ hàm đáp ứng tần số

(1.10)

Với:

h(n) =2

1

H(e j )e nj d (1.11)

Việc thiết kế bộ lọc FIR, nhân quả, pha tuyến tính, ta chỉ cần chú ý đến

một số số hạng của chuỗi Fourier, nghĩa là bỏ đi các đáp ứng xa gốc khi

chúng trở nên khá nhỏ so với các đáp ứng ở gần gốc. Hậu quả của sự cắt gọt

này là đáp ứng tần số thực tế khác với đáp ứng tần số thiết kế được

theo phương pháp Fourier trong khi chỉ là gần đúng so với

đáp ứng yêu cầu (xem hình 1.1).

Sự cắt gọt tương đương với nhân đáp ứng xung h(n) với cửa sổ hay còn

gọi hàm của sổ w(n) rộng hữu hạn. Khi nhìn qua cửa sổ này ta thấy nguyên

8

vẹn phần trung tâm của đáp ứng xung còn phần xa hai bên bị khuất. Khi đó

đáp ứng xung thực tế được tính như sau:

(1.12)

Như công thức (1.12) đã chỉ ra, ý tưởng của phương pháp cửa sổ rất

đơn giản: để đảm bảo tính nhân quả thực hiện bỏ đi các mẫu của đáp ứng

xung khi n<0, để đáp ứng xung hữu hạn tiếp tục bỏ đi các mẫu có giá trị nhỏ

khi n>0. Điều này rõ ràng dẫn tới đặc tính tần số của mạch lọc thực tế khác

với lý tưởng.

c

2

( )H

11

11

1

Hình 1.2. Đặc tính tần số của mạch lọc thông thấp lý tưởng và thực tế.

Như đã thấy ở hình 1.2, lọc thực tế có đặc tính tần số sai khác với lọc lý

tưởng. Đó là xuất hiện các gợn sóng trong dải thông và dải chặn, đồng thời

tồn tại một dải tần chuyển tiếp giữa chúng. Để lượng hóa những sai lệch này,

người ta đưa ra các tham số cho bộ lọc thực tế như sau:

Tần số cắt của mạch lọc C : Đây là tần số mà đặc tuyến biên độ -tần số

giảm xuống bằng 0,707 ( 6 dB)

Độ gợn sóng trong dải thông 1 : Là sai lệch lớn nhất trong dải thông

giữa đặc tính biên độ của lọc thực tế và lọc lý tưởng.

Độ gợn sóng trong dải chặn 2 : Là sai lệch lớn nhất trong dải chặn

giữa đặc tính biên độ của lọc thực tế và lọc lý tưởng (tức là so với giá

trị 0).

Tần số kết thúc dải thông p (khi đặc tuyến biên độ- tần số giảm xuống

dưới giá trị 11 ), và tần số bắt đầu dải chặn s (khi đặc tuyến biên độ-

tần số giảm xuống bằng 2 )

Như vậy vấn đề đặt ra là phải giảm tất cả các sai lệch nêu trên, hoặc ưu tiên

giảm sai lệch nào đó. Để thực hiện điều này người ta sử dụng các cửa sổ. Yêu

9

cầu chung đối với tất cả các hàm cửa sổ là đối xứng, bề rộng của cửa sổ phụ

thuộc vào yêu cầu đối với các tham số của mạch lọc.

Phương pháp cửa sổ gồm các bước chính sau:

- Cho 4 chỉ tiêu kỹ thuật của bộ lọc số: 1 , 2 , p ,s .

- Chọn dạng cửa sổ và chiều dài N của cửa sổ, trong miền n cửa sổ có

tâm đối xứng tại Vậy trong miền tần số cửa sổ có pha tuyến tính

Chọn loại bộ lọc số lý tưởng có đáp ứng xung là h(n), h(n) có tâm đối

xứng tại trong miền n. Vậy trong miền tần số, h(n) sẽ có pha tuyến tính

Nhân cửa sổ w(n) với h(n) lý tưởng để được bộ lọc thực tế

Khi đã có thử lại trong miền tần số xem có thỏa mãn 4 chỉ tiêu

kỹ thuật ở trên hay không, nếu không thỏa mãn tăng N rồi lặp lại các bước

trên cho đến khi nào thỏa mãn thì ngừng.

(1.13)

Hàm cửa sổ cho bởi :

(1.14)

Nhận xét

xấp xỉ càng đúng H nếu dạng của hàm càng

giống hàm delta dirac. Như vậy nêu càng nhọn thì sự xấp xỉ càng tốt

hơn.

Độ gợn sóng trong dải thông, độ suy giảm trong dải chắn phụ thuộc vào

dạng cửa sổ.

Có rất nhiều loại cửa sổ được sử dụng, trong đó thông dụng là các cửa sổ sau:

- Cửa sổ chữ nhật.

- Cửa sổ tam giác( của sổ Bartlett).

- Cửa sổ Hamming và Hanning.

- Cửa sổ Blackman

1.2.2. Phương pháp lấy mẫu tần số

10

Trong phương pháp cửa sổ có những hạn chế là với cùng một chỉ tiêu

kỹ thuật thì thường chiều dài của bộ lọc N lớn hơn là chiều dài cần thiết để

thỏa mãn chỉ tiêu kỹ thuật đã cho.

Việc tìm ra cửa sổ để giảm hiện tượng Gibs gặp khó khăn. Khi dạng

cửa sổ trong miền n rất phức tạp, thì việc tìm khảo sát trong miền tần số sẽ

gặp nhiều khó khăn.

Từ đó người ta nghiên cứu phương pháp lấy mẫu tần số.

Phương pháp lấy mẫu tần số có nội dung như sau:

Đáp ứng tần số được lấy mẫu ở N điểm tại các tần số rời rạc

cách đều nhau( được gọi là tần số lấy mẫu) trong khoảng 0 ( hoặc

), hàm đáp ứng tần số của bộ lọc thực tế bằng đúng với hàm

đáp ứng xung của bộ lọc lý tưởng. Ở đây N là độ dài của bộ lọc FIR cần thiết

kế.

Có bốn loại bộ lọc FIR pha tuyến tính với lấy mẫu tần số là:

Bộ lọc loại 1: ,N lẻ, đặc tính xung h(n) đối xứng.

Bộ lọc loại 2 : , N chẵn, đặc tính xung h(n) đối xứng.

Bộ lọc loại 3 : , N lẻ, đặc tính xung h(n) phản đối xứng.

Bộ lọc loại 4 : , N chẵn, đặc tính xung h(n) phản đối xứng.

Chi tiết về phương pháp này được trình bày ở [1].

1.2.3. Phương pháp lặp

Phương pháp cửa sổ và phương pháp lấy mẫu tần số là hai phương

pháp gián tiếp thiết kế bộ lọc FIR chúng tồn tại một số nhược điểm:

- Một là không thể xác định các tần số cắt và .

- Hai là không thể rằng buộc điều kiện đồng thời điều kiện về độ gợn

song và ở cả dải thông và dải chắn.

- Ba là hàm sai số xấp xỉ phân bố không đều trên các dải và có xu

hướng tăng lên khi đến gần dải chuyển tiếp.

Phương pháp lặp dựa trên thuật toán tối ưu có thể khắc phục được các

nhược điểm của hai phương pháp trên.

Bản chất của phương pháp lặp là xuất phát từ một chiều dài dãy N cho

trước, bằng thuật toán trao đổi Remez để tìm dãy đáp ứng xung sao cho cực

đại của hàm sai số giữa đáp ứng tần số của bộ lọc lý tưởng và đáp ứng tần số

của bộ lọc thực tế là nhỏ nhất. Nếu như hàm đáp ứng tần số ứng với dãy đáp

ứng xung tìm được nói trên vẫn chưa thỏa mãn điều kiện yêu cầu thiết kế, giá

11

trị N cần phải tăng. Qúa trình này được lặp đi lặp lại cho đến khi tìm được bộ

lọc thỏa mãn các yêu cầu đã được đặt ra.

Dưới đây ta sẽ xét cách biểu diễn hàm độ lớn của đáp ứng tần số của 4

loại bộ lọc FIR về dạng sau:

(1.65)

Trong đó:

(1.66)

là hàm cố định.

Bảng sau đây đưa ra giá trị R, các hàm và . cho 4 loại

bộ lọc:

Loại bộ lọc R

Bộ lọc FIR loại 1

1

Bộ lọc FIR loại 2

Bộ lọc FIR loại 3

Bộ lọc FIR loại 4

Hàm sai số giữa bộ lọc lý tưởng và bộ lọc thực tế được xây dựng như

sau:

(1.67)

Ở đây:

: là sai số có miền xác định là phần dải thông và dải chắn,

không xác định tại dải chuyển tiếp.

: đáp ứng tần số của độ lớn của bộ lọc số lý tưởng.

: đáp ứng tần số của độ lớn cả bộ lọc thực tế.

: hàm trọng số trên sai số gần đúng. Có tác dụng trải đều sai số

giữa bộ lọc thực tế và bộ lọc lý tưởng trên cả dải thông và dải chắn.

12

Ta thấy rằng sai số ở dải thông và dải chắn của các loại bộ lọc số nói

chung là khác nhau:

ở dải thông.

ở dải chắn.

Vì vậy hàm trọng số cũng được xác định khác nhau ở dải

thông và dải chắn. Vấn đề chọn cũng phụ thuộc vào giá trị tương đối

của và xem giá trị nào lớn hơn.

Giả sử gọi

Thì

Giả sử ta có khi đó hàm trọng số sẽ được

chuẩn hóa bằng 1 ở dải chắn, bằng ở dải thông, tức là:

(1.68)

Mặt khác ta thấy hàm ở cả 4 loại bộ lọc là khác nhau, để triệt

tiêu hàm này, hàm sai số được biến đổi như sau:

(1.69)

Về mặt quy ước toán học ta có thể định nghĩa một hàm trọng số biến

dạng là

.

Và đáp ứng tần số biến dạng là

Khi đó hàm sai số của cả 4 loại bộ lọc có dạng chung là:

(1.70)

1.2.3.2. Tối ưu kiểu Chebyshev và thuật toán Remez.

Bài toán chebyshev đặt ra là tìm các hệ số hoặc hoặc

hoặc nhằm tối thiểu hóa cực đại của trị tuyệt đối hàm sai số trên dải

thông và dải chắn để tìm ra:

13

Định lý xoay chiều: S là một khoảng đóng bất kỳ trên đoạn , giả

sử có dạng

(1.71)

Hàm sai số được tính theo công thức:

(1.72)

Điều kiện cần và đủ để duy nhất và xấp xỉ theo kiểu cực đại

nhỏ nhất theo nghĩa gần đúng Chebyshev, so với trên S là: hàm sai số

phải có tối thiểu R+2 giá trị cực trị đổi dấu xen kẽ nhau trên S mà:

(1.73)

Với

Định lý trên không chỉ ra cách thức để thu được hàm . Nhưng

nó chỉ ra rằng nghiệm đó tồn tại, không những thế nghiệm là duy nhất và điều

kiện để biết đó là nghiệm thì hàm sai số có ít nhất R+2 cực trị, các

cực trị này có giá trị tuyệt đối bằng nhau, hai cực trị liên tiếp có một cực đại

và một cực tiểu. Để tìm ra hàm thuật toán Remez được tiến hành như

sau:

Bước 1: Chọn lấy R+2 điểm rời rạc, giả sử đó là các cực trị của hàm số

Bước 2: Trên cơ sở tại R+2 điểm rời rạc nói trên, hàm luân

phiên đổi dấu và có trị tuyệt đối bằng một giá trị nào đó, tính nội suy lại giá

trị và hàm từ đó tính ra hàm sai số , tính được giá trị cực trị

thực của hàm sai số đó.

Bước 3: Xem xét xem các giá trị rời rạc được chọn ban đầu có thực sự

là các điểm mà hàm đạt cực trị và có giá trị tuyệt đối bằng nhau hay

không. Nếu không, tìm các điểm tại đó đạt cực trị.

Bước 4: Trong các điểm cực trị tìm được của ta lấy ra R+2

điểm và quay về lặp lại từ bước 2.

Bước 5: Lặp lại các bước 2,3,4 cho đến khi tập hợp các điểm rời rạc

hội tụ.

Bước 6: Từ tập các điểm rời rạc cuối cùng, tính ra hàm , từ đó

tính ra các hệ số .

14

Vòng lặp tiếp theo bao giờ cũng thu được R+2 điểm rời rạc tiến gần tới

những cực trị của hàm P( ) mà chúng ta mong muốn gần đúng với

theo nghĩa Chebyshev hơn, và cuối cùng nó sẽ hội tụ về các điểm cực trị thực.

Parks và McClellan đã đưa ra giải pháp sử dụng thuật toán Remez để

tìm ra đáp ứng xung của bộ lọc tối ưu nhất, tức là gần đúng theo nghĩa

Chebyshev đối với một bộ lọc lý tưởng, cho giá trị N là chiều dài của dãy đáp

ứng xung nào đó với các điều rang buộc về độ gợn sóng ở dải thông và dải

chắn như sau:

- Xác định loại bộ lọc, tính giá trị R và xây dựng các hàm ,

- Xây dựng bài toán gần đúng bằng cách xác định các hàm ,

- Sử dụng thuật toán trao đổi Remez để tìm ra hàm tối ưu

- Tính cá giá trị của dãy đáp ứng xung h(n).

Ta chọn giá trị N càng chuẩn thì kết quả là thu được bộ lọc có đáp ứng

tần số càng gần với yêu cầu bài toán. Nếu giá trị N chưa chuẩn thì phải tăng

giá trị N đến khi nào thỏa mãn các điều kiện rằng buộc cho và thì thôi.

1.3. Phương pháp tổng hợp lọc IIR

Bộ lọc FIR có ưu điểm nổi bật là pha tuyến tính. Nhưng trong một số

trường không yêu cầu pha tuyến tính thì người ta sử dụng bộ lọc IIR vì nó

đơn giản hơn nhiều so với bộ lọc FIR, dẫn đến số phép tính để thực hiện trong

bộ lọc IIR cũng ít hơn nhiều so với bộ lọc FIR, số phần tử nhớ trong bộ lọc

IIR cũng ít hơn bộ lọc FIR. Mặt khác bộ lọc IIR được thiết kế thông qua việc

chuyển đổi các thiết kế của bộ lọc tương tự sang bộ lọc số (các thông số của

bộ lọc số có thể tra được).

Phương pháp thiết kế bộ lọc IIR bao gồm các bước sau:

- Thiết kế bộ lọc thông thấp tương đương.

- Chuyển đổi từ bộ lọc thông thấp tương tự sang bộ lọc thông thấp số.

- Chuyển đổi băng tần số để thu được các bộ lọc khác từ bộ lọc thông thấp.

1.3.1. Thiết kế bộ lọc tương tự

Các bộ lọc tương tự có thể các đáp ứng biên độ tần số khác nhau.

Song ta chỉ xét các bộ lọc thông thấp. Ta xét sự phụ thuộc đặc tính biên độ tần

số của bộ lọc Butterworth, Chebyshev, Elliptic và Bessel []

1.3.1.1. Các bộ lọc thông thấp tương tụ Butterworth

Bộ lọc Butterworth là bộ lọc mà tính chất của đáp ứng biên độ có tính

phẳng cực đại hay có đáp ứng biên độ tần số giảm đơn điệu (không có độ gợn

sóng ở dải thông và dải chặn)

15

Hàm đáp ứng bình phương biên độ liên hệ với các tham số của bộ lọc

theo biểu thức sau:

(1.74)

Với là tần số cắt ứng với 3dB là tần số mà ở đó đáp ứng biên độ

giảm xuống 3dB hay cho tất cả các bộ lọc có bậc n.

Ta thấy:

- Bậc của bộ lọc n càng tăng thì bộ lọc càng gần với bộ lọc lý tưởng

- Đáp ứng biên độ luôn bằng ở tần số cắt với mọi giá trị của n.

1.3.1.2. Các bộ lọc thông thấp tương tự Chebyshev

Ta biết rặng bộ lọc Butterworth có đáp ứng biên độ giảm đơn điệu cả

ở dải thông và dải chắn. Vì vậy bộ lọc Butterworth không cho kết quả tốt tức

là với cùng một chỉ tiêu kỹ thuật đã cho thì bậc của bộ lọc Butterworth sẽ lớn

Hình 1.8a: Đáp ứng biên độ tần số của bộ lọc

Hình 1.8b: Đáp ứng biên độ tần số của bộ lọc

16

hơn. Để giảm bậc của bộ lọc tương tự, người ta sử dụng một bộ lọc khác, đó

là bộ lọc Chebyshev sẽ cho kết quả

Bộ lọc Chebyshev chia làm 2 loại:

Bộ lọc Chebyshev loại 1: Đáp ứng biên độ gợn sóng ở dải thông và dải

chắn

Bộ lọc Chebyshev loại 2: Đáp ứng biên độ giảm đơn điệu ở dải thông

và gợn sóng ở dải chắn.

Phương pháp chuyển đổi từ hệ thống tương tự sang hệ thống số

bao gồm 4 phương pháp sau:

- phương pháp bất biến xung.

- Phương pháp biến đổi song tuyến.

- Phương pháp tương đương vi phân.

- Phương pháp biến đổi z tương đương.

1.4. Các công cụ tổng hợp và khảo sát đặc tính lọc số trong môi trường

Matlab:

1.4.1. Lệnh fir1

Thuật toán: fir1 sử dụng phương pháp cửa sổ thiết kế bộ lọc FIR. Nếu

w(n) biểu thị một cửa sổ với , và đáp ứng xung của bộ lọc lý tưởng

là h(n), sau đó cửa sổ của bộ lọc số được xác định bởi biểu thức:

với .

Hình a

Hình b

Hình 1.9: Đáp ứng biên độ tần số của bộ lọc Chebyshev với

n chẵn (hình a) và n lẻ (hình b)

17

Fir1 được sử dụng để tổng hợp tất cả các dạng mạch lọc đã nêu, kể cả

mạch lọc có nhiều dải thông và dải chặn (lọc răng lược). Lệnh Fir1 trả về các

tham số của lọc FIR.

Cú pháp:

b = fir1(n,Wn); bộ lọc thông thấp bậc n, sử dụng cửa sổ

Hamming, với tần số cắt chuẩn hóa là Wn ( 0< Wn<1, trong đó 1 tương

ứng với một nửa tần số rời rạc hóa, tức tần số Nyquist). Tham số trả về

là vector trọng số lọc b.

b = fir1(n,Wn,'ftype'); % có chỉ rõ dạng mạch lọc qua tham số

‘ftype’

b = fir1(n,Wn,window); % Chỉ rõ dạng cửa sổ qua tham số

window.

b = fir1(n,Wn,'ftype',window) % chỉ rõ cả dạng mạch lọc và

cửa sổ.

b = fir1(...,'normalization')

Ví dụ 1:

Tổng hợp một bộ lọc thông dải, cửa sổ Hamming, bậc 48 với với băng

thông 0.35 ≤ ω ≤ 0.65.

>> b = fir1(48,[0.35 0.65]);

>> freqz(b,1,512); % Vẽ đặc tính tần của bộ lọc

Ví dụ 2: Thiết kế bộ lọc thông cao tần số cắt bằng 0.48 và một cửa sổ

Chebyshev với độ suy giảm cánh sóng biên bằng 30dB.

18

b= fir1(34, 0.48, ‘high’, chebwin(35,30));

freqz(b, 1512); % Vẽ đặc tính tần số

1.4.2. Lệnh Fir2

Fir2 được sử dụng để tổng hợp mạch lọc theo phương pháp lấy mẫu tần

Cú pháp:

b = fir2(n,f,m): trong đó n là bậc của mạch lọc, f là vector các

tần số breakpoints (các tần số muốn lấy mẫu), m là véc tơ các giá

trị của đặc tính biên độ- tần số tại các tần số lấy mẫu tương ứng.

b = fir2(n,f,m,NPF) % chỉ rõ số điểm cần nội suy đặc tính biên

độ- tần số từ các điểm đã chỉ ra ở vector f.

b = fir2(n,f,m,npt,lap) % lap là một vùng mà cần phải hiệu

chỉnh đặc tính tần để tăng thêm độ bằng phẳng.

Ví dụ:

Thiết kệ bộ lọc thông thấp có bậc bằng 30 với các tần số lấy mẫu f =0,

0.6, 0.6, 1 với các giá trị tương ứng của đặc tính tần m =1, 1, 0 ,0.

Từ cửa sổ lệnh của Matlab nhập vào các lệnh sau:

>> f = [0 0.6 0.6 1]; m = [1 1 0 0];

>> b = fir2(30,f,m);

>> [h,w] = freqz(b,1,128);

>> plot(f,m,w/pi,abs(h))

>> legend('Ideal','fir2 Designed')

>> title('Comparison of Frequency Response Magnitudes')

Kết quả thiết kế được so sánh với lọc lý tưởng như ở hình dưới

19

1.4.3. Giao diện đồ họa thiêt kế mạch lọc FDATool (Filter Design

and Analysis Tool)

FDA Tool là một tiện ích thiết kế mạch lọc số với giao diện đồ họa với

người sử dụng. Các cửa sổ FDA Tool cho phép nhập vào dạng mạch lọc, các

tham số của mạch lọc, hiển thị đặc tính tần số của mạch lọc….và cho phép lấy

ra các hệ số của mạch lọc cần thiết kế.

Để truy cập vào FDA Tool, từ cửa sổ lệnh ta nhập vào:

>> fdatool

Một cửa sổ thiết kế sẽ hiện ra như hình dưới:

Hình 1.10. Cửa sổ thiết kế mạch lọc của trình FDA Tool

20

Ở hình 1.10, khu vực bên trái phía (Response Type) dưới dùng để lựa chọn

dạng mạch lọc cần thiết kế ( FIR, IIR, LPF,HPF,BPF hoặc BSF) . Bậc của

mạch lọc được chọn với vùng Filter Order, khi nhấp vào Minimum Order,

trình thiết kế sẽ thiết kế mạch lọc với bậc tối thiểu, nếu muốn chỉ rõ bậc của

mạch lọc, nhấp vào Specify order sau đó nhập vào bậc của mạch lọc. Khu vực

Frequency Specifications được sử dụng để nhập vào các tham số tần số, bao

gồm tần số rời rạc hóa và tần số cắt ở cả hai dạng tuyệt đối và chuẩn hóa.

Khu vực Magnitude Specifications dùng để nhập vào các tham số gợn sóng

trong dải thông và dải chặn. Cửa sổ phía trên bên phải dùng để hiển thị đặc

tính tần số của mạch lọc, còn cửa sổ bên trái – trạng thái của mạch lọc. Sau

khi khảo sát và thấy mạch lọc đã thỏa mãn các chỉ tiêu kỹ thuật, nhấp vào

biểu tượng [b,a] trên thanh công cụ chạy ngang màn hình để nhận lấy các

tham số lọc.