8/16/2019 Test Adattamento Di Pearson

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Test adattamento di  Pearson 

L’adattamento della legge di  Gumbel , come qualsiasi legge, può essere valutata attraverso test sta-tistici, per accettare o rifiutare l’ipotesi che la legge probabilistica ben si adatti al campione.

Si definisce  livello di significatività del test   la probabilità di rifiutare l’ipotesi di buon adattamentoanche se vera. Per applicare il test del   χ2 si suddivide il campione in   k   intervalli, non necessa-riamente equiprobabili, e si indica con  N i   il numero delle osservazioni che ricadono nel medesimointervallo compreso tra  X i−1 ed  X i; pi è la probabilità che un osservazione qualsiasi cada nel i-esimointervallo. Il test di Pearson considera la grandezza statistica

χ2 =k

i=1

(N i −N  pi)2

N  pi

La distribuzione di probabilità   p(χ2)   dipende solo dai gradi di libertà   nu. La condizione piùrestrittiva impone che:

ν  = k −m− 1

dove  m  è il numero di parametri della distribuzione scelta (2 se si considera Gumbel).Per la suddivisione in genere si adotta il criterio empirico secondo cui

N  pi   > 5

. Fissato il livello di significatività(=0.05) e calcolato il valo  chi2 lo si confronta con  χ2 tabulati infunzione di  ν   Se

χ2 < χ2

allora la serie si adatta bene alla distribuzione.

Tabella 1:   valori  χ2 per livello di significatività 0.05 al variare di   ν 

ν    1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

χ2 3.84 5.99 7.81 9.49 11.1 12.6 14.1 15.5 16.9 18.3

Tratto da Sistemazione dei corsi d’acqua- Luigi Da Deppo, Claudio Datei e Paolo Saladin-Libreria 

internazionale cortina Padova 

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Esercizio   1

La seguente tabelle riporta un certo numero di errori operati da   44   individui; Questi dati sonocompatibili con l’ipotesi che gli errori seguono una distribuzione di Poisson?

Il parametro di distribuzione di Poisson è la media pari a:

Tabella 2:   Esercizio1

Num errori frequenza

0 11 122 123 54 15 46 2

7 28 29 1

10 111 1

x = 3.34

Devo dunque verificare l’adattamento dei dati della tabella alla distribuzione di Poisson con lamedia appena trovata. I valori di tale distribuzione sono riportati nella tabella seguente. Ci sono

Tabella 3

k   e3.343̇.34k/k! 44e3.343̇.34

k/k!

0 0.035436958 1.55921 0.1184 5.20782 0.1977 8.69713 0.2201 9.68274 0.1838 8.08515 0.1227 5.40086 0.683 3.00657 0.0326 1.43458 0.0136 0.59899 0.0051 0.223

10 0.0017 0.0742>11 0.0007 0.0309

troppe frequenze di attesa piccole ergo le dividiamo in 6 classi.

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Tabella 4

classe   π   freq attesa

0 0.0354 1.55921 0.1184 5.20782 0.1977 8.69713 0.2201 9.68274 0.1838 8.08515 0.1228 5.4008

>6 0.122 5.3673

Confrontiamo ora tali valori con le frequenze osservate: Da questa tavella si calcola immedia-

Tabella 5:   Confronto

classe freq osservate freq attesa0 1 1.55921 12 5.20782 12 8.69713 5 9.68274 1 8.08515 4 5.4008

>6 9 5.3673

tamente la statistica di Pearson:

st =  (1− 1.5592)2

1.5592

  + (12− 5.2078)2

5.2078

  + ....(9− 5.3673)2

5.3673

  = 21.6089

Il problema è stato ricondotto a 6 classi ed un parametro è stato stimato ergo il numero di gradi dilibertà è 6-1-1=4. Ma dato che  χ2<χ2 allora l’ipotesi di baste di adattamento della distribuzionedi Poisson viene rifiutata.esempio trovato in rete 

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