Teorija signala i komunikacija

Signali i sistemi

Odzivi sistema

Konvolucija

Opšti model digitalnog telekomunikacionog sistema

Signali i sistemi u telekomunikacijama

Signal – materijalna predstava neke informacije– informacija se pretvara u signal kada je potrebno da se

sačuva, prenese na daljinu ili obradi– da bi se sistem mogao analizirati, potrebno ga je opisati

nekim formalnim jezikom skup matematičkih relacija koje opisuju funkcionisanje sistema, na način da se definišu odnosi između ulaza i izlaza iz sistema MODEL SISTEMA

matematičke relacije koje opisuju sistem

– ulazi i izlazi iz sistema modeliraju se u obliku vremenskih funkcija i tretiraju se kao signali

Signali i sistemi u telekomunikacijama

x(t) y(t)

Signali mogu biti kontinualni (analogni) ili diskretni– kontinualne signale je moguće diskretizovati, a da se pri

tome ne okrnje njihova svojsva (ovo je jedna od osnovnih pretpostavki za modeliranje TK sistema)

– primjer digitalizacije govora…– analogni signal se može opisati funkciom f(t) koja je

definisana za sve vrijednosti t iz nekog opsega

sistemsistem

Primjer specijalnih signala

jedinična ili step funkcija U(t)– U(t) = 1 za t ≥ 0 i U(t) = 0 za t < 0

delta ili impulsna funkcija – δ(t) = ∞ za t = 0 i δ(t) = ∞ za t ≠ 0 – površina ispod impula se 1, a impuls je beskonačno male širine i

beskonačno velike dužine

pomak funkcije: δ(t-T) δ(t+T)

pravougaoni impuls– pa(t) = Const. za |t| ≤ a i pa(t) = 0 za |t| > a

– vrijedi da je pa(t) = U(t+a) – U(t-a):

Primjer specijalnih signala

Analogni sistemi

Analogni sistem nekoj vremenskoj funkciji f(t) koja se naziva ulaz pridružuje drugu vremensku funkciju g(t) koja se naziva izlaz

– ako je transformacija linearna g(t)=L{f(t)}– analogni sistem je kauzalan ako je za određivanje vrijednosti

g(t0) potrebno poznavati samo vrijednosti funkcije f(t) za t ≤ t0, a ne i vrijednosti fc. f(t) za t > t0

– ako je sistem linearan vrijedi da je:

L{a1f1(t) + a2f2(t)} = a1L{f1(t)} + a2L{f2(t)}

– sistem je stacijonaran ili vremenski nezavisan, ako vrijedi:

L{f(t - T)} = g(t - T)

Odziv linearnih i stacionarnih sistema - konvolucija

Impulsni odziv sistema – odziv sistema kada na njegov ulaz dolazi impulsna funkcija

– h(t) = L{δ(t)}– ako je sistem opisan impulsnim odzivom, te ako na njegov ulaz

dolazi funkcija f(t), na izlazu iz takvog sistema dobija se funkcija g(t), tako da vrijedi da je g(t) = f(t) * h(t) - KONVOLUCIJA

Osobine konvolucije

komutativnost:

asocijativnost izvod konvolucije:

integral konvolucije:

transformacija konvolucije:

Zadaci

1. U sistem sa impulsnim odzivom h(t) ulazi signal f(t). Odrediti signal (grafički) g(t) na izlazu iz sistema, ako su zadani signali f(t) i h(t) dati na slikama:

f(t) h(t)

2. Naći konvoluciju signala f1(t) = et i f2(t) = (3e-2t -1)U(t)

3. Naći konvoluciju signala f1(t) i f2(t) sa slika:

f1(t) f2(t)

T T

1 1

-T T T

Zadaci

4. U sistem sa impulsnim odzivom h(t), ulazi signal f(t). Naći izlaznu funkciju iz sistema g(t), ako su signali dati na slikama:

f(t) h(t)

T

1

2T

1

Zadaci za dodatne bodove

1. Ponoviti zadatak 1 sa vježbi korištenjem pravila transformacije konvolucije pomoći konvolucije izvoda i integrala funkcija. Pri tome, u 1. slučaju integrirati ulazni funkciju u sistem, a diferencirati odziv sistema, a u drugom slučaju uraditi obrnuto. Zaključiti da je operacija konvolucije komutativna.

2. Uraditi zadatak 4 sa vježbi zamjenom funkcija koje se integrale, odnono diferencijarju, u odnosu na primjer urađen na vježbama.

3. Naći konvoluciju signala f1(t) = e-tU(t) i f2(t) = e2t

Zadaci za zadaću

1. Naći konvoluciju signala f1(t) i f2(t) sa slike:

f1(t)

f2(t)

-2 2

-4 4