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MECANICA DE FLUIDOS

Ing. Joaquin Serrano Choto ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

43

UNIDAD IV

TURBOMAQUINARIA

Para cambiar la dirección ó magnitud de la velocidad de un fluido, es necesario aplicar una fuerza. Cuando un

alabe móvil desvía una corriente de fluido, cambiando así su cantidad de movimiento, se generan fuerzas entre

el alabe y el chorro, estas fuerzas desarrollan un trabajo cuando se desplazan junto con el álabe, el

funcionamiento de las turbo máquinas se basa en este principio.

Las bombas, ventiladores y los compresores ya sean axiales ó centrífugos, aumentan la energía del fluido al

efectuar trabajo continuamente sobre él.

Las turbinas hidráulicas (De impulso, de Francis, y de hélice), las de vapor y las de gas extraen continuamente

energía del fluido y la convierten en Par aplicado a una flecha que gira.

Para el adecuado diseño de las turbo máquinas se requiere tanto de la teoría como de la experimentación; un

buen diseño correspondiente a un tamaño de turbo máquina y a una velocidad determinada puede adaptarse

con facilidad a otros tamaños y velocidades de máquinas geométricamente semejantes aplicando para ello la

teoría de modelos.

En esta sección primero se estudiarán las relaciones de semejanza mediante los conceptos de unidades

homologas y velocidad específica.

UNIDADES HOMOLOGAS

Para utilizar modelos a escala en el diseño de turbo máquinas es necesario tener, además de la semejanza

geométrica entre modelo y prototipo, diagramas vectoriales de velocidad geométricamente semejantes a la

entrada ó a la salida de los rodetes impulsores. Para satisfacer estas dos condiciones los efectos de la

viscosidad deben ser despreciados.

Cuando dos unidades son geométricamente semejantes y tienen diagramas vectoriales de velocidad iguales se

dice que las unidades son "homologas". Las líneas de corriente en dos unidades homologas son también

semejantes.

u = Velocidad de un punto sobre el rotor.

v = Velocidad relativa del fluido respecto al alabe.

V = Velocidad absoluta del fluido al salir del impulsor (Suma vectorial de v y u).

VR = Componente radial de V, y proporcional a Q.

= Angulo que forman V y u.

= Angulo del álabe.

Para que exista semejanza geométrica entre dos unidades, el ángulo debe ser el mismo en ambas, y para que

las líneas de corriente sean semejantes, el Angulo debe ser el mismo en ambos flujos.

Es conveniente expresar el echo de que el ángulo debe ser el mismo en cualquiera de una serie de turbo

máquinas homologas entre sí, relacionando la velocidad de rotación "N", el diámetro del impulsor "D"

(ó alguna longitud característica) y el caudal "Q".

Para constante, VR es proporcional a V (VR = V Sen ) y "u" es proporcional a VR, por tanto la condición para

que sea constante en una serie de unidades homologas se puede expresar como:

.Constu

VR (I)

V

u

v

VR

Rodete

Alabe

MECANICA DE FLUIDOS


44

El caudal Q es proporcional a 2R DV pues el área de cualquier sección transversal es proporcional a D2, y la

velocidad de rotación N es proporcional a D

u.

Al sustituir estos valores en la ecuación (I) obtenemos: .ConstDN

Q3 (II)

Que expresa la condición mediante la cual unidades geométricamente semejantes son homólogas.

El caudal Q a través de unidades homólogas se puede relacionar con la carga H y con el área de una sección

transversal representativa A, mediante la formula de orificios:

Hg2ACQ d Cd = Coeficiente de descarga

Dado que 2DA la ecuación (II) se puede escribir como: .ConstHD

Q2

(III)

Al eliminar Q de las ecuaciones (II) y (III) obtenemos: .ConstND

H22 (IV)

Las ecuaciones (III) y (IV) son de gran utilidad cuando se determinan las características de operación de una

máquina a partir de las características de una máquina homologa de diferente tamaño y velocidad.

VELOCIDAD ESPECÍFICA

La velocidad específica de una turbo máquina es una constante que se utiliza ampliamente para seleccionar el

tipo de unidad y también en diseños preliminares. Generalmente se define de forma diferente para bombas y

turbinas.

La velocidad específica (Ns) de una serie de bombas homologas se define como la velocidad de cierta unidad de

la serie de tal tamaño que descarga la unidad de caudal operando contra la unidad de carga.

Si eliminamos D de las expresiones (II) y (IV), y simplificamos obtenemos:

.ConstH

QN

43

(V)

Por definición de velocidad específica, la constante de la ecuación anterior es Ns, la cual es la velocidad de

una máquina para Q = 1 y H = 1 por tanto: 43

H

QNNS (VI)

La velocidad específica de una serie generalmente se define para el punto de máxima eficiencia, es decir para

la velocidad, el caudal, y la carga correspondiente a la eficiencia máxima.

La velocidad específica de una serie de turbinas homólogas se define como la velocidad de una máquina de

tamaño tal que produce la unidad de potencia operando bajo la unidad de carga. Como la potencia P es

proporcional a QH obtenemos: .ConstQH

p (VII)

Los términos D y Q se pueden eliminar de las ecuaciones (II), (IV), y (VII) obteniendo como resultado:

.ConstH

PN

45

(VIII)

Para la unidad de potencia y la unidad de carga, la constante de la ecuación (VIII) es la velocidad específica

de toda la serie: 45

H

PNNS (IX)

Mediante las ecuaciones (VI) y (IX) se puede calcular la velocidad específica de una máquina que se necesita

para una carga y caudal dados.

MECANICA DE FLUIDOS


45

Para bombas que manejan grandes caudales con cargas bajas se requiere de una velocidad específica alta; para

una turbina que opere bajo una carga grande produciendo una potencia relativamente pequeña (Caudal

pequeño), la velocidad específica es baja.

Las bombas centrifugas tiene velocidades específicas bajas, las bombas de flujo mixto tienen velocidades

medias, y las bombas de flujo axial tienen velocidades específicas altas.

Las velocidades específicas de las turbinas de impulso son bajas, las de las turbinas Francis son intermedias y

las de las turbinas de hélice son altas.

TEORIA ELEMENTAL DE LA CASCADA

Las turbo máquinas desarrollan trabajo sobre el fluido ó extraen trabajo de él, de manera continua al permitir

que el fluido escurra a través de una serie de alabes móviles y posiblemente también fijos.

Una serie de alabes semejantes dispuestos de forma simétrica en la periferia de un cilindro se denomina

cascada.

Dado que las turbo máquinas son dispositivos rotacionales, el sistema de álabes se puede arreglar

simétricamente sobre una circunferencia, tal como se muestra en la figura.

Si el flujo se acerca en la dirección radial al sistema de álabes, su momento de cantidad de movimiento

cambiara de cero a un valor que depende del caudal en masa, de la componente tangencial de la velocidad Vt

desarrollada y del radio así. tVRQT

Si se considera un sistema de álabes que giren con una velocidad angular w dentro de un sistema de álabes

fijos como se muestra en la siguiente figura:

Con objeto de obtener una operación eficaz de todo el sistema, es importante que el fluido entre al sistema

de álabes móviles con la mínima alteración posible en su movimiento, es decir tangencialmente como se

muestra en la figura (b). Cuando la velocidad relativa no es tangente al álabe en su entrada se puede presentar

separación de flujo, en estas condiciones, las pérdidas tienden a aumentar en forma rápida con el ángulo de la

tangente y afectan radicalmente la eficacia de la máquina. Estas pérdidas se llaman "Pérdidas por choque ó

por turbulencia".

Una vez que el fluido sale de los álabes móviles generalmente tiene su velocidad alterada tanto en dirección

como en magnitud, habiendo cambiado por tanto su momento de la cantidad de movimiento; este cambio

corresponde ya sea que el fluido desarrolle trabajo sobre los álabes móviles ó a que estos efectuaron trabajo

sobre el fluido.

Para turbinas hay que hacer que el fluido entre sin choque y salga sin velocidad.

El diseño de turbo máquinas tiene por objeto acomodar y dar forma apropiada a los álabes y a los conductos

entre ellos para que la máquina resultante cumpla eficazmente su propósito.

Alabe CASCADA

u

V

VR

(b) (a)

MECANICA DE FLUIDOS


46

TEORIA DE LAS TURBOMAQUINAS

En la teoría de las turbo máquinas, se desprecia la fricción y se supone que el fluido escurre perfectamente a

través de la máquina, es decir como si lo hiciera a través de un número infinito de álabes imaginarios muy

delgados, de tal manera que la velocidad relativa del fluido siempre sea tangente a los álabes de la máquina. Lo

anterior se traduce en una simetría circular en el rodete y permite que la ecuación de momento de la cantidad

de movimiento para flujo permanente adquiera la forma:

][ enttsalt )VR()VR(QT (I)

Donde “T” es el par motor que actúa sobre el fluido en el volumen de control, salt )RVQ( y entt )RVQ(

representan respectivamente el momento de la cantidad de movimiento que entra y sale del volumen de

control.

Para estudiar las relaciones que existen entre las diferentes velocidades en el álabe, generalmente se utilizan

los diagramas vectoriales polares.

Respetando la nomenclatura de los diagramas la ecuación (I) se transforma en:

)CosVRCosVR(QT 111222

)VRVR(QT 1U12U2 (II)

mQ Masa del fluido por unidad de tiempo a través de la máquina.

Cuando T es positivo, el momento de la cantidad de movimiento del fluido aumenta al pasar por el rodete, como

en el caso de una bomba, para T negativo, el momento disminuye como en el rodete de una turbina, cuando

T = 0, es decir en conductos que no tienen alabes resulta .constVR U lo que corresponde a un movimiento

llamado "Vortice libre", en el cual la componente tangencial de la velocidad varía inversamente con el radio.

RELACIONES DE CARGA Y ENERGIA

Si multiplicamos la ecuación (II) por la velocidad angular "w" (rad/seg) del rodete se obtiene: )VRwVwR(QwT 1U12U2

)VuVu(QwT 1U12U2 (III)

Dado que QHQP es el peso por unidad de tiempo a través de la máquina y la carga H es la energía

potencial por unidad de peso, la potencia disponible de una turbina es HQ, si no se consideran las pérdidas.

Análogamente el rodete de una bomba desarrolla una potencia QH donde H es la carga sobre la bomba, el

intercambio de potencia resulta: HQwT (IV)

Si igualamos (III) y (IV) y despejamos H obtenemos: g

VuVuH 1U12U2 (V) (Carga Teórica)

El signo de la expresión (V) se cambia cuando se trata de una turbina.

Para una bomba la carga real "HB" desarrollada está dada por: phB HHHH e (VI)

Para una turbina la carga real "HT" se define: ph

T HHH

He

(VII)

Donde eh es la eficiencia hidráulica de la máquina y Hp representa todas las pérdidas internas de la máquina.

V1 v1

VR1 1 1

u2

2 2

v2 V2

VR2

u1

ENTRADA SALIDA

FIGURA (a)

MECANICA DE FLUIDOS


47

La eficiencia global de la máquina se reduce aun más, debido a la fricción en los cojinetes, ó la fricción del

fluido entre el rodete y la carcaza, y el fluido que circula alrededor del rodete sin pasar a través de él.

Estas pérdidas no alteran las formulas de carga H.

Las bombas generalmente se diseñan de tal manera que el momento angular del fluido a la entrada del

Impulsor sea cero.

En este caso obtenemos (VU1 = 0 1 = 90º). g

CosVuH 222 (VIII)

A su vez, las turbinas generalmente se diseñan de modo que el momento angular del fluido sea cero en la

sección de salida del rodete para condiciones de máxima eficiencia.

En este caso resulta (VU2 = 0 2 = 90º). g

CosVuH 111 (IX)

La ecuación de Bernoulli se puede escribir para una bomba teniendo en cuenta las ecuaciones (V) y (VI) así:

1

21

2

222

B Zg2

VPZ

g2

VPH 1 (X)

P111222

B Hg

)CosVu()CosVu(H

Donde se ha supuesto que todas las líneas de corriente que pasan a través de la bomba poseen la misma

energía.

Al emplear las relaciones entre la velocidad absoluta V, la velocidad relativa al rodete v, y la velocidad del

rodete u se obtienen los diagramas vectoriales mostrados en la figura (a), si aplicamos la ley de cósenos

obtenemos:

1112

121

21 CosVu2Vuv (XI)

22222

22

22 CosVu2Vuv

Al eliminar las velocidades absolutas V1 y V2 de estas ecuaciones y de la ecuación (X) obtenemos la ecuación de

pérdidas:

)ZZ(PP

g2

vv

g2

uuH 12

1221

22

21

22

P

Es decir:

1

211

2

222

21

22

P Zg2

vPZ

g2

vP

g2

uuH

Las pérdidas consisten en la diferencia de carga centrifuga g2

uu 21

22 , y el cambio del flujo relativo.

En ausencia de pérdidas el incremento de carga de presión es:

g2

vv

g2

uu)ZZ(

PPH

21

22

21

22

1212

Es decir cuando se tiene flujo a través del rodete, el aumento de carga es igual a la carga centrifuga menos la

diferencia en cargas de velocidad relativa. Cuando no existe flujo a través del rodete v1 y v2 son cero.

Las mismas expresiones se obtienen para turbinas.

MECANICA DE FLUIDOS


48

ANALISIS DIMENSIONAL Y SEMEJANZA HIDRAULICA

La teoría matemática y los resultados experimentales han desarrollado soluciones prácticas de muchos

problemas hidráulicos. En la actualidad muchas estructuras hidráulicas se proyectan y construyen solo

después de haber efectuado un amplio estudio sobre modelos.

La aplicación del análisis dimensional y la semejanza hidráulica permite al ingeniero organizar y simplificar las

experiencias, así como el análisis de los resultados obtenidos.

ANALISIS DIMENSIONAL

El análisis dimensional trata de las relaciones matemáticas de las dimensiones de las magnitudes físicas y

constituye otra herramienta muy útil de la moderna mecánica de fluidos.

En toda ecuación que exprese una relación física entre magnitudes debe verificarse la igualdad al sustituir las

magnitudes por sus valores numéricos y también por sus dimensiones.

Entre las aplicaciones del análisis dimensional se puede mencionar:

1. Conversión de un sistema de unidades a otro.

2. Desarrollo de ecuaciones

3. Reducción del número de variables requeridas en un problema experimental.

4. Establecimiento de los principios para el diseño de modelos.

DIMENSIONES Y UNIDADES

En general todas las relaciones físicas utilizadas en mecánica se pueden expresar en función de las magnitudes

fundamentales fuerza (F), masa (M), Longitud (L) y Tiempo (T).. Las cuales se relacionan entre sí por la

segunda ley de Newton: amF

La segunda ley de Newton expresada a través de las dimensiones de las magnitudes que intervienen en ella, se

escribe así: 22

TLMT

LMF

En esta expresión se observa que solo tres de las cuatro dimensiones son independientes y la cuarta se

determina por la ley anterior.

El análisis es también un medio para determinar parámetros adimensionales tales como el número de Reynold,

número de Froude, etc., mediante la agrupación de las magnitudes significativas reduciendo de este modo el

número de variables que intervienen en el problema.

En mecánica de fluidos se utilizan los siguientes métodos de análisis dimensional:

1. El método de RAYLEIGH

2. El método de BUCKINGHAM ó TEOREMA "".

METODO DE RAYLEIGH

El método de análisis dimensional propuesto por Rayleigh se expresa en forma de una ecuación exponencial, en

la cual las dimensiones de ambos lados de la ecuación deben ser homogéneas.

Si A es alguna función de variables independientes A1, A2, A3, la ecuación funcional puede ser escrita en la

siguiente forma general: ...),A,A,A(A 321

De acuerdo al principio de homogeneidad dimensional esta ecuación puede expresarse así:

....)A,A,A(KA c3

b2

a1

K = Constante adimensional, la cual se determina ya sea por las características físicas del problema ó por

mediciones experimentales.

Los parámetros adimensionales son obtenidos primeramente por evaluación de los exponentes a, b, c, de tal

forma que la ecuación es dimensionalmente homogénea y posteriormente agrupando al mismo tiempo estas

variables con potencias iguales para formar los parámetros adimensionales.

MECANICA DE FLUIDOS


49

TEOREMA "" DE BUCKINGHAM

El teorema "" de Buckingham establece que en un problema físico en que se tengan "n" magnitudes ó

variables que incluyan "m" dimensiones, las variables se pueden agrupar en "n -m" parámetros adimensionales

independientes.

En efecto sean A1, A2, A3, ..., An las magnitudes consideradas, como viscosidad, presión velocidad, etc. Se

supone que todas estas cantidades son esenciales para resolver el problema, lo cual se puede expresar

mediante la relación funcional: 0)A...A,A,A(f n321

Si 1, 2, …, representan parámetros adimensionales que agrupan a las cantidades A1, A2, A3, todas estas ,

incluyendo m dimensiones, el teorema de Buckingham establece la existencia de una ecuación de la forma: 0)....,,,(f mn,321

El método para determinar los parámetros consiste en seleccionar m de las n magnitudes A, con diferentes

dimensiones de manera que contengan entre todas ellas las m dimensiones y emplearlas como variables

repetidas al combinarlas con las magnitudes A restantes, formando así cada parámetro adimensional. Como ejemplo supóngase que A1, A2, y A3 contienen las dimensiones M, L, y T, no necesariamente en cada una

de ellas, pero si en forma colectiva, entonces el primer parámetro adimensional seria: 4Z3

Y

2X11 AAAA 111

El segundo quedaría como: 5Z3

Y

2X12 AAAA 222

Y así sucesivamente hasta el parámetro: n

Z

3

Y

2

X

1mn AAAA mnmnmn

Los exponentes de estas expresiones deberán determinarse de tal manera que cada parámetro resulte

adimensional.

Se sustituyen las dimensiones de las magnitudes A y los exponentes de M, L, y T se igualan a cero por

separado, formando así tres ecuaciones con tres incógnitas para cada parámetro , pudiéndose determinar los

exponentes x, y, z, por tanto el parámetro . Si solo se tienen dos dimensiones, entonces se seleccionan dos de las cantidades A como variables repetidas,

obteniéndose dos ecuaciones con dos incógnitas para cada parámetro . En muchos casos, el arreglo adimensional de algunas variables del problema se puede obtener por simple

inspección, el caso más simple se tiene cuando dos cantidades poseen las mismas dimensiones, siendo el

cociente de las dos un parámetro adimensional.

PROCEDIMIENTO

Los pasos a seguir en el análisis dimensional se pueden resumir en los siguientes:

1. Seleccionar las variables pertinentes, lo cual requiere conocer el fenómeno.

A1, A2, A3, A4, A5

2. Escribir las relaciones funcionales 0)A,A,A,A,A(f 54321

3. Seleccionar las variables repetidas (No se debe elegir la magnitud dependiente como variable repetida).

Estas variables deben incluir todas las m dimensiones del problema. Generalmente se selecciona una

variable que represente la escala geométrica del problema, otra que represente las condiciones

cinemáticas y en la mayoría de los casos se selecciona una variable que se relacione con la masa ó la fuerza

del sistema.

4. Escribir los parámetros en términos de los exponentes todavía desconocidos 4Z3

Y

2X11 AAAA 111

5. Escribir para cada expresión como la anotada anteriormente, las ecuaciones en términos de los

exponentes, de manera que la suma de ellos para cada dimensión sea cero.

6. Resolver las ecuaciones simultáneas resultantes.

7. Sustituir la solución del sistema de ecuaciones simultáneas en los parámetros del paso Nº 4.

8. Establecer la relación funcional: 0)....,,,(f mn,321 , ó escribir explícitamente para uno de los

parámetros : ),....,,( mn312

MECANICA DE FLUIDOS


50

SIGNIFICADO DE ALGUNOS DE LOS PARAMETROS ADIMENSIONALES

Ciertos parámetros adimensionales obtenidos por medio de análisis dimensional son de importancia al

interpretar resultados experimentales.

Algunos de estos parámetros son: Número de Reynold, Número de Froude, y Número de Weber.

NUMERO DE REYNOLD

El número de Reynold es el cociente de las fuerzas de inercia entre las fuerzas viscosas:

VD

R

Un valor crítico de este parámetro permite distinguir entre el flujo laminar y el flujo turbulento en un

escurrimiento dado; por ejemplo en el flujo a través de un tubo.

NUMERO DE FROUDE

De la relación entre las fuerzas de inercia y las fuerzas de gravedad se obtiene el siguiente parámetro

adimensional: Lg

V2

, a la raíz cuadrada de este parámetro se le conoce como Número de Froude: Lg

VF

En el caso de un flujo con superficie una libre, la naturaleza del flujo (Rápido ó tranquilo) depende de si el

número de Froude es mayor ó menor que la unidad. Este parámetro resulta de gran utilidad en el cálculo de

resaltos Hidráulicos y en el diseño de estructuras hidráulicas.

NUMERO DE WEBER

El número de Weber es el cociente de las fuerzas de inercia y las fuerzas de tensión superficial cuando el

numerador y el denominador se multiplican por "L":

LVW

2

Este parámetro es de gran importancia en el estudio de intercaras gas - líquido ó

Líquido - líquido y también cuando estas intercaras se encuentran en contacto con una frontera sólida.

SEMEJANZA HIDRAULICA Y MODELOS

Como un medio auxiliar del diseñador frecuentemente, se llevan a cabo estudios sobre modelos de

estructuras hidráulicas y de máquinas. Estos estudios permiten visualizar el flujo y hacen posible obtener

ciertos resultados numéricos y parámetros de diseño útiles por ejemplo en la calibración de vertederos y

compuertas, y en la determinación de tirantes hidráulicos.

Si se ha de obtener resultados cuantitativos con suficiente aproximación de un estudio sobre modelos,

entonces deberá existir semejanza dinámica entre modelo y prototipo, esta semejanza requiere:

1. Que se tenga semejanza geométrica exacta entre ambos sistemas.

2. Que la relación entre presiones dinámicas en puntos correspondientes sea una constante, este requisito se

puede expresar también como una semejanza cinemática (Las líneas de corriente deben ser

geométricamente semejantes)

SEMEJANZA GEOMETRICA

Existe semejanza geométrica entre modelo y prototipo cuando las relaciones entre todas las dimensiones

correspondientes u homologas entre modelo y prototipo sean iguales, tales relaciones pueden escribirse así:

Rp

m LL

L

2R

2

p

m2p

2m

p

m LL

L

L

L

A

A

(Las áreas varían con el cuadrado de las longitudes)

3R

3

p

m3p

3m

p

m LL

L

L

L

V

V

(Los volúmenes varían con el cubo de las longitudes)

La semejanza geométrica incluye la rugosidad superficial del modelo y del prototipo; si el modelo es la décima

parte del prototipo en todas las dimensiones geométricas entonces las alturas de las rugosidades deberán

guardar la misma relación.

MECANICA DE FLUIDOS


51

SEMEJANZA CINEMATICA

Entre modelo y prototipo exista semejanza cinemática cuando:

1. Las trayectorias de las partículas móviles homologas son geométricamente semejantes.

2. Las relaciones entre las velocidades de las partículas homologas son iguales.

VELOCIDAD

R

RRR

p

m

p

m

p

p

m

m

p

m

T

LTL

T

T

L

L

T

LT

L

V

V

ACELERACION

2R

R2RR2

p

2m

p

m

2p

p

2m

m

p

m

T

LTL

T

T

L

L

T

LT

L

a

a

CAUDAL

R

3R

R3R

p

m

3P

3,m

p

3p

m

3m

p

m

T

LTL

T

T

L

L

T

L

T

L

Q

Q

SEMEJANZA DINAMICA

Entre dos sistemas semejantes geométrica y cinemáticamente existe semejanza hidráulica si las relaciones

entre fuerzas homologas en el modelo y prototipo son las mismas.

Las condiciones requeridas para la semejanza completa se obtienen a partir de la segunda ley de Newton: amF

Las fuerzas que actúan pueden ser cualquiera de las siguientes o una combinación de las mismas:

1. Fuerzas de presión (Fp) 2

p LPAPF

2. Fuerzas de Inercia (FI) 22

2

22

23

I vLT

LL

T

L)L(amF

3. Fuerzas de gravedad (FG) gLgmF 3G

4. Fuerzas de Viscosidad (FV) LvLL

vA

dy

duF 2

V

5. Fuerzas Elásticas (FE) 2

E LEAEF

6. Fuerzas de Tensión Superficial (FT) LFT

Entre modelo y prototipo se desarrollan las siguientes relaciones de fuerzas:

PP

mm

PTEVaIP

mTEVaIP

am

am

)FFFFFF(Fuerzas

)FFFFFF(Fuerzas

MECANICA DE FLUIDOS


52

RELACION DE FUERZAS

1. PI FF

P

v

F

F

LP

T

L)L(

LP

T

L)L(

AP

am

F

F 2

P

I2

2

22

2

23

P

I

(Número de Euler)

2. VI FF

Lv

F

F

LL

v

vL

Ady

du

am

A

am

F

F

V

I

2

22

V

I (Numero de Reynold)

3. GI FF

gL

v

F

F

gL

vL

gm

am

F

F 2

G

I3

22

G

I

(Raíz cuadrada = Número de Froude)

4. EI FF

E

v

F

F

LE

vL

AE

am

F

F 2

E

I2

22

E

I (Número de Cauchy)

También:

E

v

F

F

E

I (Número de Mach)

5. TI FF

Lv

F

F

L

vL

L

am

F

F 2

E

I22

T

I (Número de Weber)

Para obtener la similitud dinámica entre dos diagramas de flujo cuando actúan Todas las fuerzas, todas las

relaciones de fuerzas independientes que pueden representarse, deberán ser las mismas en el modelo y el

prototipo, así la similitud dinámica entre dos diagramas de flujo todas las fuerzas están actuando se

expresan por medio de las siguientes simultaneas:

PEmE

PP

I

mP

I )N()N(F

F

F

F

PRmR

PV

I

mV

I )N()N(F

F

F

F

PFmF

PG

I

mG

I )N()N(F

F

F

F

PCmC

PE

I

mE

I )N()N(F

F

F

F

PWmW

PT

I

mT

I )N()N(F

F

F

F

MECANICA DE FLUIDOS


53

En casi todos los problemas de ingeniería las cinco ecuaciones anteriores no es necesario utilizarlas

simultáneamente debido a:

1) Algunas de estas fuerzas pueden no actuar:

2) Algunas pueden tener una magnitud despreciable, dependiendo del problema que se trate.

3) Pueden oponerse otras fuerzas de una manera tal que se reduzca el efecto de ambas.

En cada nuevo problema de semejanza se hace necesaria una comprensión completa de los fenómenos de los

fluidos para determinar como puede simplificarse satisfactoriamente el problema, por medio de la eliminación

de las fuerzas que no son aplicables, despreciables ó de compensación.

EFECTOS DE LA VISCOSIDAD Y RESISTENCIA AL FLUJO

La viscosidad es la propiedad de los fluidos que ocasiona los esfuerzos cortantes en un flujo y constituye

también uno de los medios para que se desarrollen las pérdidas ó irreversibilidades. Si no hubiera viscosidad

no se tendría resistencia al flujo.

FLUJO LAMINAR, INCOMPRESIBLE Y PERMANENTE ENTRE DOS PLACAS PARALELAS

Las ecuaciones del movimiento de un fluido real se pueden desarrollar si se consideran las fuerzas que actúan

sobre un pequeño elemento de fluido, incluyendo los esfuerzos cortantes generados por el movimiento mismo

del fluido, y por la viscosidad.

Analizando el caso general de un flujo permanente entre placas paralelas inclinadas, teniendo la placa superior

una velocidad constante "U" como se muestra en la figura.

El flujo entre dos placas fijas es un caso especial que se obtiene al hacer U = 0.

Si en la figura la placa superior se mueve paralelamente a la dirección del flujo y existe una variación de

presión en la dirección "L", el problema se puede analizar considerando un cuerpo libre en forma de una lámina

delgada de ancho unitario. Si el flujo es permanente, la lámina se moverá con velocidad constante U.

La ecuación del movimiento será:

0SenyLLydy

dLLyL

dL

dPyPyP

a

U

h

u y

dL

dh

L

L Y Sen

Lydy

d

yP

L

yLdL

dPP

)yL(

MECANICA DE FLUIDOS


54

Al dividir toda la ecuación entre el volumen del elemento simplificar obtenemos:

)hP(dL

d

dy

d

(1) Donde se ha sustituido

dL

dhθsen

Como no existe aceleración en la dirección Y, el lado derecho de la ecuación no es función

de Y. De está manera, se puede integrar fácilmente con respecto a Y, obteniendo:

A)hP(dL

dY (2)

Por otro lado, al sustituir la ley de Newton de la viscosidad

dy

du por en ecuación (2) resulta:

A

y)hP(dL

d1

dy

du

Al integrar otra vez con respecto a Y: BYA

Y)hP(dL

d

2

1u 2

Donde A y B son las constantes de integración. Para calcular dichas constantes se deben utilizar las

condiciones de frontera: Para UuaY

0u0Y

Obteniéndose: B = O BaA

a)hP(dL

d

2

1U 2

A eliminar A y B resulta: )YYa()hP(dL

d

2

1

a

UY 2u

(3)

Si las placas están en posición horizontal (h = const.), si no existe un gradiente de presión y elevación es decir

si se tiene una distribución hidrostática de presión (P + h =const.), la distribución de velocidades resulta una

línea recta. Para placas fijas U = O, obteniéndose en tal caso un perfil de velocidades Parabólico.

El caudal a través de una sección transversal fija se obtiene integrando la ecuación (3) con respecto a Y:

3a

0a)hP(

dL

d

12

1

2

UaQdyuQ

(4)

En el caso general, la velocidad máxima no se tiene en plano medio entre las dos placas.

FLUJO LAMINAR A TRAVES DE TUBOS CIRCULARES Y ENTRE CILINDROS CONCENTRICOS

Para estudiar el flujo laminar incompresible y permanente a través de un tubo circular ó entre dos cilindros

concéntricos, se puede considerar como cuerpo libre un cilindro hueco de espesor infinitesimal y aplicar la

ecuación de movimiento en la dirección L, con aceleración igual a cero.

LRR2

RLR2(dR

dLR2 )

L

dL

dPPRR2

PRR2

LR2

SenLRR2

L

aR

R

R

L

MECANICA DE FLUIDOS


55

De la figura se puede escribir:

0SenLRR2RLR2(dR

dLR2LR2L

dL

dPRR2RPR2RPR2 )

Si sustituimos

Sen por (dL

dh ) y al dividir entre el volumen del cuerpo libre ( LRR2 ) se obtiene:

0)R(dR

d

R

1hP

dL

d )( (1)

Como )( hPdL

d no es función de R, la ecuación anterior se puede multiplicar por RR , e integrar con

respecto a R obteniendo: ARhPdL

d

2

R )(2

(2) , Donde A es la constante de integración.

Para un tubo circular esta ecuación se debe satisfacer cuando R = 0; Para este caso se obtiene A = 0, al

sustituir: dR

du (3) donde el signo menos es necesario para obtener el signo adecuado del término en

la figura. (Se considera que u disminuye con R, siendo por tanto dR

du negativa.)

R

dRAdRRhP

dL

d

2

1du )(

Una integración adicional da como resultado: BRLnA

hPdL

d

2

Ru )(

2

(4)

Para calcular A y B en el caso del flujo entre dos cilindros concéntricos, como los mostrados en la siguiente

figura, se tiene u = 0 para R = b (El radio del tubo interior) y u = 0 para R = a.

Una vez que se ha sustituido A y B por sus respectivos valores calculados de la manera indicada:

R

aLn

a

bLn

baRahP

dL

d

4

1u

2222)( (5)

Obteniéndose para el caudal entre los dos tubos de la figura:

b

aLn

)ba(bahP

dL

d

8dRuR2Q

22244

a

b

)( (6)

R = a

R = b

MECANICA DE FLUIDOS


56

TUBERIA CIRCULAR

Para tubo circular; A = 0 en la ecuación (4) y se tiene u = 0 para R = a, resultando:

)( hPdL

d

4

Rau

22

(7)

La velocidad máxima Umax se presenta a lo largo del eje de simetría (R = 0) y se expresa mediante la ecuación:

)( hPdL

d

4

aU

2

max

(8)

Como la distribución de velocidades es un paraboloide de revolución, su volumen es igual a la mitad del volumen

del cilindro que lo circunscribe; por lo tanto la velocidad promedio resulta ser la mitad de su velocidad

máxima:

)( hPdL

d

8

aV

2

(9)

El caudal Q a través de del tubo es ( 2aV ), es decir: )( hPdL

d

8

aQ

4

(10)

Este caudal también se puede obtener integrando la velocidad u con respecto al área: 0

a

dRuR2Q

Para un tubo horizontal h = const. La caída de presión P en el segmento “L” se puede expresar como:

dL

dP

L

P

y sustituyendo en la ecuación (10), junto con D/2 en lugar de “a”, obtenemos:

L128

DPQ

4

(11)

Obteniéndose para la velocidad promedio: L32

DPV

2

(12)

De la ecuación (11) se puede despejar la caída de presión, la cual representa las pérdidas por unidad de

volumen: 4D

QL128P

(13)

En la última expresión se observa que las pérdidas varían directamente con la viscosidad, la longitud, y el

caudal, e inversamente con la cuarta potencia del diámetro.

Nótese además que la rugosidad del tubo no interviene en la ecuación.

La ecuación (13) se conoce como "Ecuación de Hagen - Poiseville”.

Los resultados obtenidos mediante las ecuaciones de la (1) a la (11) no son validos en la región de la entrada a

un tubo. Si el fluido entra al tubo desde un depósito a través de una entrada abocinada, la velocidad será al

principio uniforme en toda la sección transversal.

Dado que en la pared del tubo la velocidad debe ser cero, el fluido se ve frenado en la zona cercana a la pared

debido a la acción del esfuerzo cortante. Teniendo en cuenta la ecuación de continuidad, se concluye que la

velocidad deberá incrementarse en la región central del tubo por el efecto señalado anteriormente.

RESISTENCIA AL FLUJO TURBULENTO

El esfuerzo cortante en la pared del conducto de sección transversal constante a través del cual se tiene un

flujo Turbulento, Incompresible y Uniforme varía aproximadamente al cuadrado de la velocidad. 2

V20

donde es un coeficiente adimensional.

MECANICA DE FLUIDOS


57

En canales abiertos y en conductos cerrados de sección no circular, el esfuerzo cortante no es constante

sobre la superficie en estos casos 0 se toma como el promedio del esfuerzo cortante en la pared.

La figura muestra las fuerzas en dirección axial sobre un elemento de fluido en un conducto abierto.

Al aplicar la ecuación de cantidad de movimiento al volumen de control que comprende al líquido entre las

secciones (1) y (2) de la figura, bajo los supuestos hechos anteriormente da como resultado que no existe

flujo neto de cantidad de cantidad de movimiento hacia afuera del volumen de control, indicando que se tiene

equilibrio de fuerzas en la dirección del movimiento: m021 LPZAA)PP( donde senLZ y Pm es el

perímetro mojado del conducto, el cual se define como la parte del conducto donde las paredes se encuentran

en contacto con el fluido, es decir se excluye la superficie libre del líquido. El cociente mP

A se denomina Radio

Hidráulico (Rh) del conducto.

Si 21 PPP entonces: m0m0 LP)ZP(ALPZAAP

L

ZP

RL

)ZP(R

LP

)ZP(A

h

0h

m0

h

2

R2

V

L

ZP

Al dividir toda la ecuación entre y hacer

ZPHf (Pérdidas por unidad de peso) se tiene:

g2

V

RS

L

H 2

h

f donde "S" representa las pérdidas por unidad de longitud.

Al despejar "v" obtenemos: SRCVSRg2

V hh

Esta ecuación constituye la formula de "CHEZY", en la cual el coeficiente "C" de Chezy se pensó

originalmente que era una constante para cualquier tamaño de conducto ó condición en la superficie de la

pared. En la actualidad se emplean varias formulas para encontrar el valor de "C".

Para tuberías donde 4

f y

4

DRh , se obtiene la ecuación de Darcy - Weisbach:

g2

V

D

LfH

2

f

Esta ecuación se puede aplicar a canales abiertos en la forma: SRf

g8V h

Con valores de "f" determinados de experimentos con tuberías.

La ecuación de Darcy - Weisbach se utiliza generalmente en cálculos de flujo en tuberías.

Hf es la pérdida de carga, ó caída de la línea de cargas piezométricas, a lo largo de la longitud "L", de la

tubería de diámetro "D" y con la velocidad promedio "v". Las dimensiones de Hf son de longitud.

ZASenAL

LA

m0LP

22AP

11AP

z

(1)

(2)

MECANICA DE FLUIDOS


58

El factor de fricción " f " es el factor adimensional necesario para que la ecuación produzca el correcto, valor

de las pérdidas. Todas las variables de la ecuación de Darcy, excepto f se pueden determinar

experimentalmente.

Los experimentos indican que para flujo turbulento, las pérdidas de carga:

1- Varían directamente con la longitud de la tubería.

2- Varían aproximadamente con el cuadrado de la velocidad.

3- Varían aproximadamente con el inverso del diámetro.

4- Depende de la rugosidad de la superficie interior del tubo )(

5- Depende de las propiedades de densidad y viscosidad del fluido.

6- Son independientes de la presión.

Para tubos rugosos, el término D

se conoce como "Rugosidad Relativa".

Nikuradse comprobó la validez de este concepto mediante sus experimentos con tubos de rugosidad artificial

logradas con granos de arena.

Los experimentos indicaron que para cierto valor de D

los valores correspondientes a “f” contra NR quedan

incluidos en una sola curva, sin importar el diámetro real del tubo. Por tanto se pudo comprobar que para un

tipo de rugosidad:

D

,Nff R

DIAGRAMA DE MOODY

L. F. Moody construyo una de las cartas más útiles para determinar ángulos de fricción en tubos comerciales

limpios. Esta grafica constituye la base para los cálculos de tuberías.

La carta es un diagrama que expresa el factor de fricción como factor de la rugosidad relativa (/D) y del

número de Reynolds.

Los valores de rugosidad absoluta () de los materiales más utilizados en la fabricación de tuberías

generalmente aparecen enlistados en la esquina superior izquierda del diagrama de Moody. (Ver figura).

La línea recta denominada flujo laminar corresponde a la ecuación de Hagen-Pouseville.

Efectivamente la ecuación para flujo laminar en una tubería: 4D

QL128P

Se puede transformar sustituyendo fhP y y despejando hf, obteniendo:

gD

QL128

D

QL128h

44f

También

4

DVVAQ

2

Sustituyendo:

gD

VL32

4gD

DVL128h

24

2

f

Multiplicando por

V2

V2 obtenemos:

Dg2VD

LV64

)V2(gD

)V2(VL32h

2

2f

Pero:

VD

NR g2

V

D

L

N

64h

2

Rf De Darcy:

g2

V

D

Lfh

2

f

De donde se obtiene: RN

64f (Flujo laminar).

La ecuación anterior representa una línea recta con pendiente (-1) en escalas logarítmicas, la cual se puede

utilizar como solución para problemas de flujo laminar a través de tubos.

Es aplicable para todas las rugosidades, ya que la pérdida de carga para flujo laminar es independiente de la

rugosidad de la pared.

MECANICA DE FLUIDOS


59

Se puede observar en el diagrama de Moody (ver figura) que las curvas correspondientes a rugosidades

relativas menores a 001.0D

tienden a caer sobre la curva de tubos lisos al disminuir el número de Reynolds.

Esto se puede explicar por la presencia de una película laminar en la pared del tubo cuyo espesor disminuye

conforme crece el número de Reynolds.

Para ciertos rangos del número de Reynolds en la zona de transición, la película cubre completamente las

proyecciones de las rugosidades pequeñas y el tubo posee un factor fricción igual al de tubos lisos.

Para números de Reynolds mayores, algunas de las rugosidades a través de la película laminar producen

turbulencia adicional que aumenta la pérdida de carga.

En la zona llamada "Tubos rugosos, turbulencia completa", el espesor de la película es despreciable y cada

rugosidad contribuye de lleno a la turbulencia.

El diagrama de Moody es adimensional por lo cual se puede utilizar con cualquier sistema coherente de

unidades.

El diagrama de Moody puede utilizarse con tuberías de sección no circular sustituyendo el diámetro "D" por

4RH.

En sustitución del Diagrama de Moody para calcular el factor de fricción “ f ” se puede utilizar la siguiente

formula: 2

9.0R )N(

74.5

D7.3ln

325.1f

Esta ecuación es valida para. 8R

26 10N5000y10D

10

PROBLEMAS SIMPLES DE TUBERIAS

Los casos de flujo simple en tuberías que son básicos para la solución de problemas más complejos son:

TIPO DATOS DETERMINAR

I Q, L, D, , hf

II hf, L, D, , Q

III hf, L, Q, , D

Los problemas del tipo I son los más sencillos ya que los datos proporcionados permiten una resolución de

forma directa.

Debido a que Q ó D son desconocidos en los problemas del tipo II y III el Numero de Reynolds se desconoce

desde el principio, por lo que una solución directa es imposible, siendo necesario asumir un valor inicial de “ f ”

y obtener la solución final mediante un proceso de tanteos.

En cada uno de estos casos se utilizan, la ecuación de Darcy, la de continuidad, y el diagrama de Moody, para

determinar la variable incógnita.

Para la resolución de los problemas se recomiendan los siguientes procedimientos:

PROBLEMAS TIPO I (Determinar Perdidas por Fricción)

1. Calcular la velocidad utilizando la ecuación de Continuidad (Q = VA).

2. Calcular el Numero de Reynolds (

VD

NR ).

3. Calcular Rugosidad relativa (D

).

4. Con

Dy)N( R obtener “ f ” de Diagrama de Moody.

Con “ f ” calcular perdidas por fricción utilizando La ecuación de Darcy: g2

V

D

Lfh

2

f

MECANICA DE FLUIDOS


60

PROBLEMAS TIPO II (Determinar Caudal)

1. Utilizando la ecuación de Darcy obtener una ecuación de “V” en función de “ f ”:

f

1

L

hDg2V f (I)

2. Calcular (D

) y asumir un valor de “ f ” en la curva correspondiente.

3. Con el valor de “ f ” Calcular la velocidad con ecuación (I).

4. Calcular el Numero de Reynolds (

VD

NR ).

5. Con

Dy)N( R obtener “ f ” de Diagrama de Moody

6. Si el valor de “ f ” encontrado es diferente del asumido volver a paso Nº 3 y repetir el procedimiento

hasta encontrar el valor correcto, que será cuando se repita el mismo valor de “ f ” en dos cálculos

sucesivos.

7. Con el último valor de velocidad calculado determinar el caudal utilizando la ecuación de continuidad.

PROBLEMAS TIPO III (Determinar Diámetro)

1. Utilizando la ecuación de Continuidad obtener una ecuación de “V” en función de “D”.

2D

1Q4V

2. Sustituir la relación anterior en la ecuación de Darcy para obtener una ecuación de “D” en función de “ f ”.

51

51

)f(hg

LQ8D

f2

2

3. Asumir un valor de “ f ” y con las ecuaciones anteriores calcular “D” y “V”.

4. Determinar el Numero de Reynolds (

VD

NR ) y la rugosidad relativa

D.

5. Con

Dy)N( R obtener “ f ” de Diagrama de Moody.

6. Volver al paso Nº 3 y repetir el procedimiento hasta encontrar el valor correcto de “ f ” y el

correspondiente diámetro.

MECANICA DE FLUIDOS


61

DIAGRAMA DE MOODY

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