Teoría de Sistemas y SeñalesTeoría de Sistemas y Señales

Transparencias:Teorema del MuestreoTeorema del Muestreo

Muestreo en el dominio FrecuencialMuestreo en el dominio FrecuencialAutor: Dr. Juan Carlos Gómez

TeSyS 2

Muestreo de Señales AnalógicasMuestreo de Señales Analógicas1. Conversión A/D y D/ALa mayoría de las señales de interés son de tipo analógico. Para procesar estas señales en forma digital es necesario convertirlas en una secuencia de números de precisión finita.

Conversión Analógica / Digital (A / D)Los dispositivos que realizan esta operación se denominan Conversores A/D. El proceso de conversión A/D consta de los siguientes pasos:

Muestreo CodificaciónCuantizaciónxa(t) x(n) xq(n) 01011..

Señal Analógica Señal en T.D. Señal Cuantizada Señal DigitalFig. 1. Conversión Analógica/Digital

TeSyS 3

En muchos casos de interés práctico es necesario reconvertir la señal procesada digitalmente a la forma analógica

Conversión Digital / Analógica (D / A)Los dispositivos que realizan esta operación se denominan Conversores D/A. El proceso de conversión D/A consta de los siguientes pasos:

ConversorD/A

Filtro PB de alisado

Muestreo y Sostén (S/H)

Señal Digital Señal Analógica Señal Analógica Señal Analógicade Entrada con “glitch” en escalera de salida

Fig. 2. Conversión Digital/Analógica

TeSyS 4

2. Muestreo en el Dominio Temporal

Nos limitaremos a muestreo uniforme o periódicox(n) = xa(nT) -∞< n <∞

x(n) se obtiene tomando muestras de xa(t) cada T segundos

FS = 1/T

xa(t) x(n) = xa(nT) Señal Señal Analógica en TD

Muestreador

FS = 1/TMuestreador

x(n)

012 n

xa(t)

0 t

Fig. 3. Muestreo Ideal

Fig. 4. Muestreo Ideal

TeSyS 5

Variable continuo: ttiempo discreto: n

continuo: Fxa(t)= A cos(2π.F.t)

Frecuencia discreto: fxa(nT)= x(n) = A cos(2π.n.F / FS)

Rango de continuo: -∞ < F < ∞ -∞ < Ω < ∞Frecuencias discreto: -1/2 < f < 1/2 - π < ω < π

Analizaremos el muestreo en el dominio frecuencial determinando la relación entre el espectro de xa(t) y el espectro de x(n)

t = n.T = n / FS

f = F / FS ω= Ω.T

TeSyS 6

Si xa(t) es una señal no periódica con energía finita, su Transformada de Fourier es:

(1)

La señal puede recuperarse a partir de su espectro Xa(F) a través de la transformada inversa

(2)El espectro de la señal en TD x(n) obtenida muestreando xa(t) viene dado por la Transformada de Fourier

(3)

o equivalentemente(4)

( ) ( ) dtetxFXtFj

aa

π2−∞

∞−∫=

( ) ( ) dFeFXtxtFj

aa

π2

∫∞

∞−

=

( ) nj

nenxX )( ωω −

∞

∞−=∑=

( ) nfj

nenxfX 2)( π−

∞

∞−=∑=

TeSyS 7

La señal x(n) puede recuperarse a partir de su espectro usando la transformada inversa

(5)

Considerando (2) y que x(n)=xa(nT) , podemos escribir:

(6)

Comparando (5) y (6) podemos concluir que:

Considerando que f = F / FS ⇒ df = dF / FS , resulta:

(7)

( ) ( ) ( ) dfefXdeXnxnfjnj πω

π

π

ωωπ

22/1

2/121

∫∫−−

==

( ) ( ) dFeFXnTxnx sFFnj

aa

/2

)(π

∫∞

∞−

==

( ) ( ) dFeFXdfefX sFFnjnfj

a

/222/1

2/1

ππ

∫∫∞

∞−−

=

( ) ( ) dFeFXdFeFFXF

sFFnjsFFnjsF

sFaS

S

/2/22/

2/

/1 ππ

∫∫∞

∞−−

=

TeSyS 8

La integral en el lado derecho de la igualdad anterior puede escribirse como:

Comparando esta expresión con el lado izquierdo de (7) podemos concluir:

o

( ) ( )

( )

[ ( ) ] dFekFFX

dFekFFX

dFeFXdFeFX

sFFnjsF

sF

sFFnjsF

sF

sFFnjsFk

sFk

sFFnj

Sak

Sak

ak

a

/22/

2/

/22/

2/

/221

21

/2

π

π

ππ

+=

+=

=

∑∫

∫∑

∫∑∫

∞

∞−=

∞

∞−=

∞

∞−=

−

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

∞

∞−

( )Sak

SS

kFFXFFFX +=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∑∞

∞−=

( ) [( ) ]Sak

S FkfXFfX += ∑∞

∞−=

Cambio de variableF’= F - k.FS y

luego F’= F

TeSyS 9

El espectro X(f) de la señal en TD consiste de una repetición periódica del espectro escalado FS Xa(F) de la señal en tiempo continuo.

Ejemplo:Señal de banda limitada ⇒ Xa(F) = 0 para | F | ≥ BFig. 5. b. → FS ≥ 2B → No hay “aliasing”

En este caso el espectro de la señal en tiempo discreto es idéntico (con el factor de escala FS) al espectro de la señal analógica en el rango fundamental de frecuencias | F | ≤ FS /2 o | f | ≤ 1 /2

( ) 2/|| SaSS

FFFXFFFX ≤=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

TeSyS 10

Fig. 5.c./d. → FS < 2B → “aliasing”

La continuación periódica de Xa(F) resulta en sobreposiciónde espectros.El espectro X(F/FS) de la señal en TD contiene componentes de frecuencia que son “alias” del espectro de la señal analógica. La presencia de aliasing impide que la señal original pueda recuperarse a partir del espectro de la señal muestreada.

TeSyS 11

( ) ( )FXtx aa

( )txa

( ) ( ) ( )S

a FFXnTxnx =

FBBt 00 −

FFFFnT SSS 2/00 −

FFFFnT SSS 2/00 −

( ) ( ) ( )S

a FFXnTxnx =

FFFnT SS 00 −

( ) ( ) ( )S

a FFXnTxnx =

( ) ( )FXtx aaˆˆ

FFFt SS 2/02/0 −

( )SF

FH

Fig. 5. Espectros de la señal analó-gica y de la señal muestreada

a.

b.

c.

d.

e.

TeSyS 12

Dada la señal en tiempo discreto con espectro X(F/FS) sin aliasing, la señal analógica original puede reconstruirse a partir de la señal muestreada.

En efecto, en ausencia de aliasing:

por lo que:

( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

>

≤⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

2/||0

2/||1

S

SSSa

FF

FFFFX

FFX

( ) ( )

dFeFFX

F

dFeFXtx

tFjsF

sF

tFjsF

sF

SS

aa

π

π

22/

2/

22/

2/

1⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

=

∫

∫

−

− TransformadaInversa de Fourier

TeSyS 13

Por definición:

Reemplazando en la ecuación anterior:

( ) sFnFj

kS

enxFFX /2π−

∞

∞−=∑=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

( ) [ ( ) ]

( ) ( )dFenxF

dFeenxF

tx

ssF

sF

sF

sF

FntFj

nS

tFjFFnj

nSa

/2

2/2

2/

2/

2/

2/

1

1

−∞

∞−=

−∞

∞−=

∫∑

∑∫

−

−

=

=

π

ππ

( ) ( )

( )

( )T

nTtT

nTt

nTxtx an

a −

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −

= ∑∞

∞−= π

πsen.

Fórmula de

reconstrucción

TeSyS 14

Definimos:∆

Teorema de Muestreo:Si la máxima frecuencia contenida en una señal analógica xa(t) es Fmax= B y la señal es muestreada con una frecuencia FS > 2 Fmax= 2 B, entonces xa(t) puede ser exactamente recuperada a partir de las muestras xa(nT)mediante el uso de la fórmula de interpolación ideal.

( ) ( )Tt

Tttg/

/senππ

=

( ) ( ) ( )nTtgnTxtx an

a −= ∑∞

∞−=

.

Función deinterpolación

Fórmula deinterpolación

ideal

TeSyS 15

Interpolación Ideal – Teorema de Muestreo

A FN = 2B se la denomina Tasa de Muestreo de Nyquist

TeSyS 16

En la práctica, se emplea un prefiltro de antialiasingantes de muestrear la señal para asegurar que las componentes de frecuencia por encima de FS/2 están suficientemente atenuadas y de esta forma el aliasing no produce distorsión apreciable.

Ejemplos:1.Aliasing en señales senoidales

xa(t)= cos 2π F0t2.Muestreo de señales de banda no limitada

xa(t)= e -A| t | A>0

( )( )222

2

FAAFX aπ+

=

TeSyS 17

3. Muestreo en el Dominio FrecuencialConsideremos la representación de una señal x(n) en TD mediante muestras de su espectro X(ω) → DFTSea x(n) señal aperiódica de energía finita.Sabemos que x(n) tiene un espectro continuo

Suponemos que X(ω) es muestreada periódicamente en frecuencia con un espaciamiento entre muestras δω.Tomamos N muestras equidistantes en un período de X(ω)en el rango 0 ≤ ω < 2π. Tenemos entonces:

δω = 2π / N

( ) ( ) nj

nenxX ωω −

∞

∞−=∑=

TeSyS 18

Evaluamos (1) en ω=2π.k/N:

que puede escribirse:

( ) 1,,1,0,.2 /2 −==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

∞

∞−=∑ Nkenx

NkX Nnkj

nKππ

( ) ( )

( )

[ ( ) ] NmkjN

m

NnkjNN

Nn

NnkjN

n

Nnkj

Nn

eNmx

enx

enxenxN

kX

/21

0

/21

/21

0

/21.2

π

π

πππ

−∞

∞−=

−

=

−−+

=

∞

∞−=

−−

=

−−

−=

+=

=

+++=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∑∑

∑∑

∑∑

l

KK

l

l

ll

= xp(n)

m→ n - l.N

TeSyS 19

La señal xp(n) se obtiene como una repetición periódica de x(n) cada N muestras.xp(n) es entonces periódica de período N y puede expandir-se en serie de Fourier

con:

Comparando está expresión con la vista anteriormente

y por lo tanto:

( )

( ) Nnkj

Nnkj

enxN

c

Nnecnx

p

N

nk

k

N

kp

/2

/2

1

0

1

0

1

1,,1,0

π

π

−−

=

−

=

∑

∑

=

−== K

1,,1,0,21−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= Nk

NkX

Nck K

π

( ) 1,,1,0,21 /21

0

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= ∑

−

=

NneN

kXN

nxNnkj

N

kp K

ππ

TeSyS 20

La ecuación anterior permite reconstruir la señal periódica xp(n) a partir de las muestras del espectro X(ω) de x(n).Sin embargo, nuestro objetivo es reconstruir x(n) o X(ω) a partir de las muestras de X(ω). Debemos entonces hallar la relación entre xp(n) y x(n).Como xp(n) es la repetición periódica de x(n) es claro que x(n) puede recuperarse de xp(n) si no hay aliasing en el dominio temporal, es decir si x(n) es de duración finita menor que el período N de xp(n).Es decir, si L < N, entonces:

x(n) = xp(n) 0 ≤ n ≤ N - 1En caso contrario, N < L, no es posible recuperar x(n) a partir de xp(n) debido al aliasing en el dominio temporal.

TeSyS 21

Como en el caso de señales en tiempo continuo es posible expresar el espectro X(ω) en términos de las muestras X(2πk/N) con k=0,1,...,N-1.La fórmula de interpolación en este caso resulta:

donde la función interpolación P(ω) está definida como:

( ) LNN

kPN

kXXN

n≥⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=∑

−

=

πωπω 2.21

0

( ) ( )( )

( ) 2/1

2/2/ −−

=Nj

eNsen

NsenPω

ωωω

TeSyS 22

4. Transformada Discreta de Fourier (DFT)Si muestreamos el espectro X(ω) en frecuencias igualmente espaciadas ωk=2π.k/N con k=0,1,...,N-1, donde N ≥ L (la duración de la señal x(n) ) las muestras resultan

( ) ( ) 1,,1,0,.2 /21

0−==⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= −

−

=∑ Nkenx

NkXX

NnkjN

nk K

ππω

DFT

Se define entonces la Transformada Discreta de Fourier con N puntos como

( ) ( ) 1,,1,0,/2

1

0−== −

−

=∑ NkenxkX

NnkjN

nK

π

Vemos entonces que si la señal es de longitud , la transformada Discreta de Fourier con N puntos puede

NL ≤

TeSyS 23

Para el caso en que , la señal x(n) puede recuperarse a partir de las muestras X(k) definiendo la Transformada Discreta de Fourier Inversa (IDFT):

( ) ( ) 1,,1,01 /21

0−== ∑

−

=

NnekXN

nxNnkj

N

kK

π

IDFT

pensarse como muestras del espectro X(ω) en las frecuencias equiespaciadas ωk=2π.k/N con k=0,1,...,N-1. Notar que si en cambio no se verifica que , entonces la DFT con N puntos de la señal no puede pensarse como muestras del espectro X(ω) .

NL ≤

NL ≤