muestreo de señales

7/26/2019 Muestreo de Seales

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5Muestreo de seales

5.1. Introduccin

En los captulos anteriores se han tratado diferentes aspectos de las seales discretas, sin

importar su origen. En este captulo se considera que las seales discretas estn rela-

cionadas con una seal de tiempo continuo; en otras palabras, las sucesiones discretas

sern consideradas como la representacin de una seal continua. Es notable que, bao

ciertas restricciones, una seal continua en el tiempo pueda ser representada solamente

por algunos de sus !alores, correspondientes a determinados instantes "discretos# de

tiempo, $ tambi%n que pueda ser recuperada a partir de ellos. Esta propiedad sorpren-dente es consecuencia de un resultado bsico que se conoce como teorema del muestreo.

Este teorema es e&tremadamente importante $ mu$ 'til, $ sus resultados se e&plotan en

infinidad de aplicaciones. (or eemplo, una pelcula de cine est formada por un conunto

de cuadros fios, cada uno de los cuales representa una !ista instantnea "una muestra# de

una escena animada. )uando estos cuadros fios se miran como una sucesin temporal, a

una !elocidad suficiente, se percibe una representacin fiel de la escena animada orig-inal.

*tro eemplo "fuera del campo de la ingeniera electrnica# es una foto impresa en un

diario. Estas imgenes suelen estar formadas por pequeos puntos aislados, de tres o

cuatro colores que corresmponden a muestras espaciales de la imagen a representar. +i la

separacin espacial de los puntos "las muestras# es suficientemente pequea, desde una

cierta distancia dan la impresin de una imagen continua; solo el e&men con una lupare!ela la naturalea discreta.

a importancia del teorema del muestreo radica en que establece un puente entre las

seales de tiempo continuo $ las de tiempo discreto. )omo se discutir en detalle, la

posibilidad de representar completamente una seal continua por una sucesin de mues-

tras instantneas "bao ciertas condiciones# establece una manera de representar seales

continuas por seales discretas. En muchos conte&tos, el procesamiento de las seales

discretas permite ma$or fle&ibilidad $ a menudo es preferible al tratamiento de seales

continuas, en parte debido a la e&istencia de hardare digital poderoso, programable $

bao costo. Esta tecnologa ofrece la posibilidad de e&plotar el concepto de muestreo para

con!ertir una seal continua a una discreta, $ luegor de procesarla ustiliando un sistema

discreto, !ol!er a con!ertirla para tener nue!amente una seal de tiempo continuo. En

otras palabras, el procesamiento de seales continuas puede implementarse como la cas-

/


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2 5. Muestreo de seales

0ig. 5./. 1iagrama bloque de un con!ersor continuo a discreto ")21# ideal.

cada de tres sistemas3 un muestreador, un sistema discreto, $ un reconstructor que

permite obtener una seal continua a partir de las muestras. Esta forma de trabao es

habitual en los sistemas actuales de comunicaciones, entretenimiento, etc.

5.2. Muestreo peridico

4unque e&isten otras posibilidades "+teiglit, /5; *ppenheim $ 6ohnson, /78# lamanera habitual de obtener una representacin discreta en el tiempo de una sealcontinua en tiempo es tomado muestras cada determinado perodo de tiempo 9. Enotras palabras, la seal discreta &:n se obtiene al tomar muestras cada 9 segundos de

una seal continua &c"t#, de acuerdo a la relacin

&:n < &c"t#jts< 8pfs< 8p29.

El sistema que implementa la operacin indicada en la ecuacin "5./# es un con!ersorcontinuo a discreto ideal, abre!iado )21, $ representado por el diagrama bloque de la

0ig. 5./. )omo eemplo de la relacin entre &c"t# $ &:n se puede obser!ar en la 0ig. 8.8la forma de onda de una seal de !o $ la sucesin de muestras asociada.

En la prctica la operacin de muestreo se lle!a a cabo por un con!ersor analgico digi-tal,

notado 421. Este sistema puede pensarse como una apro&imacin al con!ersor )21 ideal,

pero tiene algunas diferencias que no es con!eniente dear de lado. 4lgunas con-

sideraciones importantes en la implementacin o seleccin de un con!ersor 421 son la

0ig. 5.8. 9res seales de tiempo continuo que toman id%nticos !alores en los enteros

m'ltiplos de 9.

Procesamiento Digital de Seales U.N.S.

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5.2. Muestreo peridico 3

0ig. 5.?. Muestreo con un tren de impulsos peridico seguido por una con!ersin a una sucesin

discreta. Modelo matemtico "a#; la seal &s"t# para dos perodos de muestreo 9 < 9/$ 9

< 98"b#; sucesin de salida para dos perodos de muestreo distintos "c#.

resolucin en bits, la linealidad de los pasos de cuantiacin, la necesidad de circuitos

mantenedores, $ la frecuencia de muestreo m&ima. os efectos de cuantiacin se

dis-cuten en las secciones 5.//.8 $ 5.//.?. *tros aspectos importantes de la

con!ersin 421 estn !inculados a la implementacin electrnica de tales circuitos, $

un detalle somero se presenta en la +eccin @@@.

En general, la operacin de muestreo no es in!ertible3 dada la salida &:n del muestreador

no es posible reconstruir la seal continua original &c"t#, $a que muchas funciones contin-

uas en tiempo pueden producir la misma sucesin de muestras. En la 0ig. 5.8 se muestrantres seales continuas que tienen el mismo !alor en m'ltiplos enteros de 9, es decir

&/"n9# < &8"n9# < &?"n9#.

a ambigAedad inherente al proceso de muestreo es una caracterstica fundamental en

el procesamiento de seales. 4fortunadamente es posible remo!er esta ambigAedad

re-stringiendo la clase de seales aplicadas al muestreador.

(ara estudiar el proceso de muestreo es con!eniente adoptar la representacin

matemti-ca que se muestra en la 0ig. 5.?"a# que est compuesta por dos etapas3

una multiplicacin por un tren de impulsos peridicos;

Procesamiento Digital de Seales U.N.S. 2011


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la con!ersin del tren de impulsos a una sucesin de n'meros.

En la 0ig. 5.?"b# se muestra una seal continua &c"t#, $ el resultado de multiplicarla pordos trenes de impulsos peridicos de distinto perodo. as sucesiones de salida

respec-ti!as se muestran en la 0ig. 5.?"c# . a diferencia principal entre &s"t# $ &:n es

que &s"t# es una funcion BcontinuaC "especficamente, un tren de impulsos modulado

por &c"t## que se anula para todo t que no sea m'ltiplo de 9. (or otro lado, la sucesin&:n est indiada por la !ariable entera n3 la sucesin &:n no contiene informacin

e&plcita so-bre el perodo de muestreo 9. 4dems, las muestras de &c"t# estnrepresentados por los n'meros finitos que componen la sucesin &:n $ no por las

reas de los impulsos, como ocurre con &s"t#.

El esquema de la 0ig. 5.?"a# es solamente un modelo matemtico que resulta

con!eniente para comprender el proceso de muestreo tanto en el dominio tiempo

como en el dominio frecuencia, $ no es una representacin de un circuito o sistema

fsico que implemente la operacin de muestreo. En general, los circuitos encargadosde con!ertir una seal analgica en una discreta no siguen la estructura de este

diagrama en bloques, $ e&isten muchas maneras distintas de lle!ar a cabo tal

con!ersin. a !entaa de la representacin de la 0ig. 5.?"a# es que permite deri!ar de

manera sencilla un resultado fundamental, $ facilita la obtencin de muchos resultados

que seran complicados de deri!ar utilian-do un planteo ms formal basado en la

manipulacin de ecuaciones que in!olucren la transformada de 0ourier.

5.. !epresentacin "recuencial del muestreo

(ara obtener la relacin entre la entrada $ la salida de un con!ersor continuo2discreto")21# ideal en el dominio frecuencial, es con!eniente considerar primero la con!ersin

de la seal continua &c"t# en un tren de impulsos continuos &s"t#, como se muestra enla 0ig. 5.?"a# . Esto se puede conseguir modulando el tren de impulsos

p9"t# < Dd"t n9#,n

"donde d"t# es el delta de 1irac estudiado en el )aptulo 8# con la seal continua &c"t#3

&s"t# < &c"t#p9"t#

< &c"t# Dd"t n9#. "5.8#n

4plicando la propiedad de BcoladorC del impulso, &s"t# se puede e&presar como

&s"t# < D&c"n9#d"t n9#. "5.?#

n

representada en la 0ig. 5.?"b# . a transformada de 0ourier de &s"t# puede calcularse f-cilmente aplicando propiedades. a seal &s"t# es el producto de la seal continua &c"t# $

del tren de impulsos p9"t#; por lo tanto, la transformada de 0ourier s" f # de &s"t# es lacon!olucin entre las transformadas de 0ourier c" f # de &c"t# $ (9" f # de p9"t#3

s" f # < c" f # (9" f #,


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5.. !epresentacin "recuencial del muestreo 5

0ig. 5.F. Efectos en el dominio frecuencia del muestreo en el dominio tiempo. Espectrode la seal original "a#; espectro del tren de impulsos "b#; espectro de la seal

muestreada con 0s#8 fG"sin aliasing # "c#.

donde B C indica la con!olucin lineal,s" f # hittaIer "el padre de6. M#, que trataba sobre la interpolacin de funciones, $ donde se in!estigaban las

propiedades de la funcin cardinal $ se mostraba que era de banda limitada.



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%a3la 5.3Nitos en el desarrollo de la serie cardinal.

/LF/ )auch$ BdescubreC la primera !ersin conocida del teorema del muestreo.

/L7 Torel reconoce la posibilidad de recuperar una seal de banda limitada a

partir de sus muestras.

//5 E. 9. >hittaIer publica un artculo mu$ citado sobre la serie cardinal.

/8 K. *gura enuncia por primera !e el teorema del muestreo, $ cita como

fuente el artculo de >hittaIer de //5.

/8L N. G$quist establece una cota sobre la !elocidad de transmisin de una seal

telegrfica.

/8L K .KApfmAller establece cotas sobre la !elocidad de !ariacin de seales

para mantener la estabilidad de un proceso de control a lao cerrado.

/8 4. M. >hitaIIer acua el t%rmino serie cardinal.

/?? 4. KotelniIo! "Husia# publica su teorema del muestreo.

/? N. Haabe "alemania# enuncia una !ersin del teorema en su tesis doctoral.

/F/ >. H. Tennet publica un trabao sobre telefona m'ltiple& donde cita el

artculo de Haabe.

/FL ). E. +hannon publica un artculo que Bin!entaC la teora de informacin, donde

inclu$e el teorema del muestreo, $ cita como fuente el trabao de Tennett.

/F Q. +ome$a $ 6. 1. >eston producen independientemente !ersiones del

teorema en 6apn e Qnglaterra, respecti!amente.

/5 N. (. Kramer generalia el teorema del muestreo para funciones limitadas

en banda de forma en forma menos con!encional.

/J8 1. (. (eterson $ 1. Middleton e&tienden el teorema de muestreo a

ma$or cantidad de dimensiones

/JL 4. (apoulis publica una generaliacin del teorema del muestreo, $ muestra

que un n'mero de generaliaciones pre!ias son casos particulares.

a primera formulacin clara $ distinti!a del teorema del muestreo se debe a +hannon

en dos trabaos publicados en /FL $ /F; sin embargo G$quist "/8L# discuti temas

similares, !inculados a la !elocidad de trasmisin de seales telegrficas, unos !einte

aos antes. 1ebido a que la cota encontrada por G$quist coincide num%ricamente con

la mnima frecuencia de muestreo para una seal de ancho de banda limitada, con el

paso del tiempo las contribuciones de G$quist $ +hannon frecuentemente se han

confundido. +in embargo, G$quist nunca consider e&plcitamente el muestreo de una

seal en el dominio temporal.

Na$ pocas dudas que el artculo de KotelniIo! publicado en Husia en /?? "unos quince

aos antes que +hannon# fue el primero en tratar el problema de muestrear una seal

continua de ancho de banda limitado en un conte&to ingenieril, a'n cuando las bases

tericas del muestreo $a haban sido consideradas por un puado de matemticos. (or

moti!os polticos, este trabao no fue conocido fuera de la Unin +o!i%tica, mientras que el

artculo de +hannon se difundi rpidamente por todo el mundo. 1e manera ms !erbal $menos e&plcita, el teorema tambi%n haba sido descrito en la literatura germana


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5.1. !esea Bistrica 137

0ig. 5.. 1etalle de la patente de >. M. Miller "/?# de un circuito Bmultiple&Ccu$a Onalidad es

Bpermitir que un cierto n'mero de comunicaciones telefnicas tengan lugar sobre una

lnea o circuito sin interferirse unas a otrasC3 una de las primeras aplicaciones prcticasdel muestreo, a'n antes que se hubiese desarrollado la teora.

en la tesis de doctorado de Haabe "/?#. *tros autores han destacado que Q. +ome$a

"/F# en 6apn $ 6. 1. >eston en Qnglaterra introdueron el teorema casi simultneamente

con +hannon. (osteriormente se han publicado !arias e&tensiones $ generaliaciones del

teorema del muestreo, acti!idad que se contin'a hasta el presente.

5.1.1. Has eperiencias

os intentos de transmitir ms de una seal simultneamente sobre una lnea 'nicacomenaron apenas despu%s que la telegrafa obtu!o sus primeros %&itos comerciales

alrededor de /LF. as primeras e&periencias se basaron en la multiple&acin por di-!isin

de tiempo "91M#, $ las primeras propuestas, utiliando conmutadores rotati!os

sincroniados se deben a 0. ). TlacIell "/LFL#, 4. V. Geton "/L5/#, $ M. T. 0armer

"/L5?#. T. Me$er "/L7#, 6. M. E. Taudot "/L7F#, perfeccionaron esto m%todos, $ tambi%n

(. acour $ (. T. 1elan$ "/L7L#. Es significati!o no slo que estas t%cnicas ubicaran las

seales de diferentes transmisores en orden cronolgico "como en el sistema de Tau-dot#

sino tambi%n que ciertos sistemas estu!iesen equipados con conmutadores suficien-

temente rpidos de modo de transmitir dos muestras de cada seal elemental "el sis-tema

de 1elan$#, haciendo innecesaria la sincroniacin adicional entre el transmisor $ el

muestreador. Uno de estos conmutadores, el BdistribuidorC del sistema de telegrafa de 0. 6.(atten "de alrededor de /L/# fue utiliado para la primera demostracin de 91M de



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seales telefnicas por >illiam M. Miner, quien patent su in!encin en /? despu%sde muchos aos de e&perimentacin. a 0ig. 5. muestra el esquema circuital,

inclu$endo el Bdistribuidor de (attenC "los n'meros ? $ ?0en la figura#. Miner determinla Bfrecuencia de muestreoC "la !elocidad de giro del rotor# de manera e&perimental3

B+e entender entonces que el aparato diseado por Mr. Miner, aunque en forma

general es el mismo que se utilia para telegrafa multiple&, debe op-erarse a

ma$or !elocidad de manera que la frecuencia de acti!acin de los contactos sobre

las diferentes ramas o sub-circuitos sea pr&ima en ma$or o menor medida a la

frecuencia de las !ibraciones que caracterian la !o. Una tasa de conmutacin de

/ o 8 por segundo no ser!ir a estos fines, pero a medida que la frecuencia

de conmutacin se incrementa por encima de los ?, los meores resultados se

hacen e!identes, $ son mucho meores cuan-do se alcana una tasa de ?5 o

?J por segundo; los resultados ptimos se obtienen para frecuencias deconmutacin de cerca de F? por segundo.C

Miner asumi que la frecuencia de muestreo deba coincidir apro&imadamente con la

ma$ores componentes frecuenciales de la !o. En realidad, el aparato telefnico que

%l usaba tena una frecuencia de corte de poco ms de 8 IN, lo que alcana para

cumplir los requerimientos del teorema del muestreo.

)omo toda!a no haba una e&plicacin terica del proceso de muestreo, las

afirmaciones acerca de la frecuencia de conmutacin apropiada para sistemas de

91M en telefona fueron particularmente !agas hasta alrededor de /?. (or eemplo.

. !on Kramolin en /8? escribe en su patente sobre 91M3

B...por lo tanto es posible trabaar con una frecuencia de conmutacin que

est ms all de los lmites de audibilidad, en donde se e!ita el ruido de

con-mutacin de los diferentes tel%fonos $ haciendo posible una

comunicacin e&enta de ruidosC.

(ara /? se haban desarrollado !arios sistemas 91M para telefona; sin embargo

")at-termole, /J#

Bla situacin hacia /?J era que el muestro $ la telefona 91M eran

conocidos empricamente, aunque la teora era rudimentariaC.

4lgunos autores, como M. Marro en /?L, ustificaban !elocidades de muestreo demasi-

ado baas para transmisin de !o, utiliando para el muestreo un tren de pulsos con un

ciclo de trabao grande "$ no un tren de impulsos# para un sistema 91M d'ple&. o que

ocurre es que por efectos psicoac'sticos, al aumentar el ciclo de trabao de la seal de

muestreo es posible reducir la !elocidad de muestreo $ conseguir el mismo ni!el de in-

teligibilidad. Esta dependencia fue e&aminada cuantitati!amente por R. 4. Miller $ 6. ).

icIlider en /5. +us resultados, ilustrados en la 0ig. 5./, muestran que para seales

de muestreo con ciclos de trabao pequeos "menores al J # la inteligibilidad del mensae

!ocal se reduce montonamente a medida que aumenta el ciclo de trabao "cur!a sobre la

derecha de la 0ig. 5./#. (ara pulsos de muestreo con ma$or ciclo de trabao la inteligi-

bilidad se incrementa nue!amente para frecuencias de muestreo comprendidas entre /

N $ / N. En estos rangos la duracin temporal del ciclo de trabao es comparable a la

duracin de los fonemas, $ el cerebro es capa de distinguir la palabra articulada aunque

desde un punto de !ista t%cnico estu!iese Bmal muestreadaC.



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0ig. 5./. 4rticulacin de la palabra en funcin de la frecuencia de muestreo, con el ciclo de

trabao como parmetro "el muestreo ideal corresponde a un ciclo de trabao nulo#.

5.1.2. Ha teor-a

os ingenieros en comunicaciones comenaron a trabaar en el problema de muestreo

mucho tiempo despu%s. N. G$quist prob en /8L que el n'mero de seales telegr-

ficas que puede transmitirse por una lnea es proporcional al producto del tiempo de

transmisin por el ancho de banda. El inter%s estaba centrado en calcular la m&ima

!e-locidad de transmisin de smbolos en un canal de ancho de banda limitado, $estaba pensado especialmente para seales telegrficas. En /8L H. V. . Nartle$

generali este resultado para transmisin multini!el, $ en ese mismo ao G$quist

deri! su famoso teorema sobre la transmisin sin distorsin de seales telegrficas

"digitales o de dos ni!eles#. (ero la transmisin sin distorsin de G$quist $ la

interpolacin libre de errores de muestras de una seal analgica son problemas

diferentes, a'n cuando ha$a algunas similitudes matemticas. 9ambi%n en /8L K.

KApfmAller obtu!o cotas sobre la !eloci-dad de !ariacin de seales que aseguraban la

estabilidad de un sistema de control de lao cerrado para controles automticos de

ganancia; pero tampoco trataba con seales muestreadas. En consecuencia, estos

trabaos no pueden considerarse como antecesores del teorema del muestreo.

El primer cientfico en formular el teorema del muestreo de manera precisa $ deaplicarlo a problemas de comunicaciones fue probablemente el ruso V. 4. KotelniIo!.

En su traba-o B*n the transmission capacit$ of the etherY and ire in electrical

communicationsC, publicado en /??, prob el teorema del muestreo para seales tipo

pasabao $ pasaban-da. En el mismo artculo aplic el teorema para mostrar que el

ancho de banda de una seal no puede reducirse por modulacin.

El trabao de los so!i%ticos entre /? $ /F permaneci desconocido en *ccidente, $ s-

lo despu%s de la +egunda Ruerra Mundial $ en el conte&to de la guerra fra se efectuaron

traducciones de in!estigaciones rusas de dominio p'blico en ciencias e ingeniera. 4ntes e

inmediatamente despu%s de la re!olucin rusa, los cientficos publicaban sus trabaos en

re!istas rusas, pero especialmente en publicaciones francesas $ alemanas, $ mu$ rara-mente en medios ingleses. 4 fines de /? el estado so!i%tico desaconse esta prctica, $

se fa!orecieron las publicaciones de carcter local. Este hecho, unto con la tendencia



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a efectuar reclamos espurios sobre la prioridad rusa en ciencia $ tecnologa durante la

%poca de +talin, hicieron que las recopilaciones en idioma ingl%s del siglo no

siempre reconocieran la importancia de las contribuciones so!i%ticas.

a formulacin de KotelniIo! del teorema del muestreo es la siguiente3

B%eorema I3 )ualquier funcin 0"t# que abarque frecuencias desde hasta

f/perodos por segundo se puede representar por la serie

= I

0"t# < D1Isen

w

/"t

8f/ # "5./5L#"t

I#I< =

8 f/

donde I es un entero, w/< 8pf/, $ las 1Ison constantes que dependen de0"t#.

4nlogamente, cualquier funcin 0"t# representada por la serie de la

ecuacin "5./5L# slo contiene componentes frecuencias de hasta f/perodos por se-gundo.C

B%eorema II3 )ualquier funcin 0"t# que est% formada por componentes fre-cuenciales contenidas en el rango de a f/se puede trasmitir de maneracon-tinua con cualquier grado de precisin deseado usando n'merosespaciados /2"8 f/# segundos entre s. 1e la medicin del !alor de 0"t# en t< n2"8 f/#, donde n es un entero, se encuentra que


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0n

< 1nw/8 f/

porque todos los t%rminos de la serie "5./5L# para este !alor de t tienden a

cero, con la e&cepcin del t%rmino con I < n que !ale 1 nw/, lo que puedeestablecerse fcilmente al calcular el !alor del punto indefinido :aplicando

lYNopital "...# +i se trasmiten estos 1Iseparados cada /2"8 f/# segundos, esposible reconstruir 0"t# de acuerdo con la e&presin "5./5L# con cualquiergra-do de precisin deseado.C

)omo este trabao no fue publicado en re!istas cientficas de fcil acceso, todos los

traba-os tericos sobre muestreo de seales fueron surgiendo de manera

independiente. (or eemplo, Haabe deduo el teorema del muestreo en su tesis

doctoral de /?. Esta publi-cacin es especialmente rele!ante para las aplicaciones

prcticas, $a que tiene en cuenta el efecto de utiliar pulsos de muestreo con ciclo de

trabao finito "$ no impulsos#. Haabe sintetia sus hallagos3

B(ara las condiciones de transmisin demostradas, la frecuencia de

muestreo se determina por el rango de frecuencias que abarca la seal de

inter%s. +i este se mantiene por debao de la mitad de la frecuencia de

muestreo, todas las componentes frecuenciales del ruido permanecen

afuera de este lmite $ puede e!itarse que alcancen el receptor usando un

filtro pasabaos. a trans-misin de la seal estar entonces completamente

libre de distorsin, si la fre-cuencia de muestreo es el doble de la m&ima

frecuencia de la seal. El lmite superior de las frecuencias presentes en

una seal es una condicin !ital para la transmisin sin distorsin de

seales en sistemas multiple& con di!isin de tiempoC.



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Este trabao contiene una !ersin especial del teorema del muestreo para seales

pasa-banda. El artculo de Haabe est citado por >. H. Tennett en un trabao sobre

telefona multiple& de /F/, $ esta publicacin a su !e, es citada por +hannon en/F como una de las fuentes del teorema del muestreo.

El teorema se deri!a tambi%n en el te&to apon%s NaIei 1enso "B9ransmisin de

sealesC# de Q. +ome$a. En Qnglaterra, 6. 1. >eston "/F# public resultados similares

en la misma %poca. 9odos estos desarrollos parecen haberse obtenido de manera

independiente, $ con total desconocimiento de las otras !ersiones.

5.1.. Hos matem6ticos

(ara los matemticos el teorema del muestreo es un teorema particular en el campo

de la teora de apro&imacin, que se ocupa de temas tales como qu% funcionespueden repre-sentarse por una suma lineal de funciones base "como funciones

algebraicas o polinomios trigonom%tricos# $ con qu% error de apro&imacin. Una de los

enfoques es determinar es-tas sumas lineales de modo que en puntos definidos tomen

los mismos !alores que la funcin que se desea apro&imar. El teorema del muestreo

permite resol!er este proble-ma de apro&imacin, con error arbitrariamente pequeo,

especialmente para funciones acotadas en el dominio frecuencia.

Una primera apro&imacin fue descrita en /7J5 por 6. . agrange, quien encuentra

una manera de hacer que una suma de funciones sinusoidales armnicas coincidas

con la funcin que debe apro&imarse en n puntos equidistantes. Reneraliando este

enfoque, se puede establecer que el conocimiento de 8n P / !alores de la funcin a

apro&imar, equidistantes en un perodo, son suficientes para representar una funcinperidica de-scripta por una serie trigonom%trica, con n t%rminos sinusoidales, n

t%rminos cosinu-soidales, $ una constante. Esa descomposicin de 0ourier puede

pensarse como un teo-rema del muestreo para funciones peridicas de banda limitada.

N. +. TlacI, en su libro Modulation 9heor$ de /5?, e&plica que )auch$ reconoci la

mecni-ca del muestreo de seales de ancho de banda limitada $a en /LF/, $ ofrece la

siguiente traduccin del te&to original en franc%s3

B+i una seal es una funcin que depende del tiempo, $ el tiempo se di!ide

en inter!alos iguales tal que cada subdi!isin comprende un inter!alo de 9

segundos de longitud, donde 9 es menor que la mitad del perodo de la

ma$or componente frecuencial significati!a la seal, $ si una muestrainstantnea se toma en cada inter!alo de cualquier manera, entonces el

conocimiento de la magnitud instantnea de cada muestra unto con el

conocimiento del instante dentro de cada subinter!alo en el cual la muestra

fue tomada contiene toda la informacin de la seal originalC

+in embargo, Niggins "/L5# nota que esta cita no figura en el artculo de )auch$ men-

cionado por TlacI, $ en cambio, acredita a Torel el reconocimiento inicial sobre la se-

rie cardinal en un trabao de /L7, citando el siguiente pasae traducido del original en

franc%s3

B)onsidere$pf "# < _"e

&d&

p



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$ suponga que la funcin _"# satisface las condiciones de 1irichlet. +i se

conocen los !alores de la funcin f "# en los puntos < , /, 8, . . . , en-

tonces la funcin _" queda completamente determinada $ por lo tanto lafuncin entera f "# se conoce sin ambigAedad.C

Esta cone&in de la serie de 0ourier con el teorema de muestreo fue la base de la

e&pli-cacin utiliada por +hannon en su artculo clsico de /F.

a primera propuesta para la interpolacin de funciones a partir de un conunto de !al-ores

equidistantes utiliando la funcin sen &2& fue publicada en /L por ). 6. de la Vall%e

(oussin en el Tulletin 4cademie Ho$ale de Telgique, aunque en este trabao no se e&plora

el caso especial de la interpolacin de funciones de ancho de banda limitado.

(osiblemente el primer trabao donde se aborda el problema de interpolacin para fun-

ciones de ancho de banda limitado es el artculo de E. 9. >hittaIer de //5, B+obre las

funciones que son representables por las e&pansiones de la teora de interpolacinC. 9rata

sobre el problema de conseguir la interpolacin ms sua!e posible, sin singularidades $ sin

Boscilaciones rpidasC para un conunto dado de !alores tabuladas de una funcin f ". En

este trabao, se define que dos funciones son cotabulares si ambas comparten las mismas

muestras uniformemente espaciadas. >hittaIer demostr que bao ciertas condi-ciones es

posible interpolar una seal a partir de !alores separados no ms de unidades siempre

que la transformada de 0ourier de esa funcin no contenga ning'n t%rmino con perodo

menor que 8. Esta interpolacin hace uso de una funcin, denominada funcin cardinal

por >hittaIer, $ tiene la forma

)" < = f "a P r# sen: p

"& a r#; , "5./5#

D p

"& a r#r< =

donde a es un desplaamiento arbitrario, con las siguientes caractersticas3

Ba definimos originariamente como la 'nica funcin del conunto cotabu-lar

que no tiene singularidades en la parte finita del plano $ no tiene consti-

tu$entes cu$o perodo sea menor que el doble del inter!alo tabular .C

En el prrafo anterior, el Binter!alo tabularC es el perodo de muestreo. >hittaIer

demostr tambi%n que la funcin cardinal es la 'nica funcin interpoladora que posee

estas carac-tersticas. Qmplcitamente postula que cada funcin cu$a transformada de

0ourier est limitada a un rango de frecuencias menor que /2"8# "esto es, de bandalimitada# puede describirse por !alores separados cada unidades, $ que puede ser

interpolada de man-era 'nica utiliando la funcin cardinal. a e&presin "5./5# fue

denominada serie cardi-nal por 6. M. >hittaIer "el hio de E. 9.# en su artculo de /85.

>. . 0errar destac en /85 que el muestreo e interpolacin de la funcin cardinal

resulta nue!amente en la misma funcin, independientemente de cmo se desplacen

en tiempo los instantes de muestreo, $ denomin a esta importante propiedad de

in!ariacin como BconsistenciaC.

os dos artculos re!olucionarios de +hannon, publicados en /FL $ /F, fundaron la

teora de la informacin. En el trabao de /FL, el teorema del muestreo se enuncia

como el 9eorema /?3

B+ea f "t# :una funcin que no contiene frecuencias por encima de >. En-



161/181

5.1. !e"erencias 143

tonces = senp"8>t n#

f "t# < D n ,n< = p"8>t n#

donde

n< f "8n

>#C

El teorema se conoci como Bteorema de +hannonC inmediatamente despu%s de la

pub-licacin de estos trabaos, al menos en *ccidente.

Una de las formas ms 'tiles de este teorema se debe a in!ill "/F#, quien la desar-

roll en su tesis doctoral en el MQ9. 1eri! e&presiones para la transformada biltera de

aplace, $ para la transformada de 0ourier de la salida de un muestreador en funcin

de la transformada de aplace $ de 0ourier de la seal de entrada al dispositi!o.

Mostr que el proceso de muestreo puede pensarse como una modulacin de amplitud

de un tren de impulsos. 4dems, e&plic la interpolacin como un filtrado en el dominio

frecuen-cial con un filtro pasabaos ideal. Un notable artculo su$o publicado en /5/

discuta la aplicacin de la teora del muestreo a sistemas de control realimentados;

este trabao fue e&tendido por Hegaini $ @adeh en /58.

)asi la totalidad de los libros de procesamiento de seales siguen en enfoque de in!ill

al tratar el muestreo de seales. 4unque muchos desarrollos son pre!ios a su trabao,

sus ideas arraigaron fuertemente en los campos de procesamiento digital de seales $

control digital, $ ho$ en da parece el enfoque natural para estos temas.

5.1.+. Conclusin

El teorema del muestreo para funciones tipo pasabaos es !ital en la ingeniera de

comu-nicaciones, !inculando las seales continuas con las discretas. os distintos

nombres que el teorema ha recibido +hannon, G$quist, KotelniIo!, >hittaIer,

+ome$a, etc. indica la independencia de los diferentes enfoques. Esta historia

tambi%n pone de manifiesto un proceso muchas !eces aparente en los problemas

tericos en fsica o tecnologa3 en primer lugar los e&perimentadores establecen un

conunto de reglas empricas, luego los teri-cos desarrollan la solucin general, $

finalmente alguien descubre que los matemticos haban resuelto el problema

matemtico sub$acente con anterioridad, pero en Bmagnfica soledadC.

5.1. !e"erencias

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2011


163/181

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164/181



165/181


2011


166/181

5.1. /'ercicios 147

5.1. /'ercicios

/'ercicio 1. (ara la seal analgica&a"t#


167/181


?. [)ules son las frecuencias wide la seal discreta &:n que resulta del muestreo\

F. +i la seal &:n se con!ierte en una seal continua utiliando un con!ersor 124ideal, escriba e&plcitamente la e&presin de la seal reconstruida $a"t#.

/'ercicio 5. a seal de tiempo continuo&"t#


168/181

5.1. /'ercicios 149

/'ercicio 10. Una cmara de cine sensa la imagen de una marca sobre una rueda que giraa > re!oluciones por segundo. a cmara toma una imagen cada 9 segundos. 1etermine

el m&imo perodo 9ma&Wpara el cual las imgenes representan el mo!imiento de la rueda.1iscutir que sucede si "i# 9 < 9ma&W, "ii# 9 #9ma&W, o "iii# 9


169/181


/'ercicio 1. (ara un !alor apropiado de9, el sistema de la figura

/. [es lineal\

8. [es in!ariante en el tiempo\

(ara cada inciso, esboce una demostracin si la respuesta es afirmati!a o de un

contrae-emplo en caso contrario.

/'ercicio 1+. El sistema continuo de la figura es un Bele!ador al cuadradoC,s"t# # < para j>j8p/. [)ul es el ma$or !alor de 9 para el cual $ c"t# < &c8"t#\

/'ercicio 15. El sistema discreto de la figura es un Bele!ador al cuadradoC, $:n


170/181

5.1. /'ercicios 151

?. a magnitud del espectro de G muestras de la seal muestreada es

"ew

#8


171/181


E&prese $:n en funcin de &:n si3

/. 9/< 98< /F

, $ &:n es arbitraria.

8. 9/< ,85 /F, 98< /

F, $ &:n < :sinc"n28#

8. "e

w# se muestra en la 0ig. "b#.

/'ercicio 20. El osciloscopio 4gilent 1+?/8 tiene un ancho de banda analgico de J

MN, $ una !elocidad de muestreo m&ima de / Rs2s. a memoria de adquisin es de

F puntos, pero en pantalla slo se muestran /8, a ran de / puntos por di!isin.

/. [)ul es el m&imo tiempo de adquisicin cuando se utilia la m&ima

frecuencia de muestreo\

8. [)ul es el menor auste posible de la base de tiempos\

?. (ara una seal senoidal de J MN "frecuencia igual al ancho de banda del

oscilo-scopio# [cuntos perodos se obser!an en la pantalla cuando la base detiempos se austa en el !alor del inciso anterior "es decir, cuando se muestrea a

la m&ima frecuencia posible#\

F. El osciloscopio se conecta a un generador que entrega una onda senoidal de

/.? IN. [cul es la frecuencia de muestreo mnima para e!itar el aliasing\

[)ual es el auste de la base de tiempos, en unidades de tiempo por di!isin,

que corresponde a esta frecuencia\

5. 9eniendo en cuenta que las escalas "tanto de la base de tiempos como de los

atenu-adores de entrada# siguen la proporcin /3835, [cul es el !erdadero !alor

de la base de tiempos que debe elegise en el inciso anterior\ [)untos perodos

de la seal se obser!an en la pantalla con la base de tiempos en esta posicin\

J. [)ul debe ser el auste de la base de tiempos para obser!ar en la pantalla poco

ms de un ciclo de la seal\

7. +i la base de tiempos se austa a / ms2di!, [cul es la frecuencia de

muestreo\ [Na$ aliasing\ Rrafique la forma de onda que se obser!a en la

pantalla, $ estime la frecuencia de la misma a partir de esta medicin.

L. (ara este auste de la base de tiempos, grafique el espectro de la seal

analgica, el espectro de la seal muestreada, $ el espectro de la seal

reconstruida, que se obser!a en la pantalla del osciloscopio. )ompare sus

resultados con los obtenidos en el inciso anterior.


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5.1. /'ercicios 153

/'ercicio 21. as figuras"a#,"b# "c#muestran tres seales definidas en el inter!alo:,

89como

&"t# < 4 cos 8pft, t 9 < 82 f,, en caso contrario,

$"t# < 4 cos 8p"8 f#t, t 9 < 82 f,

, en caso contrario,

"t# < &"t# P $"t 9#.

/. )alcular $ graficar los espectros " f #, _" f #, @" f #.

8. 1eterminar $ graficar los espectros "ew

#, _"ew

#, $ @"ew

# de las seales de lon-gitud finita &:n, $:n $ :n que resultan de muestrear &"t#, $"t# $ "t# con una

frecuencia fs"la misma para las tres seales# durante 89 < F2 f

segundos. [)ul

es el mnimo !alor posible de fs\ [)ul es la longitud M "en muestras# de lasseales discretas\

?. +e desea distinguir la ocurrencia o no de las seales "a# , "b# o "c# usando la

910. 1e-terminar el orden G de la 910 que permite detectar BfcilmenteC sin

ambigAedades cualquiera de los casos.

F. El n'mero G de muestras requeridas para la 910, [coincide con el n'mero M del

inciso "8#\ [Es con!eniente muestrear a una frecuencia ma$or o menor que la

cal-culada en ese inciso\ [(or qu%\

5. Rraficar los espectros :I, _:I, @:I que resultan de calcular las 910 del inciso

anterior.

J. [)ules muestras Iide :I "o _:I, @:I# deben obser!arse para distinguir los casos

"a# ,"b# o"c#\

/'ercicio 22. El ancho de banda de inter%s de una seal se e&tiende desde hastafMN,$ desde all el mdulo de su espectro decae a ran de adT2d%cada. +e dispone

de un prefiltro analgico que tiene una banda de paso plana desde hasta fMN, $ a

partir de esa frecuencia la atenuacin crece a ran de bdT2d%cada. +e necesita que

en el rango entre $ fM las r%plicas frecuenciales debidas al muestreo queden

atenuadas ms de 4 dT. 1emuestre que la mnima frecuencia de muestreo que debeutiliarse para cumplir este requisito es 4

fs< fM / P /aPb .


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/'ercicio 2. El mdulo del espectro de la seal de entrada a un sistema es

'"f#' < / .

p/ P "/

Ff #

L

a ma$or frecuencia de inter%s es de 8 IN, $ la seal se muestrea a fsN. +e necesitaque las r%plicas ocasionadas por el muestreo queden atenuadas en ms de J dT relati!osa la amplitud de la seal, esto es, deben ser al menos J dT menores que la amplitud delas componentes de la seal en el rango de frecuencias de inter%s entre $ 8 IN.

/. 1etermine la menor frecuencia de muestreo fsque se debe adoptar si no se

coloca un prefiltro analgico.

8. +e dispone de un prefiltro analgico tipo Tutterorth de tercer orden, cu$a

respues-ta en frecuencia tiene magnitud

'N"f#' < / .p

/ P " f 2 f#J

Es necesario que la atenuacin del prefiltro en el rango de frecuencias de inter%s sea

menor a / dT. [)ul es el !alor de la frecuencia de normaliacin fen este caso\

[)ul es la mnima frecuencia de muestreo fsque debe utiliarse\ )ompare esteclculo e&acto con el m%todo apro&imado detallado en el Eercicio 88.

/'ercicio 2+. (ara el sistema de procesamiento del Eercicio 8?, se fia la frecuenciade muestreo a un !alor prefiado que es menor al mnimo determinado en ese

eercicio, pero ma$or que 8 fM. (ara lograr la atenuacin deseada de las r%plicas

causadas por el muestreo, se utilia un filtro Tutterorth de ma$or orden, con unabanda de transicin ms abrupta. El mdulo de la respuesta en frecuencia de un filtroTutterorth de orden G es

'N"f#' < / .p

/ P " f 2 f#8G

1ada fs, determine el mnimo orden G del filtro de modo que la atenuacin en la banda depaso sea menor que 4(< / dT, $ tal que la atenuacin de las r%plicas sea superior a4 < J dT.

C /'ercicio 25. a figura ilustra el esquema bsico de un oscilador digital sinusoidal im-

plementado seg'n la t%cnica de BlooI-up tableC. as muestras de un ciclo de la seal

&:n < cos"8pn2G#, n < , /, . . . , G se almacenan consecuti!amente en el espacio dememoria. a seal de salida se genera direccionando secuencialmente las distintas

posi-ciones de memoria, !ol!iendo al principio cuando el argumento supera el !alor 8p.

Es-to puede lograrse utiliando direccionamiento Bmdulo GC "una opcin habitual en

los procesadores dedicados#, es decir, implementando un buffer circular. as muestras

de &:n se en!an al con!ersor 124 cada 9 segundos.


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5.1. /'ercicios 155

/. Muestre que la frecuencia fde la seal de salida puede austarse cambiando 9.

8. +i 9 se dea fio, determine cuntas seales analgicas distintas puedengenerarse con la misma tabla.

/'ercicio 2. En el sistema de la figura,&:n


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b# Estimar fa partir de la magnitud de la 910 de :n.

/'ercicio 2. En la +eccin 5.//./ se estudia el uso de un prefiltro para e!itar el aliasing.En la prctica, el filtro antialiasing no es ideal, pero las caractersticas no ideales"atenuacin en la banda de paso, ona de transicin, etc.# se pueden compensar al menosparcialmente con un sistema de tiempo discreto ubicado a la salida del con!ersor )21. Enla figura se muestran dos sistemas de procesamiento de datos, uno de ellos con un filtroantialiasing ideal "+istema /#, $ otro con un filtro antialiasing BrealC "+istema 8#; las

respuestas en frecuencia del filtro ideal Nai"e

w# $ del filtro BrealC Na

r"e

w# tambi%n se

muestran en la figura, donde fc< 0s28, $ fp< ?0s2L. 1isear el sistema discreto N"ew

# del

+istema 8 para que las sucesiones &:n e $:n sean iguales.


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178/181

5.1:. %a3las Ltiles 157

5.1:. %a3las Ltiles

Muestreo

dominio frecuencial " f # dominio temporal dominio frecuencial ">#

c" f # &c"t# c">#

(9" f # # # #8p

I>s

#9 9

n

"ew

# < s" f #'fp

s I>s#9 8p 9I

Ech

"w 8pI#i I

/ DI

0s / DI

< < c

/

"w 8pI#9 8p 9 9

!econstruccin

dominio frecuencial " f # dominio temporal dominio frecuencial ">#_"e

w# $:n _"e

w#

_s"f# #_s">#

< 9_"ew

# 8p < $:n sinc t n9 < 9_"ew

# 8pw


179/181


Procesamiento discreto de seales continuas

dominio frecuencial " f # dominio temporal dominio frecuencial ">#

c" f # &c"t# c">#/ DI Ec

B 0s"w 8pI#

i / DI"e

w# < &:n < &c"t#'t8p

s9n

_r" f # < Nr" f #_s" f # $r"t# < Dn$:nhr"t n9# _r"># < Nr">#_s">#< 9N"e

w#"e

w# w

< f80ps9 9s

w 8p w >" # 8p

N e 'w# < 9"ew

#'w90s

_c" f # < Nc" f #c" f # $c"t# < hr"t# &c"t# _c"># < Nc">#c">#

_"ew

#

muestreo de señales

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