proceso de muestreo. análisis de señales muestreadas teorema de shanon transformada z funciones de...

Proceso de muestreo

Proceso de muestreo

• Análisis de señales muestreadas

• Teorema de Shanon

• Transformada Z

• Funciones de transferencia en z

• Relación entre los dominios s y z

Señales en control por computador

Proceso

u(t)

y(t)computador D/A

A/Dy(kT)

u(kT)

wt

u(t)

t

y(kT)

t

y(t)

tT

Proceso de muestreo

• ¿Cuál debe ser el valor de T para no perder información esencial de y(t)?

• ¿Puede reconstruirse y(t) a partir de y(kT)?• Para contestar se debe investigar cuál es la relación entre

los componentes de frecuencia de y(t) y de y*(t)• ¿Puede utilizarse la transformada s para el análisis?• ¿Hay otra formulación equivalente?

y*(t)y(t)

t

T

t

Componentes de frecuencia de una señal

t

f(t)

=t

+

++ …

dte)t(f frecuencia de componente la de amplitud)(F

)t(jsen)tcos(ede)(F2

1)t(f

tj

tjtj

F() Transformada de Fourier

Espectro de frecuencias de la señal

Señales muesteadas / Tren de pulsosy*(t)y(t)

t

T

tT

n

T ...)T2t()Tt()t()nTt()t(

y(t)

TT

(t)

* =1

y*(t)

t

n

T* )nTt()nT(y..)Tt()Tt(y)t()t(y)t()t(y)t(y

kTt0

kTt)kT(y)t(y*

T(t)

Transformada de Fourier discreta

T

y*(t)

n

nTj

n

tjtj

n

tj**

e)nT(f

dte)t(f)nTt(dte)t(f)nTt(dte)t(f)(F

Señales periódicas

t

f(t) T Una señal periódica de periodo T siempre admite una descomposición en serie de Fourier

T

(t)1

Ejemplo: Tren de pulsos de periodo T

n

nTj

n

tjtj

n

tj edte)nTt(dte)nTt(dte)t(f)(F

t

n


n

nTj

n

tjtj

n

tj edte)nTt(dte)nTt(dte)t(f)(F

Espectro de frecuencia de T(t)

01e1

1

e1

11e,e razones de sgeométrica series 2e

TjTjTjTj-

n

nTj

Si ≠ is s = 2/T

Si = is

isi

is

icF

ciF

)()(

)(

Espectro discontinuo

ci

F()

s

T

(t)1

t

n

tjnn

n

tjsnT

sec2

1de)n(c

2

1)t(

de)n(c2

1)t(

de)(F2

1)t(f

tj

nsnT

tj

Espectro de frecuencia de T(t)

En un periodo:

Espectro de una señal muestreada y*(t)

)n(YT

1dte)t(y

T

1

dteeT

1)t(ydte)t()t(ydte)t(y)(Y

sn

t)n(j

n

tj

n

tjntjT

tj**

s

s

)n(YT

1)(Y s

n

*

El espectro de frecuencias de la señal muestreada se obtiene sumando infinitas veces el espectro de la señal continua desplazado ns


)n(YT

1)(Y s

n

*

|Y()|

|Y*()|

Espectro continuo

… …Espectro discreto

0

0 s 2s-s-2s

1/T

Máxima frecuencia de la señal continua

s/2

Si 0 < s/2 los espectros laterales no se superponen y el contenido de frecuencias de Y y de Y* son identicos en [- 0 0 ]


)n(YT

1)(Y s

n

*

|Y()|

|Y*()|

Espectro continuo

… …

Espectro discreto

0

0 s 2s-s-2s

1/T


s/2

Si 0 > s/2 los espectros laterales se superponen y el contenido de frecuencias de Y* se distorsiona en [- 0 0 ]

Teorema de Shanon

|Y()|

|Y*()|… …Espectro discreto

0

0 s 2s-s-2s

1/T


s/2

Para que no haya pérdida significativa de la información el periodo de muestreo ha de cumplir 0 < s/2 = N = /T

TN0

N Frecuencia de Nyquist

“Aliasing”

Cuando se muestrea incorrectamente una señal pueden aparecer frecuencias en la señal muestreada que no están en la original

Señal continua

Señal muesteada

Ejemplo: Se muestrea a frecuencia menor que 20 En el ordenador se ve la señal como una de frecuencia menor

Toma de datos, filtrado “antialiasing”y*(t)y(t)

t

T

tT

y(t)

t

Filtro

Antes de muestrear una señal conviene pasarla por un filtro continuo pasa bajo (filtro “antialiasing”) para eliminar las frecuencias superiores a /T que distorsionarian la señal muestreada con el ordenador

P.e. Filtro de Bessel de segundo orden:

6129.1)/s(2098.2)/s(

6129.1

B2

B

B ancho de banda

Espectro de frecuencias

|Y*()|

0

No se suele representar un rango de frecuencias superior a /T porque es repetitivo y esas frecuencias no aparecen en la señal original/T

Si las frecuencias del espectro no tienden a cero antes de /T ello es síntoma de un T inadecuado

Periodo de muestreo T

|Y*()|

0 /T

El teorema de Shanon nos da un criterio para elegir un T adecuado para muestrear una señal, pero a veces es difícil de aplicar

Criterio práctico: Escoger T de modo que corresponda a tomar entre 10 – 30 muestras del tiempo de asentamiento T

Periodo de muestreo

En lazo cerrado normalmente los procesos son mas rápidos que en lazo abierto

T

Si se escoge T para un sistema de control, debe aplicarse la regla al tiempo de asentamiento esperado en lazo cerrado

t

t

y

y

¿Se puede recuperar y(t)?

|Y()|

0

|Y*()|… …Espectro discreto

0 s 2s-s-2s

1/T

s/2

En teoría, si 0 < /T, filtrando la señal muestreada con un filtro ideal se puede obtener la señal original

Un filtro ideal no es realizable pero pueden hacerse aproximaciones

Reconstrucción de y(t)y(t)

T

y*(t)

t

n

/2

/2-

)nTt(j

/2

/2-

tj

n

nTj/2

/2-

tj*

ss*tj

dte2

T)nT(y

dtee)nT(y2

Tdte)(Y

2

Ty(t)

/2]/2,[-en)(TY) Y(si,dte)(Y2

1)t(y

n N

N

)nTt(

))nTt((sen)nT(y)t(y

Introduce un retardo en el cálculo

Necesita infinitos datos

Reconstrucción

Sen(x) /x

Los coeficientes sinusoilades van decreciendo cuando nT de aparta del valor de t considerado

n N

N

)nTt(

))nTt((sen)nT(y)t(y

...)T2mTt(

))T2mTt((sen)T)2m((y

)T2mTt(


)TmTt(

))TmTt((sen)T)1m((y

)TmTt(

))TmTt((sen)T)1m((y

)mTt(

))mTt((sen)mT(y)t(y

N

N

N

N

N

N

N

N

N

N

Para t próximo a mT:

0.1283

1

7.7 14.1

0.0709

Reconstrucción

Sen(x) /x

...)T2mTt(


)T2mTt(


)TmTt(

))TmTt((sen)T)1m((y

)TmTt(

))TmTt((sen)T)1m((y

)mTt(

))mTt((sen)mT(y)t(y

N

N

N

N

N

N

N

N

N

N

0.1283

1

7.7 14.1

0.0709

t

mT (m+1)T

(m-1)T (m+2)T

(m-2)T

112

7)T3mTt(

T....

2

3)TmTt(

T2)mTt(

T

Con m=3 |coeficientes| < 0.1

Mantenedores

u(kT)

t

u(t)

t

u(kT) u(t)

t

Orden 0

ZOH

Orden 1

……

Tren de pulsosy*(t)

y(t)

t

T

tT

n


y(t)

T* =

y*(t)

t

0n

T* )nTt()nT(y..)Tt()Tt(y)t()t(y)t()t(y)t(y

kTt0

kTt)kT(y)t(y*

T

(t)1

Condiciones iniciales nulas

Transformada de y*(t)

0n

nTs

0n0n

** e)nT(y)nTt()nT(y)nTt()nT(y)t(y(s)Y LLL

0n

nTs* e)nT(y(s)Y

Ejemplos:

TsTs3Ts2TsnTs

0n

*

e1

1...eee1e)nT(y)s(Y

T)sa(Ts2aT2TsaTnTs

0n

anT*

e1

1...eeee1ee)s(Y

1Salto unit.

Exp. Decr.

1

Expresiones no racionales en s

No adecuadas para el análisis

Transformada ZDada la secuencia discreta f(0), f(1), f(2), ….f(k),… se define su transformada Z mediante:

0k

kz)k(f)z(F)k(fZ

Donde z es una variable compleja

Juega en los sistemas discretos un papel equivalente al que la transformada s de Laplace juega en los continuos

Se suponen condiciones iniciales nulas

tT

f(k)

Ejemplos(t)

1

T

Impulso unitario

1zz)k()k( 0

0k

k

Z

u(kT)1

T

Escalón unitario

1z

z

z1

1)k(u

zrazón de geometrica serie

z)k(u

1

1-

0k

k

Z

Z

T

e-akT

1

T

Exponencial decreciente

aT-1aT-

akT

0k

k1aT

0k

kakTakT

ez

z

ze1

1e

)ze(zee

Z

Z

Funciones racionales de z

Tabla de transformadas Z

Propiedades de F(z) (1)

Linealidad )z(bF)z(aF)k(bf)k(af 2121 Z

)z(bF)z(aF

z)k(fbz)k(faz))k(bf)k(af()k(bf)k(af

21

0k

k2

0k

k1

0k

k2121

Z

Retardos

1d

0k

kd

d

z)k(f)z(Fz)dk(f

)z(Fz)dk(f

Z

Z

)z(Fz...)z)1(f)0(f(z...z)2(fz)1(fz)0(f

...z)1(fz)0(f...z)d1(f)d(fz)dk(f)dk(f

d1d2d1dd

1dd1

0k

k

Z


1d

0i

id

1d

0i

i

0i

id1d

0i

i1d

0i

i

di

id

di

id

0k

k

z)i(f)z(Fz

z)i(fz)i(fzz)i(fz)i(fz)i(fz

zz)i(fidk haciendoz)dk(f)dk(fZ

Valor inicial

)z(Flim)k(flimz0k

)0(f...z)2(fz)1(f)0(flim)z(Flim 21

zz


Valor final )z(F)z1(lim)k(flim 1

1zk

)f(1z siz)(f)1(f

z.....)2(f)3(f)1(f)2(f)0(f)1(f)1(f)0(f

z)1k(f)k(fz)1k(fz)k(f)z(F)z1(

k

k

0k

k

0k

k

0k

k1

Supuesta estable

Transformada Z inversa

dzz)z(F

j2

1)k(f 1k

Donde el camino cerrado encierra las singularidades de F(z)


Convolución )z(G)z(F)ik(g)i(f0i

Z

)z(G)z(Fz)n(gz)i(fzz)n(g)i(f

0g(-k)ser alzz)n(g)i(f

ni-k haciendoz)ik(g)i(f)ik(g)i(f

n

0i0n

i

0n

in

0i

in

in

0i

0k

k

0i0i

Z

Función de transferencia pulsada en z

T u(k)

ZOH+ProcesoT y(k)

T

u(k) y(kT)

tT

0i

)i(u)ik(h)k(y

)z(U)z(H)i(u)ik(h)k(yY(z)0i

ZZ

)z(U)z(H)z(Y

Transformada de la convolución

H(z) transformada Z de h(kT)

Transformada s de un ZOH

ZOH

(t)1

T

y(t)1

T

Respuesta impulso del ZOH

1

T

1

T1

T

u(t)

u(t-T)

y(t) )e1(s

1)s(Ue)s(U)s(Y

)Tt(u)t(u)t(y

TsTs

se1

)s(GTs

ZOH

La función de transferencia es la transformada de la respuesta impulsional

Como calcular H(z)

ZOHT u(k) T y(k)

T

u(k) y(kT)

tT

G(s)

)z(Us

)s(G)z1()z(U

s

)s(Gz)z(U

s

)s(G

)z(Us

)s(Ge)z(U

s

)s(G)z(U)s(G

s

-e1)z(Y

11

TsTs

ZZZ

ZZZ

s

)s(G)z1()z(H 1 Z

Tabla de transformadas ZG(s)/s Z[G(s)/s]

Tabla de transformadas ZG(s)/s

Z[G(s)/s]

Ejemplo: depósitoq

h

F u

T = 0.5

)s(sz

1z

)s(s)z1(

s

)s(G)z1()z(H

252.1s

167.0

s)s(Guh

dt

hd

11

Z

ZZ

1

1

T

T

T

T

z535.01

z062.0

535.0z

062.0

)ez(

)e1(

)1z)(ez(

z)e1(

z

1z

Polo = Autovalor = 0.535

)k(uq535.01

q062.0)k(y

1

1

Ejemplo: Motor

01

V0

0

10

LR

V I

T

)108.5s(s

500

)s(s

0

s

10

)s(s

1

s

1

)01(0

s0

1s)01(

0

0

10

s0

0s)01(B)AsI(C(s)

1

1

1

Ejemplo: Motor

V(k)

)k(Vq6.0q6.11q792.1q123.2

)k( 21

21

LRV

I

(k)

Ampl

ZOH

T=0.1

Encoder

Polos: 1 , 0.6

6.0z6.1z792.1z123.2

)ez)(1z()e)T1(1(z)e1T(

ezz

)1z(Tz

1zz

z1z

s1

ss1

)z1(

)s(s)z1(

s)s(G

)z1()z(H

2

T

TT

2

T22

2

21

21

1

Z

Z

Z

Relación entre los planos s y z

sTez0n

nTs* )z(Ye)nT(y(s)Y

0k

kz)kT(y)z(Y)kT(yZ

sTez

Proporciona un enlace entre resultados obtenidos en el plano s y en el z

Plano ss=+j

Plano z

sTez

Relación entre los planos s y zTjTTjTsT eeeez

/T

-/T

Plano ss=+j

Plano z

T)zarg(

ez T

Puntos del semiplano izquierdo de s van al interior del círculo unidad

Puntos del eje j en [-/T, /T] van a la circunferencia unidad

Puntos del semiplano derecho de s van al exterior del circulo unidad

1


/T

-/T

Plano s

s=+jPlano z

T)zarg(

ez T

Las frecuencias continuas de interés están limitadas al rango [-/T, /T]. Frecuencias mayores se superponen en el plano z

1


/T

-/T

Plano s s=

Plano z

T)zarg(

ez T

Polos en el eje real negativo de s (respuestas sobreamortiguadas estables) se corresponden con polos en el segmento real (0,1) de z Polos en z mas cerca de 1 dan respuestas mas lentas

Polos en el eje imaginario de s (oscilaciones mantenidas) se corresponden con polos sobre la circunferencia unidad de z

1s=j


/T

-/T

Plano ss=+j

Plano z

T)zarg(

ez T

Polos complejos en el semiplano izquierdo de s (respuestas estables subamortiguadas) se corresponden con puntos en el interior del círculo unidad en z

Polos en la parte derecha del plano s (respuestas inestables) se corresponden con polos en el exterior del circulo unidad en z

1


/T

-/T

Plano s

Plano z

T)zarg(

ez T

Polos estables con la misma parte real en s (respuestas con el mismo tiempo de asentamiento) se corresponden con polos en z situados en una circunferencia interior al circulo unidad

1


/T

-/T

Plano s

Plano z

T)zarg(

ez T

Polos estables con la misma parte imaginaria en s (respuestas con la misma frecuencia de oscilación) se corresponden con polos en z situados en un radio del circulo unidad

1


/T

-/T

Plano s

T)zarg(

ez T

Polos estables sobre la misma pendiente en s (respuestas con el mismo sobrepico) se corresponden con polos en z situados en una espiral logaritmica

1

Plano z

Abaco en z

Respuesta temporal

T u(k)

ZOH+ProcesoT y(k)

T

u(k) y(kT)

tT

)z(U)z(H)z(Y

Puede utilizarse la descomposición en fracciones simples de Y(z) y la transformada inversa de Z

Consejo: desarrollar Y(z)/z y despejar Y(z)

Para entradas conocidas puede deducirse la respuesta de los polos y ceros de H(z)

Ejemplo deposito

q

h

F u

T = 0.5 )k(uq535.01

q062.0)k(y

1

1

Plano z

1

Polo = 0.535

Respuesta a un salto en u sobreamortiguada, de primer orden y de tiempo de asentamiento:

)535.0ln(23

)535.0ln(2se535.0z 5.0s

Ejemplo: Motor

V(k)

LRV

I

(k)

Ampl

T=0.1

HOZ

Encoder

6.0zz664.7

1zz787.9

)z(z

6.0z664.7

1z787.9

)6.0z)(1z(792.1z123.2

)z(Vz6.0z6.11z792.1z123.2

)z( 21

21

Respuesta del motor en posición a un pulso de 1 voltio V(z)=1

1T

kT6.0664.7787.9)TkT(

6.0zz664.7

1zz787.9

)z(z

111 ZZZ

(k)1

T

Selección del periodo de muestreoTjTTjTsT eeeez

/T

-/T

Plano s s=

Plano z

1

)ez)(ez(

ez

)4s)(1s(

2sT4T

T2

Correspondencia

de polos y ceros

Si T es muy pequeño todos los polos y ceros se agrupan en torno al valor 1

...)999.0z..)(99.0z(

..999.0z

Problemas

numéricos

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