teoria de juegos

Teoría de los Juegos

Prof. Ruth Guillén Microeconomía II

Universidad de Los Andes Facultad de Ciencias Económicas y SocialesCátedra de Teoría Microeconómica

EL CASO DEL MALETIN DE LOS

800.000 dólares.

En agosto del año 2007, un empresario de nacionalidad venezolana-americana fue sorprendido en un aeropuerto de Argentina con una maleta que contenía 800 mil dólares, no declarados. Si Antonini le hubiese pedido el favor de llevar la maletita y usted hubiese sido el sorprendido. ¿Al ser sorprendido por la agente aduanera se hubiese declarado culpable o no?

Contenidos Conceptuales

1.- Definición de un juego.2.- Elementos de un juego. 3.- Tipos de juegos: Cooperativos y no

cooperativos.4.- Estudio de los juegos no cooperativos.5.-Estrategias dominantes. 6.- El equilibrio de Nash. 7.- El dilema del prisionero.

Contenidos Conceptuales (Continuación)

8.- Estrategias maximin.9.- Estrategias mixtas. 10.- Juegos repetidos. 11.- Juegos secuenciales.12.- La ventaja del que se mueve primero. 13.- Estrategias creíbles y vacías. 14.- La teorías de juegos y el oligopolio.

¿Qué es un juego?

¿Qué es un juego?

• Es una situación en la que compiten dos o más jugadores (Ferguson y Gould, 1975).

• Un juego es cualquier situación en la que los individuos deben tomar decisiones estratégicas y en la que el resultado final depende de lo que cada uno decida hacer (Nicholson, 1997).

• Cualquier problema de toma de decisiones, donde el rendimiento (que obtiene una persona) depende no sólo de sus propias decisiones sino también de las decisiones de las otras personas que participan en el juego (Maddala y Miller, 1991).

¿Qué es un juego? (Continuación)

TEORÍA DE LOS JUEGOS

•Explicación •Predicción

•Enfrentamiento de jugadores•Toma de decisiones, estrategias.

OBJETIVO DE LA TEORÍA DE JUEGOS: Es la determinación de patrones de comportamiento racional en la que los resultados dependen de las acciones de los jugadores interdependientes.

OBJETIVOS DE LA TEORÍA DE LOS JUEGOS

ELEMENTOS DE UN JUEGO

JUGADORES

ESTRATEGIAS

GANANCIAS

REGLAS

Son jugadores cada uno de los agentes que toman decisiones. Pueden elegir entre un conjunto de alternativas posibles

Una estrategia corresponde a cada curso de acción que puede elegir un jugador.

Cada jugador debe elige lo que más le convenga.

Las ganancias corresponden a los rendimientos que obtiene cada jugador cuando termina el juego.

En una ciudad pequeña del país Florenzuela operan únicamente dos grandes compañías que suministran el servicio de telefonía por cable: Netodos y Intercuerda. En los actuales momentos ambas empresas cobran una misma tarifa sus servicios. No obstante, Netodos está analizando la conveniencia de colocar una tarifa más baja que la competencia o dejar su tarifa en el mismo nivel actual. El gerente de Intercuerda que tiene espías en Netodos se ha enterado de esta situación por lo cual está tambien analizando la posibilidad de reducir o no sus tarifas. Si ambas empresas disminuyen las tarifas sus ganancias individuales serán de Bs. F. 5000; si ambas mantienen las tarifas actuales ganaran Bs. F. 6000. Si sólo una disminuye su tarifa, la que la disminuye ganará Bs. F. 10.000 y la que mantiene la tarifa actual ganará sólo Bs. F. 2000.

ELEMENTOS DE UN JUEGO (Ejemplo 1).

Decisiones relacionadas con la fecundidad: Dos parejas viven juntas y cada una tiene que decidir el número de hijos que van a tener. La crianza de los hijos tiene un coste si son nuestros de “c” unidades monetarias por hijo. Por otra parte, como las dos parejas viven juntas, los hijos de la otra también imponen un coste, éste coste es igual a “d” por hijo ajeno. Tener hijos también genera beneficios, cada pareja sólo obtiene beneficios de sus propios hijos. El beneficio total de tener “n” hijos es igual a A(n). Si cada pareja puede tener como máximo dos hijos. Identifique cada uno de los elementos que componen el juego.


Protección de una industria: Una industria monopolística está protegida por un arancel. Debe decidir si reduce o no los costes y aumenta su competitividad internacional. Tras tomar esta decisión, el Gobierno observa si la industria ha reducido o no los costes y decide entonces si elimina o no el arancel que la protege. Tras estas decisiones, tanto el Estado como la industria obtienen unos resultados. Identifique: Quiénes son los jugadores, cuáles son las estratégias para cada uno de ellos.


JUEGOSCOOPERATIVOS

TIPOS DE JUEGOS

Los jugadores pueden negocias contratos vinculantes.“Eligen estrategias de manera conjunta”.

JUEGOSNO COOPERATIVOS

Los jugadores NO pueden negociar contratos vinculantes.“Cada uno elige su estrategia óptima independientemente”.

•Comprender el punto de vista de un adversario “racional”.•Deducir su respuesta a nuestros actos.

La representación de un juego de manera simplificada puede realizarse a través de:

1)Un árbol de juego (forma extensiva).2)Una matriz de ganancias.

Formas de representar un juego

1.- Árbol de juego (Forma extensiva): Es una representación gráfica de una situación estratégica. Cada nódulo representa los posibles cursos de acción para cada jugador, al final del árbol se presentan las ganancias que obtiene cada jugador.

Formas de representar un juego

Formas de representar un juego. Árbol de juego: Ejemplo 1

(Netodos vs. Intercuerda)

NETODOS

Disminuir tarifas

Mantener tarifas

INTERCUERDA

Disminuir tarifas

Mantener tarifas

INTERCUERDA

Disminuir tarifas

Mantener tarifas

5.000;5.000

10.000;2.000

2.000; 10.000

6.000;6.000

• Construye el árbol de juego para el ejemplo Nro. 2 relacionado con las decisiones de fecundidad. Para estimar las ganancias netas de cada pareja suponga que:

a) El costo por cada hijo propio es de 10 u.m. b)El costo por cada hijo ajeno es de 2 u.m. c) El beneficio por cada hijo propio es de 50 u.m.d)No se obtiene beneficio alguno por cada hijo

ajeno.

Formas de representar un juego. Árbol de juego: Ejercicio

Formas de representar un juego. Matriz de ganancias

1.- Matriz de ganancias: Es una representación de una situación estratégica a través de una tabla. Las estrategias de cada jugador se presentan a la izquierda y en la parte superior de la tabla. Las ganancias obtenidas por cada uno de los jugadores al final del juego se presentan en la parte interior de la tabla.

Formas de representar un juego. Matriz de ganancias. Ejemplo 1

(Netodos vs. Intercuerda)

Disminuir Tarifas

Mantener Tarifas

Disminuir tarifas

5.000;5.000 10.000; 2000

Mantener tarifas

2.000; 10.000 6.000;6.000

NETODOS

INTERCUERDA

Estrategias dominantes

ESTRATEGIA DOMINANTE: Es aquella estrategia que resulta óptima para un jugador independientemente de los que hagan su(s) adversario(s)

Ejemplo 4: (Varian, 1996)Supongamos que dos personas están jugando a un juego sencillo: La A escribe en un papel “arriba” o “abajo”. Al mismo tiempo la B escribe independientemente “izquierda” o “derecha”. Una vez hecho esto, se examinan los papeles y cada uno de ellos obtiene el resultado que se muestra en el siguiente cuadro.


Izquierda Derecha Arriba 1;2 0;1

Abajo 2;1 1;0A

B

•Si el jugador A elige Arriba a el jugador B le conviene elegir izquierda. •Si el jugador A elige Abajo al el jugador B le conviene elegir izquierda.

“Izquierda” será la estrategia dominante para el jugador “B”

¿El jugador A tendrá una estrategia dominante? Indique cuál podría ser dicha estrategia.


No siempre los jugadores tienen estrategias dominantes.

Ejemplo 5: Pindyck y Rubinfeld, 1998. Dos empresas duopólicas, supongamos la empresa A y la empresa B venden productos rivales y tienen que decidir si emprenden o no una campaña publicitaria. La decisión que tome cada una afectará a la de la otra. Si la matriz de ganancia está representada por el cuadro siguiente indique si alguna de las empresas presenta una estrategia dominante.

Hacer publicidad No hacer publicidad

Hacer publicidad 10;5 15;0

No hacer publicidad

6;8 10;2

Empresa A

Empresa B


Ejemplo 5: Pindyck y Rubinfeld, 1998 (Continuación) Si ahora la matriz de ganancias fuera como la que se presenta en la siguiente tabla ¿Seguirán teniendo estrategias dominantes las empresas?



No hacer publicidad

6;8 20;2

Empresa A

Empresa B

• EQUILIBRIO DE NASH: Conjunto tal de estrategias tal que cada jugador hace lo mejor para él dado lo que hacen sus adversarios.

Equilibrio de Nash

ESTRATEGIAS ESTABLES

John, Nash

Equilibrio de Nash


Abajo 2;1 1;0A

B

Ejercicio: Identificar las estrategias que constituyen el equilibrio de Nash para el ejemplo 4.

Ejercicio: Identificar las estrategias que constituyen el equilibrio de Nash para el ejemplo 5 (Nota: emplear la segunda matriz de ganancias de este ejemplo).

Equilibrio de Nash



No hacer publicidad

6;8 20;2

Empresa A

Empresa B

El dilema del prisionero (Tucker,1940)

Dos personas “Kauffman” y “Durán” son arrestadas por cometer un delito. El fiscal del distrito tiene pocas pruebas y está deseoso de conseguir una confesión. Separa a los sospechosos y le dice a cada uno: “Si usted confiesa y su compañero no, le prometo que la condena será menor (seis meses), mientras que, en función de su confesión, su compañero será condenado a 10 años. Si confiesan ambos, cada uno será condenado a 3 años”. Cada uno de los sospechosos también sabe que si no confiesa ninguno de los dos, la falta de pruebas hará que sean juzgados por un delito menor por el que serán condenados a dos años”. Actividad: Construya la matriz de ganancias asociada a esta situación e indique cuál es el conjunto de estrategias que constituyen el equilibrio de Nash.

El dilema del prisionero y el equilibrio de Nash

Confesar No confesarConfesar 3 años ;3 años 0.5 años ;10 años

No confesar 10 años ;0.5 años 2;2 añosKauffmann

Durán

Constituye el equilibrio de Nash, hay estabilidad en el resultado.

Los juegos y el equilibrio de Nash

No todos los juegos tienen un único equilibrio de Nash.

1.- Algunos juegos pueden tener más de un equilibrio

Ejemplo: La guerra de los sexosMaría y Jorge están planeando unas vacaciones. María prefiere la playa, Jorge la montaña. Ambos jugadores prefieren pasar sus vacaciones juntos a pasarlas separados. Su matriz de ganancias es:

2.- Algunos juegos pueden no tener un equilibrio de Nash (de estrategias puras) tal como lo hemos definido hasta ahora .

Ejemplo: Piedra, papel o tijera.

Montaña Playa

Montaña 2,1 0,0

Playa 0,0 1,2Jorge

María

Ejercicio: Gallina ó Halcón-Paloma:

Dos adolescentes “Gabo” y “Juan” los cuales se creen muy machos participan en el juego de la “gallina”, que consiste en ir a toda velocidad en sentido contrario por una carretera de un solo carril. El primero que frene es calificado de gallina, mientras que el otro consigue la estima del. Naturalmente si ninguno de los dos frena, ambos mueren en el choque resultante. Si la matriz de ganancias es la que se presenta a continuación indique si este juego tiene un equilibrio de Nash.

Gallina No gallinaGallina 2,2 1,3

No gallina 3,1 0,0

Gabo

Juan

Los juegos y el equilibrio de Nash

Estrategias maximin

Son estrategias en la cual se maximiza la ganancia mínima que se puede obtener en un juego. Una estrategia maximin es conservadora (evita riesgos) no maximiza beneficios.


Abajo -2000;0 2;1A

B

En este ejemplo el jugador B tiene una estrategia dominante jugar “Derecha” , luego el jugador A debería jugar “Abajo”. No obstante, si A juega “Abajo” y el jugador B no sigue su estrategia dominante, el jugador “A” perderá mucho. Por lo anterior, es posible que A no desee arriesgarse tanto y emplee una estrategia “conservadora” en la cual maximiza la mínima ganancia.

Estrategias maximin

Para saber cuál es la estrategia maximin de cada jugador suele ser conveniente descomponer la matriz de ganancias de la siguiente manera:

Estrategias y ganancias correspondientes al jugador “A”

Arriba 1 1 1

Abajo -2000 2 -2000Jugador A

Mínima ganancia por estrategia

Máxima ganancia mínima

Si el jugador “A” siguiera la estrategia maximin debería jugar “Arriba”.

Estrategias y ganancias correspondientes al jugador “B”

Estrategias maximin

Izquierda Derecha

0 1

0 2

0 1

Jugador B

Mínima ganancia por estrategia

Máxima ganancia mínima

Si el jugador “B” siguiera la estrategia maximin debería jugar “Derecha”.


Abajo -2000;0 2;1A

B

Estrategias maximin: Equilibrio

Ahora si ambos jugadores siguen la estrategia maximin el equilibrio estaría representado por las estrategias Arriba (Jugador A) y Derecha (Jugador B)

MATRIZ DE PAGOS

“El monje”

A B C

“El gringo”

A 9 | 1 1 | 9 2 | 8

B 6 | 4 5 | 5 4 | 6

C 7 | 3 8 | 2 3 | 7

Ejercicio: Suponga que dos jóvenes a llamados “El gringo” y “El monje” están participando en un juego. Cada jugador dispone de tres estrategias posibles a las que designaremos como A, B, y C (supongamos que son tres tarjetas con dichas letras impresas). Los premios o pagos consisten en la distribución de diez dólares que se repartirán según las estrategias elegidas por ambos jugadores y se muestran en la siguiente tabla llamada matriz de pagos.

Estrategias maximin: Equilibrio (ejercicio)

Si ambos jugadores siguen estrategias maximin. Indique cuál será la estrategia seguida por cada jugador y el equilibrio

• En los casos analizados anteriormente el jugador elige un curso de acción específico (estrategia) y lo mantiene. Ejemplo: Una empresa puede elegir aumentar la tarifa o no modificarla; un jugador puede elegir derecha o izquierda. A este tipo de estrategias se les denomina estrategias puras.

Estrategias mixtas

No obstante, en algunos juegos no existe un equilibrio de Nash de estrategias puras, por lo cual es indispensable ampliar el concepto de equilibrio de Nash incorporando el concepto de estrategias mixtas.

Según Pindyck y Rubinfeld (1998) “una estrategia mixta es aquella en la que el jugador elige aleatoriamente entre dos o más opciones posibles, basándose en un conjunto de probabilidades elegidas”.

ilustración: Siguiendo el ejemplo 4 (modificado), el jugador A podría elegir arriba en el 50 por ciento de los casos, abajo en el otro 50 por ciento, y B podría elegir izquierda en el 50 por ciento de los casos y derecha en el otro 50 por ciento, en esta situación ambos jugadores tienen estrategias mixtas. .

Estrategias mixtas

Izquierda Derecha Arriba 0;0 0;-1

Abajo 1;0 -1;3A

B

Ejemplo Nro. 4 (modificado)

Estrategias mixtas

Cara Cruz Cara 1;-1 -1;1

Cruz -1;1 1;-1A

B

Ejemplo Nro. 5. El juego de las monedas. En este juego cada jugador elige cara o cruz y los dos tiran sus monedas al mismo tiempo. La matriz de ganancias está representada por:

En este juego el jugador A podría elegir cara con una probabilidad de ½ y cruz con una probabilidad de ½. El valor esperado de su ganancia sería igual a “0”.

Si A y B siguen las estrategias mixtas mencionadas antes, tienen una probabilidad de ¼ de terminar en cada una de las cuatro casillas de la matriz de resultados. Por lo tanto, el resultado medio de A es 0 y el de B es 0.5.

En las estrategias mixtas el equilibrio de Nash es aquel en el que cada agente elige la frecuencia óptima con la que seguirá sus estrategias, dadas la frecuencia que elija el otro (Varian, 1996).

Estrategias mixtas y el Equilibrio de Nash

Pueden ser estrategias no muy razonables en las situaciones estratégicas de las empresas.

En la vida real las decisiones estratégicas no se toman una sola vez, los juegos podrían realizarse una y otra vez, es decir podrían repetirse.

Ejemplos:

Juegos repetidos

Gabriela y Aymara (Ejemplo del dilema del prisionero son arrestadas en varias oportunidades y ya conocen las condiciones)

Las empresas toman decisiones respecto a sus precios, promociones o campañas publicitarias una y otra vez.

¿Afecta esto los resultados del juego?

Juegos repetidos

El resultado del juego se ve afectado. Cada vez que se repite el juego los jugadores pueden ganarse una “reputación” sobre su conducta y estudiar la conducta de sus competidores.

Los juegos pueden repetirse:

Infinitamente

De manera finita

Si los juegos se repiten muchas veces puede fomentarse la conducta de cooperación.

Ejemplo (Pindyck): Supongamos que dos empresas pueden cobrar un precio alto o bajo en su producto y la matriz de ganancias está representada por:

Juegos repetidos

Precio Bajo Precio AltoPrecio Bajo 10;10 100;-50

Precio Alto -50;100 50;50Empresa

1

Empresa 2

Equilibrio de Nash

Equilibrio cooperativo

Juegos repetidos

Período 1 2 3 4 5 6 7

Empresa 1

Alto50

Alto 50

Alto -50

Bajo 10

Bajo 10

Alto50

Alto50

Empresa 2

Alto 50

Alto50

Bajo100

Bajo 10

Bajo10

Alto50

Alto 50

Si pensáramos que este juego se repite en varias veces ¿el resultado del juego sé vería afectado?.

Evolución del juego:

Lo más racional para ambos jugadores sería mantener la cooperación, si los jugadores siguen una estrategia “ojo por ojo” el no cooperar implicará que se acumularán perdidas mayores a los

beneficios obtenidos en el corto plazo (Axelrod).

Juegos consecutivos y la ventaja del que se mueve primero

En la mayoría de los juegos los jugadores se mueven al mismo tiempo. En los juegos consecutivos los jugadores se mueven sucesivamente (primero uno y después el otro).

Juegos NO consecutivos

Juegos consecutivos

Cournot: ambas empresas fijaban su nivel de producción simultáneamente.

Stackeberg: una empresa fija su nivel de producción antes que la otra.


En un juego consecutivo la clave es imaginar las posibles acciones y reacciones de cada jugador.

Ejemplo (Pindyck): Supongamos que dos empresas pueden lanzar al mercado dos tipos de cereales dulce o crujiente. Ambas empresas obtienen beneficios positivos si producen cerales diferentes. La empresa 1 es la primera en jugar ¿Cuál será el resultado de este juego?

Crujiente DulceCrujiente -5;-5 10;20

Dulce 20;10 -5;-5Empresa

1

Empresa 2


Empresa 1

Crujiente

Dulce

Empresa 2

Crujiente

Dulce

Empresa 2

Crujiente

Dulce

-5;-5

10;20

20; 10

-5;-5

Los juegos consecutivos suelen analizarse de manera extensiva.

Estrategias creíbles y vacías

Bajo AltoBajo 20; 5 15,10

Alto 10,-50 5;-25Empresa

1

Empresa 2

Supongamos que dos empresas pueden llevar a cabo una campaña publicitaria incurriendo en un gasto alto (campaña agresiva) o u gasto bajo (campaña poco agresiva) y que la matriz de ganancias está representada de la siguiente manera:

¿Será posible que la empresa 1 amenace a la empresa 2 indicándole que si no elige un presupuesto bajo ella cobrará un precio alto?

Gran influencia de la empresa 1 en los resultados de la 2


En el caso anterior, la amenaza de la empresa 1 no es creíble pues independientemente de lo que haga la empresa 2 a la empresa 1 le reporta más beneficios establecer una campaña moderada, es decir, con presupuesto bajo.

Para que una amenaza sea “efectiva” debe ser creíble Establecer compromisos (anticipadamente)

Actitud irracional, disposición a sacrificar ganancias para obtener reputación y/o no existir estrategias dominantes.

Ejemplo (Pindyck y Rubineld): Elección de un producto. Far Out Engines (fabricantes de motores) y Race Car Motors (autos grandes).


Autos Pequeños

Autos Grandes

Motores pequeños

3; 6 3,0

Motores grandes 1,1 8;3

Far Out Engines

Race Car Motors

¿Podría amenazar Far Out Engines a Race Car Motors con producir motores grandes independientemente de lo que haga esta compañía? ¿Sería creíble?


Autos Pequeños

Autos Grandes

Motores pequeños

0; 6 0,0

Motores grandes 1,1 8;3

Far Out Engines

Race Car Motors

En el ejemplo anterior no sería creíble la amenaza de Far Out Engines pues al Race Car Motors indicar que producirá autos pequeños Far Out Engines no tendrá incentivos para fabricar motores grandes.

Modificando la matriz de ganancias del ejemplo anterior la amenaza de Far Out sí sería creíble.

La Teoría de los juegos y el oligopolio

Tal como estudiamos en el tema anterior una de las características más importantes del oligopolio es la interdependencia entre las empresas…las decisiones de unas (en relación con los precios, producción, publicidad, etc.) afectan los resultados de las otras. En este sentido la teoría de juegos permite representar muy fácilmente modelos de oligopolio tales como el de Cournot, Stackelberg, equilibrio cooperativo, entre otros.

Ejemplo: Suponiendo que en un mercado oligopólico operan dos empresas cuya demanda de mercado es P=30-Q y siendo el coste marginal de las empresas igual a cero. Podríamos representar las decisiones de producción de cada empresa y las ganancias que obtendrían según los modelos de Cournot, Stackelbeg y Cartel, a través de una matriz de beneficios.


Solución Cournot: Q1=Q2=10; P=10; BT1=BT2=100Stackelberg (empresa 1 es la líder): Q1=15; Q2=7,5; P=7,5; BT1=112,5 y BT2=56,25 Colusión: Q1=Q2=7,5; P=15; BT1=BT2=112,5

7,5 10 15

7,5 112.5;112.5 93.75;125 56,25;112,5

10 125;93.75 100;100 50,75

15 112.5;56.25 75;50 0,0

Duopolista 1

Duopolista 2

Cournot Stackelberg

Colusión


Muchas otras situaciones pueden ser representadas a través de la teoría de los juegos, veamos algunas de ellas:

Ejemplo (Anido, D.): Venezuela y Arabia Saudita, ambos vendedores de petróleo, acuerdan mantener baja la producción del mismo, para mantener alto el precio en el ámbito mundial. Tras acordar los niveles de producción, cada uno debe decidir si coopera y cumple el acuerdo, o hace caso omiso de él.

Elevada Producción

Baja Producción

Elevada producción

40;40 60;30

Baja producción

30;60 50;50

Arabia Saudita

Venezuela


El Presidente de Venezuela podría mantener baja la producción como acordamos, o podría incrementar la producción y vender más petróleo en los mercados mundiales. Si AS cumple el acuerdo y baja su producción, y Vzla. hace lo mismo, entonces ambos ganarían (pues cada uno recibiría 50 MMM). Pero si AS cumple el acuerdo pero Vzla. no, Venezuela recibiría 60 MMM (ganaría más).

El mismo análisis puede hacerse con el Presidente de Arabia Saudita.

¿Cuál sería el resultado de este juego si sólo se jugara una vez?

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