teoria de juegos

Teoría de Juegos como Herramienta para modelar Comportamiento Estratégico

M. Sc. Alicia Guerrero

Introducción

¿Cuál es la diferencia / s que consideraría al analizar la toma de decisiones de las siguientes empresas?

Hacienda la Juanita: ¿Cuánto debe de producir de limones?

Interagua: ¿Cuántos metros cúbico de agua distribuir?

Toyota: ¿Cuántos autos y que modelos producir?

Probablemente Toyota, a diferencia de Interagua y Hacienda La Juanita, al tomar su decisión sobre cuanto producir y que modelo, debe tambien considerar el comportamiento de sus rivales: Ford, Chrysler, Volkswagen ya que son relativemente pocas empresas que conforman el mercado de los autos y las decisiones de ellas influyen en mis resultados → INTERDEPENDENCIA

Introducción

Esta interdependencia da lugar a un comportamiento estratégico: tomo mis decisiones en torno a variables como precio, cantidad considerando las acciones de los demás competidores ya que estas me afectan.

¿Cuál será el resultado final de la interacción de éstas empresas en el mercado de los automóviles? → equilibrio final.

Para hallar este equilibrio final, debo modelar dicho comportamiento estratégico, y es aquí donde utilizo el instrumental de Teoría de Juegos.

¿Qué es un juego?

Un juego es una representación formal de una situación en la que un número de individuos interactúan en el sentido de interdependencia estratégica. Explicación: representación explicita de la acción reciproca entre 2 o mas individuos a través de estrategias que dependen de las de otros ( en dos direcciones es decir recíprocamente por decirlo así)

El bienestar de cada uno de los individuos depende no sólo de sus propias acciones sino también de las acciones de los otros individuos.

Las acciones de la competencia definen su mejor respuesta o su mejor acción.

Estrategia: Palabra clave en un Juego

Una estrategia es una regla de decisión o un completo plan de acciones contingentes. Explicación: una estrategia puede ser tomar una sola decisión o un conjunto de decisiones sistemáticas que tienen que ser posibles (contingentes) . Aparte un plan contingente es lo que se conoce como un plan b, plan c etc. otras posibilidades…

Este plan describe y especifica qué hará el jugador ante cada posible circunstancia distinguible en la cual sea llamado a actuar o mover.

¿Qué es un juego?

Para describir una situación de interacción estratégica(juego) necesitamos saber cuatro cosas:

Los jugadores: ¿Quiénes están involucrados?

Las reglas: ¿Quién mueve cuándo? ¿Qué necesitan saber cuando “mueven”? ¿Qué pueden hacer?

Los resultados: Para cada posible conjunto de acciones realizadas por cada jugador, ¿cuál es el resultado posible que obtendrá del juego?

Los pagos: Cuáles son las preferencias de cada jugador [muchas veces formalizadas (precisas sin subjetividad ósea con subjetividad, bien explicito) a través de sus funciones de utilidad] respecto de todos los resultados posibles del juego?

En Teoría de Juegos suponemos que los jugadores son racionales, entendiendo la racionalidad como:

i. Su conocimiento de los pasos (1) a (4) que describen el juego, y

ii. Teniendo claridad respecto que los otros jugadores también conocen el juego y que saben que él lo conoce.

(i) y (ii) son de conocimiento común (common knowledge), lo que asegura que los jugadores manejan información completa.

¿Qué es un juego?

Ejemplos de Juegos

1. El análisis de las negociaciones. por ejemplo entre sindicato y empresa, en lo referente a salarios

2. El análisis de las licitaciones.. Es importante saber cuales son los mecanismos de licitación adecuados ante cada tipo de licitación y sus debilidades.

3. El comportamiento de las firmas ante la entrada de competencia. Las firmas pueden ser agresivas frente a la nueva competencia, reduciendo precios y aumentando el gasto publicitario o pueden acomodar la entrada, tratando de llegar a un entendimiento con la firma entrante.

4. Estrategias en comercio internacional. En el comercio internacional, los gobiernos protegen la producción nacional a costa de las empresas extranjeras, evaluando el costo que podría tener una posible reacción de los gobiernos extranjeros.

Ejemplos de Juegos

5. Análisis político. Las reglas electorales alteran las plataformas electorales de los candidatos y se pueden estudiar las consecuencias de distintos tipos de reglas.

.6. Evolución de las especies biológicas.. Los

genes y la influencia de estos sobre su comportamiento y características físicas hacen que individuos de una especie tengan distinta capacidad reproductora, con lo que los genes más exitosos en el juego reproductivo son los que sobreviven.

FORMAS DE REPRESENTAR UN

JUEGO

¿Cómo representar un juego?

La forma de cómo representar un juego, generalmente depende del tiempo en que éste se lleve a cabo. :

Si el juego se lleva a cabo en forma …

Forma de representar el juego

SimultáneaEl juego se juega una vez y desconozco lo que hace mi rival. Ambos jugadores eligen su estrategia al mismo tiempo.

Normal

SecuencialCuando las acciones de los jugadores se llevan a cabo en forma secuencial y por tanto puedo ver las acciones tomadas por los jugadores

Extensiva

Un juego de información perfecta es uno tal que cada set de información contiene sólo uno nodo de decisión. En caso contrario, es un juego de información imperfecta.

Así, tendremos un ejemplo de un juego de información imperfecta en un juego simultáneo, en que el jugador 2 no sabe en qué nodo está situado al momento de jugar... En la representación extensiva del juego, esto se denota agrupando todos los nodos que comporten la misma información:

Los juegos pueden ser de información perfecta e imperfecta

Ejemplo de una representación de un juego en forma secuencial con información completa y perfecta

cada nodo de información pasa a formar un subjuego del juego...

Subjuego: comienza con un conjunto de información que parte de un solo nodo que contiene a todos los nodos que parten de ese mismo nodo

Ejemplo de una representación de un juego en forma secuencial con información imperfecta

Definición: Para un juego con I jugadores, la forma normal de representar un juego JN especifica para cada jugador i un conjunto de estrategias ai (con ai є Ai) y una función de pagos ui(a1, a2, ..., aI) asociada con los resultados (eventualmente aleatorios) que resulten de llevar a cabo dichas estrategias.

Formalmente, se denota JN = [ I, {Ai}, {ui(.)}]

La representación de la forma normal de un juego

Ejemplo de la representación de la forma normal de un juego: El dilema del prisionero

Jugador B

Confiesa Niega

Confiesa (-3,-3) (0,-6)Jugador A

Niega (-6,0) (-1,-1)

Puntos a resaltar

Como hemos visto, generalmente los juegos simultáneos se representan en forma normal y los secuenciales en forma secuencial.

Sin embargo esto no debe tomarse en forma estricta ya que un juego que se lleve a cabo en forma secuencial puede también representarse de manera normal y un juego simultaneo también puede representarse de forma secuencial.

Cuando representamos un juego secuencial en forma normal, podemos pensarlo como un “manual del cortapalo”... hacer tal si veo tal acción y hacer esto otro si veo lo contrario.

Como debo ser “a todo evento”, incluso la estrategia del jugador puede incluir planes para acciones que sean irrelevantes en la estrategia.

Realicemos el siguiente ejercicio

Puntos a resaltar

Ejercicio: representar el siguiente juego secuencial en forma normal

1 2

Podemos decir que para cualquier juego en forma extensiva, existe una única representación normal de dicho juego, pero lo converso no es cierto, es decir, puedo tener varias representaciones en forma extensiva de un juego en forma normal.

Veamos el siguiente ejemplo

Puntos a resaltar

Ejemplo: Matching Pennies

Existen dos jugadores 1 y 2 Cada jugador secuencialmente

lanza una moneda y el resultado puede ser cara o sello

Si sale (cara,cara) o (sello, sello), el jugador 1 gana $1 y el jugador 2 pierde un dólar pero si sale (cara, sello) o (sello, cara) los pagos son contrarios.

Represente el juego en forma extensiva y normal. (resolución en clases)

TIPOS DE JUEGOS Y EJEMPLOS

Juegos simétricos y asimétricos

Juegos de suma cero y no cero

Juegos cooperativos

Juegos simultáneos y secuenciales

Juegos de longitud infinita

JUEGOS SIMÉTRICOS Y ASIMÉTRICOSJUEGO DE LA GALLINA

1 2 Cooperar No cooperar

Cooperar 0,0 -1, +1

No cooperar

+1, -1 -20, - 20

CAZA DEL CIERVO

1 2 CIERVO LIEBRE

CIERVO 4,4 0, 3

LIEBRE 3, 0 3, 3

JUEGO DEL ULTIMATUM

JUEGO SECUENCIAL

JUEGO DEL DICTADOR

JUEGO SECUENCIAL

JUEGOS DE SUMA CERO Y NO CERO

CARA O SELLO

1 2 CARA SELLO

CARA -1,+1 +1, -1

SELLO +1, -1 -1, +1

ESTRATEGIAS PURAS VS. ESTRATEGIAS

Estrategia Mixta: Dado Si (set de estrategias puras del jugador i), una estrategia mixta para el jugador i, σi: Si➾〚 0, 1〛 , asigna a cada estrategia pura si ∈ Si una probabilidad σi (si )≥ 0, la cual será jugada.

¿Cómo Resolvemos un Juego?

Veremos como resolver un juego dependiendo del tiempo en el cual éste se lleve a cabo. Por tanto veremos como resolver un juego:

1. Estático / Simultáneo con información completa.

2. Secuencial 1. con información perfecta2. información imperfecta

I. Juegos Estáticos / Simultáneos con información completa

Recordemos que en un juego simultáneo las reglas del juego son las siguientes: Los jugadores eligen simultáneamente acciones. Los jugadores reciben pagos que dependen de la combinación de acciones resultantes.

Así, el juego es estático porque ningún jugador sabe qué combinación de acciones eligió cada uno de los restantes jugadores: no hay tiempo para reaccionar!.

El juego es de información completa porque es de conocimiento común para el jugador i que el jugador j ordena los posibles resultados según uj.

Juegos Estáticos / Simultáneos con información completa

Resolvamos el Dilema del Prisionero: I = {1,2}, que se encuentran separados y no se

pueden comunicar Serán interrogados, ante lo cual se enfrentan a dos

acciones posibles: confesar (inculpando al otro) o no confesar

A1 = { Confesar, No confesar}, A2 = { confesar, no confesar}Luego, el espacio de las acciones A = { (C,c), (N,n)}

Los resultados a continuación: Jugador B

Confiesa Niega

Confiesa (-3,-3) (0,-6)Jugador A

Niega (-6,0) (-1,-1)


Como vemos la estrategia Confesar, es una estrategia que estrictamente domina a la de No Confesar para ambos jugadores, es decir, sin importar qué haga el otro jugador, lo más conveniente es confesar.

Estrategias estrictamente dominantes: una estrategia ai Є Ai es una estrategia estrictamente dominante para el jugador i si para toda ai´ ≠ ai, tenemos que se cumple:

ui(ai, a-i) > ui (a´i, a-i)

En el juego del dilema de los prisioneros tenemos un Dilema: Los resultados que parecen óptimos no son estables.


Un juego también se puede resolver a través de la eliminación de estrategias dominadas:

Estrategias dominadas: una estrategia ai Є Ai es una estrategia estrictamente dominada para el jugador i si existe otra estrategia a´i Є Ai tal que para toda a-i se cumple que

ui(a´i, a-i) > ui (ai, a-i)

Veamos el siguiente ejemplo:


Ejemplo de estrategias dominadas.

En el siguiente juego ¿Existe una estrategia estrictamente dominante?¿Existe una estrategia dominada?

L R

U 1, -1 -1, 1

M -1, 1 1, -1

D -2, 5 -3, 2


Ejemplo de cómo resolver un juego a través de la eliminación iterativa de estrategias dominadas, donde el orden de eliminación no influye en el resultado final.

Izquierda

Medio

Derecha

Arriba

1,0 1,2 0,1

Abajo 0,3 0,1 2,0


Un juego también puede presentar Estrategias débilmente dominadas: una estrategia ai Є Ai es una estrategia débilmente dominada para el jugador i si existe otra estrategia a´i Є Ai tal que para toda a-i se cumple que

ui(a´i, a-i) ≥ ui (ai, a-i) y con estricta desigualdad para algún a-i

Ejemplo: L R

U 5, 1 4, 0

M 6, 0 3, 1

D 6, 4 4, 4

AHORA OJO: La eliminación iterada de estrategias DÉBILMENTE DOMINADAS es un poco más difícil de justificar.

El argumento para borrar una estrategia débilmente dominada para el jugador i es que el contempla la posibilidad que cualquier combinación de estrategias de sus rivales ocurren con probabilidad positiva.

Pero esta hipótesis choca con la lógica de la eliminación iterada la cual asume que las estrategias eliminadas se las elimina precisamente porque estas no van a ocurrir.

Por tanto el orden de la eliminación de las estrategias cuando son débilmente dominadas, si van a influir en el resultado final.



Veamos el siguiente ejemploVemos que U y M son débilmente dominadas por la estrategia D. Si eliminamos U y luego eliminamos L podemos de ahí eliminar la estrategia M y (D, R) es por tanto nuestra predicción. Ahora si en cambio, eliminamos la estrategia M primero, y luego eliminamos la R, podemos entonces eliminar la estrategia U, y ahora (D, L) es nuestra predicción

L R

U 5, 1 4, 0

M 6, 0 3, 1

D 6, 4 4, 4


No siempre los equilibrios son únicos. Un ejemplo de un juego de múltiples equilibrios es el conocido como Batalla de los Sexos

Box Cine

Box 3,2 1,1

Cine 1,1 2,3

EQUILIBRIO DE NASH

Los equilibrios que hemos encontrado en los diferentes juegos analizados son denominados Equilibrios de Nash (NE).

Definición: Un Equilibrio de Nash del juego JN = [ I, {Ai}, {ui(.)}] es una combinación de estrategias a* Є A tal que ui(a*i, a*-i) > ui (ai, a*-i) para todo ai Є Ai.

a*i: estrategia del jugador i que representa su mejor respuesta ante las mejores acciones del resto de jugadores a*-i

EQUILIBRIO DE NASH

Como vemos, el equilibrio de Nash es un conjunto de “mejores respuestas mutuas”.

En un Equilibrio de Nash, ningún jugador está incentivado a cambiar su comportamiento dado el comportamiento de los demás.

Nash (1950) mostró que en cualquier juego finito (es decir, donde existe un número finito de estrategias y jugadores), existe al menos un equilibrio de Nash. La batalla de los sexos es un ejemplo de que pueden existir múltiples equilibrios de Nash.

Juegos secuenciales con información perfecta

Para resolver un juego secuencial con información completa, emplearemos un procedimiento denominado inducción hacia atrás (backward induction) donde resolvemos desde atrás (nodos terminales) hacia delante.

Veamos el siguiente ejemplo a resolver en clases

Juegos secuenciales con información perfecta

La resolución mediante la inducción hacia atrás elimina las amenazas no creíbles, siendo el equilibrio final como Equilibrio de Nash Perfecto en Subjuegos:

Condición que describe a un conjunto de estrategias que constituyen un Equilibrio de Nash y, que en cada etapa del juego o nodo de decisión, ningún jugador puede mejorar su pago cambiando su propia estrategia

Ejemplo de amenaza no creíble: El juego de la publicidad a desarrollar en clases: Brama versus Pilsener

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Aplicación: Precios Límites

(0,1000)

Incumbente

(0,500)

Entrante(400,400)

Incumbente

(-300,250)

No entra

Entra

Maximiza

Aplica P limite

Maximiza

Aplica P limite

Ejercicio Juego de la Predación

Tenemos dos firmas: Una establecida o Incumbente (I) y una firma que está decidiendo si entrar o no al mercado (E). Si ( E ) decide entrar, la (I) tiene dos opciones: Ambas firmas simultáneamente tienen la opción de Pelear (bajando tanto los precios que las firmas vean disminuidas sus ganancias) o Acomodarse (cediendo ciertas ventas pero no cambiando el precio).

Los pagos son:E no entra (0, 2), E entra y pelea e I también pelea (-3,-1); E entra y pelea e I se acomoda (1, -2); E se acomoda e I Pelea (-2,-1); E se acomoda e I se acomoda (3,1).Represente el juego en forma extensiva, normal, encuentre el equilibrio de Nash perfecto en subjuego y determine que equilibrios representan amenazas no creibles

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