TEORÍA DE JUEGOS

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PorElizabeth Pérez Acuña

Es una técnica para tomar decisiones en situaciones de conflicto sobre la base de la construcción de una matriz formal que permite comprender el conflicto y sus posibles soluciones.

Es una rama de la matemática con aplicaciones a la economía, sociología, biología y psicología, que analiza las interacciones entre individuos que toman decisiones en una marco de incentivos formalizados (juegos).

En un juego, varios agentes buscan maximizar su utilidad eligiendo determinados cursos de acción. La utilidad final obtenida por cada individuo depende de los cursos de acción escogidos por el resto de los individuos.

La teoría de juegos es una herramienta que ayuda a analizar problemas de optimización interactiva.

CONCEPTUALIZACIÓN

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HISTORIA

La teoría de juegos fue creada por el matemático húngaro John Von Neumann (1903-1957) y por Oskar Morgenstern (1902-1976) en 1944 gracias a la publicación de su libro “The Theory of Games Behavior”.

Anteriormente los economistas Cournot y Edgeworth habían anticipado ya ciertas ideas, a las que se sumaron otras posteriores de los matemáticos Borel y Zermelo, no fue hasta la aparición del libro de Von Neumann y Morgenstern cuando se comprendió la importancia de la teoría de juegos para estudiar las relaciones humanas.

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DEFINICIONES

JUEGO:

Se denomina juego a la situación interactiva especificada por el conjunto de participantes, los posibles cursos de acción que puede seguir cada participante, y el conjunto de utilidades.

ESTRATÉGIA:

Cuando un jugador tiene en cuenta las reacciones de otros jugadores para realizar su elección. Una estrategia es un plan de acciones completo que se lleva a cabo cuando se juega el juego.

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.N. VALOR O RESULTADO DEL JUEGO:

El valor de un juego es una cierta asignación de utilidades finales. Se denomina valor de equilibrio si ningún jugador puede mejorar su utilidad unilateralmente dado que los otros jugadores se mantienen en sus estrategias.

MATRIZ DE PAGO:

Una matriz de pago es aquella que muestra los resultados correspondientes a todas las combinaciones de alternativas de decisión y estados de la naturaleza. Las entradas de la matriz de pago además, se pueden cuantificar en términos de utilidad, costo, tiempo o cualquier otra medida de resultado que pudiera ser apropiada para la situación a analizar.

ESTRATEGIA DOMINANTE

También conocida como dominancia, es aquella elección que realiza el jugador independientemente de lo que haga el otro.

Las estrategias dominantes dan como resultado final el equilibrio de las estrategias dominantes en el juego.

Lo contrario de la situación de estrategia dominante se denomina intransitividad y se caracteriza porque una estrategia puede ser mejor o peor que la del jugador oponente dependiendo de las opciones e información que posea.

ESTRATEGIAS ALEATORIZADAS

Los juegos con estrategias aleatorizadas no poseen puntos de silla, esto quiere decir que para cualquier decisión de estrategias hay un jugador que puede beneficiarse cambiando estrategia unilateralmente.

En este juego se deben determinar las estrategias óptimas y el valor de este juego. Para ello se debe ampliar el número de estrategias posibles, es decir, se permitirá que un jugador opte por estrategias concretas en una proporción determinada de casos, que llamaremos probabilidades.

Para alcanzar el valor del juego existen varios procedimientos que sirven para su estimación, entre ellos el método gráfico o en caso de ser un sistema más complejo podremos utilizar el Método Simplex.

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JUEGOS DE SUMA CERO:

En los juegos de suma cero el beneficio total para todos los jugadores del juego, en cada combinación de estrategias, siempre suma cero (en otras palabras, un jugador se beneficia solamente a expensas de otros).

Ejemplo:

Se analizará una forma de desarrollar un juego y determinar su valor esperados, para ello se debe referirse al Criterio de Minimáx y Máximini, que es entre otras cosas fundamentado en el hecho de que un jugador tendrá un criterio optimista, pesimista o aquel que disminuye sus riesgos en términos de pérdidas relativas o pérdidas de oportunidad.

Matriz de Pagos

Siendo I y II las respectivas estrategias para cada jugador.

Primero que todo se verifica si el juego es estrictamente determinado, para ello se suman los elementos de la matriz, este debe ser igual a cero.

Después de ello se procede a conseguir los valores mínimos para cada fila y los valores máximos para las columnas, así:

El valor del juego se determina trazando 2 rectas sobre los números que son iguales entre los hallados anteriormente:

Se determina el valor del juego (llamado punto silla) el cual es igual a 2. En este las estrategias adecuadas a emplear serán la I por parte del Jugador 1 y la II por parte del jugador 2.

Podemos ver además que las ganancias de un jugador son las pérdidas del otro y se dice que no es un juego justo ya que un jugador tiene más posibilidades de ganar que otro.

Otro ejemplo, es aquel donde el juego NO es estrictamente determinado:

Como se puede apreciar la suma de los elementos no es igual a cero y ningún valor mínimos ni máximo es igual.

Supongamos que los dos grandes productores de agendas electrónicas se proponen sacar al mercado un modelo nuevo con teléfono móvil incorporado. Pueden establecer un convenio con cuatro de las compañías telefónicas y uno de los dos productores podría desarrollar una compañía telefónica propia. La matriz de ganancias sería:

EJERCICIO: