teoria de juegos
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INTRODUCCIÓN
Como dijo Grantland Rice, “Ganar no es todo; Es lo único” y lamentablemente no
hay una formula universal que nos ayude a conseguir el éxito en cualquier cosa que se
desee. Esto es lo que se quiere lograr con la teoría de juegos, la formula inequívoca de
conseguir nuestras metas, llevando a un modelo matemático todas las opciones, todas las
ventajas y así poder determinar cual es la forma correcta de conseguir mayor ganancia o
reducir la perdida.
Teoría de juegos una de las áreas de las matemáticas aplicadas diseñada en un
principio para el uso del ejercito, pero que actualmente influye en las decisiones
importantes de las empresas, la economía mundial y la política entre otras.
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TEORIA DE JUEGOS
“Es fatal entrar a cualquier guerra sin la voluntad de ganar.”
Douglas Mac Arthur
Antecedentes
La primera discusión conocida de la teoría de juegos aparece en una carta escrita
por James Waldegrave en 1713. En esta carta, Waldegrave proporciona una solución
minimax de estrategia mixta a una versión para dos personas del juego de cartas le Her.
Sin embargo no se publicó un análisis teórico de teoría de juegos en general hasta la
publicación de Recherches sur les príncipes mathématiques de la théorie des richesses, de
Antoine Augustin Cournot en 1838. En este trabajo, Cournot considera un duopolio y
presenta una solución que es una versión restringida del equilibrio de Nash.
La teoría de juegos como tal fue creada por el matemático húngaro John Von
Neumann (1903-1957) y por Oskar Morgenstern (1902-1976) en 1944 gracias a la
publicación de su libro “The Theory of Games Behavior”. Anteriormente los economistas
Cournot y Edgeworth habían anticipado ya ciertas ideas, a las que se sumaron otras
posteriores de los matemáticos Borel y Zermelo que en uno de sus trabajos (1913)
muestra que juegos como el ajedrez son resolubles. Sin embargo, no fue hasta la aparición
del libro de Von Neumann y Morgenstern cuando se comprendió la importancia de la
teoría de juegos para estudiar las relaciones humanas.
Von Neumann y Morgenstern investigaron dos planteamientos distintos de la
Teoría de Juegos. El primero de ellos el planteamiento estratégico o no cooperativo. Este
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planteamiento requiere especificar detalladamente lo que los jugadores pueden y no
pueden hacer durante el juego, y después buscar cada jugador una estrategia óptima.
En la segunda parte de su libro, Von Neumann y Morgenstern desarrollaron el
planteamiento coalicional o cooperativo, en el que buscaron describir la conducta óptima
en juegos con muchos jugadores. Puesto que éste es un problema mucho más difícil, sus
resultados fueran mucho menos precisos que los alcanzados para el caso de suma cero y
dos jugadores.
En los años 50 hubo un desarrollo importante de estas ideas en Princeton, con
Luce and Raiffa (1957), difundiendo los resultados en su libro introductoria, Kuhn (1953)
que permitió establecer una forma de atacar los juegos cooperativos, y por fin Nash
(1950) quien definió el equilibrio que lleva su nombre, lo que permitió extender la teoría
de juegos no-cooperativos más generales que los de suma cero. Durante esa época, el
Departamento de Defensa de los EE.UU. fue el que financió las investigaciones en el tema,
debido a que la mayor parte de las aplicaciones de los juegos de tipo suma-cero se
concentraban en temas de estrategia militar.
John Forbes Nash (1928- ) es el nombre más destacado relacionado con la teoría
de juegos. A los 21 años escribió una tesina de menos de treinta páginas en la que expuso
por primera vez su solución para juegos estratégicos no cooperativos, lo que desde
entonces se llamó "el equilibrio de Nash", que tuvo un inmediato reconocimiento entre
todos los especialistas.
El punto de equilibrio de Nash es una situación en la que ninguno de los jugadores
siente la tentación de cambiar de estrategia ya que cualquier cambio implicaría una
disminución en sus pagos. Von Neumann y Oskar Morgenstern habían ya ofrecido una
solución similar pero sólo para los juegos de suma cero. Para la solución formal del
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problema, Nash utilizó funciones de mejor respuesta y el teorema del punto fijo de los
matemáticos Brouwer y Kakutani.
En los años siguientes publicó nuevos escritos con originales soluciones para
algunos problemas matemáticos y de la teoría de juegos, destacando la "solución de
regateo de Nash" para juegos bipersonales cooperativos. Propuso también lo que se ha
dado en llamar "el programa de Nash" para la reducción de todos los juegos cooperativos
a un marco no cooperativo. A los veintinueve años se le diagnosticó una esquizofrenia
paranoica que lo dejó prácticamente marginado de la sociedad e inútil para el trabajo
científico durante dos décadas. Pasado ese lapsus, en los años setenta, recuperó su salud
mental y pudo volver a la docencia y la investigación con nuevas geniales aportaciones,
consiguiendo en 1994 el Premio Nóbel de Economía compartido con John C. Harsanyi y
Reinhart Selten por sus pioneros análisis del equilibrio en la teoría de los juegos no
cooperativos.
En los 60 y 70 Harsany (1967) extendió la teoría de juegos de información
incompleta, es decir, aquellos en que los jugadores no conocen todas las características
del juego: por ejemplo, no saben lo que obtienen los otros jugadores como recompensa.
Ante la multiplicidad de equilibrios de Nash, muchos de los cuales no eran soluciones
razonables a juegos, Selten (1975) definió el concepto de equilibrio perfecto en el
subjuego para juegos de información completa y una generalización para el caso de juegos
de información imperfecta.
La última aportación importante a la teoría de juegos es de Robert J. Aumann y
Thomas C. Schelling, por la que han obtenido el premio Nóbel de economía en el año
2005.
En The Strategy of Conflict , Schelling, aplica la teoría del juego a las ciencias
sociales. Sus estudios explican de qué forma un partido puede sacar provecho del
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empeoramiento de sus propias opciones de decisión y cómo la capacidad de represalia
puede ser más útil que la habilidad para resistir un ataque
Aumann fue pionero en realizar un amplio análisis formal de los juegos con sucesos
repetidos. La teoría de los juegos repetidos es útil para entender los requisitos para una
cooperación eficiente y explica por qué es más difícil la cooperación cuando hay muchos
participantes y cuándo hay más probabilidad de que se rompa la interacción. La
profundización en estos asuntos ayuda a explicar algunos conflictos, como la guerra de
precios y las guerras comerciales.
¿Qué es la Teoría de Juegos?
La vida está llena de conflictos y competencia. Los numerosos ejemplos que
involucran adversarios en conflicto incluyendo juegos de mesa, combates militares,
campañas políticas, campañas de publicidad y comercialización entre negocios de
empresas que compiten. Una característica básica en mucha de estas situaciones es que el
resultado final depende, primordialmente de la combinación de estrategias seleccionadas
por los adversarios. La teoría de juegos es una expresión matemática que estudia las
características generales de las situaciones competitivas como estas de una manera formal
y abstracta. Da una importancia especial a los procesos de toma de decisiones de los
adversarios.
Introducción a Investigación de Operaciones
Hillier, Frederick S.
La teoría de juegos es un área de la matemática aplicada que utiliza modelos para
estudiar interacciones en estructuras formalizadas de incentivos (los llamados juegos) y
llevar a cabo procesos de decisión. Sus investigadores estudian las estrategias óptimas así
como el comportamiento previsto y observado de individuos en juegos. Tipos de
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interacción aparentemente distintos pueden, en realidad, presentar estructuras de
incentivos similares y, por lo tanto, se puede representar mil veces conjuntamente un
mismo juego.
Wikipedia, La enciclopedia Libre
Un juego es una situación competitiva entre N personas o grupos, denominados
jugadores, que se realiza bajo un conjunto de reglas previamente establecidas, con
consecuencias conocidas. Las reglas definen las actividades elementales, o movimientos
del juego. Puede definirse diferentes movimientos para distintos jugadores, pero cada
jugador conoce los movimientos de que disponen los otros jugadores.
Si un jugador gana lo que otro jugador pierde, al juego se le denomina juego de
suma 0. Un juego de dos personas es un juego que tiene solo dos jugadores.
Investigación de Operaciones, Richard Bronson
Desarrollada en sus comienzos como una herramienta para entender el
comportamiento de la economía, la teoría de juegos se usa actualmente en muchos
campos, desde la biología a la filosofía. Experimentó un crecimiento sustancial y se
formalizó por primera vez a partir de los trabajos de John von Neumann y Oskar
Morgenstern, antes y durante la Guerra Fría, debido sobre todo a su aplicación a la
estrategia militar —en particular a causa del concepto de destrucción mutua garantizada.
Desde los setenta, la teoría de juegos se ha aplicado a la conducta animal, incluyendo el
desarrollo de las especies por la selección natural. A raíz de juegos como el dilema del
prisionero, en los que el egoísmo generalizado perjudica a los jugadores, la teoría de
juegos se ha usado en economia, ciencias políticas, ética y filosofía. Finalmente, ha atraído
también la atención de los investigadores en informática, usándose en inteligencia
artificial y cibernética.
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Aunque tiene algunos puntos en común con la teoría de la decisión, la teoría de
juegos estudia decisiones realizadas en entornos donde interaccionan. En otras palabras,
estudia la elección de la conducta óptima cuando los costes y los beneficios de cada
opción no están fijados de antemano, sino que dependen de las elecciones de otros
individuos. Un ejemplo muy conocido de la aplicación de la teoría de juegos a la vida real
es el dilema del prisionero, popularizado por el matemático Albert W. Tucker, el cual tiene
muchas implicaciones para comprender la naturaleza de la cooperación humana. La teoría
psicológica de juegos, que se arraiga en la escuela psicoanalítica del análisis transaccional,
es enteramente distinta.
Los analistas de juegos utilizan asiduamente otras áreas de la matemática, en
particular las probabilidades, las estadísticas y la programación lineal, en conjunto con la
teoría de juegos. Además de su interés académico, la teoría de juegos ha recibido la
atención de la cultura popular.
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JUEGOS DE SUMA CERO
La mayoría de los ejemplos reales en negocios y política, al igual que el dilema del
prisionero, son juegos de suma no cero, porque algunos desenlaces tienen resultados
netos mayores o menores que cero. Es decir, la ganancia de un jugador no
necesariamente se corresponde con la pérdida de otro.
Se puede analizar más fácilmente un juego de suma cero, y cualquier juego se
puede transformar en un juego de suma cero añadiendo un jugador "ficticio" adicional ("el
tablero" o "la banca"), cuyas pérdidas compensen las ganancias netas de los jugadores.
La selección de un criterio para resolver un problema de decisión depende mucho
de la información disponible. Los juegos representan el ultimo caso de falta de
información donde los oponentes inteligentes están trabajando en un medio circundante
conflictivo. El resultado es que un criterio muy conservador generalmente esta propuesto
para resolver juegos de dos personas y suma cero, llamado el criterio minimax-maximin.
En la teoría de juegos cada jugador es inteligente y por lo tanto activamente trata de
derrotar a su oponente.
Ya que la matriz del juego generalmente se expresa en términos de pago al jugador
A (cuyas estrategias están representadas por renglones), el criterio (conservador) rquiere
que A seleccione la estrategia (mixta o pura) que maximice su ganancia mínima; el mínimo
se toma sobre todas las estrategias del jugador B. Por el mismo razonamiento, el jugador
B elije su estrategia que minimice sus máximas perdidas. De nuevo, el máximo se toma
sobre todas las estrategias del A.
Ejemplo: considere la matriz de pagos siguiente que representa la ganancia de un
jugador A. los cálculos de los valores minimax y maximin se muestra en la matriz.
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Cuando el jugador A juega su primera estrategia, puede ganar 8,2,9 o 5
dependiendo de la estrategia elegida por el jugador B. Puede grantizar sin embargo, una
ganancia de por lo menos min {8,2,9,5} = 2, independientemente de la estrategia elegida
por el jugador , de igual manera, si el A juega su segunda estrategia, garantiza un ingreso
de al menos min {6,5,7,18} = 5; si juega su tercera estrategia garantiza un ingreso de por lo
menos min {7,3,-4,10} =-4. Por consiguiente, el valor mínimo en cada renglón representa
la ganancia mínima garantizada a A si este juega sus estrategias puras. Estás se indican en
la matriz anterior como “mínimo de renglón”. Ahora, el jugador A, eligiendo su segunda
estrategia, esta maximizando su ganancia mínima. Esta ganancia esta dada por max {2, 5,
-4} = 5. La selección del jugador A se llama estrategia maximin y su ganancia es
correspondiente se conoce valor maximin del juego.
El jugador B por otra parte, quiere minimizar sus perdidas. Observa que, si juega su
primera estrategia pura, puede perder no más de max {8,6,7} = 8, independientemente de
las selecciones de A. Un argumento similar pude también ser aplicado a las tres
estrategias restantes. Los resultados correspondientes, por lo tanto, se indicaron en la
matriz anterior como “máximo de columna”. El jugador B seleccionara entonces la
estrategia que minimice sus perdidas máximas. Esto lo toma en cuenta la segunda
estrategia y su perdida correspondiente estará dada por min {8,5,9,18} = 5. La selección
del jugador B se conoce la estrategia minimax y su perdida correspondiente se llama valor
minimax del juego.
De las condiciones que gobiernan el criterio minimax, el valor minimax es mayor
que o igual al valor máximo. En el caso donde ocurre la igualdad, esto es, valor minimax =
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minimin, las estrategias puras correspondientes se conocen como estrategias “optimas” y
se dice que el juego tiene un punto de silla. El valor del juego, dado por la cantidad común
de las estrategias puras optimas, es igual a los valores maximin y minimax. La
“oportunidad” significa aquí que ningún jugador esta tentado a cambiar su estrategia que
proporcione pagos menos atractivos.
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JUEGOS DE SUMA DISTINTA A CERO
En los juegos de suma no cero la ganancia de un jugador no necesariamente se
corresponde con la perdida del otro. La mayoría de ejemplos reales en negocios y política
corresponden a este tipo. Por ejemplo, un contrato de negocios involucra un desenlace de
suma positiva, donde cada oponente termina en una posición mejor a laque tendría si no
se hubiera dado el negocio.
El teorema de Von Neumann se generaliza a los juegos bipersonales de suma no
nula, que denominamos juegos bimatriciales, considerando la extensión mixta de un juego
bimatricial (A;B) ; que denotamos ; dada por K(x; y) := x T Ay; L(x; y) := x
T By; donde .
El ejemplo mas clásico de este tipo de juegos es el dilema del prisionero.
Imaginemos a dos, preocupados porque no quieren ir al a cárcel. Han hecho un
delito, pero no hay pruebas suficientes para condenarlos, así que la policía opta por
interrogarlos por separado.
A cada uno, les proponen lo siguiente:
- Si delatas a tu compañero, y tu compañero no lo hace, él cumplirá una pena de 10 años,
y tú sales libre.
- Si tu compañero te delata, y tú no, serás tú el que cumpla los 10 años, y él saldrá libre.
- Si ambos se delatan, serán condenados a 6 años cada uno.
- Si ambos callan, vuestra condena será de 6 meses para cada uno.
O puesto en una tabla, que quieras que no lo hace más sencillo de entender:
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Tú no dices nada Tú delatas
Él no dice
nada
6 meses de condena para
ambos
10 años de condena para él,
tú libre
Él te delata él libre, 10 años de condena
para ti
6 años de condena para
ambos
Como podemos ver, el resultado final depende de ambas elecciones, pero ninguno sabe
qué decidirá el otro. Es entonces cuando entran conceptos como la confianza o la traición.
Si miramos a favor del grupo, la mejor opción es la de callar, y que el otro piense de la
misma forma. Pero el problema es que no conocemos lo que el otro desea.
Por ese motivo, lo más posible es que no confiemos en el otro, ya que seguro que no
quiere estar ni un mes en la cárcel. Y no queremos estar 10 años ni de broma. Así que
confesaremos que fue él.
Pero él seguramente ha pensado lo mismo, con lo que nos vamos a la opción de cumplir
ambos 6 años. Este es el equilibrio de Nash, ya que acabaremos en este punto siempre.
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APLICACIONES
La teoría de juegos tiene la característica de ser un área en que la sustancia subyacente es
principalmente una categoría de matemáticas aplicadas, pero la mayoría de la
investigación fundamental es desempeñada por especialistas en otras áreas. En algunas
universidades se enseña y se investiga casi exclusivamente fuera del departamento de
matemática.
Esta teoría tiene aplicaciones en numerosas áreas, entre las cuales caben destacar las
ciencias económicas, la biología evolutiva, la psicología, las ciencias políticas, la
investigación operativa, la informática y la estrategia militar.
Economía y negocios
Los economistas han usado la teoría de juegos para analizar un amplio abanico de
problemas económicos, incluyendo subastas, duopolios, oligopolios, la formación de redes
sociales, y sistemas de votaciones. Estas investigaciones normalmente están enfocadas a
conjuntos particulares de estrategias conocidos como conceptos de solución. Estos
conceptos de solución están basados normalmente en lo requerido por las normas de
racionalidad perfecta. El más famoso es el equilibrio de Nash. Un conjunto de estrategias
es un equilibrio de Nash si cada una representa la mejor respuesta a otras estrategias. De
esta forma, si todos los jugadores están aplicando las estrategias en un equilibrio de Nash,
no tienen ningún incentivo para cambiar de conducta, pues su estrategia es la mejor que
pueden aplicar dadas las estrategias de los demás.
Las recompensas de los juegos normalmente representan la utilidad de los jugadores
individuales. A menudo las recompensas representan dinero, que se presume
corresponden a la utilidad de un individuo. Esta presunción, sin embargo, puede no ser
correcta.
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Un documento de teoría de juegos en economía empieza presentando un juego que es
una abstracción de una situación económica particular. Se eligen una o más soluciones, y
el autor demuestra qué conjunto de estrategias corresponden al equilibrio en el juego
presentado. Los economistas y profesores de escuelas de negocios sugieren dos usos
principales.
Descriptiva
El uso principal es informar acerca del comportamiento de las poblaciones humanas
actuales. Algunos investigadores creen que encontrar el equilibrio de los juegos puede
predecir cómo se comportarían las poblaciones humanas si se enfrentasen a situaciones
análogas al juego estudiado. Esta visión particular de la teoría de juegos se ha criticado en
la actualidad. En primer lugar, se la critica porque los supuestos de los teóricos se violan
frecuentemente. Los teóricos de juegos pueden suponer jugadores que se comportan
siempre racionalmente y actúan para maximizar sus beneficios (el modelo homo
oeconomicus), pero los humanos reales a menudo actúan irracionalmente o
racionalmente pero buscando el beneficio de un grupo mayor (altruismo).
Normativa
Por otra parte, algunos matemáticos no ven la teoría de juegos como una herramienta
que predice la conducta de los seres humanos, sino como una sugerencia sobre cómo
deberían comportarse. Dado que el equilibrio de Nash constituye la mejor respuesta a las
acciones de otros jugadores, seguir una estrategia que es parte del equilibrio de Nash
parece lo más apropiado. Sin embargo, este uso de la teoría de juegos también ha recibido
críticas. En primer lugar, en algunos casos es apropiado jugar según una estrategia ajena al
equilibrio si uno espera que los demás también jugarán de acuerdo al equilibrio. Por
ejemplo, en el juego adivina 2/3 de la media.
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Biología
A diferencia del uso de la teoría de juegos en la economía, las recompensas de los juegos
en biología se interpretan frecuentemente como adaptación. Además, su estudio se ha
enfocado menos en el equilibrio que corresponde a la noción de racionalidad,
centrándose en el equilibrio mantenido por las fuerzas evolutivas. El equilibrio mejor
conocido en biología se conoce como estrategia evolutivamente estable, y fue introducido
por primera vez por John Maynard Smith. Aunque su motivación inicial no comportaba los
requisitos mentales del equilibrio de Nash, toda estrategia evolutivamente estable es un
equilibrio de Nash.
En biología, la teoría de juegos se emplea para entender muchos problemas diferentes. Se
usó por primera vez para explicar la evolución (y estabilidad) de las proporciones de sexos
1:1 (mismo número de machos que de hembras). Ronald Fisher sugirió en 1930 que la
proporción 1:1 es el resultado de la acción de los individuos tratando de maximizar el
número de sus nietos sujetos a la restricción de las fuerzas evolutivas.
Además, los biólogos han usado la teoría de juegos evolutiva y el concepto de estrategia
evolutivamente estable para explicar el surgimiento de la comunicación animal (John
Maynard Smith y Harper en el año 2003). El análisis de juegos con señales y otros juegos
de comunicación ha proporcionado nuevas interpretaciones acerca de la evolución de la
comunicación en los animales.
Finalmente, los biólogos han usado el problema halcón-paloma (también conocido como
problema de la gallina) para analizar la conducta combativa y la territorialidad.
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Informática y lógica
La teoría de juegos ha empezado a desempeñar un papel importante en la
lógica y la informática. Muchas teorías lógicas se asientan en la semántica de
juegos. Además, los investigadores de informática han usado juegos para
modelar programas que interactúan entre sí.
Ciencias políticas
La investigación en ciencias políticas también ha usado resultados de la teoría de juegos.
Una explicación de la teoría de la paz democrática es que el debate público y abierto en la
democracia envía información clara y fiable acerca de las intenciones de los gobiernos
hacia otros estados. Por otra parte, es difícil conocer los intereses de los líderes no
democráticos, qué privilegios otorgarán y qué promesas mantendrán. Según este
razonamiento, habrá desconfianza y poca cooperación si al menos uno de los
participantes de una disputa no es una democracia.
Filosofía
La teoría de juegos ha demostrado tener muchos usos en filosofía. A partir de dos trabajos
de W.V.O. Quine publicados en 1960 y 1967, David Lewis (1969) usó la teoría de juegos
para desarrollar el concepto filosófico de convención. De esta forma, proporcionó el
primer análisis del conocimiento común y lo empleó en analizar juegos de coordinación.
Además, fue el primero en sugerir que se podía entender el significado en términos de
juegos de señales. Esta sugerencia se ha seguido por muchos filósofos desde el trabajo de
Lewis (Skyrms 1996, Grim et al. 2004).
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Leon Henkin, Paul Lorenzen y Jaakko Hintikka iniciaron una aproximación a la semántica
de los lenguajes formales que explica con conceptos de teoría de juegos los conceptos de
verdad lógica, validez y similares. En esta aproximación los "jugadores" compiten
proponiendo cuantificaciones e instancias de oraciones abiertas; las reglas del juego son
las reglas de interpretación de las sentencias en un modelo, y las estrategias de cada
jugador tienen propiedades de las que trata la teoría semántica –ser dominante si y sólo si
las oraciones con que se juega cumplen determinadas condiciones, etc.
En ética, algunos autores han intentado continuar la idea de Thomas Hobbes de derivar la
moral del interés personal. Dado que juegos como el dilema del prisionero presentan un
conflicto aparente entre la moralidad y el interés personal, explicar por qué la
cooperación es necesaria para el interés personal es una componente importante de este
proyecto. Esta estrategia general es un componente de la idea de contrato social en
filosofía política (ejemplos en Gauthier 1987 y Kavka 1986).[4]
Finalmente, otros autores han intentado usar la teoría evolutiva de juegos para explicar el
nacimiento de las actitudes humanas ante la moralidad y las conductas animales
correspondientes. Estos autores han buscado ejemplos en muchos juegos, incluyendo el
dilema del prisionero, la caza del ciervo, y el juego del trato de Nash para explicar la razón
del surgimiento de las actitudes acerca de la moral (véase Skyrms 1996, 2004; Sober y
Wilson 1999).
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CONCLUSIÓN
El problema general de cómo tomar una decisión en un medio competitivo es
bastante común e importante. La contribución fundamental de la teoría de juegos es que
proporciona un marco conceptual básico para formular y analizar tales problemas en estas
situaciones simples. Sin embargo, existe un gran abismo entre lo que la teoría puede
manejar y la complejidad de la mayor parte de las situaciones de competencia que surgen
en la practica. Así las herramientas conceptuales de la teoría de juegos por lo general
desempeñan un papel suplementario cuando se aplican a esas situaciones.
Dada la importancia general del problema, la investigación sobre este tema
pretende extender la teoría a casos complejos, ya que en esta investigación solo se
realizamos dos de los mas simples casos la suma igual a cero o la suma no igual a cero,
pero existen otras técnicas como pueden ser juegos con estrategias mixtas o hasta
solución mediante graficas.
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BIBLIOGRAFÍA
Libros
Métodos Cuantitativos Para La Toma De Decisiones En Administración
Autores Charles A. Gallagher, Hugh J. Watson
Editorial Mc Gwaw Hiv
Investigación de operaciones
Autores Hamdy A. Taha
Quinta edición, editorial Alfaomega, año de publicación 1992
Introducción a la Investigación de Operaciones
Autores Frederick Hyllier, Stanford University Gerald J. Lieberman
Editorial Mc Gwaw Hiv, Año de publicación en 1982
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Editorial Mc Gwaw Hiv Internacional de Mexico SA de CV
Año de publicación en 1993
Internet
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http://www.zonaeconomica.com/teoriadejuegos/teoriadejuegos
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