REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELAINSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO

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“SANTIAGO MARIÑO”EXTENSIÓN PORLAMAR

Realizado por:Betty Bolaños

Porlamar, Mayo 2014

Porlamar, Mayo 2014

TEORÍA DE JUEGOS

• Es una teoría matemática que pretende describir y predecir el comportamiento de

los agentes económicos. Muchas decisiones dependen de las expectativas que se

tengan sobre el comportamiento de los demás agentes económicos.Ejemplo:Juego de las monedas: Dos jugadores lanzan simultáneamente una moneda cada uno. Si ambos obtienen el mismo resultado, el jugador 1 paga al 2 una unidad; si obtienen distinto resultado, es 2 quien paga a 1 una unidad

Comprobar que no hay equilibrio de Nash en estrategias puras.

ELEMENTOS DE LA TEORÍA DE JUEGOS

• Jugadores.

• Acción.

• Información.

• Estrategia.

• Recompensa.

• Resultado.

• Equilibrio.

• Concepto o solución de equilibrio

Ejemplo:

Decisiones relacionadas con la fecundidad: Dos parejas viven juntas y cada una tiene que decidir el número de

hijos que van a tener. La crianza de los hijos tiene un coste si son nuestros de “c” unidades monetarias por hijo.

Por otra parte, como las dos parejas viven juntas, los hijos de la otra también imponen un coste, éste coste es

igual a “d” por hijo ajeno. Tener hijos también genera beneficios, cada pareja sólo obtiene beneficios de sus

propios hijos. El beneficio total de tener “n” hijos es igual a A(n). Si cada pareja puede tener como máximo dos

hijos.

HERRAMIENTAS DE TEORÍA DE JUEGOS

Fisher establece que un juego en forma extensiva se compone de los siguientes elementos:

• El conjunto de jugadores, quienes toman decisiones y son racionales (intentan maximizar

su utilidad).

• Un árbol del juego.

• La información que dispone un jugador en cada nodo en el que le toca decidir.

• Las estrategias de cada jugador, las cuales guiarán al jugador hacia la acción a elegir

cuando llega a cada nodo (conjuntos de información).

• Los resultados de los jugadores, los cuales se muestran en los nodos terminales del árbol

del juego.

DEFINICIÓN DE LA TEORÍA DE JUEGOS ENTRE DOS JUGADORES

El equilibrio de Nash o equilibrio de Cournot o equilibrio de Cournot y Nash o equilibrio del

miedo es, en la teoría de los juegos, un “concepto de solución” para juegos con dos o más

jugadores, el cual asume que:

• Cada jugador conoce y ha adoptado su mejor estrategia, y

• Todos conocen las estrategias de los otros.

IDENTIFICACIÓN DE LA ESTRATEGIAS DEL JUGADOR I Y II

Jugador II

j=1 j=2 j=3

Jugador Ii=1 4 1 3

i=2 2 3 4

______________________________________

La Matriz de Beneficios

Cconsidere el siguiente juego, en el cual el jugador I tiene dos opciones para escoger, y el jugador II tiene tres alternativas para cada elección del jugador I. La matriz de beneficios T se muestra a continuación:

En la matriz de beneficios, las dos filas (i = 1, 2) representan las dos estrategias posibles que el jugador I puede emplear, y las tres columnas (j = 1, 2, 3) representan las dos estrategias posibles que el jugador II puede emplear. La matriz de beneficios esta orientada al jugador I, lo que significa que un valor positivo tij es ganancia para el jugador I y una pérdida para el jugador II, mientras que un tij negativo representa ganancia para el jugador II y una pérdida para el jugador I. Por ejemplo, si el jugador I utiliza la estrategia 2 mientras que el jugador II aplica la estrategia 1, el jugador I recibe t21 = 2 unidades y por

lo tanto el jugador II pierde 2 unidades. Obviamente, en nuestro ejemplo el jugador II siempre pierde; sin embargo, el objetivo es minimizar el beneficio del jugador I.

DEFINICIÓN DE LAS ECUACIONES PARA LA RESOLUCIÓN DEL

PROBLEMAEs aquella en donde en cada término de la ecuación aparece únicamente una variable o

incógnita elevada a la primera potencia. Por ejemplo:

a 11 X1 + a 12 X2 + a 13 X3 + ... + a 1n Xn = C1 (1)

Es una ecuación algebraica lineal en las variables X1, X2, X3, ... , Xn. Se admite que los

coeficientes a11, a12, a13, ... , a1n y el término independiente C1, son constantes reales.

IDENTIFICACIÓN DE LA ESTRATEGIA PUNTO DE SILLA

Esta es una de las técnicas para analizar y resolver un problema de juegos. No es el caso más

común en la teoría de juegos.

Se llama punto de silla a aquel elemento αij de la matriz de consecuencias tal que se cumple:

• αij es el mínimo elemento de la fila “i”.

• αij es el máximo elemento de la columna “j”.

•  

Si un juego tiene por punto de silla un elemento (h,k), donde h es la estrategia del jugador A y k es la estrategia

del jugador B, entonces el jugador A debe escoger la estrategia h y el jugador B la estrategia k entonces el

juego finaliza en una jugada y su valor es: αhk. Si existen dos o más puntos de silla, éstos deben ser idénticos.

Supongamos un juego bipersonal de suma cero en el cual el jugador A dispone de tres estrategias (a1, a2, a3) y el jugador B

dispone de cuatro estrategias que son: (b1, b2, b3, b4), la matriz de consecuencias es.

• Si el jugador A selecciona la estrategia a1, el valor mínimo que puede obtener es 30.

• Si selecciona la estrategia a2, el valor mínimo que puede obtener es 35.

• Si selecciona la estrategia a3, el valor mínimo que puede obtener es 28.

• El objetivo del jugador A es maximizar sus mínimas ganancias.

• Si el jugador B selecciona la estrategia b1, lo máximo que puede perder es 40.

• Si selecciona la estrategia b2, lo máximo que puede perder es 35.

• Si selecciona la estrategia b3, lo máximo que puede perder es 36.

• Si selecciona la estrategia b4, lo máximo que puede perder es 38.

El objetivo del jugador B es minimizar la máxima pérdida.

Como el jugador A tiene por objetivo maximizar sus mínimas ganancias entonces escogerá la estrategia a2, de la misma manera, el jugador B tiene por objetivo minimizar la máxima pérdida, en consecuencia escogerá la estrategia b2. De esta manera el juego finaliza en una jugada y tiene por valor:

α22= { a2, b2} = 35

 Como es evidente, es un juego de suma cero ya que el jugador A gana 35 y el jugador B pierde idéntica cantidad. En este caso decimos que el elemento (a2, b2) = 35, es un punto de silla, ya que es el mínimo de la fila “i” y es al mismo tiempo el máximo de la columna “j”. Obviamente este no es el caso más común en la teoría de juegos.

DESARROLLO DEL METODO ALGEBRAICO

Consiste en la determinación de los valores de probabilidad de la aplicación de cada una de las estrategias por parte de cada uno de los jugadores. Este tipo de solución es aplicable cuando no existe un punto de silla y preferiblemente cuando la matriz de consecuencias es cuadrada.

Para una mejor comprensión, se considera un juego bipersonal en el cual cada uno de los oponentes maneja dos estrategias. La matriz de consecuencias es la siguiente.

• p1: es la probabilidad de que el jugador A escoja la estrategia a1.

• p2: es la probabilidad de que el jugador A escoja la estrategia a2.

• q1: es la probabilidad de que el jugador B escoja la estrategia b1.

• q2: es la probabilidad de que el jugador B escoja la estrategia b2.

Si el jugador A escoge la estrategia a1, la consecuencia esperada

ponderada con los valores de probabilidad será:

De manera que la consecuencia esperada es que el jugador A

gane 16,25 y el jugador B pierda idéntica cantidad.

La aplicación de esta técnica, se complica por su laboriosidad

cuando la resolución es manual y cada jugador tiene

más de dos estrategias.

DESARROLLO DEL METODO DEL SUB_JUEGO

Una estrategia de comportamiento b de un juego en forma extensiva, es equilibrio perfecto de sub-juegos si la restricción de b o F, es un equilibrio de Nash, para todo sub-juego propio de F.

Sea Fx un sub-juego de F, toda combinación estratégica b puede descomponerse en un par (b – x, bx), siendo bx una combinación estratégica en Fx y b-x una combinación estratégica en el juego truncado F-x ( bx ).

DESARROLLO DEL METODO GRAFICOFang, Hipel y Kilgour proponen el siguiente modelo gráfico para un juego no cooperativo. Este

consiste en un conjunto N = {1; 2;:::; n} de jugadores, un CONJUNTO u={1,2,……..u} de

escenarios, y una familia de funciones de pago Ki:UR,iEN. El modelo se completa definiendo el

conjunto de movimientos que un jugador puede realizar para cambiar(unilateralmente) de escenario

y así obtener los grafos dirigidos Di. Dado que en el juego el objetivo es aumentar los pagos que

recibe el jugador, tenemos las siguientes definiciones: dado u escenario g y un jugador i, el

conjunto de los escenarios que el jugador puede alcanzar unilateralmente desde g se denota por

Si(g). Si además, i recibe un pago estrictamente mayor, los escenarios de mejora unilateral para i

son:)}()(:)({)( gKqKgSqgS iiiI

FIN