teoría de espais

Autor: Josep Maria Mateo-Sanz Espais vectorials i aplicacions lineals

1

TEMA 3. ESPAIS VECTORIALS I APLICACIONS LINEALS.

3.1 Vectors. Operacions amb vectors.

Definici: Hi ha informaci per descriure successos o fenmens que pot ser tramesa mitjanant

un sol nombre; per exemple, el volum dun objecte, el pes dun objecte, la temperatura, el preu

dun producte, ... Les magnituds que queden completament definides per un sol nombre

sanomenen magnituds escalars.

Definici: Hi ha daltra informaci que requereix ms dun nombre per ser tramesa ja que, a

banda dun valor numric, sassocien a una direcci i sentit; per exemple, desplaaments,

velocitats, forces, ... Les magnituds que, per definir-les completament, requereixen de la

determinaci de la seva intensitat o mdul i de la seva direcci i sentit sanomenen magnituds

vectorials.

Definici: Un vector s un ens matemtic que representa magnituds vectorials. En un espai que

no tingui ms de 3 dimensions, un vector es representa mitjanant una fletxa on la llargada de

la fletxa indica el mdul, la tija indica la direcci i la punta de la fletxa indica el sentit.

Podem fer referncia a un vector donat de dues maneres diferents:

1. A partir de les seves coordenades cartesianes, que sanomenen components del vector. En

dimensi 2, un vector tindr 2 components, ),( bav =r . En dimensi 3, un vector tindr 3

components, ),,( cbav =r . Generalment, representarem els vectors amb el seu origen

coincidint amb lorigen de coordenades i, daquesta manera, les coordenades de lextrem

de la fletxa del vector coincidiran amb les seves components.

2. Donant el mdul i langle que forma el vector respecte alguna referncia.

Nosaltres treballarem amb les components dun vector i, generalment, ho farem en un espai de

dimensi 2.

3.1.1 Suma de vectors.


2

Les components del vector suma de dos vectors sobtenen sumant les components dels vectors

sobre els quals es fa la suma.

Analticament tenim:

Si ),( 21 uuu =r i ),( 21 vvv =

r ),( 2211 vuvuvuw ++=+=

rrr

Grficament:

Exemple:

Si )3,7( =ur i )1,2(=vr )2,9()13,27( =++=+= vuw rrr

Exemples grfics els podem veure de manera interactiva a:

http://www.frontiernet.net/~imaging/vector_calculator.html.

http://www.mis-algoritmos.com/fisica/.

Propietats de la suma de vectors.

1. Commutativa: uvvu rrrr +=+ .

2. Associativa: )()( wvuwvu rrrrrr ++=++ .

3. T element neutre: uu rrr

=+ 0 .

4. T elements oposats: per a qualsevol ur , existeix ur de manera que 0)(rrr

=+ uu .

3.1.2 Resta de vectors.

Loposat dun vector ),( 21 vvv =r s el vector que sobt canviant els signes de les components

del vector original, s a dir, loposat de ),( 21 vvv =r s ),( 21 vvu =

r . Les components del

vector resta de dos vectors sobtenen sumant les components de primer vector i les components

del vector oposat al vector que volem restar.


3

Exemple:

Si )3,7( =ur i )1,2(=vr )4,5()13,27())1(3),2(7( ==++== vuw rrr


http://www.frontiernet.net/~imaging/vector_calculator.html.


3.1.3 Producte dun escalar per un vector.

Per multiplicar un escalar k per un vector ),( 21 vvv =r cal multiplicar cada component del vector

per lescalar.

Analticament tenim:

Si ),( 21 vvv =r

),( 21 kvkvvk =r

Exemple:

Si )3,7( =vr i 2=k )6,14())3(2,72( ==vk r



Propietats del producte dun escalar per un vector.

1. Distributiva 1: vkukvuk rrrr )( +=+ .

2. Distributiva 2: )()()( uhukuhk rrr +=+ .

3. Associativa: )()( uhkuhk rr = .

4. T element neutre: uu rr =1 .

3.1.4 Mdul dun vector.

El mdul dun vector ),( 21 vvv =r s la longitud del vector i es calcula aplicant el teorema de

Pitgores a les components del vector vr . El mdul dun vector vr es representa com vr .

Analticament tenim:

Si ),( 21 vvv =r

222

1 vvv +=r

Exemple:


4

El mdul del vector )3,7( =vr s 6.7)3(7 22 =+=vr .

3.2 Espai vectorial. Bases. Canvis de base.

Definici: Un espai vectorial s un conjunt V en el qual es defineix la suma de dos elements de

V de manera que es compleixen les 4 propietats de la suma de dos vectors i es defineix el

producte descalars per un element de V de manera que es compleixen les 4 propietats del

producte dun escalar per un vector.

Exemples:

Espai n .

Abans hem treballat amb vectors de 2 components (seria com treballar a 2 ) per podem generalitzar els conceptes anteriors treballant amb n components: Llavors:

Un element de n ho notarem mitjanant ),,,( 21 naaa K .

La suma de dos elements de n es defineix com: ),,,( 21 naaa K + ),,,( 21 nbbb K = ),,,( 2211 nn bababa +++ K

El producte dun escalar per un element de n es defineix com: ),,,( 21 naaak K = ),,,( 21 nkakaka K

El vector 0r de n s:

)0,,0,0( K

Loposat dun vector ),,,( 21 naaa K es defineix com:

),,,( 21 naaa K = ),,,( 21 naaa K

Espai de matriu Mm,n.

Les matrius mxn amb les operacions usuals de suma de matrius i de producte duna matriu per

un escalar sn un espai vectorial.

Espai de polinomis P(x).

El conjunt de polinomis nn xaxaxaa ++++ K2

210 s un espai vectorial respecte les

operacions usuals de suma de polinomis i de producte dun polinomi per un escalar.

3.2.1 Subespai vectorial.


5

Definici: Un subespai vectorial s un subconjunt W dun espai vectorial V de manera que es

compleix que:

W0r

.

Si Wvu rr, llavors Wvu + rr .

Si Wu r i k s un escalar llavors Wuk r .

Exemples:

Subespai (a,b,0) de 3 (vectors de 3 que tenen la tercera component igual a zero). Aquest subconjunt, diem-li W, s un subespai vectorial perqu compleix:

W0r

ja que (0,0,0) t la tercera component igual a 0.

Donats Wdcba )0,,(),0,,( llavors Wdbcadcba ++=+ )0,,()0,,()0,,( .

Donat Wba )0,,( llavors Wkbkabak = )0,,()0,,( .

Subespai W de les matrius simtriques dordre 2.

Aquest subconjunt W s un subespai vectorial perqu compleix:

W0r

ja que

00

00 s simtrica.

Donats Wcb

ba

cb

ba

''

'', llavors W

ccbb

bbaa

++

++

''

''.

Donat Wcb

ba

llavors W

kckb

kbka

cb

bak

=

.

Subespai P2(x) de P(x) (polinomis de grau ms petit o igual a 2).

Aquest subconjunt P2(x) s un subespai vectorial perqu compleix:

)(0 2 xPr

ja que el polinomi nul t grau ms petit que 2.

Donats )(''', 222 xPcxbxacbxax ++++ llavors )(')'()'( 2

2 xPccxbbxaa +++++ .

Donat )(22 xPcbxax ++ llavors )(2

2 xPkckbxkax ++ .

3.2.2 Dependncia i independncia lineal.

Definici: Donat un espai vectorial V, es diu que els vectors Vvvv n ,,, 21 K sn linealment

dependents si existeixen escalars naaa ,,, 21 K , no tots 0, de manera que:


6

02211 =+++ nnvavava K .

Els vectors Vvvv n ,,, 21 K sn linealment independents si NOMS es compleix

02211 =+++ nnvavava K

quan TOTS els escalars naaa ,,, 21 K sn 0.

Procediment 1. Per saber si uns vectors de k sn linealment dependents o independents cal plantejar un sistema dequacions on cada equaci correspon a cada component dels vectors, els

termes independents sn 0 i les incgnites sn els escalars naaa ,,, 21 K .

Si el sistema anterior s compatible determinat, s a dir, si lnica soluci del sistema

anterior s:

0,,0,0 21 === naaa K

llavors els vectors sn linealment independents.

Si el sistema anterior s compatible indeterminat, llavors els vectors sn linealment

dependents.

Exemples.

Tenim els vectors )0,1,1( =u , )1,3,1( =v i )2,3,5( =w de 3 . Comprovem si sn

linealment dependents o independents.

Plantegem:

)0,0,0()2,3,5()1,3,1()0,1,1( =++ zyx

s a dir:

=

=++

=++

02

033

05

zy

zyx

zyx

La matriu ampliada del sistema s:

0

0

0

210

331

511

Si apliquem Gauss, obtenim:

0

0

0

210

840

511


7

0

0

0

000

840

511

El sistema s compatible indeterminat amb un grau de llibertat i la soluci general s (-3z,-2z,z).

Algunes solucions particulars, a banda de (0,0,0) sn: (-3,-2,1), (3,2,-1), (-6,-4,2), ...

Per tant, els vectors )0,1,1( =u , )1,3,1( =v i )2,3,5( =w sn linealment dependents ja que,

per exemple:

)0,0,0()2,3,5()1,3,1(2)0,1,1(3 =+

Tenim els vectors )0,1,1( =u , )1,2,1( =v i )2,3,5( =w . Comprovem si sn linealment

dependents o independents.

Plantegem:

)0,0,0()2,3,5()1,2,1()0,1,1( =++ zyx

s a dir:

=

=+

=++

02

032

05

zy

zyx

zyx

La matriu ampliada del sistema s:

0

0

0

210

321

511

Si apliquem Gauss, obtenim:

0

0

0

210

810

511

0

0

0

1000

810

511

El sistema s compatible determinat i lnica soluci s (0,0,0).

Per tant, els vectors )0,1,1( =u , )1,2,1( =v i )2,3,5( =w sn linealment independents.

Procediment 2. Per saber si uns vectors de k sn linealment dependents o independents cal construir una matriu on les components de cada vector es posen en columnes i es mira quin s el

rang daquesta matriu.


8

Si el rang de la matriu anterior s igual al nombre de vectors llavors els vectors sn

linealment independents. En el cas que hi hagi tants vectors com components t cada

vector, lafirmaci anterior s equivalent a dir que si el determinant de la matriu anterior

s diferent de 0 llavors els vectors sn linealment independents.

Si el rang de la matriu anterior s inferior al nombre de vectors llavors els vectors sn

linealment dependents. En el cas que hi hagi tants vectors com components t cada

vector, lafirmaci anterior s equivalent a dir que si el determinant de la matriu anterior

s igual a 0 llavors els vectors sn linealment dependents.

Exemples.

Tenim els vectors )0,1,1( =u , )1,3,1( =v i )2,3,5( =w de 3 . Comprovem si sn

linealment dependents o independents.

La matriu que t les components de cada vector en columnes s:

210

331

511

El determinant de la matriu anterior s:

02356

210

331

511

=++=

Per tant, els vectors )0,1,1( =u , )1,3,1( =v i )2,3,5( =w sn linealment dependents ja que

el determinant de la matriu anterior s 0 i, per tant, el rang de la matriu anterior s inferior a 3

que s el nombre de vectors.

Tenim els vectors )0,1,1( =u , )1,2,1( =v i )2,3,5( =w . Comprovem si sn linealment

dependents o independents.

La matriu que t les components de cada vector en columnes s:

210

321

511

El determinant de la matriu anterior s:


9

0102354

210

321

511

=++=

Per tant, els vectors )0,1,1( =u , )1,2,1( =v i )2,3,5( =w sn linealment independents ja

que el determinant de la matriu anterior s diferent de 0 i, per tant, el rang de la matriu anterior s

igual a 3 que s el nombre de vectors.

Comentari. El Procediment 2 noms ens indica si els vectors sn linealment dependents o

independents. El Procediment 1, a ms, en el cas que els vectors siguin linealment dependents

ens permet saber combinacions dels escalars que fan que es compleixi:

02211 =+++ nnvavava K

3.2.3 Generadors dun espai vectorial.

Definici: Donat un espai vectorial V, es diu que els vectors Vvvv n ,,, 21 K formen un sistema

de generadors de lespai V si qualsevol vector Vv es pot posar com a combinaci lineal dels

vectors Vvvv n ,,, 21 K , s a dir, si existeixen escalars naaa ,,, 21 K de manera que:

vvavava nn =+++ K2211 .

Procediment. Per saber si uns vectors de k formen un sistema de generadors cal que es compleixin les dues condicions segents:

Hi ha dhaver k o ms vectors.

Hi ha dhaver k vectors linealment independents. Dit duna altra manera, la matriu on les

components de cada vector es posen en columnes ha de tenir rang k.

3.2.4 Bases.

Definici: Donat un espai vectorial V, es diu que els vectors Vvvv n ,,, 21 K s una base de

lespai V si es compleixin les dues condicions segents:

nvvv ,,, 21 K sn linealment independents.

nvvv ,,, 21 K generen V.


10

Definici: La dimensi dun espai vectorial V s el nombre de vectors que formen qualsevol

base de V

Procediment. Per saber si uns vectors de k formen una base de k cal que es compleixin les dues condicions segents:

Hi ha dhaver exactament k vectors.

Els k vectors han de ser linealment independents.

Exemples.

Els vectors )1,1( =u , )2,1( =v i )2,3( =w NO formen base de 2 ja que:

Hi ha 3 vectors.

Els vectors )1,1( =u i )2,2( =v NO formen base de 2 ja que:

Els 2 vectors sn linealment dependents donat que:

202221

21


11

302356

210

331

511


12

)2,3()1,0(2)0,1(3 =

El vector )4,2,3( =v de 3 t precisament aquestes coordenades perqu en la base cannica

de 3 tenim que: )4,2,3()1,0,0(4)0,1,0(2)0,0,1(3 =+

Donada la base de 2 formada pels vectors )1,1(1 =v i )2,1(2 =v . Si les coordenades dun

vector u respecte la base anterior sn )5,2( vol dir que podem escriure:

u=+ )2,1(5)1,1(2

3.2.5 Canvis de base.

Canviar de base s com canviar de sistema de referncia. Si tenim les coordenades dun vector

en una base concreta, quines seran les coordenades daquest vector si canviem de base? Per

resoldre aquest problema cal plantejar les equacions que ens igualen les coordenades dun vector

en una base i en laltra base.

Exemples.

Canvi duna base qualsevol a base cannica. Donada la base de 2 formada pels vectors )1,1(1 =v i )2,1(2 =v . Si les coordenades dun vector u respecte la base anterior sn

)5,2( , quines sn les coordenades del vector u en la base cannica?

Es compleix que:

)1,0()0,1()2,1(5)1,1(2 yxu +==+

Tindrem dues equacions ja que tenim dues coordenades (estem a 2 ).

=

=

=+

=+

y

x

y

x

8

3

)2(5)1)(2(

151)2(

s a dir, les coordenades del vector u en la base cannica sn )8,3( .

Canvi de la base cannica a una base qualsevol. Donada la base de 2 formada pels vectors )1,1(1 =v i )2,1(2 =v . Si les coordenades dun vector u respecte la base cannica sn

)3,2( , quines sn les coordenades del vector u respecte la base formada pels vectors 1v i 2v ?

Es compleix que:

)2,1()1,1()1,0(3)0,1(2 +==+ yxu


13


=

=

=

+=

y

x

yx

yx

1

1

23

2

s a dir, les coordenades del vector u en la base formada pels vectors 1v i 2v sn )1,1( .

Canvi duna base qualsevol a una altra base qualsevol. Donada la base de 2 formada pels vectors )1,1(1 =v i )2,1(2 =v i un vector u que t les coordenades )5,2( respecte la base

anterior. Donada la base de 2 formada pels vectors )3,2(1 =w i )1,2(2 =w , quines sn les

coordenades del vector u respecte la base formada pels vectors 1w i 2w ?

Es compleix que:

)1,2()3,2()2,1(5)1,1(2 yxu +==+


==

==

+=

+=

+=+

+=+

875.08

7

375.28

19

38

223

3)2(5)1)(2(

22151)2(

y

x

yx

yx

yx

yx

s a dir, les coordenades del vector u en la base formada pels vectors 1w i 2w sn

)875.0,375.2( .

3.3 Aplicaci lineal. Matriu associada a una aplicaci lineal.

Definici. Siguin dos espais vectorials V i U. Una aplicaci UVf : sanomena aplicaci

lineal si compleix les dues condicions segents:

1) Si Vwv , llavors )()()( wfvfwvf +=+ .

2) Si Vv i k s un escalar llavors )()( vfkkvf = .

Definici. Un endomorfisme s una aplicaci lineal dun espai vectorial en s mateix, s a dir, s

una aplicaci lineal VVf : .

Exemples.

Sigui laplicaci 32: f definida per ),,(),( xyxyxyxf += . Comprovem si aquesta

aplicaci s una aplicaci lineal. Per aix agafem dos vectors ),( bav = i )','( baw = i


14

comprovem les dues condicions que shan de complir per tal que una aplicaci sigui aplicaci

lineal:

Condici 1:

)','',''()','())','(),(()( aabbaabbaabbaafbabafwvf +++++=++=+=+

)','',''(

)','',''(),,()','(),()()(

aabbaabbaa

ababaabababafbafwfvf

+++++

=+++=+=+

Per tant, es compleix la condici 1 )()()( wfvfwvf +=+ .

Condici 2:

),,(),()),(()( kakbkakbkakbkafbakfkvf +===

),,(),,(),()( kakbkakbkaababakbakfvkf +=+==

Per tant, es compleix la condici 2 )()( vfkkvf = .

Conclusi, laplicaci ),,(),( xyxyxyxf += s una aplicaci lineal.

Sigui laplicaci 22: f definida per ),(),( yxyxyxf += . Comprovem si aquesta



lineal:

Condici 1:

)'',''()','())','(),(()( bbaabbaabbaafbabafwvf ++++=++=+=+

)'',''()'',''(),()','(),()()( bbaabbaabababababafbafwfvf ++++=+++=+=+

Per tant, es compleix la condici 1 )()()( wfvfwvf +=+ .

Condici 2:

),(),()),(()( kbkakbkakbkafbakfkvf +===

),(),(),()( kbkakbkababakbakfvkf +=+==

Per tant, es compleix la condici 2 )()( vfkkvf = .

Conclusi, laplicaci ),(),( yxyxyxf += s un endomorfisme.

Sigui laplicaci 22: f definida per ),(),( 2xyxyxf = . Comprovem si aquesta



lineal:

Condici 1:


15

)'2',''()','())','(),(()( 22 aaaabbaabbaafbabafwvf +++=++=+=+

)',''()',''(),()','(),()()( 2222 aabbaaabaababafbafwfvf ++=+=+=+

Per tant, no es compleix la condici 1 )()()( wfvfwvf +=+ .

Conclusi, laplicaci ),(),( 2xyxyxf = no s un aplicaci lineal.

3.3.1 Matriu associada a una aplicaci lineal en la base cannica.

Procediment. Per trobar la matriu associada a una aplicaci lineal UVf : en la base

cannica cal aplicar laplicaci lineal f a cadascun dels vectors de la base cannica de lespai

de sortida V i posar els resultats obtinguts en columnes per tal de formar la matriu associada a

f . Per tant, aquesta matriu tindr tantes columnes com vectors tingui la base cannica de lespai

de sortida V i tindr tantes files com dimensi tingui lespai darribada U.

Exemples.

Sigui laplicaci lineal 32: f definida per ),,(),( xyxyxyxf += . Busquem la

matriu associada daquesta aplicaci lineal en la base cannica.

)1,1,1()1,01,01()0,1( =+=f

)0,1,1()0,10,10()1,0( =+=f

Per tant, la matriu associada a ),,(),( xyxyxyxf += en la base cannica s:

01

11

11

Sigui laplicaci lineal 22: f definida per ),(),( yxyxyxf += . Busquem la matriu

associada daquesta aplicaci lineal en la base cannica.

)1,1()01,01()0,1( =+=f

)1,1()10,10()1,0( =+=f

Per tant, la matriu associada a ),(),( yxyxyxf += en la base cannica s:

11

11

Sigui laplicaci lineal 23: f definida per ),2(),,( zyzyxzyxf += . Busquem la

matriu associada daquesta aplicaci lineal en la base cannica.


16

)0,2()00,002()0,0,1( =+=f

)1,1()01,010()0,1,0( =+=f

)1,1()10,100()1,0,0( =+=f

Per tant, la matriu associada a ),2(),,( zyzyxzyxf += en la base cannica s:

110

112

3.3.2 Expressi duna aplicaci lineal donada la matriu associada en la base cannica.

Procediment. Per trobar lexpressi duna aplicaci lineal UVf : a partir de la seva matriu

associada en la base cannica cal multiplicar la matriu donada A pel vector:

kx

x

x

K

2

1

on k s la dimensi de lespai de sortida V (que coincideix amb el nombre de columnes de la

matriu donada.

Generalment, treballarem amb 2 o amb 3 com a espai de sortida V.

Si treballem amb 2 com a espai de sortida V podem multiplicar la matriu donada A pel vector

y

x

Si treballem amb 3 com a espai de sortida V podem multiplicar la matriu donada A pel vector

z

y

x

Exemples.

Calculem lexpressi de laplicaci lineal f que t per matriu associada en la base cannica la

matriu:

=

11

23A

Com la matriu A t 2 columnes lespai de sortida ser 2 . Com la matriu A t 2 files lespai

darribada ser 2 . Per tant, laplicaci lineal ser 22: f .

Anem a determinar la seva expressi:


17

+

=

=

yx

yx

y

x

y

xA

23

11

23

Conclusi, lexpressi de laplicaci lineal que estem buscant s:

),23(),( yxyxyxf += .


matriu:

=

201

123A




+

+=

=

zx

zyx

z

y

x

z

y

x

A2

23

201

123


)2,23(),,( zxzyxzyxf ++= .


matriu:

=

30

12

05

A




+=

=

y

yx

x

y

x

y

xA

3

2

5

30

12

05


)3,2,5(),( yyxxyxf += .

3.3.3 Matriu associada a una aplicaci lineal en una base qualsevol.


18

Procediment. Per trobar la matriu associada a una aplicaci lineal UVf : en una base B

qualsevol cal aplicar els passos segents:

1. Calcular la imatge dels vectors de la base B segons laplicaci lineal f .

2. Escriure les imatges obtingudes en el pas anterior en la base B canviant de base cannica a

base B.

3. Posar els resultats obtinguts en el pas anterior en columnes per tal de formar la matriu

associada a f en la base B.

Exemple.

Sigui laplicaci lineal 22: f definida per )2,24(),( yxyxyxf += . Busquem la

matriu associada daquesta aplicaci lineal en la base B formada pels vectors )1,1(1 =v i

)2,1(2 =v .

Apliquem els passos del procediment anterior:

Pas 1.

Calculem la imatge dels vectors de la base B segons laplicaci lineal f .

)1,6()112),1(214()1,1( ==f

)0,8()212),2(214()2,1( ==f

Pas 2.

Escrivim les imatges obtingudes en el pas anterior en la base B usant el procediment per canviar

de base cannica a base B.

Treballem amb la imatge )1,6( .Es compleix que:

)2,1()1,1()1,0(1)0,1(6 +==+ yxu


=

=

=

+=

y

x

yx

yx

7

13

21

6

s a dir, les coordenades del vector )1,6( en la base formada pels vectors 1v i 2v sn )7,13( .

Treballem amb la imatge )0,8( .Es compleix que:

)2,1()1,1()1,0(0)0,1(8 +==+ yxu


=

=

=

+=

y

x

yx

yx

8

16

20

8

s a dir, les coordenades del vector )0,8( en la base formada pels vectors 1v i 2v sn )8,16( .


19

Pas 3.

Posem els resultats obtinguts en el pas anterior en columnes per tal de construir la matriu

associada a )2,24(),( yxyxyxf += en la base B formada pels vectors )1,1(1 =v i

)2,1(2 =v .

87

1613

3.4 Valors i vectors propis.

En aquest apartat treballarem amb matrius quadrades.

Definici. Donada matriu quadrada A dordre n direm que un escalar s un valor propi de la matriu A si existeix un vector (posat en columna) no nul nv de manera que es compleix que:

vvA = Tot vector nv que compleixi la igualtat anterior sanomena vector propi de la matriu A pertanyent al valor propi .

Exemples.

Donada la matriu

=

23

21A , com es compleix que

11 43

24

12

8

3

2

23

21vAv =

=

=

=

llavors tenim que 4= s un valor propi de la matriu A i el vector

=

3

21v s un vector

propi de la matriu A pertanyent al valor propi 4= .

Donada la matriu

=

23


22 46

44

24

16

6

4

23

21vAv =

=

=

=


20


=

6

42v s un vector


Donada la matriu

=

23


33 )1(1

11

1

1

1

1

23

21vAv =

=

=

=


=

1

13v s un vector


Els dos primers exemples anteriors posen de manifest un resultat sobre valors i vectors propis

i s el fet que, donada un a matriu quadrada A dordre n, si nv s un vector propi pertanyent a un valor propi llavors qualsevol vector proporcional al vector v tamb ser un vector propi pertanyent al valor propi . Es compleix que tots els vectors propis pertanyents a un valor propi formen un subespai vectorial de n .

Procediment. Per trobar els valors propis duna matriu quadrada A dordre n cal seguir els

passos segents:

1. Calculem el determinant de la matriu IA , s a dir, de la matriu obtinguda de restar el parmetre als elements de la diagonal principal de la matriu A. El determinant quedar en funci del parmetre i ser un polinomi de grau n. Aquest polinomi rep el nom de polinomi caracterstic.

2. Trobem els valors de que fan que el polinomi caracterstic anterior sigui igual a 0. Aquests valors seran els valors propis de la matriu A.

Exemples.

Donada la matriu

=

23

21A , busquem els seus valors propis.

Pas 1.

436236)2)(1(23

21 22=+==

Pas 2.


21

Resolem lequaci de segon grau anterior (resultant digualar el polinomi caracterstic a 0,

0432 = ) i obtenim les solucions 41 = i 12 = . Aquests sn els valors propis de la matriu A.

Donada la matriu

=

41

12B , busquem els seus valors propis.

Pas 1.

961861)4)(2(41

12 22 +=++=+=

Pas 2.


0962 =+ ) i obtenim les solucions 31 = (soluci o arrel doble). Aquest s el valor propi de la matriu B i direm que t multiplicitat 2.

Procediment. Per trobar els vectors propis pertanyents a un valor propi cal seguir els passos segents (aquests passos cal fer-los per a cada valor propi duna matriu A):

1. Plantegem un sistema dequacions on els coeficients del sistema siguin els elements de

la matriu A havent restant el valor als elements de la diagonal principal de la matriu A i els termes independents siguin tots iguals a 0.

2. Resolem el sistema dequacions anterior. Sha de tenir en compte que aquest sistema

dequacions sempre ser compatible indeterminat. La soluci general daquest sistema

donar lloc als vectors propis pertanyents al valor propi ; el vector nul (que tamb ser soluci del sistema) no es considera mai que sigui vector propi.

Exemples.

Donada la matriu

=

23

21A , busquem els seus vectors propis.

Com hem vist abans, 41 = i 12 = sn els valors propis de la matriu A. Anem a buscar els vectors propis de cada valor propi.

Valor propi 41 = , pas 1.

=

=+

=+

=+

023

023

0)42(3

02)41(

yx

yx

yx

yx


22

Valor propi 41 = , pas 2. Resolem el sistema anterior (que s compatible indeterminat amb un grau de llibertat) i

obtenim que la soluci s yx3

2= i la incgnita y la deixem lliure (pot prendre qualsevol

valor).. Tamb es pot posar que la soluci general s

yy,

3

2.

Donant valors a la incgnita y podem obtenir vectors propis del valor propi 41 = . Per exemple:

si y=1 obtenim el vector propi

1,

3

2,

si y=3 obtenim el vector propi ( )3,2 , si y=6 obtenim el vector propi ( )6,4 , ...


=+

=+

=+

=+

033

022

0))1(2(3

02))1(1(

yx

yx

yx

yx


obtenim que la soluci s yx = i la incgnita y la deixem lliure (pot prendre qualsevol

valor).. Tamb es pot posar que la soluci general s ( )yy, . Donant valors a la incgnita y podem obtenir vectors propis del valor propi 12 = . Per exemple:

si y=1 obtenim el vector propi ( )1,1 , si y=-1 obtenim el vector propi ( )1,1 , si y=2 obtenim el vector propi ( )2,2 , ...

Donada la matriu

=

41

12B , busquem els seus vectors propis.

Com hem vist abans, 31 = s el valor propi de la matriu B. Anem a buscar els seus vectors propis.


23


=+

=

=+

=

0

0

0)34(

01)32(

yx

yx

yx

yx


obtenim que la soluci s yx = i la incgnita y la deixem lliure (pot prendre qualsevol

valor).. Tamb es pot posar que la soluci general s ( )yy, . Donant valors a la incgnita y podem obtenir vectors propis del valor propi 31 = . Per exemple:

si y=1 obtenim el vector propi ( )1,1 , si y=-1 obtenim el vector propi ( )1,1 , si y=2 obtenim el vector propi ( )2,2 , ...

3.4.1 Diagonalitzaci de matrius.

Definici. Una matriu quadrada A dordre n direm que s diagonalitzable si existeixen una

matriu diagonal D i una matriu P (que sanomena de canvi de base ja que representa un nou

sistema de coordenades) de manera que es compleix que:

PAPD 1=

o, el que s equivalent, es compleix que:

1 = PDPA

En el cas que una matriu A sigui diagonalitzable:

a) La matriu diagonal D estar formada pels valors propis de la matriu A i

b) La matriu de canvi de base P estar formada pels vectors propis de cada valor propi de

la matriu. Aquests vectors propis shan de posar en columna i en el mateix ordre en

qu shagin posat els valor propis a la matriu D.

No totes les matrius sn diagonalitzables. Per tal que una matriu quadrada A dordre n sigui

diagonalitzable cal que es compleixi alguna de les segents condicions:

a) Cal que la matriu A sigui simtrica o


24

b) Cal que els valors propis de la matriu A siguin n valors reals i diferents entre s o

c) Cal que hi hagin n vectors propis independents, s a dir, que els vectors propis formin

base de n .

Per tant, donada una matriu quadrada A dordre n:

a) Si hi ha n valors propis reals i diferents entre s, segur que la matriu A s

diagonalitzable.

b) Si algun valor propi no s real, segur que la matriu A NO s diagonalitzable.

c) Si hi ha algun valor propi real amb multiplicitat k, superior a 1, llavors no podrem

afirmar de manera directa si la matriu A s diagonalitzable o no. Caldr mirar els

vectors propis associats a aquests valors propis:

a. Si cadascun daquests valors propis t associats k vectors propis independents

entre ells, s a dir si el sistema compatible indeterminat que cal resoldre per

buscar els vectors propis daquests valors propis t k graus de llibertat, llavors

la matriu A ser diagonalitzable.

b. Si algun valor propi t associats menys k vectors propis independents entre

ells, s a dir si el sistema compatible indeterminat que cal resoldre per buscar

els vectors propis daquest valor propi t menys de k graus de llibertat, llavors

la matriu A NO ser diagonalitzable.

Exemples.

Donada la matriu

=

52

22A , comprovem si s diagonalitzable i, en cas que ho sigui,

busquem les matrius D i P de manera que 1 = PDPA .

Com la matriu A s simtrica segur que s diagonalitzable.

Fent els clculs corresponents trobem que 61 = i 12 = sn els valors propis de la matriu A.

Els vectors propis associats al valor propi 61 = sn de la forma ( )xx 2, i un representant pot ser el vector propi ( )2,1 . Els vectors propis associats al valor propi 12 = sn de la forma ( )yy,2 i un representant pot ser el vector propi ( )1,2 . Per tant, les matrius D i P poden ser:


25

=

10

06D

=

12

21P

Es compleix que:

1

1

12

21

10

06

12

21

52

22

=

= PDPA

Donada la matriu

=

23



Com hem vist abans, 41 = i 12 = sn els valors propis de la matriu A. Aquests valors propis sn 2 valors reals i diferents entre s, per tant la matriu A s diagonalitzable.

Els vectors propis associats al valor propi 41 = sn de la forma

yy,

3

2 i un representant

pot ser el vector propi ( )3,2 . Els vectors propis associats al valor propi 12 = sn de la forma ( )yy, i un representant pot ser el vector propi ( )1,1 . Per tant, les matrius D i P poden ser:

=

10

04D

=

13

12P

Es compleix que:

1

1

13

12

10

04

13

12

23

21

=

= PDPA

Donada la matriu

=

41



Com hem vist abans, 31 = s lnic valor propi de la matriu A i t multiplicitat 2. Per tant, no queda clar si la matriu A s diagonalitzable o no.

Els vectors propis associats al valor propi 31 = sn de la forma ( )yy, i un representant pot ser el vector propi ( )1,1 (el sistema sortia compatible indeterminat amb un grau de


26

llibertat). Com el valor propi 31 = t multiplicitat 2 i noms t associat un valor propi independent (noms hi ha un grau de llibertat), llavors la matriu A NO s diagonalitzable.

Donada la matriu

=

211

252

114

A , comprovem si s diagonalitzable i, en cas que ho sigui,


El polinomi caracterstic s 453911 23 ++ . Si igualem el polinomi caracterstic a 0 obtenim els valors propis 51 = i 32 = (multiplicitat 2). Per tant, no queda clar si la matriu A s diagonalitzable o no.

Anem a buscar els vectors propis de cada valor propi.


=+

=

=+

=++

=+

=+

03

022

0

0)52(

02)55(2

0)54(

zyx

zx

zyx

zyx

zyx

zyx


obtenim que la soluci general s ( )zzz ,2, i un representant dels vectors propis pot ser ( )1,2,1 .


=+

=+

=+

=++

=+

=+

0

0222

0

0)32(

02)35(2

0)34(

zyx

zyx

zyx

zyx

zyx

zyx

Valor propi 32 = , pas 2. Resolem el sistema anterior (que s compatible indeterminat amb dos graus de llibertat) i

obtenim que la soluci general s ( )zyzy ,,+ i, per exemple, ( )0,1,1 (donem valors y=1 i z=0) i ( )1,0,1 (donem valors y=0 i z=1) sn dos vectors propis independents.

Com coincideix la multiplicitat de cada valor propi amb els vectors propis independents que

t associats, la matriu A s diagonalitzable.


27

Per tant, les matrius D i P poden ser:

=

300

030

005

D

=

101

012

111

P

Es compleix que:

1

1

101

012

111

300

030

005

101

012

111

211

252

114

=

= PDPA

Donada la matriu

=

01



El polinomi caracterstic s 22 + . Si igualem el polinomi caracterstic a 0 no obtenim cap valor propi real. Per tant, la matriu A

NO s diagonalitzable (de fet, noms cal que algun valor propi no sigui real per afirmar que

una matriu no s diagonalitzable).

3.4.2 Aplicacions de la diagonalitzaci de matrius.

La diagonalitzaci de matrius facilita certes operacions amb les matrius i aix permet que la

diagonalitzaci sapliqui a certes situacions. Entre les aplicacions ms importants hi ha la

potenciaci duna matriu, levoluci dun sistema dinmic o la descripci de formes

quadrtiques. Posarem exemples de com elevar una matriu diagonalitzable a una potncia alta i

de com saplica la diagonalitzaci per descriure levoluci dun sistema dinmic.

Potncies duna matriu.

Saplica el fet que si una matriu A s diagonalitzable i es pot posar com:

1 = PDPA

llavors

1 = PDPA nn


28

i tenint en compte que la matriu D s diagonal, per obtenir Dn noms cal elevar a n cadascun

dels elements de la diagonal principal.

Exemple.

Donada la matriu

=

42

21A , diagonalitzem la matriu A i desprs calculem A3 i A10.

Primer busquem els seus valors propis:

Pas 1.

54454)4)(1(42

21 22=+==

Pas 2.


052 = ) i obtenim les solucions 51 = i 02 = . Aquests sn els valors propis de la matriu A.

Busquem els vectors propis associats a cada valor propi:


=

=+

=+

=+

012

024

0)54(2

02)51(

yx

yx

yx

yx


obtenim que els vectors propis associats al valor propi 51 = sn de la forma ( )xx 2, i un representant pot ser el vector propi ( )2,1 .


=+

=+

=+

=+

042

02

0)04(2

02)01(

yx

yx

yx

yx


obtenim que els vectors propis associats al valor propi 02 = sn de la forma ( )yy,2 i un representant pot ser el vector propi ( )1,2 .


29

Com la matriu A s quadrada dordre 2 i els valors propis de la matriu A sn 2 valors propis

reals i diferents entre s, la matriu A s diagonalitzable.


=

00

05D

=

12

21P

Es compleix que:

1

1

12

21

00

05

12

21

42

21

=

= PDPA

Llavors:

=

=

=

=

==

10050

5025

2.04.0

4.02.0

0250

0125

12

21

00

0125

12

21

12

21

00

05

12

21

12

21

00

05

12

21

1

1

3

313

133 PDPA

i

=

=

=

=

==

78125003906250

39062501953125

2.04.0

4.02.0

019531250

09765625

12

21

00

09765625

12

21

12

21

00

05

12

21

12

21

00

05

12

21

1

1

10

10110

11010 PDPA

Evoluci dun sistema dinmic discret.

Un sistema dinmic discret es descriu mitjanant una equaci kk xAx =1 la qual cosa

significa que si tenim la descripci duna situaci en un moment k-1 podem saber la

descripci de la situaci en el moment k aplicant una matriu A a la situaci del moment k-1.

Lequaci kk xAx =1 tamb sanomena equaci en diferncies.

Realment, donada lequaci kk xAx =1 , per saber la situaci en un moment k qualsevol

noms ens cal saber la situaci en un moment inicial 0 i aplicar:

k

k xxA =0

Tamb podem saber levoluci a llarg termini fent:

0lim xAk

k


30

Exemple.

En una poblaci de 10000 persones sobserva que, de manera aproximada, el 80% dels que eren

donants de sang un any ho segueixen sent lany segent i que el 70% dels que no eren donants de

sang tampoc donen sang lany segent. Suposant que inicialment hi ha 2000 donants, busquem

quants donants hi haur al cap de 10 anys i quants nhi haur a llarg termini.

La matriu A que ens permet saber levoluci de les persones que donen i no donen sang dun

any respecte lany segent s:

=

7.02.0

3.08.0A

La primera columna de la matriu A vol dir que el 80% dels donants dun any segueixen sent

donants lany segent i que, per tant, un 20% dels donants dun any no segueixen sent donants

lany segent. La segona columna de la matriu A vol dir que el 30% dels no donants dun any

sn donants lany segent i que, per tant, un 70% dels no donants dun any segueixen sent no

donants lany segent. Tots els percentatges anteriors es posen en tant per u a la matriu A.

Si volem saber quants donants hi haur lany segent a linicial, sabent que inicialment hi ha

2000 donants i 8000 no donants, cal fer:

=

=

6000

4000

8000

2000

7.02.0

3.08.010 xAx

Lany segent a linicial hi haur 4000 donants i 6000 no donants.

Si volem saber quants donants hi haur dos anys desprs de linicial cal fer:

=

=

5000

5000

6000

4000

7.02.0

3.08.021 xAx

Dos anys desprs de linicial hi haur 5000 donants i 5000 no donants.

Daquesta manera podrem anar sabent els donants i no donants de qualsevol any per per

facilitar els clcul diagonalitzarem la matriu A i aplicarem que kk xxA =0 .

Primer busquem els seus valors propis:

Pas 1.


31

5.05.106.056.05.106.0)7.0)(8.0(7.02.0

3.08.0 22 +=+==

Pas 2.


05.05.12 =+ ) i obtenim les solucions 11 = i 5.02 = . Aquests sn els valors propis de la matriu A.

Busquem els vectors propis associats a cada valor propi:


=

=+

=+

=+

03.02.0

03.02.0

0)17.0(2.0

03.0)18.0(

yx

yx

yx

yx


obtenim que els vectors propis associats al valor propi 11 = sn de la forma

yy,

2

3 i un

representant pot ser el vector propi ( )2,3 .

Valor propi 5.02 = , pas 1.

=+

=+

=+

=+

02.02.0

03.03.0

0)5.07.0(2.0

03.0)5.08.0(

yx

yx

yx

yx

Valor propi 5.02 = , pas 2. Resolem el sistema anterior (que s compatible indeterminat amb un grau de llibertat) i

obtenim que els vectors propis associats al valor propi 5.02 = sn de la forma ( )yy, i un representant pot ser el vector propi ( )1,1 .

Com la matriu A s quadrada dordre 2 i els valors propis de la matriu A sn 2 valors propis

reals i diferents entre s, la matriu A s diagonalitzable.


=

5.00

01D

=

12

13P

Es compleix que:

1

1

12

13

5.00

01

12

13

7.02.0

3.08.0

=

= PDPA


32

Llavors:

=

=

=

=

==

80.4005859350.39960937

30.5994140650.60039062

6.04.0

2.02.0

00097656.02

00097656.03

12

13

00097656.00

01

12

13

12

13

5.00

01

12

13

12

13

5.00

01

12

13

1

1

10

10110

11010 PDPA

Per tant, si volem saber quants donants hi haur al cap de 10 anys, cal fer:

=

=

4004

5996

8000

2000

80.4005859350.39960937

30.5994140650.60039062100

10 xxA

Al cap de 10 anys hi haur 5996 donants i 4004 no donants.

Per altra banda,

=

=

=

=

==

0.40.4

0.60.6

6.04.0

2.02.0

02

03

12

13

00

01

12

13

12

13

5.00

01

12

13lim

12

13

5.00

01

12

13limlim

1

11

1

k

k

k

k

k

kk

kPDPA

Per tant, si volem saber quants donants hi haur a llarg termini, cal fer:

=

4000

6000

8000

2000

0.40.4

0.60.6lim 0xA

k

k

A llarg termini hi haur 6000 donants i 4000 no donants.

teoría de espais

Documents