8/16/2019 Teoria de Bucley Leverett, ecuaciony solucion

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 Teoría de

BuckleyLeverette.Water Tonguin.

ViscousFingering.

R i c h a r d P o n c e D e l g a d o

r l p o n c e @ e s p o l . e d u . e c

P r o f : M S c . I n g . G a b r i e l a

D e l g a d o

 

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INTRODUION.Las matemáticas, sin duda han sido de gran utilidad para poder sintetizar un

proceso mediante un modelo. s así !ue los procesos de desplazamiento

!ue ocurren entre "uidos inmisci#les, se los pueden modelarmatemáticamente #a$o el concepto de permea#ilidades relativas $unto con

la idea del pist%n con &ugas. sto sustenta !ue si hay un desplazamiento

tipo pist%n 'imaginario( se de$a atrás del &rente creado, una cantidad

considera#le de petr%leo. Buckley)Leverett desarrollaron el modelamiento

matemático para tal proceso. n el presente tra#a$o se presentará con

detalle la teoría $unto con la o#tenci%n de la ecuaci%n de avance &rontal y su

soluci%n. *demás se analizaran los conceptos de Water tonguing y Viscouos

+ngering.

Teor!a de "uc#le$%&e'ere((.onsiste en una apro-imaci%n para modelar el "u$o #i&ásico de "uidos el

mismo !ue se &ormula, en trminos del "uido de la &ase mo$ante, mientras

!ue la dinámica de la otra &ase no es del todo despreciada.

l modelo matemático so#re el cual se desarrolla esta teoría, está

constituido por un elemento lineal de &ormaci%n, del !ue por medio de un

#alance de materia del "u$o !ue entra y !ue sale en l, se desarrolla una

ecuaci%n para "u$o de dos &ases. l mecanismo de desplazamiento implica

la &ormaci%n de un &rente de agua tras el cual se esta#lece un gradiente de

saturaci%n de petr%leo/ mismo !ue decrece hasta el valor de saturaci%n

residual en el &rente !ue entra el "uido desplazante.

sta teoría consta de las siguientes hip%tesis &ísicas0

1( 2e asume "u$o lineal y unidimensional, sin em#argo puede ser

&ácilmente modi+cado a uno radial.3( 2e asume una &ormaci%n 4omognea.5( l desplazamiento de#e ser del tipo 6ist%n con Fugas.7( Los "uidos son inmisci#les, por lo tanto hay !ue considerar presi%n

capilar pero el gradiente de presi%n capilar es deprecia#le en la

direcci%n del "u$o.8( 4ay una restricci%n de e-istencia de solo dos "uidos circulando al

mismo tiempo por un determinado punto, por lo !ue es imperioso

ad$untar los conceptos de permea#ilidades relativas a dos &ases.9( :o de#e e-istir gas li#re, es decir !ue la presi%n de desplazamiento

está por encima del punto de #ur#u$a.;( l &rente de inyecci%n y el área perpendicular al "u$o se consideran

constantes.

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)cuaci*n de "uc#le$%&e'ere((.s necesario de+nir primero el "u$o &raccional de agua, ya !ue es soporte

para la ecuaci%n de Buckley)Leverett/ en otras pala#ras0 representar a la

&ase mo$ante en trminos de &racciones de cada &ase !ue constituye al "u$o.

f  w=

qw

qo+qw   c.1

*l considerarse a los "uidos como incompresi#les, el caudal total resulta

como la suma de los caudales de petr%leo y agua. ste tácitamente

con&orma al caudal inyectado0

 qB=qo+qw=qin   c.3 c.5

l desarrollo de la ecuaci%n de Buckley)Leverett comienza con el enunciado

de la conservaci%n de la masa para el "uido de &ase mo$ante, en la columna

horizontal 'ver +g1.)( el #alance macro)escala de masa en cual!uier punto a

lo largo del e$e longitudinal es0

Fig1.- Flu$o en un cuerpo poroso homogneo.

  c.7

  ε , ρw

 y qB ,   2e consideran como constantes, dividimos la e-presi%n

anterior para  qB , y la ecuaci%n se trans&orma en0

  c.8

omo f   w

es &unci%n de sw

  usamos la regla de la cadena para las

derivadas, o#teniendo la ecuaci%n de Buckley)

Leverett0

  c.9

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Soluci*n de la )cuaci*n de "uc#le$%&e'ere((.2e ha notado !ue se puede analizar el movimiento del &rente de saturaci%n

dentro de un cuerpo poroso homogneo, de di&erentes maneras. 6or

e$emplo, si !uisiramos analizar una posici%n en particular en donde no

cam#ie el valor de saturaci%n, entonces estamos especi+cando un inters

en0

  c.;

>e donde d-?dt con&orma la velocidad del movimiento del valor de la

saturaci%n de inters. *hora, comparando esta @ltima e-presi%n con la de

Buckley)Leverett, nos indicaría !ue podemos alcanzar esta situaci%n si

consideramos el valor de la saturaci%n como0

  c.<

6ara un valor predeterminado de sw

, el lado derecho de la ecuaci%n es

constante. An e$emplo es la curva df w

/d sw

 presentada en la Fig3.).

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Fig2.-urva del "u$o &raccional y su derivada.

2i integramos la ecuaci%n previa 'c.