teori gelombang 2 new.pdf

Click here to load reader

Post on 21-Oct-2015

29 views

Category:

Documents

4 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

  • R. TriatmadjaR. Triatmadja 20112011

    This Lecture note is based on This Lecture note is based on Water Wave Mechanics for Engineer and Water Wave Mechanics for Engineer and

    ScientistScientist Dean and Dalrymple , 1994Dean and Dalrymple , 1994

  • LONGWAVELONGWAVE

    ( )( ) ( )tkxkh

    zhkHgku

    += cos

    cosh2cosh

    ( )( ) ( )tkxkh

    zhkHgkw

    += sin

    cosh2sinh

    ( )tkxH = cos2

    Kinematika gelombang secara umum

    ( )khgTc tanh2pi

    =

  • LONGWAVELONGWAVE

    ( ) khkh tanhcgh

    chgkhgTc === pi

    pipi

    222

    ghc =

  • LONGWAVELONGWAVE

    ( )( ) ( )tkxkh

    zhkHgku

    += cos

    cosh2cosh

    Jika kh mendekati nol (kh

  • LONGWAVELONGWAVE

    ( )( ) ( )tkxkh

    zhkHgkw

    += cos

    cosh2sinh

    ( )tkxzhkgHkw

    + cos)(2

    Laakkh

    cga

    cw 28.6

    2 ===

    khgHkw surface2max,

    20 undamped condition

    with

    Refer to I and A

    Important : A is not Area,

    Remember that :

    kxtH coscos2

    =

    Ii

  • = dxthU 1

    ( ) xktehk

    HU Irt

    irI

    I i sinsin2

    22 ++=

    r

    i

    1tan =

    ( )( )

    TATA iI eeetTt pi

    ===

    + )/()2/(

    With :

    kxteH rtI i coscos

    2 =

    For partial reflection

    What about the particle velocity of wave with bottom friction?

    damping

  • Example of wave damping due to bottom frictionExample of wave damping due to bottom frictionShiau dan Rumer (1970) conducted experiment in square Shiau dan Rumer (1970) conducted experiment in square

    basin of shallow water (0.15

  • From previous equation the modulus decay is found ( as From previous equation the modulus decay is found ( as also suggested by Shiau dan Rumer): also suggested by Shiau dan Rumer):

    ( )( )

    hA

    eeetTt TATA iI

    pi

    =

    ===

    + )/()2/(

    I

    A

    pi =

    4/1Pvh

    pi

    pi ==

    Substituting to the above equation for A, yields :

  • Gelombang berjalan dengan pengaruh kekasaran dasarGelombang berjalan dengan pengaruh kekasaran dasar

    ( )txkeH rxkI i = cos2

    +

    +

    +=

    22/1

    2

    81111

    2 AkAkk IIr

    AkAkk IIi 211

    2

    2/12

    +=

    ( )( )

    ( ) ( )pipi

    //2 AkkkL eeex

    Lxri

    ==+

    kxteH rtI i coscos

    2 =Standing WaveStanding Wave

  • Gelombang berjalan dengan pengaruh kekasaran Gelombang berjalan dengan pengaruh kekasaran dasardasar

    xkie

    ( )txkeH rxkI i = cos2Perhatikan bahwa gelombang diasumsikan mengikuti persamaan dengan

    decay modulus

    Pangkat kx, menunjukkan bahwa gelombang akan berkurang tingginya jika x positip. Penguranganannya adalah exponensial.

    rkPanjang gelombang juga berubah dan ditentukan oleh

  • Harga Kr dan ki ditentukan seperti pada gelombang berdiri, dan Harga Kr dan ki ditentukan seperti pada gelombang berdiri, dan diperoleh:diperoleh:

    +

    +

    +=

    22/1

    2

    81111

    2 AkAkk IIr

    AkAkk IIi 211

    2

    2/12

    +=

    Persamaan gelombang terhadap x diperoleh :

    ( )( )

    ( ) ( )pipi

    //2 AkkLk eeex

    LxIii

    ==+

    Akk

    I

    i

    2=

  • Gelombang melalui rumpun bakauGelombang melalui rumpun bakauGelombang melalui Pemecah gelombang porousGelombang melalui Pemecah gelombang porous

    Gelombang melalui Groin porousGelombang melalui Groin porous

    =LB0,2738

    e1aKE

    =LBm

    e1aKE

    ( )pi /Ae

    BAKAU

  • Gelombang melalui Hutan Gelombang melalui Hutan BakauBakau

    =LB0,2738

    e1aKE( )pi /Ae

    B

    L

    B/L= A2738.0=

    pi

  • KE t = e -0.2738 B/L r 2 = 0.8783

    0.00

    0.20

    0.40

    0.60

    0.80

    1.00

    1.20

    0.00 2.00 4.00 6.00 8.00 10.00 12.00

    B/L

    KEt=

    (Ht/H

    i)2

    0.20

    0.00

    0.40

    0.60

    0.80

    1.00

    -0.20

    KEa=

    1-KE

    t

    Gelombang melalui rumpun bakauGelombang melalui rumpun bakau

  • Gelombang melalui Groin atau Gelombang melalui Groin atau BreakwaterBreakwater

    =LBR

    eoi

    ( )pi /Ae

    B

    L

    + Refleksi

  • Kecepatan partikel pada gelombang berjalan Kecepatan partikel pada gelombang berjalan dengan pengaruh gesekan dasardengan pengaruh gesekan dasar

    hCtkxkHgU

    == )cos(

    2

    ( )+

    =

    txkkkh

    eHU rri

    xkI

    i

    cos

    2 22

    r

    i

    kk1tan =

    Apa arti

    )cos(2

    )cos(2

    )cos(2

    2 tkxkh

    Htkxkh

    Hctkxkh

    HghU

    ===

    )cos(2

    tkxkh

    HU =

  • Kecepatan partikel pada gelombang berjalan Kecepatan partikel pada gelombang berjalan dengan pengaruh gesekan dasardengan pengaruh gesekan dasar

    ( )+

    =

    txkkkh

    eHU rri

    xkI

    i

    cos

    2 22

  • Efek Geostrophic pada gelombang Efek Geostrophic pada gelombang panjangpanjang Fakta:Fakta:

    bumi berrotasi dengan kecepatan sudutbumi berrotasi dengan kecepatan sudut

    srad /1027.7 5= Pengaruh:Pengaruh:

    gaya Coriolisgaya Coriolis

  • xgVf

    yUV

    xUU

    tU

    c

    =

    +

    +

    ygUf

    yVV

    xVU

    tV

    c

    =+

    +

    +

    ( ) ( ) 0=

    ++

    +

    +

    y

    hVx

    hUt

    Pengaruhnya pada persamaan gelombang panjang tanpa kekasaran dasar adalah

    srad /1027.7 5=

    sin2=cf

    Remain unchanged !!!

    xgAU

    tU

    =+

  • xgVf

    yUV

    xUU

    tU

    c

    =

    +

    +

    ygUf

    yVV

    xVU

    tV

    c

    =+

    +

    +

    Jika gelombang berjalan ke arah X (dalam hal ini ke arah timur atau barat) maka tidak ada kecepatan ke arah Y sehingga gaya Corioli hanya

    berpengaruh pada satu persamaan momentum

    xg

    yUV

    xUU

    tU

    =

    +

    +

    ygUf

    yVV

    xVU

    tV

    c

    =+

    +

    +

    Tak berubah

    berubah

    ygUfc

    =

    Karena V =0, maka derivasinya =0 >>

    F `V =0

  • xgVf

    yUV

    xUU

    tU

    c

    =

    +

    +

    ygUf

    yVV

    xVU

    tV

    c

    =+

    +

    +

    Jika gelombang berjalan ke arah Y (dalam hal ini ke arah utara atau selatan) maka tidak ada kecepatan ke arah X sehingga gaya Corioli hanya

    berpengaruh pada satu persamaan momentum

    Tak berubah

    berubah

    Karena U =0, maka derivasinya =0 >>

    xgVf

    yUV

    xUU

    tU

    c

    =

    +

    +

    yg

    yVV

    xVU

    tV

    =

    +

    +

    xgVfc

    =

  • Dengan linierisasi dapat diasumsikan Dengan linierisasi dapat diasumsikan persamaan gelombang panjang ke arah Xpersamaan gelombang panjang ke arah X

    ( ) ( )tkxy = cos( ) ( )tkxy

    hCU =

    cos

    dyd

    hgCf c

    =

    CyfceH /2

    =

    ( )tkxeH Cyfc = cos2

    / ( )tkxehCHU Cyfc = cos

    2/

    Persamaan momentum ke arah Y:

  • Persamaan gelombang Persamaan gelombang panjang ke arah Xpanjang ke arah X

    )cos(2

    )cos(2

    tkxhCHtkx

    khHU ==

    ( )tkxeH Cyfc = cos2

    /

    ( )tkxehCHU Cyfc = cos

    2/

    sin2=cfThe Kelvin wave

  • ( )tkxeH Cyfc = cos2

    /

    The Kelvin wave

    Gelombang I

    ( )tkxeH Cyfc += cos2

    /Gelombang II

    ( ) ( )tkxeHtkxeH CyfCyf cc += cos2

    cos2

    //

    )cos(2

    )cos(2

    tkxhCHtkx

    khHU ==

  • kxtC

    yfc tancottanh =

    tkxC

    yf c cot=

    0=

    t

    Pada garis dengan elevasi maksimum,

    ( ) ( )tkxeHtkxeH CyfCyf cc += cos2

    cos2

    //

    Di lokasi dekat titik (0,0), atau x dan y mendekati nol, diperoleh

    tf

    Ckxyc

    cot=

  • tf

    Ckxyc

    cot=

  • Storm surgeStorm surge

    Bisa mencapai 6 meterBisa mencapai 6 meter Membahayakan pertambakanMembahayakan pertambakan Pencemaran lingkunganPencemaran lingkungan

    Kejadian oleh:Kejadian oleh: Gesekan angin terus menerus (berjam-Gesekan angin terus menerus (berjam-

    jam) dengan arah ke pantai.jam) dengan arah ke pantai.

  • angin

    X

  • |W|Wkw =

    >

    +

    =

    cc

    c

    WW

    Wk

    W ,W

    11025.2101.2

    |W| ,101.22

    66-

    6

    Gaya gesek angin

    Wc=5.6 m/s

    coswxw =

    X

    Y

    Pantai

  • |W|Wkw =

    ( ) ( ) ( )[ ]hzxzxhxgtU ++= 1

    ( ) ( ) ( )hzxzxzxn ( )( )

    zx

    hzxn = 1

    coswxw =

    Persamaan momentum gelombang linier :

    Pada keadaan sudah stabil, U konstan, karena gaya angin dapat dilawan oleh gaya hidrostatik. Ini berarti bahwa deverensi U juga nol. Karena tak mungkin menggunakan U untuk menyatakan gaya gesek,

    maka

    Atau

  • ( )( )

    +

    =

    hgn

    xzx

    Persamaan momentum, gelombang dalam kondisi steady

    n=1.15 hingga 1.30 (SPM,1977)

  • ( )( )

    +

    =

    hgn

    xzx

    ( )g

    nx

    h xw =

    +

    ( )g

    ndx

    hd xw

    =

    + 2021

    ( ) Cg

    xnh xw +=+

    22

    0

    ( ) 2020 2 hgxn

    h xw +=+

    ( ) 020 2 hgxn

    hx xw ++=

    Wind set up, jika lebar =l, kedalaman konstan

  • ( ) 121121 200

    +=+=lAx

    lx

    ghln

    hx xw

    Dalam bentuk variabel tak berdimensi

    2o

    w

    ghln

    A x

    =Dengan

  • ContohContoh

    Kedalaman laut dianggap homogen=100mKedalaman laut dianggap homogen=100m Jarak yang dipengaruhi = 600 kmJarak yang dipengaruhi = 600 km Asumsi n=1.25Asumsi n=1.25 Kecepatan angin= 20 m/sKecepatan angin= 20 m/s Berapa wind setup ??Berapa wind setup ??

  • 62

    66- 1064.110

    6.511025.2101.2 =

    +=k

    0048.01010

    106106.625.14

    54

    =

    =

    A

    46 106.64001064.1 ==w

    ( ) 1106

    1060048.021121 55

    0

    +=+=lAx

    hx

    meterhl 5.00048.0 0 ==

  • meterhl 5.00048.0 0 ==Jika dasar laut miring, maka wind setup akan lebih besar. Misal untuk A=0.01, WIndsetup untuk dasar miring akan 3 kali lebih

    besar. Jika A=0.05, Wind setup mencapai hampir 3 kali.

    Jadi pada kondisi hitungan di atas, wind setup akan mencapai lebih dari 1.5 m jika dasar laut

    miring

  • Tekanan bergerak dengan kecepatan U, Tekanan bergerak dengan kecepatan U, atau merupakan fungsi Uatau merupakan fungsi U

    Tekanan juga merupakan fungsi X atau Tekanan juga merupakan fungsi X atau lokasilokasi

    Tekanan merupakan fungsi tTekanan merupakan fungsi t Pada saat t=0, x=0 Po =f(0)Pada saat t=0, x=0 Po =f(0)

    ( )xUtfP =0

  • T= 0

    T= 5

    T= 10

    xpo

    ( )xUtfP =0

    X

    xph

    xgh

    tuh

    =

    0

    xg

    tU

    =

  • xph

    xgh

    tuh

    =

    0

    UhhUuQ =+= ))((

    hU

    hUu

    +=

  • )( xUtG =

    xU

    t

    =

    Asumsi solusi

    ( )xUtfP =0

  • xU

    t

    =

    ( )xphghU

    x

    =

    02

    ghUp

    ho

    = 2

    /

    gp

    s 0=

    xph

    xgh

    tuh

    =

    0

    hU

    hUu

    +=

  • ghUp

    ho

    = 2

    /

    ghU >2 0>ghU

  • xg

    tu

    =

    1

    )(00 xUtf =

    )(11 xUtf =

    ( )h

    UhUu 01

    01

    01

    )()(

    +

    =

  • U

  • hghUU

    x0

    2

    21

    =

    ghUU

    = 2

    2

    01

    ghU >2 01 >ghU

  • Waves Over Real SeabedsWaves Over Real Seabeds

    +

    +

    =

    2

    2

    2

    21zu

    xu

    xp

    tu

    gzw

    xw

    zp

    tw

    +

    +

    =

    2

    2

    2

    21

    Navier-Stokes Linier

    kxx

    '

    =

    kzz

    '

    =

    'tt =

    'uau = 'gapp =

    To examine the relative important of the terms, it is necessary to put them in to non dimensional variables

    Non dimensional

  • Waves Over Real SeabedsWaves Over Real Seabeds

    +

    +

    =

    2'

    '2

    2'

    '22

    '

    '

    2'

    '

    zu

    xuk

    xpgk

    tu

    Inverse square of Froude number

    ( ) ( )21

    2

    2

    2

    2

    2 /22)/2( Cgk

    LgLTTLggk

    ===

    pipi

    pi

    1/ gkC

    0 to 1

  • Waves Over Real SeabedsWaves Over Real Seabeds

    +

    +

    =

    2'

    '2

    2'

    '22

    '

    '

    2'

    '

    zu

    xuk

    xpgk

    tu

    2'

    '2

    22'

    '22

    '

    '

    2'

    '

    zu

    xuk

    xpgk

    tu

    +

    +

    =

    Mengingat di dekat dasar u berubah cepat terhadap vertikal. Skala vertikal di dekat dasar perlu dibedakan. Jika digunakan skala vertikal z=z dengan ketebalan

    daerah yang perubahan u sangat cepat

    kzz

    '

    =

    Ingat bahwa : Khusus daerah dekat dasar

  • Waves Over Real SeabedsWaves Over Real Seabeds

    2'

    '2

    22'

    '22

    '

    '

    2'

    '

    zu

    xuk

    xpgk

    tu

    +

    +

    =

    Bagian akhir ruas kanan akan berkisar pada angka 1 jika

    Daerah dengan kecepatan u berubah sangat cepat tersebut merupakan daerah perubahan dari laminer ke turbulen, sehingga

    disebut sebagai lapis batas laminer (Laminar boundary layer)

  • Waves Over Real SeabedsWaves Over Real Seabeds

    rp uuu +=

    xp

    tu p

    =

    1

    U dipisahkan menjadi dua bagian

    2

    2

    zu

    tu rr

    =

    Bagian irrotasional memenuhi persamaan

    Euler

    Bagian rotasional didekati dengan

  • Waves Over Real SeabedsWaves Over Real Seabeds

    )(

    cosh)(cosh tkxi

    p ekhzhkgaku

    +=

    U irrotasional sudah diperoleh

    Dalam bilangan kompleks

    Hanya bagian real yang digunakan

    )cos(cosh

    )(cosh tkxkh

    zhkgaku p

    +=

  • Waves Over Real SeabedsWaves Over Real SeabedsUr diperoleh dengan metoda separasi variabel (lihat contoh Bab 3)

    ( ) ( )tkxihzir eAeu

    +=

    /

    ( ) ( )tkxihzir eAeu

    +=

    2/)1(

    Arti dari bilangan kompleks berpangkat (z+h) menunjukkan adanya kehilangan energi (exponensial negatif). Sedang bagian terakhir ruas

    kanan adalah osilasi sinusoidal. Jadi Ur berkurang terhadap (z+h)

  • Waves Over Real SeabedsWaves Over Real Seabeds

    khgakA

    cosh1

    =

    Dengan memanfaatkan kondisi batas dasar tidak bergerak (no slip boundary condition), yaitu pada z=-h, u=0 maka A dapat ditentukan

    [ ] += etkxzhkkh

    gaku )cos()(coshcosh

    Masukkan harga z =-h

    pada persamaan sebelumnya

  • Wave over real seabedWave over real seabed

    ( ) ( )tkxihzir eAeu

    +=

    2/)1(

    Bisa diganti dengan

    ( ) ( )tkxihzir eekh

    gakU

    +

    =

    2/)1(

    cosh1

    atau

    ( ) ( )( ))2/2/cosh

    1 hztkxihzr eekh

    gakU +++=

  • Wave over real sea bedWave over real sea bed The real part of the horizontal velocity u is The real part of the horizontal velocity u is

    thereforetherefore

    ( ) ( ) ( ) ( )

    +++= + hztkxetkxzhkkh

    gaku hz

    2coscoscosh

    cosh2/

    Phase shift

    Contoh

  • Water waves over a viscous mud Water waves over a viscous mud bottombottom

    The bottom is not rigidThe bottom is not rigid The bottom is more like another fluid of The bottom is more like another fluid of

    different densitydifferent density In the upper fluid region a solution may be In the upper fluid region a solution may be

    sought :sought :

    ( ) ( ) ( )( ) )(1 sinhcosh,, tkxiezhkBzhkAtzx +++=

  • Upper fluidUpper fluid( ) ( ) ( )( ) )(1 sinhcosh,, tkxiezhkBzhkAtzx +++=

  • Upper fluidUpper fluid( ) ( ) ( )( ) )(1 sinhcosh,, tkxiezhkBzhkAtzx +++=

    oigakhBkhA =+ sinhcosh

    It satisfy the Laplace Equation

    0

    1

    =

    =

    ztg

    )( tkxioea

    =

  • Upper fluidUpper fluid( ) ( ) ( )( ) )(1 sinhcosh,, tkxiezhkBzhkAtzx +++=

    It satisfy the Laplace Equation

    kaikhBkhA o=+ coshsinh

    tz z

    =

    =

    0

    )( tkxioea

    =

  • Upper fluidUpper fluid

    kaikhBkhA o=+ coshsinh

    oigakhBkhA =+ sinhcosh

    khkaikhBkhkhA o coshcoshcoshsinh 2 =+

    khigakhBkhkhA o sinhsinhsinhcosh 2

    =+

    khkaikhigakhkhB oo coshsinh)cosh(sinh 22

    =

    khigakhkaiB oo sinhcosh

    =

    ( )khgkk

    khiaB o tanhcosh 2 =

  • Upper fluidUpper fluid

    ( )khgkk

    khiaB o tanhcosh 2 =

    ( )khgkk

    khiaA o tanhcosh 2

    =

    If we try to impose the bottom boundary condition as in the rigid bottom that is

    0=

    = hzz ( ) ( ) ( )( ) )(1 sinhcosh,, tkxiezhkBzhkAtzx +++=

    ( ) 00cosh0sinh )( =+ tkxieBAk

    B should equals zero

    We have 3 unknowns to solve (A,B, k)

  • Upper fluidUpper fluid

    ( ) 0tanhcosh 2 == khgkk

    khiaB o

    0tanh2 = khgk

    khgk tanh2 =

    Which is exactly the same as before (in chapter three)

  • Mud fluidMud fluid

    ( ) )()(2 ,, tkxihzk edetzx +=The function is chosen as it has to be periodic spatially and temporally (driven

    by the periodic water wave)

    1 at z=-h (at the boundary between the two fluids

    And becoming less than 1 for deeper location in the mud.

    )()(2)1(2

    tkxihzi eqeu ++=Boundary layer correction for 2

  • Mud fluidMud fluid

    zzt

    =

    =

    21

    At the boundary, the vertical velocity in each region should be the same

    ),( txhz +=On

    )(),( tkxioemtx =

  • Mud fluidMud fluid

    zzt

    =

    =

    21 Linearizing the kinematic boundary condition yields

    hz =On

    dkkBimo ==

    ikBmo = dB =

  • Mud FluidMud Fluid

    Continuity of pressureContinuity of pressure21 pp = On z=-+h

    ( ) ghgzt

    gzt 212

    221

    11

    =

    Requiered to accommodate densities

    difference

  • Mud FluidMud FluidLinearizing On z=-h

    gt

    gt 2

    221

    11

    =

    Substituting for z,, 21

    Yields the relation between A and B

    BgkgkA

    +

    = 221

    2 1

  • Mud FluidMud Fluid

    BgkgkA

    +

    = 221

    2 1

    ( )khgkk

    khiaB o tanhcosh 2 =

    ( )khgkk

    khiaA o tanhcosh 2

    =

    But previously we have

  • Mud FluidMud Fluid( ) ( ) 0tanh1tanh1tanh 2

    1

    22

    1

    24

    1

    2=

    ++

    + khgkkhgkkh

    ( ) 0tanh1tanh1

    2

    1

    222=

    + khgkkhgk

    gk=2

    +

    =

    kh

    khgk

    tanh

    tanh1

    1

    2

    1

    2

    2

  • Dispersion relationshipDispersion relationship

    kh

    gk

    2khtanh

    gk=2

    51

    2=

    21

    2=

    Deep water wave, mud have no effect

    2/gk=(2/1-1)/(2/1+1)

  • Amplitudes of wavesAmplitudes of waves

    kh

    o

    o ema

    =

    kh

    o

    o ema

    = 11

    2

    Surface wave

    Mud wave

    oo ma >

    oo am >

    In phase

    Out of phase (180 degree)

  • Physical understandingPhysical understanding

    The first wave modeThe first wave mode)()(

    21tkxizhk eAe +==

    The presence of the more dense fluid at the bottom has no effect on the wave motion.

    The wave is classified as deep water wave

    The mud layer should be infinitely deep

  • Physical understandingPhysical understanding The second wave modeThe second wave mode

    Upper layer

    Lower layer

    False bottom

    0/ == ozz

    z

  • Physical understandingPhysical understanding The second wave modeThe second wave mode

    Upper layer

    Lower layer

    False bottom

    0/ == ozz

    z

    ozkgk tanh2

    =

  • DampingDampingMatching the horizontal velocities at the interface

    221 u

    xx+

    =

    At z=-h

    )(2 Adiku =

    )( 22 gkeau kho =

  • At elevation ZoAt elevation Zo At the false bottom the vertical velocity is 0 At the false bottom the vertical velocity is 0

    therefore therefore

    0=

    = zozz

    ( ) ( ) ( )( ) )(1 sinhcosh,, tkxiezhkBzhkAtzx +++=

    0)(cosh =+ zhkBk0)(sinh =+ zhkAk

    ( ) ( ) ( )( ) 0coshsinh,, )(1 =+++=

    tkxiezhkBkzhkAk

    ztzx

    1)(cosh + zhk

  • At elevation ZoAt elevation Zo At the false bottom the vertical velocity is 0 At the false bottom the vertical velocity is 0

    therefore therefore

    0=

    = zozz

    0)(cosh =+ zhkBk

    1)(cosh + zhk0=B

  • At elevation ZoAt elevation Zo0)(cosh =+ zhkBk

    1)(cosh + zhk0=B

    ( ) 0tanhcosh 2 == ooo zkgkkzkia

    B

    0tanh2 = ozkgk

    ozkgk tanh2

    =

  • Wave Over Porous BedWave Over Porous Bed

    Conservation of mass Conservation of mass in the porous mediain the porous media

    0= u

    spku =

    Darcy Law

    Where p is the pore pressure gradient in the soil

  • Wave Over Porous BedWave Over Porous Bed Substituing Darcy law in the Conservation of Substituing Darcy law in the Conservation of

    mass in the porous media yieldmass in the porous media yield

    0=

    spk02 = sp

    k

    P satisfy Laplace equation as does the velocity potential

  • Wave Over Porous BedWave Over Porous Bed

    02 = spk

    P satisfy Laplace equation as does the velocity potential

    [ ] )()(sinh)(cosh),,( tkxiezhkBzhkAtzx +++=)()(),,( tkxizhk eDetzxp +=

    Assumed solution for both and p are

  • Wave Over Porous BedWave Over Porous Bed[ ] )()(sinh)(cosh),,( tkxiezhkBzhkAtzx +++=

    )()(),,( tkxizhk eDetzxp +=

    ( ) ( )hxphxp s = ,,Dynamic Boundary condition at the interface

    ( )hxpt shz

    =

    =

    ,Rewriting p(x,-h) at z=-h

    DAi =

  • Wave Over Porous BedWave Over Porous Bed[ ] )()(sinh)(cosh),,( tkxiezhkBzhkAtzx +++=

    )()(),,( tkxizhk eDetzxp +=Kinematic Boundary condition at the interface

    hz

    s

    hz zpK

    z==

    =

    KDB =

  • Wave Over Porous BedWave Over Porous Bed[ ] )()(sinh)(cosh),,( tkxiezhkBzhkAtzx +++=

    )()(),,( tkxizhk eDetzxp +=Dynamic Boundary condition at the surface

    ( ) )(sincosh1 tkxiekhBkhAg

    itg

    +=

    =

    ( ) )()(sincosh tkxitkxi aeekhBkhAg

    i =+

    ( ) akhBkhAg

    i=+ sincosh

  • Wave Over Porous BedWave Over Porous BedDynamic Boundary condition at the surface

    ( ) akhBkhAg

    i=+ sincosh

    Substituting A and B

    DAi =

    KDB =akhKDkh

    iD

    gi

    =

    sincosh

    or

    i

    igakhK

    gikhi

    iD =

    sincosh1

  • Wave Over Porous BedWave Over Porous Bed

    DAi =

    KDB =

    i

    igakhK

    gikhi

    iD =

    sincosh1

    gakhKg

    ikhD

    =

    sincosh

    gakhKg

    iD

    =

    tanh1

    1

    tanh1cosh

    = khKikhgaD

  • Wave Over Porous BedWave Over Porous Bed

    DAi =

    KDB =

    zt

    =

    khBkkhAkai coshsinh +=

    1

    tanh1cosh

    = khKikhgaD

    Substitution for A and B in term of D yields

    =

    KikhgkkhKi tanhtanh12

    ( )khgkKikhgk tanhtanh 22

    =

    Complex k

  • Wave Over Porous BedWave Over Porous Bed( )khgkKikhgk tanhtanh 22

    =

    Complex k

    ri kkk +=Real wave number

    Complex wave number indicates damping

  • Wave Over Porous BedWave Over Porous Bed

    ri kikk +=Real wave number

    Complex wave number indicates damping

    ( ) ( ) ( ) ( )xktxkiotxikkio irir eeaeatx + == )(,

  • Wave Over Porous BedWave Over Porous BedIn intermediate waterdepth

    hkgk rr tanh2

    ( )hkhk

    kKkrr

    ri 2sinh2

    /2+

    In shallow waterdepth

    ( ) ( )h

    Khkk oi 2/1

    =

    2/12

    2

    2

    4/11

    =

    hgKgh

    ghkr

  • Wave Over Porous BedWave Over Porous BedIn shallow waterdepth

    ( ) ( )h

    Khkk oi 2/1

    =

    2/12

    2

    2

    4/11

    =

    hgKgh

    ghkr

    ++

    =

    22sinh22

    rrr

    ri k

    Khkhk

    kk

    Liu (1973) incorporating laminar boundary layer to avoid velocity discontinuity at the fluid-soil interface

  • Wave Over Porous BedWave Over Porous Bed

    In shallow waterdepth ( ) ( )h

    Khkk oi 2/1

    =

    2/12

    2

    2

    4/11

    =

    hgKgh

    ghkr

    hkgk rr tanh2

    ( )hkhk

    kKkrr

    ri 2sinh2

    /2+

    In intermediate waterdepth

    DeepShallow hko

    Khki

    5

  • Wave Over Porous BedWave Over Porous Bed

    ++

    =

    22sinh22

    rrr

    ri k

    Khkhk

    kk

    Liu (1973) incorporating laminar boundary layer to avoid velocity discontinuity at the fluid-soil interface

    The daamping rate for a constant waerdepth and

    hkKkag

    r

    rD 2

    22

    cosh2

    =

    xko

    iegaE 2221

    =

    Porous damping alone

    +=

    22cosh2 2

    22r

    r

    rD

    kKhk

    kag Including boundary layer

    Slide 1LONGWAVESlide 3Slide 4Slide 5Slide 6Slide 7Slide 8Slide 9Persamaan kinematika permukaan airSlide 11Persamaan MomentumArah YDengan menganggap koreksi integrasi = 1 diperolehSlide 15Gelombang linierPersamaan gelombang panjang dalam bentuk differensialShoaling gelombang panjangGelombang tercampur akibat refleksiSlide 20Gelombang panjang pada saluran dengan tampang bervariasiSlide 22Slide 23Slide 24Slide 25Slide 26Slide 27Slide 28Slide 29Bessel FunctionFluktuasi Muka Air di dalam Tapper ChannelPantai BaronSlide 33Slide 34Slide 35Wave Height from mouth to Channel EndSlide 37Slide 38QuestionsRefleksi dan Transmisi Gelombang PanjangRefleksi dan transmisi melalui perubahan mendadakSlide 42Continuity EquationSlide 44Slide 45Slide 46ExamplesSlide 48Slide 49Slide 50Slide 51Slide 52LONG WAVES WITH BOTTOM FRICTIONSlide 54Slide 55Slide 56Slide 57Slide 58Slide 59Slide 60Slide 61Example of wave damping due to bottom frictionSlide 63Gelombang berjalan dengan pengaruh kekasaran dasarSlide 65Slide 66Gelombang melalui rumpun bakau Gelombang melalui Pemecah gelombang porous Gelombang melalui Groin porousGelombang melalui Hutan BakauSlide 69Gelombang melalui Groin atau BreakwaterKecepatan partikel pada gelombang berjalan dengan pengaruh gesekan dasarSlide 72Efek Geostrophic pada gelombang panjangSlide 74Slide 75Slide 76Slide 77Slide 78Slide 79Slide 80Slide 81Storm surgeSlide 83Slide 84Slide 85Slide 86Slide 87Slide 88ContohSlide 90Slide 91Slide 92Slide 93Slide 94Slide 95Slide 96Slide 97Slide 98Slide 99Slide 100Slide 101Slide 102Slide 103Slide 104Waves Over Real SeabedsSlide 106Slide 107Slide 108Slide 109Slide 110Slide 111Slide 112Wave over real seabedWave over real sea bedWater waves over a viscous mud bottomUpper fluidSlide 117Slide 118Slide 119Slide 120Slide 121Mud fluidSlide 123Slide 124Mud FluidSlide 126Slide 127Slide 128Dispersion relationshipAmplitudes of wavesPhysical understandingSlide 132Slide 133DampingAt elevation ZoSlide 136Slide 137Wave Over Porous BedSlide 139Slide 140Slide 141Slide 142Slide 143Slide 144Slide 145Slide 146Slide 147Slide 148Slide 149Slide 150Slide 151Slide 152