teoremi integrali nella teoria delle funzioni di più variabili complesse

ENZO MARTINELLI

Universith di Genova

Teoremi integrali nella teoria delle di pifl variabili complesse

Conferenza tenuta il 15 Maggio 1953

funzioni

SUNTO. - - S i d a notizia di risultati generali concernenti le estensioni del 1 ~ e 2 ~ teorema integrale di CAUCHu alle funz ioni analitiche di pitt variabili complesse.

1. L'argomento del quale trat to concerne le estensioni dei teoremi integrali di CAUCHY alle funzioni di pifi variabili complesse, precisamente dei cosiddetti 1 ~ teorema integrale e 2 ~ teorema in te~ale (o formula integrale) (~).

Per quanto sia cosa molto elementare, mi sia permesso richiamare le seguenti classiche formule che esprimono i due teoremi di CAUCHY:

(1) } f (z ) dz = O,

F~

(2) 2 7: i N f(~) = . f ( x ) dz

j z - - ~ " Fx

Mi fermer5 un momento ad enunciare le condizioni di validith delle (1), (2) nella forma pifi generale, onde metterne in luce il conte- nuto essenzialmente topologico.

Sia R 2 la regione (aperta, di dimensione 2) di olomorfismo per f ( z ) nel piano di ARGAuD-GAuss (x, y) ove si rapprresenta la variabile complessa z = x q - i y . Allora nella (1) F 1 ~ un ciclo di dimensione

(1) Per pih ample notizie e per indic~zioni bibliografiche si vedano i miei lavori: Sulle estensioni della formula integrale di Cauchy, ecc., AnnMi di Mat., 34, 1953, pagg. 277-347 e Sur l'extension des thdor~mes de Cauchy, etc., Colloque sur les fonctions de plusieurs variables, Bruxelles, 1953, pagg. 109-124.

TEOREMI INTEGRALI NELLA TEORIA DELL:E FUNZIONI DI I ' IU VARIABILI COMt'LESSE 173

1 di R v eventualmente composto di pifi cicli irriducibili, sottoposto alla sola eondizione di essere omologo a zero in R~:

r l N 0 in R 2 .

Le condizioni per la validits della (2) possono esprimersi cosl. Sia 0 il punto di R 2 immagine del valore complesso ~. Allora devono essere soddisfatte le tre condizioni:

(11) P, c R~ - - O , (II1) F~-~ 0 in R2, (III~) N = All (r l , O) = [ K , G ] .

La terza condizione non ha altro scopo che di esprimere il valorc dell'intero N che appare nella (2). D'ordinario si assume il ciclo F1 in modo che risulii N -- 1. Nel caso generale N 6 il coe~ciente di allacciamento di F 1 col punto 0, che pub valutarsi come numero algebrico delle intersezioni (o indice di KRONECKEtr di una semlretta K1 uscente da 0 col cielo P~. Con linguaggio impreciso ma espressivo pub dirsi che N 6 il numero algebrico complessivo delle volte che P~ avvolge il punto 0 positivamente e negativamente.

2. Consideriamo ora le estensioni della (1) al caso delle funzioni analitiche f ( z l , ..., G) di n variabili complesse zl, ..., G. Si rappresentino, in un primo momento, le n variabili sopra altrettanti piani di AI~GAI~D- GAUSS (Xl, y~), ..., (G, Y~)" Si 6 allora portati a ritenere come estensione soddisfacente della (1) la formula:

dove P~ (~), ..., Pl(") sono n 1-cicli negli n piani di ARGAND-GAUSS, sottoposti a condizioni analoghe a quella indicata per la validith della (1).

Se per6 si rappresentano le n variabili complesse, anzich6 nel modo detto, sopra uno spazio euclideo 2n-dimensionale S.2, , (x~, ..., x , , y~, ..., y,J, prodotto topologico degli n piani di ARGAND-GAUSS, appare palesemente che la (3) g un'estensione molto ristretta della (1). Infatti le n integrazioni in (3) si possono allora interpretare come una integrazione n-pla sopra un ciclo P~*, di dimensione n, appartenente a $2~ e prodotto topologico di I~1 (1), ..., Pl ~). Ed 6 chiaro che F * ha caratteri, non soltanto topologici, ma anche di posizione entro $2~ , che sono molto particolari.

174 E. MARTINELLI

D'altronde ~ ormai classico il risultato di POINOAR~ (1887), secondo cui sussiste la formula ben piA generale:

_f f(z~, ..., zn) d(z~, ..., z ,) = (4) O,

F.

dove Fn sia un n-ciolo qualunque di S~,, omologo a zero eventualmente con divisione ( F ~ 0) nella regione R2, di olomorfismo di f ( z , ..., z , )

3. Ora il fatto curioso ~ che il teorema di PoI~cxa~ non dh ancora l'estensione pifl ampia del 1 ~ teorema di CAUCl~Y.

Infatti si possono considerare anche integrali su cicli di dimensioni n + 1, n + 2, ..., 2 n - 1. In generale si avr~ un teorema integrale di dimensione n + 1 (l = 0, 1, ..., n - 1), il quale pub esprimersi com- pendiosamente con la formula:

..., 2 ] d(z, , ..., = (5) O, �9 O~ i < . . . < 0 ~

Fn+l

dove ~ ~ il valore coniugato di z,; %, .., % ~ una combinazione di classe 1 degli interi 1, ..., n; x~,...~, sono parametri complessi arbitrari; e si suppone lo (n +/)-ciclo F +z omologo a zero (F,,+z: 0) in R,> n. 1Va- turalmente la (5), per ogni valore di l, pub spezzarsi in (:?) formule distinte.

La formula (5) ~ stata dimostrata da WIRTI~GEa (1937) per 1 = n - 1; io ho dato successivamente il risultato generale. D'altronde la dimostrazione della (5) si pub fare al giorno d'oggi in un (( colpo di penna )); e non ~ forse senza interesse segnalarlo per mostrare quali siano gli incessanti progressi degli strumenti matematici. Se si fa uso delia teoria degli integrali delle forme differenziali esterne, basra invero prorate chela forma integranda in (5) ~ chiusa (secondo la terminologia di D E RHAM); 0 cib ~ immediato, tenuto conto che le condizioni di mo- nogeneits della f ( z 1, ..., z,) possono scriversi nel modo seguente:

_ - 0 (2" = 1, ..., n ) .

L'interesse dei teoremi espressi dalla (5), per ogni valore di l, dipende anche dal fatto che, come ho potuto dimostrare, valgono le proposizioni inverse. CioS, supposta la f continua e la (5) valida per un l fissato e per ogni ciclo F n + z : 0, la funzione f risulta in conseguenza

TEOREMI INTEGR&LI NELLk TEORI2~ DELLE FUNZIONI DI PIU VARIABILI COMPLESSE 175

analitica. Si tratta dell'estensione dei classici risultati di MORERA e di SEVERI (il secondo dei quali corrisponde al caso 1 ---- 0); la dimostrazione di ci5 non ~ per5 - - allo stato attuale degli strumenti matematici - - altrettanto facile della dimostrazione delle proposizioni dirette.

4. Prima di lasciare questo argomento accennerb che S. BOCHlVER e G. ARUFFO hanno di recente generalizzato ulteriormente i teoremi (5) e gli inversi, con riferimento alle funzioni analitiche rispetto ad l delle variabili z~, ..., z~ e antianalitiche rispetto alle variabili rimanenti (cio~ analitiche rispetto alle variabili coniugate).

Inoltre G. B. Rmz~: ha esteso quei teoremi alle funzioni cosiddette regolari in un'algebra ipercomplessa generale ottenendo teoremi integrali di dimensioni vane. Non starb a precisare cosa s 'intenda per funzioni regolari, limitandomi a dire che esse comprendono le funzioni regolari di FUETER e MOISIL nell'algebra dei quaternioni. Questi risultati del RIZZA credo debbano considerarsi come assai notevoli, in quanto costituiscono uno dei pr imi esempi di ricerche approfondite nella teoria delle funzioni in un'algebra generale, e fanno presumere che in questo campo ci siano ancora molti risultati da conquistare.

5. Passo ora alle estensioni del 2 ~ teorema di C.~ucHY espresso dalla (2). Tale formula ~ suscettibile di estensioni del tut to parallele a quelle indicate per la (1) nei nn. 2, 3. L'estensione parallela a (3) ~ ovvia, ma non ~ soddisfacente per le ragioni gis addotte per la (3) stessa.

L,estensione di (2) parallela a (4), cio~ al teorema di POINCAa~., stata data da me nel 1937, l imitatamente al caso di due variabili.

Subito dopo B. SEGRE ha generalizzato il mio risultato ad un numero qualunque di variabili e lo ha inoltre precisato e completato. I1 risultato generale ~ espresso dalla formula seguente:

i~ f(z,, ..., I.) d(z, z,) (6) (2 r~ i)" N f ( ~ , ..,, ~ ) = (z~ - - ~ ) ... (z,~ - - I , , ) "'" '

dove F ~ un cielo n-dimensionale qualunque che soddisfa soltanto alle condizioni topologiche oltre specificate.

Sia 0(11, ..., ~,,) un punto della regione R~ di olomorfismo di f e T.,~ _~ la variet~ composta degli n spazi lineari Caratteristici, a 2 n - 2 dimensioni, S~, .,, ..., S]._~, rappresentati rispettivamente dalle equa- zioni in parentesi gaffe:

= {zl = I 1 } + ... + = I . } .

176 E. M,kRTINELLI

La varietg T.a~_2, che contiene il punto O, ~ luogo di singolarits polari per la funzione integranda nella (6); la chiameremo perci6 va- rlet& polare.

Ci6 posto le condizioni di validitg della (6) sono analoghe alle tre condizioni di validits della (27, e preeisamente:

(I,,. o) (II., o) (III~, o)

I~n ( " R 2 n - - T 2 n _ 2 ,

z o i n - - + O, N = All (A_~, P~) = [K~, r~].

Le prime due condlzioni sono del tut to naturali. Infat t i la 1 a condizione esprime che il ciclo P,, appartiene alla regione R.,,, senza incontrare la varieth polare T.a.~_.,: ci5 che ~ necessario per poter considerate l 'integrale a secondo membro nella (67. Quanto alla 2 a condizione si pub dire - - in modo un po' impreciso - - ch'essa garantisce la possibilith di deformare il ciclo P~ senza che venga ad incontrare la varieth polare e in maniera da ridurlo in un intorno comunque pic- colo del punto O. Siccome il secondo membro della (6) non cambia durante la deformazione (a ca~one del teorema di PoI>rCam~), ne segue con un passaggio al limite che tale secondo membro ~ uguale al valore delia funzione f nel punto 0, moltiplicato per una costante conveniente, indipendente da f.

La determinazione di questa cos tante dipende dalla terza condizione (III,,, o), condizione che si pub considerate come definente Fin- tero N nella (67. Tale intero determina quello che pub dirsi lo stato di di allacciamento del ciclo P,, con la varietg polare T2~_ z.

Per spiegare il significato dell'espressione (~ stato di allacciamento )), necessario qualche richiamo topologico.

Siano A , Pq due cicli di dimensioni p e q, privi di punti comuni, appartenenti per esempio allo spazio euclideo S.,,,. Supponiamo le dimensioni Ap, Pe duali rispetto alia dimensione dell'ambiente, cio~ p + q ----- 2 n - - 1. Ricordo allora che si definisce il coe~ciente di allacciamento di kp, Pq mediante la formula

(7) All r ) = r e ] ,

dove Kp+ 1 ~ una qualunque varieth, di dimensione p + 1, avente per contorno Ap. La definizione ~ legittima perch~ s i dimostra che il valore del numero algebrico di inters~zioni di K~+ 1 con Fq, a secondo membro nella (7), non muta sostituendo K~+, con un'al t ra varietg avente lo stesso contorno Ap. Ricordo anche la proprietg fondamentale

TEOREIM_I INTEGRALI NELL& TEORIA DELLE FUNZIONI DI PI~J VARIABILI COMPLESSE 177

che, se h : A ' in S ~ - - F q , risulta:

(8) All (Ap, Fq) = All (Ap', F~).

Le (7), (8) sono del tut to intuitive per il caso eli due linee chiuse allacciate dello spazio ordinario.

Ci6 posto, allorch~ q = n come nel caso che c'interessa, si ha p = n - - 1 , onde si pub parlare dei coefficienti d'allacciamento del cielo d ' inte~azione F~, che appare nella (6), soltanto con i cieli (n - - 1)-di- mensionali. Allora ~ naturale dire che si conosce lo stato di allacciamento di F~ con la varieth polare T~_2, quando si conoscano i coefficienti di allacciamento di F con tutti i cicli di dimensione n - 1 che apparten- gono a T,~_~. D'altronde si dimostra che il gruppo di omologia di dimensione n - - 1 di T~_, si rid~ee ai multipli di un solo ciclo non omologo a zero, che pub definirsi nel modo seguente.

Siano r: ~, ..., r: ~ gli n piani caratteristici, passanti per O, immagini reali delle n rette parallele agli assi complessi dello spazio complesso (% ..., z,,); cio~:

= = . . . , = zj+ = . . . , =

Fissiamo una semiretta t j uscente da 0 in ciascun piano =J, e consideriamo lo n-edro solido prodotto topologico (in S.>,,) delle semi- rette t ~, ..., t':

K~ = t 1 x ... x t ~.

I1 contorno di K,, ~ un ciclo relativo di dimensione n - - - 1 (secondo la terminologia di LEFSCttETZ). Questo cielo, ehe indicher5 con A_~, appartiene a T2~_ 2 e n e costituisce il ciclo base del gruppo di omologia di dimensione n - 1.

Ora la condizione (IIIn,0) esprime precisamente l ' intero N come coefficiente d'allacciamento del ciclo d'integrazione F col cielo A~_ 1 considerato. In base alla propriets fondamentale (8) dei coeffieienti d'allacciamento, una volta ehe si conosca N, si pub valutare il coefficiente di allacciamento di F con un ciclo qualunque ( n - 1)-dimensionale della variets polare T2,_ 2 (naturalmente supposta cono- sciuta la relazione di omologia che esprime entro T2,_ 2 tal ciclo mediante il ciclo base A~_I). Si pub dunque a buon diritto considerate l 'intero N come deEnente lo stato di allacciamento di F con la variets polare Te,,_~.

~] ovvio che, per n = 1, la variets polare Y e il ciclo A si riducono al solo punto O, cosicch~ le condizioni di validits della (6) si riducono in effetti alle condizioni di valictit& della (2).

178 E. rCIARTINELLI

6. La formula (6) corrisponde al caso di dimensione pifi bassa nelle estensioni che possono ottenersi della formula di CAucHr (2). Prima di trat tare il caso generale, parallelo al teorema espresso dalla (5), conviene fermarsi sul caso di dimensione pifi alta (l = n ~ 1).

Si t rat ta dunque di una formula che contiene un'integrazione di dimensione 2 n ~ 1 e che pub scriversi cosi:

h

(9) ( n - 1)-----~

r2n~ l

_

~2n " ~ [ Z j ~ . . . ~ Z n ~ Z ~ . . . I ~ I . . . ~

Nella (9) si ~ indicato succintamente con 0(~,, ..., ~,,) un punto fissato della re~one di olomorfismo della funzione f, con P(z~, ..., z,) il punto che descrive l'ipersuperficie chiusa d'integrazione, cio~ il ciclo F.~,,_~, e con ~ la distanza OP. Infine la lettera [~] tra parentesi quadre indica che il differenziale dzo deve essere omesso nel differenziale multiplo a secondo membro.

Le condizioni di validith della (9) sono semplicissime; precisamente:

(I,,. ,,_~)

(II,,. ~_:)

(III,, ~_j)

F.,,,_ L c R.z, ' - - O,

F.,~_~ ~ 0 in R.,,, ,

N = All (r~,,_~, O) = [K~, V.,n_~],

dove K L rappresenta una semiretta uscente da O. Ho stabilito la formula (9) nel 1938; pifi recentemente essa ~ stata

ri trovata da S. BOCHNER e da D. C. MAr. Alla (9) si pus anche dare un altro aspetto particolarmente semplice, mediante la considera- zione di una notevole congruenza di linee tracciata sull'ipersuperficie F2~_:, ma per questo rimando ai miei lavor] citati da principio.

7. Passiamo finalmente alla formula integrale generale di dimensione n + l, con 1 qualunque compreso ira 0 e n - 1.

Abbiam visto che le variets polari per le forme differenziali in- tegrande nelle formule (6) e (9) sono rispettivamente la variets T2n_ 2 e il punto O, dunque variets di dimensioni 2 n - 2 e 0. Nel caso generale avremo a che fare con una varieth polare di dimensione 2 n - 2 l - - 2 , che indicher8 con T~ ,,-.,z-~,. Tale variets ~ costituita da (t ~ 1) spazi lineari caratteristici S~_~ z-~, della dimensione indicata, uscenti dal punto 0(~:, ..., ~) . Precisamente si ha:

TEOREMI INTEGRALI NELLA TEORIA DELLE FUI~ZIONI DI PIU VARIABILI COMPLESSE 179

= { z : , = ..., 1 = }' ~ t < . . < ~ / + 1

essendo %, ..., ~+~ una combinazione qua lunque di l + 1 dei pr imi n interi.

I1 p u n t o fondamen ta l e consiste nel de t e rmina te lo s ta to di allac- c iamento di un eielo P~.z, di d imens ione n + l, con la var ie ts polare T2~_~z_ 2. Na tu ra lmen te si supporr'X che il eielo P~+ z sia eon tenu to nella regmne di olomorfismo R ~ della funzione e che non incontr i la variets T2,,_2z_, ~. Ora, siccome la d imensione duale di n + 1 g 2n --- (n + l) - - 1 --- n - - 1 - - 1, t u t t o si r iduee alla de terminazione d ' una base per il g ruppo di omologia di d imensione n - 1 - 1 entro T2n_2t_ v I coefficienti d 'a l lacc iamento di P~+z con i cieli di ta l base definiscono ap- pun to lo s ta to di a l laceiamento di r+~ con T2~_~z_ 2 .

Nei casi eonsiderati p r ima (1 = 0, l = n - - 1) vi era un solo cielo base. Non g eosl in generale, onde oceorrono pifi interi per definire lo s ta to di a l laeciamento di I',,+z.

Ecco come pub in t an to de terminars i una base per il g r u p p o di omologia di dimensione n - 1 - 1 in T,_,~_.2~_ v Consideriamo di nuovo 1o n-edro solido K,, = t ~ x ... x t" uscente dal p u n t o 0 (n. 5), e seegliamo n - - I delle semiret te ehe ind iv iduano K , . Siano t ~', ..., t~'-~; il loro pro- do t to g un ( n - l)-edro.

K ~ ' "-'l n - z = t ~' • ... x t ~ - l

Consideriamo lo ( n - l - - 1 ) - c i c l o relat ivo A ~ ' z ~ u ehe g contorno di K~"'l~ ~-Z. Ebbene, al variare della seelta fatta, si h anno (?) cicli A ~ ' _ " ~ -~, ehe si p rova appa r t engono a T2~_~z_ 2 e forniscono una base per il gruppo di omologia di dimensione n - l - 1 nella varietg polare.

T u t t a v i a non si t r a t t a di una base minima, perch~ tall cicli sod- disfano alle relazioni ident iche

n - - l + l

( lo) 22, ( - - 1) '-1 = o , 1

donde segue che il numero di BETTI di dimensione n - l - 1 della var iets polare non vale (~,) bensi (~T 1) (e si po t rebbe serivere senz'M- t ro u n a base minima) .

Ci6 posto, lo s ta to di a l lacciamento del eiclo F~+ z con la var ie ts polare pub venire de te rmina to dagli (~) iateri:

(11) N~,...~,~-~ = All (A~'_'"~2T 1, P,+I) = L~nru~- ~ - ~ , P~+z],

180 ~. MARTINELLI

legati, in conseguenza delle (10), dalle relazioni:

n - - l + l

(12) ~ , (-- 1) "-~ N ~ .... ~,~... ~ - ~ + ~ = 0. 1

Siamo f ina lmente in grado di scrivere le formule generali di dimensione n + l, parallele alle (5). Si hanno (~) di tali formule, per ogni combinazione %, ..., ~ dei prinfi n interi; precisamente :

(~3) ( - - ~)' (~ = i)" l i N:,...~, f ( ~ , ... ~ ) =

o ( z ( - ~ ) ... ( z - L ) . . . , : . . . . , . . . ,

Fn +t

l Z'O~. -

z~, z%+~, ..., ~ ) } ,

~ sono funzioni oltre specificate, e Fin- dove q) ...... ,, ~F~ .... %-L p+l...~

dice ~ nel l 'u l t ima somma pub assumere tu t t i i valori da 1 ad n eccet to %, ..., :r che sono indicat i t ra parentes i quadre.

Per esprlmere le funzioni q) e ~F, indichiamo con p~ .... =,~ (m ~ n) la misura della proiezione or togonale della dis tanza p t ra il p u n t o fisso O(~, ..., ~,) e il p u n t o P(zv..., %,) che descrive il ciclo d ' in tegraz ione F+~, effe t tuata sopra lo spazio carat ter is t ico di d imensione 2 m che

i m m a ~ n e reale dello spazio complesso coordinato de t e rmina to dagli assi complessi z~,, ..., z=,. Si ha allora:

- - - , (z~j - - ~ j ) ( ~ , - - ~ ) , p~ . . . . = o , 1

-- --2(I+-%3)

�9 = II, "'" C~p-- 1 y + 1. . . ~t ~g~ =I [OQ ... Oq]

dove le somme devono essere estese a t u t t i i valori degli indici s, so- luzioni intere non negat ive della equazione E s, = l, men t r e l ' indice j percorre gli interi 1, ..., n, eccezion fa t t a per ~1, -.', ~z indicat i t ra parentesi quadre sot to il segno di p rodot to . ~ palese che q), ~F r i su l tano funzioni omogenee, di grado - - 2 n, dei m o d ~ i I z~ - - ~ I.

TEOREMI INTEORALI NELLA TEORIA DELLE FUNZIONI DI P Iu VARIABILi cOMPLESSE 181

Infine le condizioni di validith della formula (13) sono le seguenti:

(I..z) r~+z c- R ~ - - T2~_2~_ ~ ,

P "~0 in (R2~--T2~_2~_2)§ (II., z) ~+z'~ (III.,z) N~ .... ~ , = ~ .... ~,~ .... ~ - t N ~ .... ~"-~,

clove ~, '"~'~ .... ~"-Zvale q- 1 o - - 1 a seconda che %, ..., ~l, ~1, ---, ~ - z sia una permutazione pari o dispari di 1, ..., n, ed essendo gli interi N~ .... ~ , -z forniti dalla (11).

Notiamo cke in ciascuna formula (13) interviene uno solo degli interi N~.'-'~ "-~. Siccome tali interi sono legati dalle relazioni (12), ne segue che le stesse relazioni sussistono tra le (7) formule (13). Tali formule si riducono perci6 ad (~-1) formule indipendenti, cio6 tante quanto 6 il numero di BETTI di dimensione n - l - 1 della variets polare T2~_ 2 -2. Va osservato tut tavia the le forme differenziali inte- grande nei secondi membri della (13) non sono, in generale, legate da relazioni identiche, mentre ci6 accade per gli integrali di tali forme. Per6, quando si assuma I = n - - 1 , le (,L~) = n formule che si ot- tengono da (13), risultano di fatto tut te equivalenti alia (9), come 6 facile constatare. Per 1 = 0, per riottenere la (6) occorre trascurare nella (13) i-termini che divengono privi di senso.

Introducendo parametri arbitrari come si 6 fatto nella (6), si possono concentrare tutte le formule (13) in una formula unica. Per questo e per la dimostrazione dei risultati enunciati rinvio ai lavori citati al n. 1, limitandomi a dire che lo strumento topologico essenziale ehe conduce a stabilire le (13) 6 il teorema di duaIit~ di ALEXA~CDER. In breve, tale teorema assicura che, quando dall 'ambiente $2~ si tolga il sottoinsieme T2~_ ~ -2, si pub sempre costruire una base per il gruppo di omologia di dimensione n § l di S.2~ - - T~_2z_ ~ che ds luogo ad una matrice unitaria di intersezioni con la base di dimensione n - l - 1 costruita in T2~_2~_2, come si 6 detto. Si comprende allora come la valutazione degli integrali a secondo membro nelle (13), valutazione di- pendente essenzialmente dalla base del gruppo di BETTI (n + /)-dimensionale entro S.,~ ~ T~,_2z_.,, possa venir collegata con gli indici d'allacciamento (11).

8. Concludendo vorrei osservare come quelle modeste condizioni topologiche occorrenti per la validits della formula elementare di CAuc~r (cosl modeste che, se non vi si presti attenzione, pub persino sfuggixe il loro carattere topologico), si trasformino in qualcosa di

182 E. MARTINELLI

assai pi~ complesso quando il numero delle variabili e con esso la dimensione s'innalzano.

Si pub dire che questo fenomeno non riguarda soltanto la teoria delle funzioni di variabili complesse, ma. ~ generale. ]~ questa la ra- gione per cui la topologia, disciplina tra le pifi profonde discipline geo- metriche, che soltanto una ventina di anni fa poteva talora venir con- siderata come opera di un gruppo di matematici di alto ingegno ma eccessivamente astratti, sta ogni giorno pifi penetrando in modo essenziale in quasi tutti i campi della matematica.

SUMMARY. - - Account is given of generat results concerning the extensions o/ the 1 ~t and the 2 "d CAUCHY'S theorem to/unctions of se- veral complex variables.

teoremi integrali nella teoria delle funzioni di più variabili complesse

Documents