UNIVERZITET U BANJALUCI

PRIRODNO-MATEMATIKI FAKULTET

ODSJEK ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU

DIPLOMSKI RAD

Teorema Shapley-Folkmanna sa primjenama u matematikoj

ekonomiji

Mentor: Kandidat:

Prof. dr Zoran Mitrovi Neo Gali

Banja Luka, juni 2014.

Uvod: Konveksni skupovi i konveksne funkcije

Uvodne denicije

Za poetak emo dati osnovne denicije i teoreme koje e nam sluiti kasnije.

Denicija

Skup C Rn je konveksan ako za bilo koje dvije take x1

, x2

C sadri isegment odreen tim takama, tj.

(1 )x1

+ x2

C za svaki [0, 1].

Slika: Neki jednostavni konveksni i nekonveksni skupovi

Denicija povlai da je skup C konveksan ako je za svaki [0, 1](1 )C + C C .

Stav

Presjek konano mnogo konveksnih skupova je konveksan skup.

Primjeri: (a)Prazan skup je po deniciji konveksan. Rn je takoe konveksan.(b) Jedinina kugla B i kugla sa centrom u x0

, poluprenika

r : B(x0

, r) = x0

+ rB je konveksan skup.(c) Neka {v1

, v2

, ..., vn} Rn linearno nezavisan skup. Tada je ravanR = x0

+ lin(v1

, v2

, ..., vn)

konveksan skup. Hiperravan H = x0

+ lin(v1

, ..., vn1) je konveksan skup.Napomena: Opti oblik hiperravni glasi: H(a, ) = {x Rn : a, x = }

(d) Zatvoreni poluprostor:

H+(a, ) = {x Rn : a, x }kao i

H(a, ) = {x Rn : a, x }su konveksni. Ovo slijedi iz iz jednakosti: a, (1 )x1

+ x2

=(1 )a, x1

+ a, x2

. Poto je H = H+ H dobijamo da je hiperravankonveksan skup.

(e) Konus je skup K Rn za koji vrijedi: x K, 0 x K. Ovo jeekvivalentno sa

K K 0.Za karakterizaciju konveksnih konusa potrebna je i dovoljna prethodna

formula i zatvorenost skupa K u odnosu na sabiranje tj. : K+K K. Iz ovihformula imamo konveksnost konusa na sljedei nacin:

(1 )K+ K K+K KObrnuto, na osnovu 2K K, ako je konus konveksan imamo:

K+K 12

K+ 12

K = K.

Svakom skupu se moze dodijeliti njegov konveksan nadskup. U tom cilju za

proizvoljan skup S Rn posmatrajmo sve njegove konveksne nadskupove.Presjek te familije skupova inie konveksan omota od C i oznaavaemo gasa co S.co S =

SCC

Za proizvoljne skupove S, T i konveksan skup C vrijede sljedei odnosi:S T co S co T , C = co C, co (co C) = co C.Kao to znamo 1

x1

+ ...+ kxk je linearna kombinacija vektora x1, ..., xk Sako su 1

, ..., k R, a ako je 1 + ...+ k = 1 onda je ana kombinacija. Akosu i nenegativni dobijamo konveksnu kombinaciju. Za svaki k N, svakomnepraznom skupu S dodijeliemo skup svih konveksnih kombinacija svakih knjegovih elemenata sa:

cokS = {k

i=1

ixi : xi S,k

i=1

i = 1, i 0} (1)

Ovo e nam posluiti da deniemo konveksan omota skupa S. Vrijedisljedee:

S T cok S cok T (2)(1 )cop S + coq S cop+q S (3)za sve [0, 1], a za svaki konveksan skup C jecok C C (4)

Teorema

Ako je S Rn neprazan, onda je

co S =kNcok S

Sada cemo precizirati ovaj rezultat sa:

Teorema

[Karateodori] Ako je S Rn neprazan skup, onda vrijedi:

co S =n+1k=1

cok S

Teoreme razdvajanja

Denicija

Kazaemo da su konveksni skupovi C1

i C2

razdvojeni ako postoji a Rn, a6= 0i realan broj takvi da za sve x C1

i y C2

vrijedi

a, y a, x

Denicija povlai

C1

H+(a, ), C2 H(a, ),pa se moe rei da hiperavan H(a, ) razdvaja skupove C1

i C2

. Ako su ovi

skupovi u razliitim otvorenim poluprostorima, oni su strogo razdvojeni. Tada

za sve x C1

i y C2

vrijedi: a, y < < a, x. Pokaimo jednu znaajnuteoremu:

Teorema

Neka je C Rn konveksan i 0 / C Tada:(a) C i {0} su strogo razdvojeni, ako je C zatvoren skup.(b) C i {0} su razdvojeni.

Sada emo pokazati jednu od osnovnih teorema razdvajanja:

Teorema

Neka su C1

, C2

Rn neprazni, disjunktni, konveksni i zatvoreni. Ako je jedanod njih ogranien, onda postoji hiperravan koja ih strogo razdvaja.

Koristei drugi dio prethodne teoreme, a ponavljajui prethodni postupak, uz

izbor

[ supyC2

a, y, infxC1

a, x]

dobija se:

Teorema

Neprazni,konveksni, disjunktni skupovi C1

i C2

su razdvojeni.

Posljedica

Ako je jo skup C1

otvoren, uz uslov prethodne teoreme, onda postoji

hiperravan H(a, ), tako da vrijediC1

intH(a, ), i C2 intH+(a, ).

Konveksne funkcije

Denicija

[Konveksne funkcije] Neka je f realna funkcija sa domenom D(f ) Rn, iC D(f ) neprazan, konveksan skup. Funkcija f je konveksna na C ako za svex1

, x2

C i [0, 1] vrijedi:f ((1 )x1

+ x2

) (1 )f (x1

) + f (x2

)

Ako je u ovoj nejednakosti znak

Teorema

Funkcija f je konveksna na C akko za sve m N , svex1

, ..., xm C, 1, ..., m 0, tako da je 1 + ...+ m = 1 vrijedif (1

x1

+ ...+ mxm) 1f (x1) + ...+ mf (xm)

Denicija

Neka je f : D(f ) Rn. Nadgraf (epigraf), podgraf (hipograf) i nivoski(Lebegov) skup od f deniimo sa:

epi (f ) = {(x , ) D(f ) R : f (x)}hypo (f ) = epi(f )

lev (f , ) = {x D(f ) : f (x) }.

Jednostavan odnos izmeu epi(f ) i konveksnosti dat je sljedeom teoremom:

Teorema

Neka je C u Rn konveksan skup. Funkcija f je konveksna na C ako i samo akoje epi(f ) konveksan skup.

Iz teoreme imamo da je f konkavna ako i samo ako je hypo(f ) konveksan skup.Svaki nivoski skup (ukljuujui i ) konveksne funkcije je konveksan.

Posljedica

Neka su f i g konveksne na C. Tada je konveksna i sljedea funkcija:f g = max{f (x), g(x)}

Ovo direktno slijedi iz prethodne teoreme jer su konveksni epi(f ) i epi(g), akonveksan je i epi(f g) = epi(f ) epi(g) kao presjek konveksnih skupova, paobrat prethodne teoreme daje tvrenje. Isti dokaz prolazi i za proizvoljno

mnogo konveksnih funkcija, tj. funkcija sup fi je konveksna.

Neprekidnost konveksnih funkcija

Konveksne funkcije imaju vano svojstvo da su neprekidne na otvorenom skupu.

Bez dokaza navodimo tu tvrdnju neto preciznije:

Teorema

Neka je C Rn konveksan skup sa nepraznim interiorom i neka je f : C Rkonveksna funkcija. Tada je f neprekidna na int C.

Denicija

[Poluneprekidnost] Neka je C Rn. Funkcija f : C R je poluneprekidna sadonje strane (odozdo) u taki x C ako:

f (x) lim infk

f (xk)

za svaki niz {xk} C koji konvergira ka x.Kada je funkcija f poluneprekidna odozdo u svakoj taki skupa C, tada kaemoda je f poluneprekidna sa donje strane na skupu C. Analogno se denie ipoluneprekidnost odozgo.

Teorema

Neka je dat C Rn i funkcija f : C R. Tada su sljedee tvrdnje ekvivalentne:

(a) f je poluneprekidna odozdo na C(b) svaki nivoski skup od f je zatvoren(c) epi(f ) je zatvoren skup.

Teorema

Funkcija f je konveksna i poluneprekidna odozdo na zatvorenom konveksnomskupu C ako i samo ako je zatvorena ( tj. njen nadgraf je zatvoren skup).Ovim smo pokazali da se za konveksne funkcije pojmovi zatvorenosti i

poluneprekidnosti ne razlikuju.

Diferencijabilnost

Konveksna funkcija f u unutranjoj taki x0

domena, u svakom pravcu v , ima(jednostrani) izvod:

f (x0

; v) = limt0+

f (x0

+ tv) f (x0

)

t

Navodimo neke kriterijume konveksnosti diferencijabilnih funkcija:

Teorema

a) Nejednakosti

f (x2

) f (x1

) + Of (x1

), x2

x1

i

f (x2

)f (x1

), x2

x1

0vrijede za sve x1

, x2

C akko je f konveksna na C.b) Neka je f neprekidna na C i dva puta neprekidno diferencijabilna naint C 6= . Tada je f konveksna na C akko za sve x int C, v Rn

2f (x)v , v 0.

Subdiferencijali

Na osnovu prethodne teoreme imamo da za diferencijabilnu konveksnu funkciju,

ksiran x0

C i sve x C vrijedi:f (x) f (x0

) f (x0

), x x0

.

Denicija

Subgradijent funkcije f : C R, C Rn u taki x0

C je vektor y0

Rn takavda za sve x C vrijedi:

f (x) f (x0

) y0

, x x0

Skup svih subgradijenata funkcije f u x0

naziva se subdiferencijal i oznaava se

sa f (x0

). Dakle,

f (x0

) = {y0

: f (x) f (x0

) y0

, x x0

, x C}Funkcija f je subdiferencijabilna u x0

D(f ) ako je f (x0

) 6=

Navedimo neke osnovne osobine subdiferencijala:

Teorema

Subdiferencijal je zatvoren i konveksan skup.

Teorema

Neka je f konveksna funkcija i x0

int C. Tada je f (x0

) 6= .Ustanovimo vezu izmeu subdiferencijala i jednostranih izvoda. Navodimo

nekoliko teorema iji se dokazi mogu nai u [5].

Teorema

Neka je f konveksna na C Rn, x0

C. Tada je y0

f (x0

) ako i samo akoza svaki dopustivi pravac v vrijedi y0

, v f (x0

; v).

Teorema

Konveksna funkcija f je diferencijabilna u x0

int C ako i samo ako je f (x0

)jednolan skup.

Varijacione nejednakosti

Varijacione nejednakosti, nastale 60-ih godina prolog vijeka, obezbjeuju

uopten okvir za irok spektar matematikih problema meu kojima su i

optimizacioni problemi. est predmet razmatranja u ekonomiji su

komplementarani problemi, a oni u stvari predstavljaju varijacione nejednakosti

denisane na konveksnom skupu. Problem pronalaenja ravnotee ekonomskog

sistema je upravo problem pronalaenja rjeenja varijacione nejednakosti ili

komplementarnog problema.

Meutim, poznato je da rjeavanje varijacione nejednakosti nije ba oigledan

problem. Upravo zbog toga postoje mnoge teoreme o egzistenciji rjeenja. Po-

smatrajmo sada par primjera radi boljeg uvida u prirodu varijacionih nejednakosti:

Primjer:

Neka je f glatka realna funkcija na zatvorenom intervalu I = [a, b]. Traimotake x0

I za koje je:f (x0

) = minxI

f (x)

Imamo tri sluaja:

ako je a < x0

< b, tada je f (x0

) = 0,

ako je x0

= a, tada je f (x0

) 0 iako je x0

= b, tada je f (x0

) 0.Ova tri sluaja moemo saeti piui:

f (x0

)(x x0

) 0 za svako x IOvakva nejednakost e nas odvesti do varijacione nejednakosti.

Primjer:

Neka je f glatka funkcija denisana na zatvorenom konveksnom skupu Ceuklidskog prostora Rn. Ponovo emo traiti taku x0

C koja zadovoljava:f (x0

) = minxC

f (x)

Pretpostavimo da se minimum dostie u taki x0

i neka je x C. Poto je Ckonveksan, segment (1 )x0

+ x = x0

+ (x x0

), [0, 1] lei u C.Funkcija

F () = f (x0

+ (x x0

)), [0, 1]dostie svoj minimum u taki = 0, pa je kao u prethodnom primjeru

F (0) = f (x0

)(x x0

) 0 za svako x C.Dakle, taka x0

zadovoljava varijacionu nejednakost:

x0

C : f (x0

)(x x0

) 0 za svako x C.

Varijacione nejednakosti u Rn

Sa (Rn) oznaimo prostor svih linearnih preslikavanja:a : Rn R x 7 a, x

Teorema

Neka je C Rn kompaktan i konveksan skup i F : C (Rn) neprekidnafunkcija. Tada postoji x C tako da je

F (x), y x 0 za sve y C.

Problem: Neka je dat zatvoren i konveksan skup C Rn i neka jeF : C (Rn) neprekidna funkcija. Nai:

x C : F (x), y x 0 za sve y R (5)Ako je C ogranien skup onda imamo egzistenciju rjeenja na osnovu prethodneteoreme. Sa druge strane, primjetimo da problem nema uvijek rjeenje. Na

primjer u sluaju C = R,f (x)(y x) 0 za sve y Rnema rijeenja za f (x) = ex .

Sljedea teorema e nam dati potrebne i dovoljne uslove za egzistenciju

rjeenja. Za konveksan skup C oznaimo sa CR = C BR , gdje je BR jedininakugla poluprenika R sa centrom u 0 Rn. Vraajui se na nau F : C (Rn)primjeujemo da postoji bar jedno xR CR tako da

F (xR), y xR 0 za y CR (6)kada je CR 6= , na osnovu prethodne teoreme.Teorema

Neka je C Rn zatvoren i konveksan skup i F : C (Rn) neprekidna funkcija.Potreban i dovoljan uslov egzistencije rjeenje problema (5) je da postoji R > 0tako da rjeenje xR CR od (6) zadovoljava

|xR | < R. (7)

Iz ove teoreme moemo izvesti mnogo dovoljnih uslova za egzistenciju.

Generalno, rjeenje varijacione nejednakosti nije jedinstveno. Postoje, meutim,

veoma prirodni uslovi koji osiguravaju jedinstvenost.

Problemi koji vode do varijacionih nejednakosti

U ovom odjeljku emo se dotai elementarnih problema koji su povezani sa

varijacionim nejednakostima. Neka je f C 1(C), C Rn zatvoren, konveksanskup i neka je F (x) = f (x). Ovdje ne pravimo razliku izmeu Rn i (Rn).Propozicija

Pretpostavimo da postoji x C tako daf (x) = min

yCf (y).

Tada je x rjeenje varijacione nejednakosti:

x C : F (x), y x 0 za y C.

Obrnuto tvrenje vrijedi ako je f konveksna funkcija. Neka je

Rn+ = {x = (x1, . . . , xn) Rn : xi 0)}zatvoren, konveksan podskup od Rn i neka je F : Rn+ Rn. Komplementaranproblem je: Nai x0

Rn+ tako da je F (x0) Rn+ i F (x0), x0 = 0.

Teorema epli-Folkmana

Formulacija teoreme i primjeri

Ova teorema je rezultat u konveksnoj geometriji sa primjenama u

matematikoj ekonomiji. Iako je konveksnost veoma korisna osobina, ne mogu

svi ekonomski odnosi biti opisani koritenjem samo konveksnih skupova. Neki

odnosi (koji obino ukljuuju specijalizaciju u proizvodnji i potronji) se

najbolje mogu opisati koritenjem nekonveksnih skupova. Teorema

epli-Folkmana nam govori da je suma velikog broja nekonveksnih skupova

aproksimativno konveksan skup. Pod sumom skupova se podrazumjeva suma

Minkowskog, koja je denisana kao zbir elemenata skupova. Na primjer:

{0, 1}+ {0, 1} = {0+ 0, 0+ 1, 1+ 0, 1+ 1} = {0, 1, 2}

Teorema

[Shapley-Folkman] Neka je {Ci : i I} konana familija podskupova od Rn. Zasvaki x co

iICi postoji podfamilija J(x) I koja sadri najvie n elemenata

i vrijedi:

x

iI\J(x)Ci +

iJ(x)

co(Ci ).

Prema deniciji x moe biti predstavljeno na mnogo razliitih naina kao

suma x =iI

xi , gdje je xi co(Ci ) za svako i . Teorema tvrdi da takoe moe

biti predstavljen kao suma x =iI

xi , gdje svi xi , osim njih najvie n, pripadaju

Ci . Radi boljeg razumjevanja teoreme pogledajmo sljedei jednostavan primjer.Uzmimo deset indentinih podskupova od

R2 : Ci = {(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)} za i = 1, ..., 10. Razmotrimo sadaco(C1

+ ...+ C10

) = {x R2 : 0 x1

, x2

10}. Izaberimo proizvoljnox co(C1

+ ...+ C10

), recimo x = (5.5, 5.7) Teorema tvrdi da x moe bitipredstavljeno kao suma taaka iz konveksnih omotaa poetnih skupova,

co(C1

), ..., co(C10

). Jo vanije, teorema kae da x moe biti predstavljeno kaosuma taaka koje sve, osim dvije u R2, dolaze iz skupova C1

, ..., C10

. Na primjer

x1

= (0.5, 0) co(C1

), x2

= (0, 0.7) co(C2

), x3

= (1, 1) C3

, ..., x7

= (1, 1) C7

, x8

= (0, 0) C8

, ..., x10

C10

.

Dokaz teoreme

Deniimo preslikavanje : RnI Rn:

((xi )iI ) =iI

xi

Prema deniciji je iICi = (

iICi ).

Zbog linearnosti preslikavanja je:

co( (iICi )) = (co(

iICi )) = (

iIco(Ci ))

co

iICi =

iIco(Ci )

Primjetimo prvo da je x coiI Ci ako i samo ako x pripada konveksnomomotau od m taaka od

iI Ci gdje je m neki konaan broj. Moe sepokazati, na osnovu Karateodorijeve teoreme, da je m n + 1.

Zbog toga x moemo predstaviti na sljedei nain:

x =mj=1

jyj , gdje je yj iICi , j > 0 i

mj=1

j = 1.

Dalje, svaki yj moemo predstaviti:

yj =iI

yij , gdje je yij Ci .

Oznaimo sa Fi skup {yij}1jm. Jasno, yj

iI

Fi za svako j , pa je:

x coiI

Fi .

Tako smo svaki skup Ci zamjenili konanim podskupom Fi Ci . Za ostatakdokaza je zgodno da primjetimo da su coFi politopi u Rn, a njihov proizvodco

iI

Fi je politop u RnI .

Oznaimo sa H inverznu sliku od x u odnosu na preslikavanje . Nas interesujepodskup P RnI :

P = H coiI

Fi = {(xi )iI : xi coFi iiI

xi = x}.

Pretpostavka da je x iIcoFi znai da je P neprazan. tavie, kako je

co

iI

Fi politop i H je an potprostor, P je politop. Neka je (xi )iI jedan od

njegovih vrhova. Jo imamo da je x =

iI xi gdje je xi coFi , jer taka(xi )i I pripada P. Mi emo dokazati da sve, osim najvie n taaka xi suvrhovi odgovarajueg coFi . Kako svaki vrh poliedra coFi mora pripadati Fi ,ovo e dokazati teoremu.

Pretpostavimo suprotno: postoji (n + 1) komponenti od (xi )iI koje nisu vrhoviodgovarajuih coFi . Oznaimo ih sa x1, ..., xn+1. Za svaki xi , 1 i n + 1,postoji vektor zi Rn i broj i > 0 tako da je:

t [i ,+i ], xi + tzi coFi . (8)Oznaimo = min1in+1

i .

Sada, ako imamo n + 1 vektora u prostoru dimenzije n oni su linearno zavisni.Dakle, postoje 1

, ..., n+1 koji nisu svi jednaki nuli tako da je:

n+1i=1

izi = 0.

Moemo pretpostaviti da je |i | 1, 1 i n + 1. Deniimo dvije take(x i )iI , (x

i )iI iz RnI na sljedei nain:

x i = xi + izi , 1 i n + 1,x i = xi izi , 1 i n + 1,x i = xi = x

i inae.

Iz (8) slijedi da x i i xi pripadaju coFi . tavie:

iI

x i =iI

xi + n+1i=1

izi = x

iI

x i =iI

xi n+1i=1

izi = x

Dakle, take (x i )iI i (xi )iI pripadaju P. Ali, jasno je da:

(xi )iI =1

2

(x i )iI +1

2

(x i )iI ,

pa (xi )iI ne moe biti vrh od P, to je kontradikcija.

Mjerenje nekonveksnosti

Denicija

Poluprenik kompaktnog skupa C je denisan kao:rad(C) inf

xRnsup

yC|x y |

Teorema

Neka je F konana familija kompaktnih podskupova C Rn i neka je m > 0tako da je rad(C) m za svako C F. Tada za bilo koje x coCF Cpostoji y CF C tako da je |x y | mn.Znaaj teoreme epli-Folkmana je da je suma velikog broja kompaktnih

nekonveksnih skupova priblino konveksana. Kreemo sa familijom skupova Fiji elementi su rad(C) manjeg ili jednakog od m. Mjera veliine nekonveksnostispomenuta ovde je udaljenost izmeu take konveksnog omotaa i najblie

take osnovnog skupa. Sabiranjem dva skupa se moe poveati veliina

nekonveksnosti u sumi; ali je na kraju poluprenik nekonveksnosti ogranien

odozgo sa mn.

Jednostavan dokaz teoreme

Veina objavljenih dokaza teoreme epli-Folkmana koristi teoremu

Minkovskog. Ovdje emo pokazati neto jednostavniji dokaz koristei sljedeu

injenicu iz linearne algebre: Pretpostavimo da su x , x1

, ..., xm vektori u Rn.Ako je x nenegativna kombinacija od {x1

, ..., xm}, tada ona mora bitinenegativna kombinacija ne vie od n vektora iz {x1

, ..., xm}. Dokaz oveinjenice se moe pronai u knjigama iz linearnog programiranja.

Teorema

Neka je Ci , (i = 1, ...,m) neprazni podskupovi od Rn i C =mi=1

Ci . Tada svaki

x co(C) ima reprezentaciju x =mi=1

xi tako da je xi co Ci za najvie nindeksa i .

Svaki x co C moemo predstaviti u obliku x =mi=1

yi gdje je yi co Ci za

svako i .Neka je yi =

lij=1

ijyij , gdje je ij > 0, i

lij=1

ij = 1, a yij Ci .

Deniimo sljedee vektore u Rn+m :

z = (x , 1, 1, ..., 1)

z1j = (y1j , 1, 0, ..., 0)

...............

zmj = (ymj , 0, 0, ..., 1).

Tada imamo z =mi=1

lij=1

ijzij . Zbog injenice koju smo naveli na poetku,

znamo da z moe biti predstavljen kao: z =mi=1

lij=1

ijzij , gdje je svako ij 0,

osim najvie (n + m) ij > 0. Sada moemo razloiti izraz na:

x =mi=1

lij=1

ijzij i

lij=1

ij = 1 za svako i .

Ako stavimo xi =

lij=1

ijyij , tada x =mi=1

xi , gdje je xi co Ci za svako i . Poto

najvie (n + m) ij 0 ukupno i najvie jedno ij > 0 za svako i , postojinajvie n indeksa i za koji je vie od jednog ij > 0. Dakle, xi Ci za najmanje(m n) indeksa i to je i trebalo dokazati.

Primjena u ekonomiji

Ekonomija je nauna disciplina koja prouava pravila ponaanja i zakonitosti

u privrednim aktivnostima ili nauka koja prouava kako drutva koriste oskudne

resurse da bi proizvodili dobra i usluge kako bi to bolje zadovoljili svoje

potrebe. Ekonomija se izmeu ostaloga bavi problemima proizvodnje (ponuda,

tranja, trokovi, prihodi, dobit...), bankarskim poslovima (kamata,

kapitalisanje, tednja, krediti ...) ali i drugim ekonomskim problemima kao to

su na primer cene, inacija, ekonomski rast (ili pad), transfer valuta ...

Navedene ekonomske kategorije imaju svoje matematike interpretacije i od

matematike se najee trai, a i s pravom oekuje, da korienjem sopstvenih

metoda odgovori na pitanja kao to su:

Kako organizovati transport tako da transportni trokovi budu najmanji?

Kako organizovati proizvodnju da proizvodni trokovi budu najmanji?

Da li je uzeti kredit povoljan ili ne?

i mnoga druga pitanja.

Problem opte ekonomske ravnotee

U ekonomiji, teorija opte ravnotee pokuava da objasni ponaanje ponude,

potranje i cijena u cijeloj privredi sa nekoliko ili vie meusobno povezanih

trista, sa eljom da dokae da postoji skup koji e dovesti do sveukupne

ravnotee. Ona je u suprotnosti sa parcijalnom ravnoteom koja analizira samo

pojedinana trita. Teorija ravnotee koristi obje ove studije i nastoji da utvrdi

u kojim okolnostima e se pretpostavke opte ravnotee drati.

Iako je svaka ravnotea ekasna, najvei je problem pokazati njenu

egzistenciju. Da bi se garantovala egzistencija ravnotee dovoljno je da skup

prioriteta potroaa bude konveksan. Star

1

je primjenio teoremu

epli-Folkmana da dokae da i bez pretpostavke konveksnosti postoji priblina

ravnotea.

1

Ross M. Starr (1945- ), ameriki ekonomista

Andersonova teorema konvergencije jezgra

Prije nego ponemo sa teoremom uvedimo notaciju koju emo koristiti. Ako

je x , y Rn tada

x = max1in|xi |, x1 =

ni=1

|xi |

u = (1, 1, ..., 1) Rn; x y ako xi yi za i = 1, ..., n; x y ako xi < yi zai = 1, ..., n. Neka P oznaava skup svih prioriteta (preferencije potroaa, tj.skup binarnih relacija na Rn+) koje zadovoljavaju sljedee osobine: (i) slabamonotonost: x y x y , (ii) tranzitivnost: x y , y z x z .Denicija

Razmjenska ekonomija je preslikavanje : A P Rn+, dato sa(a) = (a, e(a)), gdje je A Rn konaan skup, a prioritet potroaa a i e(a)je njegov poetni dohodak. Alokacija (raspodjela) je preslikavanje f : A Rn+tako da je

aA f (a) =

aA e(a). Koalicija je neprazan podskup S A.Alokacija f je blokirana koalicijom S ako postoji preslikavanje g : S Rn+ gdjeje

aS g(s) =

aS e(a) tako da je g(a) a f (a) za svako a S . Jezgro od

, C(), je skup svih alokacija koje nisu blokirane nekom koalicijom. Cijena pje element od Rn+ td. p1 = 1. Skup svih cijena oznaimo sa S.

Teorema

Neka je : A P Rn+ konana razmjenska ekonomija, gdje je |A| = m. Nekaje M = sup{e(a1

) + ...+ e(an) : a1, ..., an A}. Ako je f C() tadapostoji p S tako da je:(i)

1

m

aA|p(f (a) e(a))| 2M

m

(ii)

1

m

aA |inf {p(x e(a)) : x a f (a)}| 2Mm .

Napomena: Uslov (i) kae da prosjeno budetsko odstupanje (prosjean iznos

kojim se troak alokacije jezgra razlikuje od prinosa prodaje poetnih

doprinosa) je malo. Uslov (ii) tvrdi da ako se budetski skup {x : px pe(a)polako smanjuje ka prosjeku, ne postoji element smanjenog budetskog skupa

koji je prioritet za alokaciju jezgra.

Veina modela opte ekonomske ravnotee, pogotovo ona koja ukljuuju

odreen nivo neizvjesnosti, je ekvivalenta problemu egzistencije rjeenja

varijacionih nejednakosti.

HVALA NA PANJI!