the gale shapley algorithm

The Gale-Shapley Algorithm

老師：何瑁鎧學生：蔡詠捷、王芝吟

Agenda

• Stable Marriage Problem• Introduce • Gale-Shapley Algorithm• Algorithm Proof• Algorithm Big O• Pseudo Code• Animation Demo• Reference

Stable Marriage Problem

• 亦稱為 Stable matching problem• 給定兩個相同數量的元素集合• 每個元素給對面元素一個喜好排序• 讓彼此之間配對找出穩定配對• 配對：將兩邊的元素一對一組合成一組


• 配對後需要達成每個人都有彼此的伴侶，並且提供給雙方的最大利益• 穩定配對– 假設 (A,B) 是一組配對– 不存在 A 男對 B’ 女喜好度大於現任妻子 B 女– 並且 B 女對 A’ 男喜好程度也大於現任丈夫 A 男


• Stable marriage 的進行方式：– 給定兩組一樣的元素集合 , men 與 women– 每個元素給另外一個集合的元素進行喜好順序的排序– 進行每個元素的配對，依照求婚者喜好最高順序進行配對– 配對到兩兩元素間沒有比現在更好的選擇，配對就完成– 由上述條件可以知道，如果彼此間沒有更好的選擇，就代表這兩組元素是穩定配對

Introduce

• In 1962, David Gale and Lloyd Shapley proved that– For any equal number of men and women, it is

always possible to solve the SMP and make all marriages stable

Gale-Shapley Algorithm Concept

• 有 n 個男生與 n 個女生，每個男生將所有女生依據喜歡順序排成喜好列隊 (strictly ordered preference list) ，而每個女生也將所有男生依據喜歡順序排成喜好列隊

• M (match) 配對，是男生集合與女生集合的一個 1 to 1 對應

• PM(m)=w 與 PM(w)=m ， w 是 m 的 M- 伴侶， m是 w 的 M- 伴侶

Gale-Shapley Algorithm Concept

• Blocking Pair : 若 (m,w) 在 M 中沒有配成一對， m喜歡 w 甚於 PM(m) ，而且 w 喜歡 m 甚於 PM(w) ，則稱 (m,w) 是 M 的阻撓對• Stable Match : 若配對 M 不存在阻撓對，則稱 M為穩定配對• Stable Pair : 若 (m,w) 在某一穩定配對中配成一對，則稱 (m,w) 為穩定對， m 與 w 互稱為穩定配偶

Gale-Shapley Algorithm

Stable Matching Proof

• 首先，每個男生都該被配到一個女生，這代表配對過程有正確進行• 若有男生沒被配到，表示他被所有女生拒絕• 可是女生拒絕他，表示當時已訂婚，又女生一旦訂婚只會換訂婚對象不會回到自由身• 因為男女的總數相同，這會導致矛盾


• 假設 m 喜歡 w 甚於 PM(m) ，則在演算中 w 曾拒絕m

• 當時因 w 較喜歡 m‘ 而拒絕 m ， w 若有換訂婚對象也是換得比 m’ 更好的對象• 因此 w 喜歡 PM(w) 甚於 m ，因此 (m,w) 不會是 M的阻撓對，也就是說 M 沒有阻撓對， M 是穩定配對


• 假設 (m,w') 在 M 中不是一對，在某穩定配對M' 中為一對，而且 m 喜歡 w' 甚於 w=PM(m)

• m 在演算過程中必定曾遭 w' 拒絕• 我們可假設 m 是整個過程中第一個被穩定對的對象所拒絕的男人• m 被 w‘ 拒絕的原因是 w’ 喜歡當時的未婚夫 m‘ 甚於 m=PM′(w )′ ，又 w’ 是 m‘ 的穩定配偶中最喜歡的

( 因 m’ 不曾被被穩定對的對象所拒絕 ) ，所以m‘ 喜歡 w’ 甚於 PM′(m )≠w =P′ ′ M′(m) ，所以 (m‘,w’)是 M‘ 的阻撓對， M’ 不是穩定配對，產生矛盾

Algorithm Big O

• Assuming the same number of proposers and acceptors :– If exactly one proposer gets his last choice

woman, he will have proposed n times. – The remaining n−1 men are able to propose a

maximum of n−1 times so– (n−1)(n−1)+n = n2−2n+1+n = n2−n+1

Algorithm Big O

• The Gale-Shapley algorithm terminates after at most n2−n+1 proposals

• Time Complexity : T(n) = O(n2)

Pseudo Code

Animation Demo

• http://mathsite.math.berkeley.edu/smp/smp.html

http://mathsite.math.berkeley.edu/smp/smp.html

Reference• https://en.wikipedia.org/wiki/Stable_marriage_problem• http://www.columbia.edu/~js1353/pubs/tst-ipco99.pdf• http://mathsite.math.berkeley.edu/smp/smp.html• http://www.sephlietz.com/gale-shapley/




http://www.sephlietz.com/gale-shapley/

http://www.sephlietz.com/gale-shapley/

the gale shapley algorithm

Science