Temel Matematik

Temel Matematik

Kmeler

Kme kavram Georg Cantor tarafndan, 1874 de tanmlanmtr. Kmeler birbirlerinden fark ayrdedilebilen nesnelerden oluan sistemlerdir. Her kme ayn elemandan sadece bir tane ierebilir.

Kme kavram ve uygulamalar geni lde bu sitede bulunan genel matematik derslerimizde aklandndan burada sadece kme kavram tantlmtr.

Kme Elemanlar

Kmeler, eleman olarak her trl nesneyi ierebilirler. Nesnelerin birbirinden ayrt edilebilmeleri ve ayn nesneden sadece bir tanesini eleman olarak kabul edebilirler. Kmeler, kme eleman olabilirler.

Eer x bir A kmesinin eleman ise,

x A olarak belirtilir.

Bu tanm, x, A kmesinin bir elemandr eklinde okunur.

Eer,

x A

olarak belirtilmise, bu tanm, x A kmesinin bir eleman deildir anlamna gelir.

Alt Kmeler

Bir kme, bir baka kmenin en az bir tane elemann ieriyorsa, bu kme en az bir eleman ayn olan dier kmenin bir alt kmesidir. Bu tanma gre, bir kmenin alt kmesi ancak kendisi kadar eleman saysna (kme uzunluuna) sahip olablir. Yine bu tanma gre, bir kmenin en yksek elemanl alt kmesi, ancak o kmenin kendisi olabilir.

Bo Kme

Hi eleman olmayan bir kme, bo kme olarak adlandrlr ve sembol ile gsterilir.

= {}

B kme matematiin sfr deerine kar gelir. Bo kme, kmelerin eleman sayn ve deerini deitirmez. Bu yzden, bo kme her kmenin doal eleman saylr, fakat kme elemanlarnn listelenmesinde gzard edilir. Bo kme, her kmenin doal alt kmesi olarak kabul edilir.

Kmelerin Tantm Yntemleri

Listeleme Yntemi

Kmelerin tantm yntemlerinden birisi listeleme yntemidir. Listeleme ynteminde, kmeler ssl parantez arasnda, byk harfler ile verilmi isimleri ile tantlrlar. rnek,

A = {223 , 4 , "Ali", "Alper"}

Kmelerin eklentisel (listeleme) yntemi ile tantlmalar sadece az sayda ve deiik tipte elemanlar ieren kmeler iin uygundur.

Kmelerin trde elemanlar ierenleri, daha ilevsel ve matematik iin daha kullanldr. Trde elemanlar ieren kmelerin eleman saylar olaanst yksek olabilir. Bu durumda, listeme yntemi yeterli olmaz, amaca ynelik (intensional) kme yaplanma tanmndan yararlanmak gerekli olur.

Kme Yapc fade

Kme yapc ifadenin genel aklamas,

{x | (x)}

eklindedir. Burada x, kme elemanlar, (x) , x elemanlarnn bir zellii (yklem) (predikat) dr. rnek olarak,

A = {x | x Fenerbaheliler}

Bunun anlam, A kmesinin elemanlarnn, daha nceden tanmlanm olan Fenerbaheliler kmesinin elemanlar arasndan eileceidir.

Kme yapc ifade ile, birbirleri ile ayn zellikleri paylaan elemanlardan oluan istendii kadar eleman ieren kmeler oluturulabilir. rnek olarak, eer x belirli bir zellik (yklem) (predikat) (predicate) ise, bu zellii salayan elemanlardan oluan kme,

A = {x| P(x)} veya A = {x: P(x)}

olarak belirtilir. Burada, P yle bir yklemdir ki, her x eleman bunu karlamaktadr. Gerektiinde bu tanm, x deikeninin baka bir tanml kmenin eleman olduunu ve ayn zamanda da bu yklemi saladn belirtecek ekilde geniletilebilir. rnek olarak ift pozitif saylardan oluan bir kme,

A = {x = bir ift say | A(x)}

olarak belirtilebilir. Bu tanmn biraz sonra greceimiz gibi, sekansiyel olarak, elipsis noktalar eklinde, matematiksel bir notasyonla daha sistematik olarak aklanma yntemi bulunmaktadr.

Bir baka kme tanm,

A = {x (x bir tamsaydr) | (0 x 20)}

Tamsaylar 0 dahil pozitif ve negatif tamsaylardan olutuuna gre (Bk. biraz aadaki tamsaylar kmesi tanm), bu tanm, A kmesinde, 0 (dahil) , 20 (dahil) aralnda 21 tane tamsay eleman ierebileceini belirtir. Bu tanmla, A kmesi,

A = {0 , 1 , 2, ..., 20}

eklinde belirtilebilir. Birbirbirini izleyen nokta Elipsis Noktalar olarak adlandlr ve aradaki deerlerin belirtilmesinde kullanlr. Elipsis noktalar bir sekans (birbirini izleyen ilemler) tanmdr

Elipsis noktasnn deerlendirilmesinde, ilk olarak, birbirini izleyen elemanlar arasndaki fark (delta) belirlenir. Burada,

= 2 -1 = 1

dir.

Elipsis noktasndan nce belirtilen deerden bir sonraki deer, bir nceki deere eklenerek bulunur. Burada 2 den sonraki eleman 2 +1 = 3 dr. 3 den sonra gelecek eleman 3 + = 3 +1 = 4 olacaktr. Sekans bu ekilde devam eder.

Sekans, son deer olarak belirtilmi 20 ye ulalnca sona erer.

Bu rnekten de grld gibi, bir elipsis sekans belirtildiinde, bu sekansn ardk (birbirini izleyen) deerlerinin hesaplanabilmesi iin, en az iki ardk deerin verilmesi gerekir.

Bir elipsis sekans,

3,4...

eklinde, son nokta belitilmeden tanmlanmsa, bu elipsi sekans, ucu ak bir sekans olarak tanmlanr ve sonsuza kadar tekrarlanr.

Kmelerin Eitlii

Bir Akmesinin elemanlar, bir B kmesinin elemanlar ile ayn ise, bu iki kme birbirlerine eit kmeler olarak tanmlanr.

rnek olarak,

B= {223 , 4 , "Ali", "Alper"}

ise, A kmesi B kmesi ile eit bir kmedir.

Eit kmeler,

A = B

olarak belirtilir.

Kmelerin Eitsizlii

Bir A kmesinin elemanlar, bir B kmesi ile ayn deilse, bu iki kme birbirlerine eit deillerdir.

Farkl kmeler,

A B

olarak belirtilir.

ki Kmenin Kesiim Kmesi

ki kmenin kesiim kmesi, heri iki kmede dalm olan ortak elemanlardan oluur.

rnek olarak,

Q = { 56 , 7 , 9 , 354 , 66}

kmesi ile,

W = {776 , 35 , 2 , 7 , 9}

kmelerinin kesiim kmesi, sadece ortak olan elemanlar ieren,

{7 , 9}

kmesidir.

ki Kmenin Birleim Kmesi

ki kmenin birleim kmesi, heri iki kmede dalm olan tm elemanlardan oluur. rnek,

Q = { 56 , 7 , 9 , 354 , 66}

kmesi ile,

W = {776 , 35 , 2 , 7 , 9}

kmelerinin birleim kmesi, her iki kmede bulunan tm elemanlar ieren,

{776 , 7 , 56 , 35, 2 , 9 , 354}

kmesidir.

Saylar zerine

Dnyada uygarlklarn en eski gnlerinden beri nesnelerin saylar nem kazanmtr.

Toplanan rnler, alnacak vergiler, kiilerin serveti hep saylmas gereken byklkler olmutur.

Saylar, eski Mezpotamya uygarlklarnda gelitirilmi fakat bu bilgiler gnmze dolayl yollardan ulaabilmilerdir.

Yeni bulunan papirsler, eski Msr uygarlnda sanldndan daha kapsaml bir matematik kltr olduunu ortaya karmtr.

zellikle, ok yeni bulunan bir papirs, adeta temel matematiin balagc saylabilir.

Uygarln Msrdan sonra devam olan eski Yunan matematikilerinin Msrda renim grm olmalar ancak yeni olarak zerinde durulmakta olan bir gerektir.

Gerek eski Yunan, gerekse eski Roma alfabesinde saylar metinsel harflerdir ve toplama karma ilemlerine uygun deildir. Bu yzden antik dnyada, geometri daha ok gelimitir.

Antik Grek kltrnde matematik, ilk olarak, Antik Grek ehirlemesinden iki yz yl sonra, milattan nce altnc yzylda, ilk olarak Anadolulu olan ve Bodrum yaknlarnda Miletus ehrinden Thales tarafndan, Msrdaki eitimininden sonra, Anadoluya tanm olan, geometri bilgilerine dayanarak gelimesine balamtr.

Thales'den sonra Pythagoras da Msr ve Babil de eitim grdkten sonra, Yunanistana dnerek geometri bilgilerini yaymaya balamtr. Antik Grek kltrnde matematik byk gelime gstermi ve gnmzn bilgi temelini oluturmutur.

Drt ilem yaplmasna uygun olan sfr saysn ieren onlu say sistemi, eski Babilliler tarafndan bulunmu, fakat yaygnlaamadan Babil tahrip olmutur.

Bu say sistemi, Hindistanda bir gzlemevi direktrnn abalar ile hatrlanm ve Abbasiler zamannda Badat niversitesinde (Dar'l Hikme) (Hikmet =Felsefe Evi) kullanlmaya balanmtr.

Badat niversitesinde temel matematik ilemlerini gerekletiren ve "Cebir" adn verdii matematik biliminin kurucusu, AbAbdallh Muammad ibn Msal-Khwrizm (Harzem) (zbekistan) , Trk) dr.

Bu bilim dal Endls Emevileri tarafndan Avrupaya tanm ve Rnesansn kaynaklarndan biri olmutur.

Batda (Al Khorazmi) (El Harzemi) ad ile tannan, Trk kkenli bu bilim adamna sayg gstergesi olarak, bilgisayar bilimlerinde bir deerin hesaplanma yntemine "Algoritma" ad verilmitir.

Gnmzn onlu say sistemi olan bu say sistemi "Arap Rakkamlar" olarak tannr.

Arap rakkamlar on dokuzuncu yzyln sonlarna kadar, kuramsal olarak fazla tartlmadan kullanlmtr.

Bu tarihlerde Cantor (Alm.) tarafndan Kmeler kuram tantlnca, saylarn da kmeler temelinde tanmlanmas iin ilk olarak Dedekind (Alm.) tarafndan sistematize edilmeye balanm, bu almalar Peano (t.) tarafndan yeniden dzenlenerek gnmzdeki son hali verilmitir.

Peano aksiyomlar olarak tannan gnmzdeki saylar kuram ok geni bir alma alann oluturmakta ve henz zerinde tarlmakta olan kuramsal konular bulunmaktadr.

Bu tartmalar tamam ile kuramsal planda kalamakta olup, gnmzde matemetik ve fizikte uygulanan Gerel Say Sistemi her trl tartmann dndadr.

nk, Gerel Say Sistemi, tanmlanm olan tm gerel say kmelerinin st kmesi olup, bilinen tm gerel say kmeleri, Gerel Say Kmesinin alt kmeleridir.

Bu durumda, Gerel say kmesi, galaksimizin tm gerel saylarn iermekte olup zerinde tartlacak bir eksiklik sz konusu deildir.

Say kmelerini ksaca inceleyelim.

Sayma Saylar

Sayma saylar, insanlarn say saymak iin kullandklar aralara gre ekillenen say sistemleridir.

Smerliler, saylar ele ve ayak parmaklar ve bunlarn eklem yerlerini gznne alarak 60 l (sxagesimal) bir say sitemi gelitirmilerdir.

Bugnk,

60 saniye = 1 dakika

eklinde say sistemi bu sistemden kaynaklanmaktadr.

Sayma saylar, her trl say sistemine uygun saylardan oluabilirler.

Badat niversitesi (Felsefe Evi) tarafndan, Babil kaytlarna dayanan Hint kaynaklarndan yararlanlarak onlu (desimal) say sisteminin dzenlenmesinden sonra, sayma saylar (Whole Numbers) (Ing.) onlu say sistemine gre tanmlanmlardr.

Kme sisteminin gelimesinden sonra, bu tanm, "Sayma Saylar Kmesi" olarak adlandrlm ve

W = {1 , 2 , 3 , 4 , 5 ...}

olarak tanmlanmtr. Bu tanma sfr kavramnn eklenip eklenmeyacei henz tartma halindedir. Sayma saylarnn gnmzde bir kullanm olmad iin bu tanm farklarnn hibir nemi yoktur.

Doal Saylar

Doal saylar, baz kaynaklara gre 0 bo kmesini ieren, baz kaynaklara gre de 1 den balayan saylardr. Gnmzde daha ok 0 (deerini de doal saylar iinde ve bir say olarak bulunduu dncesi yaygnlk kazanmtr.

Doal saylar kmesi, tamsaylar kmesinin bir alt kmesidir. Doal saylar (Natural Numbers) kmesi, aadaki gibi aklanabilir:

= {0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ...}

Doal saylar kmesine sfr bo kmesi nin eklenip eklenmeyecei henz sonulanmam bir tartma halindedir.

Bo kme, kmeler iin etkisiz elemandr. Her kme iin doal elemandr ve kme deeri iin bir etkisi yoktur.

Doal saylar sadece kuramsal matematikte kullanld iin bu tartmann pratikte bir etkisi yoktur.

Tamsaylar

Tamsaylar, negatif doal saylar, 0 ve pozitif doal saylar ieren saylar kmesidir. Tamsaylar kmesinin tanm evrensel olarak kabul edilmi ve zerinde hibir tartma bulunmamaktadr.

Tamsaylar kmesi Almanca "Zahlen" (say) szcnden kaynaklanan Z harfi ile adlandrlr.

Z = {- , ... , -3 , -2 , -1 , 0 , 1 , 2 , 3 , ..., }

olarak tanmlanr.

Tamsaylar sisteminde saylar, bir eksen zerine dizili olarak dnlr:

Tamsaylar bu eksen zerinde ekilde grld gibi konumlanr. (Kaynak : Math is Fun Sitesi)

Tamsaylar kmesi, matematik iin temel saylar kmesidir. Kronecker, "Tanr tamsaylar yaratt, dier herey insan yapsdr" demtir. Bilgisayarlarn ilk retimleri aamasnda, John Von Neumann (asl ad Jano Lako, Macar kkenli, Hilbert'in rencisi) bilgisayarlara sadece tamsaylarn programlanmas dncesini ne srm, fakat doal bilimler ondalkl saylara dayandndan bu dncesi uygulanamamtr.

Pozitif tamsaylar kmesi,

Z + = {0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , ... , }

olarak tanmlanr. Bu kme, 0 (bo kme) dahil sonsuza kadar tm pozitif tamsaylar ierir.

Eksi ve art sonsuz saylar dnsel saylardr. Euclid'in aklamasna gre sonsuz, dnebildiimizden daha byk bir art sonsuz ve dnebildiimizden daha kk bir eksi sonsuz saysdr.

Negatif saylar elle tutulamaz fakat gerektir. rnek olarak tarlanzn yllk vergisi be kile buday ise ve ancak iki kile verebiliyorsanz, bir sonraki yl hissenize kalabilecek budaydan kile daha alndnda negatif saylarn da gerek olduunu ac bir ekilde anlarsnz.

Tamsaylarn bir doru zerinde diziliine "Tamsaylar Skalas" ad verilir.

Skala szc Trkeye iskele olarak gemitir. Eskiden kumalarn lld dz tahtalara skala yani lt ad verilirdi. Skalaya uygun yani lte uygun olarak nitelendirme bir performans ltdr ve Milano da "La Scala" operas performansn en yksek olduu yer anlamna gelir.

Tamsaylar skalasnn en byk deeri art sonsuzdur ve tm kme elemanlar en kk deerden balanarak , en bye kadar bu skala zerine yerletirilebilir.

ekildeki skalaya baklnca, gsterilmi en kk saynn, -10 olduu grlr. Bu ekilde, -9 , -10 dan byktr. nk -9 says, -10 saysna gre pozitif tarafa daha yakndr. Tamsaylar skalasnda saylar saa (art sonsuza) doru gittike daha byk olur.

Bir say, eksi sonsuza ne kadar yaknsa okadar kk, art sonsuza ne kadar yaknsa okadar byktr. Bir say, art sonsuzdan ne kadar uzaksa o kadar kk, eksi sonsuzdan ne kadar uzaksa o kadar byktr.

Tamsaylarn Toplanmas ve karlmas

Toplama ve karma ilemlerinde iaretlere dikkat edilir. rnek olarak,

Tamsaylarn arplmas

Tamsay arpm, iaretler dikkate alnarak yaplr. rnek olarak,

15 x -9 = -135 -9 x -7 = 63 87 x 56 = 4872

arpma srasnda pozitif iaretlerin yazlmadna dikkat ediniz. Doru yazm aslnda, 15 x (-9) = 135 eklindedir.

Parantezli ilemlerde ilk nce parantezin iindeki ilemler tamamlanr. Sonra parantezin nndeki arpma ilemi gerekletirilir. Sonra, parantez iindeki terimlerin herbiri parantezin nndeki terimle arplr.

Eer parantezin nnde +1 varsa parantez alr ve sonraki ilemler yaplr. Eer parantezin nnde -1 varsa, parantezin iindeki terimler -1 ile arplr ve parantezin nnde +1 var hale getirilir.

rnek :

Alm :

Parantezin iindeki terimler birbirleri ile toplanamazsa, parantezin arpan ile parantezin iindeki her terim arplarak parantez kaldrlr.

rnek :

-3 x ( 5 TL + 6 US$) = -15 TL -18 US$

Bir saynn sfr ile arpmnnn sonucu sfrdr.

Bir saynn sonsuzla arpmnn sonucu sonsuzdur.

Asal Saylar

Bir say, birden byk olup, art veya eksi kendisine veya art veya eksi 1 den baka bir sayya blnemezse, o say asal bir saydr. Pozitif asal saylar,

2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29, ...

eklinde geliirler.

1 asal say olarak kabul edilmez. Asal say olan tek ift say 2 dir. nk dier tm ift saylar 2 ye blneblirler.

Aritmetiin Temel Kuram

(Fundamental Theorem of the Arithmetic)

(EUCLID, elements, Kitap VII, nerme 30 ve 32)

(Bu teorem EUCLID ve GAUSS tarafndan kantlanmtr)

Her tamsay ya asal bir saydr veya asal saylarn stel deerlerinin arpm olarak belirtilebilen bileik (kompozit) bir saydr. Bu, her tamsayya zgn ve benzersiz bir arpmdr.

Asal saylarn dndaki saylar. bileik saylardr ve asal say arpanlar halinde belirtilebilirler.. Bunlara asal say katsaylar ad verilir.

rnek :

Eer 1 says asal say olsayd, bileik saylarn asal say arpanlar asla biricik (unique) olamazd.

1 says arpmda etkisiz elemandr. Kullanm matematik ifadelerin deerini deitirmez.

rnek olarak,

Veya baka bir ekilde,

yazlabilir. Bu da aritmetiin temel kuramna gre biricik (unique) olmas gereken, herhangibir saynn asal say arpanlarn deiik ekillerde yazlabilmesinin nn aar. Balca bu nedenle, 1 says, asal say olarak kabul edilmemitir.

Matematik iki yz ncesi gibi yaplamaz. Artk matematik iin yardmc olabilecek byk apta etkin bilgisayar programlar var. Bu programlar, her trl uratrc zm stlenmekte ve insanlara yardmc olmaktadrlar.

Bu satrlarn yazld MATHCAD bu tr bir matematik program (CAS) (Computer Algebra System) dir.

Saylar bydke, asal say arpanlarnn bulunmas ok uratrc olur.

Mathcad, saylarn asal say arpanlarn belirleyebilir.

Btn bunlar yeterli bilgisayar program (CAS) olmadan giriilecek ilemler deildir. Grevimiz renmek ve uygulamay bilgisayarlara brakmaktr.

Rasyonel Saylar

Rasyonel saylar, kesirli saylar veya oransal saylar olarak da adlandrlrlar.

Rasyonel saylar, m ve n birer tamsay olmalar ve paydann (n) sfrdan farkl olmas koulu ile,

olarak tanmlanrlar.

Rasyonel saylar kmesi (Q = Quotient)

Q = { | m ve n Z, m n 'e blnmez, }.

Rasyonel saylar, kesin saylardr. Ancak blme ilemi yaplrsa, blme sonucu yaklak bir say oluturabilir.

Rasyonel saylarda, pay, paydaya blnebilir nitelikte ise, yani blme sonucunda kalan yoksa, bu rasyonel say bir kesin saydr.

Kesin bir rasyonel say, ister oransal, ister saysal ifade edilsin, kesin (yaklak olmayan) bir deerdir.

rnek :

0.5 kesin bir saydr. Tamsaylar skalasndaki yeri kesin olarak 0 ve 1 arasndaki blmn yarsdr.

Bu rasyonel say blme, ilemi yaplmadan kesin bir saydr. Tamsaylar skalasnda kesin bir yeri vardr. Blme ilemi sonucunda eldilen deer ise kesin bir deer olabilir veya olmayabilir. Eer pay paydaya blnebiliyorsa, blme sonucunda elde edilen deer aynen rasyonel saynn kendisi gibi kesin bir deerdir. Bu gibi, kesin olam ondalkl saylarda son bir ondalktan (terminal) (bitirici) sonra hibir ondalk gelmez. Eer pay paydaya blnemiyorsa, o zaman blme sonucunda elde edilen say yaklak bir saydr. Ondalk says belirli bir basamakta tutulursa, saynn o basaman ardnda kalan ksmndan vazgeilmi olur.

says yaklak bir saydr. Yaklak saylar, fizikte kullanlr ve geerlikleri uygulandklar ileme baldr.

Rasyonel saylarda pay ve payda, tamsaylar kmesinin elemanlardr.

m , n Z

ise rasyonel saynn deeri 0 -1 arasdr. Bunlar gerek rasyonel saylardr ve "Basit Kesirler" olarak adlandrlrlar.

Eer,

olursa, bu rasyonel say gerekte 1 dir.

Eer,

ise, bu Rasyonel Say, gerek bir Rasyonel Say deil bir Tamsay ve bir Rasyonel Saynn toplam olan kark bir saydr. Buna "Tamsayl Kesir" ad verilir.

Gerek Rasyonel Saylarn (basit kesirlerin) deerleri, 0 - 1 arasdr. Eer x, bir rasyonel saynn blme sonucu ise, basit kesirlerde, 0156 olduundan, basit bir rasyonel say deil bir kark saydr. Kark say,

(yaklak deer)

daha kaba yaklak deerler olarak,

3 = 3 ( tam, 1 bl 5)

3

( tam, 19 bl 100)

3 ( tam, 186 bl 1000)

Daha fazla devam edilirse, yaklaklk azalr, fakat fiziksel anlam giderek daha zor alglanr hale gelir.

rnek :

Rasyonel say toplamnn yaplmas.

Rasyonel saylar en basit formlarndan olutuklarndan, dorudan en kk ortak payda (EKOP = EKOK = LCM) deerinin arayna dorudan geebiliriz.

5 saysnn arpanlar:

15 saysnn arpanlar:

6 saysnn arpanlar:

Ortak arpanlar kmesi:

{30 , 60}

En Kk Ortak Kat (EKOK) (En kk Ortak Payda) = 30

Mathcad :

EKOK =

Bilindii gibi,

olduuna gre,

olur. 13 ve 15 aralarnda asal olduklarndan sonu daha fazla basitleemez.

Mathcad :

Modern yntemlerin etkinlikleri tartlmaz. Fakat ileyi ynteminin tm ayrntlar bilinmelidir. Modern alma ynteminde "lemin nasl yaplacan tam olarak bil, fakat ilemi bilgisayara yaptr" yntemi geerlidir.

Ondalkl Saylar

Ondalkl saylarn bazlar aslnda rasyonel saylardr. Bu blmde sadece rasyonel saylara dntrlebilen ondalkl saylar inceleyeceiz.

Rasyonel saylara dntrlebilen ondalkl saylar, dntrlebildikleri rasyonel say tipine gre,

Basit rasyonel saylara dntrlebilenler,

Kark saylara dntrlebilenler

olarak iki tiptedir.

Rasyonel saylara dntrlebilen ondalkl saylar, dntrlebildikleri rasyonel saylarn kesinliine gre,

Kesin rasyonel saylara dntrlebilenler,

Yaklak rasyonel saylara dntrlebilenler

olarak iki tiptedir.

lk olarak kesin rasyonel saylara dntrlebilen ondalkl saylar inceleyelim.

rnek :

0.1 saysnn rasyonel say karlnn bulunmas.

zm :

olarak belirtilebilir. Bu bir kesin saydr. Yani 0.1 i izleyen bir say yoktur. Bunun anlam, tamsaylar skalas 0 ile 1 aras 10 paraya blnm ve 0.1 says, bu blmlerden sadece, 1 tanesi kadar ilerlemi bir noktaya konumlanmtr.

rnek :

0.5 saysnn rasyonel say karlnn bulunmas.

zm :

olarak belirtilebilir. Bu bir kesin saydr. Yani 0.5 i izleyen bir say yoktur. Bunun anlam, tamsaylar skalas 0 ile 1 aras 10 paraya blnm ve 0.5 says, bu blmlerden sadece, 5 tanesi kadar ilerlemi bir noktaya konumlanmtr. Bu nokta tm araln si (%50) sidir.

rnek :

0.11 saysnn rasyonel say karlnn bulunmas.

zm :

olarak belirtilebilir. Bu bir kesin saydr. Yani 0.11 i izleyen bir say yoktur.

Bunun anlam, tamsaylar skalas 0 ile 1 aras 10 paraya blnm ve 0.1 says, bu blmle

Bundan sonra, tamsaylar skalas 0 ile 1 aras 100 paraya blnm ve nceki konumu, bu yeni blmelerden 1 blme daha ilerletmitir. 0.11 deeri kesin bir deerdir. Tamsaylar skalas zerideki yeri, kesin bir tek noktadr. 0.11 says "onda bir art yzde bir" veya "yzde 11" (%11) olarak okunur.

rnek:

0.3333333333333333333333333333333333 saysnn rasyonel say karlnn bulunmas.

zm:

Bu bir tekrarl ondalkl saydr. 0.3 ksm sonsuza kadar tekrar eder. bu ekilde tamsaylar skalas zerindeki yeri kesin olarak belirlenemez. Belirli bir ondalkta , rnek olarak 0.3 deerinde olarak kabul edilip yaklak bir nokta olarak konumlanabilir.

Oysa, 0.3333 kesin bir deerdir. Eer,

olarak tanmlanrsa, her iki taraf 10 ile arpldnda,

olarak bulunur. Bu kesin bir deerdir. Yaklak deildir. Tamsaylar skalasnn 0-1 aras 3 paraya blnr ve ilk parann sonunda konumlanlr. Yer kesindir.

Salama :

Ksayol:

Tekrarlayan ondalk 9 a blnr. Tekrarlayan ondalk 3 olduuna gre,

olarak tekrarlayan saynn rasyonel say karl bulunur.

rnek :

0.367367367367367 saysnn rasyonel say karlnn bulunmas.

zm:

Tekarlayan tane ondalk (367) bulunmaktadr.

...

Tekrarlayan 3 tane say olduu iin, her taraf 1000 ile arplr.

367 ve 999 aralarnda asal olduundan rasyonel say daha fazla basitleemiyor. Sonu :

Bu bir kesin saydr. nk rasyonel halded braklm bir saydr. Blme ilemi yaplmama tm rasyonel saylar kesin saylardr. Blme ilemi sonunda elde edilen say, yaklak bir say olabilir. (Blme ilemi sonunda elde edilen saynn son ondal tamamlayc bir ondalk ise, elde edilen say da kesin bir saydr.)

Salama :

Ksayol :

Tekrarlayan her say grubunun uzunluu kadar 9 ile blnr. rnek

...

Not : Mathcad 17 haneye kadar ondalk verebildii iin son ondal yuvarlatarak veriyor.

Yzde saylar da ondalk saylardr.

rnek :

Bir malzemeden %12 K.D.V. alnyor. %12 nin anlam nedir.

zm :

%12 nin rasyonel say karl

, ondalk say karl

dir.

rnek :

Bir malzemenin tanesinden % a K.D.V. alnyor. Bu malzemenin K.D.V. siz fiyat p ise ve bundan b tane alnsa nekadar deme yapmak gerekir?

zm :

Eer, 100 taneden a TL. KDV alnyorsa ,

oran her malzeme says iin sabittir.

Ortak payda =

Buradan

(iler arpm = dlar arpm)

Olarak alabildii bulunmu olur. Bunu denklem zmlerinde sk sk kullanacaz.

Buradan x zldnde,

olarak bulunur.

Bulunan x deeri, b tane malzeme satn alndnda denecek K.D.V. bedelidir. Bu malzemenin tanesinin orijinal fiyat p olduuna gre, b tane malzeme alndnda denecek toplam para T :

T = b tane malzemenin orijinal tutar + b tane malzemenin K.D.V. bedeli.

T =

olarak bulunur.

rnek :

Bir kondansatrn orjinal fitat 2. 36 T.L. dir ve satnda %12 K.D.V. alnmaktadr. Bu malzemeden 400 tane alnnrsa denmesi gereken K.D.V. ve denecek toplam fiyat bulunuz.

zm :

denecek toplam K.D.V.

>

T.L.

Ksa Yol :

rnek :

Eer 34 liradan 3 lira vergi kesiliyorsa, bu ilemden yzde ka vergi alnmaktadr?

zm:

Bu ilemin zm, basit orant denilen ve her duruma uygulanabilen bir dnce ile gerekletirilebilir. Bu dnce,"Eer 34 liradan 3 lira kesiliyorsa bu durumda, 100 liradan ayn oranda kesinti yaplr" eklindedir.

Buradan,

Bu ilemde, % 8.82 (yaklak) kesinti yaplmaktadr. Kesin deer, yzde

olarak belirlenmitir.

Ksa yol :

Kesinti yzdesinin ondalkl saysal deeri

olarak ksa yoldan hesaplanabilir. Ondalkl deer yz ile arplarak, kesinti yzdesi, % 8. 824 olarak saptanr.

rnek :

%18 faiz ile bir yllna 2000 TL. kredinin yl sonunda demesi ne olur ?

zm :

Yl sonuda denek tutar = Ana para + Faiz

Olacaktr.

T.L.

T.L.

T.L.

T.L.

T.L.

T.L.

%18 Faiz ile bir yllna alnan 2000 T.L. nin Yl sonunda demesi 2360 T.L. olacaktr. Bunun 2000 T.L. si ana para, 360 T.L. si faiz dir. Genel Forml,

katsay = 1 + yllk faiz

yeni deer = deer x katsay

eklindedir.

Ondalkl saylar, yaklak deerleri ile belirtilebilirler.

Eer yuvarlatlacak saynn ardndaki say 5 veya daha bykse, yukarya yuvarla. Buna "Yukarya Yuvarla Kural" ad verilir.

rnek :

0.434985679 saysnn en yakn yzdeye yuvarlatlmas:

0.43 + 0.004 , 0.435 dan daha kk olduundan 0.43 olarak yuvarlatlr.

Bunun giderilmesi iin, "Tek ve ift Saylar Kural" uygulanabilir. Bu kural, "Eer yuvarlatlacak ondalktan nce gelen say tek say ise, yukar yuvarlatlr, ift say ise olduu gibi braklr" olarak belirtilir.

rnek :

0.675356 saysnn ilk yzde ondala kadar yuvarlatlmas:

zm

Yuvarlatlm say ya 0.67 ya da 0.68 olacaktr. Binde hanesinde 5 bulunmakta ve onun da ardlndaki saylar 5 saysn 5 den daha fazla bytmektedirler. Yukar yuvarlatma gerekir. Yuvarlatlm say 0.68 olacaktr.

rnek :

0.45 saysn ilk ondala yuvarlatnz.

zm

Yuvarlatlm say ya 0.4 yada 0.5 olacaktr. Yuvarlatlacak saynn ardnda sadece 5 var. baka bir say yok. 5 in nnde 4 bulunmaktadr ve 4 bir ift say olduundan, yukar yuvarlatlmaz, sonu 0.4 olur.

Rasyonel saylarn paydalar paydan byk olduunda, bu saylar, gerek rasyonel saylar deildir. Bu saylar bir tamsay ve bir gerek rasyonel saynn toplam olan kark saylardr.

rnek :

Saysn ondalkl sayya eviriniz.

zm :

saysnda, pay 22 , payda 6 saysdr. Burada 22>6 olduundan bu rasyonel say grnmndeki oran, gerek bir rasyonel say deil bir kark saydr.

Kark saylar, ondalk saylara evrilemezler. Sadece bir tamsay ve bir rasyonel say toplamndan oluan kark saylara dntrlebilirler.

Blmeyi yapalm :

Kark say, 3 + 0.666666666666 olarak bulunur.

Burada ondalkl sayda 6 tekrar eden saydr. Bunun rasyonel sayya dntrlmesi,

eklinde olur.

Salama :

Sonu : 3

( tam iki bl ) olarak okunur. Tamsaylar skalasndaki yeri kesin ve 3 ile drt arasndaki araln e blnmesi ile oluan ksmm ikincisinin sonundaki noktadr.

Burada, 3

olarak aklanan kark say 3+

anlamndadr. Oysa matematikte

ifadesi 3 arp 2 bl olarak anlaslr. Bu yzden kark saylar matematikte kullanlmaz. Fakat kark saylar, gncel yaamda anlamlar ok kolay anlalr bir byklk belirtilmesidir.

rnek :

olarak beliritilen bir kark sayy rasyonel sayya dntrnz.

zm :

Sonu :

olarak beliritilen bir kark sayynn, rasyonel say edeeri,

olarak belirlenir

rnek :

olarak belirtilen bir kark sayy rasyonel sayya dntrnz.

zm :

salama :

(iki tam, bir bl be)

lemin arp m, yoksa toplama m olduu anlalamayaca iin, iki tam, bir bl be gibi kark saylar, matematikte kullanlmaz.

rrasyonel Saylar

rrasyonel saylar, grnts ondalk bir say gibi olan, fakat bir rasyonel say karl olmayan saylardr.

rrsayonel saylarn ondalk ksmlar, sonsuz uzunluktadr ve tekrarlanan bir sekans yoktur. Saylar geligzel olarak sonsuz uzunlukta dizilirler.

En ok tannan irrasyonel saylar, ,

, e saylardr.

rrasyonel saylar, ancak yaklak deerleri ile kullanlabilirler. Pi says genellike 3.1416 saysna yuvarlatlr.

says, 1.414 saysna, e says da 2.718 saysna yuvarlatlr.

rrasyonel saylar, ilk olarak, Pythagoras'n rencilerindeden Hippasus tarafndan bulunmutur. Bu say her iki kenar 1 birim olan bir dikdrtgenin hipotensnn uzunluundan bulunmutur. Bulann, bu bilgiyi ne srd iin yaamn kaybettii konusunda sylentiler bulunmakta, fakat bu konuda kesinlemi bir bilgi bulunmamaktadr.

Sanal (Imajiner) Say

Matematikte, negatif kare kklerin gerel dnyada karl bulunmamaktadr.

Bunun nedeni,

olarak dnlse, -a deerini oluturabilecek bir x saysnn mevcut olamayac belirgindir. nk

olarak kabul edilirse,

olmaldr. Oysa hibir gerel say kendisi ile arplnca negatif bir say veremez.

Bu nedenle, matematik ilemlerin yaplabilmesi iin,

olarak tanmlanm ve bu tek elemanl say kmesine, "Sanal Say Kmesi" ad verilmitir.

Sanal say kmesi sadece i saysndan oluan tek elemanl bir kmedir.

Kompleks Saylar

Kompleks saylar, a+ b i olarak tanmlanr. Burada a gerel ksm, i sanal ksm olarak isimlendirilir. Her kompleks saynn a - b i eklinde bir elenii (konjgesi) vardr. Baz kompleks saylar sadece 5 i gibi sadece kompleks ksmdan oluabilirler.

Kompleks saylar, cebir ve anatik geometri konularnda, gerel saylarla aklanamayan ifadelerin aklanmas iin oluturulmu dzenlemelerdir. Sanal bir dnyann dnsel elemandrlar. Bu yzden, kompleks saylarn gerekle ilgileri yoktur.

Kompleks saylarn ifadeleri, ayn normal ifader gibi dzenlenir. fadelerde i says sabit bir deer olarak kabul edilir. rnek olarak bir kompleks saynn elenii ile arpm,

Burada,

olduundan,

olarak bulunur.

Bu rnekten de grld gibi, sanal (imajiner) say i, cebirde aynen deeri

olan bir sabit gibi ilem grr.

Gerel (Reel) Saylar

Reel saylar, kullanlmakta olan tm saylar ierirler. Tamsaylar, rasyonel saylar, irrasyonel saylar, kompleks saylar, reel saylar kmesinin elemanlardr.

Reel saylar kmesi R ile belirtilir.

R = { x: eksi sonsuzdan art sonsuza kadar tm gerel saylar} eklinde tanmlanabilir.

Bu tanm,

R = {x: -