tema_06 - diseño de controladores

Tema 6: Diseño decontroladores

¿PID?

Automatización de Procesos Industriales M.G. Ortega

SISTEMACONTROLADOR-

+ Y(t)R(t)U(t)E(t)

P(t)

SENSOR

Introducción

Uso de la realimentación para generar la señal de control.

El controlador debe generar una señal de control de manera que el sistema

se comporte adecuadamente.


Índice

Control todo-nada.Acciones básicas de control.Métodos de ajuste de Ziegler-Nichols.Diseño analítico de controladores.


Control Todo-Nada

También conocido como ON-OFF.Ley de control:

Problemas: comportamiento muy oscilante y señal de control con vibraciones si se requiere precisión.

Existen versiones con histéresis que sólo atenúan estos problemas.

“NO RECOMENDABLE”

⎩⎨⎧

<>

=0)(

0)()(

min

max

tEsiU

tEsiUtU

U(t)

E(t)

Umax

Umin


Índice

Control todo-nada.Acciones básicas de control.Métodos de ajuste de Ziegler-Nichols.Diseño analítico de controladores.


Tipos de acciones de control

Hay tres tipos de acciones básicas de control (lineal):

(P) : Proporcional(I) : Integral

(D) : Derivativa

Todas ellas actuan sobre el error, e(t).


Control Proporcional (P)

Señal de control proporcional al error:

Características:A mayor ganancia, Kp , mayor actuación ante el mismo error: el sistema evoluciona más rápido, pero con mayor sobreoscilación.

No anula los errores en régimen permanente.

)()( teKtu P=PK

sesu

sC ==)()(

)(


Control Proporcional (P)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

tiempo (s)

y(t)

Kp=10

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

tiempo (s)

y(t)

Kp=4


Control Derivativo (D)

Señal de control proporcional a la derivadadel error:

No aplicar esta acción de control de forma aislada:

Si el error es constante, señal de control nula, por lo que no corrige el error.

Si la derivada del error es constante, se aplica la misma señal de control constante, por lo que el error crece indefinidamente.

dttde

Ktu D

)()( =


Control Proporcional + Derivativo (PD)

Señal de control proporcional al error y a su derivada:

TD: tiempo derivativo

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=+=

dttde

TteKdt

tdeKteKtu DPDP

)()(

)()()(

( )1)()(

)( +== sTKsesu

sC DP



Características:El tiempo derivativo da

idea del tiempo de

predicción del error en

la respuesta transitoria.

Problemas con ruidos: se suele implementar con un polo de alta frecuencia.

Disminuye la sobreoscilación por el efecto “anticipativo” de la acción derivativa.

TD

e(t)

prediccióndel error

·



0 0.5 1 1.5 2 2.50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

tiempo (s)

y(t)

y(t)

0 0.5 1 1.5 2 2.5-1

0

1

2

3

tiempo (s)

e(t)

y d

e(t)

/dt

e(t) de(t)/dt

r(t)



Comportamiento del PD respecto al P:

0 0.5 1 1.5 2 2.50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

tiempo (s)

y(t)

PD

P TD

=0.1 s


Control Integral (I)

Señal de control proporcional a la integraldel error:

Normalmente se aplica conjuntamente con una acción proporcional, formando un PI, para encontrar un compromiso entre el transitorio y el permanente de la respuesta temporal.

∫=t

I deKtu0

)()( ττ


Control Proporcional+Integral (PI)

Señal de control proporcional al error y a su integral:

TI: tiempo integral

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=+= ∫∫

t

IP

t

IP deT

teKdeKteKtu00

)(1

)()()()( ττττ

sTsT

Ksesu

sCI

IP

1)()(

)(+

==


Control Proporcional + Integral (PI)

Características:El tiempo integral da

idea del tiempo que tarda

la respuesta temporal en

alcanzar el permanente.

Mejora el régimen permanente, ya que el controlador aumenta el tipo del sistema en bucle abierto.

Efecto similar al proporcional en el transitorio.

3 ó 4 veces TI

t

y(t)



0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.5

1

1.5

tiempo (s)

y(t)

r(t)

y(t)

y(t)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-0.5

0

0.5

1

tiempo (s)

e(t)

y d

e(t)

/dt

e(t)

∫e(t)



Efecto del tiempo integral:

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

tiempo (s)

y(t)

TI=1 s

TI=3 s


Control Proporcional + Integral + Derivativo (PID)

Señal de control proporcional al error, a su integral y a su derivada:

=++= ∫ dttde

KdeKteKtu D

t

IP

)()()()(

0ττ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++= ∫ dt

tdeTde

TteK D

t

IP

)()(

1)(

0ττ

( )sT

sTsTTK

sesu

sCI

IDIP

1)()(

)(2 ++

==( )( )

sTsTsT

KI

DIP

11 ++≠



Características:Mezcla de los tres efectos.

Sintonización: ponderar adecuadamente los tres efectos (ajustar KP, TI y TD ) de manera que la respuesta sea satisfactoria.

Intuición de cómo modifica la respuesta temporal cada uno de los efectos por separado.

Muy utilizado en la industria.



TI

t

y(t)

TD

DI TT >

RESUMEN

≈↓≈ ↓TD ↑

↑↓↑Ti ↑

↓↑↓KP ↑erpSOts

Respuestatemporal típica


Resumen

Características de un PID:Mezcla de los tres efectos.

Sintonización: ponderar adecuadamente los tres efectos (ajustar KP, TI y TD ) de manera que la respuesta sea satisfactoria.

Intuición de cómo modifica la respuesta temporal cada uno de los efectos por separado.

Muy utilizado en la industria.


Índice

Control todo-nada.

Acciones básicas de control.

Métodos de ajuste de Ziegler-Nichols.

Diseño analítico de controladores.


Métodos de ajuste de Ziegler-Nichols

Proporcionan un orden de magnitud de los parámetros del PID a partir de experimentos con el sistema.

Suele ser necesario un ajuste fino de los parámetros.

No siempre es posible aplicar estos métodos.


Método de Z-N en bucle abierto

U0

Y

0τd τ

se

sK

sG dττ

−+

=1

)(

UY

K =

PID

PI

P

TDTiKP

dK ττ

dK ττ9.0

dK ττ2.1

3.0dτ

0

dτ2 dτ5.0

∞

0

TABLA DE Z-N EN B.A.

0.63YSISTEMA

DI TT 4=


Método de Z-N en bucle cerrado

0

KPcrit SISTEMA

-

+Pcrit

0

PID

PI

P

TDTiKP

critPK5.0

2.1critP

0∞

0

TABLA DE Z-N EN B.C.

critPK45.0

critPK6.0 critP5.0 critP125.0

DI TT 4=


Resumen

Los métodos de Ziegler-Nichols proporcionan un orden de magnitud de los parámetros de un PID a partir de resultados experimentales.

Ventaja: no es necesario conocer Transformada de Laplace, función de transferencia, …

Desventaja: En general, no son aplicables a cualquier sistema.

Suele ser necesario un ajuste fino de los parámetros del controlador.


Índice

Control todo-nadaAcciones básicas de control.Métodos de ajuste de Ziegler-Nichols.Diseño analítico de controladores.


Diseñar un controlador (normalmente con efecto integral), de manera que los ceros y polos en bucle cerrado cumplan especificaciones de transitorio.

Problema: si el modelo o el controlador son de orden alto, hay que diseñar muchas raíces en bucle cerrado simultáneamente.

Sencillo para modelos de bajo orden (los más utilizados), pero: ¿son fiables estos modelos?

Diseño analítico de controladores


La fiabilidad de un “modelo para control” depende de las especificaciones en bucle cerrado.

Regla práctica: un modelo es fiable si su respuesta temporal es similar (en porcentaje) a la del sistema real, en los tiempos en los que se pretende controlar el sistema.

Este concepto se justifica más claramente en el dominio frecuencial.

Fiabilidad de modelos


Fiabilidad de modelos

0 1 2 3 4 5 60

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

tiempo (s)

y(t)

tiempo (s)

real

modelo

0 1 2 3 4 5 60

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

tiempo (s)

Ince

rtid

umbr

e re

lativ

a

RESPUESTAS ANTE

ESCALÓN

INCERTIDUMBRE RELATIVA

)(

)()()(

ty

tytyt

modelo

modeloreal −=∆


Control de sistemas de primer orden

Modelo:

Control por cancelación de dinámica:

1)(

+=

sK

sGτ

Ks

sK

sC c 1)(

+= τ ⇐

sK

sG cBA =)(

NO VÁLIDO SI EL SISTEMA ES INESTABLE

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=

τ

τ

KK

K

T

CP

I

PI

EL CONTROLADOR CONTIENE LA INVERSA DEL SISTEMA

⇓



Seguimiento:

Regulación:

c

cBC Ks

KsG

+=)(

( )( )1)(

++=

sKsKs

sGc

PertBC τ

Sistema de primer orden:- Ganancia estática unitaria

- Constante de tiempo: 1/Kc (ts≈3/Kc)

Sistema de segundo orden:- Ganancia estática nula (cero en s=0)

- Dos polos:

- El mismo de GBC(s)

- El del sistema (en s=-1/τ)

El tiempo que tarda en rechazar la perturbación es como mínimo el tiempo que tarda en evolucionar el sistema.

CANCELACIÓN DE DINÁMICA



Ejemplo:1

10)(

+=

ssG

101

)(+= s

sK

sC c 5=cK

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

tiempo (s)

y(t)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

tiempo (s)

y(t)

SEGUIMIENTO REGULACIÓN




Modelo:

Control sin cancelación de dinámica:

1)(

+=

sK

sGτ

sTsT

KsCI

IP

1)(

+= ⇒ ( )( )ssT

sTKKsG

I

IPBA 1

1)(

++=

τ

τ≠ITPI : Se utiliza cuando se requiere una respuesta muy rápida en el rechazo a perturbaciones.



Seguimiento:SIN CANCELACIÓN DE DINÁMICA

( )( ) ( )11

1)(

++++=

sTKKssTsTKK

sGIPI

IPBC τ

Sistema de segundo orden y un cero.Ganancia estática unitaria.

Ajustar las constantes del PI para situar los polos en bucle cerradodeseados.

Posibilidad de oscilaciones por polos complejos conjugados.

Es frecuente diseñar para que bucle cerrado sea críticamente amortiguado.

La respuesta ante escalón sobreoscila por el efecto del cero del controlador: se puede evitar con un control de dos grados de libertad.



Regulación:SIN CANCELACIÓN DE DINÁMICA

( ) ( )11)(

+++=

sTKKssTsTK

sGIPI

IPPertBC τ

Sistema de segundo orden y un cero en s=0.Ganancia estática nula.

Los mismos polos en bucle cerrado que en seguimiento.

El rechazo a perturbaciones puede ser mucho más rápido.



Ejemplo: 110

)(+

=s

sG

sTsT

KsCI

IP

1)(

+=sT

K

I

P

2.0

9

==


SIN CANCELACIÓN DE DINÁMICA

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.2

0.4

0.6

0.8

1

tiempo (s)

y(t)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.1

tiempo (s)

y(t)

2 polos bc en s=-9.5


Control de sistemas de segundo orden

Modelo:

Control por cancelación de dinámica:

22

2

2)(

nn

n

ss

KsG

ωδωω

++=

2

22 2)(

n

nnc

K

sss

KsC

ωωδω ++= ⇐

sK

sG cBA =)(

NO VÁLIDO SI EL SISTEMA ES INESTABLE

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

==

KK

K

TT

C

nP

nD

nI

ωδ

δωωδ

22

1,

2

PID

EL CONTROLADOR CONTIENE LA INVERSA

DEL SISTEMA

⇓



Seguimiento:

Regulación:

c

cBC Ks

KsG

+=)(

( )( )22

2

2)(

nnc

nPertBC ssKs

sKsG

ωδωω

+++=

Sistema de primer orden:- Ganancia estática unitaria

- Constante de tiempo: 1/Kc (ts≈3/Kc)

Sistema de tercer orden:- Ganancia estática nula (cero en s=0)

- Tres polos:


- Los dos del sistema (oscilatorio si δ<1)




Ejemplo: 12.010

)( 2 ++=

sssG

1012.0

)(2 ++= ss

sK

sC c 5=cK




0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.2

0.4

0.6

0.8

1

tiempo (s)

y(t)

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

tiempo (s)

y(t)



Modelo:

Control sin cancelación de dinámica:

( )( )s

cscsKsC C

21)(++= ⇒

sss

cscsKKsG

nn

nCBA )2(

))(()( 22

212

ωδωω

++++=

PID:Se utiliza cuando se requiere una respuesta muy rápida en el rechazo a perturbaciones.

22

2

2)(

nn

n

ss

KsG

ωδωω

++=

( )⎪⎩

⎪⎨⎧

+=+

=+=

21

2121

21 1,

ccKKcc

Tcccc

T

CP

DI



Seguimiento:SIN CANCELACIÓN DE DINÁMICA

ssscscsKK

cscsKKsG

nnnC

nCBC

)2())((

))(()( 22

212

212

ωδωωω

+++++++=

Sistema de tercer orden y dos ceros.Ganancia estática unitaria.

Ajustar las constantes del PID para situar los polos en bucle cerradodeseados (NO ES TRIVIAL).

Posibilidad de oscilaciones por polos complejos conjugados.

Es frecuente diseñar para que bucle cerrado sea críticamente amortiguado, más un polo de baja frecuencia.

La respuesta ante escalón sobreoscila por el efecto de los ceros del controlador: se puede evitar con un control de dos grados de libertad.



Regulación:SIN CANCELACIÓN DE DINÁMICA

ssscscsKK

sKsG

nnnC

nPertBC )2())((

)( 2221

2

2

ωδωωω

+++++=

Sistema de tercer orden y un cero en s=0.Ganancia estática nula.

Los mismos polos en bucle cerrado que en seguimiento.

El rechazo a perturbaciones puede ser mucho más rápido, y se pueden evitar oscilaciones si tolos lospolos en bucle cerrado son reales.



Ejemplo:

1

7.0

==

c

KC


SIN CANCELACIÓN DE DINÁMICA

2 polos bc en s=-3.3 y otro en s=-0.65

12.010

)( 2 ++=

sssG

scs

KsC C

2)()(

+=

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

tiempo (s)

y(t)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

0.045

tiempo (s)

y(t)


Control de sistemas de tipo 1

Modelo:

Si perturbaciones no son importantes:

( )ss

KsG

1)(

+=

τ

( )1)( += sTKsC DP

sK

sG cBA =)(

NO VÁLIDO SI EL POLO ES INESTABLE

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=

K

KK

T

CP

D τPD

EL CONTROLADOR CONTIENE PARTE DE LA INVERSA DEL SISTEMA

⇓

EL SISTEMA TIENE UN INTEGRADOR




Ejemplo: ( )sssG

1

10)(

+=

( )110

)( += sK

sC c 5=cK

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

tiempo (s)

y(t)



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

tiempo (s)

y(t)



Modelo:

Si perturbaciones son importantes:

( )ss

KsG

1)(

+=

τ

( )22 1

)(s

sKsG C

BA

+=

τ

NO VÁLIDO SI EL POLO ES INESTABLE

PID

EL CONTROLADOR CONTIENE PARTE DE LA INVERSA DEL SISTEMA

EL SISTEMA TIENE UN INTEGRADOR


( )( )s

ss

K

KsC C 11)( 21 ++

=ττ

( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+=

+=+=

21

21

2121 ,

ττ

ττττττ

K

KK

TT

CP

DI

ττ =1



Seguimiento:

Regulación:

( )( )1

1)(

22

2

+++

=sKs

sKsG

C

CBC τ

τ

( )( )1)1()(

22 +++

=ssKs

KssG

C

PertBC ττ

Sistema de segundo orden y un cero- Ganancia estática unitaria

- Ajustar KC y τ2 para diseñar polos en b.c.

- El cero requiere control con 2 gdl

Sistema de segundo orden:- Ganancia estática nula (cero en s=0)

- Dos polos:


- El del sistema (en s=-1/τ)




Resumen

El diseño analítico se basa en un modelo del sistema: las especificaciones en b.c. dependerán de la fiabilidad del modelo.

Se han diseñado controladores para los tres tipos de modelos de bajo orden más comunes: primer orden, segundo orden sub/sobre-amortiguado y sistemas de segundo orden con integrador.

El control con cancelación de dinámica da buenos resultados para seguimiento, pero el rechazo a perturbaciones depende de la dinámica lenta del sistema.

El control sin cancelación de dinámica permite diseñar adecuadamente el rechazo a perturbaciones, pero suele requerir un controlador de 2 grados de libertad para el problema de seguimiento (no visto en clase).

tema_06 - diseño de controladores

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