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Sintonización de Controladores PID.- 89

TEMA 8. SINTONIZACION DE CONTROLADORES PID. DISEÑO DE

COMPENSADORES.

En los capítulos anteriores se ha visto como los controladores PID son apropiados para ser usados

en lazos de realimentación. Ahora bien, con objeto de conseguir una alta eficacia de control, se hará

necesario el sintonizar sus tres parámetros KC, τI y τD de forma adecuada.

Previamente se han dado una serie de consideraciones para sintonizar controladores PID basados

en valores de los márgenes de fase y ganancia. Sin embargo, también existen métodos para sintonizar

controladores basados en el comportamiento en el dominio del tiempo. En este capítulo se verán con más

detalle varios métodos de sintonización tanto en el dominio del tiempo como en el dominio de la

frecuencia.

Por otro lado, la sintonización en el dominio del tiempo requiere en algunos casos el uso de

compensadores de adelanto, atraso o atraso-adelanto los cuales pueden ser diseñados mediante la técnica

del lugar de las raíces o a través de los diagramas de respuesta en frecuencia.

8.1. Sintonización de controladores de realimentación.

El diseño de un controlador presenta dos cuestiones básicas:

-El tipo de controlador (P, PI, PID) apropiado.

-La sintonización del controlador.

La respuesta deseada en lazo cerrado se suele especificar con referencia a un criterio de calidad de

respuesta. A este planteamineto básico del problema de sintonización hay que incorporar cuatro factores a

tener en cuenta:

*Los algoritmos PID en los distintos controladores comerciales no son exactamente iguales. Así,

hay controladores digitales y analógicos y que la acción derivativa puede actuar sobre el error o sobre la

variable del proceso a controlar.

*El modelo dinámico del proceso representa solo una aproximación a su comportamiento real que

además, debido a la no linealidad del proceso real, puede variar de unas condiciones de operación a otras.

*La variable del proceso manipulada no debe experimentar cambios excesivamente bruscos que

afecten negativamente al equipo.

*La calidad de respuesta deseada puede referirse a cambios en el punto de consigna o a cambios

en las perturbaciones.


8.2. Criterios de calidad de respuesta.

Generalmente el criterio de calidad de respuesta se refiere a cambios en escalón. Por otro lado, un

mismo criterio de calidad determinará diferentes parámetros de ajuste del controlador dependiendo si el

escalón se da en el punto de consigna o en una variable de perturbación, sin embargo, la diferencia no

será demasidao apreciable puesto que el comportamiento en lazo cerrado depende fuertemente del

comportamiento en lazo abierto GCGP en la que no está involucrada GD. Solo en casos en los que los

cambios en perturbación sean más frecuentes que los cambios en el punto de consigna se justifica un

criterio de calidad basado en la perturbación. Los criterios de calidad de respuesta se dividen en:

-Criterios de estabilidad (margen de fase o ganancia).

-Criterios basados en la respuesta en estado estacionario (offset permitido).

-Criterios basados en la respuesta dinámica del sistema. Se distinguen en este apartado:

-Criterios basados en características puntuales de respuesta.

-Criterios basados en toda la respuesta.

De los criterios mencionados anteriormente, los dos primeros son fácilmente impuestos. La única

especificación razonable es que el sistema sea estable y que el error en régimen permanente sea mínimo.

En el tercer caso la especificación es subjetiva y depende del tipo de sistema, factores ingenieriles, etc.

8.2.1. Criterios basados en una característica puntual de respuesta.

.

Pueden citarse por ejemplo:

-Mínimo tiempo de levantamiento.

-Mínimo tiempo de asentamiento.

-Máximo sobrepaso permitido.

-Relación de amortiguamiento ¼.

Características puntuales en criterios de calidad de respuesta


Dentro de esta categoría uno de los criterios más utilizados es el denominado de relación de

amortiguamiento ¼. En este caso la respuesta óptima del proceso es una respuesta subamortiguada en la

que la segunda sobreoscilación S2 es un cuarto de la primera S1. Este criterio es un compromiso entre la

velocidad de respuesta (tiempo para alcanzar el valor deseado de respuesta) y el tiempo de asentamiento

(tiempo para que la respuesta presente oscilaciones inferiores a 5% del valor deseado).

Este criterio no suele ser aceptable para cambios en escalón del punto de consigna ya que produce

una sobreoscilación demasiado elevada (S1 ≈ 0.5Δyr), aunque sí es aceptable para cambios en la

perturbación. El conjunto de parámetros de ajuste no es único excepto en el caso del controlador

proporcional.

8.2.2. Criterios basados en toda la respuesta.

a-La integral del error.

Cambios en consigna y en perturbación

Respuesta según criterio.

Los criterios basados en la integración del error más utilizados son:

ym(t)

t

ym(t)

t

ym(t)

t

ITAEIAE

ISE


1. Integral del cuadrado del error: ISE = 2

0

( )e t dt∞

∫

2. Integral del valor absoluto del error: IAE = 0

( )e t dt∞

∫

3. Integral del valor absoluto del error por el tiempo: ITAE = 0

( )t e t dt∞

∫

La sintonización óptima es la que minimiza el criterio seleccionado (ISE, IAE, ITAE). Un

controlador P no puede sintonizarse con estos criterios ya que no elimina el error en régimen permanente

y por tanto las tres integrales darían un valor infinito.

De forma general, se considerarán lo siguientes aspectos:

*Para eliminar grandes errores ISE es mejor que IAE ya que los errores están elevados al cuadrado

contribuyendo de forma más importante al valor de la integral.

*Para suprimir pequeños errores IAE es mejor que ISE ya que al elevar al cuadrado pequeños

números (<1) estos se hacen incluso menores.

*Para suprimir errores que persisten en el tiempo el criterio ITAE es el óptimo ya que la presencia

del tiempo dentro de la integral amplifica el error aunque este sea pequeño.

b- Predeterminación de respuesta dinámica.

Mediante este criterio se especifica de antemano la forma de respuesta dinámica y se sintoniza el

controlador para que el lazo cerrado responda de la forma predeterminada, (se suelen especificar los polos

dominantes en lazo cerrado)

De todas formas, se obtendrán diseños de controlador diferentes en función de tres aspectos:

-Criterio elegido (ISE, IAE, ITAE).

-Tipo de respuesta en lazo cerrado.

-Tipo de entrada.

8.3. Métodos de sintonización de controladores PID.

El proceso de sintonización de controladores se puede llevar a cabo bien de manera rigurosa con

modelos detallados de proceso o bien con la utilización de modelos aproximados de proceso sin necesidad

de tener en cuenta de forma estricta los pormenores del sistema. Existen métodos de sintonización de

controladores sin modelo, entre los que destacan el modelo de sintonización en lazo cerrado de Ziegler

Nichols que se puede implementar de forma totalmente experimental. En nuestro caso, sin embargo, se


incluye dentro de los métodos que requieren un modelo riguroso puesto que también es posible utilizarlo

sin necesidad de experimentación. (Ogunnaike 555).

A continuación se verán algunos métodos de sintonización de controladores que utilizan bien

modelos aproximados del proceso a sistemas de primer orden con tiempo muerto, bien otro tipo de

modelos más ajustados a la realidad en el dominio de Laplace o de la frecuencia.

8.3.1. Métodos basados en modelos aproximados.

i-Método de ajuste de Cohen Coon. (Process reaction curve method).

Controlador Parámetros Cohen-Coon

P Kc ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

τθ

+θτ

31

K1

PI Kc ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

τθ

+θτ

129.0

K1

τI ( )[ ]( )τθ+

τθ+θ209

330

PID Kc ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

τ+τ

θτ

123016

K1

τI ( )[ ]

( )τθ+τθ+θ

813632

τD ( )τθ+θ

2114

Se basa en ajustar la curva de respuesta del proceso (elemento final, proceso en sí y elemento

sensor medidor) a un sistema de primer orden con tiempo muerto. Cohen Coon basándose en diferentes

criterios de optimización (1/4 decay ratio, mínimo offset, ISE) propuso las anteriores relaciones.

ii-Método de ajuste de Ziegler-Nichols de lazo abierto.

Controlador Kc τI τD

P 1 τK θ

-- --

PI 0.9 τK θ

θ33.3 --

PID 1.2 τK θ

θ2 θ5.0


Similar al anterior, y basándose en el decay ratio ¼, Ziegler y Nichols propusieron las anteriores

reglas de sintonización. Smith y Corripio recomiendan utilizar este método sólo cuando el cociente

tiempo muerto/constante de tiempo se sitúe en el rango 0.1-1.0.

iii-Método de Smith.

Smith y colaboradores han desarrollado varias correlaciones para la sintonización de controladores

PID basándose en la minimización de la integral del error. Al igual que en el caso anterior se recomienda

usarlas sólo cuando el cociente tiempo muerto/constante de tiempo se sitúe en el rango 0.1-1.0.

Las correlaciones se dan en las siguientes tablas para cambios en consigna o perturbación:

Cambios en el punto de consigna:

Integral del error

IAE IAET

a1 = 0.758 0.586

b1 = -0.861 -0.916

a2 = 1.02 1.03

1

1b

mc

tKaK ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

τ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

=

τ

ττm

I tba 22

b2 = -0.323 -0.165

a1 = 1.086 0.965

b1 = -0.869 -0.855

a2 = 0.740 0.796

b2 = -0.130 -0.147

a3= 0.348 0.308

1

1b

mc

tKaK ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

τ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

=

τ

ττm

I tba 22

3

3

bm

Dta ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

τττ

b3= 0.914 0.9292


Cambios en perturbación

Integral del error

ICE IAE IAET

a = 1.411 0.902 0.490 bm

ct

Ka

K ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

τ

b = -0.917 -0.985 -1.084

a1 = 1.305 0.984 0.859

b1 = -0.959 -0.986 -0.977

a2 = 0.492 0.608 0.674

1

1b

mc

tKaK ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

τ

2

2

bm

It

a⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

τττ

b2 = 0.739 0.707 0.680

a1 = 1.495 1.435 1.357

b1 = -0.945 -0.921 -0.947

a2 = 1.101 0.878 0.842

b2 = 0.771 0.749 0.738

a3= 0.560 0.482 0.381

1

1b

mc

tKaK ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

τ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

=

τ

ττm

I tba 22

3

3

bm

Dta ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

τττ

b3= 1.006 1.137 0.995

iv- Método de Ciancone

Ciancone, por su parte, obtuvo correlaciones diferentes para cambios en el punto de consigna y en

la perturbación. Asumiendo GP = GD las premisas en las que se basó fueron las siguientes:

-Errores de +25% en los parámetros del modelo

-Modelo simple de primer orden con tiempo muerto.

-Minimización del índice IAE en la respuesta a un escalón.

-Restricciones en la variación de la variable manipulada.

-Controlador PID no interactivo con la acción derivativa sobre la variable de proceso a controlar.

( )1( ) ( ) ( ) ( ) mC D

l

dy tm t m t K e t e t dtdt

ττ

⎛ ⎞= + + +⎜ ⎟

⎝ ⎠∫

Para tener en cuenta la aproximación al comportamiento real, los parámetros de sintonización del

controlador son los que minimizan la suma de los tres IAE obtenidos con tres conjuntos de parámetros:

los nominales, y los incrementados y disminuidos un 25%. Las correlaciones de Ciancone para un PID se

muestran en las figuras. Estas correlaciones deben utilizarse en el rango 0.1<tm/(tm+τp)<1.0


v-Método de sintonización de síntesis directa.

Es posible desarrollar reglas de sintonización de controladores PID basados en una trayectoria

preconcebida de la respuesta en lazo cerrado. (Ogunnaike capítulo 19, ejemplo en pag. 526). En este caso

la sintonización del controlador viene determinada porque la salida será un sistema de primer orden con

tiempo muerto, siendo τr la constante de tiempo de la salida y el tiempo muerto igual al del modelo de

proceso. Las reglas de sintonización son:

Sintonización por síntesis directa.

Kc τI τD

PI ( )r mK t

ττ +

τ

PID ( )

22

m

r m

tK t

ττ+

+

2mtτ +

2m

m

tt

ττ +

Este método es un caso particular del método de sintonización directa basado en modelos

rigurosos.

vi- Sintonización mediante el método del modelo interno de control.

El fundamento es similar al método de sintonización de síntesis directa. En este caso es necesario

un parámetro de filtro lambda que considera la constante de tiempo en lazo cerrado del sistema. Las

reglas de sintonización son:

0 0.2 0.4 0.6 0.80

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

τm/(tm+τp)

KCK

P &

τI/(

t m+τ

p)

KCKP

τI/(tm+τp)

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

τD /(tm +τp )

τD/(tm+τp)

Cambios Consigna

0 0.2 0.4 0.6 0.80

0.5

1

1.5

2

τm/(tm+τp)

KCK

P &

τI/(

t m+τ

p)

KCKP

τI/(tm+τp)

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

τD /(tm + τp )

τD/(tm+τp)

Cambios Perturbación


Valor recomendado de λ (Siempre > 0.2τ)

Kc τI τD

PI 1.7mtλ

> Kτλ

τ

PI

mejorado 1.7

mtλ

> 22

mtK

τλ+

2mtτ +

PID 0.25mtλ

> ( )

22

m

m

tK t

τλ+

+

2mtτ + 2

m

m

tt

ττ +

Cuestión. Considerar un proceso de tres tanques en serie con función de transferencia del elemento final de control y elemento

sensor transmisor unidad. Diseñar controladores PI y PID según los diferentes métodos vistos. Resp.

Las ecuaciones diferenciales en el dominio del tiempo que representan el sistema son las ya anteriormente vistas:

11 0 1 1

22 1 1 2 2

33 2 2 3 3

dhA F c hdtdhA c h c hdt

dhA c h c hdt

= −

= −

= −

. En el dominio de Laplace: 1 1 0 1 1

2 2 1 1 2 2

3 3 2 2 3 3

sA h F c hsA h c h c hsA h c h c h

= −

= −= −

y operando:

( )

( )

( )

11 0

1 1

1 22 1

2 2

2 33 2

3 3

1/ ch FA / c s 1

c / ch hA / c s 1

c / ch hA / c s 1

=+

=+

=+

Con lo cual:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 3 1 2 13 0 0

3 3 2 2 1 1 3 2 1

c / c c / c 1/ c Kh F FA / c s 1 A / c s 1 A / c s 1 s 1 s 1 s 1

= =+ + + τ + τ + τ +

Donde K = 6; τ1 = 2; τ2 = 4; τ3 = 6. De forma experimental se obtiene la siguiente respuesta ante escalón unitario de Fo.


0 10 20 30 40 500

1

2

3

4

5

6

El ajuste a un sistema de primer orden con tiempo muerto da lugar a: ( )3 0

6 exp( 3s)h F15s 1

−=

+ es decir, la función de

transferencia es: G(s) = ( )

6 exp( 3s)15s 1

−+

. Si se hace de forma más cuidadosa se obtiene t63=13 y t28=7 con lo cual resulta en:

G(s) = ( )

6 exp( 4s)9s 1

−+

. Aplicando las reglas de sintonización finalmente:


8.3.2. Métodos basados en modelos detallados.

i-Métodos basados en una característica puntual de respuesta (1/4 decay).

Supóngase un sistema de primer orden controlado por un regulador PI, al cerrar el lazo la función

de transferencia que relaciona setpoint con salida viene determinada por:

2 2

1( )2 1

Isp

sy s ys s

ττ ξτ

+=

+ +, donde ; 0.5 (1 )I P I

P CP C P P C

K KK K K Kτ τ ττ ξ

τ= = +

En temas anteriores se comprobó como los máximos y mínimos de un sistema oscilante venían

impuestos por: 2

exp1nπξ

ξ

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

, el primer sobrepaso se dará por tanto en 2

exp1πξ

ξ

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

mientras que el

segundo lo hará en 2

3exp1

πξξ

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

, si la relación entre ambos es de ¼ se tiene: 2

2 1exp41

πξξ

⎛ ⎞−⎜ ⎟ =⎜ ⎟−⎝ ⎠

y

sustituyendo valores2

12 (1 )2 1exp

411 (1 )4

IP C

P P C

IP C

P P C

K KK K

K KK K

τπτ

ττ

⎛ ⎞− +⎜ ⎟

⎜ ⎟ =⎜ ⎟− +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

que tras la correspondiente manipulación

matemática resulta en: 2

12 (1 ) ln4 (1 ) 4

IP C

P P C I P C

K KK K K K

τπτ τ

− + =− +

, con esta ecuación se tienen dos

variables que son Kc y τI, por lo tanto existirán infinitas combinaciones que cumplan el requisito ¼.

En la figura se muestran las respuestas para pares de valores (1, 0.153), (10, 0.464), (30, 0.348). El

optar por una pareja de valores u otra depende de las características del proceso y especificaciones

concretas en el domino del tiempo (máximo sobrepaso, tiempo de asentamiento, etc.)

Respuesta de un sistema de primer orden con control PI con criterio de sintonización ¼.


ii-Métodos basados en la minimización de la integral del error.

Ya definido anteriormente, se basa en elegir una función de error y minimizarla.

Considérese el sistema mostrado en la figura, la función de transferencia para cambios en el set-

point y perturbaciones es: 2 2 2 2

201( )2 1 2 1

I

CIsp

sKsy s y d

s s s s

ττ

τ ξτ τ ξτ+

= ++ + + +

donde 1; (1 20 )20 2 20

I IC

C C

KK K

τ ττ ξ= = +

Los valores de ganancia y tiempo integral se computan eligiendo en primera instancia la expresión

de error (ISE, IAE, ITAE) y sobre que entrada se consideran los cambios (consigna o perturbación).

Supóngase un escalón unitario en la consigna: 2 2

1 1( )2 1

I sy ss s s

ττ ξτ

+=

+ +, hallando la

antitransformada de Laplace para sistemas subamortiguados:

22 2 1

2

1( ) 1 1 1 tan1

t

Ie t ty t sen senξ

τ ξτ ξ ξτ τ τ ξξ

−

−⎡ ⎤⎛ ⎞−⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟= + − − − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥− ⎝ ⎠⎣ ⎦

El problema se resume en minimizar: ISE = 2

0

( )spy y t dt∞

⎡ ⎤−⎣ ⎦∫

El proceso puede implementarse por ordenador con el consiguiente ahorro en esfuerzo

matemático. El optimizador de Excel Solver puede realizar la tarea.

20/(1+s)

- +

1/(1+s)

PI


iii- Sintonización por síntesis directa.

Considérese el sistema dado por la función de transferencia en lazo cerrado: ( ) ( )1

Cd

C

G Gy s y sG G

=+

,

supóngase ahora que se pre-especifica una respuesta en el dominio del tiempo dada por: y(s) = q(s)yd(s)

Donde q(s) es la trayectoria de referencia que deberá tener en cuenta si en el proceso existen de

antemano tiempos muertos o respuesta inversa (la trayectoria deseada no puede eliminar la existencia de

tiempos muertos o ceros en el semiplano derecho).

Una vez elegida q(s) la función de transferencia del controlador se puede obtener fácilmente

mediante: ( )1

C

C

G Gq sG G

=+

y despejando: 11C

qGG q

⎛ ⎞= ⎜ ⎟−⎝ ⎠

La trayectoria q(s) debe contemplar los siguientes puntos a la hora de ser elegida:

-Mínimo o nulo offset

-Respuesta rápida y estable con el mínimo sobrepaso.

-Posibilidad del proceso de seguir a q(s).

-Forma matemática lo más simple posible.

Las trayectorias más utilizadas corresponden a sistemas de primer orden con y sin tiempo muerto

y segundo orden con y sin ceros a la derecha del semiplano imaginario.

A continuación se aborda el caso más sencillo en el que q(s) sea una trayectoria de primer orden.

* q(s) = 11r sτ +

. La función de transferencia del controlador es: 1 1C

r

Gs Gτ

= , se aplicará esta

expresión a varios sistemas diferentes (distinta G):

-Ganancia pura G = K, 1 1C

r

Gs Kτ

= . Un controlador integral puro dará la respuesta

deseada con tiempo integral 1 1

I r Kτ τ= .

-Capacitor puro G = K/s, 1 1C

r

GKτ

= . Un controlador proporcional consigue el

efecto deseado.

-Proceso de primer orden G =1

Ksτ +

, 1 11Cr r

sGK s K sτ τ

τ τ τ+ ⎛ ⎞= = +⎜ ⎟

⎝ ⎠ que es un

controlador PI.


Ejemplo: dado G = 0.666.7 1s +

, sintonizar un controlador PI que de cómo resultado una respuesta de

primer orden sin offset y constante de tiempo 5. (comparar los resultados con los obtenidos si τr = 1).

Mediante las expresiones obtenidas anteriormente: 12.03 16.7CG

s⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

(Ver en Control IP)

Si τr = 1 entonces, 110.15 16.7CG

s⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

(Solo aumenta la ganancia, el tiempo integral permanece

invariable).

-Proceso de segundo orden G = 2 2

12 1s sτ ξτ+ +

; GC = 2 2 2 1

r

s sK s

τ ξττ

+ + , es decir un

controlador PID: GC = 2 112 2r

sK sξτ ττ ξτ ξ

⎛ ⎞+ +⎜ ⎟

⎝ ⎠.

Ejemplo: dado G = 1(2 1)(5 1)s s+ +

, sintonizar un controlador PID que de cómo resultado una

respuesta de primer orden sin offset y constante de tiempo 5. (comparar los resultados con los obtenidos

si τr = 1).

Mediante las expresiones obtenidas anteriormente: 11.4 1 1.437CG s

s⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎝ ⎠

(Ver en Control IP)

Si τr = 1 entonces, 17 1 1.437CG s

s⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎝ ⎠

(Solo aumenta la ganancia, los tiempos integral y

derivativo permanecen invariables).

En el caso de requerir una trayectoria de segundo orden:

* q(s) = 2 2

12 1r r rs sτ ξ τ+ +

.

-Si se tiene un proceso de orden dos G = 2 21 22 1 ( 1)( 1)

K Ks s s sτ ξτ τ τ

=+ + + +

el controlador debe ser: GC = 1 2 1 2( 1)( 1) ( 1)( 1)( 2 ) ( 1)r r r

s s s sK s s s sτ τ τ ττ τ ξ β φ

+ + + +=

+ +, haciendo τ2 = φ

GC = 1 1

1

( 1) 1(1 )ss s

τ τβ β τ

+= = + .

-Si se tiene un proceso de orden tres: G = 1 2 3( 1)( 1)( 1)

Ks s sτ τ τ+ + +

el controlador debe ser: GC = 1 2 3 1 2 3( 1)( 1)( 1) ( 1)( 1)( 1)( 2 ) ( 1)r r r

s s s s s sK s s s s

τ τ τ τ τ ττ τ ξ β φ

+ + + + + +=

+ +, haciendo τ3 = φ


1 2 1 2 1 2

1 2 1 2

( 1)( 1) ( ) 11( )C

s sG ss s

τ τ τ τ τ τβ β τ τ τ τ

⎡ ⎤+ + += = + +⎢ ⎥+ +⎣ ⎦

que es un controlador PID.

Ejemplo (examen junio 2004): Se pretende diseñar un regulador PID para controlar un sistema de

tercer orden tal como el descrito por la función de transferencia: ( ) ( ) ( )

62 1 4 1 6 1

G(s)s s s

=+ + +

ante cambios

en la referencia. Las funciones de transferencia del elemento final de control y sensor transmisor son la

unidad. Para ello se pretende utilizar el método de sintonización de síntesis directa. Se desea que la

respuesta en lazo cerrado del sistema siga una trayectoria correspondiente a un sistema de segundo orden

subamortiguado: 2 21

2 1r r rq(s)

s s=

τ + τ ξ +.

-Obtener y justificar los valores de τr y ξr que faciliten el diseño.

-Obtener y justificar los valores de los parámetros de sintonización del controlador PID.

-Calcular el tiempo pico.

-Calcular el sobrepaso máximo de la respuesta.

-Determinar el error en régimen permanente.

Cuando en G existen tiempos muertos o respuesta inversa, q(s) debe contemplar dichos eventos.

Véase el ejemplo de un sistema de primer orden con tiempo muerto, en este caso, la mejor opción es

considerar q con una trayectoria similar:

* q(s) = 1

r s

r

es

α

τ

−

+

-G = 1

sKes

α

τ

−

+, el controlador será: GC =

( )11

r

r

s

sr

s eK s e

α α

α

ττ

− −

−

⎡ ⎤+⎢ ⎥+ −⎣ ⎦

, para el caso más

sencillo de αr = α, GC = 1 11 r s

r

sK s e α

ττ −

⎡ ⎤+⎢ ⎥+ −⎣ ⎦

, tomando la expansión en series de Taylor de primer orden

para el término exponencial, exp(-αrs) = 1 - αrs, y sustituyendo: GC = 11( )rK s

ττ α τ

⎡ ⎤+⎢ ⎥+ ⎣ ⎦.

Sin embargo si se adopta la aproximación de primer orden de Padé para el término exponencial:

1 0.51 0.5

r s r

r

ses

α αα

− −=

+ se obtiene: : GC = 1 1 0.51

( ) 1 *r

sK s s

τ ατ α τ τ

+⎡ ⎤ ⎡ ⎤+⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ donde *

2( )r

r

αττα τ

=+

que

puede ser ordenado de manera: GC = 0.5 1 0.5 11( ) ( 0.5 ) 0.5 1 *r

sK s sτ α τ

τ α τ α τ α τ⎡ ⎤+ ⎡ ⎤+ +⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ + + +⎣ ⎦⎣ ⎦

que corresponde a

un controlador PID en serie con un filtro de primer orden.


Ejemplo: G(s) = 2.60.66

6.7 1

ses

−

+, se requiere una trayectoria con el mismo tiempo muerto y constante

de tiempo de 5.

PI: GC = 11.34 16.7s

⎡ ⎤+⎢ ⎥⎣ ⎦.

PID: GC = 1 11.59 1 1.098 1 0.86

ss s

⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ +⎢ ⎥ ⎢ ⎥+⎣ ⎦ ⎣ ⎦

iv- Sintonización por control de modelo interno.

Similar al anterior método trata de llegar al control perfecto teniendo en cuenta tanto cambios en

el set-point como en las variables de perturbación. Supóngase el diagrama de bloques mostrado donde “d”

representa el colectivo de todas las perturbaciones no medidas.

d

ysp Gc Gp yu

Un control perfecto sería aquel que diese como salida el setpoint: y(s)=ysp(s)=Gp(s) u(s)+d. Por

tanto, la salida del controlador debe ser: u(s) = 1/Gp(s)[ysp(s)-d)]. Esto implica que tanto el modelo del

proceso como las perturbaciones son conocidos, lo cual es incierto. Por un lado “d” no es medido y en la

mayoría de casos se dispone de un modelo más o menos detallado pero que no es perfecto. Sea este

modelo g*, entonces la mejor predicción de las perturbaciones es: $d y g*(s)u(s)= − . Cambiando la

notación: 1c(s)g*(s)

= . Por tanto: $spu(s) c(s) y (s) d(s)⎡ ⎤= −⎣ ⎦ .

El diagrama de control que habría que implementar sería (según las ecuaciones anteriores):

c(s) g(s)

g*

yd u

d

y

$d

+ + +

+

-

-


La reducción del anterior diagrama de bloques conduce a:

El controlador que hay que implementar tiene como función de transferencia GC = ( )1 ( ) *( )

c sc s g s−

Las funciones de transferencia de la salida con la consigna y la perturbación serán:

[ ] [ ]( ) ( ) 1 *( ) ( )

1 ( ) ( ) *( ) 1 ( ) ( ) *( )spg s c s g s c sy y d

c s g s g s c s g s g s−

= ++ − + −

por tanto si el modelo es perfecto ( ) *( )g s g s= , el control resulta también perfecto y = yd.

No obstante lo anterior, al diseñar un controlador mediante IMC se deben tener en cuenta las

siguientes puntualizaciones:

-Normalmente ( ) *( )g s g s≠

-El hecho de que c(s) sea la inversa de *( )g s implica la aparición de dificultades como

exponenciales positivas o polos en el semiplano derecho.

-Incluso aunque *( )g s fuera invertible, los controladores obtenidos son físicamente difíciles de

conseguir.

Debido a todo lo anterior, el procedimiento IMC se modifica de la siguiente forma:

-El modelo de proceso se separa en dos partes: *( ) *( ) *( )g s g s g s+ −= donde *( )g s + contiene los

factores que no se pueden invertir (tiempos muertos, ceros en el semiplano derecho) y posee una ganancia

unidad, *( )g s − lo constituyen el resto de factores.

-El controlador se diseña según función de transferencia: 1( ) ( )*( )

c s f sg s −

= donde f(s) es un

filtro de función de transferencia: ( )n

1f (s)s 1

=λ +

. Lambda y n se eligen de tal manera que la función de

transferencia del controlador cumpla que el orden del denominador sea mayor que el orden del

numerador.

Ejemplo: Diseñar un controlador mediante IMC para el proceso *( )g s = 58 1s +

,

El modelo de proceso es convertible, por tanto 1/ *( )g s = (8s+1)/5 que requiere solamente un

filtro de primer orden para conseguir el mismo orden en s para numerador y denominador.

-+ g(s)

( )1 ( ) *( )

c sc s g s−

d

ysp


c(s) = 1 8 15 1

ssλ

+⎛ ⎞⎜ ⎟+⎝ ⎠

, el lazo realimentado puede implementarse de forma convencional si se tiene en

cuenta que GC = ( )1 ( ) *( )

c sc s g s−

= 8 115 8sλ

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

Ejemplo: Diseñar un controlador mediante IMC para el proceso *( )g s = 35

8 1

ses

−

+,

Se tiene una parte no invertible: 3se− y el resto invertible. El controlador obtenido es similar al

caso anterior con un filtro de primer orden c(s) = 1 8 15 1

ssλ

+⎛ ⎞⎜ ⎟+⎝ ⎠

, no obstante GC es completamente diferente.

v- Emplazamiento de polos.

-Método del lugar de las raíces. http://www.ece.gatech.edu/research/ccss/education/Java/1998.Winter/Projects/garner-

meeks/ee3833/

La sintonización se hace en base a la localización de los polos en lazo cerrado a través del lugar de

las raíces. Veamos algún ejemplo para diferentes procesos.

Ejemplo. Diseñar un controlador que proporcione un sobrepaso máximo del 25% y un tiempo pico

de 1 segundo en un proceso de dos sistemas de primer orden en serie con ganancia global 5/3 y

constantes de tiempo 1 y 1/3. (Sep 2s).

En primer lugar, se expresan las especificaciones pedidas para el régimen transitorio como la zona del

plano complejo donde podrían encontrarse los polos del sistema:

Se cumple por tanto:

teniendo en cuenta que para un sistema de orden dos se cumple que las raíces se sitúan en -σ ± ωdj

la localización de los polos en lazo cerrado queda como:

-+ C(s)

5( 1)( 3)s s+ +

ysp

66.2

3.14j

3.14

-


Se prueba en primer lugar con el controlador más sencillo que es el proporcional. El lugar de las

raíces para el sistema por tanto resulta ser:

El lugar de las raíces pasa por la zona válida, el controlador proporcional es suficiente para

cumplir con las especificaciones del transitorio. Para minimizar el offset se elige la mayor K que no haga

salir a los polos de la zona restringida. Estos polos son -2 ± 2*tg(66.2)j = -2 ± 4.53j. El valor de K que

proporciona dichos polos se halla por sustitución directa en la ecuación característica y comparación de

módulos: 2 2 2 25 4.53 1 4.53 1 ; 4.3i

i

s pK K

s z−

= = + + =−

∏∏

El error de estado estacionario se calcula a continuación mediante el teorema del valor final.

Dicho error es de un 12.2%, si no se permitiera tal error el controlador proporcional no sería válido y

habría que introducir un compensador.

Ejemplo. Diseñar un controlador para un proceso con polos en lazo abierto de 1, -4+0.5j y -4 -0.5j.

(Nov2000). G(s) = 2

1( 1)( 8 16.25)s s s− + +

El lugar de las raíces para este sistema es:

Se hará el diseño tal que los polos dominantes (más

cercanos al eje imaginario) provean al sistema de un factor

de amortiguamiento de 0.707, es decir se deben situar a

+45º en el semiplano izquierdo. El valor de la constante K

que proporciona dichos polos se halla a partir de la lectura

directa de polos de la gráfica o se calcula mediante

SOLVER. Los valores de los polos son -0.649 + 0.649j

para un valor de K=21.06 (el tercer polo se sitúa en -5.7).


Ejemplo. Diseñar un controlador para un proceso con polos en lazo abierto de 0, -4+3j y -4 -3j que

proporcione el menor tiempo de establecimiento con sobreimpulsos inferiores al 10%. (2001Feb1)

G(s) = 3 2

1( 8 25 )s s s+ +

El lugar de las raíces para el sistema anterior es el

que se muestra en la figura. La especificación limita el

sobreimpulso máximo a un 10% de la salida.

Si el sistema fuese de segundo orden, por la siguiente

fórmula, se ve que el ángulo de los polos dominantes

quedaría limitado a un máximo de 54º.

0.1; 54ºtgPM e

πϕ ϕ

−= < <

Al haber otro polo más de primer orden, este va a influir

disminuyendo el sobreimpluso, con lo que se estará

trabajando del lado de la seguridad si se impone que ningún

polo ha de formar un ángulo ϕ mayor a 54º

Una buena forma de conseguir un tiempo de establecimiento bueno, aunque no el óptimo, es exigir que

los polos del sistema estén lo más alejados posible del eje imaginario.

A continuación se observa cómo se mueven los polos del sistema en el l.d.r. Para Valores bajos de K, el

polo dominante es el polo real de la rama que sale de s=0. Para valores de K mayores de 142.86 el

sistema se vuelve inestable. Para valores altos de K, que no superen 142.86, los polos dominantes son los

dos polos complejos conjugados de las ramas que surgen de s=-4±3j. Se sabe que la suma de la parte real

de los tres polos tiene que ser igual al coeficiente de s2 de la ecuación característica del sistema, cambiado

de signo (esto es así siempre que el coeficiente de mayor exponente sea la unidad). La ecuación

característica del sistema en lazo cerrado es: s3+8s2+25s+K=0. Luego, la suma de las partes reales de los

polos del sistema ha de ser igual a -8. La forma de que el tiempo de establecimiento sea mínimo es que

los polos del sistema estén lo más alejados posibles del eje imaginario. Esto ocurrirá en el punto donde

coinciden las partes reales de los tres polos. Dicha concurrencia ocurre cuando la parte real es de -8/3. Se

calcula la ganancia que hace que exista un polo situado en s=-8/3 por sustitución directa o mediante

solver. Dicha ganancia es 28.74 y los tres polos buscados son -8/3, -8/3 + 1.915j. El ángulo de los polos

complejos es 35.7º < 54º (que proporciona un sobreimpulso de 10%).

-Emplazamiento directo de polos (Goodwing 179).

Consiste en predefinir los polos cerrados de antemano, o lo que es lo mismo la ecuación

característica del sistema. Supóngase un controlador con función de transferencia dada por el cociente de


polinomios en s C(s) = P(s)/L(s) y el proceso dado por G(s) = B(s)/A(s). Si se define una ecuación

característica de lazo cerrado dada por EC(s) = (polinomio en s), el procedimiento consiste en encontrar

P(s) y L(s) tal que EC(s) = A(s)L(s) + B(s)P(s).

Ejemplo. Sea la planta con función de transferencia 2

13 2s s+ +

, se pretende diseñar un

controlador del tipo 1 0

1 0

p s pl s l

++

tal que la ecuación característica sea s3+3s2+3s+1. La ecuación

característica será: ( )( ) ( )21 01 0 1 02

1 0

11 0; 3 2 03 2

p s p s s l s l p s pl s l s s

++ = + + + + + =

+ + +

Igualando términos y resolviendo: l1 =1, l0 = 0, p1 =1, p0 = 1. El controlador buscado es:

GC = 11s

+

De forma general para que este procedimiento sea aplicable con EC(s) de grado 2n-1 se necesitan

grados n-1 tanto para P(s) como para L(s). Si el grado de EC(s) es 2n-1+k (k es natural) el grado de L(s)

será también n-1+k. Si el grado de EC(s) es menor de 2n-1 no hay solución excepto para casos muy

concretos.

vi- Uso de márgenes de estabilidad Método de ajuste de Ziegler-Nichols de lazo cerrado.

En este caso la caracterización dinámica se basa en la ganacia última Ku y en el período último Pu.

es decir, en los parámetros característicos de respuesta en frecuencia en lazo cerrado. El período último

es:

Pu = 2π / ωu

Estos parámetros se pueden obtener de forma experimental mediante el siguiente método:

-Se lleva el proceso manualmente al punto nominal de operación.

-Se anulan las acciones I y D del controlador y se sintoniza la ganancia a un bajo valor.

-Se pone el controlador en automático y se

provoca un cambio en el punto de consigna o en

una perturbación, como la ganancia tiene un valor

bajo se obtendrá una respuesta lenta y

sobreamortiguada.

-Se incrementa la ganancia en sucesivos

pasos y se provoca el cambio en cada uno de ellos

hasta conseguir una respuesta con oscilación

mantenida (fig.). -1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0 5 10 15 20 25 30 35 40

Periodo ultimo


-La ganancia última es la ganancia del controlador en esas condiciones, y el período último se

mide sobre la respuesta.

El criterio de sintonización de Z-N en lazo cerrado es la relación de amortiguamiento ¼. Se

asumió un PID analógico no interactivo con la acción derivativa actuando sobre el error.

CONTROLADOR KC τI τD

P 0.5 KU

PI 0.45 KU 0.83 PU

PID 0.6 KU 0.50 PU 0.125 PU

Parámetros de sintonización Z-N.

Se hace notar del cuadro anterior que es necesario reducir la ganancia del controlador cuando se

añade acción integral y cómo pueden incrementarse las acciones proporcional e integral (aumentar KC y

disminuir τI) cuando se implementa la acción derivativa.

Ejemplo.

Considerar el sistema de tres tanques en serie estudiado en la sección 8.3.1 (vii).

La ganancia última del sistema es 1.667 mientras que la frecuencia última es 0.5 rad/min, siendo

por lo tanto el período último 12.56. (Comprobar de forma analítica, por el grafico de Bode y mediante el

método experimental descrito anteriormente).

2 2 2

64 1 16 1 36 1

CKRAω ω ω

=+ + +

; -180º = -tg-1(2ωu) -tg-1(4ωu) -tg-1(6ωu)

Ejemplo. Stephanopoulos 353.

Considerar el proceso de segundo orden de función de transferencia: ( ) ( )p

1G5s 1 2s 1

=+ +

,

elemento de medida de primer orden ( )m

1G10s 1

=+

y elemento final de actuación unidad. Sintonizar un

controlador P, PI y PID por el método del modelo aproximado de Cohen Coon y Z-N de lazo cerrado.

El proceso responde en el dominio del tiempo según:

( )( )0.01 1y

s 0.2 s 0.5 (s 0.1) s= =

+ + +

y(t) =

1.s−

2.50.1+1.s

+1.666670.2+1.s

−0.1666670.5+1.s

1−−tê2

6+

5 −tê5

3−

5 −tê10

2


0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Del gráfico anterior se deduce K = 1, τ= 12.75, tm = 5.25

Mediante Cohen Coon se obtiene:

Controlador Parámetros Cohen-Coon P Kc 2.76 PI Kc 2.26 τI 9.51

PID Kc 3.71 τI 7.08 τD 1.77

Aplicando Z-N de lazo cerrado:

La frecuencia última es 0.415 rad/s, la ganancia última 12.6 y el período último 15.14 s/ciclo. Los

parámetros de sintonización por tanto:

Controlador Parámetros Ziegler-Nichols P Kc 6.3 PI Kc 5.7 τI 12.62

PID Kc 7.4 τI 7.57 τD 1.89

Más Ejemplos en formato pdf en archivo temario.


8.4. Diseño de compensadores.

Los compensadores son dispositivos reguladores que se introducen en los lazos de control para

cumplir con unas especificaciones de respuesta transitoria predeterminada. Para su diseño se puede acudir

al lugar de las raíces o se puede utilizar la respuesta en frecuencia del proceso. La compensación puede

realizarse en serie o en paralelo, en este caso el estudio se centrará en el diseño en serie con respecto al

proceso. Los compensadores pueden ser de adelanto, retardo o adelanto – retardo.

8.4.1. Método del lugar de las raíces.

*Compensación de adelanto. Los compensadores de adelanto tienen como función de

transferencia GCAd =

1

; 11C

sTK

sT

α

α

+<

+. El procedimiento para elegir los parámetros de la red de

adelanto es:

1- A partir de las especificaciones de desempeño, determínese la ubicación deseada para los polos

dominantes en lazo cerrado.

2. Por medio de una gráfica del lugar geométrico de las raíces, compruébese si el ajuste de la

ganancia puede o no por sí solo producir los polos en lazo cerrado convenientes (caso ya visto en

ejemplos anteriores). Si no, calcúlese la deficiencia de ángulo φ. Este ángulo debe ser una contribución

del compensador de adelanto si el nuevo lugar geométrico de las raíces va a pasar por las ubicaciones

deseadas para los polos dominantes en lazo cerrado.

3. Supóngase que el compensador de adelanto G,(s) es: GCAd =

1

; 11C

sTK

sT

α

α

+<

+.

en donde α y T se determinan a partir de la deficiencia de ángulo. Kc se determina a partir del

requerimiento de la ganancia en lazo abierto.

4. Si no se especifican las constantes de error estático, determine la ubicación del polo y del cero

del compensador de adelanto, para que el compensador de adelanto contribuya al ángulo φ necesario. Si

no se imponen otros requerimientos sobre el sistema, intente aumentar lo más posible el valor de α. Un

valor más grande de α por lo general produce un valor más grande de la constante de error de velocidad,

lo cual es conveniente. Si se especifica una constante de error estático, por lo general es más sencillo usar

el enfoque de la respuesta en frecuencia que se verá posteriormente.

5. Determine la ganancia en lazo abierto del sistema compensado a partir de la condición de

magnitud.


Una vez diseñado un compensador, verifique que se hayan cumplido todas las especificaciones de

desempeño. Si el sistema no cumple las especificaciones de desempeño, repita el procedimiento de diseño

ajustando el polo y el cero del compensador hasta cumplir con todas las especificaciones. Si se requiere

de una constante de error estático grande, enlace en cascada una red de atraso o convierta el compensador

de adelanto en un compensador de atraso-adelanto.

Ejemplo. Considérese el sistema en lazo cerrado dado por la figura cuya gráfica del lugar de las

raíces se muestra también. Los polos en

lazo cerrado son -1+ 3 j. El factor de

amortiguamiento es 0.5 siendo la

frecuencia natural no amortiguada de 2

rad/s. La constante de error de velocidad es

2. Se pretende modificar los polos en lazo cerrado para obtener ωn =

4 rad/s sin cambiar ξ.

Si ξ = 0.5, los polos de lazo cerrado deben estar en ángulos

de cos(θ) = 0.5, θ = 60º. Por otro lado, la distancia del origen a los

polos es ωn = 4, con estos datos los nuevos polos de lazo cerrado se

deben situar en ωd = 4sen(60) = 2 3 (parte imaginaria) y σ = -

4cos(60) = -2, es decir, polos = -2+2 3 j.

Se observa que la nueva ubicación de polos no se consigue

con un simple ajuste de ganancia, es necesario un compensador, en

este caso de adelanto (hay que desplazar el lugar de las raíces a la izquierda, lo que se consigue mediante

adición de ceros dominantes en el compensador).

En primer lugar se suman los ángulos de los nuevos polos (uno de ellos) con los polos y ceros

originales y se determina el ángulo necesario φ para que la suma total sea de +180(2k+1). El

compensador debe contribuir con ese ángulo. El nuevo lazo abierto será:

1

( )1OL C

sTG K G s

sTα

+=

+.

El paso siguiente es determinar las ubicaciones del cero y el polo del compensador de adelanto. Existen

muchas posibilidades para elegir tales ubicaciones. A continuación se presenta un procedimiento con el

propósito de obtener el valor más grande posible para α. (Observe que un valor más grande de α

producirá un valor más grande de KV. Primero se dibuja una línea horizontal que pase por el punto P,

ubicación deseada para uno de los polos dominantes en lazo cerrado. Esto corresponde a la línea PA de la

- +

4

( )( 2)s s +

ysp


figura. Se dibuja una línea que conecte el punto P con el origen. Se bisecta el ángulo que forman las

líneas PA y PO, como se aprecia en la figura. Se trazan dos líneas PC y PD que formen ángulos de +φ/2

con la bisectriz PB. Las intersecciones de PC y PD con el eje real negativo proporcionan la ubicación

necesaria para el polo y el cero de la red de adelanto. Por tanto, el compensador diseñado hará de P un

punto sobre el lugar geométrico de las raíces del sistema compensado. La ganancia en lazo abierto se

determina mediante el uso de la condición de magnitud.

En el sistema actual, el ángulo de G(s) del polo en lazo cerrado

se halla mediante: 2 2 3

4 210º( 2) s js s =− +

∠ = −+

El compensador debe contribuir con +30º (red de

adelanto)

Siguiendo el procedimiento anteriormente descrito se

calcula el cero en -2.9 y el polo en -5.4, con lo cual T=0.345 y α=0.537. La nueva función de

transferencia en lazo abierto se convierte en: ( ) ( )( )

2.9 4 2.95.4 2 5.4 2OL C

s sG K Ks s s s s s

+ += =

+ + + +. El root loci

del sistema compensado se muestra en la gráfica derecha. La ganancia

que proporciona los polos en -2+2 3 j se halla por sustitución directa

(condición de magnitud). ( )( )

2 2 3

2.9 15.4 2

s j

sKs s s

=− +

+=

+ +

K = 18.7 y por tanto KC = 18.7/4=4.68

La KV será: 1

0lim (0) 5.02OLs

sG s−

→= .

Ejemplo. Dado el sistema de orden dos con ganancia 25 y polos en -2 y -0.5, se pide:

a-Dibujar el lugar de las raíces.

b-Si se requiere en lazo cerrado un sobrepaso máximo del 4.98% y un tiempo pico de 1.05, ¿es

posible utilizar un controlador proporcional que cumpla los requisitos?¿Por qué?

c-Diseñar un compensador de adelanto mediante el método del lugar de las raíces tal que se

cancele el polo en -2 de la planta.

Ejemplo Dado el sistema de orden dos:

a-Dibujar el lugar de las raíces.

b-Si se requiere en lazo cerrado un sobrepaso máximo del 19 % y un tiempo pico de 0.83, ¿es

posible utilizar un controlador proporcional que cumpla los requisitos?¿Por qué?

2( ) KG ss

=


c-Diseñar un compensador de adelanto mediante el método del lugar de las raíces tal que el cero

del mismo se sitúe en la vertical de los polos deseados en lazo cerrado.

*Compensación de retardo.

Considérese el problema de encontrar una red de compensación conveniente para un sistema que

exhibe características satisfactorias de la respuesta transitoria, pero características insatisfactorias en

estado estable. En este caso la compensación consiste, esencialmente, en incrementar la ganancia en lazo

cerrado sin modificar en forma notable las características de la respuesta transitoria. Esto quiere decir que

no debe cambiarse de manera significativa el lugar geométrico de las raíces en la vecindad de los polos

dominantes en lazo cerrado, sino que debe incrementarse la ganancia en lazo abierto en la medida en que

se necesite. Esto se consigue si se coloca un compensador de atraso en serie con la función de

transferencia de la trayectoria directa determinada. Para evitar un cambio notable en los lugares

geométricos de las raíces, la contribución de ángulo de la red de atraso debe limitarse a una cantidad

pequeña, por ejemplo 5º. Para asegurar esto, colocamos el polo y el cero de la red de atraso relativamente

cerca uno del otro y cerca del origen del plano s. De este modo, los polos en lazo cerrado del sistema

compensado sólo se alejarán ligeramente de sus ubicaciones originales. Por tanto, la característica de la

respuesta transitoria cambiará muy poco. Considere un compensador de atraso GCAt(s):

GCAt(s) =

1

; 11C

sTK

sT

β

β

+>

+. Si se sitúan el polo y el cero del compensador muy cerca uno del

otro, en s = s1, (donde s1 es uno de los polos dominantes en lazo cerrado), las magnitudes de s1 +1/T y

s1+1/(βT) serán casi iguales: 1

1

1

( ) 1AtC C C

sTG s K K

sTβ

+= ≈

+.

Para que la contribución de ángulo del compensador sea pequeña se necesita que:

1

1

1

5º arg 0º1C

sTumento K

sTβ

⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎜ ⎟− < <⎜ ⎟+⎜ ⎟⎝ ⎠

. Esto implica que si la ganancia del compensador se hace

igual a la unidad la respuesta transitoria no se alterará. El incremento en la constante de error de velocidad

vendrá dado por la expresión: New OldV C VK K Kβ= .


La principal desventaja de la compensación de atraso es que el cero del regulador genera un polo

en lazo cerrado cerca del origen que será parcialmente compensado por un cero cerca del origen también

con lo que el tiempo de asentamiento aumentará.

El procedimiento de diseño es el que sigue:

1. Dibújese la gráfica del lugar geométrico de las raíces para el sistema no compensado, cuya

función de transferencia en lazo abierto sea G(s). Con base en las especificaciones de la respuesta

transitoria, se ubican los polos dominantes en lazo cerrado en el lugar geométrico de las raíces.

2. Calcular la constante de error estático especificada en el problema.

3. Determinar el incremento necesario en la constante de error estático para satisfacer las

especificaciones.

4. Determinar el polo y el cero del compensador de atraso que producen el incremento necesario

en la constante de error estático determinado sin alterar apreciablemente los lugares geométricos de las

raíces originales. (Obsérvese que la razón entre el valor de la ganancia requerido en las especificaciones y

la ganancia que se encuentra en el sistema no compensado es la razón entre la distancia del cero al origen

y la del polo al origen.)

5. Dibujar una nueva gráfica del lugar geométrico de las raíces para el sistema no compensado.

Localícense los polos dominantes en lazo cerrado deseados sobre el lugar geométrico de las raíces. (Si la

contribución de ángulo de la red de atraso es muy pequeña, es decir, de pocos grados, los lugares

geométricos de las raíces originales y los nuevos serán casi idénticos. Sin embargo, habrá una ligera

discrepancia entre ellos. A continuación se ubican, sobre el nuevo lugar geométrico de las raíces, los

polos dominantes en lazo cerrado deseados a partir de las especificaciones de la respuesta transitoria.)

6. Ajústese la ganancia del compensador (aproximadamente será la unidad) a partir de la

condición de magnitud, a fin de que los polos dominantes en lazo cerrado se encuentren en la ubicación

deseada.

Ejemplo. Considérese el sistema cuyo lugar

de las raíces es el representado en la figura. En lazo

cerrado los polos se

sitúan en -2.3386 y

-0.3307 + 0.5864j. Estos últimos son los polos dominantes. El factor de

amortiguamiento de los polos dominantes es 0.491 mientras que la

frecuencia natural no amortiguada es 0.673 rad/s. La constante de error

estático de velocidad del sistema es 0.53 s-1.

-+ C(s)

1.06( )( 1)( 2)s s s+ +

ysp


Se pretende incrementar KV hasta 5 s-1 sin modificar notablemente la localización de polos

dominantes (respuesta transitoria). Para incrementar la constante KV 10 veces se elige un valor de β = 10

y se sitúa el polo y el cero cerca del origen, por ejemplo el cero en -0.05 y el polo por lo tanto en -0.005.

El compensador tiene la forma: ( )0.050.005At

CC

K sG

s+

=+

. La contribución de ángulo de esta red de atraso

cerca de un polo dominante en lazo cerrado es aproximadamente:

0.3307 0.5864

0.05 3.47º0.005 s j

sArgs =− +

+⎛ ⎞ = −⎜ ⎟+⎝ ⎠. La función de

transferencia en lazo abierto nueva es:

( )0.05 1.060.005 ( 1)( 2)

COL

K sG

s s s s+

=+ + +

, el lugar de las

raíces se representa en la figura.

Como ξ no cambia se puede leer directamente de la

gráfica los nuevos polos de lazo cerrado en -0.31+ 0.55j.

Obsérvese cerca del origen cómo se ha creado una rama

circular que termina también cerca y que por tanto no afectan a la dinámica del sistema. La ganancia por

sustitución directa resulta ser 0.9656 y la nueva constante KV = lim[sGOL(0)] = 5.12 s-1. La frecuencia

natural no amortiguada del sistema compensado es 0.631 rad/s, un 6% menor que en el sistema sin

compensar, lo que hace al sistema compensado ligeramente más lento. En la figura se muestra la mejora

del sistema compensado ante entradas en rampa.

Ejemplo (Febrero 2008). Diseñar un controlador de atraso con error de posición inferior al 4% y

sobrepaso máximo menor de 5%. G(s) = 3(s+2.6)/[(s+1)(s+2.5)(s+7)]


*Compensación de retardo – adelanto.

La compensación de adelanto básicamente acelera la respuesta e incrementa la estabilidad del

sistema. La compensación de atraso mejora la precisión en estado estable del sistema, pero reduce la

velocidad de la respuesta.

Si se desea mejorar tanto la respuesta transitoria como la respuesta en estado estable, debe usarse

en forma simultánea un compensador de adelanto y un compensador de atraso. Sin embargo, en lugar de

introducir un compensador de adelanto y un compensador de atraso, ambos como elementos separados, es

más económico sólo usar un compensador de atraso-adelanto. La compensación de atraso-adelanto

combina las ventajas de las compensaciones de atraso y de adelanto. Dado que el compensador de atraso-

adelanto posee dos polos y dos ceros, tal compensación aumenta en dos el orden del sistema, a menos que

ocurra una cancelación de polos y ceros en el sistema compensado. El compensador tiene la forma:

GC = 1 2

1 2

1 1

; 1; 11C

s sT TK

s sT T

χ βχβ

+ +> >

+ +, supóngase que la ganancia corresponde a la parte de

adelanto del compensador. Se consideran dos casos:

χ≠β. El procedimiento de diseño consiste en: a) determinar la localización de polos en lazo

cerrado, b) utilizar la función de lazo abierto sin compensar para determinar la deficiencia de ángulo. La

parte de adelanto de fase debe contribuir con esta deficiencia. χ y T1 se hallan a partir de la deficiencia de

ángulo, KC se halla mediante la condición de magnitud c) se selecciona T2 suficientemente grande para

que la magnitud de la parte de retardo se acerque a la unidad. Así si se predetermina una constante de

error de velocidad se escoge un valor de β adecuado. Esta constante KV

es: 1 2

0 0 0

1 2

1 1

lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )1V C C Cs s s

s sT TK sG s G s sK G s sK G s

s sT T

βγ γ

β→ → →

+ += = =

+ +

El valor de T2 se selecciona para cumplir que el módulo de la parte de atraso del compensador sea

aproximadamente la unidad para los polos deseados en lazo cerrado y el argumento se sitúe en el rango 0-

5º.

Ejemplo. Se tiene el sistema dado por el diagrama de bloques inferior. Los polos de lazo cerrado

son -0.25 + 1.9843j. El factor de

amortiguamiento relativo es 0.125, ωn = 2 rad/s

y KV = 8 s-1.

Se desean los siguientes valores: ξ = 0.5,

- +

C(s)

4( )( 0.5)s s +

ysp


ωn = 5 rad/s y KV = 80 s-1.

Los nuevos polos de lazo cerrado se deben situar en -2.5 + 4.33j. El ángulo de fase en esos polos es:

2.5 4.33

4 235º( 0.5) s js s =− +

∠ = −+

. La parte de adelanto del compensador debe contribuir con 55º.

Una de las posibilidades es elegir el cero en -0.5 para cancelar el polo de G(s). El polo se debe

situar en -5.021. Este dato se calcula de forma similar a como se realizó en el diseño de la red de adelanto

sola. Así pues: T1 = 2 y χ = 10.04. El valor de ganancia se determina a partir de la condición de magnitud.

0.5 4 15.021 ( 0.5)C

sKs s s

+=

+ +; siendo KC = 6.25.

La parte de retardo de fase se diseña del modo siguiente. Primero se determina el valor de β que

satisface el requisito de KV. 0 0 0

480 lim ( ) ( ) lim ( ) lim (6.26)10.04 ( 0.5)V C Cs s s

K sG s G s sK G s ss s

β βχ→ → →

= = = =+

;

despejando β = 16.04. El valor de T2 se elige de manera que la contribución de ángulo sea muy pequeña y

el módulo de la red de atraso sea próximo a la unidad.

2 2

2 22.5 4.33

1 1

1; 5º 0º1 116.04 16.04

s j

s sT TArg

s sT T

=− +

⎡ ⎤+ +⎢ ⎥⎢ ⎥≈ − < <⎢ ⎥+ +⎢ ⎥⎣ ⎦

. Un valor de T2 = 2 (o mayor) cumple

con ambos criterios. Se elige T2 = 5, la función de transferencia del compensador queda finalmente: GC(s)

= 10(2 1)(5 1)(0.1992 1)(80.19 1)

s ss s

+ ++ +

.

Si χ=β

a) En primer lugar se determina la localización de los polos en lazo cerrado. El compensador tiene

como función de transferencia: 1 2

1 2

1 1

; 11C

s sT TK

s sT T

βββ

+ +>

+ + b) ahora la constante de error de velocidad

estática es KV = 0 0

lim ( ) ( ) lim ( )C Cs ssG s G s sK G s

→ →= , c) se calcula la contribución de fase d) T1 y β se

determinan a partir de la condición de magnitud y ángulo e) se selecciona T2 lo suficientemente grande

para que el módulo de la parte de atraso de fase sea próximo a la unidad para los polos en lazo cerrado

deseados. Así mismo su contribución de ángulo debe ser pequeña en el rango -5º - 0º.

Ejemplo. Se considera el mismo sistema que en el ejemplo anterior con las mismas

especificaciones.


Los nuevos polos de lazo cerrado se deben situar en -2.5 + 4.33j. El valor de KC que satisface el

requisito de KV. 0 0

480 lim ( ) ( ) lim0.5V C Cs s

K sG s G s K→ →

= = = ; KC =10. T1 y β se determinan a partir de la

condición de ángulo y magnitud. 1

2.5 4.33

1

140 1

( 0.5) s j

sT

s ssTβ

=− +

+=

++; 1

1 2.5 4.33

1

55º

s j

sTArg

sTβ

=− +

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎜ ⎟ =⎜ ⎟+⎜ ⎟⎝ ⎠

Los valores que se obtienen son T1 = 0.42 y β= 3.503. (resolución de triángulo escaleno, ver Ogata

página 448).

Para la parte de atraso de fase se selecciona T2 = 10 y el compensador se transforma en:

2.38 0.1108.34 0.0285

s ss s

+ ++ +

. En la figura se muestra la mejora de entrada en rampa y escalón

conseguida mediante el compensador.

8.4.2. Método basado en la respuesta frecuencial.

*Compensación de adelanto. El compensador de adelanto tiene un cero en s =-1/T y un polo en s =-1/αT.

El cero siempre se ubica a la derecha del polo en el plano complejo. Obsérvese que, para un valor

pequeño de α, el polo se localiza lejos hacia la izquierda. El valor mínimo de α está limitado por la

construcción física del compensador de adelanto. Por lo general, el valor mínimo de α se ubica cerca de

0.05. (Esto significa que el adelanto de fase máximo que produce

el compensador es de alrededor de 65º)


La figura muestra la traza polar del compensador 11C

j TKj T

ωαωα

++

con ganancia unidad. Para un valor determinado de α, el ángulo entre el eje real positivo y la línea

tangente al semicírculo dibujada desde el origen proporciona el ángulo de adelanto de fase máximo φm. Se

llamará ωm a la frecuencia en el punto tangente y φm se calculará mediante:

112( ) 1 1

2

mseno

ααφ α α

−−

= =+ +

. La

figura muestra el diagrama de Bode de un compensador de adelanto con ganancia unidad y α = 0.1. ωm

es la media geométrica de las dos frecuencias de esquina:

( ) 1 1 1 1log log log ;2m mT T T

ω ωα α

⎛ ⎞= + =⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Las técnicas de compensación en adelanto mediante el diagrama

de Bode se resumen a continuación.

Para el compensador con función de transferencia 11C

TsKTs

αα

++

se define la constante K = CK α .

Así pues la GOL = 11 1( ) ( )1 1

Ts TsK G s G sTs Tsα α

+ +=

+ +

a) Se halla K para cumplir con los requisitos de error pre-establecidos b) se determina el ángulo de fase

necesario para añadir al sistema con un incremento adicional de 5-12º ya que el compensador de adelanto

desplaza la frecuencia de cruce a la derecha disminuyendo el margen de fase c) se halla α a partir de la

ecuación de ángulo máximo. d) se determina la frecuencia a la cual el sistema no compensado G1(s) se

iguala a -20log 1α

. Esta frecuencia es la nueva frecuencia de cruce de ganancia y corresponde a ωm =

1T α

, es decir, 1

1 11

T

TsTs ω

αα α=

+=

+. El cero del compensador está en 1/T y el polo en 1/Tα. e) con el

valor de K y α se calcula KC. f) finalmente se verifica el margen de ganancia.

Ejemplo. Se tiene el sistema de segundo orden con ganancia 4 y polos en lazo abierto 0 y -2. Se

quiere diseñar un compensador tal que KV sea de 20 s-1, el margen de fase sea de 50º como mínimo y el

margen de ganancia de al menos 10 dB.

El sistema tiene la función de lazo abierto dada por GC(s)G(s).


Se define G1(s) = 4( 2)

Ks s +

donde K = KCα. El primer paso es el ajuste de K que proporciona la

constante de error de velocidad requerida:

10 0 0

1 420 lim ( ) ( ) lim ( ) lim 21 ( 2)Cs s s

Ts KsG s G s s G s s KTs s sα→ → →

+= = = =

+ +. Con K = 10 se representa el

diagrama de Bode de G1(s). Los márgenes de

fase y ganancia del sistema son 18º e infinito

respectivamente. El margen de fase es pequeño,

lo cual implica que el sistema es bastante

oscilatorio. El compensador debe contribuir con

50-18 = 32º para satisfacer los requisitos del

problema. Se añaden 6º más para tener en cuenta

el desplazamiento de la frecuencia de cruce de

ganancia, con lo que el compensador debe contribuir con 38º de adelanto de fase:

1(38º ) ; 0.241

seno α αα

−= =

+

Las frecuencias de esquina en 1/T y 1/αT se obtienen teniendo en cuenta que el ángulo máximo de

adelanto de fase ocurre en ωm = 1T α

. Debido al compensador, la curva de magnitud se modifica en esa

frecuencia:

1/

1 1 1 6.21 0.24T

j T dBj T ω α

ωωα α=

+= = =

+. Como 1( ) 6.2G j dBω = − corresponde a frecuencia 9

rad/s, se selecciona esta frecuencia como la nueva frecuencia

de cruce de ganancia. Igualando términos se obtiene

finalmente: 19T α

= , 1/T = 4.41 y 1/αT=18.4. El

compensador es: 0.227 1; 41.70.054 1AdC C C

s KG K Ks

αα

+= = =

+. En

la figura se muestra el diagrama de Bode de los sistemas

compensado y sin compensar:

Las líneas continuas de la figura representan la curva

de magnitud y la curva del ángulo de fase para el sistema

compensado. El compensador de adelanto provoca que la

frecuencia de cruce de ganancia se incremente de 6.3 a 9


rad/seg. El incremento de esta frecuencia significa un aumento en el ancho de banda. Esto implica, a su

vez, un incremento en la velocidad de respuesta.

Se observa que los márgenes de fase y de ganancia son de cerca de 50º y +∞ dB, respectivamente.

Por tanto, el sistema compensado de la figura cumple los requerimientos en estado estable y de

estabilidad relativa.

Para los sistemas de tipo 1, como el sistema recién considerado, el valor de la constante de error estático

de velocidad KV es simplemente el valor de la frecuencia en la intersección de la extensión de la línea de

pendiente inicial -20 dB/década con la línea 0 dB.

Ejemplo Diseñar un controlador de adelanto mediante la respuesta en frecuencia que proporcione

un error ante entrada rampa del 5% como máximo y un margen de fase de 45 º. (Utilizar un colchón de 3º

para el margen de fase a la hora de realizar el diseño).

Ejemplo: Dado el sistema de orden dos:

a-Diseñar un controlador de adelanto mediante la respuesta en frecuencia que proporcione un error

ante entrada rampa del 1% como máximo y un margen de fase de 45 º. (Utilizar un colchón de 8º para el

margen de fase a la hora de realizar el diseño).

*Compensación de retardo. Los diagramas de respuesta en frecuencia para un compensador de

retardo con β = 10 y KC = 1 se muestran a continuación:

1( )( 2)

Gs s

=+

2500( )( )( 25)

G ss s

=+


El diseño de compensadores de retardo se ejecuta teniendo en cuenta su función de transferencia

como sigue 11AtC C

TsG KTs

ββ

+=

+. Se define K=KCβ. La función de transferencia del sistema compensado

en lazo abierto será: 11 1( ) ( )1 1OL

Ts TsG K G s G sTs Tsβ β

+ += =

+ +. a) se determina la ganancia K para que se

cumplan los requisitos de error estático de velocidad b) si una vez elegida K no se cumplen los márgenes

de fase y ganancia se busca la frecuencia a la cual el ángulo de fase de la función de transferencia en lazo

abierto sea igual a – 180º más el margen de fase requerido. Éste es el margen de fase especificado entre 5

y 12º. (La adición de entre 5º y 12º compensa el atraso de fase del compensador de atraso.). Se selecciona

ésta como la nueva frecuencia de cruce de ganancia. c) para evitar los efectos nocivos del atraso de fase

producido por el compensador de atraso, el polo y el cero del compensador de atraso deben ubicarse

mucho más abajo que la nueva frecuencia de cruce de ganancia. Por tanto, se elige la frecuencia de

esquina ω = 1/T (que corresponde al cero del compensador de atraso) entre una octava y una década por

debajo de la nueva frecuencia de cruce de ganancia. (Si las constantes de tiempo del compensador de

atraso no se vuelven demasiado grandes, se selecciona la frecuencia de esquina ω = 1/T una década por

debajo de la nueva frecuencia de cruce de ganancia.). d) se determina la atenuación necesaria para

disminuir la curva de magnitud a 0 dB en la nueva frecuencia de cruce de ganancia. Considerando que

esta atenuación es de -20 log β, determínese el valor de β. Luego se obtiene la otra frecuencia de esquina

(que corresponde al polo del compensador de atraso) a partir de ω = 1/βT. e) usando el valor de K

determinado en el paso primero y el de β obtenido en el paso último, se calcula la constante KC a partir de

K/β=KC.

Ejemplo. Sea el sistema de orden tres con polos

en 0, -1 y -2 (ganancia unidad). Se pretende compensar

el sistema para que KV = 5 s-1, el margen de fase sea de

40º y el de ganancia de 10 dB.

Siguiendo las pautas anteriores se tiene que

G1(s) = ( 1)(0.5 1)

Ks s s+ +

. Mediante la restricción de

error de velocidad:

1 10 0 0

15 lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )1Cs s s

TssG s G s s G s sG s KTsβ→ → →

+= = = =

+El diagrama de Bode de G1(s) es el de la figura:

El margen de fase es -13º, es decir el sistema no

compensado y ajustado en ganancia es inestable.


Considerando que la adición de un compensador de atraso modifica la curva de fase de las trazas

de Bode, se debe permitir entre 5 y 12º a fin de que el margen de fase especificado compense la

modificación de la curva de fase. Dado que la frecuencia correspondiente a un margen de fase de 40º es

de 0.63 rad/seg, la nueva frecuencia de cruce de ganancia (del sistema compensado) debe seleccionarse

cercana a este valor.

Con el fin de evitar las constantes de tiempo muy grandes para el compensador de atraso, debemos

elegir la frecuencia de esquina ω = 1/T (que corresponde al cero del compensador de atraso) como 0.1

rad/seg (normalmente se pone a una década como mínimo de la nueva frecuencia de cruce). Dado que

esta frecuencia de esquina no está muy abajo de la nueva frecuencia de cruce de ganancia, la

modificación de la curva de fase tal vez no sea pequeña. Por tanto, agregamos cerca de 12º al margen de

fase proporcionado, como una tolerancia para considerar el ángulo de atraso introducido mediante el

compensador de atraso. El margen de fase requerido es ahora de 52º. El ángulo de fase de la función de

transferencia en lazo abierto no compensada es de – 128º en la cercanía de ω = 0.46 rad/seg. Por tanto, se

toma la nueva frecuencia de cruce de ganancia como de 0.46 rad/seg. Para bajar la curva de magnitud

hasta 0 dB en esta nueva frecuencia de cruce de ganancia, el compensador de atraso debe proporcionar la

atenuación necesaria que, en este caso, es de aproximadamente -20 dB (en la gráfica se ve que es algo

menos). Por tanto, se cumple que: 20log1/β=-20; β=10. La otra frecuencia de esquina se determina como

1/Tβ=0.01 rad/s. La función de transferencia del compensador es: 10 110 ; 0.5100 1AtC C C

s KG K Ks β+

= = =+

.

La GOL de lazo abierto tras compensar el sistema queda finalmente como:

5(10 1)(100 1)( 1)(0.5 1)OL

sGs s s s

+=

+ + +.

Ejemplo: Diseñar un compensador de atraso a través de la respuesta frecuencial para el sistema

2

5( 1) ( 5)s s+ +

de tal manera que el margen de ganancia sea de 20dB y el error de posición inferior al

10%.

*Compensación de retardo-adelanto.

Este tipo de compensadores tiene como función de transferencia: GC = 1 2

1 2

1 1

1C

s sT TK

s sT Tχ

β

⎛ ⎞⎛ ⎞+ +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟+ +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

El diagrama de Nyquist de este tipo de compensadores es el que aparece en la figura


Al diseñar un regulador atraso-adelanto es común (aunque no

obligatorio) seleccionar χ=β. En este caso, si la ganancia es

unidad el diagrama de Bode se muestra a continuación con

χ=β= 10 y T2 = 10T1.

La frecuencia a la cual el ángulo de fase es cero se determina:

11 2

1TT

ω = .

El diseño de compensadores atraso-adelanto es una

mezcla de procedimientos de compensación individual.

Véase un ejemplo:

Ejemplo. Sea el sistema con función de transferencia:

G(s) = ( 1)( 2)

Ks s s+ +

. Se desea que KV tenga un valor

de 10s-1, el margen de fase de 50º y el margen de

ganancia de 10

dB. El requisito de KV impone la ganancia del proceso que es

ajustable (se toma por tanto KC=1). 0

lim ( ) ( ) 102Cs

KsG s G s→

= = . El

diagrama de Bode del sistema sin compensar pero ajustado en

ganancia es:

El margen de fase es de -28º (sistema inestable). Se selecciona la

nueva frecuencia de cruce de ganancia que se sitúa en 1.4 rad/s

para un desfase de 180º.

La frecuencia esquina del cero de la parte de retraso ω=1/T2 se

sitúa una década por debajo de la nueva frecuencia de cruce de

ganancia en ω=0.15 rad/s. El adelanto de fase se expresa como:

111( ) 1 11

mseno ββφβ

β

−−

= =++

. Si β = 10 el ángulo es 54.9º, con lo que una buena elección es β = 10. La otra

frecuencia esquina ω=1/βT2 correspondiente al polo de la parte de atraso será ω=0.015 rad/s.

La parte de adelanto de fase se determina computando el valor de módulo del sistema sin compensar y

ajustado en ganancia para la nueva frecuencia de cruce de ganancia. En este caso G(1.4j)= 10.5 dB. Los

cortes con las líneas de 0 dB y -20 dB de la recta de pendiente 20 dB/década que pasa por el punto 1.4,-


10.5 determinan las frecuencias esquina de la parte de adelanto. Estas frecuencias esquina son 0.45 y 4.5

rad/s.

El compensador final es: GC = ( 0.45)( 0.15)( 4.5)( 0.015)s ss s

+ ++ +

.

Ejemplo: Diseñar un compensador de atraso-adelanto para que el sistema G(s) tenga un error de posición

inferior al 5% y margen de fase superior a 60º. 2

2( )2 2

G ss s

=+ +

tema 8. sintonizacion de controladores pid. diseÑo de ...fjrivas.eu5.org/archivos/tema 8.pdf ·...

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