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TEMA III

Circuitos Digitales

1Electrónica II 2009-2010

TEMA III Circuitos Digitales

3.1 REPRESENTACIÓN DE LA INFORMACIÓN

3 2 ALGEBRA DE BOOLE

g

2

3.2 ALGEBRA DE BOOLE3.3 MODULOS COMBINACIONALES

BÁSICOS

2

3.1 REPRESENTACIÓN DE LA INFORMACIÓN

1.1 Del mundo analógico al digital. 1.2 Sistemas digitales. Definición e historia.1.3 Sistemas de numeración.1.4 Números negativos.1 5 Códigos binarios

3

1.5 Códigos binarios.

Del mundo analógico al digital

◊ Se dice que una señal es digital cuando las magnitudes de la misma se representan mediante valores discretos en lugar de variables continuas.

◊ La digitalización o conversión analógica-digital (conversión A/D) consiste básicamente en realizar de forma periódica medidas de la amplitud de la señal o de su frecuencia y traducirlas a un lenguaje numérico.

ó

4

◊ La conversión A/D la realiza el MODULADOR.

◊ La conversión D/A la realiza el DEMODULADOR.

◊ El MODEM realiza ambas funciones (MO-DEM).

3

Del mundo analógico al digitalCuatro procesos que intervienen en la conversión A/D:

◊ Muestreo: periódicamente se toman muestras (Ej. de la amplitud de onda). La velocidad con que se toman las muestra (número de muestras por segundo) es la frecuencia de muestreo.

◊ Retención: las as muestras tomadas se retenidas (retención) el tiempo suficiente para permitir evaluar su nivel (cuantificación).

ó

5

◊ Cuantificación: se mide el nivel de voltaje de cada una de las muestras. Se asigna un margen de valor a un único nivel de salida.

◊ Codificación: se traducen los valores obtenidos a código binario.


6

Señal analógica función matemática continua

Amplitud y periodo variable en función del tiempo

4


7

Muestreo en amplitud : Consiste en tomar muestras periódicas de la amplitud de onda. La velocidad con que se toman las muestras o frecuencia de muestreo.


8

Cuantificación: Se “discretiza” el nivel de voltaje de cada una de las muestras.

5


9

Codificación: Consiste en traducir los valores muestreados a código binario (binario puro, grey, BCD, etc)

Teorema de muestreo de Nyquist-Shannon:


yq

◊ Para poder reconstruir la señal original de forma exacta a partir de sus muestras la frecuencia de muestreo debe ser mayor que dos veces el ancho de banda de la señal de entrada

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◊ Para señales analógicas, el ancho de banda es la anchura, medida en hercios, del rango de frecuencias en el que se concentra la mayor parte de la potencia de la señal.

6

Ventajas de la señal digital ◊ La señal digital es más resistente al ruido y menos sensible

l ló i l i t f i t que la analógica a las interferencias, etc.

◊ Ante la pérdida de cierta cantidad de información, la señal digital puede ser reconstruida gracias a los sistema de regeneración de señales (usados también para amplificarla, sin introducir distorsión).

◊ Cuentan con sistemas de detección y corrección de errores:

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◊ Bit de paridad: permite detectar un número impar de erores.

◊ Código Hamming: permite corregir un error mediante 3 bit de paridad en códigos de 4 bits.

◊ Códigos polinomiales: basados en un poliomio generador.

Ventajas de la señal digital

◊ Es posible introducir el valor de una muestra dañada ◊ Es posible introducir el valor de una muestra dañada, obteniendo el valor medio de las muestras adyacentes (interpolación).

◊ La señal digital permite la multigeneración infinita sin pérdidas de calidad.

◊ Facilidad para el procesamiento de la señal. Cualquier operación es fácilmente realizable a través de cualquier software de edición o procesamiento de señal.

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software de edición o procesamiento de señal.

7

◊ La transmisión de señales digitales requiere una sincronización precisa entre los tiempos del reloj de

Inconvenientes de la señal digital

sincronización precisa entre los tiempos del reloj de transmisor, con respecto a los del receptor. Un desfase, por mínimo que sea, cambia por completo la señal.

◊ La señal digital requiere mayor ancho de banda para ser transmitida que la analógica.

◊ Se necesita una conversión analógica-digital previa y una decodificación posterior en el momento de la

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una decodificación posterior, en el momento de la recepción.

Sistemas digitales. Definición

-Tipos de circuito de commutación:– Combinacional: La salida depende de los valores actuales

de la entrada.– Secuencial: La salida depende de los valores que ha habido

en la entrada tiene memoria.-Diseño lógico de circuitos combinacionales:

1. Deducir la tabla de verdad que describe su comportamiento2 Simplificar las ecuaciones del circuito (Karnaugh)

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2. Simplificar las ecuaciones del circuito (Karnaugh).3. Implementación utilizando puertas lógicas.

-Diseño lógico de circuitos secuenciales:1. Construir su tabla de estados2. Implementación con biestables y circuitos combinacionales.

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Sistemas digitales. Historia

-Primeros conmutadores: diodos de cristal y de tubos de vacío (1906).

-Transistor (TRT): más pequeño y fiable, de material semiconductor (1950).

-Circuitos integrados (CI): integran gran número de TRT´s (1961).

Clasificación de los CI´s por número de TRT´s que llevan:

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Clasificación de los CI s por número de TRT s que llevan:• SSI: pequeña escala de integración (1 .. 100 transistores).• MSI: media escala de integración (100 .. 1000 transistores).• LSI: gran escala de integración (1000 .. 10000 transistores).• VLSI: alta escala de integración (más de 10000 transistores).

Sistemas de numeración.

DEFINICIÓN i t l ú d t i d DEFINICIÓN: sistema que emplea un número determinado de símbolos (dependiente de la base) para representar números.

Cada dígito tendrá un valor determinado por la posición que ocupa.

n n-1 0 -pSe cumple: Nb = anb+ an-1b + ... + a0b + ... + a-pb

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siendo: ai: símbolo del sistema de numeración,n+1: número de dígitos enteros yp: número de dígitos decimales

9


DENOMINACIÓN: reciben diferentes nombres según su base: •Decimal (base 10). (Símbolos: 0..9). Dígito

1 0 -1 -2Ej: 55,23 = 5*10 + 5*10 + 2*10 + 3*10

•Binario (base 2). (Símbolos: 0,1). Bit.1 -2

Ej: 10,01 = 1*2 + 1*2 = 2,25•Octal (base 8). (Símbolos: 0..7).

1 0 -1

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1 0 1Ej: 65,4 = 6*8 + 5*8 + 4*8 = 53,5

•Hexadecimal (base 16). (Símbolos: 0..9,A,B,C,D,E,F).1 0 -1

Ej: A7,C = 10*16 + 7*16 + 12*16 = 167,75


CONVERSIÓN:-Desde cualquier sistema a decimal:

Sustitución serie: Aplicar la fórmula antes vista (por pesos).

-De decimal a otro sistema en base b:

A. Parte entera del número a convertir:1. Dividir ésta entre b.2. El último cociente (última división) será el dígito de mayor peso

(dígito más a la izquierda) 3. El primer resto (primera división) será el de menor peso

(dígito a la izquierda de la coma decimal)

18

(dígito a la izquierda de la coma decimal).

B. Para la parte fraccionaria:1. Multiplicar ésta por b.2. La parte entera de dicho producto es el siguiente dígito. 3. Si es mayor que la unidad, se resta dicho valor.

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EJEMPLO:Pasar a binario el número decimal: 6,375.

6/2=3 resto 0. 0 (bit de menor peso entero).

3/2=1 resto 1. 1

1/2=0 resto 1. 1 (bit de mayor peso entero).

0,375*2=0,75. 0 (bit de mayor peso fraccionario).

0,75*2=1,5. 1

0,5*2=1. 1 (bit de menor peso fraccionario).

Luego: 6,375 = 110,011

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De binario a octal: Se agrupan los bits de tres en tres y se convierte cada grupo en un dígito octal.

De binario a hexadecimal:

Las agrupaciones son de cuatro bits.

Aritmética binaria.

Es similar a la decimal, pero más sencilla:

SUMA RESTA

0 + 00 + 11 + 01 + 1

0110 y acarreo 1 a la siguiente columna

0 - 00 – 1

1 - 01 – 1

01 y restamos 1 a la siguiente columna10

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Las circuitos lógicos que realizan aritmética binaria son más sencillos que para aritmética decimal.

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Aritmética binaria.

EJEMPLO:

S 8 bitSuma con 8 bits:

1310 = 00001101 +1110 = 00001011 =

----------------00011000 = 2410

Sustración con 8 bits:

13 = 00001101

21

1310 = 00001101 -1110 = 00001011 =

-------------00000010 = 210


Decimal Binario Octal Hexadecimal0 0 0 01 1 1 12 10 2 23 11 3 34 100 4 45 101 5 56 110 6 67 111 7 78 1000 10 89 1001 11 9

10 1010 12 A

22

10 1010 12 A11 1011 13 B12 1100 14 C13 1101 15 D14 1110 16 E15 1111 17 F16 10000 20 10

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Códigos binarios. DEFINICIÓN: Utilizan los dígitos 0 y 1.Utilizan los dígitos 0 y 1.

Código binario natural: se codifica de forma directa. Con n bits se pueden representar 2**n combinaciones diferentes.

Código BCD: se codifica cada dígito decimal (esto es, 0..9) directamente con un código binario.Se requieren al menos 4 bits por cada dígito decimal.

Los códigos pueden tener las siguientes características:• Ponderado: el valor de cada bit depende de la posición que ocupe (peso).

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Ponderado: el valor de cada bit depende de la posición que ocupe (peso). Ej.: Binario natural.

• Continuo: si los números decimales consecutivos tiene representaciones adyacentes, es decir, varían en un único bit.

Ej.: Gray o reflejado.• Cíclico: si la última representación es adyacente a la primera.

Ej.: Gray o reflejado.

Códigos binarios.

CONTROL DE ERRORES:

-Paridad: detecta 1 errorParidad: detecta 1 error◊ Par: número par de 1s

◊ Impar: número impar de 1s

-Polinomiales: correctores

ASCIIASCII

Señal de error

(ASCII + p. par)

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RECEPTOR

7 bits 8 bits 7 bits

EMISOR

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3.2 Algebra de BOOLE

2.1 Teoremas y propiedads. 2.2 Funciones: representación y simplificación.2.3 Funciones incompletamente

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especificadas2.4 Puertas lógicas

Algebra de Boole

◊ George Boole, desarrolló un sistema algebraico para formular proposiciones con 2 símbolos (1 y 0) y a tres formular proposiciones con 2 símbolos (1 y 0) y a tres operadores:

AND (y) -> producto lógico OR (o) -> suma lógica NOT (no)

◊ Las variables Booleanas sólo toman los valores: 1 ó 0.

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◊ Una variable Booleana representa un bit que quiere decir:

Binary digIT

14

Operadores básicos :

Algebra de Boole

◊ La función AND◊ Si todas los dos operandos son “1”, la función vale “1” ◊ Si algún operando es “0”, la función vale“0”

◊ La función OR◊ Si algún operando es “1”, la función vale “1” ◊ Si todos los operandos son “0”, la función vale “0”

◊ La función NOTó

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◊ Si el operando es “0”, la función vale “1” ◊ Si el operando es “1”, la función vale “0”

◊ La tabla de verdad se usa para especificar el comportamiento (función) de dispositivos digitales.

Teoremas básicos:

Algebra de Boole

◊ Operaciones con 0 y 1:X + 0 = X X · 0 = 0X + 1 = 1 X · 1 = X

◊ Idempotencia:X + X = X X · X = X

◊ E i l i

28

◊ Equivalencia:(X’)’ = X

◊ Complementariedad:X + X’ = 1 X · X’ = 0

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Propiedades básicas:

Algebra de Boole

◊ Conmutativa:

XY = YX X + Y = Y + X

◊ Asociativa:

(XY)Z = X(YZ) = XYZ(X + Y) + Z = X + Y + Z

29

(X + Y) + Z = X + Y + Z

◊ Distributiva:

X(Y + Z) = XY + XZX + YZ = (X + Y)(X + Z)

A B · ·BA BABALeyes de Morgan

Algebra de Boole

(XY)’ = X’ + Y’

(X + Y)’ = X’Y’

0 0 1 1 1 00 1 1 0 0 11 0 0 1 0 11 1 0 0 0 1

A AA

30

Convierte AND en ORConvierte OR en AND

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Algebra de Boole. Resumen de Propiedades

P i d d V ió “+” V ió “ “Propiedad Versión “+” Versión “.“

P1. Conmutativa a + b = b + a ab = ba P2. Distributiva a + (bc) = (a + b)(a + c) a(b + c) = ab + ac P3. Asociativa a+(b+c) = (a+b)+c = a+b+c a(bc) = (ab)c = abc P4. Idempotencia a + a = a aa = a P5. Complemento a+a = 1 aa = 0 P6. Elemento identidad 1 + a = 1 0a = 0 P7 Elemento neutro 0 + a = a 1a = a

31

P7. Elemento neutro 0 + a a 1a aP8. Involución o doble complemento

aa =

P9. Absorción a + ab = a a(a+b) = a P10. Leyes de Morgan a b = a b ab a b=

Tabla de verdad de una función de conmutación

D i i D i l RDominio x2 x1 x0

Decimal Equivalente

Rangof(x2,x1,x0)

0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 2 1 0 1 1 3 1

1 0 0 4 1

32

1 0 0 4 1 1 0 1 5 1 1 1 0 6 1 1 1 1 7 0

Expresión de la función: suma de productos (1) o producto de sumas (0)

17

Forma canónica de una función de conmutación

Suma de productos canónicos:

f = x2x1x0 + x2x1x0 + x2x1x0 + x2x1x0 + x2x1x0

Producto de sumas canónicas:

f = (x2+x1+x0)(x2+x1+x0)(x2+x1+x0)

Suma de minterns:

33Expresión de la función: suma de productos (1) o producto de sumas (0)

f = m(2,3,4,5,6)

Producto de MAXTERNS:

f = M(0,1,7)

Mi = mi

Composición de funciones de conmutación

f

00

01

10

11

0

1

0

1

f

f

AND

NOT

34

fNOT (fAND (x1,x0)) = (1 1 1 0) = fNAND

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Teoremas de simplificación

◊ Teorema 1:

XY + XY’ = X (X + Y)(X + Y’) = X

◊ Teorema 2:

X + XY = X X(X + Y) = X

35

( )

◊ Teorema 3:

(X + Y’)Y = XY XY’ + Y = X + Y

Mapas de Karnaugh de una y dos variables

x00

1

0

1

0

1x

0 1

xx1

0 0 10 1

x0

0

Notaciones alternativas

36

0 1

2 3

(00) (01)

(10) (11)

0

1

0 1

2 3x1

Minterm: cada término producto en FC, Maxterm: cada término suma en FC

19

Mapas de Karnaugh de tres y cuatro variables

00 01 11 10x1 x 0

1 230

00 01x2 11 10x1 x 0

0 1 2300

01

00 01

4 5 67

11 10x3x 2

11

12 13 14150

37

14 5 67

11

108 9 1011

a) Tres variables b) Cuatro variables

f(x x x x ) = m(0 2 6 7 8 9 10 14 15)

Representación de FC en mapas de Karnaugh. Minterms

f(x3,x2,x1,x0) = m(0,2,6,7,8,9,10,14,15)

0 1 2300

01

00 01

4 5 67

11 10x1x0

x3x2

f(x2,x1,x0) = m(0,3,7)

1 230

00 01 11 10

x2x1x0m = 0 x2x1x0m = 3

x2x1x0

0

38

11

10

12 13 1415

8 9 1011

0

1 4 5 67

x2x1x0m = 7

0

20

Simplificación de FC sobre mapas de Karnaugh

f(x3,x2,x1,x0 ) = m(0,2,6,7,8,9,10,14,15)f(x3,x2,x1,x0) = m (2,3,6,7)

0 1 2300

01

00 01

4 5 67

11 10x1x0

x3x2

1112 13 1415

1 2300

01

00 01

4 5 67

11 10x1x0

x3x2

1112 13 1415

1011

0

39

01230123012301230123 )( xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxf

x x x x x x x x x x3 1 2 0 2 0 2 0 2 0( ) x x x x x x x x x x3 1 2 0 0 2 0 0 3 1( ( ) ( ))

12302120123 )( xxxxxx= x,x,x,xxf

108 9 1011

108 9 1011

Principal implicado: cada agrupación que será un término producto

f(x2,x1,x0) = m(1,3,4,5)

Estrategias de simplificación

0 1 230

1

00 01

4 5 67

11 10x 2

x1 x 0x1 x 0

1 230

1

00 01

4 5 67

11 10x 2

0

40

11

021201012 )( xxxxxx= ,x,xxf 0212012 )( xxx= x,x,xxf

Mínimo número de principales implicados lo más grande posible

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Estrategias de simplificaciónf(x2,x1,x0) = m(1,3,4,5)

x1x0

0 1 230

1

00 01

4 5 67

11 10x 2

x1 x 0

x1x0

1 230

1

00 01

4 5 67

11 10x20

1 0

1 230

1

00 01

4 5 67

11 10x20

x x

41

1

021201012 )( xxxxxx= ,x,xxf 0212012 )( xxx= x,x,xxf

x1x0

1 230

1

00 01

4 5 67

11 10x20

x1x0

Funciones de cinco variables

1 2300

01

00 01

4 5 67

11 10x1x0

x3x2

12 13 1415

16 17 181900

01

00 01

20 21 2223

11 10

28 29 3031

0

42f(x4,x3,x2,x1,x0) = m (5,8,9,10,11,18,21,22,24,25,26,27)

11

108 9 1011

11

1024 25 2627

x = 04 x = 14

22

Mapa de Karnaugh para FC de 6 variables

1 23

00 01 11 10x1x0

x3x20 1817 19

00 01 11 10x1x0

x3x216

00

014 5 67

11

10

12 1314

15

8 9 1011

x = 05

1817 1900

0121 2223

11

10

28 29 3031

24 25 2627

20

16

33 35

00

00 01

37 3839

11 10x1x0

x3x2

36

32 49 51

00

00 01

53 5455

11 10x1x0

x3x2

52

4834 50

43

x = 04 x = 14

x = 15

01

11

10

44 45 4647

40 41 4243

01

11

10

60 61 6263

56 57 5858

f(x3,x2,x1,x0) = M(0,2,6,7,8,9,10,14,15)

Representación de FC en mapas de Karnaugh. Maxterms

f(x2,x1,x0) = M(0,3,7) (1 3 4 5 11 12 13)

0 1 2300

01

00 01

4 5 67

11 10x1x0

x3x2

1 230

00 01 11 10

M = 0

x2x1x0

0

x1x2 x0++ x2M = 3 + x1 x0+

= m(1,2,4,5,6)= m(1,3,4,5,11,12,13)

44

11

10

12 13 1415

8 9 1011

0

1 4 5 67

M = 7

0

x2+x1 x0+

23

Funciones incompletamente especificadas: ejemplos

•Ejemplo 1: •Ejemplo 2: cara o cruzf(x2,x1,x0) = (1 1 0 0 0 d 0 d)

x2 x1 x0 f

0 0 0 10 0 1 10 1 0 0

j p

Tabla de verdad: CC

Dadoelectrónico

P x1

x0

x2

f

Ejemplo 2: cara o cruz

45

0 1 1 01 0 0 01 0 1 d1 1 0 01 1 1 d

f(x2,x1,x0) = (d 0 1 0 1 0 1 d)

Simplificación de FC incompletamente especificadas

00 01 11 10x1x0

1 2300

01

00 01

4 5 67

11 10x3x2

12 13 1415

d d d0

46f(x3,x2,x1,x0) = m (5,6,8,12,14) + d (0,1,2,9,10,11)

11

108 9 1011

d d d

24

Binario como Voltaje

Las señales digitales tienen 2 estados:g

1 lógico “high”, or H, or “on”0 lógico “low”, or L, or “off”

Utilizamos Voltajes como valores lógicos:Si hay corriente (Vcc or Vdd) = 1Cero Volts or tierra (gnd or Vss) = 0

47

Cero Volts or tierra (gnd or Vss) = 0

Un simple switch es un 1 lógico (high) o un 0 lógico (low).

Un Simple Switch

◊ Un simple switch usado para proporcionar p p p pun valor lógico:

Vcc

Gnd, or 0

Vcc

Vcc, or 1

48

◊Un buen ejemplo binario es una luz(on or off)

25

Puertas lógicas

IInversor

49

Puertas lógicas

AND

50

OR

26

Puertas lógicas

NANDNAND

NOR

51

NOR

Puertas lógicas

XOR

52

XNOR

27

3.3 MODULOS COMBINACIONALES BASICOS.

3.1 Comparadores.3.2 Sumadores y Semisumadores

53

Especificación de un comparador◊ Especificación en alto nivel

◊ Codificación:

Z Condición MA si A > B MB si A < B IG si A = B

A

B

ZCOMPARADOR

A a1 a0 B b1 b0 Z

54

A a1 a0 B b1 b0

0 0 0 0 0 01 0 1 1 0 12 1 0 2 1 03 1 1 3 1 1

Z z1 z0

MA 0 0MB 0 1IG 1 0

28

Especificación binaria◊ Función de conmutación:

◊ Ecuación de conmutación :

a 1 a 0 b 1 b 0 z 1 z 0 a 1 a 0 b 1 b 0 z 1 z 0

0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 00 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 00 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 00 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 10 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 00 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 00 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 00 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0

55

◊ Ecuación de conmutación :z1 (a1,a0,b1,b0) = m (0,5,10,15)z0 (a1,a0,b1,b0) = m (1,2,3,6,7,11)

Suma de dos números

◊ Función de conmutación:◊ Función de conmutación:

a3a2a1a0 b3b2b1b0 s4s3s2s1s0

0000 0000 000000000 0001 000010000 0010 00010

TV del sumador para operandos de 4 bits

A

B

SSUMADOR

56

.... .... ....

.... .... ....1111 1111 11110

29

Sumador◊ Suma de dos números de 4 bits:

1 1 1 arrastresc3 c2 c1 c0

A = 1 0 1 1 operando 1a3 a2 a1 a0

B= 0 1 1 0 operando2

s0 = a0 + b0 (suma base 2)si = ai + bi + ci-1 (suma base 2, i = 1,3)s c

Ejecución de la suma por columnas

57

B 0 1 1 0 operando 2b3 b2 b1 b0

S = 1 0 0 0 1 resultados4 s3 s2 s1 s0

s4 = c3

Semisumador

Tabla de VerdadTabla de Verdadx y C S0 0 0 00 1 0 11 0 0 11 1 1 0

Implementación

X

Y

A

BY SXOR 2

58

Equationes Lógicas:

C = x • yS = x y

A

BY CAND 2

30

SumadorSumador Total o Completo

A

B

CIN

COUT

SSUMADOR

TOTAL

Tabla de VerdadA B CIN COUT S0 0 0 0 00 0 1 0 10 1 0 0 10 1 1 1 01 0 0 0 11 0 1 1 0

59

1 0 1 1 01 1 0 1 01 1 1 1 1

Sumador Sumador Total o Completo:

A

B

C C

S

Implementación: Equationes Lógicas:

COUT = A•B + A•CIN + B•CIN

COUT = (A B)•CIN + A•B

60

CIN COUT

S = A B CIN

31

SumadorSumador de 4 bits

SC SS

a3 b3 a2 b2 a1 b1 a0 b0

c1 c0c2c3

SUM

SCSC

61

s1 s0s2s3s4

Sumador/restador binario para números de 4 bits en C2

b b b b

F(Paso / C a 1)

a3 a2 a1 a0 b3 b2 b1 b0

x3 x2 x 1 x0c3

S/R

62

SUMADOR

s3 s 2 s 1 s 0

c -1c3

32

Generación del segundo operando

b b b bb3 b2 b1 b0

S/R

F

63

x3 x2 x1 x0

Sumador/restador binario de 16 bits en C2

c -1

S/RF

SUMADORc 3

a3 a0- b3 b0-

4 4

F

SUMADORc 7

a7 a4- b7 b4-

4 4

F

SUMADORc 11

a11 a8- b11 b8-

4 4

F

SUMADORc 15

a15 a12 b15 b12-

4 4

-

64

s 3 s 0-

4

s 7 s 4-

4

s 11 s 8-

4

s 15 s 12-

4

tema iii circuitos digitales - dsa-research.orgdsa-research.org/teresa/electronica/t3-1.pdf ·...

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