TEMA 8:

ELEMENTOS DEL MOVIMIENTO

Hay movimiento por todas partes a nuestro alrededor, lo vemos en la actividad cotidiana de las personas,

en los coches que pasan por la carretera y, con un poco de paciencia, lo vemos en las estrellas por la noche.

A nivel microscópico hay movimientos que no percibimos directamente: los átomos en movimiento producen

calor y sonido, los electrones que fluyen producen electricidad, y los electrones que vibran dan origen a la

radio y la televisión. Incluso la luz que nos permite ver el movimiento tiene su origen en el movimiento de

los electrones de los átomos.

� El movimiento está en todas partes, es fácil reconocerlo pero no lo es tanto describirlo

� Nosotros vamos a definir el movimiento es términos de razones de cambio, las cuales nos indican

cuánto cambia una cantidad en un cierto intervalo de tiempo. Describiremos el movimiento en

función de la rapidez, velocidad y aceleración.

Todo se mueve. Hasta las cosas que parecen estar en reposo se mueven respecto al sol y las estrellas, es

decir, su movimiento es relativo a estos astros. Un libro que está en reposo respecto a la mesa sobre la

que se encuentra se mueve a unos 30 km por segundo respecto al sol, y aún más deprisa respecto del

centro de nuestra galaxia. Cuando viajamos en un avión, creemos que estamos en reposo y no dudaríamos

en afirmar que la azafata que se pasea por el pasillo está en movimiento.

Cuando estudiamos el movimiento de un objeto, lo describimos respecto de otro objeto. Entonces, ¿cuándo

podemos decir que un objeto se mueve?

� Un objeto se mueve cuando su posición varía con respecto a un punto o un sistema de referencia

elegido que se considera fijo

� En esta definición se introducen dos conceptos claves para la comprensión de los movimientos: La

posición de un móvil y el sistema de referencia con respecto al que se determina la posición

� A la hora de analizar la mayoría de los movimientos de muchos cuerpos (como el de la Tierra, el de un

avión, etc…), se considera que éstos se mueven como un único punto, siempre y cuando las dimensiones

del cuerpo no interfieran en el estudio del movimiento. Ese punto dotado de la masa del cuerpo , se

denomina “punto material”

1- EL MOVIMIENTO ES RELATIVO

2

1.1- SISTEMA DE REFERENCIA Y MOVIMIENTO � Es un punto del espacio respecto al cual describimos

el movimiento.

� Un objeto se encuentra en movimiento si cambia su

posición respecto al sistema de referencia

� Para determinar con cierta exactitud la posición de

un objeto es necesario especificar tres coordenadas

(tantas como dimensiones hay); a las dos

correspondientes a la representación en un plano hay

que añadir la altura.

� Por tanto, los sistemas de referencia cuentan a su vez con uno (x), dos (x,y) o tres ejes

(x,y,z), perpendiculares entre sí, según trabajemos en una recta, en un plano, o en el espacio.

1.2- VECTOR POSICIÓN ( r )

La posición de un cuerpo con respecto a un punto de referencia queda definida por el vector que une dicho

punto de referencia con el lugar ocupado por el cuerpo. El origen de dicho vector de posición es el del

sistema de referencia elegido, y su extremo, el lugar ocupado por el cuerpo. Utilizando la simbología

matemática (x, y, z); su expresión será: kzjyixrr

rr

r ++=

Observamos como el vector posición ( )rr

se expresa en función de las coordenadas y para dar carácter

vectorial a mismas, cada una de ellas se multiplica por los vectores unitarios ( )kjir

rr

,, de módulo uno

� Cuando el movimiento transcurre en línea recta, se puede prescindir de la notación vectorial. En este caso utilizaremos los signos + y – para indicar los dos posibles sentidos

RReepprreesseennttaacciióónn ddee vveeccttoorreess ppoossiicciióónn

j

x

y

z

i

k

P

y

x i

j

r

P

En dos dimensiones En tres dimensiones

rr

= 4 ir

+ 3 jr

rr

= 3 ir

+ 2 jr

+ 2 kr

j x

y

z i

k

3

Imagina que un cuerpo se desplaza 5 m cada segundo en una dirección determinada (por ejemplo en el

ejex). Al cabo de un segundo, estará a 5m del punto de partida; en dos segundos, se encontrará a 10

metros, despues de tres a 15m, y así sucesivamente. Su posición cambia con el tiempo, es decir , el

vector de posición es una función del tiempo y lo expresaríamos así: )(5 mtx ⋅=

Para ser más rigurosos , también se puede escribir su posición vectorialmente: )(5 mitrr

r ⋅=

� La ecuación que proporciona la posición de un objeto con respecto al tiempo se llama “ecuación

del movimiento”: rr

(t) = x(t) · ir

+ y(t) · jr

+z(t) · kr

� El hecho de que el factor tiempo aparezca en la expresión de la posición indica que el cuerpo está

en movimiento

� Al dar diversos valores al tiempo, se pueden representar las distintas posiciones que va ocupando

el cuerpo. Si se unen dichas posiciones mediante una línea, habremos dibujado la trayectoria que

sigue un cuerpo en su movimiento

Ejercicio:

Sea el movimiento definido por la siguiente ecuación rr

= 2t ir

+ 8 jr

en unidades del S.I. Dibujar los

vectores posición en los instantes 0, 2, 4 y 6 segundos.

� En este caso la trayectoria seria una línea recta

t (s) rr

(m) Coordenadas

0 8 jr

(0,8)

2 4 ir

+ 8 jr

(4,8)

4 8 ir

+ 8 jr

(8,8)

6 12 ir

+ 8 jr

(12,8)

y

x

5

5 10

5

2- ECUACIÓN DEL MOVIMIENTO (ECUACIÓN DE LA POSICIÓN)

4

EEccuuaacciioonneess ppaarraammééttrriiccaass..

Son las ecuaciones que relacionan cada componente cartesiana con el tiempo. x = f(t) ; y = f(t) ; z = f(t) Son ecuaciones escalares (no vectores).

Ejemplo:

En el vector: rr

(t) = [2t ir

+ (1–t) jr

+ (3t2+4) kr

] m, las ecuaciones paramétricas serían:

x = 2t ; y = 1 – t ; z = 3t2 + 4

Cuando se habla del movimiento de los cuerpos, con frecuencia se emplean indistintamente y con

escaso rigor ciertos términos que es preciso distinguir:

3.1 - TRAYECTORIA La trayectoria es la línea geométrica que el cuerpo describe en

su movimiento.

Los diferentes puntos de dicha línea se obtienen dando valores a

“t” en la ecuación del movimiento (paramétricas).

EEccuuaacciioonneess ddee llaa ttrraayyeeccttoorriiaa..

Se obtienen despejando el parámetro (tiempo) en una

ecuación y sustituyendo el valor en la otra. Son ecuaciones

escalares (no vectores).

Ejercicio:

Determinar las ecuaciones paramétricas y de la trayectoria del siguiente movimiento expresado por

la ecuación: rr

(t) = [(t – 2) ir

+ (2t2 + 4t –3 ) jr

] m

y

x i i

j

trayectoria

3.- DESPLAZAMIENTO, TRAYECTORIA Y ESPACIO RECORRIDO

5

Ecuaciones paramétricas: x = t – 2 ; y = 2t2 + 4t –3 Despejando “t”de la 1ª ecuación: t = x + 2, y sustituyendo en la segunda:

y = 2 (x + 2)2 + 4·(x + 2) –3 = 2 (x 2 + 4x + 4) + 4·(x + 2) –3

y = 2 x 2 + 8x + 8 + 4x + 8 –3

Ecuación de la trayectoria: y = 2 x 2 + 12x + 13

3.2- VECTOR DESPLAZAMIENTO ( ( )rr∆ )

Desplazamiento significa lo mismo que “variación de la posición”, es decir, es la diferencia entre la

posición inicial y la final. Dado que la posición se representa mediante vectores, el desplazamiento

será un vector cuyo origen es la posición inicial y cuyo extremo es la posición final del cuerpo. Por

lo tanto el vector desplazamiento es el resultante de la diferencia de dos vectores de posición en dos

momentos distintos. inicialfinal rrrrrr −=∆

rr∆ = r

r

1 – rr

0 = (x1–x0) ir

+ (y1–y0) jr

+ (z1–z0) kr

rr∆ = ∆∆∆∆x i

r

+ ∆∆∆∆ y jr

+ ∆∆∆∆z kr

Ejercicio:

Cuál será el vector desplazamiento y su módulo en la ecuación: rr

(t) = 3t ir

+ (2t2 – 6) jr

en

unidades del S.I entre los instantes t = 2 s y t = 4 s.

1rr

(t =2 s) = (6 ir

+ 2 jr

) m ; 2rr

(t= 4 s) = (12 ir

+ 26 jr

) m

rr∆ = 2r

r

– 1rr

= ∆∆∆∆x ir

+ ∆∆∆∆y jr

+ ∆∆∆∆z kr

= [(12 – 6) ir

+ (26 – 2) jr

] m

rr∆ = (6 i

r

+ 24 jr

) m r

r∆ = (62 + 242)1/2 m = (36 + 576)1/2 m = 24,74 m 3.3- ESPACIO RECORRIDO (∆S)

Es una magnitud escalar que mide la longitud de trayectoria

recorrida.

NO hay que confundir con el vector desplazamiento;

normalmente ∆∆∆∆s > rr∆ , aunque en trayectorias rectilíneas y

que no cambien de sentido el movimiento: ∆∆∆∆s = rr∆

y

x i

j

r1 r2

∆∆∆∆r

∆∆∆∆s

6

Un objeto en movimiento recorre una cierta distancia en un tiempo determinado. Un coche, por ejemplo,

recorre un cierto número de kilómetros en una hora. La rapidez es una medida de qué tan aprisa se mueve

un objeto. Se define como la distancia recorrida por unidad de tiempo. Cualquier combinación de

unidades de distancia y tiempo que sean útiles y convenientes son válidas para describir una rapidez, su

unidad en el sistema internacional son los m/s.

4.1 – RAPIDEZ MEDIA O CELERIDAD (VM) Cuando alguien planea realizar un viaje en coche, a menudo le interesa saber cuánto tiempo invertirá en

recorrer cierta distancia. Desde luego, el coche no viajará con la misma rapidez durante todo el recorrido.

Al conductor le interesará sólo la rapidez promedio a lo largo del trayecto:

tiempodeervalo

recorridatotalciadismediarapidez

int

tan=

La rapidez media o celeridad no nos indica las variaciones de rapidez que pueden ocurrir durante el

trayecto. En la práctica, durante el viaje, experimentaremos varias, de manera que la rapidez promedio

suele ser muy diferente de la rapidez instantánea

t

svm ∆

∆=

� En el lenguaje cotidiano empleamos las palabras rapidez y velocidad de manera indistinta. En

física hacemos una distinción entre ellas; la diferencia es que la velocidad es la rapidez en una

dirección determinada. Cuando decimos que un coche viaja a 60 km/h estamos indicando su

rapidez. Pero si decimos que se desplaza a 60 km/h hacia el norte estamos especificando su

velocidad

� La rapidez describe cómo de rápido se desplaza un objeto (es una magnitud escalar) ( mv )

� La velocidad nos dice cómo de rápido y en qué dirección (es una magnitud vectorial) ( mvr

)

4.2 – VELOCIDAD MEDIA ( )mvr

En términos físicos, la velocidad media de un cuerpo es la relación entre el desplazamiento efectuado y el

tiempo invertido en realizarlo. Es por lo tanto una magnitud vectorial.

t

rvm ∆

∆=r

r

⇒ kt

zj

t

yi

y

xvm

rrr

r

∆∆+

∆∆+

∆∆= ⇒ kvjvivv mzymxmm

rrr

r ++=

4- LA VELOCIDAD DE LOS CUERPOS

7

� La dirección y el sentido del vector velocidad media es igual que la del vector

desplazamiento ( )rr∆ ya que ∆∆∆∆t es un escalar.

� NO hay que confundir ( )mvr

con el escalar vm= ∆∆∆∆s/∆∆∆∆t que, en Física, llamaremos rapidez o

celeridad media.

� Ni siquiera el módulo del vector velocidad media mvr

tiene porqué coincidir con la rapidez o

celeridad media. Por ejemplo, un corredor que da una vuelta completa a un circuito tendrá

mvr

= 0 ya que rr∆ = 0. Sin embargo tiene una rapidez que viene determinada por la longitud

de la pista (∆∆∆∆s) dividido por el tiempo empleado en cubrir la vuelta (∆∆∆∆t).

� En el S.I. la unidad será el m/s.

La paradoja de la velocidad media Si se intentara evaluar la velocidad media correspondiente al tiempo que tarda en hacer un trayecto

de ida y vuelta a la misma posición inicial, se obtendría un resultado paradójico: un movimiento con

velocidad media cero, ya que las posiciones inicial y final coinciden.

Esta circunstancia restringe el concepto de velocidad media prácticamente a movimientos rectilíneos

y uniformes, aunque lo que realmente es útil es utilizar la velocidad instantánea y, por ello, nos

referiremos a ella como “velocidad” a secas

4.3 – VELOCIDAD INSTANTÁNEA ( )vr

En términos físicos, la velocidad instantánea se define como la velocidad media en el límite en que el

tiempo se hace casi cero. t

rvv

otm

t ∆∆==

→∆→∆

r

rr

limlim0

Ahora bien, ¿cómo se calcula la velocidad instantánea de un determinado movimiento? Vamos a verlo con un ejemplo:

Ejemplo 1:

Imagina un cuerpo que se mueve en la dirección del eje x según la ecuación: x= 3t2 – 4t (m). Se desea calcular se

velocidad instantánea cuando t=2 segundos. Evidentemente para medir la velocidad se necesita un intervalo de

tiempo, por pequeño que sea este. Fíjate que se escribe ∆t → 0 (que se lee incremento de tiempo tiende a cero) y

no ∆t = 0, ya que en este caso no podría haber desplazamiento. El procedimiento sería:

� Seleccionar un intervalo de tiempo lo más pequeño posible. Así, por ejemplo, se toma un intervalo de

0,0001 segundos

� Calcular la velocidad media en ese intervalo de tiempo

Xiniccial = x (t=2) = 4m xfinal = x (t= 2+0,0001) = 4,00080003 m

smt

xxv inicialfinal

m /0003,8=∆−

=

� El valor hallado es prácticamente la velocidad instantánea en el tiempo t= 2 s . Decimos

“prácticamente” y no exactamente porque el valor exacto sería el valor límite al que tendería la serie

de valores que se obtendrían al considerar intervalos de tiempo cada vez más pequeños

8

Por lo tanto, el vector velocidad instantánea es el vector valor límite que toma la velocidad media cuando

los intervalos de tiempo ∆t van aproximándose a 0.

03rr∆ tiene un módulo más cercano al espacio recorrido ∆∆∆∆s03 que 02r

r∆ a ∆∆∆∆s02 y 01rr∆ a ∆∆∆∆s01

A medida que ∆∆∆∆t se hace más pequeño también es menor ∆∆∆∆s y rr∆ y además ambos valores se van

aproximando cada vez más, por lo que en el límite cuando ∆∆∆∆t →→→→ 0, rr∆ será tangente a la

trayectoria y su módulo coincidirá con ∆∆∆∆s.

Matemáticamente la expresión que hemos empleado para calcular la velocidad instantánea como límite

cuando ∆∆∆∆t →→→→ 0 de intervalos de rr∆ cada vez más pequeños equivale a la derivada de una función;

en este caso; derivada con respecto al tiempo del vector de posición

td

rdv

t

trttrv

t

r

r

rr

r =⇒∆

−∆+=→

)()(lim

0

CCoommppoonneenntteess ccaarrtteessiiaannaass ddee llaa vveelloocciiddaadd iinnssttaannttáánneeaa

vr

= lim t

r

∆∆r

= lim t

kzjyix

∆∆+∆+∆

rrr

∆t→0 ∆t→0

kdt

dzj

dt

dyi

dt

dx

dt

rdv

rrr

r

r ++==

∆∆∆∆r01

y

x

r1 r2

∆∆∆∆r02 r0

∆∆∆∆r03

r3

V2

y

x

r1 r2

V1

V2x

V2y

vr

= xvr

+ xvr

= vx ir

+ vy jr

Ejemplo 2 :

Calcular la velocidad instantánea aproximada en el instante t = 2s, en el movimiento:

rr

(t) = [3t ir

+ (2t2 – 6) jr

] m

Si queremos calcular v (t = 2 s) de forma más aproximada deberemos tomar un ∆∆∆∆t aún menor, por ejemplo 0,01 s, y conocer la posición en r1 (t =2 s) y en r3 (t = 2,01 s).

1rr

(t =2 s) = (6 ir

+ 2 jr

) m

3rr

(t =2,01 s) = (6,03 ir

+ 2,0802 jr

) m

rr∆ = 3r

r

– 1rr

= (0,03 ir

+ 0,0802 jr

) m

vaprox (t=2 s) =( ) ( ) smji

ji

t

r/02,83

01,0

0802,003,0 rr

rr

r

+=+=∆∆

9

vr

= vx ir

+ vy jr

+ vz kr

La dirección de vr

es tangente a la trayectoria en el instante en el que calculemos la velocidad. El sentido es el del movimiento.

MMééttooddoo pprrááccttiiccoo ddee ddeerriivvaacciióónn ddee ppoolliinnoommiiooss

Por ahora sólo se necesitará derivar polinomios, lo cual en la práctica es bastante sencillo:

basta multiplicar el exponente de la variable dependiente por el coeficiente y rebajar en un

grado el exponente de la variable dependiente; y eso con cada uno de los términos del

polinomio.

En general, sea y = a · xn + b · xn–1 + ... + f · x + g

dy/dx = n·a· xn–1 + (n –1)·b· xn–2 + ... + f

Ejemplo:

Obtener dx/dt sabiendo que: x = 5 t3 + 4 t2 – 3 t + 2

dx/dt = 15 t2 + 8t – 3

La aceleración de un cuerpo mide la rapidez con que varía su velocidad. Matemáticamente la podemos

expresar de la siguiente forma: inicialfinal

inicialfinal

tt

vv

t

va

−−

=∆∆=

rrr

r

La aceleración así definida se denomina aceleración media y su unidad en el SI es m/s2

La aparente sencillez de esta definición, sin embargo encierra dos aspectos muy importantes que hay que

tener en cuenta:

� Dado que la velocidad es un vector, varía cuando lo

hace cualquiera de sus atributos. Por tanto, la

aceleración no sólo se produce cuando cambia el valor

(módulo) de la velocidad, sino que basta con que se

modifique la dirección de la velocidad para que exista

aceleración aunque el módulo de la velocidad no cambie.

� Variación de la velocidad no siempre significa

“aumento” de velocidad, también puede ser

“disminución”. En ambos casos, se trata de un

movimiento con aceleración

5.- La aceleración de los cuerpos

vr∆ = 12 vv

rr −

V2

y

r1

r2

V1

∆∆∆∆V V2

10

5.1- ACELERACIÓN MEDIA ( mar

) La definición es similar a la de la velocidad, si bien tiene un significado totalmente distinto, pues

indica la variación de velocidad con el tiempo.

t

kvjviv

t

va zyx

m ∆∆+∆+∆

=∆∆=

rrr

r

r

mar

= amx ir

+ amy jr

+ amz kr

5.2- ACELERACIÓN INSTANTÁNEA ( ar

) Todo lo que hemos dicho para la velocidad es igualmente aplicable a la aceleración. En términos físicos, la

aceleración instantánea se define como la aceleración media en el límite en que el intervalo de tiempo es

prácticamente cero

td

vd

t

vaa

tm

t

rr

rr =∆∆==

→∆→∆ 00limlim

kajaiaakdt

dvj

dt

dvi

dt

dva

t

kvjviva zyx

zyxzyx

t

rrr

r

rrr

r

rrr

r ++=⇒++=⇒

∆∆+∆+∆

=→∆ 0

lim

� La dirección y el sentido de ar

son los mismos que los del vector incremento de velocidad vr∆

5.3- COMPONENTES INTRÍNSECAS DE LA ACELERACIÓN ( tn ayarr

) Puesto que la velocidad es un vector (con sus tres atributos), podremos distinguir dos tipos de aceleración:

una asociada a la variación del módulo de la velocidad y otra asociada a los cambios en la dirección de la

velocidad (es decir, a los cambios en la dirección del movimiento). Estos dos tipos de aceleración se suelen

llamar componentes intrínsecas y son:

ACELERACIÓN TANGENCIAL: El término aceleración implica cambios en la velocidad, mientras que

tangencial indica que la dirección en la que actúa es la tangente a la trayectoria y, por tanto, la misma

dirección que el vector velocidad. Por consiguiente sólo afectará al módulo de la velocidad. La podemos

definir como un vector con los siguientes atributos:

� MÓDULO: Su valor equivale a la rapidez con que varía el módulo de la velocidad dt

dvat =⇒

� DIRECCIÓN: Es tangente a la trayectoria en todos los puntos

� SENTIDO: Igual que el del movimiento si el módulo de la velocidad aumenta y contrario si disminuye.

� VECTORIALMENTE : tt udt

dva

rr = donde tur

es un vector unitario en la dirección tangencial

11

ACELERACIÓN NORMAL, RADIAL O CENTRÍPETA: El término centrípeta indica que su dirección de actuación

es hacia el centro de la curva. Por tanto, este tipo de

aceleración aparece cuando los movimientos son curvilíneos.

Produce cambios en la dirección de la velocidad sin afectar a su

módulo. Como vector tiene las siguientes características:

� MÓDULO: Su valor equivale a dividir el cuadrado del valor de

la velocidad entre el radio de la curva descrita r

vac

2

=

� DIRECCIÓN: Es radial, es decir, la dirección del radio de la

curva descrita

� SENTIDO: Es siempre hacia el centro de la curva

� Empleando NOTACIÓN VECTORIAL rc ur

va

rr ⋅=⇒

2

donde rur

, es el vector unitario en la dirección

radial. El signo negativo indica que está dirigida hacia el centro de la curvatura.

12

EJERCICIOS

1. Escribe el vector de posición y calcula sus módulos correspondientes para los siguientes puntos: P1

(4,2,–1), P2 (–3,1,0) y P3 (1,0,–5); Las unidades de las coordenadas están en el Sistema Internacional.

2. Sea rr

(t) = (3t – 4) ir

+ 3 jr

– 2 kr

, en unidades del SI, el vector de posición de un móvil Calcula rr

(t)

para t = 2 y t = 5 s así como el vector desplazamiento entre ambos instantes.

3. Determinar las ecuaciones paramétricas y de la trayectoria del siguiente movimiento expresado por la

ecuación: ( rr

t) = [(t2 – 5 t – 2) ir

+ (3 t +1) jr

] m.

4. Las ecuaciones paramétricas de un móvil son: x = 2 t – 1, y = 2 t2 + t – 4 , en unidades SI. Obtén la ecuación de la trayectoria y decide qué tipo de curva es.

5. El vector de posición de una partícula es: ( rr

t) = (2 t2 + t – 1) ir

+ (t +2) jr

, en unidades Sl. Determina: a) El vector de posición en los instantes t = 1 y t = 3 s. b) El vector desplazamiento entre los instantes anteriores y su módulo. c) La ecuación de la trayectoria en unidades SI. Dibuja aproximadamente esta trayectoria.

6. Razona si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas: a) el espacio recorrido es siempre igual

al módulo del vector desplazamiento; b) el espacio recorrido es siempre igual al módulo del vector desplazamiento sólo en los movimientos lineales; c) la velocidad y la rapidez instantáneas son magnitudes idénticas; d) el módulo de la velocidad instantánea es siempre igual a la rapidez instantánea; e) el módulo de la velocidad media es siempre igual a la rapidez media; f) un móvil cuya rapidez es distinta de cero puede tener el módulo de su vector velocidad media igual a cero entre dos puntos de su trayectoria.

7. Calcular la velocidad media entre los instantes t = 2,5 s y t = 3,5 s, así como su módulo en el

movimiento: (t) rr

= [(t2 + 4 t – 2) ir

+ (3t – 1) jr

] m.

8. Un móvil se desplaza en línea recta a lo largo del eje x ocupando las siguientes posiciones a cada

instante de tiempo: t (s) 0 2 4 6 8 10 12 x (m) 0 8 32 72 112 152 192

Contesta: a) A partir de los datos, ¿cuántos movimientos distintos observas? b) ¿Cuál será la ecuación de la posición en función del tiempo en cada tramo? c) ¿Cual es el vector posición en los instantes t = 1 s y t = 9 s? d) ¿Cual es el vector desplazamiento y el vector velocidad media entre los puntos del apartado anterior?

9. Un movimiento viene determinado por las siguientes ecuaciones paramétricas:

x (t) = 5 – t; y(t) = 3 t2 – 2 t + 7; en unidades del S.I. Expresa en forma cartesiana a) los vectores de posición para t = 3 s y t = 5 s. b) el vector desplazamiento entre ambos puntos. c) Calcula, bien usando derivadas, o bien de forma aproximada utilizando ∆t = 0,01 s las componentes del vector velocidad para t = 3 s y su módulo. d) Escribe la ecuación de la trayectoria.

13

10. Un móvil sigue el recorrido A→B→C indicado en el gráfico (las distancias se miden en metros).

a) Calcular el vector desplazamiento en cada uno de los dos tramos. b) Si el tiempo que tarda en completar el tramo A→B es de 5 s y el B→C de 10 s, calcula el vector velocidad media de cada tramo así como la velocidad media total; c) Calcula los módulos de todas las velocidades obtenidas en el apartado anterior.

11. Calcular la velocidad instantánea, usando derivadas y de manera

aproximada utilizando intervalos ∆t = 0,01 s, en el instante t = 3s, así como su módulo para un móvil cuya

ecuación del vector posición es: rr

(t) = [(t2 + t – 2) ir

+ (4t – 1) jr

] m

12. Razona si un motorista que lleve una velocidad constante a lo largo de un circuito cerrado sufrirá

aceleración.

13. Calcular la expresión del vector aceleración, usando derivadas o de manera aproximada utilizando

intervalos ∆t = 0,01 s, del movimiento cuyo vector velocidad era vr

(t) = [(2 t2 – 1) ir

+ (3 t + 2) jr

]

m/s en el instantes t = 5 s, así como su módulo.

14. Un móvil va por un circuito circular de 50 m de radio. El módulo de la velocidad aumenta según la

ecuación: vr

(t) = (4 t – 2) m/s. Calcula: a) la aceleración tangencial; b) la aceleración normal; c) el módulo del vector a a los 3 s.

15. Un móvil se desplaza por el plano XY según las ecuaciones paramétricas: x = t3 + 4; y = 2 t2 – t +5, en

unidades del SI. Calcula: a) la expresión de la velocidad y de la aceleración del móvil; b) Calcular el módulo de la velocidad y de la aceleración para t = 12 s.

16. La ecuación de posición de un móvil es: rr

(t) = (2 t2 + 2) ir

+ [(8/3) t3 – 1] jr

+ (t + 2) kr

(se expresa la posición en metros al expresar el tiempo en segundos). Calcular: a) el vector velocidad y su módulo en función de “t”; b) el vector aceleración y su módulo en función de “t”; c) la aceleración tangencial y la normal en función de “t”; d) el radio de curvatura para t = 2s.

17. La posición de una partícula móvil viene en función del tiempo: 224 tytx ⋅=⋅= Determina para t=1s: a) Los vectores velocidad y aceleración, así como sus módulos; b) Las componentes intrínsecas de la aceleración c) el radio de curvatura de la trayectoria; d) La ecuación de la trayectoria

18. La ecuación de la posición de un móvil viene dada por: kjtitrr

rr

r +⋅+= 23 Calcula: a) La velocidad media en el intervalo 2 y 5 segundos; b) La velocidad para t=0; c) La aceleración en cualquier instante; d) La aceleración centrípeta y la tangencial

19. La componente x de la velocidad de un objeto viene dada por 25103 2 +−= ttvx y la componente vy es

constante e igual a 2m/s y está dirigida hacia abajo. Expresa en función de los vectores unitarios la velocidad inicial vo del objeto y la velocidad a los tres segundos. ¿Cuál ha sido la variación de velocidad entre esos dos instantes y su vector aceleración media?