1º bachillerato matemÁticas i – estadÍstica, cÓnicas y...

1º BACHILLERATO MATEMÁTICAS I – ESTADÍSTICA, CÓNICAS Y NÚMEROS COMPLEJOS PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES

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1.- DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES

Diagrama de dispersión o nube de puntos

Cuando se quieren estudiar dos características X e Y de una misma población, los datos que se obtienen son parejas de valores (x

i, y

i). El conjunto de datos (x

i, y

i) se llama distribución bidimensional

y la representación gráfica de los puntos (xi, y

i) se llama diagrama de dispersión o nube de puntos. Ejemplo:

Notas de 12 alumnos en Matemáticas y Física Alumno a b c d e f g h i j k l

Notas de Matemáticas = X 2 3 4 4 5 6 6 7 7 8 10 10 Notas de Física = Y 1 3 2 4 4 4 6 4 6 7 9 10

Correlación entre dos variables La correlación entre dos variables es el grado de concentración de la nube de puntos en torno a una línea imaginaria (creciente o decreciente) y nos indica si hay más o menos relación entre las X e Y. En el ejemplo anterior, la nube de puntos se concentra en torno a una línea creciente. Podemos deducir que las notas de un determinado alumnos en física y matemáticas son parecidas. La correlación será positiva o directa si la línea es creciente y negativa o inversa si es decreciente y será más fuerte cuanto mayor sea la concentración de los puntos entorno a esa línea. Se dice que hay correlación lineal si la nube de puntos se concentra en torno a una recta. La correlación lineal se mide con un número r entre –1 y 1, llamado coeficiente de correlación

Ejemplos:

Correlación lineal directa

fuerte

Correlación directa

débil

Correlación inversa

fuerte

Correlación lineal inversa

débil

Correlación nula


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ACTIVIDADES 1.- En los siguientes casos dibuja el diagrama de dispersión a) Se ha realizado una encuesta preguntando por el número de personas que habitan en el hogar familiar y el número de dormitorios que tiene la casa. La tabla siguiente recoge la información obtenida:

X = número de personas 3 5 4 6 4 Y = número de dormitorios 2 3 4 4 3

b) A 12 alumnos de un centro se les preguntó a qué distancia estaba su residencia del Instituto, con fin de estudiar si esta variable estaba relacionada con la nota media obtenida. Se obtuvieron los datos que figuran en la siguiente tabla:

Distancia (en km) 0,05 0,1 0,12 0,4 0,5 0,7 1 1,2 2,1 2,5 3 3

Nota media 8,4 4 5,7 9,1 6,3 6,7 4,3 5,4 7,8 4,5 7,2 8,1

c) El número de gérmenes por cm3 en un enfermo que se está curando viene dado por la tabla

X = horas 0 1 2 3 4 Y = número de gérmenes 80 60 50 40 20

d) El número de libros vendidos en una librería y la temperatura del día

X = temperatura (ºC) 20 21 22 23 24 25 Y = número de libros 10 70 50 20 90 10

2.- Los coeficientes de correlación de 4 distribuciones bidimensionales son (no necesariamente por ese orden): –0,04; 0,96; 0,65 y –0,37. ¿Cuál corresponde a cada gráfico?

3.- Los números 0,2; –0,9; –0,7 y 0,6 corresponden a los coeficientes de correlación de las siguientes distribuciones bidimensionales. Asigna a cada gráfica el suyo:

4.- Los coeficientes de correlación de estas distribuciones bidimensionales, son, en valor absoluto, 0,55; 0,75; 0,87 y 0,96. Asigna a cada uno el suyo, cambiando el signo cuando proceda.


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2.- MEDIDAS ESTADÍSTICAS BIDIMENSIONALES

Dadas dos variables estadística X e Y se definen las siguientes medidas: Medias aritméticas de X y de Y

i ix .fx

n

i iy .f

yn

Centro de gravedad de la distribución: (x , y)

Varianza y desviación típica de X y de Y

22 2i ix

2x x

x .fvar ianza: s x

n

X

Desviación típica: s s

22 2i iy

2y y

y .fvar ianza: s y

n

Y

Desviación típica: s s

Covarianza entre X e Y

i i i

xyx y f

s x yn

También se puede usar la fórmula

(x x)(y y)i isxy

n

Coeficiente de correlación lineal de Pearson

xy

x y

srs s

Si r = 1 ó r = –1, la nube de puntos se ajusta perfectamente a una recta

Ejemplo:

Se ha realizado una encuesta preguntando por el número de personas que habitan en el hogar familiar y el número de dormitorios que tiene la casa. La tabla siguiente recoge la información obtenida:

X = nº de personas 3 5 4 6 4 Y = nº de dormitorios 2 3 4 4 3

total

xi 3 5 4 6 4 22 yi 2 3 4 4 3 16 xi2 9 25 16 36 16 102 yi2 4 9 16 16 9 54 xi.yi 6 15 16 24 12 73

Como vemos, n = 5 y además las frecuencias absolutas, fi, son todas iguales a 1

i i ix f x 22

x 4,4n n 5

2 2 22 22 i i i

x

x f x 102 22s x x 1,04

n n 5 5

2

x xs s 1,04 1,0198

i i iy f y 16

y 3,2n n 5

2 2 22 22 i i i

y

y f y 54 16s y y 0,56

n n 5 5

2y y

s s 0,56 0,7483

i i i i ixy

x y f x y 73 22 16s x . y x . y 0,52

n n 5 5 5 xy

x y

s 0,52r 0,6814

s .s 1,0198.0,7483

Como el coeficiente de correlación es positivo y próximo a 0,5, la correlación es directa debil


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Tablas de doble entrada Cuando las datos (x

i, y

i) se repiten se suele utilizar una tabla de doble entrada para evitar escribir la

misma pareja varias veces.

Ejemplo: A un grupo de padres se les ha preguntado por el número de hijos que tienen y el número de horas que ven diariamente la televisión. Los resultados se han recogido en la siguiente tabla de doble entrada: X = número de hijos, Y = número de horas que ven la televisión.

X Y

0 1 2

0 2 1 0 1 3 4 1 2 0 5 3

Por ejemplo, la pareja de valores (1, 1) aparece 4 veces lo que significa que hay 4 padres que tienen 1 hijo y ven la televisión 1 hora. Calculemos el coeficiente de correlación

ACTIVIDAD 1.- Se han recogido una serie de datos y se ha hecho la siguiente tabla de doble entrada.

Halla las medidas bidimensionales e indica el tipo de correlación que hay entre X e Y.


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3.- RECTAS DE REGRESIÓN

Cuando la correlación entre dos variables X e Y es lineal, las rectas de regresión son las rectas que mejor se ajustan a la nube de puntos. Hay dos rectas de regresión:

Recta de regresión de Y sobre X

xyyx 2

x

sr : y y (x x)

s

xy2x

s

s se llama coeficiente de regresión de Y sobre

X

La recta de regresión de Y sobre X se puede usar para estimar lo que vale “y” para un valor dado de “x”. La estimación es más fiable cuanto más fuerte sea la correlación entre las variables y más cerca esté

el valor “x” de la media de la distribución.

Recta de regresión de X sobre Y

xyxy 2

y

sr : x x (y y)

s

xy

2y

s

s se llama coeficiente de regresión de X

sobre Y

La recta de regresión de X sobre Y se puede usar para estimar lo que vale “x” para un valor dado de “y”.

La estimación es más fiable cuanto más fuerte sea la correlación entre las variables y más cerca esté el valor “y” de la media de la distribución.

Propiedades de las rectas de regresión

1) Las dos rectas se cortan en el centro de gravedad (x , y) 2) Cuánto más fuerte es la correlación menor es el ángulo que forman entre sí ambas rectas.

Ejemplos:

Correlación débil Correlación fuerte

Ejercicio resuelto

La media de las estaturas, X, de los individuos de una población es de 170 cm y la media de sus pesos, Y, es 65 kg. Las desviaciones típicas son 10 cm y 5 kg, respectivamente. La covarianza de ambas variables es 40. a) Halla la recta de regresión de Y sobre X y estima, mediante dicha recta, el peso de Pedro de 180 cm de estatura y el peso de su hijo Ramiro de 50 cm de estatura

Solución: ryx

: xy2x

sy y (x x )

s →

240

y 65 (x 170)10

→ y – 65 = 0,4(x – 170)

y – 65 = 0,4x – 68. En forma explícita es ryx

: y = 0,4x – 3

x = 180 cm → Peso de Pedro: y = 0,4 . 180 – 3 = 69 kg x = 50 cm → Peso de Ramiro: y = 0,4 . 50 – 3 = 17 kg


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b) Halla la recta de regresión de X sobre Y y estima, mediante dicha recta, la estatura de Luisa de 60 kg de peso

Solución: rxy

: xy2y

sx x (y y )

s →

240

x 170 (y 65)5

→ x – 170 = 1,6(y – 65)

x – 170 = 1,6y – 104 → rxy

: x = 1,6y + 66.

y = 60 kg → Estatura de Luisa: x = 1,6 . 60 + 66 = 162 cm c) Indica cómo de buenas son las tres estimaciones anteriores

Como x 170 , y 65 , sx = 10 s

y = 5 y s

xy = 40 → coeficiente de correlación xy

x y

s 40r 0,8

s .s 10.5

La estimación es buena en el caso de Pedro y Luisa porque el coeficiente de correlación, r = 0,8, es próximo a 1 y sus medidas están próximas a la media. En el caso de Ramiro, la estimación no es buena porque aunque el coeficiente de correlación, r = 0,8, es próximo a 1, su estatura está muy alejada de la media

ACTIVIDADES

1.- El número de bacterias por unidad de volumen, presentes en un cultivo después de un cierto número de horas, viene expresado en la siguiente tabla:

X: nº de horas 0 1 2 3 4 5 Y: nº de bacterias 12 19 23 34 56 62

Estima, mediante la recta de regresión de Y sobre X, el número de bacterias que habrá al cabo de 3,5 horas y de 20 horas e indica si las predicciones son buenas o no 2.- Utilizando la recta de regresión de X sobre Y correspondiente a la distribución siguiente:

X = altura sobre el nivel del mar 0 184 231 911 Y = temperatura media en ºC 20 18 17 10

calcula la altitud de una ciudad en la que la temperatura media es de 15 ºC. 3.- Se ha preguntado en seis familias por el número de hijos y el número medio de días que suelen ir al cine cada mes y las rectas de regresión obtenidas han sido

En vista de las rectas de regresión explica si la correlación entre las variables es fuerte o débil


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4.- CONCEPTO DE CÓNICA

Las cónicas son las curvas que se obtienen cuando cortamos un cono doble con un plano. Hay 4 tipos de cónicas:

Circunferencia Elipse Parábola Hipérbola

5.- LA CIRCUNFERENCIA La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro. El radio de la circunferencia es la distancia de un punto cualquiera de dicha circunferencia al centro.

Ecuaciones de la circunferencia

Observa que d(P, C) = r

CP r��

(x – a, y – b) = r 2 2(x a) (y b) r Ecuación canónica: (x – a)2 + (y – b)2 = r2.

Desarrollando la ecuación: x2 – 2ax + a2 + y2 – 2by + b2 = r2 x2 – 2ax + a2 + y2 – 2by + b2 – r2= 0

Ecuación general: x2 + y2+ MX + Ny + P = 0 , siendo M 2a , N 2b , 2 2 2P a b r Observa que dada la ecuación general se puede obtener el centro y el radio de la circunferencia

M N M NM 2a a , N 2b b C( , )

2 2 2 2

Como 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 M N M N M N 4PP a b r r a b P P P

2 2 4 4 4

De donde, 2 2 2 2M N 4P M N 4P

r r4 2

.

Para que la ecuación general x2 + y2 + MX + Ny + P = 0 corresponda a una circunferencia debe ser el

radio r > 0, o sea, 2 2M N 4P 0

Posición relativa de una recta y una circunferencia

En caso de ser tangentes o secantes, el punto de contacto se halla resolviendo el sistema de ecuaciones formado por la ecuación de la recta y de la circunferencia


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Actividades resueltas 1) Halla las ecuaciones de la circunferencia de centro C(2, –3) y radio 7 Solución: Sustituyendo en la ecuación canónica (x – a)2 + (y – b)2 = r2 obtenemos

22 2 2 2

2 2 2 2

C : (x 2) (y 3) 7 (x 2) (y 3) 7

Desarrollando : x 4x 4 y 6y 9 7 x y 4x 6y 2 0

2) Determina si las siguientes ecuaciones corresponden o no a una circunferencia a) 3x2 + 3y2 + 6x – 12y + 3 = 0 b) x2 + y2 – 10x + 4y + 30 = 0

Solución a) Primero dividimos la ecuación entre 3 → x2 + y2 + 2x – 4y + 1 = 0 (M = 2, N = –4, P = 1). Para que corresponda a una circunferencia debe ser M2 + N2 – 4P > 0 . Sustituyendo: 22 + (–4)2 – 4.1 = 16 > 0 . Por tanto, la ecuación corresponde a una circunferencia b) x2 + y2 – 10x + 4y + 30 = 0 (M = –10, N = 4, P = 30). Para que corresponda a una circunferencia debe ser M2 + N2 – 4P > 0 . Sustituyendo: (–10)2 + 42 – 4.30 = –4 < 0 . Por tanto, la ecuación NO corresponde a una circunferencia 3) Determina la posición relativa de la recta y la circunferencia en los siguientes casos. En caso de ser tangentes o secantes hallar el punto o puntos de corte. a) x – 2 = 0 , x2 + y2 – 2x + 2y + 1 = 0

Solución

El centro es M N 2 2

C( , ) C( , ) C(1, 1)2 2 2 2

y el radio 2 2 2 2M N 4P ( 2) 2 4.1

r 12 2

La distancia del centro de la circunferencia a la recta es 2 2

1 2d 1 r

1 0

.

Luego, la recta y la circunferencia son tangentes

22 2 2 2

x 2 0 x 2y 2y 1 0 y 1

x y 2x 2y 1 0 2 y 2.2 2y 1 0

punto de corte P(2, –1)

------------------------------------------------------------------------------------------------------- b) 2x – y + 1 = 0 , x2 + y2 – 4x + 6y + 9 = 0

Solución


C( , ) C( , ) C(2, 3)2 2 2 2

y el radio 2 2 2 2M N 4P ( 4) 6 4.9

r 22 2


2.2 ( 3) 1 8d 3,6 r

52 ( 1)

.

Luego, la recta es exterior a la circunferencia


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c) x + 7y – 30 = 0 , x2 + y2 – 10x = 0 Solución


C( , ) C( , ) C(5, 0)2 2 2 2

y el radio 2 2 2 2M N 4P ( 10) 0 4.0

r 52 2


5 7.0 30 25d 3,5 r

501 7

.

Luego, la recta y la circunferencia son secantes

22 2 2 2

2

x 7y 30 0 x 30 7y900 420y 49y 300 70y 0

x y 10x 0 (30 7y) y 10(30 7y) 0

30 30y x 30 7. 0

7 749y 350y 600 020 20

y x 30 7. 107 7

Los puntos de corte son 30 20

P(0, ) y Q(10, )7 7

6.- LA ELIPSE

La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante.

Focos: Son los puntos fijos F y F’ Distancia focal: Es el segmento FF’, cuya longitud es 2c. La semidistancia focal es la longitud “c” Eje focal o eje principal: Es la recta que pasa por los focos Eje secundario: Es la mediatriz del segmento FF’ El centro de la elipse es el punto O en el que se cortan los ejes. Vértices: Son los puntos A, A’, B y B’ Eje mayor: Es el segmento AA’, cuya longitud es 2a. El semieje mayor es la longitud “a” Eje menor: Es el segmento BB’, cuya longitud es 2b. E l semieje menor es la longitud “b” Los radio vectores de un punto P son los segmentos PF y PF’

Excentricidad: c

ea

La relación entre “a”, “b” y “c”, según el teorema de Pitágoras, es a2 = b2 + c2.


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Vamos a obtener la ecuación de la elipse más sencilla que la de centro el origen de coordenadas O(0, 0) y de eje principal el eje X

P(x, y) es un punto cualquiera de la elipse d(F, P) + d(F´, P) = 2a

FP F´P 2a ��

(x c, y) (x c, y) 2a 2 2 2 2(x c) y (x c) y 2a

Operando se obtiene 2 2

2 2x y

1 Ecuación reducida de la elipsea b

Si el eje principal es el eje Y la ecuación es 2 2

2 2y x

1a b

Actividades resueltas


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Halla los elementos de la elipse 16x2 + 25y2 = 400 y dibújala

7.- LA HIPÉRBOLA La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia (en valor absoluto) de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante y se representa por “2a”. O sea PF – PF´= 2a

Focos: Son los puntos fijos F y F’ Distancia focal: Es el segmento FF’, cuya longitud es 2c. La semidistancia focal es la longitud “c” Eje focal o principal: Es la recta que pasa por los focos Eje secundario: Es la mediatriz del segmento FF’ El centro de la hipérbola es el punto O en el que se cortan los ejes. Vértices: Son los puntos A y A’ Eje real: Es el segmento AA’, cuya longitud es 2a. El semieje real es la longitud “a” Eje imaginario: Es el segmento BB’, cuya longitud es 2b. E l semieje imaginario es la longitud “b”

Asíntotas: Son las recta r y r´ Excentricidad: c

ea

La relación entre “a”, “b” y “c”, según el teorema de Pitágoras, es c2 = a2 + b2 Se puede demostrar, por un proceso similar al visto en la elipse, que la ecuación de la hipérbola de centro el origen de coordenadas O(0, 0) y eje principal el eje X es

2 2

2 2x y

1 Ecuación reducida de la hipérbolaa b

Las ecuaciones de las asíntotas son b

A : y x Ecuaciones de las asíntotas de la hipérbolaa


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Si el eje principal es el eje Y la ecuación sería 2 2

2 2y x

1a b

y las ecuaciones de las asíntotas a

A : y xb

Actividades resueltas

Halla los elementos de las siguientes hipérbolas y dibújalas: a) 36x2 – 64y2 = 2304

b) 64y2 – 225x2 = 14400

Obtén la ecuación de la hipérbola

Como la hipérbola se abre hacia arriba y abajo, su ecuación es de la forma 2 2

2 2y x

1a b

Observando el rectángulo central podemos notar fácilmente que corta el eje X en los puntos x = ±3 y al eje Y en y = ±4. Luego, a = 4, b = 3

Esto significa que la ecuación de la hipérbola está dada por 2 2 2 2

2 2y x y x

1 116 94 3


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8.- LA PARÁBOLA La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo, llamado foco, y de una recta fija, llamada directriz.

Foco: Es el punto fijo F Directriz: Es la recta fija d Parámetro: Es la distancia entre el foco y la directriz. Se representa por p Eje de simetría: Es la recta que pasa por el foco y es perpendicular a la directriz Vértice: Es el punto de corte de la parábola con el eje de simetría Vamos a obtener la ecuación de la parábola del dibujo de vértice el origen de coordenadas O(0, 0) y eje de simetría el eje Y. En este caso, F(p/2, 0) d: y = –p/2 → d: 2y + p = 0 P(x, y) es un punto cualquiera de la parábola dist(P, F) = dist(P, d)

2y pp(x, y )

2 2

Operando se obtiene la ecuación 2x 2py

De forma similar se obtienen las ecuaciones de otras parábolas:


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Actividad resuelta


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9.- EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS

Concepto de número complejo Al intentar resolver algunas ecuaciones de 2º grado, por ejemplo x2 + 1 = 0, nos encontramos con x 1 , que no tiene solución, por ser la raíz cuadrada de un número negativo. Para dar solución estas ecuaciones de 2º grado, los matemáticos definieron un nuevo número,

i 1 que llamaron unidad imaginaria. Observa que se cumple 22i 1 1 Por ejemplo, una vez que hemos definido i 1 , podemos resolver la ecuación x2 – 6x + 34 = 0:

6 36 4.34 6 100 6 100.( 1) 6 10 1 6 10ix 3 5i

2 2 2 2 2

A partir de la unidad imaginaria, i, los matemáticos crearon unos nuevos números que llamaron números complejos: Un número complejo z es una expresión del tipo z = a + bi (llamada forma binómica del número complejo), donde a y b son números reales (“a” se llama parte real y “b” parte imaginaria). El conjunto de los números complejos se representa con la letra C.

Si a = 0 → z = 0 + bi = bi se llama imaginario puro. Por ejemplo, z = 7i es un imaginario puro Si b = 0 → z = a + 0i = a es un número real. Por ejemplo, z = 3 es un número real Si a = 0 y b = 0, resulta el número complejo 0 + 0i, que se llama complejo cero, y se escribe 0. Observa que z = a + bi = 0 a = 0 y b = 0 Si z = a + bi y w = c + di, entonces z = w a + bi = c + di a = c y b = d Conjugado de un número complejo: Dado un complejo z = a + bi, su conjugado es z = a – bi Opuesto de un número complejo: Dado un complejo z = a + bi, su opuesto es –z = –a – bi. Por ejemplo, el conjugado de z = 5 – 3i es z = 5 + 3i y su opuesto es –z = –5 + 3i


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Representación gráfica de números complejos

Un número complejo z = a + bi se representa por el punto P(a, b) llamado afijo del complejo z El eje horizontal o eje X se llama el eje real. El eje vertical o eje Y se llama eje imaginario. Observa que: - Los números reales (considerados como complejos) se representan sobre el eje real - Los números imaginarios puros se representan sobre el eje imaginario - El conjugado de z es simétrico respecto del eje X - El opuesto es simétrico respecto del origen de coordenadas

Ejemplo

Módulo de un número complejo: Es el módulo del vector de posición del punto P(a, b) o sea el

módulo del vector OP (a, b)��

. Por tanto, si z = a + bi, el módulo es 2 2r | z | a b Argumento de un número complejo z: Es el ángulo α que forma su vector de posición con el semieje OX Observación: El argumento de un complejo no es único. Si α es un argumento, también son argumentos α + k360°, donde k es cualquier número entero. Dada la existencia de infinitos argumentos, se suele elegir el único de ellos que está entre 0° y 360°, el cual recibe el nombre de argumento principal, Arg (z).

Forma trigonométrica y forma polar de un número complejo

Observa que b

sen b r senr

a

cos a r cosr

b b

tg arctga a

.

Luego, z = a + bi = r cos α + (r sen α) i

forma trigonométrica

z r(cos i sen ) ��

A su vez, la forma trigonométrica se puede escribir de forma simplificada así: �

formapolar

z r

Dos números en forma polar son el iguales si tienen el mismo módulo y sus argumentos difieren en un múltiplo entero de 360° Si z = r

α. entonces su conjugado es r

–α.


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Ejercicios resueltos


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10.- OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS

Operaciones con números complejos en forma binómica

Suma y resta: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i (a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i Ejemplos: 1) Si z1 = 3 + 2i, z2 = –8 + 4i entonces z1 + z2 = (3 + 2i) + (–8 + 4i) = (3 – 8) + (2 + 4)i = –5 + 6i z1 – z2 = (3 + 2i) – (–8 + 4i) = (3 + 8) + (2 – 4)i = 11 – 2i 2) (5 + 12i) + [(10 – 8i) + (–1 + i)]= (5 + 12i) + (9 – 7i) = 14 + 5i Producto: (a + bi)·(c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i

Ejemplo: Sean z = 6 + 2i y w = 3 + 5i. Para hallar z · w hacemos: z · w = (6·3 - 2·5) + (6·5 + 2·3) i = 8 + 36i


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Potencias de la unidad imaginaria: i1 = i , i2 = –1 , i3 = i2.i = –i , i4 = i2 . i2 = 1. i5 = i4 . i = 1.i = i = i1 (se va repitiendo) Cuando el exponente n es superior a 4 se divide entre 4 y entonces in = ir , siendo r el resto de la división. Por ejemplo, i739 = i184.4 +3 = i3 = –i Potencia: (a + bi)n. Se efectua como potencia de un binomio

División: 2

2 2 2 2 2. (c di). (c di)

a bi ac bdi (bc ad)i ac bd (bc ad)ic di c d i c d

Ejemplo: Sea z = 3 + 4i y w = 2 + 3i. Entonces:

ii

i

i

i

i

i

w

z

11

1

11

18

11

18

32

89126

32

32

32

43

22

Producto, potencia, cociente y radicación con números complejos en forma polar

Sean dos números complejos z = r

y w = r´

entonces

Producto: r . r´ (rr´)

que escrito en forma trigonométrica sería así

r(cos i sen ) . r´(cos i sen ) rr´[cos( ) i sen( )]

Potencia: Es un caso particular de la multiplicación pero con n factores iguales. La regla es, por tanto,

n nn

r (r )


n n[r(cos i sen )] r [cos(n ) i sen(n )] . Esta fórmula se llama fórmula de De Moivre

División: r r

( )r´ r´


r(cos i sen ) r[cos( ) i sen( )]

r´(cos i sen ) r´

Raíces n-simas: Dado un número complejo z = a + bi = r (cos α + i sen α) = r

, las raíces n-simas de z

son todos los números complejos w que elevados a n dan como resultado el complejo z. Es decir, wn = z. Se puede demostrar que hay n raíces n-simas y que se obtienen con la fórmula n n

z ( r ) , con k 0, 1, 2, ..., n 1360ºkn


n 360ºk 360ºk

r cos i sen , con k 0, 1, 2, ..., n 1n n


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También se puede demostrar que los afijos de las n raíces n-simas del complejo z dividen a la circunferencia de dentro el origen y radio r en n partes iguales.

Ejemplo: Hallar todas las raíces cúbicas de z = 8

30º= 8(cos30º + isen30º)

Solución: Si usamos la fórmula 3 3w z ( 8) , con k 0, 1, 2 2 , con k 0, 1, 2

30º 360ºk 30º 360ºk3 3

1k 0 w 2 2

30º 360º.0 10º3

2k 1 w 2 2

30º 360º.1 130º3

3k 2 w 2 2

30º 360º.2 250º3

Si representamos gráficamente estas tres raíces, veremos que se hallan sobre una circunferencia con centro en el origen y radio 2 y la dividen en tres partes iguales.

Ejercicios resueltos


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1º bachillerato matemÁticas i – estadÍstica, cÓnicas y...

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