TEMA 5: REDUCCIÓN DE LA GRAVEDAD

5.1 INTRODUCCIÓN

Para la resolución de la integral de Stokes es necesario que las anomalías de

gravedad representen valores de contorno sobre la superficie del geoide, lo que nos

lleva a dos necesidades imprescindibles para el cumplimiento de tal condición: la

primera es que las anomalías de gravedad deben presentar valores de contorno reales

fuera de las masas atrayentes, por lo que será necesario que no existan masas por

encima del geoide, lo que obliga a eliminar esas masas existentes por encima del

geoide o bien a condensarlas dentro del mismo.

En segundo lugar, la gravedad medida sobre la superficie física del terreno se debe

reducir al geoide, es decir: las observaciones de gravedad las haremos sobre la

superficie terrestre que es irregular y sobre la que tendremos una superficie

equipotencial diferente para cada punto (P, Q) observado, figura 4.1, por lo que no

tendremos todas las medidas referidas a la misma superficie de nivel, así que

deberemos reducirlas a una única superficie de nivel (el geoide) para que los valores de

gravedad observados sean comparables entre sí y permitan formarse una idea del

relieve gravimétrico.

La explicación al concepto de relieve gravimétrico será la siguiente: no debemos

olvidar que las anomalías de gravedad provienen de irregularidades en la repartición

de las masas terrestres que provienen de los excesos y defectos de masas interiores.

Así las anomalías reducidas pueden ser positivas o negativas, en el primer caso

indican una gravedad observada más fuerte que la que resultaría si las masas

situadas por debajo de la estación e interiores al geoide obedeciesen a la ley teórica de

Figura 5.1: Superficies equipotenciales diferentes que pasan por puntos de la

superficie topográfica.

repartición de densidades realizada sobre nuestro elipsoide de referencia ideal

compuesto de capas homogéneas concéntricas. Habrá, por tanto, por debajo de la

estación, en este caso, masas de fuerte densidad anormal, y, al contrario, una

anomalía negativa pone de manifiesto una débil densidad anormal de las masas

mencionadas (Sans Huelin 1946).

Unas veces estas anomalías son meramente locales, originadas por masas

perturbadoras de densidad anormal, de extensión limitada, y, otras presentan carácter

de anomalías regionales, del mismo signo para una región de la superficie terrestre.

5.2 REDUCCIÓN DE BOUGUER

El objeto de la reducción de Bouguer sobre la gravedad es la eliminación completa

de las masas topográficas, es decir, de las masas exteriores al geoide.

El potencial que genera toda la topografía sobre un punto P(XP,YP,ZP), figura 4.2, en

la superficie terrestre debido a las masas situadas sobre el geoide puede escribirse en

aproximación plana mediante:

10

2 2 2 2

( , , )( , , ) (5.1)

H

P P P

E

P P P

X Y ZV X Y Z K dZdYdX

X X Y Y Z H

Donde K es la constante de gravitación universal, E el área de interés

(resolución local del geoide), HP y H son las alturas sobre el geoide en el punto de

cálculo y en el punto integral (alturas ortométricas, con Z=H en la resolución integral)

y es la función de densidad, normalmente desconocida y supuesta constante con lo

que saldrá fuera de la integral.

Normalmente el efecto de las masas por encima del geoide sobre la gravedad es

separado en dos partes, una la corrección por lámina de Bouguer y otra el efecto de la

topografía, es decir, primero, con la corrección terreno, eliminamos las irregularidades

topográficas (eliminamos por encima y rellenamos por debajo del punto P), dejando el

área de alrededor de la estación gravimétrica P completamente plana, figura 4.2

horizontal y con masas uniformes de la misma densidad, y luego eliminamos las

masas que hay entre el geoide y la lámina de Bouguer que ha quedado al eliminar la

topografía:

Así la integral (4.1) se dividirá en dos partes (una suma de integrales):

0

1 15.2

P

P

H H

E E H

V K dE dZ K dE dZd d

Donde:

21

22

PO HZSd

Y:

21

22

PPO YYXXS

La primera de las integrales corresponderá a la lámina de Bouguer y la

segunda al efecto de la topografía.

Comenzaremos primero por la integral correspondiente a la lámina de Bouguer,

considerando que la atracción vertical A es la derivada negativa de V respecto a la

altura obtendremos que:

3

0 2

' 5.3PH

P

P E

Z HVB K dE dZ

Hd

La lámina de Bouguer representada por la ecuación anterior tendrá siempre

resultado positivo ya que el punto integral Z estará siempre por debajo de HP, por lo

que la eliminación de dicha capa (-B’), actuará de forma negativa sobre el punto P, tal

Figura 4.2: Reducción de Bouguer.

como es de esperar, ya que la eliminación de la lámina de Bouguer situada debajo del

punto P debe hacer que la gravedad en P disminuya.

Para el cálculo de un valor numérico podemos desarrollar el potencial que

genera un cilindro sobre un punto P situado sobre el mismo, figura 4.3, tal como se

desarrolla en (Heiskanen et al. 1984, pg 127-128), donde, para evitar la confusión de

signo anterior, se ha puesto:

21

22 ZHSd PO

La atracción de dicho cilindro sobre el punto P resulta:

222 PP HaHaKB

Y tomando a , aplicando la teoría de límites:

2 5.4PB K H

Como es lógico, el área de integración no es infinita, por lo que asumiendo que

el área E está limitada por Xmin, Xmax, Ymin, Ymax , el efecto de la lámina de Bouguer será

(Peng et al. 1995) :

P

max

min

max

min

HY

Y

X

XP

PPP

PPPP

PPP

rZH

YYXXZH

rXXYYrYYXX

KHYXB

0

1

)(

))((tg)(

ln)(ln)(

),,(

Figura 4.3: Potencial y atracción de un cilindro circular sobre

un punto situado en su superficie.

b

(4.5)

donde:

21

222 )()()( ZHYYXXr PPP

Para puntos alejados las fórmulas deben tener en cuenta la esfericidad

terrestre, por lo que serán más complicadas.

Para la consideración de la segunda parte de la integral (5.2), o efecto de la

topografía, procederemos de la siguiente manera (Sideris 1990):

12 2

.

1 11 5.5

P P

H HP

TopH H

O OE E

Z HV K dZdE K dZdE

d S S

Para 1

O

P

S

HZ cosa normal en nuestro caso, ya que la diferencia de alturas

suele ser muy pequeña en comparación con las distancias tratadas (SO), el término

entre corchetes puede ser desarrollado en serie binomial de la siguiente forma: el

desarrollo binomial responde a la expresión:

32

!3

21

!2

111 X

nnnX

nnXnX

n

Aplicado a nuestro caso donde 2

1n y

2

O

P

S

HZX , el desarrollo resulta

ser igual a la serie:

0

22

12

)1(1

r

r

O

Pr

r

O

P

S

HZa

S

HZ

2!2

!2

r

ra

rr

Introduciendo la serie en la integral 4.5 resulta la expresión:

E

H

H

r

r O

P

r

r

OP

dEdZS

HZa

SKV

2

0

11

La atracción vertical resulta ser:

dEdZ

S

HZra

SK

H

VA

r

r

O

r

P

r

r

E

H

HOP P

1

2

12

2)1(1

Donde el sumatorio comienza ahora desde r=1, ya que para r=0 el resultado

sería cero.

Separando las integrales tendremos:

E r

H

H

r

O

r

P

r

r

OP

dEdZS

HZra

SK

H

VA

P1

2

12

2)1(1

Donde la integral entre corchetes es igual a:

r

O

r

P

H

H

r

O

r

P

Sr

HHdZ

S

HZ

P

2

2

2

12

2

Con lo que la atracción quedará:

E r

r

O

r

P

r

r

OP

dES

HHa

SK

H

VA

1

2

2

)1(1

Si se considera únicamente el término r=1 del sumatorio anterior, se obtendrá,

finalmente:

E O

P dES

HHKA

3

2

2

1

La atracción de la topografía afectará de forma negativa al punto P de cálculo,

por lo que su eliminación será positiva (aumentará la gravedad sobre P) y será llamada

corrección topográfica (Moritz 1980 pg. 415):

E

O

PPPP dE

S

HHKZYXC )6.4(

2

1),,(

3

2

Para las masas por encima de la lámina de Bouguer, que atraen hacia arriba

en el punto P, el ser eliminadas provocará un aumento de la gravedad en P, y las

masas deficientes, que se deben rellenar, producen en P un aumento de gravedad

también, con lo que la corrección topográfica siempre tendrá carácter positivo, como

ya se ha visto.

Una vez encerrada toda la topografía en la lámina de Bouguer ésta se elimina,

lo que equivale a restar su atracción de la gravedad observada, con lo que la

corrección total sobre P será:

( , , ) ( , , ) ( , , ) 5.7P P P P P P P P PCORR X Y Z B X Y Z C X Y Z

Siendo B la corrección Bouguer, ecuación (5.4) y C la corrección de terreno,

ecuación (5.6).

Con todo esto obtenemos finalmente la corrección a la gravedad observada que

la totalidad de las masas topográficas situadas por encima del geoide producen, es

decir, hemos eliminado esa topografía, pero la estación estará todavía a una altura HP

sobre el geoide, debemos, por tanto, bajarla al geoide, para ello utilizaremos la

reducción aire-libre:

(5.8)g

F HH

Para muchos fines prácticos es suficiente usar el gradiente de la gravedad

normal, es decir, (apartado 2.4.3):

(0.3086 / ) (5.9)F H mgal m HH

Con signo positivo hacia el centro de masas terrestres.

El proceso total de corrección nos lleva a la gravedad Bouguer y a la conocida

anomalía de Bouguer refinada:

gra (5.10)B observada Bouguer topo fiag g B C F

Como anomalía relacionada se puede hablar también de las anomalías de

gravedad aire-libre:

5.11AL

observada Og g F b

5.3 REDUCCIONES ISOSTÁTICAS

Se podría pensar que las masas topográficas están simplemente superpuestas

sobre una corteza homogénea. Si este fuera el caso, la reducción de Bouguer refinada

eliminaría las principales irregularidades del campo gravífico, de modo que las

anomalías Bouguer serían pequeñas y fluctuarían alrededor de cero. No obstante

justamente lo contrario sucede: las anomalías Bouguer son sistemáticamente

negativas en zonas montañosas y, aproximadamente, disminuyen 100 mGal por cada

kilómetro de altitud, es decir, parece que se esté eliminando más masa de la que se

debería eliminar en realidad con la corrección anterior.

La única explicación posible es que existe algún tipo de deficiencia de masas bajo

las montañas, esto significa que las masas topográficas están compensadas de alguna

manera.

Para explicar y evaluar dicha compensación se desarrollaron dos teorías diferentes

casi al mismo tiempo, la de Pratt en 1854 y la de Airy en 1855.

SISTEMA DE PRATT-HAYFORD

Ideado por Pratt y puesto en forma matemática por Hayford, el principio se

basa en que por debajo del nivel de compensación la densidad es uniforme, figura 5.4.

5.11Bouguer B Og g

Por encima, las masas de cada columna de igual sección son iguales, esto quiere decir

que si llamamos D a la profundidad del nivel de compensación, entonces la densidad

de una columna D+h debe satisfacer la ecuación:

ODhD

Para mantener el equilibrio de masas propuesto.

Para D se adopta un valor medio de 100 Km, y para 3

67.2cm

gO

Con esto podremos saber la diferencia de densidad entre cada columna y la

teórica:

5.12O O

h

D h

En los océanos la condición de igualdad de masas se expresa como:

Figura 5.4: Sistema de compensación isostática de Pratt-Hayford.

OW DhhD ''

Donde 3/027.1 cmgW es la densidad del océano y h’ su profundidad. Por

tanto hay un exceso de densidad teórica de la columna suboceánica dada por:

'

5.13'

O O W

h

D h

SISTEMA DE AIRY-HEISKANEN

Airy propuso este modelo y Heiskanen le dió una formulación más precisa para

fines geodésicos y lo aplicó extensivamente.

El principio se basa en que las montañas de densidad constante

3/67.2 cmgO pero rígidas, flotan sobre una capa más densa de densidad

constante pero fluida 3

1 /27.3 cmg , figura 5.5.

Si pensamos en la corteza terrestre como una masa elástica, comprenderemos

que las montañas tengan raíces que se hunden dentro del manto para mantenerse en

equilibrio y que los océanos presenten antiraices.

Si designamos por h la altitud de la topografía y por t el espesor

correspondiente a la raíz, la condición de equilibrio flotante que la hidrodinámica nos

proporciona como el efecto del empuje de Arquímedes sobre un medio más denso se

transforma en:

5.14Ot h

Donde hemos llamado:

31 6.0cm

gO

A la diferencia de densidades, así de la ecuación (5.14) podemos extraer:

4.45 5.15t h

Para los continentes. Para los océanos la condición de equilibrio flotante será:

WOht ''

Con lo que la antirraiz valdrá:

'73.2' ht

El espesor normal de la corteza terrestre se designa por T y se suele expresar

como 30 Km. (aproximadamente la profundidad de la discontinuidad de Mohorovicic).

Se ha puesto de manifiesto por observaciones que la tierra está isostáticamente

compensada en un 90%, pero es difícil decidir cual es el mejor modelo isostático, ya

que, dependiendo de la zona, parece que se ajuste más un modelo que otro.

Para los cálculos, eligiendo un modelo isostático de compensación, deberemos

proceder a evaluar esa auto compensación de las masas. Aquí debemos retocar un

poco el concepto anterior de eliminación de masas topográficas.

Figura 5.5: Sistema de compensación isostática de airy-Heiskanen.

Ahora el objeto de la reducción isostática de la gravedad es la regularización de

la corteza terrestre según algún modelo de isostasia; las masas topográficas no son

completamente eliminadas como en la reducción de Bouguer, sino que, idealmente,

son utilizadas para compensar esas deficiencias de masa. En el modelo isostático de

Pratt-Hayford las masas topográficas son distribuidas entre el nivel de compensación

y el nivel del mar para llevar la densidad al valor constante O y en el modelo de Airy-

Heiskanen las masas topográficas de altura se utilizan para rellenar las raíces de los

continentes y llevarlas a densidad 3.27 g/cm3.

Resumiendo: la topografía se auto compensa, si la eliminamos deberemos

eliminar también esa auto compensación, llevando la corteza a un estado teórico de

densidad 2.67 g/cm3 y espesor constante D (modelo Partt-Hayford) o T (modelo Airy-

Heiskanen).

Así, la reducción total de la gravedad sobre el geoide isostáticamente reducida

es:

. 5.16I Bouguer Top Isosg g B C F A

Donde AIsos será la atracción de la compensación; equivaldrá a esa carencia de

masa que la topografía rellena, y, por tanto, tendrá una influencia negativa sobre la

gravedad observada, ya que ahora suponemos menor masa (densidad), por debajo de

la estación, evidentemente su eliminación (eliminación de la compensación isostática)

será positiva (hay que recordar que las anomalías Bouguer daban sistemáticamente

números negativos).

Si los modelos son exactos y existe equilibrio isostático, la anomalía

correspondiente debe ser nula o cercana a cero. Si no lo es, las masas superficiales

deben tener tendencia a subir (si la anomalía es negativa) o a bajar (si es positiva). Ello

ha sido controlado por ejemplo en zonas escandinavas, área que presenta anomalías

negativas y que se está elevando lentamente, descargada hoy de la masa de los

glaciares cuaternarios. Si las masas no se desplazan o lo hacen en sentido contrario

del que reclama la isostasia es porque una fuerza profunda les afecta: es lo que ocurre

particularmente en las fosas oceánicas, donde se constatan fuertes anomalías

negativas y tendencias al hundimiento (Foucault et al. 1985). A pesar de esto las

interpretaciones de las anomalías isostáticas deben hacerse con extrema cautela, un

mapa de anomalías isostáticas mostrará con claridad las variaciones laterales en

densidad de las rocas de superficie y profundidad media (Blakely 1996), con lo que lo

único cierto es que las anomalías positivas presentan una densidad grande y las

negativas una densidad pequeña de las rocas o material que la provoca, el resto de

interpretaciones puede ser muy subjetivo, necesitando de más información para poder

extraer conclusiones ciertas.

5.4 MODELOS DE TRANSFERENCIAS DE MASAS: SEGUNDO

MÉTODO DE CONDENSACIÓN DE HELMERT

Este segundo método de condensación de Helmert es el más utilizado en la

mayoría de determinaciones actuales de geoide que utilizan el método integral de

Stokes, y, por eso, nos referiremos exclusivamente a él (Sevilla 1995), (Sideris et al.

1995), (Smith et al. 1999), (Zhang 1999), (Zhang et al. 2000).

En este tipo de métodos la masa topográfica no es eliminada, sino que se

condensa sobre el geoide (Heiskanen et al. 1985, pág. 145).

En este caso la topografía se condensa para formar una capa superficial sobre el

geoide, por ejemplo la columna de la figura 4.6 se condensará con una densidad de

H

Lo cual nos llevará a una integral doble (toda la superficie del geoide).

Para evaluar este efecto topográfico, se aproxima el geoide por un plano

horizontal, lo que lleva, en los cálculos posteriores de N, para áreas de integración de

6º y alturas topográficas de 2 Km., a errores menores de 2-3 cm.(Vanicek et al. 1987).

El proceso será el siguiente:

Figura 5.6: Principio del segundo método de condensación de Helmert.

La gravedad reducida sobre el geoide, eliminando las masas topográficas es,

según ya hemos visto, figura 4.7:

2 5.17OP P Pg g K H C F

Ahora, sobre el geoide (punto PO), se restauran las masas con densidad de

condensación , por lo que para el cálculo del potencial gravitatorio ahora se debe

resolver una integral de superficie del tipo:

' 1(5.18)

OP

O OE E

HV K dE K dE

S S

Ahora la densidad de condensación será H para cada punto, por lo que en

cada será diferente: en PO será de HP y en QO será de HQ, por lo que se puede dividir

también el efecto en una lámina de condensación HP como la de Bouguer más la

lámina de densidad ρ(H-HP) sobre cada punto diferente de P siguiendo la idea de la

condensación de la topografía por encima o por debajo de la lámina de Bouguer, es

decir:

Figura 5.7: Atracción sobre un punto P de un punto Q situado sobre la

topografía y sobre el geoide.

' 5.19O

P PP

O OE E

H H HV K dE K dE

S S

La primera de las integrales será la correspondiente a la lámina de Bouguer

condensada, la atracción de esta lámina (A1) será, (Heiskanen y Moritz, pg. 129),

(figura 4.3 con b=0):

221 12

P

P

Ha

HKA

Y como 0PH , ya que el punto se encuentra sobre el geoide, obtenemos

finalmente:

1 2 2 (5.20)PA K K H

La resolución de la segunda integral de la ecuación 5.19, correspondiente al

efecto de la atracción gravitatoria de la topografía por encima y por debajo de la

lámina de Bouguer condensada. Se resuelve de forma sencilla si intentamos evaluar la

atracción gravitatoria (A2) en vez del mismo potencial y si consideramos que, en este

caso PHH tiene que ver con la densidad de condensación, no con una posición

susceptible, por tanto, de derivación:

'

22

10 5.21P

P P OE

VA K H H dE

H H S

Así, finalmente, la suma de los efectos de la eliminación topografía sobre el

punto P y su posterior reducción al geoide, ecuación 5.17, y posterior restauración de

la topografía condensada sobre el geoide (sobre el punto P0), ecuaciones 5.20 y 5.21,

se traduce en el valor de gravedad Helmert:

2 2 5.22H

p P P pg g K H C F K H g C F

Con lo que, finalmente, la anomalía de gravedad según la segunda teoría de

condensación de Helmert se traduce en:

Densidad de condensación de la topografía por

encima y por debajo de la lámina de Bouguer.

(5.23)H AL

Pg g C

A este término también se le conoce con el nombre de anomalía de Faye

refinada.

Así pues este método se reduce a calcular únicamente la corrección topográfica

(ecuación (4.6)), de ahí que sea el utilizado actualmente en determinaciones de geoide

utilizando la integral de Stokes; de todas formas, si nos fijamos con detenimiento, nos

podremos dar cuenta de que el segundo método de Helmert no es más que un caso

límite de la reducción isostática de Pratt-Hayford cuando la profundidad de

compensación D se hace cero.

5.5 EFECTO INDIRECTO

La eliminación o desplazamiento de masas que conllevan las reducciones de la

gravedad cambian el potencial gravífico y, por tanto, el geoide. Este cambio del geoide

es un efecto indirecto de las reducciones de la gravedad.

Por lo tanto, la superficie calculada por la fórmula de Stokes a partir de las

anomalías isostáticas, por ejemplo, no será el geoide mismo, sino una superficie

ligeramente diferente: el cogeoide. A cada reducción de la gravedad le corresponde un

cogeoide diferente.

4.5.1 EFECTO INDIRECTO EN EL SEGUNDO MÉTODO DE CONDENSACIÓN DE

HELMERT

Sea CN la ondulación del cogeoide (obtenida por la resolución de la integral de

Stokes), la ondulación del geoide real se obtiene mediante:

(5.24)CN N N

Recordemos donde nos situamos: actualmente nos encontramos con la

anomalía de gravedad situada sobre el geoide (o cogeoide, en este caso), y ahora

debemos evaluar el efecto sobre la ondulación del geoide que tiene el haber llevado las

masas topográficas a condensarlas sobre el geoide.

El potencial indirecto deberá, por tanto, ser evaluado como el potencial

gravitatorio de las masas topográficas que afectan al punto PO, figura 5.7, situado en

el cogeoide menos el potencial gravitatorio de las masas topográficas después de la

reducción sobre el mismo punto, de esta forma llevamos el potencial del cogeoide al

geoide (del efecto de las masas condensadas al efecto de la topografía real).

Al igual que antes, podremos dividir el potencial indirecto en el potencial

ejercido por una lámina de densidad constante (lámina de Bouguer), y por el efecto de

la topografía.

Para obtener una fórmula de trabajo para la lámina de Bouguer utilizaremos el

desarrollo del potencial que ejerce un cilindro sobre un punto P o PO, figura 5.11, (el

valor sería el mismo debido a la simetría del cuerpo generador del potencial) situado

sobre el mismo (Heiskanen et al. 1985 ec. 3-5):

12 2

2 2 2 2

2ln 1 5.25P P

P P P

h hV K h h a h a

a a

De donde:

22

Pha

Puede ser visto como:

2

1

2

2

1a

ha P

P

PO

hP

a

Figura 5.8: Potencial y atracción de un cilindro.

Y, por tanto, desarrollado en serie de Taylor de la forma:

2

121 X

Siendo X=hP/a y quedándonos con los términos hasta X2 del desarrollo,

obtenemos que:

2

222

2

11

a

haha P

P

Desarrollando de igual forma el término:

2

1

2

2

1lna

h

a

h PP

Considerando el desarrollo anteriormente visto, se obtiene:

2

22

1

2

2

2

111

a

h

a

h PP

Resulta finalmente, desarrollando en serie el logaritmo:

a

h

a

h

a

h PPP

2

2

2

11ln

Con lo que la ecuación (5.25) quedará de la forma:

2 3

2 2 2

2

1 11 2 5.26

2 2

P P PP P P P

h h hV K h h a a K h h a

a a a

Ecuación que representará el potencial gravitatorio real de la lámina de

Bouguer sobre PO.

Ahora debemos hallar el potencial gravitatorio de las masas condensadas,

siguiendo la misma idea de la lámina de Bouguer, pero esta vez con espesor cero

(condensación sobre el geoide), se llega a la expresión (Heiskanen et al. 1985 ec 3-9):

2 2' 2 5.27P P PV K h a h h

En nuestro caso hP=0 (altura del punto PO), con lo que la ecuación anterior

presenta la forma:

' 2 5.28PV K h a

Esta última ecuación representa el potencial gravitatorio de la lámina de

Bouguer condensada sobre el punto PO; lo único que resta para obtener el potencial

indirecto es restar (4.26) menos (4.28), obteniendo:

a

hKhKV P

Pind

32

2

1

Si hacemos tender a , obtendremos, finalmente, la ecuación:

2 5.29laminaBouger

ind PV K h

Para la obtención del efecto indirecto en el potencial debido a la topografía se

procede de la siguiente manera (Wichiencharoen 1982 pág. 25-28):

El potencial gravitatorio en el punto PO sobre el geoide de la topografía real por

encima y por debajo de la lámina de Bouguer se puede expresar por (Figura 4.7):

5.30

P

H

E Z H

dEdZV K

d

Donde seguimos considerando la aproximación plana de la topografía. De la

figura 5.9 se obtiene:

2 2 2

Od S Z

Por lo tanto:

1

2 2

2

1 11

O O

Z

d S S

Si expresamos la expresión entre paréntesis en serie binomial se obtiene:

2 4 2 4

2 4 3 5

1 1 1 3 1 1 31

2 8 2 8O O O O O O

Z Z Z Z

d S S S S S S

Sustituyendo el desarrollo anterior en la ecuación (5.30), quedándonos

únicamente con los dos primeros términos obtenemos:

2

1 23

1 15.31

2P

H

O OE Z H

ZV K dZdE V V

S S

Siendo:

Geoide

Topografía

P

Q

HP

Z

SO

PO QO

Figura 5.9: Efecto indirecto de la topografía por encima y por debajo de

la lámina de Bouguer.

d

Lámina de Bouguer

1 1 1; ;

P P

HH

P

O O OE Z H E EZ H

H HdZdE ZV K V K dE V K dE

S S S

3 32 3

2 2 23 3 3

1 1 1 1; ;

2 2 3 6P P

HH

P

O O OE Z H E EZ H

H HZ ZV K dEdZ V K dE V K dE

S S S

Considerando, como sabemos, que, en este caso, Z=H.

De manera que la ecuación 4.31 se transforma en:

3 3

3

15.32

6

P P

O OE E

H H H HV K dE K dE

S S

El potencial V’ de la topografía por encima y por debajo de la lámina de

Bouguer condensada sobre el punto PO en el geoide viene dado por la segunda suma

de la expresión (5.19):

' 5.33P

OE

H HV K dE

S

Así, para obtener el potencial indirecto que genera la topografía por encima y

por debajo de la lámina de Bouguer queda, únicamente, restar las ecuaciones (4.32) y

(5.33), obteniendo finalmente:

3 3

3

15.34

6

topografia Pind

OE

H HV K dE

S

Para transformar los potenciales indirectos (5.29) y (5.34) en efecto indirecto

sobre las ondulaciones de geoide tal como exige la ecuación (5.24), utilizaremos la

fórmula de Bruns, considerando que el efecto indirecto es suficientemente pequeño

como para que sea válida esta suposición, obteniendo, finalmente:

2 3 3

3(5.35)

6

bouguer topografia P P

O O O O OE

V V K H H HKN dE

S

Para una malla regular de puntos, la integral discreta será (Sideris et al. 1995):

1 1

3 3

( , ) ,2

( , ) 35.36

6

M M

P P

P P

X YX Y X Y

ind X Y

X X Y YO O O

H HK K X YN H

S

Si cogemos valores de H=1000 m y =980 gales el primer término de la

ecuación anterior será menor a seis centímetros, la segunda parte de la fórmula

resultará en un efecto mucho menor pero que debe ser considerado para altas

montañas, además, el rápido incremento de 3

OS garantiza un rápida convergencia de

la ecuación, por lo que se puede evaluar únicamente para la vecindad del punto

calculado (10-15 Km.). Con esto se quiere decir que para zonas donde las variaciones

de topografía no sean muy elevadas, con utilizar el primer término de la ecuación

anterior es suficiente (Hipkin 1994), (Smith et al. 1999).

Pero, además, antes de aplicar la fórmula de Stokes, las medidas de la

gravedad deben ser reducidas del geoide al cogeoide (que es donde se aplica la integral

de Stokes). Esto se hace mediante una sencilla reducción aire-libre:

Ng 3086.0

o:

22 K Hg

R

Este es el efecto indirecto sobre la gravedad que, debido a su escasa

repercusión en el cálculo posterior no se suele considerar (Sideris et al. 1995): El

efecto indirecto sobre la ondulación del geoide no supera el medio metro, por lo tanto,

si N=0.5 m, g=0.1543 mGal. Si consideramos que, a groso modo, 1 mGal equivaldría

a 10 cm en los cálculos posteriores de N, vemos que la influencia de no considerar

este efecto ser.

Ahora las anomalías de gravedad se refieren estrictamente al cogeoide. La

aplicación de la fórmula de Stokes da NC, que deberá ser corregida del efecto indirecto

N para dar la ondulación del geoide definitiva.

5.6 COMPARACIÓN DE LOS DIFERENTES MÉTODOS DE

REDUCCIÓN

En principio, todas las reducciones de la gravedad son equivalentes y deben

conducir al mismo geoide si son apropiadamente aplicadas, incluido el efecto

indirecto. No obstante, existen ciertos requerimientos que restringen severamente el

número de reducciones útiles en la práctica. Los principales requisitos son:

a) Las reducciones deben dar anomalías de la gravedad pequeñas y suavizadas,

de modo que puedan interpolarse fácilmente y, si fuera preciso, extrapolarse.

b) Las reducciones deben corresponder a un modelo con significado geofísico, de

modo que anomalías resultantes sean también útiles para interpretaciones

geológicas y geofísicas (representación del relieve gravimétrico).

c) El efecto indirecto no deberá ser indebidamente grande.

Considerando estos tres aspectos se puede construir un cuadro, tabla 5.1,

analizando todas las reducciones estudiadas, poniendo un positivo si es un

requerimiento que la reducción cumple o un menos si no lo cumple:

Tipo de Reducción Requerimientos

a b c

Bouguer + + -

Aire-Libre - + +

Isostática + + +

Helmert + + +

Las anomalías Bouguer refinadas (con efecto terreno) tienen buenas

propiedades para la interpolación (suelen ser grandes en valor, pero de carácter

suave), y son geofísicamente hablando, expresivas, pero la reducción Bouguer

presenta un efecto indirecto excesivamente grande, del orden de 10 veces la propia

ondulación del geoide, la razón es, claramente, que la tierra está, en general,

isostáticamente compensada; por consiguiente, las anomalías Bouguer no pueden

usarse para la determinación del geoide.

En cuanto a las anomalías aire-libre, que serán las que utiliza la teoría de

Molodesky, como se verá en el tema 6, son pequeñas, pero extremadamente

Tabla 5.1: Comparación de los diferentes métodos de

reducción estudiados.

dependientes de la topografía, de manera que su interpolación será muy imprecisa, es

decir, cuando trabajemos con anomalías aire-libre deberemos extremar las

precauciones en la interpolación y nunca extrapolar.

Las anomalías isostáticas y Helmert (estas últimas no dejan de ser una

particularización de un modelo isostático) cumplen con los tres requerimientos: los

modelos en los que se basan responden mejor a la realidad geológica y geofísica, son

anomalías pequeñas, suaves e independientes de la topografía, de manera que son

ideales para la interpolación y el efecto indirecto es moderado.

Por lo tanto las anomalías isostáticas y de Helmert deben ser las consideradas

para los cálculos del geoide en el presente contexto; actualmente se eligen las de

Helmert ya que son mucho más fáciles de calcular (únicamente el efecto de la

topografía debe ser considerado).