tema 2. teoría del campo gravífico. - personales.upv.espersonales.upv.es/jpadin/tomo21.pdf ·...
TRANSCRIPT
Tema 2. Teoría del Campo Gravífico.
1
Tema 2. Teoría del Campo Gravífico.
2
2.1. Introducción.
En los siguientes temas y capítulos se pretende abordar el estudio del problema de
la geodesia, este se define como la determinación de la forma o figura de la Tierra y
del campo exterior de la gravedad asociado y también la determinación del elipsoide
medio terrestre los cuales se obtienen mediante la observación de parámetros sobre y
exteriormente a la superficie terrestre (Draheim 1971, Fischer 1975). Por otra parte en
este texto también se realizarán ciertas consideraciones sobre la estructura y
composición de la Tierra y como estos repercute en los valores de la gravedad
observados y como a través de estos valores se puede obtener un mejor conocimiento de
la estructura y composición de la Tierra. Los últimos temas se centran en aspectos
instrumentales del observable de la gravedad, como se observa, su precisión y su
referenciación.
En primer lugar definiremos con más precisión que es lo que estamos buscando.
Efectivamente como ya hemos adelantado se persigue obtener la “forma de la Tierra”,
en un primer momento puede parecer que dicho esto el problema queda acotado. Si
miramos la fig. 2.1 y 2.2 vemos que existen diferentes superficies que podrían definir la
“forma de la Tierra”.
La superficie física o topográfica de la Tierra la conforma el borde existente entre la
parte sólida o fluida de la litosfera y la atmósfera, aunque recientemente ya se empieza a
considerar el fondo oceánico como parte de la superficie física. Esta superficie es objeto
de representación en cartografía, mediante técnicas topográficas, pero en si no
constituye una buena superficie de referencia por la complejidad que presenta.
Una buena definición de la forma de la Tierra podría venir dada por la superficie del
mar, esta superficie es de menor complejidad que la superficie física de la Tierra, debido
Superfic ie física o topográfica de la Tierra
Superfic ie del mar o “Geoide”
Elipsoide
fig. 2.1.Superficies en la Tierra
Tema 2. Teoría del Campo Gravífico.
3
a que esta superficie presenta una orografía muy suave sin rupturas. Esto es debido a
que es una superficie equipotencial (si consideramos un mar en calma), este nivel viene
determinado por el campo gravitatorio terrestre, siendo la acción gravitatoria de las
masas terrestres el que establece el nivel de los mares, hay que tener en cuenta que los
puntos de una superficie líquida deben tener el mismo potencial, ya que cualquier
ganancia o perdida de potencial momentánea tiende a ser restaurada instantáneamente
ya que los líquidos no tienen la posibilidad de vencerla por su falta de ligazón. El hecho
de que esta superficie sea equipotencial lleva aparejadas otras ventajas, la más
importante es la de ser una buena superficie de referencia para las altitudes. El mayor
problema que se plantea es llegar a su definición, o sea como podemos averiguar que
forma tiene esa superficie. Esta superficie presenta continuidad en el continente, para
ello lo que se hace es prolongarla en los continentes uniendo los puntos que tienen el
mismo potencial como veremos más adelante. En definitiva esta superficie es una buena
representación de la figura de la Tierra.
Sin embargo hay que recordar que en cartografía utilizamos una superficie regular
para realizar las proyecciones cartográficas, cualquier punto sobre la Tierra para su
correcta representación es proyectado sobre una superficie regular, cuanto más
aproximada a la forma de la Tierra sea la superficie sobre la que proyectamos su
posterior representación será más exacta. En el caso de la Tierra con carácter general se
establece que la figura más próxima es la de un elipsoide. Pero hay que tener en cuenta
que esta es simplemente la aproximación regular más exacta.
Superficie del mar Geoide
Elipsoide
Continente
Superficie Topográfica
fig. 2.2.Superficies en la Tierra
4
Por tanto cuando se hable de la figura de la Tierra hay que hablar de una superficie
física ya que esta es generada por el campo gravitatorio terrestre, y a su vez hay que
llegar a una definición geométrica de la misma, o sea que tendremos que llegar a una
definición matemática de esta quiere decir que el conocimiento de la figura de la Tierra
implica tanto su definición en términos físicos (coeficientes físicos relacionados con la
masa terrestre) como en términos geométricos.
2.1.1. Antecedentes.
El problema de la geodesia no es un problema moderno, se puede considerar que es
uno de los problemas matemáticos y físicos más antiguos que existen, aunque algunas
veces el planteamiento de este se haya visto influenciado más por cuestiones religiosas
y creencias que por criterios científicos. Lo cual ha motivado a lo largo de su historia
avances y retrocesos.
Las primeras concepciones sobre la forma de la Tierra giran en torno a creencias
mitológicas y suponen una Tierra con forma de disco, en la cual existe un continente
rodeado de un océano, Illiada de Homero 800 a.c. y Thales de Mileto 600 a.c.
Posteriormente con la escuela de Pitágoras y Aristoteles (desde 500 a.c. en adelante)
entre otros, se empieza a barajar la hipótesis de una Tierra esférica.
Es a Eratostenes de Alejandría a quien le corresponde el título de ser el primer
Geodesta ya que fue el primer científico en realizar la primera medición sobre la
superficie de la Tierra para obtener datos sobre esta, aunque estos fueron tomados de
forma expedita, aunque su fundamento científico, la medida de arco, se ha aplicado con
ciertas variaciones hasta la actualidad. El fundamento es sencillo en esencia y solo tiene
en cuenta parámetros geométricos, este consiste en medir a lo largo de un meridiano el
desarrollo lineal (l) de este y el ángulo (α) que
lo comprende, obteniendo R (fig.2.3)
)0.2(Rl α=
Eratostenes calculo el radio terrestre con
un error de un 2%, posteriormente Posidonius
(135-51ac) realizo el mismo cálculo
obteniendo un error de un 11%, hay que tener
en cuenta que aun siendo el fundamento
valido, la obtención de observables es
α
l
fig.2.3
R
Tema 2. Teoría del Campo Gravífico.
5
complicada, ya que hay procurar dos puntos en el mismo meridiano, medir la distancia
entre estos puntos y realizar la medida de los ángulos a la misma hora (al mediodia).
Bajo este mismo fundamento en periodos sucesivos se realizaron el mismo tipo de
medición, aunque con el tiempo el instrumental utilizado en la medida fue aumentado
en precisión (el telescopio aparece en 1611 con Kepler) así como la metodología de
observación.
Frisius (1508-1555) es el primero en utilizar el método de triangulación, este método
permite a través de la medida de una base obtener el resto de los lados de un triángulo lo
cual permite realizar medidas lineales de forma indirecta sobre la superficie de la Tierra
con una mayor precisión. El primero en utilizar esta técnica para resolver la forma de la
Tierra fue Snellius (1580-1626) fig.2.4.
Grimaldi y Riccioli idearon un método ligeramente diferente para la medida de arco,
este consistía en la realización de visuales reciprocas para obtener el ángulo central
(fig.2.5), aunque el desconocimiento de la refracción y las aberraciones de la lente no
permitían obtener valores precisos.
fig. 2.4.Método de triangulación
Z1
Z2
α
l
α=z1+z2-π Fig.2.5
6
Ya el s. XVI y XVII los avances en física y cálculo así como la observación
astronómica de otros planetas influenciaron decisivamente en la percepción de la figura
de la Tierra y en su mecánica. Cabe citar como avances reseñables los realizados por
Copernico y Kepler en lo relativo en la mecánica celeste (y de la Tierra) y los avances
de Galileo Galilei en mecánica moderna (ley de la gravedad, ley del movimiento de un
péndulo).
Es a partir de este punto cuando se empiezan a observar los valores de la gravedad
mediante un péndulo. Se observó que el movimiento del péndulo no era regular en toda
la Tierra, si no que el periodo variaba con la latitud, lo cual implicaba que la gravedad
era cambiante, era de suponer que esto ocurría por que de alguna forma la distancia al
centro de la Tierra variaba con la latitud. Además se observó en Júpiter un achatamiento
en los polos (Cassini 1666). Todo esto hacia pensar que la Tierra no era tan esférica
como se creía.
En 1666 la Academia de las Ciencias de París asume las tareas geodésicas y se
inician las campañas pertinentes para la obtención de la media de los radios de los arcos
en diferentes latitudes en la Tierra para averiguar su forma. La primera fue dirigida por
Picard entre 1669-1700 entre París y Malvoisine obteniendo el radio de la Tierra con un
error de un 0.01%.
Mientras Newton y Huygens realizaban modelos de Tierra que justificaran la
variación de la gravedad observada, los únicos modelos satisfactorios conducían a
modelos achatados por los polos. Además Newton establecía que la forma de una Tierra
homogénea, fluida en rotación y en equilibrio físico pasaba por un elipsoide en rotación,
según el modelo por el propuesto obtuvo un aplanamiento f de 1/230 (fig.2.6).
Tema 2. Teoría del Campo Gravífico.
7
En cualquier caso la demostración de este aplanamiento pasaba por la medición de
arco a diferentes latitudes. Maupertius y Clairaut participaron en la expedición para la
medición de arco en la zona “polo” en Lapland (1736-1737) confirmándose finalmente
en este campaña el achatamiento en los polos. Se realizó la revisión de la medida del
meridiano de París (1739-1740) por Cassini. Y se realizó una segunda expedición a la
zona del “ecuador” en Perú por Bouguer donde participó el español Ulloa. En definitiva
la demostración de la elipticidad de la Tierra quedó demostrada mediante mediciones
geométricas.
Sin embargo Newton estableció que la única figura física estable que cabría esperar
en una Tierra homogénea y fluida era el elipsoide, quiere decir esto que indudablemente
eran de esperar relaciones entre las propiedades físicas de la Tierra y su forma
geométrica. Clairaut en 1743 enuncio un teorema el cual lleva su nombre en el cual
condicionaba la forma de la Tierra al potencial de la Tierra. Clairaut estableció que era
posible obtener la forma de la Tierra a través de la medida de los valores de la gravedad
en dos puntos a diferente latitud. Esto implicaba la obtención de la forma de la Tierra de
una forma más “fácil” y con un desarrollo conveniente implicaba una mayor precisión
en el conocimiento de la forma de la Tierra. De esta forma se inicia la definición de la
figura de la Tierra mediante métodos gravimétricos. Aunque el método gravimétrico no
se desarrollo hasta entrados en el s. XX por la dificultad en la obtención de los valores
de la gravedad y la homogeneización de estos valores.
No obstante la evidencia de que la Tierra mantenía una figura elipsoidica hizo
adoptar como superficie de referencia el elipsoide. Sin embargo en trabajos de cierta
entidad no era posible trabajar con estas medidas sobre el elipsoide, algo fallaba. No era
Sin Rotación
De menor a mayor rotación
Alta velocidad Rotación
Muy Alta velocidad de Rotación
Fig.2.6 Forma de la Tierra predicha por Newton
8
posible trabajar con datos sobre el elipsoide si estos no eran previamente reducidos a el,
hay que tener en cuenta que las mediciones topográficas se realizan sobre la superficie
física de la Tierra, lo que implica que las normales sobre las que se realizan las
mediciones no son las normales del elipsoide, esto se hacia patente conforme iba en
aumento la precisión instrumental, por lo tanto había que tener en cuenta la desviación
relativa de la vertical, fue Helmert quien estableció la transición entre los parámetros
elipsoide y superficie física de la Tierra a través de una superficie física, el geoide.
Finalmente es en la década de los 50 cuando se resuelve el geoide, un importante
logro de la geodesia, aunque anteriormente ya se contaba con datos para determinarlos
de forma geométrica (nivelación astrogeodésica), no se contó hasta esta década con un
geoide netamente gravimétrico.
2.2. ATRACCION Y POTENCIAL.
Un cuerpo rotando solidario a la Tierra se ve sometido a la fuerza gravitatoria de la
Tierra y la del resto de los cuerpos celestes, y a una aceleración centrifuga provocada
por el mismo movimiento de rotación de la Tierra. El resultado de ambas fuerzas se
conoce como fuerza de la gravedad. En los siguientes capítulos realizaremos una
justificación del cálculo de cada una de ellas.
2.2.1. Gravitacion, Potencial Gravitacional.
De acuerdo con la ley de gravitación de Newton, dos puntos de masa m1 y m2,
separados por una distancia l, se atraen uno a otro con una fuerza F.
)1.2(221
ll
mmG
lF −=
fig. 2.7
r’
x
y
z
l
P’(x’,y’,z’)
r P(x,y,z)
F
Tema 2. Teoría del Campo Gravífico.
9
Siendo G1 la constante gravitacional y l la distancia entre los puntos de masa y m1 y
m2 . Se observa en (2.7) que F y l presentan sentidos contrarios.
Si ahora consideramos que m1 es igual a la unidad y m2 se halla sobre P’ podemos
reescribir la ecuación (2.1) en la ecuación (2.2).
)2.2(22
ll
mG
lF −=
En esta el punto P experimenta una aceleración gravitacional debido al elemento de
masa atrayente situado en P’, la fuerza según hemos visto tendría el sentido de P hacia
P’, la distancia l se puede representar en el sistema cartesiano como
222 )'()'()'(
)3.2('''
,;
zzyyxxl
z
y
x
z
y
x
−+−+−==
=
=−=
l
r'rr'rl
La fuerza de la gravedad F se puede resolver en sus diferentes componentes, Fx, Fy y
Fz:
F= (Fx,Fy,Fz) (2.4)
)7.2()'(
)6.2()'(
)5.2()'(
2
2
2
l
zz
l
mGF
l
yy
l
mGF
l
xx
l
mGF
z
y
X
−−=
−−=
−−=
Si consideramos que la masa P’ se halla
en el origen del sistema de referencia según
la figura 2.8 las fórmulas (2.5), (2.6) y (2.7)
se pueden simplificar convirtiéndose en las
ecuaciones (2.8), (2.9) y (2.10).
1 G es la cte. gravitacional, tiene un valor de 6.67259-11 m3kg-1s-2. F viene en ms-2
x
y
z
r=l
P(x,y,z)
Fx Fy
Fz
fig. 2.8
10
Siendo α ,β y γ los ángulos que forma r con los diferentes ejes del sistema cartesiano.
La composición cuadrática de las tres componentes de la fuerza nos da el módulo del
valor de la fuerza gravitatoria.
)10.2(cos
)9.2(cos
)8.2(cos
2
2
2
γ
β
α
l
Gm
l
x
l
mGF
l
Gm
l
y
l
mGF
l
Gm
l
x
l
mGF
z
y
x
−=−=
−=−=
−=−=
Como la suma cuadrática de los cosenos directores (es un vector ortonormalizado) de
un vector es 1, se puede resolver finalmente que el módulo de la fuerza gravitatoria (que
es un valor escalar) se corresponde con la ecuación (2.11).
( ) )11.2(coscoscos 2222
2222 γβα ++
−=++=l
mGFFFF zyx
Siendo esta la expresión más conocida de la ley de la Gravitación Universal de
Newton.
)12.2(2l
mGF −=
2.2.2 Función Potencial Gravitatoria.
Seguidamente introducimos el concepto de función potencial gravitatoria, siendo esta
una función escalar (V es función de la posición del punto P)
)13.2(l
mGV =
las componentes Fx, Fy y Fz de la fuerza gravitatoria F se obtienen derivando V
respecto la dirección considerada, esto es así debido a que V es un campo conservativo
(la circulación en una curva cerrada es 0) (mirar Física general, Burbano 1984)
)14.2(,,z
VF
y
VF
x
VF zyx ∂
∂=∂∂=
∂∂=
esto puede verificarse fácilmente derivando (2.13), para el caso de la componente Fx
obtenemos
Tema 2. Teoría del Campo Gravífico.
11
)15.2(´`11
1
322 l
xxGm
l
xx
lGm
x
l
lGm
x
lGm
x
V −−=
−−=
∂∂−=
∂
∂=
∂∂
Esta última propiedad se puede escribir formalmente como
)16.2(),,(F VgradFFF zyx ==
es decir, el vector fuerza es el vector gradiente de la función escalar V.
Es una ventaja importante el hecho de poder remplazar las tres componentes de F por
la función V ya que es mucho más sencillo manejar la función V que las tres
componentes de F.
En el caso de que tengamos una distribución de masas puntual repartida en el
espacio, y quisiésemos resolver la influencia generada por esta distribución basta con
resolver la contribución de cada elemento de masa, siendo la suma de todas las
contribuciones el campo gravitatorio de la distribución de masas (2.17)
∑=−
− =++++=n
i i
i
n
n
n
n
l
mG
l
Gm
l
Gm
l
Gm
l
GmV
11
1
2
2
1
1 )17.2(...
Esto no es así cuando tratamos con distribuciones de masa grandes o un cuerpo
sólido, estas distribuciones no se puede considerar puntuales y si además estas no tienen
una forma regular como se plantea en el estudio de la atracción gravitatoria de la Tierra,
el cálculo de la aceleración y del potencial se vuelve más complejo. Para estos casos
conviene abordar el problema calculando la suma de las contribuciones de los elementos
diferenciales que componen la masa considerada fig.2.9.
dy’
dz’
(x’,y’,z’)
P(x,y,z)
d
Fig. 2.9
dx’
12
Para ello ahora consideramos que los puntos materiales están distribuidos
continuamente sobre un volumen v con densidad
)18.2(dv
dm=ρ
Donde dv es un elemento de volumen y dm un elemento de masa. Entonces la suma
(2.17) se transforma en la integral
Donde l es la distancia entre el elemento de masa dm y el punto que sufre la
atracción P.
Para resolver el potencial del punto P hay que calcular la contribución al potencial
que ejerce cada elemento dm, lo cual se puede escribir como la expresión (2.21).
)21.2(''')'()'()'(
)',','(),,(
222dzdydx
zzyyxx
zyxGzyxV
v
∫∫∫ −+−+−= ρ
En esta se considera la triple integral extendida sobre v, ya que hay que considerar el
potencial de toda la masa que se halla en el volumen v. El elemento de volumen
considerado será
)20.2(''' dzdydxdv =
Para el caso de una distribución de masas las componentes de la fuerza gravitatoria
se puede resolver según la expresión (2.16), que para el caso de la componente Fx es
)22.2('''
1
)',','(
''')',','(
∫∫∫∫∫∫
∂
∂=
∂
∂=
∂∂=
v
v
x dzdydxx
lzyxG
x
l
dzdydxzyx
Gx
VF ρ
ρ
En la cual sustituyendo finalmente obtenemos
∫∫∫−−= )23.2(
'3 dvl
xxGFx ρ
2.2.2.1 Propiedades de la Función Potencial.
Si observamos las ecuaciones (2.13),(2.17) y (2.19), vemos que la única diferencia
entre ellas, es considerar; la existencia de una masa puntual en (2.13), una distribución
de masas en (2.17) o un cuerpo sólido (2.19). De estas ecuaciones podremos extraer
importantes conclusiones.
∫∫∫∫∫∫ ==vv
dvl
Gl
dmGV )19.2(
ρ
Tema 2. Teoría del Campo Gravífico.
13
∫∫∫=v
dvl
GV )19.2(ρ
)13.2(l
mGV =
∑=−
− =++++=n
i i
i
n
n
n
n
l
mG
l
Gm
l
Gm
l
Gm
l
GmV
11
1
2
2
1
1 )17.2(...
� El valor de V cuando l tiende a infinito.
∞→=
l
aV )19.2(0lim
� El potencial V y las primeras derivadas son continuas en todo el espacio.
Veamos con un análisis de las derivadas que esta última se cumple,
( ) 2/1222),,()(
zyx
mG
l
mGzyxflfV
++====
Definida la función f pasamos a resolver la primera derivada respecto de x
=
−+−+−
−−
−+−+−−−+−+−
=∂
∂=
22/1
2)'(2)'(2)'(
)'(2.2/1
2)'(2)'(2)'(.2
12/12)'(2)'(2)'(.0
'
zzyyxx
xxzzyyxxzzyyxx
Gmx
ff
)24.2(2/3
2)'(2)'(2)'(
)'(
−+−+−
−−
zzyyxx
xxmG
La función f’ será continua siempre que x≠x, y≠y’, z≠z’. Sucediendo lo mismo para
componentes x e y.
( )
( ) )26.2()'()'()'(
)'('
)25.2()'()'()'(
)'('
2/3222
2/3222
zzyyxx
zzmG
z
ff
zzyyxx
yymG
y
ff
−+−+−−−=
∂∂=
−+−+−−−=
∂∂=
En el caso que supongamos que la masa se halla concentrada en el origen del sistema
de referencia (2.24) pasa a
14
( ) )27.2()()()(
)(2/3222 zyx
xmG
x
V
++−=
∂∂
Resolvamos el valor de la segunda derivada de la función potencial V
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( )( )
)28.2(5
2)'(32
2/52)'(2)'(2)'(
2)'(32)'(2)'(2)'(
2/62)'(2)'(2)'(
1.2)'(32/22)'(2)'(2)'(2/12)'(2)'(2)'(
2/62)'(2)'(2)'(
)'(22/12)'(2)'(2)'(2/3)'(
2/32)'(2)'(2)'(1
2
2
l
xxlGm
zzyyxx
xxzzyyxxGm
zzyyxx
xxzzyyxxzzyyxxGm
zzyyxx
xxzzyyxxxxzzyyxxGm
x
xF
x
V
−−−=
−+−+−
−−−+−+−−
=−+−+−
−−−+−+−−+−+−−
=−+−+−
−−+−+−−−−+−+−−
=∂
∂=
∂
∂
Las derivadas segundas respecto de y y z.
)30.2()'(3
)29.2()'(3
5
22
2
2
5
22
2
2
l
zzlGm
z
F
z
V
l
yylGm
y
F
y
V zy −−−=∂
∂=∂∂−−−=
∂∂
=∂∂
� Si multiplicamos V.l entonces cuando l tiende a infinito V es igual a Gm
∞→=
l
amGVl )30.2(..lim
� En cada punto exterior a las masas atrayentes, el potencial satisface la ecuación
de Laplace.
)31.2(02
2
2
2
2
2
=∂∂+
∂∂+
∂∂=∆
z
V
y
V
x
VV
El símbolo ∆, llamado operador laplaciano, tiene la forma
2
2
2
2
2
2
zyx ∂∂+
∂∂+
∂∂
Fuera de los cuerpos atrayentes el potencial cumple la ecuación (2.31), lo cual se
puede demostrar fácilmente.
Tema 2. Teoría del Campo Gravífico.
15
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
)31.2(05
2323)(
5
2)'(2)'(2)'(3235
2)'(322)'(322)'(32
5
2)'(32
5
2)'(32
5
2)'(32
2
2
2
2
2
2
al
llGm
l
zzyyxxlGm
l
zzlyylxxlGm
l
zzlGm
l
yylGm
l
xxlGm
z
V
y
V
x
VV
=−
−
=−+−+−−
−=−−+−−+−−
−
=−−
−−−
−−−
−=∂
∂+
∂
∂+
∂
∂=∆
En verdad la ecuación de Laplace es una ecuación en derivadas parciales, a partir de la
ecuación de Laplace y estableciendo valores o condiciones iniciales para la función V
podemos resolver la función V para una distribución de masas no conocida, esto último
resulta muy útil en el caso de querer resolver el potencial de la Tierra, ya que resolverlo
a través de (2.21) resulta complicado en extremo ya que no se conoce la densidad de
cada elemento diferencial, con lo cual se opta a través de unas condiciones de contorno
y (2.31) resolver V, problema que abordaremos parcialmente en un próximo capítulo.
En cálculo aquellas funciones que son solución de la ecuación de Laplace se llaman
funciones armónicas, las funciones armónicas son funciones analíticas, que son
continuas y tiene derivadas de cualquier orden. Con lo cual por propia definición las
ecuaciones (2.28), (2.29) y (2.30) son funciones continuas.
� En los puntos donde la densidad cambia discontinuamente, alguna derivada
segunda tiene una discontinuidad, o lo que es lo mismo el potencial de los
puntos que se hallan en el interior de un sólido cumplen la ecuación de
Poisson. )32.2(4 ρπGV −=∆
� El Teorema de Stokes establece que una función V armónica en el exterior
de una superficie S queda determinada de forma única por sus valores sobre
S. En general, no obstante, hay infinitas distribuciones de masas que tienen la
función armónica dada V como potencial
exterior.
V
ρρ
ρ
Fig. 2.4
16
Como ejemplo y particularización del Teorema de Stokes pongamos el potencial
exterior de una esfera homogénea (2.12) siendo m la masa de la esfera y l la distancia
desde su centro. El potencial de las diversas esferas homogéneas concéntricas de la
misma masa total m, es exactamente el mismo para un punto exterior
independientemente de su tamaño generan el mismo potencial. El potencial es el mismo
que si la masa estuviera concentrada en su centro, porque el potencial de un punto
material viene dado por esta fórmula.
Para resolver la forma de la Tierra que vendría dado por l, conocido el potencial V y
la masa M tendríamos que haber obtenido el potencial sobre la superficie de la Tierra
Vs.
2.2.3. La fuerza Centrifuga y su Potencial.
Como ya hemos mencionado en el primer capítulo del tema, la fuerza de la gravedad
que influyen sobre los objetos que se encuentran sobre la superficie de la tierra no es
debida únicamente a la fuerza gravitatoria provocada por la masa de la tierra. Si no que
la gravedad tiene una componente de la fuerza debido a la rotación de la Tierra que
realiza respecto el eje conformado por los polos. Si le asignamos a la Tierra una
velocidad de rotación constante alrededor del eje que en un principio consideraremos
fijo, se puede establecer que el valor de la aceleración centrífuga es
)33.2(p2ω=z
Siendo ω la velocidad angular de rotación de la Tierra, ω= 2π /86164.10s =7.292115
E-05 rad s-1esta es conocida con gran precisión por astronomía.
Tema 2. Teoría del Campo Gravífico.
17
El parámetro p es la distancia desde el punto considerado al eje de rotación, si
hacemos coincidir el eje z de nuestro sistema de referencia con el eje de rotación de la
Tierra entonces p toma el valor
)34.2(p;0
22 yxpy
x
p +==
=
Ahora introduzcamos el potencial centrifugo de z,
)35.2(Φ= gradz
Siendo la expresión del potencial centrífugo )36.2(2
)( 22
ppω=Φ=Φ
Si realizamos la diferencial al cuadrado respecto de x e y, y aplicamos el operador
Laplaciano obtendríamos
)37.2(2 2ω=∆Φ
En virtud de lo cual finalmente se resuelve que Φ no es armónica.
En el caso de que calculásemos el Potencial Centrífugo en el Ecuador donde este es
máximo obtendríamos un valor de Φ=1.1 E-05 m2 s-2 y una aceleración centrífuga es z =
0.03 m s-2 (0.3 % de la gravitacional) y en los polos Φ=0 m2 s-2 y z= 0 m s-2.
2.2.4 Aceleración de la Gravedad y Potencial de la Gravedad.
La aceleración de la gravedad o gravedad g es el resultado de la composición de la
aceleración gravitacional F y de la aceleración centrífuga z:
x
y
z
P
Fig.2.5
18
)38.2(zFg +=
La dirección de g se conoce como la dirección de la línea de la plomada, la magnitud
g=│g│es llamada intensidad de la gravedad o aceleración de la gravedad aunque por lo
general se suele utilizar el término de gravedad de forma más general.
En la figura 2.6 vemos una representación de la composición cuadrática de las dos
aceleraciones F y z cuyo resultado es la aceleración de la gravedad g.
Finalmente podemos resolver la función potencial de la gravedad, que será igual a la
suma de los potenciales de las componentes de la gravedad, para ello acudimos a las
ecuaciones (2.36) y (2.19).
)39.2(2
)( 22
∫∫∫ +=Φ+== pdvl
GVrWWωρ
Para resolver el valor de la aceleración de la gravedad aplicamos el gradiente a la
función potencial
)40.2(g Wgrad=
El potencial de la gravedad W y sus primeras derivadas presentan valores finitos y
continuos, esto es así por las propiedades de las funciones V y Φ, solo en el caso de que
r o l tienda a infinito entonces gradW presentaría discontinuidades , pero esta
particularidad en principio no tiene mayor interés.
Las segundas derivadas de la función potencial son las que presentan
discontinuidades, ya que la función potencial de la gravedad hereda las discontinuidades
x
y
z
P z
F g
Fig. 2.6
Tema 2. Teoría del Campo Gravífico.
19
de la función potencial gravitatoria, al igual que en esta las discontinuidades aparecen
con las variaciones abruptas de la densidad. La variación más acusada de la densidad
nos la encontramos en el cambio entre la atmósfera y la corteza superior, en la cual se
pasa de un valor de densidad 0.0013 g cm-3 a 2.7 g cm-3.
De (2.32) y (2.37) obtenemos la ecuación diferencial generalizada de Poisson
cumpliéndose esta en el interior de las masas.
En el espacio exterior (a partir de ahora consideraremos despreciable la densidad del
aire), el potencial de la gravedad cumple la ecuación diferencial generalizada de
Laplace.
2.3 Sistemas de coordenadas terrestres.
2.3.1 Geocéntrico Fijo.
Para la representación del campo de la gravedad terrestre, usualmente se suele
utilizar un sistema de coordenadas geocéntrico fijo en la Tierra. Este sistema se define
con el origen en el centro de gravedad terrestre C. El eje Z del sistema coincide con
el eje de rotación medio de la Tierra, el cual se definió como el promedio de la posición
del polo entre los años 1900-1906 (Conventional International Origin). El eje X del
sistema apunta hacía la intersección del meridiano astronómico de Grenwich con el
plano ecuatorial medio, finalmente el sistema queda completado con el eje Y que apunta
hacía la izquierda tal como se describe en la figura 2.1.
λ
θ
y
x
rφ
z
Ecuador medio
Polo medio
Greenwich
Fig.2.7
)41.2(24 2ωρπ +−=∆ GW
)42.2(2 2ω=∆W
20
Una vez definido el sistema de referencia, existe la posibilidad de trabajar con
diversos tipos de coordenadas utilizando como sistema de referencia el definido por el
CIO.
Coordenadas Esféricas.
Las coordenadas esféricas por lo general tienen una utilización extendida, ya que la
utilización de estas facilitan fórmulas simplificadas para el cálculo de funciones
relacionadas con el campo gravedad. Las coordenadas esféricas son (ver fig.2.7.):
r- Distancia Geocéntrica.
ϕ - Latitud Geocéntrica.
θ- Distancia Polar.
λ- Longitud Geográfica.
Coordenadas Elipsoidales o Geográficas.
Al igual que las coordenadas esféricas también tienen una amplia aplicación, pero en
este caso es debido a que la superficie de trabajo para aplicaciones cartográficas es el
elipsoide y también constituye la figura de referencia normal para los valores de la
gravedad normales. Las coordenadas geográficas son:
h- Altitud Elipsoidal
φ- Latitud Geodésica (normal al elipsoide).
λ- Longitud Geográfica.
2.3.2 Sistemas basados en el campo de la gravedad local.
En el caso en el que se quiera dar una descripción de la geometría del campo local de
la gravedad, y para realizar cálculos en áreas limitadas localmente, se prefieren utilizar
sistemas de coordenadas los cuales se hallen en un punto particular P del campo de la
λ y
x
r
z
Ecuador medio
Polo medio
Greenwich
Fig.2.8
Tema 2. Teoría del Campo Gravífico.
21
gravedad, siendo este el origen del sistema. El eje z coincide con la dirección de la
plomada y apunta hacía el nadir del lugar. El plano x-y del sistema coincide con el
horizonte del lugar, la dirección del eje x, queda definida apuntando hacía el Norte del
lugar.
La dirección que determinan los ángulos con que se interseccionan en los planos del
triedro viene dada por el vector de la gravedad g. De esta forma quedan definidas
Φ- Latitud astronómica.
Λ- Longitud astronómica.
2.4. El campo de la Gravedad en una Tierra Esférica.
x
y
z
θ
λ
Fig.2.10
λ y
x
z
Λ Φ
g
x’
y’
Fig.2.9
22
En este capítulo vamos a resolver la forma geométrica que presentaría un campo
potencial en el caso que fuese generado por una Tierra completamente esférica. En un
primer paso resolvemos el valor de la atracción gravitatoria para un punto P que se halla
sobre la superficie de esta Tierra teórica.
2r
mGF −=
Como posteriormente vamos a sumar las aceleraciones de cada contribución
(gravitatoria y centrifuga), tenemos que descomponer las aceleraciones en unas
direcciones determinadas comunes a ambas fuerzas para poderlas sumar. En este caso
en vez de elegir una descomposición respecto de los 3 ejes cartesianos, optamos por una
descomposición respecto a las coordenadas esféricas (r,θ,λ). Esta descomposición solo
presenta la componente del radio (r) que es la dirección en la que actúa la fuerza de la
gravedad.
( ) )43.2(0,0,,, 2
−=r
GMFFFr λθ
Siendo M la masa de la Tierra, r la distancia del centro al punto P.
( ) )44.2(0,cos,),,( 222
2
θθωθωω
λθ senrsenrzzz
pz
r ==
Donde ω es la velocidad angular de rotación de la tierra y r es el radio de la Tierra.
Finalmente para resolver el valor de la aceleración de la gravedad realizamos la suma
componente a componente de cada una de las contribuciones (gravitatoria y centrífuga).
x
y
z
z
zr
zθ
Fig.2.11
Tema 2. Teoría del Campo Gravífico.
23
)45.2(0,cos,),,( 2222
+−= θθωθωλθ senrsenrr
GMgggr
Como ya hemos visto estas componentes pueden deducirse a través de las funciones
potenciales de cada aceleración, el potencial gravitatorio de V y el de la fuerza
centrífuga Φ. La suma de estos dos potenciales nos da el potencial de la gravedad U (no
confundir con W que sería el potencial real de la Tierra).
)46.2()(21 222 θω senr
r
GMVU +=Φ+=
Podríamos resolver el valor de la aceleración a través del gradiente del potencial U.
Para el caso de las coordenadas esféricas nos encontramos que la aplicación del
gradiente no es tan inmediata, ya que los elementos diferenciales que consideramos
tienen diferentes unidades, con lo cual hay que realizar ciertas consideraciones para
homogeneizarlos.
Para resolver elementos diferenciales homogéneos, se divide la diferencial respecto
de θ por r y la diferencial respecto de λ por r.senθ.(fig.2.12)(2.47)
)47.2(1
,1,),,(
∂∂
∂∂
∂∂=
λθθλθU
senr
U
rr
Ugggr
En vez de utilizar en las ecuaciones el argumento colatitud θ, lo sustituimos por ϕ
)48.2(cos2
22
+= ϕa
rm
r
a
a
GMU
Siendo a equivalente a r ya que es el radio de la Tierra esférica y m es
z
dθ
dr dλ
Fig.2.12
24
)49.2(2322
GM
a
a
GM
am
ωω ==
En el segundo término de (2.49) se aprecia claramente que m es el cociente entre las
fuerzas centrifuga y gravitacional sobre la tierra esférica en el ecuador, el cual lo
utilizaremos más hacía adelante para resolver la forma real de la Tierra.
Si resolvemos g a través del gradiente de su función potencial U llegamos a la misma
solución resuelta en (2.45).
Calculemos en un primer lugar la componente de g respecto r.
)51.2(cos
)50.2(cos
22
2
2
222
−−=
+−=∂∂=
ϕ
ϕ
a
mr
r
a
a
GMg
ra
m
r
a
a
GM
r
Ug
r
r
Para el caso de la componente g respecto de θ
)53.2(0)52.2(cos2 == λθ ϕϕ gysena
rm
a
GMg
Ahora veamos la forma que tiene o genera el potencial que hemos calculado a partir
de una Tierra esférica, U en (2.47). Este análisis se puede realizar fijando un valor del
potencial U y resolviendo a diferentes latitudes como ha variado la distancia de esa
superficie equipotencial ( todos los puntos de la superficie tienen el mismo valor de U)
al origen del SR, en el caso de que fuese constante no encontraríamos que dicha
superficie equipotencial sería una esfera (fig.2.13), como el que aparece en la figura y se
deduciría finalmente que la forma de la tierra es una esfera ya que la superficie de los
mares se ciñe a la forma de una superficie equipotencial
Sin embargo el caso del potencial generado por una Tierra esférica no coincide con
el caso arriba planteado. En un primer lugar establezcamos el valor de la superficie
equipotencial, en este caso adoptamos el valor del potencial en el Polo φ=90º, el cual
aplicándolo a (2.48) se obtiene
)54.2(0a
GMU =
Si este valor lo establecemos como constante en (2.48) y despejamos el valor de r
obtenemos que
Tema 2. Teoría del Campo Gravífico.
25
)55.2(cos2
1 2
+= ϕmar
Donde observamos que r conforme varíe la latitud ira variando también su valor, la
ecuación (2.55) coincide con el valor del radio vector de una elipse lo cual establece que
el potencial generado por la Tierra es el de un elipsoide de revolución de achatamiento
m/2.
Si establecemos unos valores aproximados de los parámetros que configuran las
ecuaciones (2.50) y (2.51) podemos resolver los valores de la gravedad a diferentes
latitudes.
a=6371 km; G= 6.67259 E-11 m3 kg s-2; M=5.976 E24 kg; ω=2π/24 h= 7.2722E-5
rad s-1
obteniéndose los valores de:
φ gr gθ
0º 9.790340 0
45º 9.807186 0.016846
90º 9.824033 0
En estos valores se observa que la componente en la dirección del radio es mucho
mayor que la componente de la colatitud y para este caso en concreto se puede
considerar prácticamente despreciable. Por lo que se refiere a la componente radial
vemos que el valor en los polos es mayor que en el Ecuador que en este caso se explica
por la existencia de la fuerza centrífuga que es mayor en el Ecuador lo cual hace que el
valor de la gravedad disminuya ya que esta se opone a la gravitatoria.
r=cte U=cte= Forma que adoptaría la superficie del
mar
Fig.2.13
26
Si comparamos los valores reales de la gravedad medidos sobre la superficie, con los
teóricos que hemos obtenido:
Real (m s-2) Teórico (ms-2)
Polo 9.83221 9.824033
Ecuador 9.78049 9.790340
En este cuadro podemos apreciar como el valor de la gravedad real en el ecuador es
menor que el teórico, ocurriendo lo contrario para el caso de los polos donde es mayor
el real que el teórico, estas diferencias se explica si la figura real de la tierra respecto la
teórica presentara un radio ecuatorial mayor que el teórico (ya que cuanto más nos
alejamos del centro de masas menor valor de la gravedad se obtiene) y en el caso de los
polos la distancia real sea menor que la establecida en el teórico (si nos acercamos
aumenta el valor de la gravedad).
En este cuadro podemos apreciar como el valor de la gravedad real en el ecuador es
menor que el teórico, ocurriendo lo contrario para el caso de los polos donde es mayor
el real que el teórico, estas diferencias se explica si la figura real de la tierra respecto la
teórica presentara un radio ecuatorial mayor que el teórico (ya que cuanto más nos
alejamos del centro de masas menor valor de la gravedad se obtiene) y en el caso de los
polos la distancia real sea menor que la establecida en el teórico (si nos acercamos
aumenta el valor de la gravedad).
W real de la
U teórico para una Tierra Esférica
Fig.2.14
Tema 2. Teoría del Campo Gravífico.
27
2.5. Potencial de la Gravedad.
En el capítulo anterior hemos considerado que la masa de la Tierra se encontraban
distribuida en el interior de una esfera, y hemos calculado los radios por latitudes de esa
superficie equipotencial, obteniéndose como resultado una figura de la Tierra elipsoidal.
Los primeros en realizar estas consideraciones sobre la forma de la Tierra fueron
Newton y Huyghens, los cuales predijeron que la actuación combinada de la fuerza
gravitacional y centrífuga sobre una masa liquida tenía como resultado una figura
achatada por los polos.
Se realizaron mediciones entre diferentes puntos de la superficie Terrestre, para
resolver en función de la diferencia de latitudes y la distancia entre los puntos el radio
Terrestre. Paradójicamente las primeras mediciones que se realizaron indicaban, que el
achatamiento de la Tierra era ecuatorial (Fresnel; Paris-Amiens 1525, Picard y Cassini;
Hasta Perpignan 1672). Finalmente en el s.XVII se opta por realizar dos expediciones
que resolviesen la incertidumbre, una a los Polos (Laponia) dirigida por Maupertius y
Clairaut y otra al Ecuador dirigida por Bouguer y La Condomine (Peru) para resolver el
valor del radio en cada sitio. Finalmente en estas expediciónes se confirmo la forma
predicha por Newton y Huyghens, la figura de la Tierra era achatada por los polos
siendo el aplanamiento observado de 1/266.
Sin embargo en este capítulo no vamos a realizar ninguna consideración a priori
sobre la figura de la Tierra (en 2.4 partíamos de una Tierra esférica con masa M). Ahora
se pretende obtener una ecuación polinómica para el potencial U de forma general, que
aplicando un valor a los coeficientes del polinomio resolvamos el valor del potencial
independientemente de la disposición de las masas que presente la Tierra.
Tierra achatada por los Polos
Tierra achatada por el Ecuador
Fig.2.15
28
Si la Tierra tiene una masa M y su potencial gravitatorio es V, el Potencial de la
gravedad U está formado por la suma de este potencial y el de la fuerza centrífuga Φ
)55.2(21 222 θω senrVVU +=Φ+=
En primer lugar vamos a resolver una ecuación general para V, ya que conocemos
que V cumple la ecuación de Laplace 0=∆V
En el caso que nuestro sistema de coordenadas vengan expresado en coordenadas
esféricas adquiere una nueva expresión diferente a (2.31) y (2.31a), por los mismos
motivos que hemos visto en el capítulo 2.4 en la fórmula (2.47), esta expresión es la
(2.56)
)56.2(011
2
2
2 =∂
∂∂∂
+∂
∂∂∂
=∆θ
θθ
θ
Vsen
senrr
r
Vr
rV
En este caso hemos considerando que el potencial V tiene simetría con respecto al
eje de rotación de la Tierra (la gravedad en el modelo que estamos planteando no varía
con la longitud), con lo cual V sería función únicamente de r y θ, y se establece la
ecuación (2.56) en derivadas parciales.
Como ya hemos mencionado al principio del capítulo lo que estamos buscando es
una ecuación general para V independientemente de la distribución de masas que tenga,
la ecuación (2.56) constituye una importante información, una forma de resolver está
ecuación en Cálculo es a través del método de separación de variables, según este
método, V adoptara una solución del tipo
( ) ( ) ( )( ) )57.2(coscos, 1 θθ nnnn
nn QBPArrV += −−
donde V vendrá dada por una combinación lineal de los términos que se hallan
dentro del paréntesis
r es la distancia desde el origen del SR al punto considerado,Pn(cosθ), Qn(cosθ) son
los Polinomios de Legendre de Primera y Segunda clase los cuales son perfectamente
conocidos y n es el orden del Polinomio.
( ) )58.2(1cos32/1
cos
1
22
1
0
−=
==
θθ
P
P
P
An y Bn son los coeficientes de un Polinomio los cuales son función de cómo se halla
distribuida la masa en la Tierra.
Tema 2. Teoría del Campo Gravífico.
29
El siguiente paso es resolver que combinación lineal de 2.57 es la que configura la
función V que estamos buscando. Para ello acudimos a las propiedades del potencial
que hemos visto en el capítulo 2.2.2.1, la primera establece que limr→∞ V =0, esta
condición establece que las potencias de r a utilizar sean las negativas ya que en el caso
de utilizar las potencias positivas entonces limr→∞ V = ∞.
Los polinomios de segunda clase también son eliminados, por no estar acotados para
los valores extremos del cos θ. Por lo tanto se resuelve que V tendrá la forma de la
ecuación (2.59).
)59.2())(cos)(( 1 θnn
n PArV −−=
Finalmente se puede expresar V como serie en la forma:
( ) )60.2(cos),(0
1
∑∞
=
+
=n
n
n
n Pr
aArV θθ
En esta se introduce a, el radio ecuatorial de la Tierra a efectos de normalización, de
esta forma hemos resuelto la ecuación general del potencial V. El siguiente paso es
resolver el valor de los coeficientes para poder resolver los valores de V, para ello de
nuevo vamos a utilizar las propiedades del potencial.
Resolvemos en un primer lugar el valor de A0, para ello utilizamos la condición
(2.31a)
( ) ( )
( ) ( ) ....cos.cos),(.
...coscos),(
1
2
100
1
2
100
+
+=
+
+=
rPr
aArP
r
aArVr
Pr
aAP
r
aArV
θθθ
θθθ
Si ahora aplicamos la condición de límite
( ) ( ) ( )
∞→
=+
+=
r
PaArPr
aArP
r
aArVr )62.2(cos....cos.cos),(.lim 001
2
100 θθθθ
Igualando a (2.31a)
)63.2(0
0
a
GMA
GMaA
=
=
Ahora definimos una nueva constante a efectos de simplificación
GM
AaJyJ nn ==10
30
Reescribimos (2.60) con Jn
( ) ( ) ( ) )64.2(coscoscos),(0
1
0
1
0
1
∑∑∑∞
=
+∞
=
+∞
=
+
=
=
=n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n Pr
aJ
a
GMP
r
a
GM
aA
a
GMP
r
aArV θθθθ
Separando el primer sumando, la ecuación queda en la forma:
( ) )65.2(cos1
1
+=+∞
=∑ θn
n
n
n Pr
aJ
r
a
a
GMV
Finalmente la expresión 2.65 resuelve la ecuación general del potencial gravitatorio
de la Tierra, con un desarrollo en polinomios de Legendre de primera clase, con
coeficientes Jn. De esta forma, el potencial de la gravedad es:
( ) )66.2(2
cos 221
+
+= ∑+
θθ sena
rmP
r
aJ
r
a
a
GMU n
n
n
2.6. Interpretación Física de los coeficientes del desarrollo de
aproximación de primer orden.
En este capítulo vamos a resolver la ecuación del potencial no a través de la ecuación
de Laplace como hemos hecho en el anterior, la cual nos ha proporcionado una ecuación
general para V, lo haremos a través de la fórmula (2.17), y sustituiremos algún
parámetro por uno equivalente, el objeto de estas operaciones es resolver o darle
significado físico a los coeficientes del polinomio de Legendre.
Para ello consideramos la tierra formada por una masa M, contenida dentro de un
volumen V, situando el centro de coordenadas en su centro de masa. El potencial V en
x
y
z
l
r
P’(x’,y’,z’)
P(x,y,z)
ψ
r’senψ
r’.cosψ
r’
Fig.2.16
Tema 2. Teoría del Campo Gravífico.
31
un punto fuera de la Tierra vendrá dado por la integral sobre la masa total del potencial
creado por cada diferencial dM. En el problema suponemos simetría respecto a λ
)67.2(),( ∫=M
l
GdMrV θ
Siendo l la distancia del punto P a cada dM, por el teorema del coseno l se sustituye
por la ecuación (2.67a).
)67.2(cos'2'222 arrrrl ψ−+=
Siendo r la distancia al origen de P, r’ la distancia al origen de dM y ψ el ángulo
entre ambas direcciones.
Ahora sustituyendo el valor de l en (2.67) obtenemos una nueva ecuación para el
potencial
)68.2(
cos'
2'
12
1
2
2∫
−+
=M
r
r
r
rr
dMGV
ψ
Como resulta que
∑∞
=
=
−+
021
2
2)69.2()(cos
'
cos'
2'
1
1
n
n
n
Pr
r
r
r
r
r
ψ
ψ
Sustituyendo los tres primeros términos del desarrollo en polinomios de Legendre
(2.58) en la ecuación (2.68) obtenemos la ecuación (2.70).
( )∫ ∫∫ −
++=M MM
dMr
r
r
GdM
r
r
r
GdM
r
GrV )70.2(1cos3
'2
cos'
),( 22
ψψθ
Vamos a recordar ciertos definiciones
físicas que nos van ser útiles en adelante. Un
concepto o definición física importante es la de
momento de inercia I respecto de un eje, esta
se define como el sumatorio, de las masas por
la distancia al cuadrado al eje
)71.2(2irimI ∑=
Se define el centro de masas como las
coordenadas donde se encuentra el centro de
gravedad de un cuerpo.
r
Fig. 2.17
32
)72.2(M
dmzgz
M
dmygy
M
dmxgx
∫=∫=∫=
Analicemos cada uno de los términos de la ecuación (2.70).
El primer término es el potencial de toda la masa concentrada en el origen (GM/r). El
segundo termino representa las coordenadas del centro de masas de la tierra, siendo s
.cosψ una coordenada medida sobre el eje r, y r una ponderación, como el centro de
masas lo hemos establecido en el origen del SR , finalmente se resuelve que el término
es igual a 0. El tercer término puede descomponerse en la forma:
( ) ( )
)73.2('23
'
1)1(3'
21cos3
'2
223
23
22
22
∫∫
∫∫
−
=−−
=−
MM
MM
dMsenrr
GdMr
r
G
dMsenr
r
r
GdM
r
r
r
G
ψ
ψψ
Operando sobre el primer término
)74.2(2
)''()''()''(2
)''()''()''(21
'
3222222
3
2222223
23
∫∫
∫∫
++=+++++
=+++++=
MM
MM
CBAr
GdMxyzxzy
r
G
dMxyzxzyr
GdMr
r
G
Siendo el segundo término el momento de inercia I alrededor del eje OP, finalmente
podemos reescribir el potencial V
( ) )75.2(32 3 ICBAr
G
r
GMV −+++=
Atendamos ahora a ciertos aspectos físicos importantes que nos ayudaran a
establecer más conclusiones a partir de (2.75). El hecho de encontrarnos un movimiento
de rotación de la Tierra “homogéneo “ alrededor del Polo es debido a que los momentos
de Inercia respecto al eje X e Y son iguales, si esto no fuese así nos encontraríamos con
una rotación no homogénea. En virtud de esto se puede resolver que A=B.
Considerando que podemos expresar el momento de inercia I en función en función
de los momentos de inercia A, B y C utilizando la relación
)76.2(222 CnBmAlI ++=
Siendo (l,m,n) los cosenos directores del eje OP. 222 )( CnmlAI ++=
Como
ϕθ senn == cos
y
Tema 2. Teoría del Campo Gravífico.
33
ϕ2222 cos1 =−=+ nml
resulta.
)78.2()13)((
3332
3)1(323cos32
)cos(323
2
22
2222
22
−−−
=−++−=−+−−=−+−
=+−+=−++
ϕϕϕ
ϕϕϕϕϕϕ
senAC
CsenCAsenAA
CsenCsenAACsenCAA
CsenACAICBA
Sustituyendo el último término de (2.78) en (2.76) obtenemos una nueva expresión
del potencial la ecuación (2.79) en función de los momentos de inercia respecto a los
ejes X y Z.
( ) )79.2()13(21 2
3 −−−= ϕsenACr
G
r
GMV
Esta ecuación constituye el potencial gravitatorio de la Tierra, en aproximación hasta
términos en r-3, en función de la Masa total M y los momentos de Inercia C respecto al
eje de rotación, y a un eje ecuatorial.
Se da las circunstancias que el desarrollo en r debe ser único, quiere decir esto que
los coeficientes que multiplican las potencias de r deben coincidir, por tanto si
igualamos la ecuación (2.79) con el potencial U obtenido a través de la resolución de la
Ecuación de Laplace (2.66) obtenemos
)80.2(0 221Ma
ACJyJ
−==
Donde el coeficiente J2 se conoce como factor de forma dinámica de la Tierra, siendo
este una de las constantes fundamentales en Geodesia y Astronomía. Si en (2.79)
añadimos el potencial debido a la Fuerza Centrifuga, obtenemos para el Potencial de la
gravedad:
( )( ) )81.2(cos21
1321 2222
3 ϕωϕ rsenACr
G
r
GMU +−−−=
La ecuación (2.81) se conoce como fórmula de Mac Cullagh, expresa el Potencial de
la gravedad en función de la Masa y momentos de inercia de la Tierra y constituye una
aproximación de Primer Orden. Un análisis de la fórmula nos revelaría que coincide con
el potencial generado por una elipsoide de revolución, cuyos momentos de inercia son
A y C. En el caso que A=C el Potencial sería el generado por una Tierra esférica.
Sacando factor común GM/a y sustituyendo J2
34
( ) )82.2(cos2
132
22
23
2
+−
−= ϕϕa
rmsen
r
aJ
r
a
a
GMU
Esta ecuación expresa exactamente lo mismo que (2.81) pero en función de m (2.49)
y de J2.
2.7. Forma de la Tierra.
Llegado a este punto disponemos de una Fórmula del Potencial de la gravedad más
aproximada para la Tierra que la que hemos obtenido en el capítulo 2.4 con la ecuación
del potencial para una Tierra esférica (2.46). En el cual ya resolvimos que la forma de la
Tierra iba a ser la generada por el Potencial de la Tierra. Es por ello que ahora vamos a
realizar la misma operación que realizamos en el Capítulo 2.4. En este caso
establecemos un nivel base para el valor del Potencial U0, siendo este valor el valor del
potencial que coincide con el nivel medio de los mares. Una vez hemos fijado el valor
base del potencial, procedemos a resolver r al igual que hicimos en (2.55). En el caso
que se nos plantea ahora r quedara en función φ y de U0 por que al igual que en el
capítulo (2.4) hemos considerado que la variación de U respecto de λ es despreciable, en
este caso el despejar r es más complicado y daremos directamente su resolución final.
( ) )83.2(cos2
132
1 23
22
2
0
+−
−= φφa
rmsen
r
aJ
U
GMr
U=cte= Forma que adoptaría la superficie del mar
r
Fig. 2.18
Tema 2. Teoría del Campo Gravífico.
35
Resolviendo una nueva aproximación establecemos que r=a en (2.63)
)84.2(22
321
21 2
22
0
+−++= φsenm
JmJ
U
GMr
Si establecemos el valor de U0 para el ecuador (φ=0) y (r=a) en (2.82) se resuelve
)85.2(22
1 20
++== mJ
a
GMUU e
Que sustituido en (2.84)
)86.2(22
31 2
2
+−= φsenm
Jar
Donde se han despreciado los términos de segundo orden de J2 y m.
Intentemos establecer una analogía entre la figura generada por el potencial de la
Tierra y un elipsoide de revolución de semiejes a y c.
Se define el aplanamiento del elipsoide como
)87.2()(
a
ca −=α
Y el radio vector de dicho elipsoide en aproximación de primer orden.
)88.2()1( 2φαsenar −=
Si comparamos (2.86) con (2.88) podemos resolver que la superficie equipotencial
generada por una aproximación de primer orden es la de un elipsoide, estableciéndose
que los parámetros de este son
)89.2(22
32
mJ +=α
Ahora vamos a definir una constante que establezca una relación entre los momentos
de inercia, esta la vamos a establecer con el mismo criterio con que se define el
aplanamiento terrestre,
)90.2(C
ACH
−=
a c
r
Fig. 2.19
36
El cual se conoce como elipticidad dinámica, ahora podemos reescribir J2 (2.80)
)91.2(22Ma
HCJ =
Pudiéndose sustituirse finalmente esta valor en (2.89)
)92.2(31
32
)92.2(31
32
2
2
amMa
HC
Ma
HCm
+=
=−
α
α
De esta forma hemos establecido la relación existente entre parámetros físicos y
parámetros geométricos del elipsoide con todas estas ecuaciones. Desde luego esto era
de esperar al igualar el aplanamiento (α) del elipsoide con los coeficientes de campo en
(2.89), lo cual ha posibilitado finalmente el establecer la relación (2.92) y (2.92a) que
relaciona el aplanamiento con el resto de parámetros física de la Tierra m, H, C, a y M,
aquí se ve de una forma evidente que la forma de la Tierra es función de cómo se halle
distribuida la masa respecto los ejes (H y C), por supuesto de la Masa total de la Tierra,
y de la relación existente entre la fuerza gravitatoria y centrífuga.
En cualquier caso hemos resuelto que la forma de la Tierra en primera instancia es la
de un elipsoide de revolución. Quiere decir esto que podemos resolver una
aproximación al potencial de la gravedad resolviendo el generado por un elipsoide con
semiejes a y c.
Lo cierto es que la superficie generada por un elipsoide de revolución y la superficie
equipotencial real de la Tierra no son mayores de 100 m. En el caso de utilizar una
superficie esférica nos encontraríamos con diferencias de hasta 15 Km, lo cual pone de
manifiesto que una superficie idónea de trabajo a efectos de medición sobre la Tierra es
la constituida por un elipsoide de revolución.
El buen ajuste que presenta el elipsoide queda patente en los valores de los
coeficientes Jn, que para J2 es del
orden de 10-3 y para n>2 del orden
de 10-6 lo cual quiere decir que las
desviaciones respecto la figura del
elipsoide son muy pequeñas. φ
z
a
c
x
Fig. 2.20
ϕ
Tema 2. Teoría del Campo Gravífico.
37
2.7.1.Latitud Geodésica.
En función de lo visto en el capítulo anterior, conviene definir la latitud geodésica,
ya que la superficie de trabajo que vamos a utilizar es la del elipsoide, se define la
latitud geodésica como el ángulo que forma la normal al elipsoide en un punto y el
plano ecuatorial.
Establezcamos la relación existente entre ambas latitudes, para lo cual en primer
lugar acudimos a la ecuación de una elipse (2.93).
)93.2(12
2
2
2
=+c
z
a
x
Como la latitud geodésica Φd está medida entre la normal a la superficie del elipsoide
y el plano ecuatorial:
)94.2(dx
dztg −=ϕ
Derivando en (2.93)
)95.2(2
2
x
z
c
a
dx
dz −=
Y sustituyendo la latitud geocéntrica se obtiene:
)96.2()1(
122
2
ϕα
ϕϕ tgtgc
atg d −
==
2.8 Modelos del campo de la gravedad
Los modelos del campo de la gravedad representan diferentes aproximaciones del
campo real de la gravedad del cual a lo largo de este tema hemos resuelto diferentes
aproximaciones estableciendo ciertas condiciones a priori, en cualquier caso hemos
visto como para llegar a ecuaciones relativamente simples hemos tenido que ir
despreciando ciertos aspectos (p.e. hemos considerado que la gravedad no tenia
variaciones con la longitud), lo cual repercute en las fórmulas en unos valores del
potencial y aceleración menos precisos. Esto implica que nos encontramos con modelos
del campo de la gravedad con diferentes precisiones.
2.8.1. Modelos estándares
Los modelos estándares de la gravedad deben proporcionar un cálculo sencillo de los
valores de la gravedad para puntos de la superficie a través de sus coordenadas, esta
característica permite una definición sencilla del campo de la gravedad. Este facilidad
38
de cálculo es viable cuando el cuerpo sobre el cual estamos calculando la gravedad y
que además la genera tiene una descripción geométrica regular. Esta figura regular debe
presentar un campo de la gravedad lo suficientemente próxima de tal forma que las
desviaciones entre la gravedad teórica del modelo estándar y la gravedad real de la
Tierra pueda ser considerada como desviaciones lineales para poder realizar cálculos de
forma sencilla.
Otro aspecto importante es que el modelo estándar tenga una distribución de la
densidad coherente con el de la Tierra, esta característica posibilita un estudio de las
desviaciones entre los valores reales y estándar de la gravedad y por que se producen.
El modelo estándar utilizado ampliamente es el elipsoide de nivel, del cual veremos
una descripción más amplia en el capítulo 3.2
2.8.2 Modelos óptimos.
Los modelos óptimos del campo de la gravedad son aquellos modelos que calculan
la gravedad de un punto sobre la superficie, dando un valor de la gravedad para dicho
punto muy cercano al valor real de la gravedad. Estos modelos se construyen a partir de
valores de gravedad observados. En este caso la superficie de nivel que representa el
campo de la gravedad no es regular, no presenta una definición geométrica sencilla, lo
cual es lógico ya que el campo de la gravedad no presenta una definición geométrica
sencilla.
Usualmente para la representación de estas superficies de nivel más complejas se
acude a la resolución de la ecuación de Laplace pero en este caso la solución viene
dada por un polinomio especial el cual tiene en cuenta que la gravedad tiene variaciones
también en longitud. Este polinomio es conocido como la expansión en armónicos
esféricos del potencial V (2.97). La superficie generado por este polinomio se conoce
como esferoide de nivel de grado l.
Cl,m Sl,m son coeficientes y Pl,m(cosθ) son las funciones asociadas de Legendre donde
l y m son el grado y orden de la función respectivamente. Las funciones asociadas de
Legendre describen el comportamiento de V en la superficie de una esfera unidad, esta
función establece una compartimentación de la Tierra, quedando esta con valores
( ) )97.2()(cossencos1)(2 0
,,,
+
+= ∑ ∑∞
= =l
l
m
mlmlml
l
PmSmCr
a
r
GMrV θλλ
Tema 2. Teoría del Campo Gravífico.
39
positivos y negativos. Cuanto mayor sea el grado (l) mayor será la compartimentación y
una mayor aproximación al campo de la gravedad obtendremos.
Otra representación de un modelo optimo serría el que hemos resuelto en el capítulo
2.5 y cuya ecuación final viene dada por (2.66), este modelo presenta la peculiaridad de
que no sufre variaciones de campo a lo largo de los paralelos, lo cual implica ciertas
deficiencias en el modelo ya que esto no es real.
En la figura 2.21 observamos una representación plana exagerada de los dos modelos
óptimos propuestos aunque, sin embargo estas aproximaciones planas también suelen
ser utilizadas de una forma funcional .
La superficie de nivel generada por un modelo armónico esférico (con un grado l),
suele ser la representación matemática más aproximada que podemos realizar del geoide
(figura de la Tierra). La definición de este modelo requiere el conocimiento de un
extenso número de parámetros (Cl,m Sl,m) los cuales se obtienen a través de los datos de
la gravedad obtenidos sobre la Tierra, la superficie de nivel que presenta este polinomio
(representación de 2.97) es muy compleja por la adaptación que tiene que el polinomio
a un campo natural, y se conocen como superficies de alto orden. Estos modelos son
muy útiles en los campos de la geociencia, oceanografía y navegación.