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TEMA ITEORÍA DE CAMPOS
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campo de una magnitud• Definición: es la región del espacio donde una
magnitud está definida y tiene un valor.• Tipos:
– Campo escalar: cuando la magnitud definida es un escalar– Campo vectorial: cuando la magnitud definida es una
magnitud vectorial• En general, en cada punto del campo el valor de la
magnitud depende de las coordenadas del punto y del tiempo [U = f(x, y, z, t), Ᾱ = f’(x, y, z, t)]
• Si el valor de la magnitud no depende del tiempo se dice que el campo es estacionario. Entonces las funciones son unívocas y contínuas.
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campos escalares
Se unen todos los puntos con igual valor de la magnitud dando lugar a “superficies equiescalares” o en el plano a isolíneas.
Son superficies (líneas), cerradas que no se cortan.
campos vectoriales
Partiendo de un punto P, se traza una línea tangente al valor de la magnitud en ese punto llegando a P’, punto por el que se traza una línea tangente….
representación de campos estacionarios
5ºC
10ºC
15ºC
P
P’
Líneas de campo
Por convenio, la densidad de las líneas de campo es proporcional al módulo del vector.
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gradiente de un escalar• Es una aplicación vectorial sobre un
campo escalar, tal que a cada punto P, en el que el valor de la magnitud es U, se le hace corresponder un vector cuya proyección sobre cualquier dirección, es igual a la derivada de la magnitud U en el punto P, siguiendo esa dirección:
• En un espacio tridimensional utilizando un sistema cartesiano de referencia:
• Dado que:
• Físicamente, el gradiente en un punto P de un campo, en el que el valor de la magnitud es U, corresponde a un vector normal a la superficie equipotencial a la que P pertenece, que tiene como módulo el valor de la variación de U en cada punto y sentido el valor creciente de la magnitud.
grad U dr dU ����������������������������
U U Ugrad U i j k
x y z
��������������
U U UdU dx dy dz
x y z
U=cte
U+dU=cte’
P
grad U
drα
grad U dr dU ����������������������������
dt
dn grad U dt dn dU
������������������������������������������
0grad U dt dU ����������������������������
grad U dn dU ����������������������������
dUgrad U
dn
����������������������������
02
cos
U U Ugrad U i j k U
x y z
��������������
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flujo de un vector• Toda superficie se representa por un
vector normal a la superficie y cuyo módulo es el valor de la superficie.
• Se llama flujo de un vector a través de una superficie al producto escalar del vector por el vector representativo de la superficie.
• Si dφ > 0, se dice que el vector entra en la superficie
• Si dφ < 0, se dice que el vector sale de la superficie
Flujo total:
dx
dy
dS
v
; 0, 0 ; 0,2 2
d v dS d si d si
��������������
v dS ��������������
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divergencia de un vector• Dado un campo vectorial (ū), se entiende por divergencia de, una aplicación
escalar que a cada punto P del campo, en el que el valor de la magnitud es ū, le hace corresponder un escalar ligado a dicho punto, cuyo valor es la derivada del flujo del vector, calculado a través de una superficie elemental cerrada que contenga a P.
• Aunque matemáticamente no sea correcto, esta expresión equivale al flujo en cada punto.
• Los valores posibles de la divergencia serán:en dicho punto nacen líneas de campo. Todos los
puntos en los que esto ocurre se llaman "manantiales" o "fuentes".
•entra más magnitud de la que sale, o lo que es lo mismo, que en
dicho punto mueren líneas de campo. Todos estos puntos se llaman "sumideros".llega tanta magnitud como la que sale, o lo que es lo mismo, que a
dicho punto, llegan tantas líneas de campo como las que salen de él.
0lim
u dsdiv u
��������������
0div u
0div u
0div u
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cálculo de la divergencia• Aplicando la definición, si
consideramos un espacio de tres dimensiones y un sistema cartesiano de referencia, para calcular la divergencia se toma el punto del campo en el que la magnitud vale v (vx, vy, vz), se construye tomándolo como origen de coordenadas un paralelepípedo elemental de lados dx, dy, dz, y se calcula a través de cada superficie, el valor del flujo del vector.
1 1 2 2; ;x xx x x
v vd v dS v dydz d v dS v dx dydz d dxdydz
x x
����������������������������
x
y
z
Flujo del vector a través de las superficies normales al eje x (amarilla y rosa):
dS2
dS1
0lim
yx z
yx z
vv vu ds vx y z v v
div u vdxdydz x y z
��������������
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teorema de Gauss o de la divergencia
• el flujo de un vector calculado sobre una superficie cerrada es igual, a la divergencia del vector calculada sobre el volumen total que dicha superficie encierra.
• Aplicando la definición de integral:
s
v ds = div v d
v
ds
1
ds2
i
1 2
1 1
n ni
i ii i iis
v sv ds = div v div v d
������������� �
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circulacion de un vector• Se entiende por circulación de un vector a lo largo de una línea, al producto
escalar del vector por el vector representativo de dicha línea:
• Si U deriva de un potencial escalar:
A
B
dl
v;
B
A
dC = v dl = | v | | dl | cos C = v dl
B B B
A A A
C = v dl grad U dl dU = U(B) - U(A) ����������������������������
v = grad U��������������
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rotacional de un vector• Dado un campo vectorial (v), se denomina rotacional de (v), a una aplicación
vectorial que en cada punto P del campo, al vector (v), le hace corresponder otro vector (rot v), tal que, definida una superficie que contenga a P, la dirección de dicho vector es normal a la superficie, su módulo, corresponde a la circulación de (v), a lo largo de la línea que limita dicha superficie, y su sentido corresponde al del avance de un tornillo que se gire en el sentido en el que la circulación se calcula.
• El rotacional puede pues definirse como la circulación puntual.• Cuando el rotacional es cero, el campo se llama irrotacional, y es demostrable
que en este caso, el campo vectorial deriva de un campo escalar U, siendo:
P
rot v
v
dl
S
v grad U��������������
0limnS
v dl v = vrot
s
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calculo del rotacional• Tomando el punto P de un campo vectorial, en el que el valor representativo de
la magnitud es , de componentes . Sobre cada uno de los planos XY, YZ, ZX, definimos una superficie elemental. Si calculamos la circulación de a lo largo del perímetro de cada una de estas superficies, y dividimos por el valor de la superficie, obtendremos cada una de las tres componentes del vector rotacional.
• Circulación a lo largo de PP1: vydy
• Circulación a lo largo de P1P2:
• Circulación a lo largo de P2P3:
• Circulación a lo largo de P3P: vzdz
• Circulación total:
• De donde:
v
, ,x y zv v vv
v
P P1
P2
dy
P3
P6
P4
P5
dx
dz
roty v
rotz v
P3
x
y
rotx v
zz
v v + dy dzy
yy
v- v + dz dy
z
y yz zy z y z
v vv vv dy + v + dy dz - v + dz dy - v dz = - dydz y z y z
yzx
vv v = - roty z
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teorema de Stokes o del rotacional
• la circulación de un vector a lo largo de una línea cerrada es igual al flujo del rotacional de dicho vector calculado sobre una superficie que tenga esa línea como borde.
• Aplicando la definición de integral:
Si S2
li
l2
v
11 1
( )n n n
ii i i i
ii= i= il s
v dl v dl = ( v dl ) s rot v s rot v ds
s
������������������������������������������������������������������������������������
l s
v dl = rot v ds ��������������
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operadores de segundo orden• Laplaciana de una función escalar: se llama Laplaciana de una función escalar a
un operador de segundo orden definido por:
• Laplaciana de un vector: se llama Laplaciana de un vector, a otro vector definido como:
2 2 2
2 2 2
U U UU = div grad U = U = + +
x y z
������������������������������������������
v = grad ( div v ) - rot ( rot v ) ������������������������������������������
2 2 22 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
y y yx x x z z zv v vv v v v v v
v = + + i + + + j + + + k x y z x y z x y z