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Tema 5. Muestreo y distribuciones muestrales

Contenidos

Muestreo y muestras aleatorias simples

La distribucion de la media en el muestreo

La distribucion de la varianza muestral

Lecturas recomendadas:

Capıtulo 7 del libro de Newbold, Carlson y Thorne (2009).

Capıtulo 7 del libro de Pena (2001).

Capıtulos 19 a 21 del libro de Pena y Romo (1997).

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Tema 5. Muestreo y distribuciones muestrales

Objetivos de aprendizaje

Saber que es una muestra aleatoria simple

Conocer la distribucion de la media muestral

• Su media y su varianza• Su distribucion en el caso normal• Su distribucion aproximada en el caso general (teorema central del lımite)

Conocer la distribucion de la varianza muestral

• Su media• Su distribucion en el caso normal

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Muestreo

Motivacion

En muchos casos se desea obtener informacion estadıstica sobre poblacionesnumerosas

• Situacion laboral de las personas en edad de trabajar en Espana• Fiabilidad de un modelo de automovil en un ano• Precipitacion anual en la Comunidad de Madrid

Puede ser imposible (por falta de recursos) obtener la informacion relativaa todos los individuos

Se estudia una muestra representativa de la poblacion

• Un subconjunto de la poblacion que permita obtener informacion fiablesobre el total de dicha poblacion

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Muestras aleatorias simples

Como seleccionar una muestra

Tamano reducido

Ausencia de sesgos

• Conclusiones obtenidas de la muestra son validas para la poblacion

Facilidad en la definicion de la muestra

Mejor alternativa: Muestras aleatorias simples

• Cada miembro de la poblacion tiene la misma probabilidad de pertenecera la muestra

• La seleccion se realiza de manera independiente◦ La seleccion de un individuo concreto no afecta a la probabilidad de

seleccionar cualquiera de los otros• En la practica, seleccion basada en numeros aleatorios

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Procedimiento de inferencia

Inferencia

Partiendo de la distribucion de la variable aleatoria en la muestra

Obtener informacion sobre distribucion de la variable en la poblacion

Valores de interes: calculo de estadısticos para la media, varianza, propor-ciones

Parámetros población, !

Parámetros muestra, l

!

!

Muestreo

Inferencia

0

3,75

7,50

11,25

15,00

DATOS POBLACIÓN

0

2,5

5,0

7,5

10,0

1,50,8

0,2

1,6

4,5

9,5

3,8

DATOS MUESTRA

5

Ejemplo de muestreo e inferencia

Ejemplo Consideremos el ejemplo de la figura anterior:

Poblacion compuesta por 24 individuos

Variable aleatoria de interes:

• Tiempo para completar una consulta medica

Valores:

Poblacion 5,1 1,0 0,9 3,8 10,2 2,1 9,5 4,5

1,0 2,2 1,5 4,8 1,6 8,8 4,3 1,0

9,0 5,1 0,2 2,3 0,8 7,8 7,7 1,5

Promedio de la poblacion: 4, 0

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Ejemplo de muestreo e inferencia

Muestra 1

Muestra seleccionada en la figura, tamano 7:

Muestra 3,8 9,5 4,8 1,6 0,2 0,8 1,5

Estadıstico de interes: promedio de la muestra 3, 1

Error (sesgo) relativo: (4, 0− 3, 1)/4, 0 = 0, 225

Cambios en el muestreo

Selecciones alternativas de los elementos de la muestra

Aumento del tamano de la muestra

7

Ejemplo de muestreo

Cambios en el tamano muestral

Si a la muestra del ejemplo anterior le anadimos nuevos elementos, elpromedio muestral cambia

Se aproxima al valor de la media poblacional

0

1,5

3,0

4,5

6,0

7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

4,04,24,0

4,34,34,44,44,14,24,4

4,64,6

4,14,0

3,63,9

3,33,1

CAMBIO EN EL PROMEDIO CON EL TAMAÑO MUESTRAL

Tamaño muestral

8

Ejemplo de muestreo

Si seleccionamos las primeras 7 observaciones obtenemos un promedio de lamuestra igual a 5, 8:

Muestra 5,1 1,0 0,9 3,8 18,2 2,1 9,5

Si consideramos todas las selecciones posibles de 7 observaciones (346,104posibilidades):

0

5000

10000

15000

20000

25000

1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5 5 5 6 6 6 6 6 6 6 7 7 7 7 7 7 7 8 8

DISTRIBUCION DE MEDIAS MUESTRALES TAMAÑO 7

9

Distribuciones en el muestreo

Distribucion de la media muestral

Para todas las muestras de tamano 7 y 17 obtenemos:

0

5000

10000

15000

20000

25000

1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5 5 5 6 6 6 6 6 6 6 7 7 7 7 7 7 7 8 8


0

15000

30000

45000

60000

1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5 5 5 6 6 6 6 6 6 6 7 7 7 7 7 7 7 8 8


10

Distribuciones en el muestreo

Se obtienen resultados similares para otros estadısticos

Para la desviacion tıpica de muestras de tamano 7 obtenemos:

0

7500

15000

22500

30000

0,5 0,7 0,9 1,1 1,2 1,4 1,6 1,8 1,9 2,1 2,3 2,5 2,6 2,8 3,0 3,2 3,3 3,5 3,7 3,9 4,0 4,2 4,4 4,6 4,7

DESVIACIONES TIPICAS MUESTRAS TAMAÑO 7

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Distribuciones en el muestreo - Conclusiones

El valor del promedio muestral es una variable aleatoria (los estadısticos sonvariables aleatorias)

• Depende de la seleccion (aleatoria) de los individuos en la muestra

Distribucion muestral del estadıstico: distribucion de probabilidad del valorde interes para todas las muestras del mismo tamano

La distribucion muestral cambia con el tamano de la muestra

• Variabilidad de estadısticos muestrales disminuye con el tamano de lamuestra

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La distribucion de la media muestral

El problema de interes

La media poblacional es un parametro de gran interes en muchas situa-ciones practicas

Por ejemplo, queremos conocer el promedio de:

• los ingresos familiares en Espana el ano 2007• la proporcion de prestamos morosos el ultimo mes• el precio de compra de viviendas en la Comunidad de Madrid el pasado

mes

A partir de una muestra (reducida) de valores queremos calcular

• Una buena aproximacion al valor correcto (inevitablemente con error)• Y una estimacion del error en la aproximacion

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La distribucion de la media muestral - Ejemplo

Informacion sobre el gasto familiar en Espana

Disponemos de los datos siguientes (gasto anual por hogar, EPF)

Gasto 32545,76 3140,24 25205,64 2474,28 10242,34 721,16

4855,80 7449,74 3466,50 4400,80 4740,00 10830,00

16240,88 9840,12 14534,96 14960,00

0

10000

20000

30000

40000

GASTO ANUAL

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Valor de interes: estimacion de la media nacional (media de la variablealeatoria)

• A partir de los datos disponibles en la muestra

¿Que estadıstico de la muestra se parece al promedio nacional (media de lapoblacion)?

El valor esperado de la media de la muestra es la media de lapoblacion

E

[1n

n∑i=1

xi

]= E[X]

Estimamos la media de la poblacion a partir de la media de la muestra

• En nuestro ejemplo: 10353,01 euros

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Mas datos de la distribucion

Media de una muestra en general diferente de la media de la poblacion

¿Podemos conocer la magnitud del error que estamos cometiendo?

• Depende de la distribucion de la media muestral• En particular, de su variabilidad (desviacion respecto de la media)• ¿En cual de los casos siguientes tenemos menos error?

0

5000

10000

15000

20000

25000

1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5 5 5 6 6 6 6 6 6 6 7 7 7 7 7 7 7 8 8

MEDIAS MUESTRA TAMAÑO 7 - MEDIA = 4,0

0

15000

30000

45000

60000

1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5 5 5 6 6 6 6 6 6 6 7 7 7 7 7 7 7 8 8

MEDIAS MUESTRA TAMAÑO 17 - MEDIA = 4,0

16


La variabilidad de la media muestral

La varianza de la media muestral x (una medida del error) vale

V [x] = V

[1n

n∑i=1

xi

]=

1nσ2

En el ejemplo anterior, V [x] = 76,458,643 y s[x] = 8,744 euros

El valor de la varianza decrece si n aumenta

Podemos reducir el error aumentando el tamano de la muestra

• La reduccion en el error es lenta• Para reducir el error (medido por la desviacion tıpica) a la mitad debemos

aumentar el tamano de la muestra 4 veces

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El valor de la varianza de la media muestral solo nos dice si el error puedeser grande o pequeno

Para obtener una respuesta mas precisa deberıamos conocer la distribucionde la media muestral

Si la variable X tiene una distribucion normal, entonces

1n

∑ni=1 xi − E[X]√

σ2/n∼ N(0, 1)

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Queremos obtener una medida del error de estimacion

Utilizando el resultado

1n

∑ni=1 xi − E[X]√

σ2/n∼ N(0, 1)

Pero habitualmente no conocemos σ2

• Aproximamos este valor con el correspondiente a la muestra (razonablesi n es grande)

De las tablas de la normal construimos un intervalo que nos proporcionauna indicacion del error

El intervalo se selecciona de manera que P(−β ≤ Z ≤ β) = α para el nivelde error (confianza) α deseado

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Distribucion de la media muestral - Ejemplo

Suponemos una distribucion normal de la variable gasto anual de hogares

• Escogemos un nivel de confianza de 0, 95• De las tablas de la normal estandar sabemos que para Z ∼ N(0, 1)

P(−1, 96 ≤ Z ≤ 1, 96) = 0, 95

• De los datos muestrales, la media muestral vale x = 10,353 y la desviaciontıpica muestral vale s = 8,744

• Por el resultado anterior sobre la distribucion de la media muestral,

P(−β ≤ x− E[X]s

≤ β) = P(−1, 96 ≤ 10353− E[X]8744

≤ 1, 96) = 0, 95

[10353− 1, 96× 8744, 10353 + 1, 96× 8744] = [−6785, 27491]

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El teorema central del lımite

Distribucion de la media muestral si X no es normal

Si cumple ciertas condiciones: teorema central del lımite

Dada una muestra aleatoria simple {xi} de tamano n obtenida de unavariable aleatoria X con media E[X] y varianza σ2 finitas, se cumpleque

1n

∑ni=1 xi − E[X]√

σ2/n→ N(0, 1)

conforme n →∞

La distribucion de la media muestral se parece a una distribucion normalpara muestras grandes

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La varianza muestral

En muchos casos es importante conocer el valor de la varianza de lapoblacion

• Para aplicar el teorema central del lımite• Para estimar riesgos en inversiones (el riesgo depende de la varianza)• Para estimar desigualdades en ingresos, rentas, etc.

Repetimos el estudio que hemos realizado para la media muestral

Partimos de que la varianza muestral es una variable aleatoria

Queremos relacionar sus momentos con los de la poblacion

Y si es posible, identificar su distribucion

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Esperanza de la varianza muestral

Si x denota la media muestral, se tiene que

E

[1n

n∑i=1

(xi − x)2]

=n− 1

nσ2

El valor esperado de la varianza muestral no es la varianza de la poblacion

Definamos la varianza muestral como

s2 =1

n− 1

n∑i=1

(xi − x)2

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Esperanza de la varianza muestral

Con esta definicion, tenemos E[s2] = σ2

• El valor esperado de s2 coincide con el valor deseado (varianza de lapoblacion)

• s2 es un estimador insesgado de σ2

Distribucion de la varianza muestral

Nos gustarıa tener informacion adicional sobre la varianza muestral y sudistribucion

• La distribucion de la varianza muestral no es simetrica: tiene asimetrıapositiva.

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Distribucion de la varianza muestral

Si la variable X tiene una distribucion normal

• La distribucion de (n − 1)s2/σ2 es una χ2 (chi-cuadrado) con n − 1grados de libertad (χ2

n−1)

DENSIDAD CHI CUADRADO

2,5% 2,5%95%

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