Teletransportación cuántica

Javier García GILAB, UdG

Sumario

• Vídeo introducción • Mecánica cuántica: repaso rápido • Información & entropía • Protocolo de teleportación cuántica • Estado experimental

Vídeo – introducción

Mecánica cuántica Espacio vectorial de Hilbert H

Dimensión 2

base |0, |1Un vector cualquiera | a|0 b|1(a y b complejos, |a|2 |b|2 1)

Producto directo de espacios de Hilbert

base |0, |1 |0, |1 |0 |0, |0 |1, |1 |0, |1 |1 |00, |01, |10, |11Un vector cualquiera | a|00 b|01 c|10 d|11(a, b,c y d complejos, |a|2 |b|2 |c|2 |d|2 1)

Mecánica cuántica

Cambio de base

base |0, |1 base’ |A, |B|0 |A |B|1 |A |B| a|0 b|1 | a|A |B b|A |B | a b|A a b|B

Mecánica cuántica

Medida

Dado el estado | a|0 b|1 sobre la base |0, |1

Probabilidad de estar en |0 : |a|2

Probabilidad de estar en |1 : |b|2

sobre la base |A, |B

| a b|A a b|BProbabilidad de estar en |A : |a b|2

Probabilidad de estar en |B : |a b|2

Mecánica cuántica

| a|0 b|1 c|0 d|1

Estado cuántico de dos partículas independientes:

Multiplicando y simplificando:

| ca|0 |0 da|0 |1 cb|1 |0 db|1 |1

| ca|00 da|01 cb|10 db|11

Probabilidad de que las dos partículas estén en 0: |ca|2

Probabilidad de que la primera partícula esté en 0 y la segunda en 1: |da|2

Probabilidad de que la primera partícula esté en 1 y la segunda en 0: |cb|2

Probabilidad de que las dos partículas estén en 1: |db|2

Mecánica cuántica

Estado cuántico de dos partículas entrelazadas:

Entrelazado significa que el estado no puede expresarse como producto de estados de una partícula:

| a|00 b|11

a|00 b|11 |0 |1 |0 |1

Implicaciones: No sabemos en qué estado estará la partícula 1 después de una medida, pero si lo hace en el estado 0, entonces la otra partícula también lo estará, y lo mismo ocurre con el 1.

Mecánica cuántica

Base de estados máximamente* entrelazados: ESTADOS DE BELL**

|B0 |00 |11|B1 |10 |01|B2 |00 |11|B3 |10 |01

* La entropía de entrelazamiento es máxima - ** Sin normalizar

Invertimos, cambio de base:

|00 |B0 |B2 |01 |B1 |B3 |10 |B1 |B3 |11 |B0 |B2

Mecánica cuántica Podemos interpretar las medidas como preguntas que se le hacen al sistema. Trabajar en la base de 0’s y 1’s es una posibilidad, pero hay otras. La regla es que la pregunta obliga al sistema a escoger cualquiera de los estados de base posibles. Si tratamos con dos qubits, Podríamos trabajar, por ejemplo, en la base de Bell y preguntarnos en cuál de ellos se encuentra el sistema. Ejemplo:

| |00 |01 |11

| |00 |01 |11 |B0 |B2 |B1 |B3 |B0 |B2 2|B0 |B1 |B3

| 2

6|B0 1

6|B1 1

6|B3

2

6

2

0.66667

1

6

2

0.16667

1

6

2

0.16667

Mecánica cuántica Otro ejemplo con 3 qubits:

| |001 |010

| |00 |1 |01 |0 |B0 |1 |B2 |1 |B1 |0 |B3 |0

Vemos que hay igual probabilidad de que, haciendo una medida sobre los dos primeros qubits, se encuentre en cualquiera de los estados de Bell. Eso sí, si por ejemplo se encontraran en el estado Bo , entonces el tercer qubit necesariamente debería estar en el estado 1. AL REVÉS: Si hiciéramos una medida (normal) en el tercer qubit y diera 1, querría decir que los dos primeros qubits están o bien en el estado de Bell Bo ó B2 .

Estados de base de Bell

Mecánica cuántica

Puerta cuántica U

Transformación unitaria:

a|0 b|1U aU00 bU01 |0 aU10 bU11 |1

de manera que cumpla:

|aU00 bU01 |2 |aU10 bU11 |2 1

Condiciones:

|U00 |2 |U10 |2 1

|U01 |2 |U11 |2 1

U00 U01 U10

U11 0

U01 U00 U11

U10 0

|0

|1

U00

U01

U10

U11

a

b

|1|0a|0 b|1

Puerta NOT

a|0 b|1UNOT

b|0 a|1U00

NOT 0,U01NOT 1,U10

NOT 1,U11NOT 0

Puerta Z

a|0 b|1UZ

a|0 b|1U00

Z 1,U01Z 0,U10

Z 0,U11Z 1

Mecánica cuántica

|0

|1

a

b

|1|0a|0 b|1

1

1

|0

|1

a

b

|1|0a|0 b|1

Puerta NOT

a|0 b|1UNOT

b|0 a|1U00

NOT 0,U01NOT 1,U10

NOT 1,U11NOT 0

Puerta Z

a|0 b|1UZ

a|0 b|1U00

Z 1,U01Z 0,U10

Z 0,U11Z 1

Mecánica cuántica

1

-1

Información & entropía

Que nos ayuda a cuantificar el grado de incertidumbre del experimento. Ejemplos

Supongamos que un experimento puede dar un conjunto finito de resultados con una cierta probabilidad pi. Se define la entropía de la distribución de probabilidad (en bits):

S i1

n

pi log2pi

Blanco 50% Negro 50% [Total incertidumbre]

S 0.5 log20.5 0.5 log20.5 1

Blanco 99% Negro 1% [poca incertidumbre]

S 0.99 log20.99 0.01 log20.01 0.08

Blanco 100% Negro 0% [No incertidumbre]

S 1 log21 0 log20 0

Protocolo de teleportación cuántica

PASO 1: qubit A en un estado desconocido y qubits C y B en B0:

A: | a|0 b|1 CB:|0 |0 |1 |1

| | |0 |0 |1 |1| a|0 b|1 |00 |11| a|000 a|011 b|100 b|111

| |B0 a|0 b|1 |B1 b|0 a|1 |B2 a|0 b|1 |B3 b|0 a|1

Estados de Bell

Protocolo de teleportación cuántica

PASO 2: Medida en los dos primeros qubits, llamada telefónica para

comunicarle a Bob el resultado de la medida y aplicación de puerta cuántica:

|B0 entonces Bob tendrá en su poder: a|0 b|1 por lo que no ha de hacer nada, ya lo tiene!

|B1 entonces Bob tendrá en su poder: b|0 a|1 por lo que ha de hacer un NOT y ya lo tiene!

|B2 entonces Bob tendrá en su poder: a|0 b|1 por lo que ha de hacer un Z, y ya lo tiene!

|B3 entonces Bob tendrá en su poder: b|0 a|1 por lo que ha de hacer un Zy luego un X, y ya lo tiene!

b|0 a|1UZ

b|0 a|1UNOT

a|0 b|1

a|0 b|1

b|0 a|1UNOT

a|0 b|1

a|0 b|1UZ

a|0 b|1

| |B0 a|0 b|1 |B1 b|0 a|1 |B2 a|0 b|1 |B3 b|0 a|1

Protocolo de teleportación cuántica

Información contenida en un qubit: Infinita porque existen infinitos valores para a y b complejos que cumplan |a|2 |b|2 1,

es decir si definimos información como proporcional al número de estados posibles (desconocidos) esto lo cumple.

Por otro lado cuando Alice mide, tiene una incertidumbre de dos bits de información clásica porque:

S n1

4

pn log2pn

n1

4

1

4log

21

4 log

222 2 bits

Comentarios

Es decir, hay cuatro posibles medidas con igual probabilidad cada una.

O sea que con solo dos bits de información clásica podemos transferir

un estado desconocido que tiene infinita información.

Como hace falta un canal clásico no puede transmitir más rápido que la luz.

Es una copia? No porque al hacer la medida bell se destruye el estado original

Es decir solo hay UNO, para que sea una copia debería haber 2 simultaneamente :)

Estado experimental

Idea teórica

Teleporting an Unknown Quantum State via Dual Classical and EPR Channels

Bennet, Brassard, Crépeau, Jozsa, Asher Peres, Wootters [1993]

Primer experimento (25%)

Experimental quantum teleportation

Zeilinger, A. & cia, Nature [1997]