technická mechanika 3. přednáška

Technická mechanika 3. přednáška

Statika vázaného tělesa – vazby tělesa

V 1. a 2. přednášce jsme zevrubně probrali sílu jako fyzikální veličinu, a to v širších souvislostech:

• Její vlastnosti, charakteristiky, zákonitosti, skládání sil a rozklad síly, abychom s ní uměli pracovat při řešení rovnováhy spojených těles, protože tělesa neexistují v prostoru jen tak osamocená.

•Tělesa se navzájem dotýkají a navzájem na sebe působí (3.Newtonův zákon).

• Nezabývali jsme se pouze jedinou silou, ale soustavou více sil.

• Seznámili jsme se se dvěma účinky síly - silovým a momentovým.

• Seznámili jsme se rovněž se dvěma typy úloh: - úlohou ekvivalentního nahrazení (výslednice) - a úlohou silové rovnováhy.


Zatím jsme však nebrali v úvahu zřejmou skutečnost, že síla má svůj význam teprve působí-li na těleso.

Síla je abstraktní pojem, nikoliv fyzicky existující objekt. Správnější, avšak poněkud komplikované označení pro sílu by asi bylo „silové působení mezi tělesy“.

Zaměříme se nyní na to, co nám v mechanice přináší skutečnost:síly působí na těleso jistých rozměrů a jisté hmotnosti.


• Ve statice nahrazujeme skutečná tělesa vyskytující se v praxi tělesy „ideálními – neskutečnými“.

• Tato ideální tělesa jsou tělesa dokonale tuhá tzn.,

která se pod účinkem jiných těles nedeformují.

• Skutečná tělesa kolem nás jsou různě uložena a navzájem spojena, tzn., že jsou navzájem vázána= těmito vazbami se vytváří např. mechanizmy, stroje, technická zařízení apod.


• V místech dotyku vznikají povrchové síly a právě tyto síly ve statice určujeme.

• Statika pracuje výhradně se soustředěnými osamělými silami, které působí v bodě a proto nahrazujeme skutečné spojení těles „ideálními fiktivními“ vazbami.

• V těchto ideálních vazbách na sebe tělesa působí:- v bodech dotyku,- osamělými silami,- a bez pasivních odporů.

• Idealizované těleso se ve statice obvykle skládá pouze z důležitých bodů – např. body dotyku s jinými tělesy, těžiště tělesa, místa působení vnějších (zatěžujících) sil apod.

Ideální vazby, idealizovaná tělesa


ZATÍŽENÍ TĚLES

Podle druhu působící síly na tělesa rozlišujeme:

• zatížení těles soustředěnými osamělými silami

• spojité zatížení těles

spojité zatížení se udává měrným zatížením q [N . m-2 ] (plocha tělesa), [ N . m-1 ] (délka tělesa –např. nosníky),

celkové zatížení tělesa pak je Q = q . S popř. Q = q . l [ N ]

F F

l

q

ve statice necháme místo spojité síly působit celkovou sílu Q

působící síla je rovnoměrně rozložena po celé ploše S popř. délce tělesa l

síla je soustředěna do jednoho místa


Působení sil na těleso

• Působí-li na těleso soustava sil, těleso bude měnit svůj pohybový stav podle výsledných účinků silové soustavy (silového a momentového) .

• Silový účinek způsobí urychlování (zpomalování) posuvu tělesa,momentový účinek způsobí urychlování (zpomalování) rotace tělesa.

• Vztah mezi působícími silami a změnou pohybu tělesa je předmětem dynamiky a ne statiky.

• Ve statice se budeme zabývat pouze tělesy v klidovém stavu, tzn. tělesa budou v rovnovážném stavu.


Ve statice se zabýváme působením sil na tělesa, která jsou v klidu.Tento klid je nejčastěji způsoben vnějšími příčinami - uložením tělesa.

Uložením tělesa myslíme jeho spojení se zvláštním tělesem, jež obvykle nazýváme rámem.

Rám pak je těleso pevně spojené se Zemí.

Ve schematických náčrtech, doprovázejících popis jednotlivých úloh mechaniky, znázorňujeme rám šrafováním.

Těleso je dále vystaveno vnějšímu zatížení - působí na něj síly.Tyto síly se přenášejí na podpory - podpory jsou rovněž vystaveny působení sil.

Uvolňování, řešení reakcí.


• Určení těchto sil (působících na podpory, obrázek vpravo)je jednou ze základních úloh statiky.

• Je zřejmé, že síly, působící na podpory, jsou přímo závislé na zatížení tělesa.

• Stanovení velikosti těchto sil však není triviální úlohou. • Jak bylo popsáno na 1. a 2. přednášce, soustavu sil, působících na těleso,

lze ekvivalentně nahradit jedinou silou - výslednicí.• Výslednici pak lze rozložit na síly zatěžující podpory.• Tento postup však není právě jednoduchý. • Ukážeme si zde postup jiný – univerzálnější

– tzv. metodu uvolňování a řešení reakcí (pomocí rovnic rovnováhy).

A

C

B

A

C

B

Připomeňme si jedno ze základních pravidel mechaniky- třetí Newtonův zákon, zákon akce a reakce.

Dvě tělesa, která jsou ve vzájemné interakci (v kontaktu),na sebe navzájem působí silami stejně velkými, stejného směru ale opačné orientace.

Jestliže tedy těleso působí na podpory jistými silami (obrázek vlevo),působí také podpory na těleso silami stejně velkými, opačně orientovanými (obrázek vpravo).

A

C

B

podpory na těleso

Uvolňování, řešení reakcí


A

C

B

podpory na těleso

Na těleso tedy působí soustava sil. Tyto síly můžeme rozdělit do dvou skupin:

Akce - prvotní síly tvořící vnější zatížení (na obrázku vpravo jsou bílé). Jde tedy o příčinu zatížení podpor.

Reakce - druhotné síly, jimiž na těleso působí podpory (na obrázku vpravo jsou šedé).

Představují následek vnějšího zatížení (odezvu na vnější zatížení).

Síly, působící na těleso, tvoří rovinnou soustavu sil s různými působišti.Jak bylo ukázáno na 2. přednášce, rovnováha takové silové soustavyje vyjádřena třemi rovnicemi rovnováhy.

0Fi

xi 0Fi

yi 0Mi

i

Jestliže sílu jsme definovali jako příčinu změny pohybového stavu tělesa, můžeme s jistotou konstatovat, že pohybový stav tělesa se nemění - těleso zůstává stále v klidu.Z toho vyplývá, že výše zmíněná soustava sil, působících na těleso, je v rovnováze,má jak nulový silový účinek (nenulový by způsobil posuv tělesa),tak nulový momentový účinek (nenulový by způsobil otáčení tělesa).


• Tedy součet sil ve dvou (libovolných) k sobě kolmých směrech je roven nule a součet momentů ke zvolenému (libovolnému) momentovému bodu je rovněž roven nule.

• Z těchto tří rovnic lze vypočítat velikost tří neznámých reakcí.

• Síly, zatěžující podpory, jsou pak stejně velké, jako tyto reakce, ale opačně orientované.

Ukázali jsme dva základní postupy mechaniky:

Uvolnění tělesa - znamená (pomyslné) odstranění podpor a jejich nahrazení přenášenými silami.

Silová rovnováha - umožňuje sestavit rovnice rovnováhy a z nich řešit neznámé reakce.


Připomeňme si, že počet rovnic rovnováhy je jednoznačně dán (viz 2. přednáška):

rovinná silová soustava se společným působištěm - 2 rovnice rovnováhy (silové),

rovinná silová soustava s různými působišti - 3 rovnice rovnováhy (dvě silové a jedna momentová),

prostorová silová soustava se společným působištěm - 3 rovnice rovnováhy (silové),

prostorová silová soustava s různými působišti - 6 rovnic rovnováhy (tři silové a tři momentové).


Statická určitost uložení = způsoby uložení těles

• Tělesa uchycená k rámu nebo jiným okolním tělesům mohou být uložena staticky určitě nebo neurčitě.

• Tato statická určitost (neurčitost) závisí na počtu a druhu použitých

vazeb tzv. podpor.

• Ve statice můžeme řešit pouze ty případy, kdy je těleso uloženo staticky určitě = všechny neznámé vazbové síly (jejich složky) můžeme vypočítat ze statických podmínek rovnováhy.

• Jestliže máme 3 podmínky rovnováhy = můžeme vypočítat 3 neznámé.

Těleso bude staticky určité, jestliže vazby představují 3 neznámé vazbové síly (reakce).

• Statická určitost či neurčitost tělesa závisí na počtu „stupňů volnosti“ ( i ).

Stupně volnosti určíme z tzv. „vazbové rovnice“ i = 3 – n

kde n ... počet neznámých vazbových sil


Statická určitost a neurčitost

Jestliže odstraníme jednu podporu (např. podporu Bna obrázku), těleso se stane pohyblivým.Zbývající dvě podpory A a C umožňují natáčení okolo bodu S.Těleso pak již není nehybné a neřešíme problém statiky ale dynamiky.Řešíme, jaký je moment sil k bodu S a jaký pohyb způsobuje.

A

C

S


A

C

B

podpory na těleso

A

C

BD

Jestliže naopak přidáme jednu podporu (podporu D na obrázku),těleso zůstává nehybné.V soustavě rovnovážných rovnic však je více neznámých reakcí (4),než je počet rovnic (3).O takovém tělese řekneme, že je staticky neurčitě uloženo,zatímco je-li počet rovnic roven počtu neznámých,hovoříme o staticky určitém uložení.

Statická neurčitost může být i vyššího řádu. Je-li počet neznámých reakcí o n většínež počet rovnic rovnováhy řekneme, že těleso je n-krát staticky neurčitě uloženo(např. na obrázku je těleso uloženo jednou staticky neurčitě;kdyby však leželo na šesti podporách, bylo by uloženo třikrát staticky neurčitě).

Shrnutí :Je-li počet neznámých reakcí menší, než je počet rovnic rovnováhy,těleso je uloženo pohyblivě a úlohu vůbec nelze řešit z rovnic rovnováhy na poli statiky. staticky neurčitě i > 0 ... pohyblivé uložení (mechanizmus)

Je-li počet neznámých reakcí právě roven počtu rovnic rovnováhy,těleso je uloženo staticky určitě a reakce v podporách vypočítáme z rovnic rovnováhy.

staticky určitě i = 0 ... úlohu lze řešit staticky

Je-li počet neznámých reakcí větší než počet rovnic rovnováhy,těleso je uloženo staticky neurčitě a reakce v podporách vypočítáme z rovnic rovnováhy,doplněných o deformační rovnice (popřípadě pouze z deformačních rovnic).

staticky neurčitě i < 0 ... nelze řešit pouze pomocí statiky

Statická určitost a neurčitost


Vazby

Směr sil, přenášených z tělesa na podpory a naopak z podpor na těleso,obecněji pak charakter přenášených silových a momentových účinků,závisí na konkrétní podobě spojení dvou těles.Tomuto spojení říkáme v mechanice vazba.

Různé typy vazeb mají různé vlastnosti nejen z hlediska přenosu sil,ale také z hlediska omezování pohybu vázaných těles vůči sobě navzájem.

Tato dvě hlediska spolu úzce souvisí a z toho je zřejmé, že charakteristika vazebje problematika spojující statiku a kinematiku.

Vazby rozdělujeme na rovinné a prostorové.

Rovinná vazba spojuje dvě tělesa, konající rovinný pohyb v navzájem rovnoběžných rovinách.


Vazba je spojení dvou těles, umožňující určitý vzájemný pohyb.

Rovinných vazeb existuje celkem šest typů a dále budou podrobně popsányjejich vlastnosti jak z hlediska statiky, tak kinematiky.

Při prostorovém pohybu je více možností různých pohybů, a tedy podstatně vícekombinací pohybů, které vazba umožňuje a které naopak znemožňuje.

Prostorových vazeb je proto velké množství a nelze je beze zbytku vyjmenovat.

Zaměříme se pouze na vazby rovinné, kromě toho si uvedeme jen několik ilustrativních příkladů vazeb prostorových.

Rozlišujeme též idealizované vazby, u nichž nepočítáme s třením,a reálné vazby, u nichž se tření projevuje.

V dalším budou popisovány pouze idealizované vazby.


neumožňuje posuv

umožňuje rotaci

Rovinné vazby

Kloubová vazba nebo též rotační vazba umožňuje vzájemné natáčení tělesvůči sobě, neumožňuje posuv ani v jednom směru.Přenáší síly ve dvou k sobě kolmých směrech, nepřenáší moment.Vazba se realizuje čepem, ložisky, panty (u dveří) apod.

Kloubová vazba

přenáší síly

nepřenáší moment

Kloubová vazba - schematické značení

rám

těleso těleso

těleso

Symbolické značení vazby na kinematických schématech je samozřejmě zjednodušeno.


Posuvná vazba umožňuje posuv v jistém specifikovaném směru,neumožňuje posuv ve směru kolmém a neumožňuje rotaci.Přenáší sílu ve směru kolmém k posuvu a přenáší moment, nepřenáší sílu ve směru posuvu.

Posuvná vazba - schematické značení

znemožňuje posuv a rotaci

umožňuje posuv

přenáší sílu a moment

nepřenáší sílu


Vazba může být realizována například vyfrézovanou drážkou.Skleněná tabule prosklené skříňky má rovněž posuvnou vazbu ke skříňce.

Valivá vazba je tvořena dvěma povrchy ve vzájemném kontaktu (dotyku),přičemž nedochází k prokluzu mezi povrchy. (Povrchy samozřejmě nemusí být rovinnéa válcové, jak je tomu na obrázku; mohou mít libovolný tvar.)Samotný termín „valivý pohyb“ - „valení“ znamená vzájemný pohyb bez prokluzu.Dotykový bod valivé vazby lze označit za „okamžitý kloub“.

Rotace okolo „okamžitého kloubu“

umožňuje rotaci

neumožňuje posuv

Valivá vazba

nepřenáší moment

přenáší síly

Rozdíl mezi valením a rotací je ten, že při valení se „okamžitý kloub“ mění(v každém okamžiku je to jiný bod).Základní vlastnosti obou vazeb, jak z hlediska kinematiky, tak statiky, jsou však shodné.Obě umožňují rotaci a neumožňují posuv, přenáší síly a nepřenášejí moment.

Valivá vazba tedy znemožňuje dva posuvy a umožňuje rotaci;přenáší dvě, k sobě kolmé síly a nepřenáší moment.

valení bez prokluzu

valivá vazba, valivý pohyb


umožňuje posuv a rotaci

Posuvný kloub je kombinací kloubové a posuvné vazby. Umožňuje rotaci a umožňuje posuv v jistém specifikovaném směru, znemožňuje posuv v kolmém směru.Přenáší pouze sílu ve směru kolmém k posuvu.

Posuvná kloubová vazba

nepřenáší sílu ani moment

přenáší sílu

Posuvná kloubová vazba - schematické značení

neumožňuje posuv

Posuvná kloubová vazba


Obecná vazba (obecná kinematická dvojice) je tvořena dvěma dotýkajícími se povrchy,pohybujícími se vůči sobě tak, že v bodě dotyku dochází k vzájemnému prokluzu.

Obecná vazba

nepřenáší sílu ani momentpřenáší sílu

Vazba znemožňuje posuv kolmo ke společné tečně obou povrchů, umožňuje rotaci a posuv ve směru společné tečny. Tyto pohyby jsou na sobě nezávislé.Vazba přenáší pouze sílu kolmou ke společné tečně,nepřenáší moment ani sílu ve směru společné tečny.

z

prokluz v bodě dotyku

umožňuje nezávislý posuv a rotaci

neumožňuje posuv

Obecná kinematická dvojice


Neumožňuje žádný vzájemný pohyb. Přenáší sílu obecného směru (dvě síly ve dvou specifikovaných, k sobě kolmých směrech) a moment síly.Vazba je mimořádná tím, že dvě tělesa, spojená navzájem dokonalým vetknutím,se stávají jedním tělesem.

Dokonalé vetknutí

neumožňuje posuv ani rotaci

Dokonalé vetknutí

přenáší síly a moment

Vazbu lze realizovat svařením, slepením, zabetonováním, nebo třeba pevným sešroubováním.

Cedulky pevně přibité na stojan Dokonalé vetknutí - schematické značení

rám

těleso

těleso

těleso

Technická mechanika 3. přednáškaDokonalé vetknutí je pevné spojení dvou těles.

Porovnáme-li u všech vazeb jejich vlastnosti z hlediska statiky(které síly a momenty přenáší nebo nepřenáší)a z hlediska kinematiky (které pohyby umožňuje nebo znemožňuje),můžeme formulovat obecné pravidlo.

Každá vazba přenáší takové síly (momenty), jakým vzájemným pohybům zabraňuje.

Jestliže vazba neumožňuje vzájemný posuv v určitém směru, přenáší sílu v tomto směru.

Jestliže vazba neumožňuje vzájemnou rotaci okolo určité osy, přenáší moment k této ose.

Naopak jestliže vazba určitý pohyb umožňuje, pak nepřenáší příslušnou sílu nebo moment.


Prostorové vazby

Dále pouze pro ilustraci uvádím dva příklady prostorových vazeb.

Šroubová vazba umožňuje posuv a rotaci,avšak tyto pohyby jsou na sobě závislé prostřednictvím stoupání závitu.

Vazba tedy umožňuje jeden nezávislý pohyb (např. rotaci),druhý pohyb (posuv) je odvozen od rotace v závislosti na stoupání závitu.

Vazba neumožňuje posuvy ve směrech kolmých k ose vazby,rovněž neumožňuje rotace okolo os kolmých k ose vazby.

umožňuje posuv a rotaci

Šroubová vazba


Sférický kloub umožňuje všechny tři rotace, znemožňuje tři posuvy.Přenáší sílu libovolného směru (tři složky síly), nepřenáší momenty.


Řešení reakcí staticky uloženého tělesa.

Poté co jsme se seznámili se základními typy vazeb můžeme na příkladu demonstrovatvýpočet reakcí staticky určitě uloženého tělesa.

b

h

c

G

T

A

B

Těleso o hmotnosti m, tíhy G, je zavěšeno na kloubové vazběv bodě A. Kromě toho je obecnou vazbou podepřeno v bodě B.Vzdálenost vazeb A a B je b (vodorovný směr) a h (svislý směr).Vodorovná vzdálenost těžiště tělesa T od kloubu A je c.Určete reakce v uložení tělesa.

Řešení spočívá ve dvou krocích- uvolnění tělesa (uvolnění vazeb) - a určení rovnic rovnováhy.


b

h

c

G

T

A

B

RAx

RB

RAy

Uvolnění tělesa úzce souvisí s typem použitých vazeb.

Kloubová vazba v bodě A přenáší dvě, k sobě kolmé reakce RAx a RAy. Není nutnou podmínkou aby to byly směry svislý a vodorovný, naopak v některých případech může být užitečné volit si jiné dva směry.V tomto případě však je jedna reakce vodorovná, druhá svislá.

Obecná vazba v bodě B přenáší reakci RB kolmo ke společné tečně dotýkajících se povrchů, pod úhlem b vůči vodorovnému směru. (Směr úsečky AB zde nehraje žádnou roli.)

Pozn.: Orientaci reakcí (doprava nebo doleva, nahoru nebo dolů)si volíme. Kladný výsledek pak znamená správný odhad,záporný výsledek signalizuje opačnou orientaci, než byla zvolená.

Řešení reakcíPoté co jsme se seznámili se základními typy vazeb můžeme na příkladudemonstrovat výpočet reakcí staticky určitě uloženého tělesa.

b

h

c

G

T

A

B

b

h

c

G

T

A

B

RAx

RB

RAy

Síly G, RAx, RAy a RB tvoří rovinnou silovou soustavus různým působištěm, jejíž rovnováha je vyjádřenatřemi rovnicemi rovnováhy, např. :

Z rovnic je zřejmé, že :

sincos

sinsin

sincos

coscos

sincos

bh

c1GRGR

bh

cGRR

bh

cGR

BAy

BAx

B

Celková reakce v kloubu A a zmíněný úhel (sklon reakcevůči vodorovnému směru) se pak samozřejmě určí:

2Ay

2AxA RRR

Ax

Ay

R

Rarctan


0sincos

0sin

0cos

cGbRhRM

GRRF

RRF

BBAi

BAyyi

BAxxi

Řešení reakcí

b

h

c

G

T

A

B

b

h

c

G

T

A

B

RAx

RB

RAy

0cGbRhRM

0GRRF

0RRF

BBAi

BAyyi

BAxxi

sincos

sin

cos

Z rovnic je zřejmé, že :

sincos

sinsin

sincos

coscos

sincos

bh

c1GRGR

bh

cGRR

bh

cGR

BAy

BAx

B

Celková reakce v kloubu A a zmíněný úhel (sklon reakcevůči vodorovnému směru) se pak samozřejmě určí:

2Ay

2AxA RRR

Ax

Ay

R

Rarctan


Pozn. V tomto případě ve třetí podmínce rovnováhy za kladné momenty považujeme ty, které otáčejí těleso ve směru hodinových ručičeka záporné naopak. Výsledek je tentýž jako v předchozím případě.

Řešení staticky neurčitého tělesaPro úplnost uvedeme i řešení reakcí tělesa, uloženého staticky neurčitě,přestože této oblasti statiky se nebudeme systematicky věnovat.

A

B

A

B

MA

RAx

RAy RB

Těleso, zatížené dvěma silami,je v bodě A dokonale vetknuto,v bodě B podepřeno obecnou vazbou.Dokonalé vetknutí samo o soběpředstavuje staticky určité uložení,podpora B přináší další neznámou reakcia těleso je tedy uloženojednou staticky neurčitě.

Uvolnění tělesa nepřináší žádný problém.V bodě A zavádíme reakce RAx a RAy a reakční moment MA, v bodě B normálovou reakci RB.Je třeba zdůraznit, že i v tomto případě máme k dispozici pouze tři rovnice rovnováhy !

0Fxi Chybějící rovnici (máme čtyři neznámé) hledáme v oblasti deformace.Je zřejmé, že nosník se v bodě B nemůže prohnout, neboť je podepřen. Platí tedy :

0yB

Řešení staticky neurčitých úloh se tedy neobejde bez řešení deformace tělesa!

0Fyi 0M i


Řešení staticky určitého tělesa – nosníku

0Fxi

0Fyi 0M i


A B

Nosník, zatížený dvěma silami F1 a F2, je v bodě A uložen na pevném kloubu, v bodě B uložen na posuvném kloubu.Nosník po uvolnění:Podpora A přenáší dvě neznámé reakce RAx a

RAy ve dvou na sebe kolmých směrech, podpora B přináší další neznámou reakci RB

kolmou ke směru posuvu.a b c

F1

F2

RAx

RAyRB

Máme k dispozici tři rovnice (podmínky) rovnováhy :V našem případě mají tyto rovnice tuto podobu:

0Fxi

BAyyi RFFRF 210

V tomto případě se řešení uložení v podpoře A se zjednoduší – reakce RAx má nulovou hodnotu a RAy = RA

(síly F1 a F2 – akce působí jen ve směru y, tzn. reakce musí mít stejný směr).

Nosník (těleso s jedním rozměrem několikanásobně větším (délka) než jsou jeho příčné rozměry (průřez).

Axxi RF 0

).().(.0 21 cbaRbaFaFM BA

technická mechanika 3. přednáška

Documents