T.C.

Hitit Üniversitesi

Sosyal Bilimler Enstitüsü

Felsefe ve Din Bilimleri Anabilim Dalı

SONSUZLUK KAVRAMININ MANTIKSAL VE FELSEFİ ANALİZİ

-KİNDÎ MERKEZLİ BİR İNCELEME-

Memduh Taha BAŞARAN

Yüksek Lisans Tezi

ÇORUM 2016

SONSUZLUK KAVRAMININ MANTIKSAL VE FELSEFİ ANALİZİ

-KİNDÎ MERKEZLİ BİR İNCELEME-

Memduh Taha BAŞARAN

Hitit Üniversitesi Sosyal Bilimler Enstitüsü

Felsefe ve Din Bilimleri Anabilim Dalı

Yüksek Lisans Tezi

Tez Danışmanı

Prof. Dr. Mevlüt Uyanık

Çorum 2016

i  

ÖZET

Başaran, Memduh Taha. Sonsuzluk Kavramının Mantıksal Ve Felsefi Analizi –

Kindî Merkezli Bir İnceleme-, Yüksek Lisans, Çorum, 2016

Sonsuzluk, felsefe tarihinin ilk dönemlerinden itibaren fizik, matematik ve

metafizik ilimler açısından müzakeresi yapılan temel problemlerinden birisidir.

Sonsuzluk ontolojik ve/ya kozmolojik bir bağlamda müzakere edilmesi öncelenmesi

gerekirken itikadi bir boyut alarak insanların, Tanrı anlayışının şekillenmesine yol

açmaktadır. Felsefi bir kavram olarak incelenebilecek olan “sonsuzluk” Tanrı, evren ve

insan ilişkisinin temellendirilmesinde bir mihenk taşı haline dönüşebilmektedir. İslam

filozoflarına göre felsefenin amacı “tahsilu’s saada” yani ebedi mutluğa ulaşmanın

bilgilerini elde etmek iken sonsuzluk kavramını yorumlarından dolayı toplumdan

dışlanmakta ve ötekileştirilmekte, hatta tekfir edilebilmektedir.

Bu bağlamda tezin temel konusu “Özünde ontolojik bir mesele gibi gözüken

ama aynı zamanda kozmolojik bir soru/n olarak fizik, matematik ilimlerle doğrudan

irtibatı olan sonsuzluk tasavvurları, nasıl itikadi bir soruna dönüştürülüyor?” sorusunun

cevabını aralamaktadır. Âlemin mahiyetine, yani ezeli ve/ya yaratılmış olmasına dair

yapılan araştırmaların temel kavramı olan sonsuzluk yorumları niçin itikadi bir boyut

alıyor ve insanların dışlanmasının, ötekileştirilmesinin ayracı olmaktadır? O kadar ki,

bazı Müslüman filozoflar kavrama dair görüşünden dolayı dünyada ötekileştirmenin

yanı sıra ahirette ebedi mutluluğu yok edecek tekfir edilmektedir? Dolayısıyla alemin

sonluluğu ve/ya sonsuzluğu meselesine verilen cevap, Tanrı-evren ilişkisini

temellendirirken aynı zamanda kişinin Tanrı tasavvurunu da belirlemektedir. Bu soru/n

çerçevesinde tezimizde bir sıfat olarak sonsuzluk kavramını Tanrı’ya atfettiğimizde

neleri kastettiğimizi, bu kavramın sadece Tanrı’ya mı ait olduğunu araştıracağız.

Sonsuzluk kavramını tanımlayarak, tanım-problem uyumsuzluğundan kaynaklı

sorunlar tespit edilecektir. Ayrıca yaşadığımız dünyada fiili sonsuzluğun

mümkünlüğünü sorgulayacağız. Matematik ve fizik alanlarında sonsuzluğun nasıl

tanımlandığını ve nasıl kullanıldığını inceleyeceğiz. Ardından sonsuzluk kavramını

kavramsal olarak incelerken edebiyat ve sanat alanlarında sonsuzluğun nasıl

kullanıldığını ele alacağız. Buradan yola çıkarak farklı bilgi sistemlerindeki sonsuzluk

ii  

kavramlarının birbirlerinden farklı mı yoksa aynı mı olduğunu irdeleyerek metafiziksel

alanda sonsuzluk kavramının yol açtığı problemleri belirlemek ve felsefe tarihinde

özellikle İslam Felsefesi tarihinde bu problemlere getirilmiş olan çözümleri irdelemek

bir diğer amacımız olacaktır.

Klasik dönem İslam filozofu Kindî’yi merkeze alarak sonsuzluk kavramının

İslam felsefesindeki yeri ve konumu, bunun matematiksel düşünce tarafından

mukayesesini ve tutarlılık analizini yapacağız. Bu analizleri yaparken, öncelikle mantık

ve matematik ilişkisi üzerinde duracağız, sonra matematiksel denklemleri ve çok

boyutlu yüzeylerin geometrisini inceleyen bilim dalı olan topolojiden de istifade

edeceğiz. Bu açıdan tez mantık-matematik ve felsefe ilişkisinin güncellenmesinde ve bir

nevi matematik felsefesi yapma alanında ilk denemelerden biri olarak görülebilir.

Anahtar Kelimeler: İslam, Felsefe, Sonsuzluk, Tanrı, Evren, Yaratma, Matematik,

Mantık, Ebu İshak El-Kindî

iii  

ABSTRACT

Başaran, Memduh Taha. An Analysis on The Notion of Eternity from the

aspects of Logic and Philosophy-Based on Kindi’s Ideas, Master Degree, Çorum,

Turkey 2016

Eternity is one of the basic problematics, in terms of mathematics, physics and

metaphysics from the early a.g.e.s of philosophy history. While the term of eternity

should be discussed within the terms of ontology and cosmology, in the course of time

gaining another dimension, changed the peoples’ conception about God. The notion of

eternity which can be approached as a philosophical issue, may turn into a touchstone

which is used in founding the relationship among God, nature and the human. While

according to the Islamic philosophers, the main purpose of the philosophy is “tahsil’us-

saada” which means gaining the information to reach the beatitude, these philosophers

are excluded from the society, marginalized and excommunicated due to their

interpretations on eternity.

The paper argues how the notion of eternity, while in fact is an ontological issue

but at the same time, as a cosmological problematic directly relates to physics and

mathematics turns into a faith problem. Why the interpretations on eternity, which is a

key term in studies on the essence of the universe (universe is eternal and/or created by

God), turns into a faith problematic and cause the philosophers to be marginalized?So

that these Muslim philosophers are not only excluded from the society, but also

excommunicated which brings the absence of the beatitude in after life.Accordingly the

answer given to the problematic which concerns the finiteness and eternity of the

universe, while founding the relationship between the God and the human, at the same

time determines the thought of the individual about God.

Within this paper we will try to answer the question that, what we intend to

claim when we attribute the eternity as an adjective to God and whether the notion of

eternity belongs only to God. In the beginning we will define the term of eternity and

will try to determine the issue which results from the unconformity of description and

the problem. Also we will try to determine whether there is a de facto eternity in this

iv  

world. We will view how eternity is defined and used in mathematics and physics.

Afterwards while analyzing the notion of eternity as a cognitive issue we will try to

explain how it is used in literature and art. We also aim to clarify whether the

definitions of eternity are the same in different branches of science, then determine the

problems stemming from the eternity notion in metaphysics and to address the solutions

brought in order to overcome these problems especially in Islamic philosophy history.

Referring to Kindî who is a philosopher of classic era Islam Philosophy, we will try to

determine place of the notion of eternity to make comparison with the mathematical

thought and consistency analysis. While making these analyses, primarily we will study

the relationship between logic and mathematics, then we will make use of mathematical

equations and topology. In this regard this paper might be seen as one of the very early

trials on updating the relationship between logic-mathematics and philosophy and

mathematics philosophy.

Keywords: Islam, Philosophy, Eternity, God, Universe, Creation, Mathematics, Logic,

Abu Ishaq Al-Kindî

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v  

İÇİNDEKİLER KISALTMALAR .......................................................................................................... vii

ÖNSÖZ ......................................................................................................................... viii

GİRİŞ ............................................................................................................................... 1

1. TEZİN KONUSU ................................................................................................. 1

2. TEZİN AMACI .................................................................................................... 2

3. TEZİN ÖNEMİ .................................................................................................... 2

4. TEZİN KAVRAMSAL ÇERÇEVESİ ............................................................... 3

4.1. Varsayımlar ...................................................................................................... 4

5. TEZİN KAPSAMI VE SINIRLANDIRILMASI .............................................. 5

I. BÖLÜM .................................................................................................................... 6

1. İSLAM FELSEFESİNİN KURUCU METNİ OLARAK İLİMLERİN SAYIMI ADLI ESERİN ANALİZİ .............................................................................................. 6

2. DİL, DÜŞÜNCE, MANTIK VE MATEMATİK .................................................. 7

II. BÖLÜM .................................................................................................................. 19

TANRI-EVREN İLİŞKİSİNİN AÇIKLANMASINDA SONSUZLUK KAVRAMI VE KİNDİ ...................................................................................................................... 19

1. İLK ÇAĞ FELSEFESİ BAĞLAMINDA EVRENİN ÖZÜ SORUNSALI ... 28

2. SONSUZLUK ÜZERİNE KAVRAMSAL İNCELEME ................................ 35

3. SONSUZLUK KAVRAMININ EDEBİYAT VE SANAT AÇISINDAN İNCELENMESİ ........................................................................................................ 45

III. BÖLÜM .............................................................................................................. 58

SINIRLILIK VE SINIRSIZLIK KAVRAMLARI ................................................ 58

1. BELİRSİZLİK, TANIMSIZLIK VE SONSUZLUK İLİŞKİSİ ................ 65

2. TANIMSIZLIK .............................................................................................. 65

3. BELİRSİZLİK ................................................................................................ 70

IV. BÖLÜM .............................................................................................................. 73

EBU İSHAK EL KİNDİ’NİN SONSUZLUK ANLAYIŞI .................................... 73

V. BÖLÜM: ................................................................................................................. 83

İLAHİYAT İLİMLERİ AÇISINDAN TANRI-EVREN İLİŞKİSİNİN KURULMASINDA SONSUZLUK KAVRAMI ........................................................ 83

1. TANRI’NIN BİR SIFATI OLARAK SONSUZLUK/EZELİ VE EBEDİLİK 85

vi  

2. NOMİNALİZM VE REALİZM KAPSAMINDA SONSUZLUK ................. 93

VI. BÖLÜM: ............................................................................................................. 99

FİZİK VE METAFİZİK İLİŞKİSİNİN KURULMASINDA MATEMATİKSEL BİR KAVRAM OLARAK SONSUZLUK .................................................................. 99

1. FİİLİ SONSUZLUK ........................................................................................ 101

2. SONSUZ BOYUTLAR .................................................................................... 111

3. FİZİKTE VE MATEMATİKTE SONSUZLUK .......................................... 116

4. SONSUZLUK KAVRAMI VE ZENON PARADOKSU .............................. 128

4.1. Zenon Paradoksunun Matematiksel Analizi .............................................. 129

4.2. Çözüm Önerisi I ............................................................................................ 129

4.3. Çözüm Önerisi II .......................................................................................... 131

5. SONSUZ KÜÇÜK KAVRAMI ....................................................................... 137

5.1. Salih Zeki’nin Sonsuz Küçük Nicelikler Açıklaması ............................... 142

5.2. Sonsuz Küçük Kavramı ........................................................................... 143

5.3. Temel Sonsuz Küçük (Asgar-ı Nâ-Mütenâhî Aslî) ................................ 144

5.4. Birinci Mertebeden Sonsuz Küçük (Asgar-ı Nâ-Mütenâhî) ................ 145

5.5. İkinci Mertebeden Sonsuz Küçük ( Asgar-ı Nâ-Mütenâhî ) ................. 146

5.6. Üçüncü Mertebeden Sonsuz Küçük (Asgar-ı Nâ-Mütenâhî) ................ 146

5.7. n. Mertebeden Sonsuz Küçük (Asgar-ı Nâ-Mütenâhî ) ........................ 146

VII. BÖLÜM ......................................................................................................... 152

SONSUZLUK VE GÖRELİLİK KAVRAMLARI .............................................. 152

1. GÖRELİLİK TEORİSİ ............................................................................... 152

2. GÖRELİLİK TEORİSİNİN FELSEFİ AÇIDAN İNCELENMESİ ....... 163

3. GÖRELİLİK TEORİSİNİN FİZİK VE MATEMATİK AÇISINDAN İNCELENMESİ ................................................................................................... 165

4. ÖZEL GÖRELİLİK TEORİSİ ................................................................... 169

5. GENEL GÖRELİLİK ................................................................................. 179

VIII. BÖLÜM ............................................................................................................ 184

EBU İSHAK EL KİNDİ’NİN ÂLEMİN SONLU OLMASI TEZİNİN İSPATININ MATEMATİKSEL ANALİZİ VE MANTIKSAL TUTARLILIĞI ...................... 184

KAYNAKÇA ............................................................................................................... 203

 

 

vii  

KISALTMALAR

Kısaltma Açıklama

a.g.e. : Adı Geçen Eser

a.g.m. : Adı Geçen Makale

a.g.mlf. : Adı Geçen Müellif

bkz. : Bakınız

C. : Cilt

Çev. : Çeviren

M.Ö. : Milattan Önce

M.S. : Milattan Sonra

Ö. : Ölüm Tarihi

S. : Sayfa

T.D.K. : Türk Dil Kurumu

Vb. : Ve Benzeri

Yay. : Yayınları

viii  

ÖNSÖZ  

Felsefi düşüncenin ilk dönemlerden itibaren üzerinde en çok müzakere edilen

kavramlardan birisi de “sonsuzluk”tur. İbrahimî gelenek açısından Tanrı evreni

yaratmıştır ve evren bir gün yok olacaktır. Dolayısıyla varolması için bir başka varlığa

sahip olmayan, ezeli/kadim ve ebedi/sonsuzolan tek varlık Tanrı’dır. O’nun dışındaki

her şey sonradan olmadır, sonludur ve bir gün yok olacaktır. Dolasıyla Tanrı evreni

nasıl yarattı sorusuyla müsbet ilimler, niçin yarattı sorusuyla da ilahiyat/felsefe ilgilenir.

Yoktan yaratılan evrenin nasıllığı ve bir gün yok olacağı yani sonlu olması meselesi

özünde kozmolojik bir mesele gibi durur, ama buna verilen cevaplar kişinin teist, deist

ve/ya ateist olarak nitelenmesine yol açabilir. Dolayısıyla temelde ontolojik bir sorun,

kozmolojik olarak incelenirken itikadi açıdan çok ciddi sonuçlar ortaya çıkarabilir ki bu

yüzden bazı felsefecilerin görüşleri aşırı yorumlamalara tabii tutularak

ötekileştirilmiştir. Kendileri de en hafif tabirle zındık olarak nitelendirilmişlerdir.

Görüldüğü üzere, sonsuzluk kavramının fizik, matematik ve metafizik ilimlerle

doğrudan irtibatı vardır. Biz tezimizde sonsuzluk kavramının ne olduğunu araştıracak,

matematiksel, fiziksel ve metafiziksel açıdan sonsuzluğu sorgulayacağız. Öncelikle

sonsuzluğu daha çok metafiziksel yönden ele alacağız. Çünkü bizlerin Tanrı, Evren ve

insan ilişkisinin nasıl kurulduğu bu kavramın analiziyle daha net olarak belirginleşebilir.

Özellikle İslam Felsefesi açısından âlemin mahiyeti ve âlemin ezeliliği ve Tanrı’nın

varlığının ispatında bu kavram temel olarak kullanıldığını düşünüğümüz zaman, tez

konumuzun önemi ortaya çıkmaktadır.

Burada evrenin özünün sorgulanmasından kasıt, acaba evren sonlu mu, sonsuz

mu? Ya da evren bizim düşündüğümüz gibi sabit midir yoksa genişlemekte midir, yani

göreli midir? Bütün bunlara bir cevap bulmaya çalışırken önümüze sonsuzluğun

getirmiş olduğu çeşitli paradokslar çıkacaktır. Bu paradokslara sonsuzluk kavramının

farklı alanlarda (matematik, fizik, metafizik) bize sunduğu tanımlarından yola çıkarak

çözüm arayacağız.

Farklı alanlara ait tanımları kullanmaya başlayınca daha farklı problemlerle

karşılaşma ihtimali çoğalacaktır, bu da problemlerin iç içe geçmesi demektir. Elimizde

sonsuzlukla ilgili bir problem olduğunda hangi alandaki (matematik, fizik ya da

ix  

metafizik) sonsuzluk kavramını temel alacağımızı -ki bu durumda sonsuzluğu bir alana

daraltmış olarak çok ciddi problemler bizi bekleyebilir- ya da alan göz etmeksizin –bu

durumda problemler iç içe geçmiş bir yumak şeklinde karşımıza çıkabilir-

kullandığımızda hangi durumların bizi beklediğini inceleyeceğiz.

Bu bağlamda öncelikle bir sıfat olarak sonsuzluk kavramını Tanrı’ya

atfettiğimizde neleri kastettiğimizi, bu kavramın sadece Tanrı’ya mı ait olduğunu

araştıracağız. Ardından yaşadığımız dünyada fiili sonsuzluğun mümkünlüğünü

sorgulayacağız. Matematik ve fizik alanlarında sonsuzluğun nasıl tanımlandığını ve

nasıl kullanıldığını inceleyeceğiz. Ardından sonsuzluk kavramını kavramsal olarak

incelerken edebiyat ve sanat alanlarında sonsuzluğun nasıl kullanıldığını ele alacağız.

Matematik ve fizik ilimleri bağlamında görelilik ve sonsuzluk ilişkisi üzerinde

duracağız. Bu bölümde incelememizi yaparken oldukça geniş bir çalışma sahası

karşımıza çıkacağı malumdur. Ama biz kavram temelli yola inceleme yapacağız; bu

kavramın farklı alanlarda farklı yorumlanmasının ne gibi sonuçlar doğurduğunu tespit

etmeye çalışacağız. Dolasıyla incelememizi her alanda konu esası itibariyle

sınırlandıracağız.

Matematik, fizik ve mantık alanlarında bu konuyu ele almamızın nedeni

Aristoteles’den sonra düşünce tarihinde Muallim-i Sani olarak nitelendirilen Farabi’nin

Tanrı-Evren ve İnsan ilişkisini nasıl olduğuna dair ilimleri tasnif ettiği İhsa-ul

Ulum/İlimlerin Sayımı adlı eserinden anlaşıldığı üzere, İslam Felsefesinin temel

soru/n/larından birisidir. Öncelikle Tanrı ve evren ilişkisinin nasıl olduğuna dair ilimleri

analiz ederek, fizik ve matematik ilimlerinden bahseder. Fizik, fizik âlemde görünen

olayların matematik ise hem fizik hem metafizikle alakalı konuların sebeplerini, neden

dolayı öyle olduklarını, kesin burhanlar yoluyla ortaya koyar. Fakat bu sorunla daha

önceden ilk Müslüman filozof olarak nitelendirilen Kindî yüzleşmiş ve önemli metinler

ortaya koymuştur. Ebu Yûsuf Ya’kûb bin İshâk bin es-Sâbbah el-Kindî, İslam kültür ve

düşünce tarihinde kelamdan felsefeye geçişi sağlayan ve ilk İslam filozofu olarak kabul

edilen kişidir. Ayrıca, muhâle ircâ (olmayana ergi) yöntemiyle zaman, mekân, hareket

ve cismânî varlık gibi niceliklerin, bilfiil sonsuz olamayacağını matematiksel yöntemle

ispatlamaya çalışan ilk İslam filozofudur. Ebu İshak El-Kindî’nin sonsuzluğu ele alış

x  

yöntemini inceleyerek, bununla âlemin ezeliliği konusundaki ispatınının matematik

felsefesi açısından tutarlılığını inceleyeceğiz.

Bahsi geçen bu konuların analizlerini yaparken matematiksel denklemleri ve çok

boyutlu yüzeylerin geometrisini inceleyen bilim dalı olan topoloji ile analizden istifade

etmeye çalışacağız. Böylece sonsuzluk kavramının tanımlamak ve tanım-problem

uyumsuzluğundan kaynaklı sorunları tespit etmeye katkı sağlamayı hedefliyoruz. Farklı

bilgi sistemlerindeki sonsuzluk kavramlarının gerçekten birbirlerinden farklı mı yoksa

aynı mı olduğunu irdeleyerek, sonsuzluğun felsefi temellerini tespit etmek; metafiziksel

alanda sonsuzluk kavramının yol açtığı problemleri ve olası çözümleri irdelemek bir

diğer hedefimizdir.

Böylece sonsuzluk kavramından kaynaklanan problemlere çözümler

sunabilmek; sonsuzluk ve sınırsızlık kavramlarının ayırımına varabilmek, farklı

alanlardaki sonsuzluk kavramının anlam ve kullanım farklılıklarını görebilmek,

sonsuzluk ve görelilik arasındaki ilişkinin anlaşılabilirliğini sağlamak hususunda kısmı

bir katkı yapabileceğimizi düşünüyoruz.

Bunu yaptığımız zaman sonsuzluk kavramı ontolojik bir kavram olmasına

rağmen itikadi bir boyuta ulaşarak insanların, Tanrı anlayışının şekillenmesine yol

açmasının gerekçesi de ortaya çıkacaktır. Ayrıca İslam filozoflarına göre felsefenin

amacı “tahsilu’s saada” yani ebedi mutluğa ulaşmakken, sonsuzluk kavramı vasıtasıyla

Tanrı tasavvuru üzerinde durularak filozoflar tekfir edilebilmelerinin makullüğü ve

tutarlılığı veya tutarsızlığı hakkında bir alt yapı oluşacaktır. Böylece felsefi bir kavram

olarak incelenebilecek olan “sonsuzluk”, bir şekilde Tanrı, evren ve din ile ilişkili bir

hal alarak ebedi mutluluğa giden yolumuzda karşımıza en önemli kavram olarak

çıkmasının ne derece de tutarlı olduğu da sorgulanmış olacaktır. Ayrıca tez ile birlikte,

sonsuzlukla eşdeğer görülen bazı kavramların niteliklerini açıklayarak kavramlar arası

ayrımın farkındalığı oluşturulacaktır.

Bu çalışmamızda sonsuzluk kavramı hakkındaki fikirlerini kendine özgü

yöntemiyle ortaya koyan Ebu İshak El-Kindî’nin izinden giderek, geçmişten bizlere

bilgi getirenlere şükranlarımızı sunuyoruz. Felsefenin Anadolu’da yeniden

xi  

yurtlanmasına fizik-metafizik ve mantık-matematik ilişkisi bağlamında kısmı bir katkısı

olmasını umut ediyoruz.

Matematik Öğretmenliği mezunu bir öğretmen olarak başladığım meslek

hayatımda beni “matematik felsefesi” ile tanıştıran hocalarım Prof. Dr. Mevlüt Uyanık

ve Doç. Dr. Aygün Akyol’a gönülden teşekkür ederim. Tez projesi hazırlama

sürecindeki katkılarından dolayı Doç. Dr. Aytekin Özel’e ve tezi geliştirme adına yapıcı

eleştirileriyle katkıda bulunan Prof. Dr. Yavuz Unat’a teşekkür ederim. Ayrıca tez

çalışma sürecinde her konuda sabırla yardımcı olan eşim Maide Ayşe’ye ve enerji

kaynağım Gülce Ayşe’ye teşekkür ederim.

1  

 

GİRİŞ

1. TEZİN KONUSU  

Felsefe tarihi açısından Tanrı-evren ilişkisinin açıklanmasında son derece temel

bir kavram sonsuzluğu matematiksel, fiziksel ve metafiziksel açıdan incelemektir. Bu

araştırma evrenin özü ve mahiyeti nedir sorusunun bağlamında ortaya çıkan “acaba

evren sonlu mu, sonsuz mu? Ya da evren bizim düşündüğümüz gibi sabit midir yoksa

genişlemekte midir, yani göreli midir?” soru/n/lara cevap aramak bağlamında

yapılacaktır.

Bu noktada öncelikli olarak farklı alanlara ait tanımları kullanmaya başlayınca

nasıl problemlerle karşılaşacağız sorusu incelenecektir. Çünkü problemler iç içe geçmiş

şekilde bulunmaktadır, öyle ki, sonsuzluktan bahsettiğimizde acaba hangi araştırma

alanındaki (matematik, fizik ya da metafizik) sonsuzluk tasavvuru ile yüzleşeceğimiz

hususu önemlidir.

İslam Felsefesi Tarihi açısından düşünüğümüzde, bir sıfat olarak sonsuzluk

kavramını Tanrı’ya atfettiğimizde neleri kastettiğimizi, bu kavramın sadece Tanrı’ya mı

ait olduğunu araştıracağız. Ayrıca yaşadığımız dünyada fiili sonsuzluğun

mümkünlüğünü sorgulayacağız. Tanrı evreni yoktan yaratmasını doğa/müsbet ilimler

(Matematik ve fizik) açısından nasıl açıklandığını ve bu alanlarda sonsuzluğun nasıl

tanımlandığını ve nasıl kullanıldığını inceleyeceğiz. Özellikle matematik ve fizik

disiplinleri açısından son derece önemli olan görelilik-sonsuzluk ilişkisi ve bunun nasıl

mantıksal açıdan tutarlı bir şekilde sunulmaya çalışıldığı üzerinde duracağız. Çünkü

Matematik ve mantık arasındaki irtibat son derece önemlidir.

Klasik dönem İslam filozofu Kindî’yi merkeze alarak sonsuzluk kavramının

İslam felsefesindeki yeri ve konumu, bunun günümüz matematiksel düşünce tarafından

mukayesesini, analizini yapacağız. Bu analizleri yaparken matematiksel denklemleri ve

çok boyutlu yüzeylerin geometrisini inceleyen bilim dalı olan topolojiden, analizden ve

geometriden de istifade etmeye çalışacağız.

2  

Yukarda bahsettiğimiz konuları ele alırken, sonsuzluk kavramını tanımlamaya

çalışarak ve tanım-problem uyumsuzluğundan kaynaklı sorunları tespit etmeye

çalışacağız. Farklı bilgi sistemlerindeki sonsuzluk kavramlarının birbirlerinden farklı mı

yoksa aynı mı olduğunu irdeleyerek kavramın tanımını derinleştireceğiz. Elbette

bunlardan sonra sonsuzluğun felsefi temellerini tespit ederek metafiziksel alanda

sonsuzluk kavramının yol açtığı problemleri belirlemek ve felsefe tarihinde özellikle

İslam Felsefesi açısından bu problemlere getirilmiş olan çözümler irdelenecektir.

2. TEZİN AMACI  

Bunları şu şekilde sıralayabiliriz:

-Sonsuzluk kavramından kaynaklanan problemlere çözümler sunabilmek

-Sonsuzluk ve sınırsızlık kavramlarının ayırımına varabilmek ve bu bağlamda belirsizlik

ve tanımsızlık kavramlarını analiz etmek

-Farklı alanlardaki sonsuzluk kavramının anlam ve kullanım farklılıklarını görebilmek

-Sonsuzluk ve görelilik arasındaki ilişkinin anlaşılabilirliğini sağlamak

-İlk İslam filozofu olan Ebu İshak El-Kindî’nin sonsuzluk kavramından yola çıkarak

ispat etmeye çalıştığı âlemin ezeliliği konusundaki ispatını irdelemek

-Ebu İshak El-Kindî’nin matematiksel yöntemlerle açıklamaya çalıştığı âlemin ezeliliği

konusunu matematiğin alt dallarından topoloji ve analiz yöntemleriyle ispatlamak

3. TEZİN ÖNEMİ  

Sonsuzluk kavramı ontolojik ve kozmolojik bir kavram olmasına rağmen itikadi bir

boyuta ulaşarak insanların, Tanrı anlayışının şekillenmesine yol açmaktadır. İslam

filozoflarına göre felsefenin amacı “tahsilu’s saada” yani ebedi mutluğa ulaşmakken

sonsuzluk kavramı vasıtasıyla Tanrı tasavvuru üzerinde durularak filozoflar tekfir

edilebilmektedir. Felsefi bir kavram olarak incelenebilecek olan “sonsuzluk” bir şekilde

Tanrı, evren ve din ile ilişkili bir hal alarak ebedi mutluluğa giden yolda karşımıza çıkan

kocaman bir engel gibi durmaktadır.

3  

İlk İslam filozofu Ebu İshak El-Kindî’nin âlemin ezeliliği hususunda sonsuzluğu

kullanarak yaptığı ispat İslam felsefesinde bu konuda matematiksel denecek nitelikte ve

tutarlılıkta yapılan ilk ve benzersiz bir ispattır. Felsefi sistemini İslam’a uygun bir

şekilde yorumlama çabası içerisinde olan Ebu İshak El-Kindî’nin yaptığı ispat acaba

doğru mudur, zamanının matematik anlayışıyla tutarlı mıdır ve günümüzde nasıl

değerlendirilir v.b. soruları ele alıp inceleyeceğiz. Kindî’nin sonsuzluk konusunda açtığı

bu yol bize ışık tutarak ilerlememize vesile olacaktır.

4. TEZİN KAVRAMSAL ÇERÇEVESİ  

Felsefe tarihinin üzerinde en çok durduğu kavramlarda birisi de sonsuzluk’tur.

Çünkü sonsuzluk yalnızca Tanrı tasavvuru kurmamızda değil ayrıca evren-insan ilişkisi

ve evrenin mahiyeti konularında da karşımıza çıkmaktadır. Bu sorunların ne denli

önemli olduğu aşikârdır. Ve bu sorunların temeli de sonsuzluk kavramının içine

gizlenmiştir.

Sonsuzluğu incelerken kavramın sadece bir bilgi alanıyla ilişkili olmadığını fizik,

matematik ve metafizik ilimleriyle ilgili olduğunu görüp her ilim alanı için ayrı

irdeleyeceğiz. Ulaştığımız ya da ulaşacağımız sonuçları matematiksel kesinlikle

ispatlamaya çalışarak Kindî’nin yaptığı ispatı dönemindeki matematiksel gelişmeleri

göz önünde bulundurarak değerlendirirken günümüz matematiğiyle nasıl

yorumlanabileceğini göstermeye ve tutarlılık analizini yapmaya çalışacağız.

Konuyu mümkün olduğunca bir arada tutabilmek ve dikkatli bir şekilde konuya

eğilmek için kavramsal çerçevemizi belirlememiz elzemdir. “Sonsuzluk” matematik,

fizik ve teoloji alanlarında sıklıkla kullanılmaktadır. Bu üç alanda birbirinden önemli

bazı sorularının cevaplarının “sonsuz ”da kesişmektedir. Evren, Tanrı, yaratılış, zaman

gibi kavramların yer aldığı problemler sonsuzluğu keşfettiğimiz kadar

cevaplanabilmektedir. Peki, biz birbirinden farklı alanlarda çalışırken acaba aynı

“sonsuzluk” kavramını mı kullanıyoruz?

Sonsuzluk başlı başına anlaması zor bir kavram iken sorunu güçleştirip derinleştiren

bir ayrıntı da budur. Sonsuz kavramı farklı alanlarda ki farklı problemlerle iç içe

geçtiğinden onun tek bir tanımın olması işleri iyice içinden çıkılamaz bir hale

4  

dönüştürebilir. Dolayısıyla “sonsuz” kavramını kullanırken hangi alanda veya hangi

içerikte kullandığımıza/kullanıldığına dikkat etmemiz gerektiğini söyleyebiliriz.

Farklı alanlarda sonsuzluk kavramı varsa buradan sonsuzluğun farklı manaları

olduğu anlamını çıkarabiliriz. Yani farklı tip sonsuzlar vardır. Çünkü fizik yaşadığımız

nesneler dünyasıyla ilgilenirken metafizik alan tasarılar dünyasıyla ve matematik alan

ise hem nesneler hem tasarılar dünyasıyla ilgilenir. İleriki sayfalarda

temellendireceğimiz üzere, Kindî ’ye göre bilgiye konu olan varlıklar aşağı, orta ve

yüksek olmak üzere 3’e ayrılır. İnsanı çepeçevre kuşatan fizik dünya aşağıda,

matematik ortada ve metafizik yüksekte bulunmaktadır. Şu an bizden öncekiler gibi,

“sonsuzluk”u matematiğin ve teknolojinin bize sundukları kadarıyla tanımlayabiliyoruz.

Madem evrenin dili matematiktir; biz de fizik ve metafizik ilişkisine dair anlama ve

açıklama çalışmalarına klasik dönem İslam filozofu Kindî’yi merkeze alarak sonsuzluk

kavramının İslam felsefesindeki yeri ve konumunun matematiksel düşünce tarafından

mukayesesini, analizini yapacağız.

4.1. Varsayımlar

Böyle bir çerçeve çizdiğimizde bazı varsayımlar üzerinde değerlendirmeler ve

incelemeler yapmak durumundayız. Bu varsayımları başlıca şu şekilde sıralayabiliriz:

1. Sonsuzluk kavramı farklı bilgi alanlarında kullanılsa bile farklı alanlarda farklı

anlamları olabilmektedir.

2. Sonsuzluk ve sınırsızlık çok ayrı kavramlardır.

3. Sonsuzluk ve göreliliğin ciddi bir ilişkisi vardır.

4. Kindî sonsuzlukla ilişkili olarak âlemin mahiyeti ve âlemin ezeliliği konularını

İslam’a uygun bir şekilde açıklamaya çalışarak bu konuda İslam felsefesinin

teşekkülüne önemli katkı sağlamıştır.

5. Âlemin ezeliliği konusunda Kindî’nin yapmış olduğu ispat Tanrı tasavvurunun

oluşumuna katkı sağlama açısından büyük öneme sahiptir.

6. Kindî’nin âlemin ezeliliği konusunda kullanmış olduğu ispat eksiktir ve

doğrulanmamış varsayımları kapsamaktadır.

7. Kindî yapmış olduğu ispat modern matematikle açıklanmaya çalışıldığında daha

iyi bir ispat olabileceği düşünülmektedir.

5  

5. TEZİN KAPSAMI VE SINIRLANDIRILMASI  

Bu çalışmayı yaparken bizler için diğer önemli bir hususta kapsam ve

sınırlılıklarımızın belirlenmesidir. Çünkü bu konu üzerinde yapılan değerlendirmeler ve

yorumlar dönemin teknik ve bilgileri ışığında yapılmıştır. Dolayısıyla bu hususları göz

önünde bulundurmak hem bizim için önemli hem de bizlere katkı sağlayan

geçmişlerimize haksızlık etmemek için ayrıca önemlidir.

İlk İslam filozofu Ebu İshak El-Kindî İslam Felsefesinin ilk filozoflarından birisi

olarak zikredilir. Dönemindeki felsefeyi İslam’a uyumlu bir biçimde yorumlaması

açısından ilgi çekicidir. Dolaysıyla felsefe alanındaki kavram tanımlamaları ve kendi

oluşturduğu sistemi içerisindeki kullandığı teknikler de ayrı bir önem arz etmektedir.

Sonsuzluk kavramı hakkında neredeyse felsefe tarihindeki filozofların hepsi

görüş bildirmiştir. Felsefenin temel problemlerinden biri olan sonsuzluk kavramına

ilişkin Kindî’nin görüşleri yukarıdaki temeller ışığında İslam felsefesi açısından çok

ayrı bir yere sahiptir. Çünkü bu kavram İslam inancındaki Tanrı-evren-insan ilişkisi

anlayışımızın temeli oluşturmaktadır.

Sonluluk-sonsuzluk ve sınırlılık-sınırsızlık kavramının iç içe geçtiği bazı

durumlar gözlenmiştir. Yani sonsuzluk yerine sınırsızlık sonluluk yerine de sınırlılık

kavramlarının birbirlerinin yerine kullanıldığı durumlar tespit edilmiştir. Bu

kavramların birbirinin yerine kullanılabilirliğinin olup olmadığını inceleyeceğiz. Ayrıca

alemin mahiyeti ve alemin sonsuzluğu konularında tartıştığı sonsuzluk kavramını Kindî

mantıki önermeleri kullanarak matematiksel denebilecek bir yolla açıklamaya

çalışmıştır. Bu çalışmamızda sonsuzluk kavramı hakkındaki fikirlerini kendine özgü

yöntemiyle ortaya koyan Ebu İshak el Kindî’nin izinden giderek geçmişten bizlere bilgi

getirenlere şükranlarımızı sunarak felsefenin Anadolu’da yurtlanmasına belki bir nebze

katkımız olacak şekilde sonsuzluk kavramını İslam Felsefesi açısından inceleyeceğiz.

 

6  

I. BÖLÜM

1. İSLAM FELSEFESİNİN KURUCU METNİ OLARAK İLİMLERİN SAYIMI ADLI ESERİN ANALİZİ

 

Sasani, Gerek/Bizans ve Çin-Hind medeniyetleri ile karşılaşan İslamiyet, kısa

sürede kendine özgü bir bilgi, bilim ve medeniyet kurgusu oluşturdu. Bu bağlamda

âlimlerimiz, bu medeniyetler karşılaşmasından tefekkürü kendi öncülleri üzerinde

yaparak sorunlara çözüm önerileri üretmeye çalıştılar. Felsefe, varlık (Allah’ın varlığı

ve birliği, evreni nasıl yarattığı) ve buna dair bilgilenmelerin mahiyeti, teorik

bilgilenmelerin hayata nasıl aktarılacağı (değer) üzerine düşünmek olduğu için bu

dönemi “İslam Felsefesinin teşekkülünde” önemli bir evre olarak nitelendirebiliriz.

Kindi ilk Müslüman âlimi olarak nitelenir, ama Farabi’yi varlık, bilgi ve değer üzerine

sistematik ve tutarlı bir model üreten İslam Felsefesi’nin kurucu filozofu olarak

görüyoruz. İlk âlimlerden olması nedeniyle büyük ölçüde Grek felsefesinin

tanıtılmasına, oluş ve yaratılış kavramları arasındaki çelişkiyi gidermeye yönelik

çalışmalar olduğunun farkındaydı. 1 Belki bu nedenden dolayı olsa gerek,

Aristoteles’den sonraki düşünür sıfatını kazanmış ve Muallim-i Sani olarak

isimlendirilmiştir.

Hakikate ulaşma yolunda tutarlı bir sistem oluşturmaya çalışan her filozof,

öncelikle ilimleri sınıflandırarak çalışmalarına başlamıştır. İslam Felsefesi tarihinde, ilk

Kindî, Fi Aksam El-Ulum, ardından daFarabi, İlimlerin Sayımı isimli eserleri yazarak,

bilimleri tasniflemişlerdir. Bilimlerin tasnifindeki amaç, bilgiye ulaşırken hangi

yöntemi, nasıl izleyeceğimizi bilerek yöntem hatası yapmadan gerçek/kesin bilgiye

ulaşmaktır. Araştırmacı, araştırma metodunu yanlış seçerse fikirlerin doğruluğu

hakkında yanlış sonuçlara ulaşabilir.                                                             1Farabi. İhsa’ül-Ulum, Çev. Ahmet Ateş, Kültür Bakanlığı Yay., Ankara, 1990, s.3, krş. Uyanık, Mevlüt. Akyol, Aygün. Farabi'nin Medeniyet Tasavvuru Ve Kurucu Metni Olarak İhsau’l-Ulum. Medeniyet Düşünürü Farabi Uluslararası Sempozyumu, Eskişehir,13-15 Kasım 2014.https://www.academia.edu/9393626/Mevl%C3%BCt_Uyan%C4%B1k_Ayg%C3%BCn_Akyol_Farabinin_Medeniyet_Tasavvuru_ve_Kurucu_Metni_Olarak_%C4%B0hs%C3%A2ul‐Ul%C3%BBm_Medeniyet_D%C3%BC%C5%9F%C3%BCn%C3%BCr%C3%BC_Farabi_Uluslararas%C4%B1_Sempozyum_Eski%C5%9Fehir_13‐15_Kas%C4%B1m_2014

 

7  

Farabi’nin medeniyet tasavvuru bağlamında kurucu metin olarak İhsâu’l-Ulûm

(İlimlerin Sayımı) eserini temel olarak ele alacağız. Aynı zamanda ilk “Felsefeye Giriş”

kitabı olarak da değerlendirebileceğimiz bu eser, dilin yapısı ve felsefesi ile başlar ve

bir nevi “düşüncenin grameri”ni ortaya koyar. Bilgi, (b)ilimlerin tasnif şekilleri ve

bunun Farabi'nin medeniyet tasavvurundaki yeri incelendiğinde birey, toplum ve devlet

ilişkilerinin nasıl kurgulandığı ve nasıl idame ettirileceği hususunu netleştirebilir.

Özellikle Medeni ilimler bağlamında hukuk, siyaset ve ahlak ilişkisini ele alıp, bunun

ilahiyat ile irtibatını kurması bu medeniyet tasavvurunun metafiziksel temellerini ortaya

koyacak niteliktedir. Farabi’nin bu bağlamda daha anlaşılır olması, günümüz toplumsal

ve siyasal tartışmalarına olası çözüm önerileri üretilmesine de katkı sağlayacaktır.2

Farabi, İhsâu’l-Ulûm adlı eserinin girişinde bu eserin önemini ve bilgilerden ne

şekilde istifade edileceğini şu şekilde açıklar:

“İnsan, bu kitaptaki ilimlerden birini öğrenmek isteyip bu kitaba bakarsa,

cesaretle neye giriştiğini, neye baktığını, bu bakışı ile ne fayda temin edeceğini, bütün

bunlardan kazancının ne olacağını, bunlarla hangi fazileti elde edeceğini bilir. Böylece,

ilimlerden neyi kazanmağa girişmiş ise, körükörüne ve aldanmalarla değil de bilerek ve

görerek, ona doğru ilerler. İnsan, bu kitap sayesinde ilimler arasında bir mukayese

yapabilir ve hangisinin daha üstün, hangisinin daha faydalı, hangisinin daha açık,

hangisinin daha sağlam ve hangisinin daha kuvvetli olduğunu, hangisinin daha gevşek,

daha kuvvetsiz ve daha zayıf bulunduğunu anlar.”3

2. DİL, DÜŞÜNCE, MANTIK VE MATEMATİK

 

Duyguları, düşünceleri, seçimleri açıkça göstermeyi mümkün kılan her türlü

işaret sistemi olarak dil, bilinç içeriklerini, duyguları, arzuları, düşünceleri tutarlı bir

anlam çerçevesi ya da modeli içinde ifade etme yolu ya da yöntemini tanımlar.4 O halde

dili, bilişsel içeriklerin dış dünyaya aktarıldığı, diğer varlıklar için bilişsel form haline

getirilmiş bir yapı olarak da tanımlayabiliriz. Bu durumda dil, bu içerikleri, ses, yazı,

mimikler ve belli davranış ve işaretler ile aktarabilir.                                                             2 Uyanık ve Akyol, ag. Bildiri s.1 3Farabi, a.g.e., s.54-55 4 Cevizci. Ahmet, Felsefe Sözlüğü, Paradigma Yay., İstanbul, 1999, S:234

8  

Düşünme, zihinde gerçekleşen soyut bir olay olduğundan düşünme faaliyeti

varlıklara eş tutulan kavramlarla yapılır. Zihinsel semboller veya kavramlar arasındaki

ilişkiler düşünme faaliyetini oluştururlar. Burada üzerinde durmamız gereken nokta

kavramsal ilişkilerin düşünceyi oluşturmasıdır. Bu olayı daha iyi bir şekilde kavramaya

çalışalım. “Çay bardağın içindedir” cümlesinde çay ve bardak birer nesnedir. Biz

bunları kavramsal hale sokarak zihin dünyamıza alırız. Ardından bu iki nesne arasında

nesne ya da somut varlık olmayan “içinde” kavramını üreterek bir hüküm ortaya

çıkartırız. Bu tür zihinsel yapılar gerçekten var mıdır yoksa bizim ürettiğimiz kavramlar

mıdır, eğer biz üretiyorsak, gerçekten yoksa bu kavramlar anlamsız mıdır soruları

tartışmaya açıktır. Ama diğer taraftan biz varlık dünyasını anlamlandırabilmek ve

anlayabilmek için kavramlarla düşünerek hakikat yolcuğumuzu sürdürürüz ve

nominalizm-realizm tartışması bu bağlamda devam edip gider.

İletişim aracımız olan dil, gücünü zihin dünyamız olan düşüncelerden mi yoksa

nesnelerden mi almaktadır? Bu soruyla felsefenin kapısını aralayarak felsefi yönden

analiz etmeye çalışalım. Aristoteles, varlık ve düşünce yasalarının birbirine koşut

olduğunu yani düşüncenin varlığı yansıttığını dil de düşüncede yansıyan varlığın doğru

biçimde ifade edilmesi olduğunu söyler. Ayrıca dilin, yararlıyı ve zararlıyı, doğruyu ve

yanlışı bildirmeye yaradığını söyler. 5

Felsefe tarihinde de dilin iletişim aracı olmanın ötesinde işlevsel gücü

filozofların ilgisinden uzak kalmamıştır. Heraklitos’ta logos, hem her şeye hükmeden

evrensel yasadır; hem de evrenin dilidir. Bu bakımından logosa katılma ya da logostan

pay alma düşüncesi üzerine kurulu Eski Yunan kültüründe dil ile varlığın birbirine

uyumu temel sorun olarak görülmüştür. Öyle ki, bu sorun Platon ve Aristoteles’in

varlığın yasaları ile düşüncenin yasaları arasındaki ilişkiye yoğunlaşmalarına neden

olmuştur.6

Farabi dilin ortaya çıkışını oldukça antropolojik bir tasvirle açıklar: İlk olarak

insanlar, nefisleri, nicelik ve nitelik yönünden sınırlı miktarda bilgilere, tasavvurlara ve

tahayyüllere sahiptir. Yine nefisleri nitelik ve nicelik bakımından sınırlı miktarda ve

                                                            5 Aristoteles.Politika, Çev. Mete Tunçay, Remzi Kitabevi, İstanbul, 2002, s.9-10 6 Kranz, Walther. Antik Felsefe: Metinler Ve Açıklamalar, Çev. Suat Yakup Baydur, Sosyal Yayınları, 3. Baskı, İstanbul, 2009, s.57-58

9  

tarzlarda etkilenmeleri kabul eder. İçinde olanı veya amaçladığını başkasına bildirme

ihtiyacı duyduğunda ilk önce istediği şeye delalet etmek için onu anlatmayı istediği

kimseler karşısında işareti kullanmıştır, sonra da seslenmeyi kullanmıştır. Bunun

ardından muhtelif seslenmeleri kullanır ve bunların tek tek her biriyle, kendisine ve

duyulurlarına delalet ettiklerinin tek tek her birine delalet eder. Dolayısıyla her belirli

nesne için belirli bir seslenme tahsisi eder ve bu seslenmeyi, başkasına kullanmaz ve

böylece seslerden her birini duyulurlardan her birinin karşısına koyar.7 Bu durumda

Farabi’nin, ilk harflerin ve bu harflerin oluşturduğu lafızların yani dilin tamamen

uzlaşmayla oluştuğunu savunduğunu söyleyebiliriz. Milletin Dilinin Kaynağı Ve

Olgunlaşması8 adlı risalesinin girişinde ayrıca bu konuya vurgu yapmaktadır.

Peki, madem lafızlar ve dil uzlaşmayla oluşuyorsa neden her milletlerin dili yani

seslenmeler farklı olmaktadır? Bu sorunun da cevabını yine Farabi vermektedir: Bir

barınak ve beldenin ahalisinin organları, diğerlerinin organlarının yaratılışından farklı

bir yaratılış ve mizaçta olduklarında, bunlar, dillerinin ağız içinin her bir parçasına

doğru hareketi, diğer barınak ahalisinin dilinin hareket ettiği parçalara doğru

hareketinden daha kolay olacak şekilde yaratılmışlardır. Bu takdirde birinin diğerine

göre yaptığı seslenmeler farklı olmaktadır. 9 Buradaki dil ayrımı ya da farklılığı

lafızların anlam farklılığından değil ses farklılığından kaynaklanmaktadır. Farabi’nin bu

düşüncesinin altında yatan neden, toplumlara göre farklılaşan dillere göre hakikat

arayışında farklı sonuçlara ulaşmamak maksadı olabilir. Yani seslenme arazi, anlam ise

özsel bir durum olarak değerlendirildiğinde seslenmenin anlam arayışında önemi

kalmayacaktır. Dolaysıyla her toplum seslenmelerini farklı yapsa da hakikate

ulaşabileceklerdir. O halde Farabi’nin anlam dünyası lafızdan tamamen bağımsızdır ve

evrenseldir diyebiliriz. Ayrıca burada dikkat çekici bir diğer hususta kişinin tasavvurlara

ve tahayyüllere sahip olup sonradan bunları lafızlarla yani dil ile aktarmasıdır. O halde

Farabi anlamların dilden önce geldiğini belirtmektedir.

Farabi’ye göre toplumun ortak ihtiyaçlarından kaynaklanan anlaşmalarına göre

lafızlar belli bir düzen ve yeterliliğe ulaştıktan sonra lafızların manaları genişletilir ve

mecazlar ortaya çıkar. Yani anlamlar genişletilmiş olur. Bunun sonucunda ilk hitabet

                                                            7 Farabi.Kitabu’l-Huruf, Çev. Ömer Türker, Litera Yay., 2. Baskı, İstanbul, 2008, s.72-74 8 Farabi, a.g.e., s.75 9Farabi, a.g.e., s.73-74

10  

sanatı, sonra da şiir sanatı oluşur. Toplum içinden çıkan kimseler lafızlardaki ve

cümlelerdeki noksanlıkları giderir ve dil tamamlanmış olur. Oluşan yeni kuşak dili

korumak ve lafızları unutmamak için bir yol arar ve yazı ortaya çıkar. Sonra bu yazı

dilinin belli kurallara bağlı olması gereksinimi doğar ve dilbilgisi sanatı oluşur. 10

Görüldüğü üzere, Farabi dil ile toplumun ve kültürün ilişkisinin oldukça yakın ve iç içe

olduğunu vurgulamaktadır.

Dil tamamlandıktan sonra, toplum içinden bazı kimseler duyulurların ve

duyumsananların bilgisini öğrenmek isterler. Bu nedenle şeylerin illetlerini araştırmaya

koyulurlar. Bu kimseler, araştırmalarında, kendisi için doğruluğu ortaya çıkan

görüşlerin doğruluğunu ortaya koymada, başkasına öğretmede ve kendisine

başvurulduğunda doğruluğunu açıklamada ilk önce hatabî metotları kullanır.

Aralarındaki görüşler farklılaştığında her biri görüşlerini karşı çıkılamayacak veya zor

karşı çıkılabilecek bir duruma getirmeye çalışırlar. İşte bir zaman sonra cedelî yolu

yolları öğrenirler. Cedelî yolları, sofistik yollardan ayırırlar. Zira hatabî yollar, cedel ve

safsata arasında ortak olup bunlarla karışıktı. Sofistik yollar, cedelî yollara

benzerliğinden dolayı, insanların çoğu araştırmalarında bu yolu kullanabilmektedir.

Teorik şeyleri incelerken bunları cedelî yollara göre temellendirmede karar kılınır ve

sofistik yollar atılarak yalnızca sınama esnasında kullanılır. 11 Ama bir süre sonra cedelî

hitaplar olgunlaşır ve sonuçta cedelî yolların kesinliğin oluşması için yeterli olmadığı

ortaya çıkar. Sonra bu arayış bir süreç halinde devam eder ve nihayet ilmi inceleme

sona erer ve bütün yollar ayrışır, teorik ve tümel ilmi felsefe olgunlaşır, onda

araştırılacak hiçbir yer kalmaz. Yalnızca öğrenilip öğretilen bir sanat haline gelir.

Farabi, felsefe öğretimini ikiye ayrır: burhanî yol ve hatabî- şiirsel yol. Hatabî ve şiirsel

öğretimin, burhan açısından doğru olan teorik ve pratik şeylerin halka öğretilmesinde

kullanılmasının daha uygun olduğu görüşünü savunur.12

Görüldüğü üzere Farabi, felsefi düzeye ulaşmak için basamak basamak çıkılan

yukarda bahsi geçen beş yöntem (şiir, hatabî, sofistik, cedelî ve burhan yöntemi) aynı

zamanda mantıki yöntemlerin de oluşum sırasını vermektedir.

                                                            10Farabi, a.g.e., s.80- 81 11Farabi, a.g.e., s.85-86 12 Farabi, a.g.e., s.87

11  

Toplumsal gelişim sürecinin en üst aşamasının, toplumda felsefenin ortaya

çıkması olduğunu söylemiştik. Bu gelişim sürecinde dil de, yukarda bahsedildiği üzere

değişik aşamalardan geçip yetkinleşerek sonunda felsefedeki burhan yönteminde

kullanılabilecek hale gelir. Bunun anlamı ise toplumun artık hakikati anlayabilecek

seviyeye ulaşmış olasıdır. Farabi açısından bu konunun önemi ise, artık felsefi (burhanî)

dil oluştuğu için dil ile felsefe arasındaki ilişkiden istifade ederek din ile felsefe

arasındaki ilişki kurularak güçlendirilebilecektir.

Mantık ilmini Farabi, “mantık sınaatı, bütün halinde, aklı düzeltmeğe ve yanlış

yapılması mümkün olan bütün mâkul" şeylerde, insanı doğru yola ve gerçek (hak)

tarafına yöneltmeğe yarayan kanunları ve insanı mâkullerde yanlıştan, sürçmeden ve

hatadan koruyan ve muhafaza eden kanunları verir13 diyerek tanımlar. Ardından başka

bir eserinde biraz daha detaylı bir tanımlama yapar:

Mantık ilmi, dış konuşmanın (en-nutk-ül-hâricî) kanunları ile iç konuşmanın

(en-nut k-ül-dâhili) kanunlarını verdiğinden ve bu iki hususta verdiği kanunlar ile

insanda yaradılıştan mevcut olan üçüncü konuşmayı (en-nutk-üs-sâlis) kemale getirip,

bu iki konuşmadaki işini en doğru, en tam ve en iyi tarzda yapacak şekilde doğru olarak

sevk ettiğinden, bu ilme, bu üç mânâda kullanılan nutk'tan («konuşma») türetilmiş olan

bir isim verilmiştir. Nitekim nahiv sahasındaki ilim ehlinin kitapları arasında yalnız dış

konuşmanın kanunlarını veren kitapların çoğuna «mantık» ismi verilmiştir." Dolayısıyla

mantık ilmi, insanı yanlış düşünerek yanlış konuşmaktan alıkoyar. 14 Yani, mantık

ilminin konusu, insan zihnini yanlışa düşmekten koruyan ve ona doğruya ulaşmayı

mümkün kılan yöntemlerdir. Farabi, felsefi düşünüşün ancak mükemmel bir temyiz

gücüyle gerçekleşebileceğini söylemektedir. Temyiz ise üzerinde düşünülen ve bilgisi

peşinde koşulan konularda doğru olanı kavramayı temin edecek sağlam bir anlayış

(zihin) gücünü gerekli kılar. İşte bu gücü kazandıran sanat, mantık sanatıdır. Farabi, bu

açıdan mantık sanatına büyük bir değer yüklemekte ve onu ilimler arasında sayarak,

bütün ilimlerden önce öğrenilmesi gereken bir sanat olarak belirlemektedir.15 O halde

dil ve mantık ilminin toplum için ne denli önemli olduğu açıklanmış olmaktadır.

Farabi’nin bu konudaki paradigmalarını temel alarak irdelediğimizde uzlaşma sonucu

                                                            13 Farabi, İhsâu’l-Ulum, s.67 14 Farabi, İhsâu’l-Ulum, s.79 15Aydınlı, Yaşar.Farabi’nin Bilgi Anlayışına Genel Bir Bakış, Bilimname IV, 2004/1, s.15

12  

oluşan bir dil vardır ki uzlaşı toplumu saadete götüren yollardan biridir ve mantık ilmi

de toplumu yanlışlardan arındırdığı için ciddi bir öneme sahiptir. Ayrıca mantık – dil

ilişkisi kurgulandığında toplumsal yetkinliğin temeli atılmış olmaktadır.

Farabi’nin antropolojik tasvirle açıkladığı dilin oluşumu ve yukarda bahsi geçen

varlıkların özünü kavrama yöntemleri ilkin, kişiye bilgiyi kazandırmaya ardından

başkalarına sunarak-tartışarak bilgiye ulaşma amaçlıdır. Farabi varlıkların bilgisini

kazanma yolunu mantık biliminin içeriğinde yer alan beş bölümde ele alır. Bunun

nedenini, mantık ilminin insanı ve toplumu hakikate ulaştırmada araç olarak görülmesi

diye yorumlayabiliriz. Yani mantık, bilme eyleminde, yukarıda belirtilen çeşitli bilişsel

anlatım biçimleriyle, yargıların hangi bilişsel yöntemle elde edildiğini ve ele alınan

bilgilerin ne denli kesinlik taşıdığını ortaya çıkarmaya yarar. Eğer mantık ilmini

bilmezsek, onlardan gerçeğe varmış olanın doğruluğunu, gerçeğe nasıl vardığını ve

hangi yönden vardığını, delillerinin ve fikrinin doğruluğunu kesin olarak nereden

anlayacağımızı bilemeyiz.16

Aklın yanlış yapıp yapmayacağını, gerçek olanı idrak etmekte kusur edip

etmediğini deneme ve sınama aleti olarak mantık kanunları, hissin aldanıp

aldanmadığını kontrol için vardır. İslami ilimlerin tasnif ve sistematize edilmesinde bir

araç/teknik/sanat olarak kullanılan Mantık bilimini akıl yürütmelerin geçerliliğini

sağlayan metodoloji olarak tanımlarsak, aşırı yorumların ve sofist söylemlerin mümkün

olmaması gerekir. Çünkü mantık, insan aklını hatadan koruduğu gibi, formel düzeyde

de olsa, yanlış yapması mümkün olan bütün makul şeylerde doğruya yönelten ilkeleri

verir. Benzerlikleri veya birliktelikleri ya da çelişkileri anlamak mantıksal anlamda

tamamen zihinsel bir etkinliktir, daha sonra bunların pratik ve bilimsel anlamda tasnifi

gerekir. Bu anlamda, mantık sadece felsefe açısından değil, aynı zamanda matematik

hatta hukuk ve teoloji açısından gereklidir. Böyle yapıldığı zaman hiçbir temeli

olmadığı için kolaycı çözüm önerileri üreten ve bu nedenle günümüzde popüler olan

mutlak rölativizmin tuzağına düşülmez.17

                                                            16 Farabi, İhsâu’l-Ulum, s. 71 17 Uyanık, Mevlüt. Akyol, Aygün. Farabi'nin Medeniyet Tasavvuru Ve Kurucu Metni Olarak , -İhsâu’l-Ulum-, s.15

13  

Bilgiyi anlama konusunda dilbilgisi ve mantık yararlılıkları bakımından kimi

zaman karşılaştırılmışlardır. Yani dilbilgisinin lafza, mantığın ise anlama ilişkin bir

anlama yöntemi olduğu tartışılmıştır. Farabi dilbilgisi ile uğraşanların kelimelere bakışı

ile mantık ile uğraşanların kelimelere bakışları arasındaki ayrılığın temelini açıklarken,

dil bilgisinin (gramer) herhangi bir halkın kelimelerine mahsus olan kanunları verdiğini

ancak mantığın, bütün halkların kelimelerinde müşterek olan kelime kanunlarını

verdiğini söyler.18 O halde Farabi’nin bu görüşlerinden yola çıkarak evrensel manada

hakikati bulmanın yolunun mantık ilminden geçtiği rahatlıkla söylenebilir. Çünkü

mantık, toplumlar üstü felsefi düzeyi oluşturan ilimdir. Burada şunu belirtmekte fayda

görüyoruz: Mantığın toplumlar üstü felsefi düzeyi oluşturan ilim olması onun, kesin

bilginin ölçütü olması ve en üstün ilim olduğu manasına gelmez. Yalnızca kesin bilginin

elde edilebilmesi için araç bir ilim olarak önemlidir.

Farabi mantığı, mantığın altında da burhanı toplumlardan ve kültürlerden

arındırılmış bir yöntem olarak gördüğünden dolayı mantığı doğru konuşma ilkeleri

olarak değerlendirir. 19 Doğru düşünme ve doğru konuşma çift taraflı gerektirme

olduğundan ve bu iki işlev için alet olan ilim mantık olduğundan Farabi’nin tasnifine

göre mantık tüm söz sanatlarını içermektedir.

Dilin hakikat arayışındaki rolü, gelişim süreci ve mantık ilişkisini yukarda ele

almıştık. Dilin mantık çerçevesine oturmasıyla bilişsel yöntemler evrensel bir hal alarak

felsefi bilgiye ulaşılır. Farabi’nin mantık tanımından yola çıkılırsa 20 mantık kelime

anlamı ile hem düşünme, hem de bunun ifadesi olan konuşma ile alakalı olduğu görülür.

Bu durumda insan, mantık bilimi olmadan önce mantıksız mı düşünüyordu?” sorusu

üzerine düşünmek gerekir: İnsan mantık bilimini öğrenmeden de mantıklı düşünebilir.

Mantıklı düşünme ile mantık bilimi arasında sıkı bir ilişki vardır. Mantık, mantıklı

denen düşünme tarzını kendisine konu olarak alan bilime verilen addır. Mantıklı

düşünmeye, doğru düşünme veya tutarlı düşünme de denilir. Mantıklı düşünmede,

                                                            18 Farabi, İhsâu’l-Ulum, s.77-78 19Farabi, a.g.e., s.79 20Farabi, a.g.e., s.79 

14  

sonuçların tutarlı olması gerekir. Tutarlı düşünme ise akıl yürütmenin akıl ilkeleri denen

ilkelere uygun olması ile mümkün olur.21

Bunlara ilaveden dildeki kavramları bizlerin oluşturduğunu ele alırsak ve bunun

yanı sıra kavramlarla düşündüğümüzü de göz önünde bulundurursak dil, dünya sınırları

dışında manasız olduğu da söylenebilir. Buradan çıkarılan sonuç, dilin de sınırı vardır.

Ünlü filozof Wittgenstein’ın dediği gibi: “Dilimin sınırları, dünyamın sınırlarını

betimler.”22 denilebilir. Böyle bir sınırdan söz edilirse dil ile düşünce arasında ciddi bir

problem ortaya çıkmaktadır: Madem sınırlarımızı dil oluşturuyor, o halde düşünce dile

bağımlıdır. Aksine düşünce sonu olmayan bir mefhum olduğundan düşünce dilden

bağımsızdır. Bu noktada bu iki iddiayı ana hatlarıyla inceleyelim:

İlk olarak düşüncenin dile bağımlı olduğu görüşünü ele alalım. Farabi’nin dilin

oluşum ve gelişimini tasvirini ele alırsak bu görüşü savunduğunu söyleyebiliriz. Çünkü

dil gelişerek en son felsefi dil haline yani burhan metoduna gelinceye kadar geçen

süreçte düşünce de gelişmektedir. Yani dil ve düşünce birbirine bağlı bir şekilde

ilerlemektedir.

Bu konuda en önemli açıklamalardan biri Descartes’e aittir. O, hayvanların da

düşünce yetisine sahip olduğu ve düşüncenin dilden bağımsız olarak var olduğu

noktasındaki görüşleri reddetmektedir. Bunu yapmasındaki amaç, hayvanlara düşünce

atfederek deneysel olarak bunu ispat etmeye çalışanlara karşı koymaktır. Bu konuyu

örneklendirerek analiz etmeye çalışır: Bir kuşa sahibini gördüğü zaman ona günaydın

demesi öğretilebiliyorsa bu söz o kuşun duygularından birinin dışa vurumudur. Bu sözü

söylediği zaman ona yiyecek veriliyorsa, bu davranış onun yiyecek yeme umuduna ait

bir harekettir. Bu durumda diğer hayvanlara yaptırılan davranışlar, onların korku, umut

yada sevinç hareketleridir; öyle ki onlar bu hareketleri hiçbir düşünce olmaksızın

yapabilirler.23

Düşüncenin dile bağımlı olmadığını savunan görüşü ele alırsak bu görüşün

altında, dil, düşünceyi sadece aktaran bir araçtır yargısı vardır. Yani düşünce yoluyla

                                                            21 Öner, Necati. Klasik Mantık, Ankara Üniversitesi Basım Evi, Ankara, 1986, s.2-3 22 Wittgenstein, Ludwig. TractatusLogico-Philosophicus, Çev. Oruç Aruoba, Yapı Kredi Yayınları, İstanbul, 2003, s.131 23 Descartes, R. Metot Üzerine Konuşma, Çev.K.Tahir Sel, Sosyal Yayınları, İstanbul, 1984, s.103-104 

15  

oluşan bilişsel içerikleri dış dünyaya aktarmamızı sağlayan bir araçtır ve düşünceden

bağımsızdır. Dil düşünmenin kendisi değil yalnızca düşüncenin aracıdır. Ancak burada

gözüken bir problem şudur: düşünce dilden bağımsız olduğunda, düşünceleri dış

dünyaya aktarırken oluşturulan kelimeler ve cümleler neyin ürünüdür? Budan ziyade

düşüncelerin oluşum aşamasında, yani iç konuşma aşamasında konuşma ne ile

sağlanmaktadır? Ya da tersten gitmeye çalışırsak, okuduğumuz cümleleri

anlamlandırma esnasında düşüncelerden istifade etmiyor muyuz? Düşüncenin dilden

bağımsız olduğu konusunu savunanlar genellikle deneysel örnekler üzerinden ve

özellikle de çocuklar üzerinden konuyu ele almışlardır. Ama bu sonuçlar tartışılabilir

niteliktedir ve birçok soruyu tam manasıyla cevaplamak için yetersizdir.24

Bu arada düşüncenin farklı bir boyutuna da değinmek istiyoruz. Yaşadığımız

toprakla/kültürle düşünce arasındaki bağ nasıldır, düşünce mekândan bağımsız mıdır

inceleyelim. Bilgi, özne-nesne arasındaki eyleşim sonucu ortaya çıkar, şeklindeki tanımı

yetersizdir çünkü düşüncenin öznenin içinde yetiştiği ortamı işlevsiz bırakma gibi bir

risk ortaya çıkmaktadır.

Buna şu şekilde örnek verilebilir: bir elmanın ağırlığı dünya üzerinde farklı ay

üzerinde farklı ölçülür çünkü yerçekimi her iki yüzeyde de farklıdır. Buna göre elmanın

ağırlığına dair bilgimiz bulunulan ortama göre değişmektedir. O halde, düşünmek,

aslında “daha çok toprakla yurtluk ilişkisi içinde gerçekleşir, çünkü düşünmek, toprağı

tutan bir içkinlik düzlemi sermekten ibarettir.” Toprak parçasının yurt haline gelmesi,

düşünürün, kavram içinde bağıntıyı kurarak aşkın olanı içkinleştirerek ürettiğinin,

bulunduğu coğrafyaya göre isimlendirmesiyle mümkün olmaktadır.25

Bizim de felsefeyi Anadolu’da yeninde yurtlandırmak projesi bağlamında

üzerinde durduğumuz önemli nokta burasıdır. Nitekim Çağdaş filozoflardan

Nietzsche’nin, Alman, İngiliz ve Fransız felsefelerinin ulusal karakterlerini belirlemek

amacıyla temellendirdiği ‘jeofelsefe’, özne-nesne ikileminden sıyrılarak felsefeyi

kavram üzerinde yeniden yurtlandırma çabasıdır. Felsefenin bir halkın anlayışına,

hukuk tasarımına uygun olarak yeniden yurtlandırılmasının nesne değil de, yurtluk

                                                            24 Denkel, Arda. Anlaşma: Anlatma ve Anlama İletişim Üzerine Bir Felsefe Araştırması, Boğaziçi Üniversitesi Yay., İstanbul, 1981, s:24,25 25Uyanık, Mevlüt. Felsefeyi Anadolu’da Yeniden Yurtlandırmak: İslam Felsefesinin Günümüzdeki Anlamı Üzerine Bir Deneme, İslamiyat. C.8 Sayı.4. 2005 s.68

16  

olduğunu, bunun geçmiş, şimdi ve belki geleceğe dair bir format olduğunu

söylemektedir.26

Jeofelsefe kavramsallaştırmasından hareketle bir “İslam felsefesi” ifadesinin

yanı sıra bunun temellendirilmesine ve yeniden yurtlandırılmasına Anadolu

coğrafyasından katkıda bulunan bir ‘Türk Felsefesi’nden bahsetme imkanıda ayrıca

müzakere edilebilir. Çünkü bu şekilde, yaşadığımız toprağı merkeze alan Türkçe felsefi

üretim yapılması verimliliği artıracaktır. Madem, insanı diğer canlılardan ayıran husus,

onun konuşmasıdır, onun tümel/evrensel hakkındaki iç konuşa/düşünmeyle bunların

ifadesi/dış (Türkçe) konuşma arasındaki uyum ve uygunluk arayışı bu tür bir felsefenin

tutarlı/mantıklı olacağının göstergesidir. 27 Böylece anadilin en önemli vurgusu tümelin

vahyin, soyut ve aşkın olanın Anadolu insanı şahsında tikelleşmesi, içkinleşmesi ve

somutlaşmasıdır. Bunların gerçekleşmesi, bulunduğumuz coğrafyada yaşayan insanların

güncel sorunlarına çözümler üretilmesinde bir yol ışığı vazifesi görecek şekilde temel

terminolojiyi yeniden okumak/yorumlamaktır. Bunu başardığımızda aynı zamanda

yerli/tikel olanı tümel/evrensel veriler ışığında yeniden üretmiş, yerli değerlerimizi,

yerel olmaktan çıkarmış, evrensel kılmış; daha basit ifadeyle tikelde tümeli yakalamış

oluruz. Bu aslında Türklerin yurtluğu yeniden ihya etmek üzere Anadolu’ya ait yerli

(Hitit, Babil, Grek ve İslam düşüncelerinin) gücünü özgürleştirme ve yeniden

tümel/evrensel hale getirme çabasıdır.28 Ünlü Türk felsefeci Farabi’nin metnini temel

olarak almamızın nedeni de budur. Muallim-i Sani diye nitelendirilmesi, Tanrı-evren ve

insan ilişkisini nasıl kurgulayacağımızı bir sistematik hale getirmesi ve buna dil-

düşünce ve mantık ile başlamasıdır. Bunun matematiksel tutarlılığı, doğa/pozitif ilimler

ile evrenin nasıl yaratıldığını açıklama çabası, ardından da insanın evrende niçin

yaratıldığı sorusunun ilahiyat ve medeni ilimler bağlamında ele almasıdır.

Matematik dili, yukarda bahsi geçen diller gibi aşağı yukarı aynı gelişim

aşamalarına sahip olmasının yanı sıra farklı olarak matematikteki her kavram “iyi

tanımlı” olmak zorundadır. İyi tanımlı olmak matematiksel bir kavramdır ve bir küme

üzerinde tanımlı fonksiyonun, küme üzerindeki bir denklik bağıntısıyla oluşan bölüm

kümesi üzerine taşınmasıyla ilgilidir. Matematikçi olmayanlara şu şekilde anlatılabilir:

                                                            26Uyanık, a.g.m., s. 69 27 Uyanık, a.g.m., s.76 28 Uyanık, a.g.m., s. 77 

17  

İyi-tanımlılık, bir kavramın herkes tarafından eş anlamda algılanması; belirsizliğe yol

açmaması ve söylenmek isteneni açık ve net bir şekilde belirtmektir. İyi tanımlılıktan

dolayı, belirsiz, tanımsız ya da muallak kavramlar matematik dilinde yer alamaz. Ayrıca

Matematik Dili’nin kendine özgü bir sözdizimi vardır. Bir tanımın nasıl yapıldığı

bilinirse, tanımların ne söylediği anlaşılır. Ondan sonra, o tanımın neden yapıldığını

kavranır ve bu eşik geçildikten sonra varsayımlardan sonuç çıkarma eylemine; yani

teorem’e geçilebilir.29

Cehalete giden yol yalnızca bilgi eksikliğinden dolayı değildir. Belki en önemli

neden bu sebepken diğeri de terimlerin isim ortaklığı nedeniyle karışmasıdır. Çünkü

lafız her iki öncülde de aynı ama anlam farklı olduğunda yanlış anlamalar ortaya çıkar.

Ama matematik ilimlerde bu konu bulunmaz çünkü geometrik anlamların lafızlarının

anlamı tahsille bilinmektedir ve dolayısıyla kastedilen anlamdan başkası vehmedilmez.

Hayal matematik ilimlerin dışında çoğu şeyde saptırıcı iken matematik ilimlerde yol

gösterici bir rehberdir. Matematik meselelerinin öğretiminde hayale yardımcı ve destek

olmak için harflerle şekiller çizilir. Diğer ilimlerde yol açabilecekleri olumsuz

sonuçlardan dolayı bu şekillerden korkulmasının aksine matematik ilimlerde onlardan

korkulmaz. Diğer ilimlerde ise hayal tarafından bir yardım bulunmadığından, lafız ortak

olduğundan ve anlamların ayrıntılandırılmasında güçlük bulunduğundan zihin sapar.30

Kelimelerin işaret ettikleri manalar bilgi dünyamızı kurgulamamızı ve yanlıştan

uzak olmamızı sağlar. Farabiye göre, mantığın konusu kelimelerin delalet ettiği

anlamlar (makule) ve bu anlamlara delalet etmeleri dolayısıyla da kelimelerdir. 31 

Bundan başka aklın yanlış yapıp yapmadığından veya gerçek olanı idrâk etmekte kusur

edip etmediğinden emin olmadığımız mâkullerde, onları deneme ve sınama (imtihân)

aleti olan mantık kanunları, hissin aldanıp aldanmadığından veya miktarını idrâkte

kusur edip etmediğinden emin olmadığımız birçok cisimleri kontrol etmek için alet olan

terazilere ve ölçülere benzer; doğruluğunu idrâk etmekte hissin yanlış yapıp

yapmadığından veya kusur edip etmediğinden emin olunmıyan hataları kontrol

                                                            29Karaçay, Timur. Matematik Ve Dil, Mantık, Matematik Ve Felsefe, IX.Ulusal Sempozyumu -Düşüncenin İletişim Aracı Olarak, Edebiyat, Bilim, Sanat Ve Felsefe Alanlarında: Dil-, İstanbul Kültür Üniversitesi Yay., İstanbul, 2011, s. 19-22 30İbn Sina, II. Analitikler, Üçüncü Makale, İkinci Fasıl, Çev. Ömer Türker, Litera Yayıncılık, İstanbul, 2006, s.141‐143 31Farabi, a.g.e., s.75‐76 

18  

(imtihân) etmekte kullanılan satır çizme aleti (mistar) gibidir; dairelerde yuvarlaklığını

idrâk etmekte hissin yanılıp yanılmadığından ve kusur edip etmediğinden emin

olunmadığı zaman onları kontrol için kullanılan pergel gibi olduğunu söyler.32 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                            32Farabi, a.g.e., s.68‐69 

19  

II. BÖLÜM

TANRI-EVREN İLİŞKİSİNİN AÇIKLANMASINDA SONSUZLUK KAVRAMI VE KİNDİ

 

Felsefe tarihinde tartışılan hususlardan birisi de Tanrı-Evren ilişkisinin nasıllığı

üzerindedir. Özellikle İslam kelamı ve felsefesi açısından söyleyecek olursak, Âlemin

kıdemi ve hudûsu temel problemlerden birisidir. Gazali’nin İslam Meşşai geleneğinin

önde gelen iki felsefecisini tekfir ettiği üç konudan birincisi âlemin ezeliliği konusudur: 33

Burada dikkat edilmesi gereken husus şudur: Özünde ontolojik bir mesele gibi

gözüken ama aynı zamanda kozmolojik bir sorun olduğu kesin olup fizik, matematik

ilimlerle doğrudan irtibatı olan böyle bir husus, nasıl itikadî bir boyut alabiliyor? Başka

bir ifadeyle, âlemin mahiyetine dair verilen cevap, niçin itikadî bir boyut alıyor ve

insanların tekfir edilerek toplumdan dışlanması sonucu çıkarsanabiliyor? Ya da ahirette

ebedi mutluluğu yok edecek bir kavram olan tekfir ile karşılanıyor? Dolayısıyla bu

soruna verilen cevap, Tanrı-evren ilişkisini temellendirirken aynı zamanda kişinin Tanrı

tasavvurunu da belirliyor.

Felsefe tarihinden yolu geçen herkesin sonsuzluk kavramı hakkında söyleyecek

bir sözü olmuştur. Çünkü sonsuzluk yalnızca Tanrı tasavvuru kurmamızda değil ayrıca

evren-insan ilişkisi ve evrenin mahiyeti konularında da karşımıza çıkmaktadır. Bu

sorunların ne denli önemli olduğu aşikârdır. Ve bu sorunların temeli de sonsuzluk

kavramının içine gizlenmiştir. Bu nedenle sonsuzluğu incelerken kavramın sadece bir

bilgi alanıyla ilişkili olmadığını fizik, matematik ve metafizik ilimleriyle ilgili olduğunu

görüp her ilim alanı için irdeleyeceğiz. Ulaştığımız ya da ulaşacağımız sonuçları

matematiksel kesinlikle ispatlamaya çalışacağız.

Tezimizin hareket noktası İlk İslam filozofu Ebu İshak El-Kindî’nin âlemin

ezeliliği hususunda sonsuzluğu kullanarak yaptığı ispatlardır. Bunlar önemlidir çünkü

                                                            33 Gazzali, Filozofların Tutarsızlığı, Çev. Mahmut Kaya, Hüseyin Sarıoğlu, Klasik Yay., 4. Baskı, İstanbul, 2012, s.225 Akyol, Aygün. Şehristani’nin Filozoflarla Mücadelesi, Araştırma Yay., Ankara, 2011, s.115-136

20  

İslam Felsefesi’nde bu konuda matematiksel denecek nitelikte ve tutarlılıkta yapılan ilk

ve benzersiz bir ispattır. Felsefi sistemini İslam’a uygun bir şekilde yorumlama çabası

içerisinde olan Ebu İshak El-Kindî’nin yaptığı ispat acaba doğru mudur? Kindî’nin

sonsuzluk konusunda açtığı bu yol bize günümüz bilim felsefesi açısından neler

söyleyebilir? Madem evrenin dili matematiktir; biz de fizik ve metafizik ilişkisine dair

anlama ve açıklama çalışmalarına klasik dönem İslam filozofu Kindî’yi merkeze alarak

sonsuzluk kavramının İslam felsefesindeki yeri ve konumu, bunun matematiksel

düşünce tarafından mukayesesini, analizini yapabilirsek, bu soruların cevaplarını da

vermiş olacağız.

Kindî’nin yaptığı ispatı dönemindeki matematiksel gelişmeleri göz önünde

bulundurarak değerlendirirken diğer taraftan günümüz matematiğiyle nasıl

yorumlanabileceğini göstererek ve günümüz matematiğini kullanarak ispatlamaya

çalışacağız. Çünkü “Sonsuzluk” matematik, fizik ve teoloji alanlarında sıklıkla

kullanılan terimlerdendir. Üstelik bu üç alanda birbirinden önemli bazı sorularının

cevaplarının “sonsuz ”da kesişmektedir. Evren, Tanrı, yaratılış, zaman gibi kavramların

yer aldığı problemler sonsuzluğu keşfettiğimiz kadar cevaplanabilmektedir. Bu noktada

sormamız gereken soru şudur: Birbirinden farklı alanlarda çalışırken acaba aynı

“sonsuzluk” kavramını mı kullanıyoruz?

Sonsuzluk başlı başına anlaması zor bir kavram iken sorunu güçleştirip

derinleştiren bir ayrıntı da budur. Sonsuz kavramı farklı alanlarda ki farklı problemlerle

iç içe geçtiğinden onun tek bir tanımın olması işleri iyice içinden çıkılamaz bir hale

dönüştürebilir. Dolayısıyla “sonsuz” kavramını kullanırken hangi alanda veya hangi

içerikte kullandığımıza/kullanıldığına dikkat etmemiz gerektiğini söyleyebiliriz. Farklı

alanlarda sonsuzluk kavramı varsa buradan sonsuzluğun farklı manaları olduğu

anlamını çıkarabiliriz. Yani farklı tip sonsuzlar vardır. Çünkü fizik, yaşadığımız

nesneler dünyasıyla ilgilenirken metafizik alan, tasarılar dünyasıyla matematik alan ise

hem nesneler hem tasarılar dünyasıyla ilgilenir. İlk İslam filozofu Kindî ’ye göre bilgiye

konu olan varlıklar aşağı, orta ve yüksek olmak üzere 3’e ayrılır. İnsanı çepeçevre

kuşatan fizik dünya aşağıda, matematik ortada ve metafizik yüksekte bulunmaktadır.34

                                                            34Kindî, Felsefi Risaleler, Çev. Mahmut Kaya, Klasik Yay., 2. Baskı, İstanbul, s.28

21  

Bu çerçevede Kindî’den hareketle sonsuzluk kavramını fizik ve matematik

felsefesi açısından analiz ettiğimiz takdirde farklı bilgi alanlarında kullanılsa bile farklı

anlamlarının olması mümkün olacaktır. Çünkü son tahlilde sonsuzluk ve sınırsızlık ayrı

kavramlardır. Üstelik sonsuzluk ve göreliliğin ciddi bir ilişkisi vardır. Ayrıca Kindî’nin

âlemin ezeliliği konusunda kullanmış olduğu ispat günümüz mantık ve matematik

felsefesi açısından eksiktir ve doğrulanmamış varsayımları kapsamaktadır. Bu durum,

kendi dönemi açısından metnin önemini azaltmaz. Çünkü Kindî sonsuzlukla ilişkili

olarak âlemin mahiyeti ve âlemin ezeliliği konularını İslam’a uygun bir şekilde

açıklamaya çalışarak bu konuda İslam felsefesinin oluşumuna katkı sağlamıştır. Ayrıca

Âlemin ezeliliği konusunda Kindî’nin yapmış olduğu ispat Tanrı tasavvurunun

oluşumuna katkı sağlama açısından büyük öneme sahiptir. Bir de bilim felsefesi

paradigmalarından Kuhn’un bakış açısını35 düşündüğümüz zaman Kindî yapmış olduğu

ispat modern matematikle açıklanmaya çalışıldığında daha iyi bir ispat olabileceği

düşünülmektedir.

Bu çerçevede İlk İslam filozofu Ebu İshak El-Kindî, dönemindeki felsefeyi

İslam’a uyumlu bir biçimde yorumlaması açısından ilgi çekici olduğu kesindir.

Dolaysıyla felsefe alanındaki kavram tanımlamaları ve kendi oluşturduğu sistemi

içerisindeki kullandığı teknikler de ayrı bir önem arz etmektedir. Bir nevi İslam

inancındaki Tanrı-evren-insan ilişkisine dair felsefi anlayışımızın temeli

oluşturmaktadır. Ayrıca âlemin mahiyeti ve âlemin sonsuzluğu konularında tartıştığı

sonsuzluk kavramını Kindî mantıki önermeleri kullanarak matematiksel denebilecek bir

yolla açıklamaya çalışması da bir matematikçi olarak bizlerin ilgisini çekmiştir.

Sonsuzluk kavramı âlemin yaratılmışlığı ve ezeliliği ile ilgili olduğu için

kelamcıları da yakından ilgilendirir. Bu konudaki görüşleri, ana hatlarıyla söyleyecek

olursak, cisimler olaylardan önce var olamazlar. Olaylardan önce var olmayan şeyler ise

onlar gibi sonradan olan varlıklardır, yani muhdestirler. Olaydan önce var olmayan bir

cisim, ya olayla beraber var olur veyahut ondan sonra meydana gelir. Her iki hal de

cismin hudûsunu yani sonradan oluşunu gösterir. Cismin olaylardan önce mevcut

olamayacağının ispatı ise şöyledir: Bir cisim var olduğu zaman onun cüzleri ya bir arada

veya ayrı ayrı olabilirler. Çünkü cüzlerin bitişik veya ayrık olması arasında üçüncü bir

                                                            35Uyanık, Mevlüt.Felsefi Düşünceye Çağrı, Elis Yay., Ankara, s.95-97

22  

aşama yoktur. Bitişik yahut ayrık olmak ise bir olaydır. O halde cisim olaydan önce var

olamaz. Olaydan önce var olmayan cisim ise tıpkı onu meydana getiren olay gibi

sonradan olmadır. Çünkü cisim ya olayla beraber yahut da olaydan sonra meydana

gelmiştir. Cisim ve arazların hâdis yani sonradan oldukları ispat edilince âlemin de

hâdis olduğu sonucu çıkar. Âlem hâdis olunca, kendisine biçim veren bir muhdise

muhtaç olur. Bir yazı, yazarsız yazılamaz. Bir bina, bir mimar veya yapıcı olmaksızın

vücût bulamaz. Bir resim, ressamsız çizilemez. O halde bunlardan çok daha incelik ve

acayiplik taşıyan âlemin de bir muhdisi veya yaratanı bulunmalıdır. Bu muhdis veya

yaratan da Yüce Allah'tır.36

İslam filozoflarından da Kindî Allah'ın varlığını ispat etmek için ilkin âlemin

hâdis olduğunu ispata çalışmıştır. Ona göre âlem hâdistir. Çünkü kadim olsaydı, bilfiil

gerçekleşmezdi. Kadim olan, sonsuz olandır. Sonsuz olan da bilkuvve mevcut olur.

Âlem bilfiil gerçekleştiğine göre hâdistir.37 Kindî, felsefi risalelerinde âlemin ezeliliğini

savunan dehrilere karşı onun yaratılmış olduğunu mantıki ve matematik delillerle

temellendirmeye çalışmaktadır.38

“Hiçbir nicelik bilfiil sonsuz olamaz” diyen Kindî bunu altı aksiyomdan

hareketle sonsuz bir niceliğin imkânsızlığını kanıtlamış; âlem de tümüyle (cirmü’l küll)

bir nicelik sayıldığına göre onun sınırlı ve sonlu olması gerektiği, buradan da her sonlu

şeyin yaratılmış olduğu; zira yaratan ve yaratılan izafi kavramlar olduğundan her

yaratılanın bir yaratıcısı bulunduğu, son tahlilde ise bunun Allah olduğu sonucuna

ulaşmıştır.39

Görüldüğü üzere bu konuda kelamcıların âlemin kadim olmasına karşı çıkıp

muhdes yani yaratılmış olduğu üzerinde ısrarla durmalarının nedeni, onların âlemin

hudûsuna dayanarak Allah’ın varlığını ispatlama imkânına sahip olmalarıdır. Âlemin

hudûsuna dayanarak bir yoktan var edeni (muhdis) ispatlama çalışmışlardır.

Kelamcıların Allah’ın varlığını ve sıfatlarını ispatlamada dayandıkları en önemli

delilerden biri budur. İslam kültür ve düşünce tarihinde kelamdan felsefeye geçişi

                                                            36Çubukçu, İbrahim Agah. İslam Felsefesinde Allah’ın Varlığının Delilleri, Ankara Ünv. İlahiyat Fak. Yay., Ankara. 1967, s.12 37Kindî, a.g.e., s.148-149 38Kindî, a.g.e., s.11 39Kindî, a.g.e., s.50 

23  

sağlayan ve ilk İslam filozofu olarak kabul edilen Kindi de matematiksel bir yöntemle

Âlemin hudûsuna değinmektedir.

Eğer âlemin ezeli olduğu kabul edilirse, bu yaklaşım kadim varlıkların

çokluğuna yol açması nedeniyle Tanrı’nın mutlak yaratıcı olarak varlığı ile birliğini

ispat etmede bir güçlük teşkil etmesinden dolayı büyük bir problem oluşturur.

Dolayısıyla kelamcılara göre ezelî âlem fikrinin, âlemin Tanrı tarafından yaratılmış

olması gerçeğine aykırı olduğu söylenebilir. Buna göre kelamcılar âlemin ezelîliğini

savunan filozoflara karşı çıkmakta ve âlemin belli bir zamanda yaratılmış olduğunu öne

sürmektedirler.

Âlemin hudûsuna dayanarak bir yoktan var edeni (muhdis) ispatlama yöntemine

kelamcılar hudûs delili adını vermişlerdir. Kelamcıların Allah’ın varlığını ve sıfatlarını

ispatlamada dayandıkları en önemli delilerden biri budur. Hudûs delili, âlemin muhdes

olduğu, her muhdesin var olmada bir muhdise ihtiyaç duyduğu kıyasına dayanmaktadır.

Bu yöntem birçok şeyin sebep-sonuç ilişkisi içerisinde birbirini gerektirmesi esasına

dayanmaktadır. Şöyle ki; Allah’ın varlığını ispat etmek için öncelikle evrenin muhdes

olduğunu; evrenin muhdes olduğunu ispatlamak için evrenin cisimlerden meydana

geldiğini; cisimlerin varlığını ve cisimlerin sonlu olduğunu ispatlamak için ferdî

cevheri; ferdî cevheri ispat etmek için de cevherlerin arazsız olamayacağınıve arazların

da muhdes olduğunu ispatlamak gerekmektedir. Sırasıyla bunlar ispatlandıktan sonra

şöyle bir kıyas kurulur:40

Her sonradan var olan/hadis bir var edene/muhdise ihtiyaç duyar.

Âlem sonradan var olmuştur.

Öyleyse âlemi yoktan var eden biri vardır.41

Âlemin hudûsu ve ezeliliği konuları eğer derinlemesine tartışılıp incelenmek

isteniyorsa öncelikle sonsuz kavramının çok iyi analiz edilmesi gerekmektedir. Çünkü

bu konuda yapılan tartışmaların büyük çoğunluğunda sonsuzluk kavramından hareket

edilmektedir. Yani Tanrı’nın, zamanın ve evrenin sırları sonsuzluğa gömülmüştür. İşte

                                                            40Erdemci, Cemalettin. “Proclus’un Alemin Kıdemine İlişkin Delilleri Üzerine”, Hitit Üniv. İlahiyat Fak. Dergisi , Çorum, 2006/1, c . V , sayı : 9, s.154 41Erdemci, a.g.e., s.154

24  

biz bu tez yardımıyla, sonsuzluk kavramını analiz edip, matematik diliyle anlamaya ve

açıklamaya çalışacağız.

Bütün bunları yaparken bir noktaya daha değinmemiz gerekiyor.

İncelemelerimiz esnasında sıklıkla atıfta bulunacağımız “Sonsuzluğun Keşfi” adlı bir

radyo programının deşifresi bulunacaktır. Selin Girit'in yayına hazırlayıp sunduğu dört

bölümlük dizi, BBC Türkçe'de ilk olarak 4-12 Eylül 2007 tarihleri arasında yayımlandı.

Bizler açısından bu programın önemi ise programda, dönemin en önemli bilim

adamlarının, astronotların, astrofizikçilerin, din adamlarının ve psikologların

görüşlerinin yer almasıdır. İşte bu yüzden bu program bizim için oldukça değerlidir ve

önemlidir. Şimdi bütün bu bilgiler ışığında sonsuzluk kavramını, kavramsal olarak ele

almaya başlayalım.

Sonsuzluk kavramı öylesine önemli ve öylesine kafa karıştırıcı bir kavram ki

kimi zamanlar sonsuzluğun yasaklanması gerektiğini, matematiğe dâhil edilmesi

durumunda konunun tüm mantıksal yapısını yok edeceğini sonsuz şeylere dair bir sezgi

olmadığı için her tür yanılgıya düşülebileceğini iddia edenler ortaya çıkmıştı. 42 Bu

kavram üzerinde düşünüp müzakere etmek istiyoruz ve korkularımızı yenmek istiyoruz.

Sonsuzluk hakkında düşünmeye çalışmanın çok karmaşık bir şey olması birçok insanın

korkunun pençesinde kalmasına yol açtı. Üstelik sonsuzluk hakkında çok derin

düşünmenin deliliğe neden olmasından endişeleniyorlardı. Antik Yunanlılar bile buna

inanıyordu. Hatta sonsuzluk korkusu için “Apeironfobi”diye bir kelime de üretildi.

Malum olduğu üzere Apeiron yunanca sınırsızlık demektir. Sonsuzluğunda tabi

herhangi bir sınırı bulunmadığından dolayı “Apeironfobi” kelimesi üretilmiştir. 43

Sonsuzluğun matematik, fizik ve teoloji ile iç içe olduğunu biliyoruz. Bu

durumda bir üst “sonsuz” kavramı tanımlamaya çalışırsak; yani fizik, matematik ve

teoloji üstü bir sonsuzluk tanımı mevcut olsa acaba böyle bir kavram bizi bu

problemlerin çözümlerini kolaylaştırabilir mi ya da bu kavramı bahsi geçen alanlara

indirgesek çözüme daha kolay mı ulaşırız?

                                                            42BBC, Sonsuzluğun Keşfi, 2007 “Sonsuzluğun Keşfi” belgeseli, Selin Girit'in yayına hazırlayıp sunduğu dört bölümlük dizi, BBC Türkçe'de ilk olarak 4-12 Eylül 2007 tarihleri arasında yayımlandı: http://www.bbc.co.uk/turkish/indepth/story/2007/09/070911_infinity_programmes.shtml(Erişim:27.01.2016) 43BBC, Sonsuzluğun Keşfi, 2007

25  

İşte bütün bunların cevaplarını ve sonsuzluğa ait bilgilerimizi burada ortaya

koymaya çalışacağız. Kavramsal temellendirmeye geçmeden önce genel olarak bir giriş

yapacak olursak, felsefe tarihinin “Muallim-i evvel”i olan Aristoteles, “sonsuz bir şey

var” fikri şu beş şeyden kaynaklansa gerek der:

1- Zaman’dan (nitekim o sonsuz)

2- Büyüklüklerdeki bölünmelerden (nitekim matematikçiler de “sonsuz”

kavramını kullanıyor.)

3- Ancak ‘sonsuz’, oluşan nesnenin ondan ayrıldığı şey ise, ancak bu biçimde

oluşan ve yok oluşun ortadan kalkmayacağı olgusundan.

4- ‘Sınırlı olan’ın hep bir sona varması, dolayısıyla bir nesne hep bir başka

nesne için zorunlu olarak bir sınır olsa hiçbir sınırın olmaması zorunlu olur

görüşünden.

5- Herkes için sorun oluşturan en önemli, en başta gelen gerekçe de şudur:

Düşüncede sınır olmadığından; sayı, matematiksel nicelikler ve gökyüzünün

ötesi sonsuz görünüyor. Ne ki ‘ötesi’ sonsuz olsa cisim de dünyalar da

sonsuz görünür, çünkü bir yerdeki boşluk başka bir yerdekinden niye çok

olsun? Dolayısıyla kütle (mekân-uzay) bir yerde ise o her yerdedir de.

‘Boşluk’ ve ‘sonsuz bir yer’ olsa cismin de sonsuz olması zorunlu olur.

Çünkü öteki nesnelerde olası olmakla var olmak arasında hiçbir fark yok.44

Konuyla ilgili olarak Aristoteles devam eder: Öte yandan ‘sonsuzluk’ üzerine

düşünme, içinde bir sorun taşıyor: hem sonsuzluğun var olmadığını kabul edenler için

hem de sonsuzluğun var olduğunu kabul edenler içinbirçok olanaksız şey söz konusu

oluyor. Ayrıca acaba ‘sonsuz’ nasıl konacak? Bir töz olarak mı, yoksa kendi başına

herhangi bir doğa için bir ilinek olarak mı? Ya da hiçbiri değil; yine de sonsuz bir şey

ya da sayıca sonsuz şeyler için hiç de yok değil mi? Doğa bilimcisinin en çok

araştıracağı şey duyulur sonsuz bir büyüklüğün olup olmadığı olması nispeten bize bir

kolaylık vermektedir. İmdi ilkin ‘sonsuz’un kaç anlamda kullanıldığı belirlenmelidir:

Bir anlamda, doğal olarak baştan sona gidilecek bir şey olmadığı için baştan sona

gidilemeyen şeye ‘sonsuz’ denir; bu, tıpkı sesin görülememesi gibidir. Bir başka

                                                            44Aristoteles, Fizik, Çev. Saffet Babür, Yapı Kredi Yay., 2. Baskı, 2001, İstanbul, s.109(203 b 15)

26  

anlamda, sonu olmayan bir yolu varmış gibi olan, ama bir yolu ya da sınırı olmayan

şeydir. Bir de her şey ya ekleme ya bölme ya da her ikisi açısından sonsuzdur.45

Durumun giriftliğini gösteren bu tespitlerden sonra, felsefi düşünce de önemli olan

soru sormak olduğunu vurgulamak istiyoruz. Evrenin özü nedir, mahiyeti nedir, sonlu

mudur, şeklinde sorulacak bir soruya muhtelif cevaplar üretilebilir. Yani evrenin hem

sonluluğunu hem de sonsuzluğunu aynı anda geçerli olduğunu iddia eden söylemler,

paradigmalar vardır. Kant’ın diliyle buna antinomi (paradoks) diyoruz. 46 Paradoksu

aralamak için şöyle bir soru ile meseleyi müzakereye başlamak istiyoruz: Bir elma

yığını düşünün ve içerisinden birkaç tane elma alın. Eğer daha fazla almak isterseniz

birkaç tana daha alabilirsiniz. Hatta daha çok isterseniz yüzlerce alabilirsiniz. Ama elma

yığınınız hiç eksilmeyecek. Ne dersiniz, bu mümkün mü? Bir çelişki mi yoksa bir

paradoks mu?

Çincede ‘paradoks’ sözcüğü, ‘mızrak’ sözcüğünü simgeleyen ‘pin’ karakteriyle,

‘kalkan’ sözcüğünü simgeleyen ‘yin’ karakterinin yan yana getirilmesiyle yazılır:

‘pinyin.’ Bunun nedeni, M.Ö.3. yüzyıl felsefe yazıtlarından ‘Han Feizi’de anlatılan bir

öyküye dayanmakta. Öyküde bir adam, mızrağıyla kalkanını satmaya çalışmaktadır.

Etrafında toplanan kalabalıktan birisi öne çıkıp mızrağın ne kadar iyi olduğunu sorar.

Adam, mızrağının ‘dünyadaki herhangi bir kalkanı delebilecek kadar güçlü’ olduğunu

söyler. Bir başkası kalkanı merak edip, “peki ya kalkan nasıl?” diye sorar. Adam

kalkanın da, “dünyadaki herhangi bir mızrağın darbesine karşı koyabilecek kadar

dayanıklı” olduğunu söyler. Bir üçüncüsü aykırılığı sezinlemiştir: “Peki, birisi o mızrağı

alıp kalkanına saldırırsa sonuç ne olur?” diye sorar ve satıcı bu soruya cevap veremez.

Bu durum o günden beridir, “kendi içinde çelişkili” deyimine yol açmıştır. Bir önceki

örnekteki gibi; satıcının iddiaları ayrı ayrı doğru olabilir, fakat aynı anda ve aynı yerde

doğru olamazlar. Çünkü mızrak kalkanı delecek olsa, iddialardan biri, aksi halde diğeri

geçerliliğini yitirir.47

Paradoks, genel inançlara aykırı düşen önerme, sezgisel olarak kabul edilmiş olan

öncüllerden yola çıkarak, bu öncüllerden tümden gelimsel akıl yürütme ile ya bir çelişki

                                                            45Aristoteles, a.g.e., s. 111(203 b 30) 46Çelik, Sara.Modern Felsefe II, T.C. Anadolu Ünv. Yay. No: 2409, Eskişehir, 2013 s.18 47Bilim ve Teknik Dergisi, Fizik Paradoksları Eki, Nisan, 2008, s: 2-3 

27  

yani doğru olamayan, ya da temel inançlara aykırı olan bir sonuç çıkarma durumu

olarak tanımlanmaktadır.48 Paradoks genelde, her biri ayrı ayrı doğru görünen, fakat

görünürde çelişkiyle sonuçlanan bir veya birkaç önermeden oluşur. Bu genel tanım

içerisinde paradoksun farklı biçimleri vardır. Örneğin, önermeler doğru olup, gerçekten

de varılan sonucu ima etmekle birlikte; sonuç aslında bir çelişki olmayıp, önseziyi

zorlayan bir durum oluşturmaktadır. Ya da sonuç gerçekten bir çelişki oluşturmakta,

fakat doğru olan önermeler aslında bu sonucu ima etmemektedir. Bir üçüncü olasılık,

önermelerden bazılarının doğru olmaması veya bir arada doğru olmalarının imkânsız

olmasıdır. Paradoks sözcüğü bu nedenlerle, çoğu zaman ‘çelişki’ sözcüğüyle eşanlamlı

olarak kullanılır. Fakat barındırdığı aykırılık, bir çelişkideki kadar açık ve basit

değildir. 49 Ama “mantıksal çatışkı” başlığı altında ele alarak bir önermenin gerek

kendisinden gerek değillemesinden çelişme türetilmesi olarak ele alanlar da vardır.50

Paradokslarda haklılıkları aynı şekilde gösterilebilen birbiriyle çelişik olan

kuramlar ortaya çıkar. Birbiriyle çelişik iki savdan her biri ilkelerden doğru olarak

uslamlanmıştır ve bunların her biri doğru olarak görünür. Ama çelişik iki önermeden

biri doğru öteki yanlış olmalıdır. 51 Buradaki asıl maksat çelişkinin görünmesini

sağladıktan sonra, kullanılan yöntemlerden birinin yanlış uygulandığının görülmesidir.

0=1 eşitliğinin bulunduğu paradokslar kullanılan işlemlerden birinde hata olduğunu ve

bu hatanın hangi aşamada yapıldığını görmemize yardımcı olur.

Evet, yukarıdaki elmalı sorumuzun cevabına bakarsak sonsuz elma yığınımız

olması durumunda bu mümkün gözüküyor. Bunun ise bir paradoks olduğunu görürüz.

İşte sonsuzluk bizim için paradokslarla dolu bir kavramdır. İnsanların teolojik açıdan

dışlanmasına, dünya ve ahretini heba ettiğini iddia edilmesine kadar varan tehditler bu

kavram merkezli yapılmaktadır. Bu ötekileştirme salt bir yönden değil birkaç yönden

felsefi, matematiksel ve teolojik açıdan gelebilir. Çünkü her üç alanın da birbirinden

önemli bazı sorularının cevapları “sonsuz ”da kesişmektedir. Evren, Tanrı, yaratılış,

zaman gibi kavramların yer aldığı problemler sonsuzluğu keşfettiğimiz kadar

cevaplanabilmektedir.

                                                            48Cevizci, Ahmet. Felsefe Terimleri Sözlüğü, Paradigma Yayınevi, İstanbul, 2003, s.317 49Bilim ve Teknik Dergisi, Fizik Paradoksları Eki, Nisan, 2008, Ankara, s. 2-3 50Grünberg Teo. Onart, Adnan. Vd.,Mantık Terimleri Sözlüğü, Metu Pres, 3. Basım, Ankara, 2003, s.86 51Çelik, a.g.e., s.18 

28  

1. İLK ÇAĞ FELSEFESİ BAĞLAMINDA EVRENİN ÖZÜ SORUNSALI

 

Bu hususu matematik diliyle açıklayacak olursak, her şey nihai olanla ilgilidir.

Burada “sonsuz büyük” ve “sonsuz küçük” kavramları devreye girer. Çoğu insan

sonsuzluk hakkında düşündüğünde gözünün önüne sonsuz bir evreni getirir. Dünyanın

dışına bir seyahat yaptığımızı hayal edelim, düz bir çizgi üzerinde saniyede 1000 km

hızla yol aldığımızı farz edelim. Bir son noktaya ulaşır mıyız; yoksa seyahatimiz

sonsuza dek sürer mi? Sonu olmayan bir dünya biz insanların ilk kez ölçüm yapmayı ve

kürelerin nasıl hareket ettiğini öğrenmemizden bu yana akılcılaştırmaya çalıştığımız bir

şey olup, hala da yapılır. 52

Ne kadar geriye gidersek gidelim insanın kendisini çevreleyen evren hakkında

genel bir tasavvura sahip olduğunu da biliyoruz. Başka bir deyişle her dönemde her

topluluğun mutlaka bir dünya görüşü olmuştur. Yunan dünyasında, yazılı kültür öncesi

toplumun sahip olduğu, deyim yerindeyse insanın çocukluk çağına ait olan bu

tasavvurları hakkında neler biliyoruz? Bunu anlamak için herhalde en doğru yol, bugün

de ilkel bir hayat ve toplumsal örgütlenme durumunda bulunan topluluklara bakmak ve

onların nasıl bir evren tasavvuruna sahip olduklarını görmektir. Bunu araştırdığımızda

bu tür toplulukların temelde dinsel-efsanevi diyebileceğimiz bir evren tasavvuruna sahip

olduklarını görmekteyiz. Böyle bir tasavvurun tarihsel kaynakları belli değildir. O,

bütün bir topluluğun kolektif bir ürünü olarak karşımıza çıkmıştır. İlkel topluluklarda en

sık rastlanılan şey, onların animizimleridir. Animizim, bilindiği gibi bütün doğayı ve

doğal varlıkları, bizimkine benzeyen iradelerle donatmak ve canlı varlıklarla cansız

varlıklar arasında hiçbir ayrım yapmamaktır.53

Maddenin yapısı, evrenin büyüklüğü ve özellikleri, insanın kendisini tanıması

her çağda üzerinde düşünülen konulardır. Bu konular, bizim için değerli olan birçok

şeyin kaynağı olmaları bakımından daha uzunca bir süre incelenmesi gerekecektir.

                                                            52BBC, Sonsuzluğun Keşfi, 2007 53Arslan, Ahmet.İkçağ Felsefe Tarihi 1, Ege Ünv. Basımevi, İzmir, 1995, s.30 Uyanık, a.g.e., s.28-33

29  

Sokrates’den önceki Grek düşüncesinin, asıl ilgi alanı, etraflarını kuşatmakta

olan Fiziksel Varlık, yani tabiat üzerine, ilk dönemde de hassaten “Tabiat’ın orijini

(mebdei/arkhe) meselesi” teksif edilmiştir. Sokrates, bu ilginin mecrasını değiştirmiş,

felsefenin konusunu tabiat, kozmoloji, kozmogoni ve arke gibi konulardan insan ve

toplum konularına çevirmiştir. Elbette ki, bu, Sokrates ve sonrası Grek düşüncesinin

fiziksel varlık ile bütün ilgisini koparıp attığı ve bu mevzu üzerinde hiç fikir mesaisi

sarf etmedikleri anlamına gelmez. Bu konudaki ilmî ve felsefî düşünceler, çalışmalar

yine devam etmiştir; hatta bütün kadim çağların en yetkin fizik ve kozmoloji anlayışı

olan, tesirleri on yedinci yüzyıla kadar ve belirli bir ölçüde günümüze kadar dahi intikal

eden Aristoteles fiziği ve kozmolojisi de Sokrates’ten sonra tesis edilmiştir.54

Evrenin özü konusunda antik çağdan bu yana çeşitli görüşler ortaya atılmıştır.

Sofistler öncesinde evrenin kozmogonisi hakkında çeşitli tartışmalar söz konusu idi.

Yani arkhenin tek bir şey olduğu konusunda tartışmalar vardı. Bu tartışmalar arkhenin

su, ateş, hava ve toprak maddelerinden yalnızca biri olduğu konusunda yoğunlaşıyordu.

Bunları ilk kez uzlaştıran ise Empedokles oldu. Aristoteles, Thales’in (M.Ö. 625-546)

şu görüşünden bahseder: “su, her şeyin arkhesi, ilkesi, doğası nedeni, tözüdür. 55

Anaksimandros (M.Ö. 610-547) da Thales gibi ana maddenin, arkhenin, ilkenin veya

tözün ne olduğunu kendi kendisine sorar ve onun “aperion” olduğunu söyler.

Yunancada aperion kelimesi hem nicelik bakımından sınırsız olan hem de nitelik

bakımından belirsiz olan anlamına alınması mümkün bir kelimedir. Onun bu

anlamlardan birincisini mi, ikincisini mi veya onların her ikisini de mi kastettiğinden,

felsefesini anlamak ve açıklamak bakımından çok farklı ve önemli sonuçlar çıkar.56

Anaksimenes (M.Ö. 585-528), Anaksimandros’un aperion’undan vazgeçerek töz olarak

havayı kabul etmiştir.57 Daha sonra Pythagoras (M.Ö. 590), Miletos filozoflarının suda,

havada veya aperionda aradıkları şeyin aslında sayılarda ve onlar arasındaki oranlarda

aranması gerektiğini söyleyecektir. Yani, evrenin ilkesi, arkhesi, tözü sayıdır

demektedir. Pythagorasçıların sayılar derken bizim bugün anladığımız anlamda

sayılardan oldukça farklı bir şey düşündüklerini de hatırlatmamız gerekir.58

                                                            54Hocaoğlu, Durmuş.Sokrates Öncesi Grek Felsefesi l, Ders Notu, İstanbul, 2007, s.3 55 Aristoteles, Metafizik,Çev. Ahmet Arslan, Sosyal Yay., İstanbul, 3. Baskı, 2012, s.156 (983 b 20) 56Arslan, Ahmet.İkçağ Felsefe Tarihi 1, Ege Ünv. Basımevi, İzmir, 1995, s.143 57Arslan, a.g.e. s.55 58Arslan, a.g.e. s.74-75 

30  

Herakleitos (M.Ö. 540) birçok bakımdan kendisinden evvel gelen Miletos

filozoflarından farklı değildir. Bu ilk doğa filozofları neyi arıyorlardı? Evrendeki bütün

varlıkların temelinde olan ana maddeyi, ilkeyi, arkheyi, değişen şeylerin altında bulunan

değişmeyen, aynı kalan varlığı anlamak ve açıklamak istiyorlardı. Herakleitos’ta aynı

şeyi aramaktadır. Herakleitos’un da aradığı şey, evrendeki değişik nesnelerin

kendisinden gelip kendisine doğru gittikleri ilk madde, ana maddedir; çokluğun

temelinde bulunan birlik, her şeyin kendisinden yapılmış olduğu tözdür. Thales bu tözü

“su”da, Anaksimenes havada, Anaksimandrosaperion’da bulmuştu. Herakleitos ise

bunun onlardan hiçbiri olmayıp ateş olduğunu söylemektedir: “Herkes için aynı olan bu

dünyayı Tanrılar veya insanlardan hiçbiri yapmamıştır. O her zaman için ateş olmuştur,

şimdi ateştir ve her zaman ateş olarak kalacaktır: bundan kasıt ölçü ile yanan ve ölçü ile

sönen canlı bir ateştir”.59

Parmenides (M.Ö. 6. yy sonu) ile birlikte Sokrates öncesi Yunan felsefesinde bir

dönem bitmekte ve yeni bir dönem açılmaktadır. Biten dönem tekçi (monist)

materyalistler dönemidir; başlayacak olan dönem ise çoğulcu (pluralist) materyalistler

dönemidir. Bu yeni dönemi de başlıca üç ünlü filozof temsil edecektir. Bunlar

Empedokles, Anaksagoras ve Demokritos’tur. Parmenides’ten önceki filozoflar,

Herakleitos da içlerinde olmak üzere tek bir ana maddenin varlığını kabul

etmekteydiler. Bu su, hava, ateş veya aperiondu. Öte yandan bu maddenin değişerek

diğer varlıkları oluşturduğunu düşünmekteydiler. Herakleitos bu arada bir başka şeyin

farkına varmıştı: Hem bir ana maddeyi, hem de değişmeyi kabul etmekte problem vardı.

Eğer gerçekten değişmeyi veya oluşu kabul ediyorsak, değişmeyen ana madde

varsayımını devam ettirmekte bir güçlük vardı. Çünkü sürekli değişen ve başkalaşan bir

şey, artık o şey veya belli bir şey olmaktan çıkmak zorundaydı.60

Çoğulcu materyalistlerin ilki Empedoklestir. Empedokles’in özgünlüğünü teşkil

eden önemli iki düşüncesi arkheyi birden fazla kabul etmesi ve yine kendisinden önce

gelen filozoflardan farklı olarak maddi ilkenin yanında ve ondan ayrı bir hareket ettirici

ilkenin veya Aristoteles’in terminolojisiyle söylersek fail nedenin varlığını tasdik

etmesidir.61 Birden fazla sayıda olan varlıkları veya varlık kökleri, varlık ilkelerini bir

                                                            59Arslan, a.g.e., s.98 60Arslan, a.g.e., s.129-130 61Arslan, a.g.e., s.143 

31  

araya getirmek ve ayırmak suretiyle de özel varlıkların varlığını, çokluğu, değişmeyi

açıklamaya çalışacaktır. Empedokles’te bu varlıkların sayısı dörttür ve onlara unsurlar

adı verilir.62 “Önce her şeyin dört kökünü hatırlayacak olursak: parlayan Zeus, hayat

veren Hera, karanlık Hades ve gözyaşlarıyla ölümlü insanlar için hayat kaynaklarını

besleyen Nestis”. Bu dört varlığı buradaki mitolojik kılıklarından soyarsak karşımıza şu

çıkar: Ateş (Zeus), Toprak (Hera), Hava (Hades) ve Su (Nestis) (Bu arada

Empedokles’in unsurlarını Tanrılar olarak adlandırması bizi şaşırtmamalıdır: Çünkü bu

dönemin bütün düşünürlerinin ana varlık olarak gördükleri şeyi bu unvanla

yücelttiklerini biliyoruz. Burada Tanrı kelimesinin dinsel bir anlamda kullanılmadığına

tekrar işaret etmemiz gerekir. Empedokles, hiç şüphesiz Burnet’in de işaret ettiği gibi

unsurlarına yalvarmıyor, onlara kurbanlar kestirmiyordu. O halde burada aslında mecazi

bir ifade söz konusudur. Bu varlıklar ezeli, ebedi, ölümsüz varlıklar olarak kabul

edildiklerinden aralarındaki bu önemli benzerlikten faydalanılarak onların Tanrılar

olduğu söylenmektedir.63

O halde elimizde 4 varlık kökü veya 4 unsur vardır. Dünyadaki sonsuz sayıdaki

varlığı bunlarla nasıl açıklayacağız? Empedokles bu unsurların yalnızca kendilerini

değil, miktar bakımından farklı birleşimlerini göz önüne alırsak elimizde istediğimiz

kadar farklı varlıkların meydana gelmesi imkânının olacağını söyler. Gerçekte de bu

konu ile ilgili olarak Empedokles sınırlı sayıda boyaları farklı miktarlarda birbirine

karıştırarak istediği kadar renk elde eden bir ressam örneğine başvurmaktadır.64

Biz bu konuyu farklı bir şekilde ele alalım. Bir taraftan bütünden parçaya diğer

taraftan da parçadan bütüne gidelim. Tek bir parçayı, ikili öbeklendirme yoluyla hep

daha küçük parçalara bölecek olsak, aslında bölmenin en küçük parçaları bile bölme

işlemi başlamadan önce bütünde vardır. Onların varlığı önceden bellidir; çünkü ondan

kaçamayacakları ve bölme süreci kaçınılmaz biçimde onlara ulaştığında,

bulunabilecekleri sınırlı bir biçime ait olmaları, örtük olarak bunu gerektirir. Bu bölerek

sonsuzluğa ulaşma çabasıdır. Bir başka sonsuzluğu, yani Evren’in sonsuzluğunu

düşünürken tam tersi bir sonuca ulaşırız. Bu durumda, sonsuz dizinin her nesnesini

içeren, deneysel olarak sezilebilir bir bütünlük yoktur ve bu dizi, bizim sezgimizle bir

                                                            62Arslan, a.g.e., s.131 63Arslan, a.g.e., s.145 64Arslan, a.g.e., s.145 

32  

araya getirilmiş olan şeylerin ötesinde bulunan bir çevrenin nesnelerinin ardışık

toplamıyla ilerler.65

Kant ilk durumda, sonsuz bütünün ardışık elemanları, daha önce var olan bir

bütünde “bulunurlar” diye yazar. İkincisinde ise hep sonlu ve hep elde edilebilen, kısmi

bütünlüğün dışında “aranırlar”. Bu biçimde o, hiç koşulsuz ve sınırsız bir biçimde

gelişmeyen, hep sınırlayıcı ve biçimsel düzene gönderme yapabilen her hakiki

sonsuzluğun doğasını belirler. İkinci sonsuzluk, yani Evren’in büyüklüğünün

sonsuzluğu, genellikle sonsuz olarak düşünülemez. Onu oluşturan sonlu unsurların

tekrarıyla, sonsuz değil de sonlu olarak kabul edilir.66

Sonsuzluk kitabının yazarı John D. Barrow’a67 göre, binlerce yıldır evren nedir

sorusu üzerine kafa yormuş tüm düşünürler evrenin ne kadar büyük ya da küçük olduğu

hakkındaki görüşlerine bakılmaksızın hep uzayın sabit bir arka fonu olduğunu hayal

etmişti. Ve bu fon üzerinde gezegenler yıldızlar meteorlar kuyruklu yıldızlar gibi

cisimlerin gelip geçtiğini düşünüyorlardı. Ama fon sabitti ve bu cisimlerin hareketleri

bu sabit fona göre ölçülüyordu. Einstein’ın yer çekimi teorisinin ilk tahmini ve en

önemli keşfi uzayın değişmeyen statik bir fonunun olmadığıydı. Evrenin tümü içindeki

her şey bir değişim içindeydi. Gözlemciler aslında bu değişim halinin yayılmacı bir

yapısının olduğunu ortaya çıkardı. Şöyle ki: uzak galaksiler birbirlerinden daha da

uzaklaşıyor ve aralarında mesafe arttıkça birbirlerinden uzaklaşma hızları da

artıyor.68Astronomlar evrenin ani genişlemesine yol açan büyük patlamaya bir göz atma

şansına sahip oldular. Bu, arka fondaki kozmik radyasyonu gösteren Coby isimli bir

uydu aracılığıyla gerçekleşti. Coby, 14 milyar yıl önce gerçekleşen bu devasa

patlamanın uzayın derinliği içerisinde dolaşan kalıntılarını tespit etti.69

Bu noktada eğer evrenin sonsuza dek uzandığını düşünüyorsak bunu günlük

hayatımızda görebilir miyiz, sorusu önem kazanır. Amerikan matematikçi, bilgisayar

bilimcisi, bilim kurgu yazarı ve filozof RudyRucker’e70 göre evet görebiliriz: “Günlük

                                                            65Zellini, Paolo, Sonsuzun Kısa Tarihi, Çev. Fisun Demir, Dost Yay., 2. Baskı, Ankara, 2011, s.32 66Zellini, a.g.e.,s.32 67The Infinite Book: A Short Guide to the Boundless, Timeless and Endless, kitabının yazarı ve Professor of Mathematical Sciences at the University of Cambridge 68BBC, Sonsuzluğun Keşfi, 2007 69BBC, Sonsuzluğun Keşfi, 2007 70BBC, Sonsuzluğun Keşfi, 2007 

33  

hayatta birçok şey sanki sonsuzmuş gibi görünür. Mesela kapıya doğru yürüyorum

diyelim. Benimle kapı kolu arasındaki konumlarım sayısı sonsuzmuş gibi gelir. Ve

uzayın kesintisiz ve ebediyen düzgün olduğuna inanıyorsak o zaman herhangi iki nokta

arasında sonsuz sayıda konum bulunacaktır.” Rudy Rucker gibi gerçekliğin sonsuz

sayıda bölünebilir noktadan oluştuğunu savunanlar olduğu gibi bunun tam aksi kanaati

taşıyanlar da vardır. Atomcular, uzayın sonsuz sayıda bölünebilir noktaya

ayrılabileceğini düşünüyorlardı. Zenon bu düşünceye karşı çıkan bir dizi çelişki ortaya

koydu. Thales, dünyayı su üzerinde yüzen bir tepsi gibi düşünmekteydi. Ancak bu

durumda bu tepsiyi ve bu tepsinin üzerinde yüzdüğü su kütlesini taşıyan ve onların

altında bulunan şeyin ne olduğu sorusu ortaya çıkmaktaydı. Yine bu durumda

akşamüstü batıda batan güneşin ertesi sabah dünyanın doğusundan tekrar nasıl

doğduğunu açıklamak gerekiyordu. Bunu açıklamak için batıda batan güneşin yandan

geri dönerek tekrar doğuya geldiği, ancak dünyanın kuzeyinde bulunan yüksek

dağlardan ötürü onun bu geri dönüşünü göremediğimiz varsayımı ortaya atılmıştı. Oysa

Anaksimandros dünya bir tepsi değil, genişliği yüksekliğinin üç misli olan bir silindir

biçimindedir ve güneş batıda battıktan sonra bu silindirin altından dolaşarak ertesi gün

doğudan tekrar doğar” dedi.71 Anaksimenes, “havada bir yaprak gibi yüzen” bir masa

kapağı şeklindeki bir dünyayı düşünür.72

1. Anaximandros’un kozmolojisine dair tasvirî bir şekil. Silindirik bir şekle sahip olan Arz’ın yaşanılır kısmı, silindirin tepsi gibi düz bir satıh olan üst yüzeyi olup, etrafı sularla çevrili büyük bir kara parçasından oluşmaktadır; üstünde hava tabakası vardır, etrafı ise bir ateş halesi ile çevrilidir. Güneş’ten gelen sıcaklık serin hava tarafından tutulmaktadır.*

2. Anaximenes’in Evren tasavvurunu şematize eden bir çizim.

                                                            71 Arslan, a.g.e., s.41-42 72 Arslan, a.g.e., s.53 *Şekiller Hocaoğlu Durmuş, Sokrates Öncesi Grek Felsefesi l, Ders Notu, İstanbul, 2007’den alınmıştır. 

34  

 

Daha sonraki dönemlerde dünyanın yuvarlak olduğu kanısına varılmıştır.

Aristoteles’e göre, küre en mükemmel şekil olduğu için, evren küreseldir ve bir kürenin

merkezi olduğu için evren sonludur. Gökyüzü Üzerine adlı eserinde şöyle yazar;

“Gökyüzünün dairesel bir şekil taşıması zorunludur. Çünkü bu, hem varlığına en uygun

olan hem de doğaca en öndegelen şekildir.” Aristoteles, Yer’in küre biçiminde olmasına

ilişkin olarak şunları söyler; “... onun (Yer’in) şeklinin küre biçimli olması zorunludur...

Yer, ya (kendi başına) küre biçimlidir ya da doğası gereği küre biçimlidir... Görülen

nesneler aracılığıyla da bu açıkça anlaşılıyor. Ay tutulmalarında her zaman belli bir

içbükey çizgi vardır. Dolayısıyla Ay tutulması, yeryüzünün arada kalmasıyla oluyorsa,

bu şeklin nedeni küre biçimli olan yeryüzünün çevresi olsa gerek... Nitekim kuzeye ve

güneye gidenler için yıldızlar aynı görünmüyor.”73

Bu bağlamda Avustralya Astrobiyoloji Merkezinden Paul Charles William

Davies’in74 açıklamasını verebiliriz: 75

Einstein’ın izafiyet teorisine göre uzayın eğrilmesi ya da yamulması ihtimali

vardır. Yani uzayın geometrisi bize okullarda öğretilen geometrilerden farklı olabilir.

İnsanların dünya hakkında kafaları karışırdı eskiden. Dünyanın sonsuza dek uzayıp

gittiğini düşünürlerdi ya da mesela sonuna dek yelken açılabileceğini sona gelince de

kenarından düşüleceğini söylerlerdi. Ama şimdi biliyoruz ki dünya aslında yuvarlaktır.

Dolayısıyla dünyanın sınırlarının bir sonu olduğunu ama herhangi bir sınır ya da bir

kenarı olmadığını söyleyebiliriz. Aynı şekilde 3 boyutlu uzayda sonlu bir şeye ama

sınırı ya da kenarı olmayan bir şeye teknik tabiriyle bir hiperküreye dönüştürülebilir.

Yani ilkesel olarak evren içinde her yere gidebilir etrafında dolaşabilir herhangi bir

engelle karşılaşmayabilirsiniz. Ama yine de bu evrenin sonsuz olduğu anlamına

gelmeyebilir. Evrenin sonlu mu sonsuz mu olduğu gözlemsel astrolojinin yanıt

verebileceği bir sorudur. Ancak bu gözlemleri de sonlu bir doğruluk payıyla

yapabiliyoruz. Yani demek istediğim evrenin şimdiye kadar görebildiğimiz kısmı

aslında evrenin sonsuz olduğunu düşündürmektedir.                                                             73Unat, Yavuz, “Ortaçağ İslâm Astronomisinde Küre Katmanları Sistemi ve Gökyüzü Hareketlerin Fiziksel İzahı”, XIII. Ulusal Astronomi Toplantısı, 2-6 Eylül 2002, Antalya, TÜBİTAK Ulusal Gözlemevi, 2002, s.2 74Australian Centre for Astrobiology and Professor of Mathematical Physics at The University of Adelaide 75BBC, Sonsuzluğun Keşfi, 2007

35  

2. SONSUZLUK ÜZERİNE KAVRAMSAL İNCELEME  

Günlük yaşamımızda, kesin görünen yargılarla gerçeği belirleme çabalarımız,

karşılaştığımız günlük yaşam sorunlarını büyük ölçüde çözmeye yardımcı olmaktadır.

Ama sorunlar, önceden belirlenmiş sınırlı anlam çerçeveleri ile her zaman

çözülemeyebiliyor. Çünkü anlama kabiliyetimiz sınırlı ve anlama yetimizle

sınırlandırmaya çalıştığımız gerçeklik, bu sınırlandırmalardan taşabilmektedir. Yani

düşündüğümüz en büyük sayıdan daha büyük bir sayı olabileceğinden, bu dünyadan

ziyade başka dünyaların olabileceğinden, zaman da “en geriye” gittiğinde ondan da

“eski”sinin olabileceğinden kuşku duyabiliyoruz. Bu durumda “ebedi”, “ezeli”,

“sonsuz”, “sınırsız” kelimelerini kullanmak durumunda kalıyoruz. İşte, yaşam

sorunlarını çözemedikçe, yaşamın anlamına dair oluşturduğumuz kavram çerçeveleri

boşa çıktıkça elimizdeki bilgilerden kuşku duymaya başlıyoruz.

Sonsuz, gerçekliği belirlemeye çalıştığımız ”sonlu” kalıpların işe yaramadığını

gördüğümüzde ortaya çıkıyor. Zihin faaliyeti olarak, sonsuz küçük, sonsuz büyük olanı

düşünüyoruz; geometride, aritmetikte, mantıkta “sonsuz” kavramıyla çalışmaya

başlıyoruz. Bu faaliyetler düşünce dünyamızla sınırlı kalmayıp, o alanın diliyle de

sonsuzdan söz edilmektedir. Dolayısıyla bilimde, felsefede, sanatta, dinde, ahlâk

alanında sonsuzun yerini, önemini görmeye başlıyoruz. Sonlu olandaki sonsuzluk bizi

şaşırtıyor. Mesela, fiziksel bir nesneyi ele aldığımızda, onu betimlerken o nesnenin tüm

niteliklerini tümüyle anlatmanın mümkün olmadığını anlıyoruz. Algımız belli bir

noktaya odaklandığında, diğer noktaların “karanlıkta” kaldığını, “tüm noktaları

birden” algılayamayacağımızı görüyoruz. Sınırlı bir doğru parçasında, “sonsuz”

noktanın olabileceğini, belirli bir zaman dilimini “anlara” indirgediğimizde, bu anların

sonsuz sayıda olabildiğini görüyoruz. Sonsuzluk hem azaltma hem de artırma

yönündedir. Yani sonsuz küçükler ve sonsuz büyükler vardır. En küçük parça nedir?

Bölme nerede durur? Artık bölünemeyeceğini nereden bilebiliriz? En büyük olan

nedir? En büyük olan neyin içindedir? Bahsi geçen parça-bütün, sonlu-sonsuz ilişkisi

düşünce tarihinin en ilgi çekici ve en zor sorularından biri olmuştur. Sınırlı görünen

yetimizle sınırsız sorunlara kafa yormak oldukça güç gözükmektedir. Sonluluğumuz

içinde sonsuzu kavrama çalışması, acaba kendi gücümüzün bitimsiz olması

36  

düşüncesinin tezahürü müdür?76

İnsan olmak, bir manada “anlam küre”de yaşamak demektir. Anlam küre

(Noosfer), insanın oluşturduğu kültürü içine aldığını düşünebileceğimiz sanal bir

küredir. Bizler, bu sanal kürede yaşadıklarımızın anlamlarını oluştururuz. Bir taraftan

da, yaşamın, insanın, evrenin anlamıyla ilgili derdi olan insanın anlam dünyasına sahip

olduğunu söyleyebiliriz. Dolayısıyla, anlam kürede yaşayan her insanın anlam dünyası

yoktur. Anlam küredeki insanların anlam dünyalarının kapısı, yalnızca anlam bilincine

sahip insanlara açılır. Anlam bilincinden yoksun insanlar, anlam kürede yaşadıkları

hâlde anlam dünyasına sahip değildirler. Bununla birlikte yeteneği, algısı, düşüncesi,

düşünme, anlama gücü, bilgisi sınırlı, bitimli, sonlu insan, sonsuzu yaşayabilir mi?

Bunun mümkün olması insanın anlam kürede yaşamasında gizlidir. Anlam dünyasının

sınırsızlığı, anlam küredeki sınırsızlığa doğru kapı açabilir ve insan anlamları

yaşayabildiği için sonsuza uzanabilir. Yani insan, düşüncesi, düş gücü, anlam verme

gücü ile kendini aşma çabası içindedir ve bu çaba anlam küreyi sınırsız genişletmesine

yol açar.77

Bu noktayı biraz daha açacak olursak; kültür anlamküre içinde kültürdür.

Anlamküre anlam dünyası olan insanlarla anlam küredir. Anlam dünyaları anlam

iklimlerinde yaşarlar. Anlam iklimleri anlamküredeki anlam havasını, anlam yapısını

oluşturan bölümlerdir. Alışılmış deyimlerle söylendiğinde, Çin, Hint, İran, Moğol,

Mezopotamya, Mısır, Yunan kültürleri anlam kürenin anlam havasına (zaman içinde

devingenliğini, işleyişini) oluşturan anlam iklimleridir. Anlam dünyaları, iklimin

ürünleridir. İslâm, Hıristiyan, Budist iklimleri gibi dinlerle bütünleşmiş iklimlerden de

söz edilebilir.78

Bu bağlamda en azından iki alanda sonsuzun yaşamımızdaki yerini görebiliriz.

Bunlardan ilki estetik alanıdır: “Güzel”in yaşandığı alan ve sanatın yaşandığı alan.

Estetik bilinç, farklı dünyalar olabileceği, yaşananın, yaşanmış olanın, başka bakışlarla,

farklı açılarla farklı biçimlerde yaşanabileceğini bizlere duyurur. Bu durumda estetik

                                                            76 İnam, Ahmet, “Yaşananın Anlamı Olarak Sonsuz”, Mantık Matematik ve Felsefe 3. Ulusal Sempozyumu, İstanbul Kültür Ünv. Yay., İstanbul, 2008, s.58-59 77İnam, Ahmet, a.g.e, s.61 78İnam, a.g.e., s.62 

37  

bilinç bir anlamda sonsuzun kapısını açar: Bu kapıdan, yaşadıklarımızı daha farklı

renklerde, daha farklı yoğunluklarda yaşanabileceğini sezeriz. Diğeri ise etik alanında

görülendir. İnsan birey olarak da, toplum, kültür olarak da sonsuzdur. Ahlak açısından

sınırlandırılıp çerçevelenemez, insan “bildiğimizden”, yaşadığımızdan hep fazladır.

Birbirinden ayrılamaz bir bütünlük içinde estetik-etik yaşam, sonsuzun yaşanabildiği

bir alandır.79

Sonsuzluğun bilimsel kuramı ve bundan çıkan genel sayı kuramı, felsefede,

bilimsel yöntemin büyük başarılarındandır ve bu yüzden de, bu yöntemin mantıksal-

çözümsel niteliğinin özellikle uygun bir örneğidir. Bu konudaki çalışma

matematikçilerle yapıldı, sonuçları da matematiksel simgecilik içinde anlatılabilir.

Öyleyse neden konuya matematik değil de bir felsefe konusu olarak bakılması gerektiği

sorulabilir. Bu, bir yandan sözcüklerin kullanılmasıyla ilgili bir yandan da anlamada

felsefenin gördüğü işlevin anlaşılmasında gerçekten önemli olan güç bir soru çıkarıyor.

Anlaşılan, her konu, özel bir bilimi olduğu kadar felsefi araştırmaları da gerektiriyor, bu

iki işlem arasındaki ayrım, girişimin doğrultusu ve saptanmak istenen doğruların

cinsinde görülüyor. Özel bilimler eğer tam gelişmişlerse buradaki akım ileri doğru ve

bireşimsel, daha basitten daha karmaşığa doğru oluyor. Ancak felsefede biz ters

doğrultuda; karmaşık ve göreli somuttan, çözümleme yoluyla, basit ve soyuta gidiyoruz,

süreç içinde asıl konunun özelliğini bir yana bırakmak ve dikkatimizi tümüyle, ele

alınan olguların mantıksal biçimiyle sınırlamak istiyoruz. 80

Bu bağlamda Aristoteles’in tezine dönecek olursak, öncelikle, doğada “sınırsız”

vardır ve bu sonsuzluk ancak nicel bir sonsuzluktur. İkinci olarak, sonsuzluk varsa

tanımlanabilmelidir. Üçüncü olarak, sonsuzluk bir bütün olarak kavranamaz, demek ki

işler halde var olamaz, bilfiil var olamaz. Sonuç: sonsuzluk vardır ama “işler halde” ya

da “bilfiil” var olmayacağından “gücül olarak”, yani bilkuvve” var olacaktır.81

Cantor’la birlikte şu anlaşılmıştı: Kesirler tamsayılardan “daha çok” değildir!

Aslında Cantor’un ortaya koyduğu şey ℚ rasyonel sayılar kümesinin ’ye, doğal

sayılara eşdeğer olduğuydu. Bekleneceği üzere tek bir sonsuzluk olacağı anlamına mı

                                                            79İnam, a.g.e.,s.65 80Bertrand, Russell, Dış Dünya Üzerine Bilgimiz, Çev. Vehbi Hacıkadiroğlu, Kabalcı Yay., İstanbul, 1996, s.167 81Aristoteles, Fizik, s.123 

38  

geliyordu bu? Sonsuzlukta sayılabilir olanın ötesine geçilemez miydi? Yani, tek

sonsuzluk sayılabilirin sonsuzluğu mudur? Cantor buna hayır yanıtını verdi. Gerçel

sayılar kümesinin kuvveti sayılabilirinkinden büyüktür. Nitekim ile arasında 1:1

eşleme kurmak olanaksızdır. Yani bir doğru üzerindeki noktaların sayısı tamsayılardan

“sonsuzca” çoktur. Böylece elimizde iki tane sonsuzluk vardır. Bu yeni sonsuzluğa,

’nin sonsuzluluğuna, süreklilik denir. Bu yüzden doğru parçasındaki noktalar, [0,1]

doğrusunun bütünündeki noktalardan “daha çok” değildir.

Sayılabilirin sonsuzluğu ve sürekliliğin sonsuzluğu dışında başka sonsuzluklar

da var mıdır? Bu soruya Cantor, evet şeklinde yanıtladı. İspatı şöyledir: Bir A

kümesinin parçalarının kümesi olan P(A)’nın P kuvveti A kümesininkinden daha

büyüktür; bir küme her zaman öğelerden daha çok parçaya ya da alt kümeye sahiptir.

Tam olarak söylersek, n sayıda öğe barındıran bir kümede 2n sayıda alt küme olacaktır.

Yani A={a,b,c} kümesinin alt kümeleri şunlardır:

{a,b,c},{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},Ø. Toplam 8 ya da 23 alt küme. Dolayısıyla bir

kümenin sonsuzluğu ne olursa olsun, ondan hareketle daha üstün bir başka sonsuzluk

kurulabilir. ’den hareketle kesintisiz bir sonsuzluklar dizisi kurulabilir. İnanılmaz

buluş budur işte: sonsuz ayıda sonsuzluk vardır! 82 Bu noktada tekrar şu soruyu

yenilemek ve cevabını aramak gerekir: Acaba sonsuzluktan kastımız nedir?

Gündelik hayatta sonsuzluk dediğimizde ilk aklımıza gelen müthiş, inanılmaz,

aklımızın alabileceğinden daha büyük olacak şekilde bir büyüklük gelmektedir.

“Sonsuzluk” matematik, fizik ve teoloji alanlarında sıklıkla kullanılan ve bu üç alanda

birbirinden önemli bazı sorularının cevaplarının “sonsuz ”da kesiştiğini söylemiştik.

Evren, Tanrı, yaratılış, zaman gibi kavramların yer aldığı problemler sonsuzluğu

keşfettiğimiz kadar cevaplanabilmektedir. Peki, biz birbirinden farklı alanlarda

çalışırken acaba aynı “sonsuzluk” kavramını mı kullanıyoruz? Sonsuzluk başlı başına

anlaması zor bir kavram iken sorunu güçleştirip derinleştiren bir ayrıntı da budur.

Sonsuz kavramı farklı alanlarda ki farklı problemlerle iç içe geçtiğinden onun tek bir

tanımın olması işleri iyice içinden çıkılamaz bir hale dönüştürebilir. Dolayısıyla

“sonsuz” kavramını kullanırken hangi alanda veya hangi içerikte

                                                            82Guedj, Denis. Sayılar İmparatorluğu, Çev. Ömer Aygün, Yapı Kredi Yayınları, Ankara, 2009, s.105-122

39  

kullandığımıza/kullanıldığına dikkat etmemiz gerektiğini söyleyebiliriz. O halde, öyle

bir üst “sonsuz” kavramı tanımlasak ki yani fizik, matematik ve teoloji üstü olsa acaba

böyle bir kavram biz problem çözümlerinde yardımcı olabilir mi?

Bu soruya maalesef, olumlu cevap veremiyoruz. Çünkü buradaki evrensel

kümemiz yani sonsuzluk kavramının tartışıldığı alan matematik, fizik ve metafizik

(teolojik) alanların tamamını kapsadığı için dışarıda bir şey kalmamaktadır. Şu an

problemlerimizi biraz daha karmaşık hale getiren ve iyice içinden çıkılmaz hale sokan

matematikteki sonsuzluğu teolojiye, fizikteki sonsuzluğu da matematiğe taşımamızdan

kaynaklanmaktadır. O halde “sonsuz” kavramının ilişkili olduğu alanı bilmemiz bize

pek çok kolaylık sağlayacaktır. Ama buradan da genel bir sonsuzluk kavramının

olamayacağını çıkaramayız. Yani farklı alanlarda kullanılan sonsuzluk kavramlarının en

az bir ortak özelliği bulunduğunu söyleyebiliriz. Eğer böyle bir kavram oluşturulacaksa

bütün alanlardan soyutlanarak oluşturması gerekliliği aşikârdır.

Hakikaten, farklı alanlarda sonsuzluk kavramı varsa buradan sonsuzluğun farklı

manaları olduğu anlamını çıkarabiliriz. Yani farklı tip sonsuzlar vardır. Çünkü fizik

yaşadığımız nesneler dünyasıyla ilgilenirken metafizik alan tasarılar dünyasıyla ve

matematik alan isehem nesneler hem tasarılar dünyasıyla ilgilenir. Daha önce

söylediğimiz gibi, İlk İslam filozofu Kindî’ye göre bilgiye konu olan varlıklar aşağı,

orta ve yüksek olmak üzere 3’e ayrılır. İnsanı çepeçevre kuşatan fizik dünya aşağıda,

matematik ortada ve metafizik yüksekte bulunmaktadır.83

Bu üç ayrı durum için üç ayrı özellik taşıyan “sonsuz “ kavramlarının olması

demektir. Farklı alanlardaki, bu farklı sonsuzluk kavramlarının hepsi birbirinden

tamamen farklıdır diyemeyiz. En azından bir tane ortak noktaları vardır. Belki

bunlardan yalnızca birisi yukarıda bahsettiğimiz bizlerde uyandırdığı sonsuzluk hisleri

(müthiş, inanılmaz, aklımızın alabileceğinden daha büyük olan) olabilir. Belki de birkaç

ortak nokta daha vardır ama farklı tip “sonsuzluk”ları kapsayan tek bir kavramın olması

durumunda bütün alanlardan soyutlanması gerektiğini söylemiştik.

Her alanın kendine özgü bir sonsuzluk kavramı olduğunu iddia ediyorsak bu

alandaki sonsuzu diğer “sonsuz”lardan ayıran özellikler nedir, bunları bilmemiz lazım.

                                                            83Kindî, a.g.e., s.28

40  

Burada sonsuzluk kavramını tanımaya çalıştığımız için bu sorulara cevap bulmaya

çalışacağız.

Sonsuzluk kavramları arasında farklılıklar olduğunu kabul edersek “sonsuz”

kavramı incelemesinin daha nitelikli olacağını ve çok daha sağlıklı bir biçimde

gerçekleştirebileceğimizi düşünüyoruz. Çünkü bu durumda “sonsuzluk” ilgili olduğu

alanın kavramlarından birisi haline gelecek ve o alandaki diğer kavramlarla mantıksal

bağlar kuracaktır. Artık o bilgi sistemi içerisindeki diğer kavramlarla rahatlıkla ilişki

kurabilecek duruma gelecektir. Biz de o alandaki mantıksal kurgulardan istifade ederek

sonuca ulaşmaya çalışabiliriz. “Sonsuzluk”u artık, bir bilgi sisteminin gereksinimleri

doğrultusunda kullanmış ve o alanda kullanılabilecek bir biçime sokmuş oluruz.

Daha net bir ifadeyle söyleyecek olursak, kavramlar, belirli bir alan ya da sistem

içerisinde o alanın diğer kavramlarıyla çeşitli mantıksal ilişkiler kurduğu için orada

anlamlıdır. Yani bir kavram bir alanda anlamlıyken başka bir alanda anlamsız olabilir.

Hatta aynı alanın farklı dallarında, sistemlerinde bile anlamsız olabilir. Ayrıca bir

kavram, tek başına olduğunda yani bir önerme içerisinde özne ve yüklem olarak yer

almadığı sürece, doğru ya da yanlış, olumlu ya da olumsuz olamaz. Buna göre, doğruluk

ve yanlışlık kavramların değil de önermelerin bir özelliğidir. Kavramın tek başına

getireceği hiçbir işlevi yoktur; onun işlevi, önerme içerisinde belli olur.

Mesela formalistler, (Formalizm: Bilginin özü ve içeriği yerine biçimine önem

veren, bilimlerde, özellikle matematikte, doğruların saymaca ilişkiler üzerine

kurulduğunu, birtakım simgelerin tanımlarına dayandığını ve bu doğruların bütünüyle

biçimsel olduğunu ileri süren soyutlayıcı bir düşünce yolu.)84 matematikteki çok basit

işlemlerin bile fizik dünyadan bağımsız olarak belli aksiyomlara dayanan mantık

kurallarından oluştuğunu iddia ederler. Aslında fizik dünyada hiç var olmamış ve fizik

dünyada hiçbir manası olmayan 3, 5, 8, +,= sembollerini kullanarak yalnızca elimizdeki

aksiyomlardan ve o sistem için geçerli olan mantık kuralları çerçevesinde 3+5=8

olduğunu söylerler.

                                                            84Tdk sözlük, http://www.tdk.gov.tr/index.php?option=com_bts&arama=kelime&guid=TDK.GTS.567e6bb9ab2477.73398675(Erişim:27.01.2016) Hançerlioğlu Orhan, Felsefe Ansiklopedisi, Kavramlar ve Akımlar, Cilt 1, Remzi Kitabevi, İstanbul, 1985, s.161

41  

Bir başka örnekte geometri üzerinden verebiliriz. Eukleides 13 cilltlik eseri

“Stoikheia” (Elemanlar) ile geometrinin kurucusu olarak bilinir. Eukleides

geometrisinin temelinde şu beş aksiyom yer alır:

1. Verilen iki noktayı bir aralık birleştirir. (iki noktadan bir doğru geçer)

2. Bir aralık her iki ucundan sonsuza dek uzatılabilir.

3. Merkezi ve bir noktası verilen bir çember çizilebilir.

4. Tüm dik açılar eşittir.

5. Verilen bir noktadan verilen bir doğruya yalnız ve yalnız bir paralel doğru

çizilebilir

Ancak Eukleides’in 5. Aksiyomu 19. yüzyıldan itibaren matematikçiler arasında

tartışılma konusu olmuş ve bu tartışmalar yeni geometrilerin doğmasına neden

olmuştur. Yeni geometrilerin doğuşundaki temel kavram paralellik anlayışıdır.

Eukleides geometrisine göre yukarıdaki tanım yani 5. aksiyom geçerliyken N.

Lobachevsky ve J. Bolyai birbirinden bağımsız olarak buldukları Hiperbolik

Geometri’ye göre bir doğrunun düz olması gerekmeyeceğini ve paralel doğrular

kesişmemelerine rağmen asimptot oldukları için birbirlerinden eşit uzaklıkta

kalmayacaklarını söylemiştir. Yani bir bilgi sisteminde paralellik, sistemin kendi

mantıki kurallarıyla ve sistemin diğer kavramlarıyla ilişkisi içerisinde

anlamlandırılabiliyor.

Hatta başka bir sistem içerinde daha da farklılaşmaktadır:

G.F. Bernhard Riemann 5. Aksiyomun tersini kabul ederek, “Bir noktadan dışındaki

bir doğruya hiçbir paralel çizilemez” şeklinde ve 2. Aksiyomu da reddederek “Bir doğru

sınırsızdır ama sonlu değildir.” (yani doğrunun başlangıç ve bitiş noktaları yoktur ama

uzunluğu sonludur) demiştir. Böylece küresel geometrinin kurucusu olmuştur. B.

Riemann’ın aksiyomları tüm doğruları büyük çemberler olduğu küre yüzeyindeki

geometride gerçekleşebilir. Küresel geometrideki doğrular iki noktada kesişen büyük

çemberlerdir. Bu yüzden hiçbir doğru paralel değildir.

42  

Yukarda William Lane Craig’in dediği gibi: Sonsuzluk içinde bu böyledir.

Tanrı, sonsuz sayıdaki sonlu parçacıkların bir araya gelmesinden oluşmaz. Tanrının

sonsuz olduğu görüşü mutlak mükemmel olduğu fikrini kapsıyor temel olarak. Tanrının

sonsuzluğu fikri her şeye kadir, her yerde olan ve her şeyi bilen olmasından; ebedi

elzem ve var olmasından, ahlaki olarak da mükemmel olmasından kaynaklanıyor.

Bunları tümü nitel karamlar ve Tanrının sonsuzluğundan bahsederken bunlara

değinilir.85

Aslında, kavramsal incelemenin başında bahsettiğimiz genel bir tanıma

ulaşmanın güçlüğü söz konusuyken burada ise tam tersi bir uygulamanın güçlüğü bizi

karşımıza çıkıyor. Sonsuzluğu alıp bir alanın bir dalının içerisine sıkıştırıyoruz. Yani

“sonsuzluk” kavramın içeriğini daraltarak sadece belli alanlara indirgemiş oluruz. O

halde alanlar üstü bir kavram bizi kurtarabilir ama o zaman da en başa dönerek kısır bir

döngüye giriyoruz.

Matematikteki sonsuzluğu kabul etmiş bulunmaktayız. Peki, yaşadığımız yani

fizik dünyada sonsuzluk var mıdır? Yukarıda bahsettiğimiz Amerikalı bilim kurgu

yazarı Rudy Rucker’e göre evet vardır. Ama burada dikkat çeken nokta tıpkı

matematikteki gibi mantıksal yöntemlerle kavrayabiliyor olmamızdır. Rudy Rucker’ın

örneğinde olduğu gibi bizimle kapı arasındaki konumların sayısı sonsuzdur yani mesafe

sonsuz konuma bölünebilir ya da biz elimizdeki bir uzunluğun sürekli 2 katını alarak

onu sonsuza kadar büyütmemiz mümkündür. Dolayısıyla fizik dünyaya ilişkin

sonsuzdan bahsedebiliriz. Ama bu deneyleri sadece zihnimizde yapabileceğimizi

biliyoruz yani teorik olarak. Görüldüğü üzere bu sonsuza kadar parçalama ya da

sonsuza kadar büyütme deneyleri aslında birer mantıksal gerekliliktir. Yani buna göre

bu dünyada sonsuzun olması aslında mantıki bir sonuçtur.86

Bu sonuca şuradan da varabiliriz: fizik dünya, bizim duyu organlarımız

yardımıyla algılayabildiğimiz dünyadır. Aşikârdır ki “sonsuz” duyu organlarımızla

algılanamaz. Yani sonsuz algılarımızla kavrayabileceğimiz bir deney konusu olamaz ve

bu şekilde sonsuzun özelliklerini inceleyerek ortaya koymak mümkün değildir.

Dolayısıyla fizik dünya da yapabileceğimiz şeylerin son derece büyük, inanılmaz

                                                            85BBC, Sonsuzluğun Keşfi, 2007 86BBC, Sonsuzluğun Keşfi, 2007 

43  

sayıdaki tekrarını anlatmak istediğimizde mantıksal bir zorunlulukla karşı karşıya

kalırız ki işte bu “sonsuzluktur”.

İşte burada zorluklar peş peşe ortaya çıkmaktadır. İlki deneysel dünyaya ait

olmayan bu kavramı bu dünyaya ait bilgilerde kullanmamız mantıki bir zorunluluk

olarak karşımıza çıkmaktadır. İkincisi mantık, fizik dünyaya ait kavramların tek başına

belirleyici bir yöntem değildir. Üstelik mantık, fizik nesneler üzerinde gözlem yerine

kullanılamaz. Yani mantık fizik dünyadaki sonsuz kavramının veya başka bir nesnenin

gözlenebilir özelliklerini belirlemek için kullanılamaz.

Bütün bunlardan sonra sonsuz kavramının içeriğinin ihtiyaca göre değiştiğini ve

kullanım alanına göre içeriğinin farklı olduğunu söyleyebiliriz. Böyle bir durumda bu

kavramın birbirleriyle çelişen kabuller içerebileceğini de söyleyebiliriz, bu mümkündür.

Tıpkı sonsuzluk noktasına ulaşıldığında tezatların aynı şeyler olacağının

söylenmesi gibi… Sonuç olarak, sonsuzluk, fizik dünyada bizim bilgilerimize eşlik

ederek bazı şeyleri anlamlandıran ama fizik dünyada karşılığı olmayan bir kavram

olduğunu söyleyebiliriz.

Buraya kadar bahsettiğimiz sonsuzluk kavramının belli bir bilgi sistemi içinde

anlamlı olmasına karşın “sonsuz hayat”, “sonsuz büyük”, “sonsuz aşk” gibi kavramları,

bu bilgi sistemlerinden haberi olmayan bir kimse nasıl algılayabilmektedir, bunu

açıklamak oldukça zordur. Acaba, farklı bilgi sistemlerindeki sonsuzun bizde var olan

genel bir “sonsuz “kavramı sayesinde oluştuğunu ve bu sayede kavranabildiğinin bir

göstergesi mi bu? Ama bunun için “genel sonsuzluk” yani “üst sonsuzluk” içinde bir

bilgi sistemine gereksinim vardı, daha önce öyle söylemiştik çünkü. Yani böyle bir

kavramın mantıksal olarak gerekli olduğunu söylemiştik. Ama bu, o kavramın neye

işaret ettiği ve onu tanımlamak konularında yetersizdi ve yapılamazdı. Üstelik

sonsuzluk gözlemlenebilen bir kavram da değil. İşte bunlardan dolayı günlük konuşma

dili içerisinde rahatlıkla kullanabildiğimiz “sonsuzluk” kavramı hiçbir bilgi sistemine

girmemektedir. Sadece birlikte kullanıldığı nesnenin şaşırtıcı derece uzun, büyük vb.

olduğunu göstermektedir. O zaman acaba “sonsuz” nasıl konacak, sorusu üzerinde

biraz daha düşünmek gerekir: Bir töz olarak mı, yoksa kendi başına herhangi bir doğa

44  

için bir ilinek olarak mı? Ya da hiç biri değil; yine de sonsuz bir şey ya da sayıca sonsuz

şeyler hiç de yok değil mi?87

Yukarıdaki incelemelerimizde bir mesafeyi sonsuz aralığa böldük ya da bir

çubuğun sürekli iki katını alarak sonsuz uzunluğa ulaşmaya çalıştık. Ya da sonsuz aşk,

sonsuz hayat kavramlarını kullandık. Bütün bu söylemlerde dikkat edilirse sonsuzluk

kavramını aralık, uzunluk, hayat kavramlarına eklemledik. Yani sonsuzu bir sıfatmış

gibi kullandık. Burada sonsuzu ne matematik ne de fizik gibi herhangi bir bilgi

sisteminin içine sokmadan kullandık. Yani genel anlamda bir sonsuzdan söz ettik.

Çünkü bölme, katlama gibi eylemler sonsuzluk kavramını içermemektedirler. Sonsuz

kavramı bir eyleme, bir gözleme veya bir kavrama kendiliğinden eşlik eden bir kavram

değildir. Yani fizikte nesne kavramını ele aldığımızda bunun bir kütle ve hacim

içerdiğini söyleyebiliriz ama uzunluk ve sonsuzluk arasında böyle bir bağıntı yoktur.

“Sonsuz ”un duyulanlardan ayrılmış olması, kendi başına var olan bir şey olması

olanaklı değil. Çünkü sonsuz, ne bir büyüklük ne sayısal bir çokluk ise, ilinek değil

kendi başına bir töz ise bölünmez olacaktır (çünkü ‘bölünebilir olan’ ya bir büyüklük ya

da bir çokluktur).88 Sıfat gibi kullanıldığını kavramak için şu örneğe bakalım: gömlek

dediğimizde zihnimizde gömleğe dair genel bir kanı uyanır. Ama bahsedilen bu

gömleğin kısa kollu mu uzun kollu mu; sarı mı beyaz mı olduğunu bilemeyiz. Çünkü

gömlek kavramı bunları içermez, uzunluk, kısalık, renk vb. sonradan eklenir. Tıpkı

kütle, mesafe kavramlarındaki gibi: sonsuz kütle, sonsuz mesafe gibi… Yine ‘sonsuz’,

bir ilinekse sonsuz olduğu için var olanların bir öğesi olamaz…

Kanaatimize göre şu husus açıktır: ‘Sonsuz ’un etkinlik halindeki bir şey olarak,

töz olarak, ilke olarak var olması olası değil. Nitekim o bölünür bir şeyse ondan alınan

herhangi bir şey sonsuz olacak (‘sonsuz’ bir taşıyıcıya yüklenmiyorsa, bir töz ise

‘sonsuz olmak’ ile ‘sonsuz’ aynıdır), dolayısıyla o ya bölünmez ya da sonsuza bölünür.

Ama pek çok sonsuz nesnenin aynı şey olması olanaksız (havanın bir parçasının yine

hava olması gibi; ‘sonsuz’ bir töz ve bir ilke olsa sonsuzun bir parçası da sonsuz olur).

Demek ‘sonsuz’ parçalanamaz, bölünemez. Ne ki, gerçeklik halinde olan bir nesnenin

sonsuz olması olanaksız, çünkü onun bir nicelik olması zorunlu. O halde ‘sonsuz’

                                                            87Aristoteles, Fizik, s.111 88Aristoteles, a.g.e.,s.111

45  

ilineksel olarak bulunuyor.89 Pythagorascılarla Platon gibi kimileri sonsuzluğu bir başka

nesneyle ilgili ilinek olarak değil, kendi başına bir töz olarak görüyor.90

3. SONSUZLUK KAVRAMININ EDEBİYAT VE SANAT AÇISINDAN İNCELENMESİ

 

Kullandığımız bütün kavramların kullanım koşullarıyla bağlantılı bağlamsal bir

anlama sahip olduğunu dikkate alırsak, “sonsuzluk” kavramının kullanıldığı bağlamda

bir sınıra işaret eden bir kavram olduğu açıkça görünüyor. Mesela, kavramlarla artık

belirlenemeyen, üzerinde işlem yapılamayacak bir sınıra işaret eden; üzerinde işlemler

yapabildiğimiz, neden sonuç bağlantılı olarak kontrol edebildiğimiz, müdahalede

bulunduğumuz alanda kontrol dışı bir sınıra işaret etme işlevini yerine getiren bir

kavram. Sözgelimi sadece 25’e kadar sayma işlemleri yapan, 25’i geçen çokluklara

sayılamayacak çokluklar olarak muamele eden bir kültür ve sayı sisteminde “sonsuz”

sayılamayacak kadar çok anlamında, 25 sınırından ötesine işaret ediyor. Bu kültürün

sayı sisteminde sayılar 25’te bitiyor. Durum bizim sayı sistemimizde de sayılamayacak

bir çokluğu sembolize ediyor: sonsuz işaretini ve işlemsel kullanımını gözönüne almak

matematiksel sonsuzun hiçbir gizemli anlamı olmadığına vurgu yapabilir. 91 Yani

“sonsuzluk” kavramının adı sonsuzluk olan bir varlık alanını, betimleyen veya

resmeden bir kavram olarak düşünülmeyeceğine işaret etmek istedik. Kullandığımız

kavramlar, kullanıldığı bağlamda varlıklar’dan sözeder.

Buradaki en önemli nokta kavramların kullanıldıkları bağlamda ortaya çıkan

sonuçlarıyla bağlantılıdır. Aslında, adlandırmanın ayırt ettiği varlıkların nesnelliği,

onun dildeki/kullanımdaki geçerli uzlaşımsal/operasyonel kullanımıyla, bu kullanımın

oyundaki işlevi/sonuçlarıyla belirlenir. Sözgelimi “şah”, vezir”, “fil”, “at” oyundaki

kullanımlarıyla, bu kullanımların oyundaki sonuçları ile vardır; aralarındaki kavramsal

ayrılıklar da (ne oldukları ve ne olmadıkları) bu sonuçlar arasındaki farklarla oyunda

temsil edilir. Oyun dışında ne vardırlar ne de yok. “Var” ve yok” sözcüklerinin anlamı

oyunda geçerli bir kullanıma sahiptir. Adları, betimlemeleri kullanırken bu kullanımın

sonuçları olarak içine girdiğimiz zihinsel bir yönelim ve alışkanlık söz konusudur. Bu                                                             89 Aristoteles, a.g.e.,s.1113 90 Aristoteles, a.g.e.,s.107 91Sezgin, Erkut. “ ‘Sonsuzluk’ Kavramının İcadından Önce Ve Sonra”, Mantık, Matematik Ve Felsefe III. Ulusal Sempozyumu, Sonsuzluk ve Görelilik, İstanbul Kültür Üniversitesi Yay., İstanbul, 2008, s.67 

46  

alışkanlık dil/kültür/inanış sistemine, kısaca dil-oyununa bağlı olarak yapılanmaktadır.

Aslında biz, bir oyunun içinde; dil/kültür/inanış sisteminin oyunu içinde bir oyuncu

olarak yetiştirildiğimizi; oyunun araçları ve kullanımlarının öğrenilmesine bağlı bir

dil/kültür dolayımı içinden dünya ve gerçeklik ufkunu “yeryüzü”, gökyüzü”, “dağ”,

“kuş”, “yaprak”, vs. kavramların kullanımı altında ayırt eder/okur haline geldiğimizi

(yani bu kavramların yazarı insanlık dilinin bir okuru olduğumuzu) anımsamıyoruz.

Öğrendiği kavramsal tekniklerle, kültürel alışkanlıklarla çevresine tepki veren, bu

tepkilerin dilde devam eden kullanımları, uygulamaları doğrultusunda çevresini

kavramsal olarak ayırt eden/okuyan zihinsel/psikolojik bir yapı içine girdiğimizi

farketmiyoruz. Kullandığımız dilin yaşadığımız hayatı özne nesne ve diğer kavramsal

analizlerle nasıl zihinsel/psikolojik bir ayrışmaya uğrattığını açıkça anlamamız, içinde

yetiştiğimiz dil/kültür tarafından nasıl yapılandığını fark etmemize bağlıdır.92

Bu durumda, kavramların, farklı alanlarda ya da farklı kavramsal teknik yapıya

sahip durumlarda anlamlandırma şeklimizin değiştiğini görebiliriz. Belki de anlamı

yorumlama biçiminin en farklı ve özgün hale büründüğü alan sanattır. Sanat, bir

duygunun, bir varlığın hayal gücü ve yeteneklerin kullanılmasıyla görsel veya işitsel bir

formda vücut bulması olarak tanımlanabilir. Hayal gücü ve yaratıcılık kavramları ise

sonsuzluk kavramıyla ilintilidir. Düşünmenin, hayal gücünün ve yeteneklerin sınırı

olmadığından sanat eserlerinin de sınırı yoktur. Sonsuz sayıdaki sonlu olayları hayal

gücünden görsel veya işitsel boyuta aktardığımızda sanat eseri meydana gelmiş olur.

Sonlu kavramı eşyanın sınırlılığını, geçiciliğini ve değişirliğini; sonsuz kavramı ise

maddenin ve hareketin devamlılığını ve sınırsızlığını dile getirir

Sanatta yaratıcılık; sayısız değişkenin sayısız biçimde etkileşim ve değişim

göstererek oluşturduğu sayısız eserle kendini gösterir. Algı kişinin bilgi birikim,

gelişim ve duygu yoğunluğuna bağlı olarak değiştiği için sanat eserini değerlendiren

kişi farklı zamanlarda farklı algılara sahip olabilir. Yani sanat eserinin algılanması ve

yorumlanması da yaratılması kadar çok sayıda değişken duruma bağlı olarak çeşitlilik

gösterir.93

Bu bağlamda sanat alanındaki sonsuzluk anlayışını, 3 ayrı sanat dalında                                                             92Sezgin, a.g.e.,s. 67-76 93Akçam, Merih. Teker, Ayşegül F., Görsel Sanatlarda Sonsuzluk Düşüncesi, Mantık, Matematik Ve Felsefe III. Ulusal Sempozyumu, Sonsuzluk ve Görelilik, İstanbul Kültür Üniversitesi Yay., İstanbul, 2008, s.153

47  

incelemeye çalışacağız: görsel sanatlar, sinema ve son olarak edebiyat alanı. Elbette bu

konuda ele alınmış bir çok eser vardır ama biz kendimizce başlıcalarını ele alıp

inceleyeceğiz. Konu sanat ve sonsuzluk olduğunda görsel sanatlar konusunda en önemli

sanatçılardan biri de Maurits Cornelis Escher’dir (1898-1972). Sınır-sınırsızlık,

sonsuzluk ve boyutlar konusunda sanatsal ve olağan üstü bir ifadeye sahiptir.

Escher aslında mimarlık ve dekoratif sanatlar eğitimi almış, akademik disiplin

içinde matematik okumamıştır. Buna rağmen simetri, perspektif, topoloji ve uzay

geometrisi gibi matematiğin bazı alt dallarında ciddi araştırmalar yapmıştır. Escher’in

eserleriyle felsefe, sanat, matematiksel fizik, kozmoloji ve kuramsal fizik üzerine çok

ciddi tartışmalar yapmak mümkündür. Hatta uzay geometri, simetri, topoloji gibi

matematiğin alt disiplinleriyle mantığın sınırlarını zorlayan sonsuzluklar, paradokslar,

boyutlar ve kendi kendine göndermeli çevrimler üzerine müzakereler yapılarak zihnin

ve algının sınırları zorlanabilir.

48  

 

Print Gallery (1956) 

 

Şimdi Escher’in “Print Gallery (Resim Sergisi)” adını verdiği eseri inceleyelim.

Şehrin limanına nazır evinin penceresinden bakan kadının izlediği bir erkek, kadının

bulunduğu binanın alt katında bulunan “Resim Galerisi”ne gider ve sergide, serginin

bulunduğu binanın hemen üst katında camdan bakarak kendisini izleyen kadınla

kendisinin resmedildiği bir tabloya bakar. Adam tabloya bakarken hem tabloda kendine

bakmakta hem de onu izleyen kadına bakmaktadır. Kadın da resmedildiği tabloya

bakarken bir taraftan resmedildiği tabloya bakan adama da bakmaktadır. Bu ilginç eser,

49  

kendi kendine göndermeli içinde sonsuzluk döngüsünü barındıran en başarılı eserlerden

biridir. Buradaki döngü sonu olmayan bir sürecin sonlu bir biçimde temsil edilmesidir.94

Bu noktada Escher, bir şekilde Albert Einstein’in iddia ettiği Genel Görelilik

Teorisinde olduğu gibi uzay-zaman bükülmesine bir gönderme mi yapıyor, sorusu

üzerinde düşünmek gerekmektedir. Nitekim Escher’in eserlerinde bir başka dikkat

çeken nokta ise metamorfozlardır. Mesela aşağıdaki eserde şekiller düzenliliği

bozmadan birbirine dönüşür. Ama siyahlar beyazlara mı yoksa beyazlar siyahlara mı,

bilinmez. Tek bilinen bu dönüşmenin sonsuz bir döngü içinde gerçekleşerek

buluşmasıdır. Yani biz iki ayrı sonsuzluğun buluşmasına şahit olmaktayız!

 

“Encounter” (1944)

Escher’in eserlerinde kullandığı sonsuzluk kavram algısı ya da kurgusu/yapısı,

limit ve süreklilik konusu ile ilişkilendirilebilir. Yine görsel alanda yolculuğumuzu

devam ettirirsek fraktal ilgilenmemiz gereken konulardan birisi olabilir. Fraktal kelime

olarak parçalanmış, bölünmüş anlamına gelir. Teorik olarak da normal geometrinin,

doğayı sadeleştirip, kolayca algılanabilir hale getirerek “sonlu” öğelere indirgeme

mantığına aykırıdır. Gerçekten de doğa Euklides geometrisinin getirmiş olduğu

kavramlara uygun bir düzen getirmez. Fraktalları basitçe, sonsuza kadar kendini

tekrarlayan, iç içe geçmiş şekiller olarak tanımlayabiliriz. Ancak bu tanım

matematiksel olarak pek bir şey ifade etmez.

                                                            94 Buradaki M.C.Esher hakkındaki bilgiler ve resimler, Escher’in resmi sitesinden alınmıştır: http://www.mcescher.com/ (Erişim:27.01.2016)

50  

Gerçekte doğa Euclides geometrisinin getirdiği kavramlara uygun bir düzen

göstermez. Yani dağların bulutların ağaçların ve benzer nesnelerin bilgisayarda gerçeğe

oldukça yakın bir biçimde çizmemiz Euclides geometrisiyle mümkün

gözükmemektedir. Bénoit Mandelbrot da bu konuda üçbin yıldır kullanılan Euclides

geometrisinin yetersiz kaldığını görür. Mandelbrot, 1977 yılında yazdığı “Fractals:

Form, Chance and Dimension” adlı kitabında ilk kez “fraktal” kelimesini kullandı ve

fraktal geometrinin kapılarını aralamış oldu. Artık doğadaki nesneleri, daire, elips,

silindir, küre, sinüs kosinüs eğrileri gibi matematiksel eğrilerle ve çokgenler gibi

düzgün geometrik şekillerle göstermek son bulacaktı. Çünkü bunlar Euclides

geometrisine ait şekillerdi ve doğada ki nesnelerin çizimleri, yaşadığımız dünyaya

oldukça uzak olan şekillerdi. Fraktal geometri ise girintili çıkıntılı, eğilmiş, bükülmüş,

kırılmış şekillerin geometrisidir. En avantajlı tarafı herhangi bir formülle ifade

edemediğimiz (dağlar, bulutlar, ağaçlar…) nesnelerin gerçeğe çok yakın bir görüntüsü

elde edebilme imkanına sahip olmamızdır. Yani Euclides geometrisi insanların

yarattıkları şekilleri tanımlamada kullanılırken fraktal geometri doğada bulunan

nesnelerin ifade edilmesinde kullanılır.95

Bu hususta Mandelbrot, şunları söylemektedir: “Geometri neden çoğunlukla

soğuk ve katı olarak tanımlanır? Bunun nedenlerinden biri geometrinin bulutların

dağların kıyıların ya da ağaçların şekillerini ifade etmekteki acizliğidir. Ne bulutlar

küresel ne dağlar konik ne kıyılar çembersel ne ağaç kabuğu düzgündür ne de şimşek

düzgün doğrular boyunca hareket eder. Doğa, daha yüksek seviyede olmasa da daha

farklı derecede bir karmaşıklık gösterir. Modellerin birbirinden farklı uzunluk

ölçeklerinin sayısı hemen hemen sonsuzdur. Bu modellerin varlığı bize Euclides ‘in

biçimsiz diyerek bir kenara bıraktığı nesneler üzerine çalışma, yani şekilsizin şeklini

inceleme fırsatı verir.”Bu ve buna benzer bir çok problem bizi sonsuz dizilere,

benzerliklere, tekrarlara ve kaçınılmaz bir şekilde fraktallara götürüyor. Şimdi bir

fraktal örneği verelim: en kolay ve en anlaşılabilir olanlardan biriyle yani Cantor

kümesiyle başlayalım.

0) Kendimizin belirleyeceği bir uzunluk alalım.

                                                            95Ufuktepe Ünal. Aslan İsmail, Fraktal Geometri’den Bir Kesit, Matematik Dünyası Dergisi, İzmir, 2002, C:11, S.1, s.14  

51  

1) Uzunluğu üç eş parçaya bölelim ve ortadaki parça üzerine bir eşkenar üçgen

kurup üçgenin tabanını silelim

2) Oluşan her yeni doğru parçasına 0 ve 1 adımlarını uygulayalım

3) İşlem tekrarlanır

4) İşlem tekrarlanır

5) İşlem tekrarlanır

 

Eğer başlangıçta yani 0 aşamasında doğru parçasının uzunluğunu 18 cm kabul

etmiş olsaydık, ilk döngüdeki kırık çizgilerin toplam uzunluğu 24 cm, ikinci döngüde

32 cm olacak şekilde döndü arttıkça uzunluk artar. Bu durumda ortak çarpanı ve ilk

terimi 18 olan yani genel terimi 18. olan geometrik bir dizi elde etmiş oluruz.

Yani n→∞ için →∞ olur. Bu sonsuz adımı takip ettiğimizde ulaştığımız şekil

fraktaldır. Şimdi bu fraktalın yani Cantor kümesinin bazı özelliklerinden bahsedelim:

a) Bu küme kendine benzer alt yapılardan oluşur. Yani bu küme kendisinin

değişik boyutlarda kopyalanmasından oluşur.

b) Cantor Kümesi ne kadar büyütülürse büyütülsün, sonsuz küçük ayrıntılara

sahiptir. Fakat şekil son derece basit bir biçimde tanımlanır.

c) Bu kümenin basit bir geometrik açıklaması verilemez. Geometrik olarak

belirli bir özelliği taşıyan noktaların geometrik yeri olmadığı gibi herhangi

bir denklemin de çözüm kümesi değildir.

52  

Bu özellikler bize, fraktalların ne kadar ilginç ve bizim geometri

anlayışımıza ne kadar ters olduğunu gösteriyor. 96

 

 

Yukarıdaki fraktalın adı Koch Eğrisidir. Koch eğrisini görüpte onun içindeki

canlılığı, sürekliliği ve sonsuzluluğu görmemek imkânsızdır. İnsanı heyecanlandıran,

daha da derine iten budur. Henri Poincaré bunu şu şekilde ifade ediyor: “Bilim

adamlarının doğayı incelemelerinin nedeni bundan bir yarar beklemeleri değil, bundan

zevk almalarıdır. Bundan zevk alırlar çünkü doğa güzeldir. Eğer doğa güzel olmasaydı

hakkında bilgi almaya değmezdi ve eğer doğa bilgi edinmeye değmeseydi hayat

yaşanmaya değmezdi!”97 Bu noktada doğada görülen birkaç fraktal örneği üzerinde

düşünelim:

                                                            96Ufuktepe ve Aslan , a.g.e., s.15-16 97Ufuktepe ve Aslan, a.g.e., s.16-19 Öncel, Ali Osman. Alptekin, Ömer, Fraktal Dağılım Ve Sismolojideki Uygulamaları, Jeofizik Dergisi, 1-2 1995 / Mart-Eylül, 1995, s.311-316

53  

Piramit karnabahar Mercan polipleri

Fraktallardaki sonsuzluk, sonsuza yakınsama ile eşleştirilebilir. Bir fonksiyonun

limiti sonsuza yakınsıyor ise ne kadar gidersek gidelim hep sonsuza yakınsayacaktır.

Fraktallarda da ne kadar küçük parçalar alırsak alalım hep aynı şekli buluruz. Bu

işlemin bir sonu yoktur, yalnızca bir sonsuzluk mevcuttur.

Sanat ile ilgili konuyu müzakere ederken, sinema tarihinde sonsuzluğu konu alan

bir film var mıdır, sorusu üzerinde duracak olursak, Groundhog Day (Bugün Aslında

Dündü) filmini müzakere edebiliriz. 1993 yılında sinemalarda gösterilmiş bir komedi

film Harold Ramis  tarafından yönetilmiştir. Başrolde Bill Murray ve Andie

MacDowell oynamıştır. Nietczhe’nin sonsuz yineleme fikri bu filmde zekice yazılmış

bir senaryo ve başarılı bir oyuculukla sergilenmiştir.

Phil Connors, ekranlardaki samimi kişiliği ve eğlenceli yüzüyle kendine has bir

şöhrete sahip olan, ancak kameralardan kurtulduğu an kendini beğenmiş ve kibirli

kişiliğine geri dönen bir hava durumu spikeridir. Bu huysuz adam, hiç sevmediği kırsal

yaşamın hüküm sürdüğü Pensilvanya’nın kırsal kasabalarından birine, Groundhog Day

etkinlikleri için gönderilir. Burada yaşanan hayat ve mütevazi insanlardan iğrense de bu

hayata bir günlüğüne, görevi için katlanmak zorundadır. Ancak ansızın çıkan bir kar

fırtınası tüm ulaşım yollarını kapattığında Phil, talihsiz kaderiyle başbaşa kalır. Ertesi

sabah uyandığında ise daha büyük bir sürpriz kapıdadır: Phil, zaman döngüsüne

yakalanmıştır; nefret ettiği o günü tekrar tekrar yaşamak zorundadır! “Bugün Aslında

Dündü”, sıradan bir komedi filminden öte, birçok efsanenin, kitabın ve filmin bin

yıllardır anlattığı bir öyküyü anlatıyor. İnsanın dünya üzerindeki serüveninin, insanın

ruhsal gelişiminin öyküsüdür.

54  

"Groundhog Day", 2006 yılında Amerika Birleşik Devletleri Kongre

Kütüphanesi tarafından "kültürel, tarihi ve estetik olarak önemli" filmler arasına

seçilerek ABD Ulusal Film Arşivi'nde muhafaza edilmesine karar verilmiştir. 98 Ayrıca

Filozof Stanley Cavell’in, New York Times’ın “Sizce 20. yüzyılda çekilen ve bundan

100 yıl sonra izlenecek, tartışılacak ve hatırlanacak film nedir?” sorusuna “Bugün

Aslında Dündü” yanıtını vermiştir. 99 Görüldüğü üzere, Groundhog Day aslında bir

modern hayat eleştirisidir. Aslında mesajını oldukça basit vermektedir. Kötülük,

bencillik ve iyilik mefhumlarını sonsuzluk kavramıyla bezeli bir biçimde sunuyor bize. 

Sanat eserleriyle incelememize devam edecek olursak, Avusturyalı ressam ve

mimar Friedensreich Hundertwasser (D.15 Aralık 1928 - Ö.19 Şubat 2000), tarafından

çizilen The Big Way adlı eserde yine sonsuzluk algısını hissediyoruz, üstelik bu “yol”da

eserin ismi algımıza yardımcı oluyor:

 

 

                                                            98http://en.wikipedia.org/wiki/National_Film_Registry (Erişim 12.01.2016) 99http://gsf.akdeniz.edu.tr/tr.i226.yrd-doc-dr-oguzhan-ersumer-soylesi (Erişim 11.12.2015)

55  

Merih Akçam, resimlerinde çoğunlukla dört elemanı (Hava, su, ateş, toprak)

kullanan sürrealist bir sanatçımız. “Aşk Dansı” adını verdiği eserinde zamanın ve

mekânın olmadığı sonsuz bir hareketin mevcudiyetini bize hatırlatmaktadır. 100

 

Yaşantımız elbette sonlu olaylardan meydana gelmektedir ve nihayet yaşamımız

da sonludur. Sonlu eşyanın sınırlı ve geçici olduğunu bilmemize rağmen bu zinciri

kırıp hareketin, hareketin ve düşüncenin sonsuzluğu sanat eserleriyle ifade edilerek

irdelenmeye çalışılmıştır.

Son olarak sonsuzluk kavramını ele alacağımız sanat dalı edebiyat olacaktır. Bu

alanda farklı yazım tarzıyla ilginç hikayeleriyle sonu olmayan anlatılarıyla Jorge Luis

Borges’i (1899-1986) ana hatlarıyla incelemek gerekir: Edebiyatıyla evreni özetleyen,

mistik ve alegori sanatını bilim kurguyla harmanlayan aykırı bir yazar olarak

tanımlayabiliriz Kitapları çoğunlukla öykülerden oluşuyor ama içerikleri felsefi ve

mantığın sınırlarını zorlayan öğelerle bezeli olduğundan “okumak” ciddi bir emek

isteyebiliyor. Aslında Borges birçok öyküsünde bilim ile edebiyatın iç içe bir

kurmacada sunulduğunu görürüz. Kritik kavramlar ise sonsuzluk, paradoks, topolojik

uzay, kozmoloji, döngüsel evrenler üzerinedir. Her şeyin mümkün olduğu ve bunun hiç

                                                            100http://www.miasanat.com/SimpleViewer_yagliboya/yagliboya.html(Erişim:27.01.2016) 

56  

bir anlama gelmediği bir dünyalardan bahseder. İnsan varlığının, varoluşun

ayrıntılarında gezinen ve eserlerinde varlığın kör noktalarına çomak sokarak, bazen bir

küçük bir detayı bizim için oldukça anlamlı kılan; evren, sanki o kurgu üzerine

kuruluymuş hissi uyandıran bazen de bizim için elzem bir konuyu umursamadan geçip

giden bir yazardır.

“Kum Kitabı” eseri, sonsuzluk üzerine kurgulanmış en ünlü eserlerinden biridir.

Anlatıcımıza tuhaf bir İncil satıcısı tarafından getirilmiş olan “kitap” her açıldığında

karşısına başka bir sayfa çıkar. Bir kez açılan sayfayı bir kere daha görmek imkânsızdır.

Kitabın ilk ve son sayfalarını bulmak için ne kadar uğraşırsa uğraşsın, anlatıcımız bunun

mümkün olmadığını anlar. Çünkü ne başı ne sonu olan bir kitap söz konusudur. Adı bu

yüzden Kum Kitabıdır, çünkü kumun da ne başı ne sonu vardır. Bu kitabın

korkunçluğundan korkup onu yakmak ister ama sonsuz bir kitabın yakılmasının sonsuz

olmasından ve kitaptan çıkan sonsuz dumanın gezegeni boğmasından korkar. Bir

yaprağın saklanabileceği en iyi yerin orman olduğunu düşünen anlatıcı kitabı

kütüphaneye koyar hem de Şehrazat’ın, Binbir Gece Masalları’nın yanına koyar. Bir

tarafta ne başı ne sonu olan sonsuz sayfalı bir kitap diğer tarafta her gece hikâyelerini

çoğaltmak zorunda olan, kum kitabından sonra belki de sonsuzluğa işaret eden tek

kitap!101

Kum Kitabı hikâyesinde olduğu gibi, bir kere okuduğumuz sayfayı bir kez daha

okumamız imkânsız; çünkü bir okur olarak biz ve o andan sonra doğal olarak metin bir

daha ki okumamıza kadar aynı kalamıyor, değişiyor(uz). Burada sonsuzluk algısı

oldukça farklıdır. Ona göre sonsuzluk, hem ezeli hem ebedidir çünkü kitabın ne başı ne

de sonu vardır. Ayrıca kural tanımayan, düzeni yok sayan, öngörülemeyen bir kaostur.

Dolayısıyla sonsuz yalnızca erişilemez değil, herhangi bir bölümü de algılanamaz olan

bir yapıdadır.

Sonsuzluk öğeleriyle bezeli ve bir kitabına ismini veren diğer bir eseri Alef’tir.

Alef, İbrani alfabesinin ilk harfi olan “alef”i merkezine alarak, bizi evrenin kökenine ve

sonsuzluk düşüncesine götürüyor. Alef, uzay boşluğundaki tüm noktaları kapsayan bir

noktadır; bu noktadan içeri bakan kişi evreni görür ve onu kucaklar. Burası sonsuzluğun

                                                            101Borges, Jorge Luis. Kum Kitabı, Çev. Yıldız Ersoy Canpolat, İletişim Y., 11. Basım, İstanbul, 2010

57  

hem başladığı hem bittiği yerdir. Zaman, kimlik ve ölümsüzlük temaları çevresinde

kurulan Alef, farklı gerçeklik ve anlam katmanları vaat eden bir metin olarak karşımıza

çıkıyor. 102

Alef’te Borges evrenin tüm noktalarını aynı anda birden görüyor. Yeryüzündeki

bütün yerlerin, her açıdan açık seçik, birbirine karışmadan, göz kamaştırmadan

göründüğü tek yer, dünyadaki tek noktadır Alef. "Ben bir tek dev saniye içinde hem

fevkalade hem korkunç olan milyonlarca eylem gördüm; hiçbiri de beni, hepsi mekânda

aynı noktayı kapladıkları halde, birbirlerini gölgelememeleri, örtmemeleri kadar

etkilemedi. Alef'te dünyayı, dünyada Alef'i gördüm; sersemledim ve ağladım; çünkü

gözlerim herkesin adını bildiği ve kimsenin bakamadığı o gizli ve ancak tahmin

edilebilecek şeyi, tasavvur edilemez âlemi görmüşlerdi." 103

                                                            102Borges, Alef, Kapak Yazısı 103Borges, a.g.e.,s.190-191

58  

III. BÖLÜM

SINIRLILIK VE SINIRSIZLIK KAVRAMLARI  

Sonsuzluğun kavramsal incelemesini; sanat ve edebiyat alanında sonsuzluğun

çeşitli yansımalarını ve yorumlarını gördük. Buralarda sınırlılık-sonluluk ve sınırsızlık-

sonsuzluk kavramlarının birbirlerinin muadili gibi kullanıldıklarına dikkat etmek

gerekiyor. Hakikaten bu kavramlar birbirinin yerine kullanılabilir mi, kapsamları aynı

mı, daha doğrusu eşanlamlılar mı? Benzerlikleri ya da farklılıkları nelerdir bunları ele

almak istedik. Bu kavramları analiz ettikten sonra sonsuzluk kavramının etrafındaki

çemberi biraz daha daraltarak bu kavramı daha iyi anlamayı amaçlıyoruz. Konuya

tezimizin temelini oluşturan Kindî’nin tahliliyle başlayalım:

Sonsuz farz edilen iki cisimden küçük olan büyüğünü veya onun bir kısmını

oluşturur. Büyüğünü oluşturan şüphesiz onun bir kısmını da oluşturur. Öyleyse küçük

olan büyüğün bir kısmına eşittir. Benzer iki eşitlik, sınırlarının arasındaki boyutlar aynı

olandır. Bu durumda her ikisi de sonlu demektir. Çünkü aralarında benzerlik

bulunmayan eşit cisimlerin bu eşitliğini sayı olarak bir tek cisim sağlar; diğer taraftan

nicelik veya nitelik bakımından ya da her ikisi açısından aralarında farklılık olabilir.

Dolayısıyla ikisi de sonludur. Sonsuz kabul edilen cisimlerden küçük olanı sonludur

denirse, bu bir çelişki olur. Zira biri diğerinden daha büyük değildir. 104 Kindî’nin

sonsuzluk bağlamında yaptığı açıklamaya baktığımızda, kavramlar dikkatli bir şekilde

incelendiğinde sınırlılık ve sonluluk ya da sınırsızlık ve sonsuzluk kavramlarının aynı

anlamda kullanıldıkları görülür. Bu noktada tekrar şunu sormak gerekiyor: Sınırsızlık

ve sonsuzluk aynı anlamda mıdır? Felsefe sözlüğünde bu kavramlar şu şekilde

tanımlanmıştır:

Sonsuzluk: Zamanın, mekânın ya da herhangi bir dizinin sonu, bitimi, sınırı

olmaması durumudur. Bu anlamda doğal sayılar dizisi, sonsuz bir dizi meydana getirir,

zira dizide ne kadar büyük bir sayıya ulaşırsanız ulaşın, ona bir sayı daha eklemek

mümkündür. Bununla birlikte, ikinci bir anlamda sonsuzluktan, sayılabilir parçalardan

                                                            104Kindî, Felsefi Risaleler, a.g.e.,s.150

59  

oluşmayanbütünler için geçerli olan sonsuzluktan da söz edilebilir. Burada sonsuzluk,

tam ya da yetkin olma durumunu gösterir.105

Sonlu: Sonsuz ya da sınırsız olana karşıt olarak, örneğin sonlu bir dizide olduğu

gibi, bir sonu ya da son terimi olma durumu. Sınırlanmış olma, sınırlı bir büyüklüğe

sahip olma hali. Güç, yetenek, büyüklük gibi nitelikler bakımından sınırlanmış olma

durumu. Belli sayıda adımı geçmeme halidir. 106 Bu iki tanımlamaya baktığımızda

sınırlı, sonlu kavramıyla sınırsız da sonsuz kavramıyla denk tutulmuştur. Gerçekten bu

kavramlar birbirlerine denk midir inceleyelim:

(X,τ ) bir topolojik uzay ve A kümesi X in alt kümesi olsun. Akümesinin sınırı,

δA= şeklinde tanımlanır. Şekil olarak şöyle gösterebiliriz:

Reel sayılar kümesi üzerinde standart topoloji var olsun ve A = [0, 1] kümesi

verilsin.

= [0, 1] ve = (0, 1) olduğundan δA = {0, 1} dir.107

                                                            105Cevizci, Ahmet.Felsefe Sözlüğü, Ekin Yayınları, Bursa, 1996, s. 473 106Cevizci, a.g.e., s. 472 107 X bir topolojik uzay ve A ⊂ X olsun.

1. A kümesinin kapsadığı tüm açık alt kümelerin birleşimine A kümesinin içi denir ve ile gösterilir

2. A kümesini içeren tüm kapalı kümelerin arakesitine A kümesinin kapanışı denir ve = ile gösterilir. 

60  

Yukarıda görüldüğü gibi elimizde sınırlı bir A kümesi var ama A kümesi sonsuz

elemana sahip bir kümedir. A = [0, 1] sonsuz reel sayı içeren bir kümedir. Dolayısıyla

sınırlı bir kümenin her zaman sonlu eleman içerdiğinden bahsedemeyiz ve her sınırlı

kümeye sonlu diyemeyiz. Diğer taraftan Öklid metriğine göre gerçel eksenin her sonlu

aralığı sınırlı bir kümedir. Tabi burada uyarmamız gereken bir noktada şu ki bir küme

bir metriğe göre sınırlı olmasına rağmen diğer bir metriğe göre sınırlı olmayabilir. Yani

sınırlılık metriğe bağlıdır.108

Konuyu “dizi”ler üzerinde daha detaylı bir şekilde inceleyelebiliriz. boş

olmayan herhangi bir küme olmak üzere her pozitif tam sayıyı kümesinden bir

elemana eşleyen fonksiyona “dizi” denir. Diziler değer kümesine göre isimlendirilir.

Mesele her pozitif tam sayıyı bir reel sayı ile eşleştiren fonksiyonlar “reel dizi” olarak

tanımlanmaktadır. Dizilerde

: 1,2,3, … →

1 → 1

2 → 2

→

olacak şekilde pozitif tam sayılar ile f fonksiyonunun değerlerinin oluşturduğu

, , , … , , … sıralı listesi birebir eşlenebilmektedir. Yani bir dizinin elemanları

belli bir sıraya göre listelenir. Daha somut bir örnekle ifade etmek gerekirse dizilerde

kümelerin liste ile gösteriminin aksine terimlerinin yazılış sırası önemlidir.

Diziler özel bir fonksiyon olduğu için f yerine özel bir gösterim olarak ,

vb. gösterimler tercih edilir, ancak bu sadece bir gösterimdir. Burada

ifadesindeki dizinin genel terimi olarak adlandırılır. Buradaki sembolü ise

                                                            108Yüksel, Şaziye, Genel Topoloji, Eğitim Yay., Konya, 2011, s.428-430 Karaçay, Timur,Genel Topoloji, Kuban Matbaacılık Yay., Ankara, 2009, s.212-215

61  

“indis/eşleme” görevi görmektedir. Mesela 3 iken dizinin üçüncü terimi ile

gösterilir.

Bir dizinin genel teriminden hareketle dizinin istenilen terimi bulunabilir.

Mesela

3 2 dizisinin 10. terimi 3 2 1536’dır.

Diğer taraftan , , , … şeklinde elemanları olan bir diziyi ele alalım. Bu dizinin

elemanlarının maksimum ulaşacağı değer 1’dir. Bu örnekte olduğu gibi elemanlarının

değeri belirli bir değeri geçmeyen dizilere sonlu dizi denir. Bu tür diziler için yakınsak

dizi veya sınırlı dizi isimleri daha çok tercih edilmektedir. Şimdi yakınsak ve sınırlı dizi

kavramlarını biraz daha detaylı irdeleyelim.

Dizilerin yakınsaklığı ve sınırlılığının tanımına geçmeden önce bu kavramların

daha kolay anlaşılması için örnek olarak , 1 1 dizilerini ele alalım.

Bu dizilerin elemanlarının ulaşabilecekleri en büyük değerleri karşılaştıralım:

11,14,19,116

…

1 2,5,10,…

1 1,1, 1,1, …

dizisinin elemanları büyüdükçe sıfıra yaklaşmakta iken 1

dizisinin elemanları büyüdükçe artmaktadır. 1 dizisinin elamanları ise tek

sayı olduğunda “-1”, çift sayı olduğunda ise “+1” değerini almaktadır. Yani dizinin

yaklaştığı tek bir sonlu değer yoktur. Burada kastedilen genel anlamda dizinin

elemanlarının ne arttığı ne azaldığı değil, dizinin elemanlarının büyüdükçe tek bir

değere yaklaşmadığıdır.

Örnekte görüldüğü gibi büyüdükçe elemanları belirli bir değere yaklaşıyorsa

diziler “yakınsak”, aksi halde “ıraksak” diziler olarak sınıflandırılmaktadır. Bu durumda

dizisi yakınsak, 1 ve 1 dizileri ıraksaktır. Ayrıca özel olarak

62  

1 1,1, 1,1, … dizisi gibi tüm elemanlarının mutlak değerleri belli bir

(│ │ , 1,2,3, … ) sayısından küçük olan dizilere sınırlı dizi denir.

Öte yandan yakınsak her dizi sınırlıdır. Mesela .

dizisi örnek olarak

verilebilir. Bu dizinin elemanları büyüdükçe sıfıra yaklaşmaktadır. Yani dizinin her

elemanı 1, aralığında olduğu için sınırlıdır. Bir dizinin “sınırsız” olması, ise onun

öğelerinin sonsuz sayıda olması yani diğerlerinden daha büyük bir son sayısı olmaması

anlamına geliyor.

Bu konuya değinmişken Milli Eğitim Bakanlığı, Talim ve Terbiye Kurulu

Başkanlığının 31.07.2013 tarih ve 86 sayılı kurul kararıyla 2013-2014 öğretim yılından

itibaren 5 yıl süreyle ders kitabı olarak kabul edilen 9. Sınıf matematik kitabındaki109 bir

soruyu irdeleyelim. Soru ve cevabı şu şekilde verilmiştir:

Ama maalesef sorunun çözümünde ciddi bir hata vardır. Burada serinin bir kısmı

-∞’a, bir kısmı da +∞’a gitmektedir. Ama çözümde bu seriyi toplayarak bir değer elde

ediliyor. Bunun mümkün olamayacağını detaylı bir şekilde inceleyelim:

Sadece bir dizinin kısmi toplamları yakınsaksa terimleri toplanabilir. Yani a0 +

a1 + a2 + ... gibi sıraya dizilmiş kısmi toplamları yakınsak olan elemanlar toplanabilir.

                                                            109Karakuyu, Erhan. Bağcı, Oktay, Ortaöğretim Matematik 9 Ders Kitabı, Dikey Yayıncılık, Ankara, 2014, s.56

63  

Eğer sayı kümesinin elemanları a0 , a1 , a2 , … olarak iyi sıralanmışsa bu sayıların

toplamı

∑ lim→∞

⋯∞ olarak tanımlanır.

Teorem1:

Σxi, terimleri pozitif olan bir seri olsun. σ, ’nin bir eşlemesi olsun. O zaman, eğer Σxi

ve Σσ(i) serilerinden biri yakınsıyorsa diğeri de yakınsar ve yakınsadıklarında aynı

sayıya yakınsarlar.

İspat:

snve tn sırasıylaΣxi ve Σσ(i) serilerinin kısmi toplamları, s ve t de serilerin limitleri olsun.

Her iki kısmi toplamlar dizisi de artan dizidir. (tn)n dizisinin üstten s tarafından sınırlı

olduğunu kanıtlayacağız.

0 ,… , olsun. Hesaplayalım:

Demek ki dizisi de, dolayısıyla Σ σ(i) seriside yakınsak. Eğer limite t

dersek, yukarıdaki eşitsizlikten t ≤ s elde ederiz. Ama şimdi s, t ve σ ile yaptığımızı t, s

ve ile de yapabiliriz ve bu sefer s ≤ t elde ederiz.

Bu teorem bize, pozitif bir serinin terimlerinin yerlerini değiştirsek bile

yakınsaklığın bozulmayacağını ve limitin değişmeyeceğini gösterir. Yakınsak olan ama

mutlak yakınsak olmayan bir seriler bu konuda farklılık gösterir: böyle bir serinin

terimlerinin yerlerini değiştirirsek seriyi dilediğimiz seriye yakınsattırabiliriz hatta

dilersek ±∞’a bile yakınsattırabiliriz.

Teorem2:

(Riemann Düzenleme Teoremi) Ʃ koşullu yakınsak olan bir seri olsun. b∈,

rastgele olsun. O zaman doğal sayılar kümesi ’nin

64  

Ʃ = b

Eşitliğini sağlayan bir σ eşleşmesi vardır.110

Niyetimiz limitler hakkında ortaya çıkan zorluklar üzerine yoğunlaşmak

değildir; matematikçiler sonsuz küçükler hesabının Fermat, Newton ve Leibniz

tarafından yaratılmasından sonra iki yüzyıl boyunca bunlarla savaştılar. Ama yine de

sağduyunun her zaman güvenilebilecek bir önsezi olmadığını, bizi yanlışlara

sürüklediğini göstermek için çok basit bir örnekten söz edeceğiz. 

Bir yarım çemberi ve çapını ele alalım. Bu yarım çemberin içine ardışık olarak:

iki yarım çember; sekiz yarım çember ve on altı yarım çember çiziyoruz ve böylece

devam ediyoruz. Bu çizim işlemine devam edildiğinde, sonsuz sayıdaki yarım

çemberin, sonunda çapla aynı olacağını “gün gibi açık” bir şekilde göremeyen var

mıdır?

Çap iki kat küçüldüğünde uzunluk yarısı kadar azalmaktadır. Ve iki kalın çizgi

için, bir ince çizgi olduğuna göre yani dışarıdaki yarım çemberin uzunluğu hemen

altında ki iki yarım çemberin uzunluğuna eşit olduğundan, farklı farklı çizgilerin

                                                            110 Nesin, Ali. Analiz 1, Nesin Yayıncılık A.Ş., İstanbul, 2012, s.293-295 Musayev, Binali. Alp, Murat. Mustafayev Nizami. Analiz II, Seçkin Yayıncılık, 2. Baskı, Ankara, 2007, s.401-402 Bu teoremin ispatı oldukça uzun olduğu için burada yer vermedik, istenildiğinde analiz kitaplarından bulunulabilir.

65  

uzunlukları değişmez kalır ve büyük çemberin çapına hiçbir zaman bitişmez. Demek ki

burada limitten söz edilemez, çünkü limit için ilk koşul değişen bir şeylerin olmasıydı.

Burada değişen farklı alanlardaki çizgilerin sınırladığı toplam alandır. Bu alanlar

giderek azalır ve limit de sıfır olur. Biraz üzerinde düşünüldüğünde durum

olağanüstüdür: Bir doğru çizgiyle, tümü eşit sonsuz sayıda küçük çember arasında kalan

alan sıfıra eşittir.111

1. BELİRSİZLİK, TANIMSIZLIK VE SONSUZLUK İLİŞKİSİ  

Tanımsızlık, belirsizlik ve sonsuzluk çoğu zaman birbirine karıştırılan kavramlar

olmaktadır. Hatta bazen birbirinin yerine bile kullanılabilmektedir. Bunun nedeni, bu

kavramların aralarındaki farkın veya kendi salt manalarının yeterince bilinmediğinden

kaynaklı olduğunu düşünüyoruz. Sıfırdan farklı bir sayının sıfıra bölümü, karesi -1 olan

bir reel sayı ya da sıfırın logaritması tanımsız mıdır, belirsiz midir yoksa sonsuz mudur?

2. TANIMSIZLIK  

  Tanımsızlığın üç durumdan oluştuğunu söyleyebiliriz. Birincisi tanımsız

kavram, ikincisi tanımsız değer ve üçüncüsü tanımsız durumdur (form). Ama

tanımsızlığın ne olduğunu incelemeden önce tanımın ne olduğunu bilmeliyiz ki

tanımsızlığı iyi kavrayalım.

Tanım, herhangi bir şeyi başkalarından ayıran sınırları belirtmedir. Yani bir

mantık yöntemi olarak, bir terimin içleminde bulunan temel sıraları belirtmekle

yapılır. 112 Buradaki temel sıraların kapsamı hakkında İbn Sina şunları

söylemektedir:”Tanım, şeyin mahiyetine delalet eden sözdür. Hiç kuşkusuz o,şeyin

kurucularınıbütünüyle kapsar. Kaçınılmaz olarak o, şeyin cinsininve ayrımının

bileşiminden ibarettir. Zira onun ortak kurucuları cinsi, özel kurucusu ise ayrımıdır.

                                                            111Boll, Marcel. Matematik Tarihi, Çev. Bülent Gözkan, İletişim Yayınları, İstanbul, 2008, s.54-55 112Hançerlioğlu, Orhan. Felsefe Ansiklopedisi, Kavramlar Ve Akımlar, Cilt 6, Remzi Kitabevi, İstanbul, 1985, s.221

66  

Bileşiğin ortak ve özel olan şeyleri bir araya gelmedikçe, şeyin bileşik gerçekliği

tamamlanmaz. Bilmemiz gerekir ki tanımlamada amaç, denkgele ayırt etmek değildir.

Amaç, onunla anlamın olduğu gibi kavranmasıdır. Herhangi bir şeyin, cinsindens onra

kendine eşit olan iki ayrımı olduğunu varsaydığımızda -ki bazencanlının nefis sahibi bir

cisim olduktan sonra iradeyle hareket etmeve duyumlama gibi iki ayrımının bulunduğu

sanılır- bu ayrımlardan birisi tek başına getirildiğinde kendisiyle kurucu (yüklem olanı)

ayırt etmeninkastedildiği tanım için bu yeterli olur. Ancak şeyin kendisinin

gerçekleşmesi ve gerçekliğinin olduğu gibi (belirlenmesi) tanım için yeterli değildir.

Eğer tanımdan amaç, kurucu (yüklemler) ile denkgele ayırt etmek olsaydı, "insan, bilen

ve ölümlü olan bir cisimdir" sözümüz tanım olurdu.”113

Yukarda bahsi geçen durumlardan birincisini yani tanımsız kavramı ele alırsak,

burada kullanılan tanımsız kavramının bir sıfat olduğunu ve nitelediği kavramın, ele

alındığı sistem içerisinde tanımsız olduğunu söylememiz gerekir. Geometrideki nokta,

doğru ve düzlem buna örnektir. Yani nokta tanımsız bir kavram değildir, nokta

matematikte tanımsız bir kavramdır şeklinde değerlendirilmelidir. Diğer taraftan da şu

söylenebilir: tanımsız olduğunu belirttiğimiz kavram, herhangi bir tanıma ihtiyaç

duymaksızın herkes tarafından anlaşılan ve doğruluğu sezgisel olarak kabul edilen bir

kavramdır. Yani bu kavramları tanımlayacak daha temel kavramlar yoktur.

İkinci durumu ele alalım: tanımsız değer, sıfırdan farklı bir sayının sıfıra

bölünmesi durumunda ortaya çıkan ve tanımlanamayan değerdir. Yani ;

durumudur. Bu durum literatürde mutlak tanımsız olarak nitelendirilir. (Burada 0

seçilirse ortaya tanımsız durum değil belirsiz durum çıkar ve bu ilerde incelenecektir.)

bu ifadenin neden tanımlanamayacağını inceleyelim. olsun. Bu durumda . 0

olur. Yani eşitliğin sağ tarafı daima sıfırdır ve buradan 0 elde ederiz. Başlangıçta

0 seçildiğinden bir çelişki oluşur ve çelişki bize işleminin bir sayı değerine

karşılık gelemeyeceğini, böyle bir sayının tanımlanamayacağını söyler.

                                                            113İbn Sina.İşaretler Ve Tembihler, Çev: Ali Durusoy, Litera Yay., İstanbul, 2005, s.17 

67  

Burada özel bir durumdan söz edelim. İncelediğimiz bir eserde114 “paralel iki

doğru sonsuzda bir noktada kesişir” denilerek “sonsuzdaki nokta nedir?” sorusu

cevaplanmaya çalışılmış. Acaba Öklit uzayında da paralel doğrular sonsuzda kesişir mi?

Ya da paralel doğrular hangi uzayda kesişir soruları cevap beklemektedir. Ardından

stereografik izdüşüm yöntemi kullanılarak kompleks düzlemde sonsuzdaki nokta

tanımlanabilmiştir. Hemen bu tanımın ardından bir çıkarım yapılarak bir sayının sıfıra

bölümünün anlamlı olduğu iddia edilmiştir. Hatta sayının sıfıra bölümünün sonsuz

olduğu ama genel halde sıfırla bölünmenin tanımsız olduğu iddia edilerek oldukça

bulanık bir sonuca bağlanmıştır. Bu konu üzerinde biraz daha ayrıntılı durmak gerek.

Öklit uzayında paralel doğrular kesişir mi, sorusunu kısaca inceleyelim. Bu

çerçevede iki adet doğru denklemi alalım:

0ve 0 olsun. Bu doğruların paralel olmaları

için olmalıdır. Ama maalesef bu iki denklemin bunu sağlayan bir

çözümüyoktur. Dolayısıyla öklit uzayında iki paralel sonsuzda kesişmez. Elbette Öklit

uzayından farklı uzaylar da var.

Bu noktada Streografik İzdüşüm yöntemi ve Riemann Sayı Küresi ile düzlemin

noktaları arasındaki eşleştirmeden bahsetmek gerekir. Sonsuz noktasının kompleks

düzlemde gösterilebilmesi için kullanılacak yönteme “Stereografik İzdüşüm” adı

verilmektedir. Sonsuz noktası, geometrik olarak kompleks düzlemin küreye izdüşümü

alınarak gösterilebilmektedir. Bunun için küre üzerindeki noktalarla kompleks

düzlemin noktaları arasında birebir örten bir ilişki kurulmalıdır. Öncelikle z ekseninin

üzerinde 1 birim çaplı küre çizilir ve kürenin güney kutup noktası xy düzleminin

orjininde ve kuzey kutup noktası I(0,0,1) olarak kabul edilsin. Küre üzerinde, kuzey

kutup noktasından farklı bir P noktası seçilir. Üçgenlerde benzerlik kullanılarak devam

edilir.115

                                                            114Polatoğlu, Yaşar. Şen, Arzu. Yavuz, Emel. Özkan, Esra. Matematiksel Sonsuzluk Ve Görelilik,Mantık, Matematik Ve Felsefe III. Ulusal Sempozyumu, Sonsuzluk Ve Görelilik, İstanbul Kültür Üniversitesi Yay., 2008, s.271-273 115Özkan H. Esra, Kompleks Analiz 1, İstanbul Kültür Ünv., Udes (Örgün Eğitimde Uzaktan Öğretim Desteği), s.10-14. http://udes.iku.edu.tr/(Erişim 03.12.2015) 

68  

Benzerlik teoremlerinden:

│ │

│ │ │ │

│ │ burdaki uzunlukları bularak yerine yazarsak:

│ │

│ │ │ │

│ │⟹│ │ │ │

│ │ olur.

Küredenkleminiyazalım:

0 0

‐ 0⇒ 1

Bunu benzerlik denkleminde yerine yazarsak:

│ │ │ │

│ │olur.

Küçük taralı üçgenden sinθ= , cosθ

z kompleks sayısı Z │z│. cosθ i.sinθ yazılır ve burada yukarıdaki

eşitliklerkullanılırsa

z │z│. cosθ i.sinθ i √

= (

.

= .

69  

Bu son eşitlik bize, küre üzerindeki her P( , , ) noktasına düzlem üzerinde

bir z noktasının karşılık gelebileceğini gösterir. Yani burada yukarıda bahsettiğimiz gibi

küre ile düzlem noktaları arasında birebir ve örten eşleme sağlanmıştır.

Esas noktaya gelecek olursak, P noktası I noktasına yaklaştıkça yani P( , , )

→I(0,0,1) kabul edilirse

z= . olduğundan → 1 için → ∞ ve → ∞ olur ki

bu da z=∞ demektir.116

Burada vurgulanmak istenen konu şudur: bu stereografik izdüşüm altında bir tek

kuzey kutup noktası kompleks düzlemin herhangi bir noktasıyla eşleştirilmemiştir.

Kompleks düzlemde bulunan sonsuz noktası da bu kutup noktası ile eşleştirilirse yani

bu izdüşüm altında kuzey kutup noktası I noktasına karşılık getirilirse bu şekilde birim

küre ile kompleks düzlem arasında birebir örten bir eşleme sağlanmış olur. Ayrıca P

noktası I’ya yaklaştıkça z noktası sonsuza yaklaşır. Reel sayı doğrusunda negatif ve

pozitif olmak üzere iki adet sonsuz varken genişletilmiş kompleks düzlemde117 sadece

bir adet sonsuz vardır.

Matematikteki limit hesabını ele alacak olursak bu yöntem, bir bağımsız

değişkenin belli bir değeri için başka bir bağımlı değişkenin nasıl değer alacağının

bulunmasına yardımcı olur. Mesela ifadesinin x=0 ‘daki değerini bulacağız ama işlem

basamaklarından birinde tanımsız bir durumla karşı karşıya kalıyoruz. Bu durumda x’in

değerini 0’a çok yakın ama sıfırdan farklı değerler seçerek işlemi ilerletiyoruz. Her

defasında x’e, 0’a çok yakın değerler vererek mümkün olduğunca 0’a yaklaşıyoruz.

Ama iki türlü: ilki x’e pozitif değerler vererek yaklaşıyoruz. Yani

                                                            116Polatoğlu, Yaşar. Şen, Arzu. Yavuz, Emel. Özkan, Esra. Matematiksel Sonsuzluk Ve Görelilik,Mantık, Matematik Ve Felsefe III. Ulusal Sempozyumu, Sonsuzluk Ve Görelilik, İstanbul Kültür Üniversitesi Yay.,İzmir. 2008, s.271-273 Hacısalihoğlu, H. Hilmi. Yüksek Boyutlu Uzaylarda Dönüşümler Ve Geometriler, Bilecik Üniversitesi Yayınları, Bilecik, 2010, s.193-196 Şuhubi, Erdoğan S. Dış Form Analizi, Türkiye Bilimler Akademisi Yay., Ankara, 2008, s.54-56 117Kompleks düzleme sonsuzdaki noktanın eklenmesiyle “genişletilmiş kompleks düzlem” elde edilir. Kompleks analizde zaman zaman bağımsız değişkenin verilmiş bir noktaya yaklaşması durumunda sonsuz değerini alan fonksiyonlarla karşılaşılır. Bu durumda genişletilmiş düzlem kavramının tanımlanması gerekir. Genişletilmiş düzlem C ∪ {∞} ≡ ∞ ile gösterilir.

70  

3,,

30,,

300,… olacak şekilde ilerlersek sonuç gitgide büyüyerek

+∞’a ıraksar. İkincisi x’e, negatif değerler vererek yaklaşıyoruz. Bu defa gittikçe azalan

(negatif yönde ıraksayan) bir dizi elde ederiz. ,

30,,

300,… . Bu

durumda da limit -∞ olacak. Bu durumda da ’ı tanımlamada zorluk var çünkü ifade

“artı sonsuz” da olabilir “eksi sonsuz” da (bu durum için “belirsiz” kelimesi

kullanılabilir). Ama bu durum yukarıda görüldüğü gibi kompleks uzayda geçerli

değildir. Çünkü kompleks uzayda bir tane sonsuz vardır. Öyleyse bahsi geçen eserde

denildiği gibi “bir sayının sıfırla bölümünün anlamı olduğunu, yani bir sayının sıfıra

bölümünün sonsuz olduğunu” söyleyemeyiz.

Üçüncü durum yani tanımsız durum ise tanımında belirtilen şartları sağlamayan

veya getirilen kısıtlamaların dışında kalan hallere işaret eden tanımsızlık türüdür. Yapı

özelinde düşünülmelidir. Yani 1 0 denklemini ele alırsak sayısı reel sayısıysa

denklemin çözümü mümkün değildir. Çünkü karesi -1 olan bir reel sayı yoktur. Ya da

y log 1 fonksiyonu x≤1 için tanımsızdır. Tanımsız durum matematiksel bir

tutarlılığın sonucu olabileceği gibi keyfi olarak da belirlenebilir. : 1 → şeklinde

tanımlanan fonksiyonunu ele alırsak bu fonksiyon 1 noktasında

tanımlanmamıştır ve bu yüzden fonksiyonu 1 değerinde tanımsızdır.

3. BELİRSİZLİK  

Belirsizliği de tanımsızlıkta olduğu gibi üç durumda ele alacağız: Belirsiz terim,

belirsiz değer ve belirsiz durum(form).

Belirsiz terim kapsamına cebirsel bir ifadede yer alan ve neye ya da hangi değere

işaret etiği açık olarak hemen belirlenemeyen terimlerdir. Cebirsel denklemlerde

kullanılan ve çözüm sonucunda değeri tayin edilebilen bir sembolik gösterime

bilinmeyen adı verilir. Mesela 2 1 7 denklemindeki sembolü bilinmeyen

olup belirsiz terimdir. Çünkü ’in ne olduğuna karar vermek için bir takım cebirsel

işlemler yapılmalıdır. Yani bu tür belirsizlik, cebirsel ifadenin gösterimi için seçilen

71  

sembollerin birer yer tutucu olarak temsilen kullanılması ve bu semboller için tamamen

keyfi değerler seçilebilmesinin mümkün olmasıdır.

Belirsiz değer ise bilinmeyene belli bir değer tayin edilemeyişi durumunda

ortaya çıkar. Bu konudaki en iyi örnek ifadesidir. x sonlu bir sayı olmak üzere

olsun. Bu durumda

0 0. böylece 0 0 olur. Yani bu eşitlik bütün x değerleri için sağlanabilir.

tanımlıdır ve yerine bu şartı sağlayan sonsuz tane farklı değer bulanabilir. Ama

problem, bu değerlerden hangisini almamız gerektiğidir. Dolayısıyla belirsiz

olduğundan değeri de belirsizdir.

Bu belirsizlikle alakalı bir başka durum da P(x)=0 polinomunun derecesinde118

karşımıza çıkar. P(x)=0 polinomu ise P(x)=0.xn , nϵ yazılabilir. Yani P(x)’in derecesi

n’ye bağlıdır. Ama n’ye belirli ve sonlu bir değer atamak mümkün değildir. n yerine

yazılabilecek sonsuz değer vardır ve bunlardan hangisinin seçileceğine karar vermek

mümkün değildir. Yani burada “belirsiz değer” yerine hangi sayının atanacağı

bilinememekte, bütün değerlerin aynı geçerlilikte olduğu gözükmektedir.

Son olarak “belirsiz form”dan bahsedelim. Bu sadece limit işlemlerinde

karşılaşılan bir durumdur. Temel olarak 7 farklı belirsizlik formu vardır ve şu şekilde

örneklendirilebilir119:

                                                            118n bir doğal sayı olmak üzere a0,a1,a2,…,an birer reel sayı olmak üzere P(x)=a0 +a1 x+a2x2

+a3x3+…+anxn ifadesindeki terimlerden herhangi bir akxk teriminde x’in kuvveti olan kϵ ’ye bu terimin derecesi denir ve bu terimlerden derecesi en büyük olanın derecesine P(x) polinomunun derecesi denir. 119 Özmantar, Mehmet Fatih. Bozkurt, Ali. Tanımsızlık Ve Belirsizlik: Kavramsal Ve Geometrik Bir İnceleme,Tanımları Ve Tarihsel Gelişmeleriyle Matematiksel Kavramlar, Pegem Akademi Yay., Ankara,2013, s.437-450

72  

ÖRNEKLER

BELİRSİZLİK FORMU

lim→ 1

∞∞

lim→

√ 1 √ ∞ ∞

lim→ 2 1

.2 13

0.∞

lim→

11

1

lim→

24

00

lim→

0

lim→

11

∞

73  

IV. BÖLÜM

EBU İSHAK EL KİNDİ’NİN SONSUZLUK ANLAYIŞI  

Daha önce bahsettiğimiz üzere âlemin sonlu ya da sonsuz olmasının bizim dünya

görüşümüz üzerinde, Tanrı-âlem ilişkisinde ciddi bir öneme sahiptir. Bu yüzden

sonsuzluk kavramı her dönem önemini korumuş ve birçok tartışma barındırarak

düşünce ufkumuzu genişletmiştir. Bu konu da oldukça önemli fikirleri olan Kant

dünyanın sonlu olduğunu söyler ve şu şekilde kanıtlamaya çalışır:

“Dünyanın zaman bakımından başlangıcı olmadığını, öyle ki belli bir ana

gelinceye dek sonsuz bir zaman geçtiğini, bu yüzden de, dünyadan, şeylerin ardışık

durumlarının sonsuz bir serisinin geçtiğini kabul edelim. Oysa bir dizinin sonsuzluğu

tam da onun ardışık bireşimlerle tamamlanamaması demektir. Demek ki sonsuz bir

dünya serisi olanaksızdır ve buna göre dünyanın bir başlangıcının olması varoluşunun

zorunlu koşuludur; bu da ilk kanıtlanması gerekendi.”120

Bertrand Russell bu sözleri şu şekilde eleştirir: “Bu çıkarım üzerine birçok

değişik eleştiriler yapılabilir ancak biz en azıyla yetineceğiz. Önce, bir serinin

sonsuzluğunu “ardışık bireşimlerle tamamlanma olanaksızlığı” diye tanımlamak

yanlıştır. Sonsuzluk kavramı her şeyden önce sınıfların bir özelliğidir ve seriye ancak

türetmeyle uygulanabilir; sonsuz olan sınıflar ise üyelerinin belirleyici özelliklerinin

tanımıyla anında verilmiş olurlar, öyle ki, artık bir “sona erme” ya da “ardışık

bireşimler” sorunu yoktur. Ve “bireşim” sözcüğü zihinsel bir bileştirme etkinliği

anımsatarak, az çok el altından, Kant’ın bütün felsefesini bozan zihne bağlılık

kavramını içeri sokar. İkinci noktada, bir sonsuz seri ardışık bireşimlerle “hiçbir zaman”

bitirilemez derken Kant’ın anlaşılır biçimde söyleme hakkı olan şeyin tümü, serinin

sonlu bir zaman içinde bitirilemeyeceğidir. Yani gerçekte kanıtladığı şey, olsa olsa, eğer

dünyanın bir başlangıcı olmasaydı sonsuz bir süreden beri var olması gerektiğidir. Oysa

bu, amacına hiç de uymayan pek yoksul bir sonuçtur.

Kant’ın böylesine bir yanlışlığa nasıl düştüğünü incelemekte yarar var.

İmgeleminde şu açıkça görülüyor: şimdiden başlayarak zaman içinde geri doğru gitsek,

                                                            120Bertrand, a.g.e., s.142 

74  

eğer dünyanın bir başlangıcı olmasaydı, sonsuz bir olaylar dizisi elde ederdik.

“Bireşim” sözcüğünden anladığımıza göre, bu olayları, ortaya çıkışlarının tersine bir

sıra içinde yani bu günden geri doğru kavramaya çalışan bir zihin tasarlıyordu. Bu

serinin sonu olmadığı açıktır. Oysa şimdiye doğru gelen olaylar dizisinin bir sonu var,

çünkü şimdi de bitiyor. Geri doğru bireşimleri doğru oluşumların yerine koymakla

serilerin anlamını da tersine çevirdiği dikkatinden kaçmış oldu ve böylece sonu olmayan

zihinsel diziyle, sonu olup da başlangıcı olmayan fiziksel diziyi özdeşleştirmek

gerektiğini kabul etti. Sanırım işte bu yanlış, bilinçaltında işleyerek, onu bu inanılmaz

çürüklükteki yanlış kanıtlamaya götürmüş oldu.121

Alemin ezeli oluşu (kıdemi) ve sonradan meydana gelişi (hudusü) konusunda

İhvan-ı Safa sonsuzluk kavramını bilginler arasındaki görüş farklılıkları üzerinden ele

almaktadır.122 İhvanı Safa’nın matematik ve fizik üzerine risaleleri olmasına rağmen

ezelilik-ebedilik konusunu matematiksel olarak ele almamaktadır. Üstelik felsefi

ilimlerin dört çeşit olduğunu söylerek ilk sıraya matematiği koymuşlardır. 123 Buna

rağmen sonsuzluk ya da alemin sonluluğu konusunda matematiksel analizleri yoktur.

Bu konuda çeşitli aksiyomlarla matematiksel ispat yapmaya çalışan ilk İslam

filozofu Kindî, Tanrı-alem ilişkisinde oldukça önemli bir yere sahiptir. Ebu Yusuf

Yakub Bin İshak El Kindî (801-830), 9. yüzyılın başlarında Kufe‘de doğmuş, Basra ve

Bağdat’ta Hint, İran ve Yunan kültürlerinin etkisi altında yetişmiş, bir çok ilimlerle,

özellikle kelam ve felsefe ile ilgilenerek, İslam’da felsefe ile karışık kelamdan sırf

felsefeye geçişin temsilcisi olmuştur.

Kindî ile aynı dönemde yaşamış olan Ebû Ca'fer Muhammed bin Mûsâ el-

Hârizmî (D.780-Ö.850) dönemin ünlü matematikçisidir. Hatta adında “cebir” kelimesini

taşıyan ilk matematik kitabı da Hârizmî’ye aittir.124 Eserlerine baktığımızda, daha çok

                                                            121Bertrand, a.g.e., s.143 122 İhvanı Safa Risaleleri, Tabîî-Cismanî Şeylerin (El-Cismaniyyatü't-Tabîiyyat) On Üçüncü -İhvan-I Safa Risaleleri'nin Yirmi Yedinci- Risalesi: Tabiî-Beşeri Cisimlerde Tikel/ Cüz'î Nefıslerin Nasıl Meydana Geldiğine Dair, Ayrıntı Yay., 1. Baskı, İstanbul, 2014, c. 3, s.31-34 a.g.e., Akli Nefsanîlerin/Nefis Ve Akla Dair Olan Şeylerin (En-Nefsanîyyatu'l-Akliyyat) Sekizinci -İhvan-I Safa Risaleleri'nin Otuz Dokuzuncu- Risalesi: Hareketlerin Cinslerinin Niceliği Hakkında, s.272-276 123 İhvanı Safa Risaleleri, Ayrıntı Yay., 1. Baskı, İstanbul, 2014, c. 1, s.33 124 Fazlıoğlu, İhsan. İslam Ansiklopedisi, TDV Yayınları, 1997, İstanbul, c. 16, s. 224-227 

75  

matematiksel usul ve metodların ele alındığını ve bu konu hakkında bir bilginin mevcut

olmadığını gördük.

El Kindî Yunanca bildiğinden Aristoteles eserlerini ilk olarak tercüme ve şerh

etmiştir. Tercüme ve şerhleri arasında Aristoteles’in Metafiziği ve bazı kısımlarıyla

Organon’u ve şiir kitabı ile Porphyrios’un İsaguci (İsagogé)si, Ptolemaios’un El-

Ma.g.e.st (Al Ma.g.e.ste)i, Eukleides’in Usul’u (le Eléments) ve özellikle, Aristoteles’e

dayandırılmış olan, fakat gerçekte Platon, Aristoteles ve Plotinos’un bazı yazılarının

bileşiminden meydana gelen, Esolocya (Thélogie) kitapları mühimdir. Aristoteles’in

ilimleri sınıflaması onunla İslam’a girmiş ve mantıkta onunla başlamıştır. Özellikle

Yunan’dan yaptığı tercümelerle tabiat ilimlerinin temelini atan ve tabiat ilimleriyle

nazari ilimleri birbirlerinin yardımcısı ve tamamlayıcısı sayan El Kindî, ilmin de dinin

de, en sonda, bir ilk sebebe dayandığını belirtmiş ve bu ilk sebebin ilahi özünü bilme ve

bulmanın da her akıl sahibi için zorunlu olduğunu savunmuştur. 125

Kindî’ye göre din ve felsefe, gerçeğe ulaşmada gittikleri yollar bakımından

ayrılırlar. Çünkü gerçeğe ulaşmada felsefe yolu araştırma yolu, akıl ve nazar yoludur;

din yolu ise ilham ve vahiy yoludur. Ama din ve felsefe, konuları ve gayeleri

bakımından aynıdırlar; her ikisi de gerçeği ararlar. Gerçek ise birdir, yolu da burhan

(mantıki ispat) yoludur. Şeriatın emrettiği ile aklın delalet ettiği şey birbirine uygundur.

Dini gerçek ile felsefi gerçek arasında aykırılık yoktur.126

Kindî, Platon gibi matematiğe önem verir. Zira matematik ilmi olmazsa nicelik

ve nitelik ilmi olmaz, bunlar olmayınca da bu ilimler aracı ile algılanabilecek olan

cevher ilmi de olamaz. Nicelik, nitelik ve cevher ilimleri olmayınca da felsefe ilmi

olmaz. Allah’ın birliği hakkında, mantık yolunda, ilk eser yazan Kindî’dir. Bu konuda

materyalist ve ateistlerle yaptığı çatışmalarla büyük nam salmıştır. Kindî’ye göre cisim,

hareket, zaman, mekân hepsi birlikte vardırlar ve hepsi sonludurlar, yani hepsinin bir

başlangıcı vardır. Dolayısıyla zaman da sonsuz olamaz. Sonluluk ve sonsuzluk

kavramlarını bize kavratan şey de eşitlik ile daha büyüklük ve daha küçüklük

kavramlarıdır. Kindî, âlemin sonlu olduğunu ileri sürmekle, âlemin başsız ve sonsuz

                                                            125Sunar, Cavit. İslam Meşşai Felsefesinde İlk Adım, Ankara Üniversitesi Dergisi, Cilt17, Sayı 1, 1969, Ankara,s.29-49 126 Kindi, “İlk Felsefe Üzerine”,  a.g.e., s.142‐143 

76  

olduğunu ileri süren Aristoteles’dan ayrılmakta ve zamanın Kelamcı görüşüne

uymaktadır. 127

Allah-alem ilişkisinde Aristoteles’ten tamamen ayrı bir tutum sergileyen Kindî,

İslam ilkeleri doğrultusunda bu konuyu irdelemektedir. 128 Âlemin ezeli olduğunu

söyleyen materyalistlere karşı, o âlemin yaratıldığını, ezeli olmadığını ve ezeli olanın

yalnızca Allah olduğunu söyleyerek bunu aksiyomlardan yola çıkarak matematiksel

olarak açıklamaya, kanıtlamaya çalışmıştır. Dört ayrı risalesinde (İlk Felsefe Üzerine,

Alemin Sonluluğu Üzerine, Sonsuzluk Üzerine, Allah’ın Birliği Ve Alemin Sonluluğu

Üzerine) bu konuyu ele almıştır.

Âlemin sonluluğunu açıklamak üzere el Kindî’nin Ahmed b. Muhammed El

Horasani’ye yazdığı Âlemin Sonluluğu Üzerine isimli risaleye, “Matematik

okumayanların, mantıki kıyasları anlamayanların ve tabiat olaylarının farkına

varmayanların çoğu âlemin sonsuz olduğunu sanmıştır” şeklindeki eleştirisiyle giriş

yapıyor. Kindî’nin buradaki amacı, âlemin sonlu ve sınırlı bir nicelik olduğunu

göstermektir. Bunun yanı sıra deneye (el-hiss) ve akla dayanan ilimler arasında orta bir

yerde bulunan matematik yöntemi kullanacağını söylemektedir.129

Allah’ın Birliği ve Alemin Sonluluğu Üzerine adlı risalesinde Kindî Alemin

sonluluğunu 6 aksiyom üzerinden ispatlamaya çalışır130:

1- Birbirinden büyük olmayan tüm cisimler eşittir.

2- Eşitlik, cismin sınırları arasındaki boyutların bilfiil ve bilkuvve aynı

olmasıdır.

3- Sonlu olan sonsuz olamaz.

4- Eşit olan her cisimden bir miktar artırılınca, hem diğer eşitlerinden hem de

artırılmadan önceki durumundan daha büyük olur.

5- Nicelik bakımından sonlu iki cismin toplamları da sonludur. Her nicelik ve

niceliğe ilişkin her şeyde bu bir zorunluluktur.

                                                            127Sunar, a.g.e., s.29-49 128Bk. Uyanık, Mevlüt. İlk İslam Filozofu Kindi’ye Göre Alemin Mahiyeti Sorunu (Kozmolojik Bir

Meselenin İtikadi Bir Boyut Alması), I. İslam Flsefesi Meseleleri Sempozyumu, 8-9 Kasım 20002, Ankara 

129Kindî, Felsefi Risaleler, s.199 130Kindî, Alemin Sonluluğu Üzerine, Felsefi Risaleler s.199-202 

77  

6- Aynı cinsten olan iki şeyden küçüğü büyüğünü veya onun bir kısmını

oluşturur.131

Âlemin sonluluğu üzerine adlı eserinde 4 aksiyom üzerinden âlemin sonluluğunu

kanıtlamaya çalışır. Ayrıca El Kindî ispata başlamadan önce gerekli önermeleri sunarak

ve bunlarla neyi kastettiğini açıklayarak benzer terimlerden dolayı karışıklık olmasını

engellemeye çalışır:

‘Biz bu sanatta “nicelik” dediğimiz zaman üç şeyden birini kastederiz: ya çizgi

gibi sadece boyu olanı, ya yüzey gibi sadece boyu ve eni olanı ya da cisim gibi boyu,

eni ve derinliği bulunan nesneyi kastederiz… Aynı cinsten nicelikler derken çizgi,

yüzey ve cisim gibi aynı cins altında toplanan nicelikleri kastediyorum.

Şimdi artık aynı cinsten nicelikler üzerinde genel ifadelerde bulunabiliriz:

a) Birbirinden büyük olmayan aynı cinsten nicelikler eşittir.

İspat: Bunlar eşit değilse, biri diğerinden büyük demektir. Buna göre diyelim

ki A˃B olsun. Oysa yukarıda geçtiği üzere biri ötekinden büyük değildir. O

halde A˃B imkansız bir çelişkidir. Dolayısıyla bunlar eşittir. Zaten bizim

amacımız da A=B olduğunu ortaya koymaktı.

b) “Aynı cinsten iki eşit nicelikten birisinin miktarı aynı cinsten bir nicelikle

artırılınca birbirlerine eşit olmazlar.” Bu doğru bir önermedir. Eğer böyle

olmasaydı çelişik olması gerekirdi, yani aynı cinsten olan iki eşit nicelikten

birinin miktarı aynı cinsten bir nicelikle artırılınca birbirine eşit olurlardı. O

zaman da bir şeyin parçasının bütününe eşit veya ondan büyük olması

gerekirdi.

İspat:A ve B aynı cinsten iki nicelik olsun. A niceliğine kendi cinsinden

olan C niceliği eklenince AC˃B olacağını iddia ediyorum. Başka şekilde

olsaydı ya B=AC ya da B˃AC olacaktı. Eğer B=AC ise o zaman A=AC’dir

ve A≤AC’dir yani parça bütün gibidir. Dolayısıyla bu imkansız bir çelişkidir.

O halde B˃AC’dir. Eğer B˃AC ve B=A ise A˃AC’dir yani parça

bütününden büyüktür. Oysa bu daha da çirkin bir çelişkidir. Demek oluyor ki

AC˃B’dir. Zaten bizim amacımız da A+B=AC olduğunu ortaya koymaktı.

                                                            131Kindî, a.g.e.,s.208

78  

Böylece her niceliğe kendi cinsinden bir nicelik eklenince ikisinin

toplamının tek başına birininkinden daha büyük olduğu ortaya çıkmış oluyor.

c) “Biri ötekinden küçük olan niceliklerin sonsuz olması imkânsızdır.” Çünkü

az olan çok olanı veya onun bir kısmını oluşturur. Bir şeyi oluşturan, nicelik

bakımından oluşanın bir kısmına eşittir. Buna göre sonsuz olanın bir kısmı

sonludur; nicelik bakımından sonluya eşit olan da sonludur. O halde daha az

olan sonsuz hem sonludur, hem sonsuzdur. Bu ise bir çelişkidir.

İspat: Eğer mümkünse AB ve CD aynı cinsten iki doğru (çizgi) olsun. Ben

derim ki bunların birbirinden büyük olması imkansızdır.

Eğer mümkünse AB˃CD olsun. Buna göre CD˂AB ve AB, CD’nin ya

katları durumunda veya CD’den biraz fazladır. Eğer AB, CD’nin katları

durumundaysa CD, AB’yi birkaç kez oluşturuyor demektir. Şayet AB,

CD’den biraz fazlaysa AV’den oluşan bu fazlalık CD’nin bir katıdır. CD’nin

katı veya CD’nin katlarından birine eşit olan bu kısım da HV doğrusu olsun.

Buna göre sonsuz olan AB doğrusunun bir kısmı sonlu olur. Çünkü onun

artması mümkündür. HV doğrusunun da artması mümkün olduğu için o da

sonludur. Halbuki yukarda CD’nin sonsuz olduğu iddia edilmişti.

Dolayısıyla bu imkansız bir çelişkidir. Demek oluyor ki, aynı cinsten sonsuz

nicelikten birinin öbüründen küçük olması imkansızdır. Zaten bizim

amacımız da CD=AH+VB olduğunu göstermekti.

d) “Aynı cinsten olan niceliklerin her biri sonlu ise hepsi sonlu olur.”

İspat: A ve B aynı cinsten sonlu iki nicelik olsun. Ben bunların ikisinin de

sonlu olduğunu söyleyebilirim. A doğrusuna eşit bir C doğrusu çizelim. Aynı

yöndeki D doğrusu ona ulaşsın ve D, B doğrusuna eşit olsun. Buna göre biz,

CD=AB olduğunu açıklayalım: CD doğrusu sonludur, başka türlü olması

imkansızdır. Bir an için CD’yi sonsuz kabul edelim. Sonsuz olan bir

nicelikten sürekli olarak bir miktar alınsa da bitip tükenmez. Eğer CD’den

bir miktar alınınca bitiyorsa o sonludur. Şimdi CD’den A’ya eşit bir miktar

alalım ve bu C olsun. B’ye de eşit bir miktar alalım, bu da D olsun. CD’den

C alınınca geriye D kalır, D de alınınca geriye hiçbir şey kalmaz. O halde

CD sonludur. Demek oluyor ki sonlu olan CD’den ibaret olan AB niceliği de

sonludur. Zaten bizim amacımız da A=C ve D=B olduğunu açıklamaktı.

79  

Kindî önermelerini verdikten sonra sonsuz bir cismin var olmasının

imkânsızlığını izah eder: “Eğer sonsuz bir cisim varsa ondan bir parça alarak, bu

parçanın küp, küre ve daha başka sonlu, sınırlı varlıklardan biri şeklinde olduğu

tasarlanabilir. Eğer cisim sonsuz, ondan alınan parça sınırlı ise bu parça alındıktan sonra

geriye kalan sonlu veya sonsuz olacaktır. Eğer sonlu ise, tamamı da sonlu olur. Çünkü

her biri sonlu olan niceliklerin tamamının sonlu olacağı açıklanmıştı. Buna göre sonlu

olanın sonsuz olması gerekir ki bu bir çelişkidir. Eğer o parça ayrıldıktan sonra geriye

kalan sonsuz ise alınan geri iade edilince önceki haline döner. Oysa yukarıda iki cismin

toplamının, kendinin meydana getirenlerden daha büyük olduğu açıklanmıştı. Buna göre

sonsuz olan, ona katılan sınırlı parçayla birlikte tek başına sonsuz olandan daha

büyüktür. İkisi birlikte sonsuz olduğuna göre, sonsuz olan sonsuz olandan daha büyük

demektir. Hâlbuki sonsuz cismin sonsuz cisimden daha büyük olmasının imkânsızlığını

ve biri öbüründen büyük olmayan aynı cinsten iki niceliğin, artırılmazdan önceki

durumuna eşit olmadığı açıklanmıştı. Bu durumda miktarı artırılanla artırılmayan,

nicelik bakımından hem eşittir, hem eşit değildir. Bu ise imkânsız bir çelişkidir. Demek

oluyor ki cismin sonsuz olması imkânsızdır. Öyleyse âlemin (cirmü’l küll) sonsuz

olması imkânsızdır. Âlem sonlu olduğuna göre onun kuşattığı bütün varlıklar da

sonludur. 132Ayrıca Kindî burada deneye (el hiss) ve akla dayanan ilimler arasında orta

bir yerde bulunan matematik yöntemi kullandığını söyler.133 Yine Kindî’nin bu ispatına

benzer şekilde ispatlar mevcuttur. Ama her ikisinde de Kindî’den bahsedilmemektedir.

Bunlar biri İbn Sina’ya aittir. İbn Sina, ölçünün ve doğada veya konumda bir sıralaması

olan sayılardaki sayının, sonsuz bilfiil mevcut olarak meydana gelmesinin olanaksız

olduğunu söyler. Neden olarak şunları öne sürer:

Sonsuz her ölçü ve doğada sıralama sahibi olan tüm sayıların ya bilfiil sonsuza

doğru gidişi tüm yönlerde olur ya da tek bir yönde olur. Eğer tüm yönlerde olursa bu

durumda onda tıpkı çizgideki nokta veya yüzeydeki çizgi veya cisimdeki yüzey veyahut

da sayı grubundaki ‘bir’ (sayısı) gibi bir sınır varsaymamız gerekir. Onu bir sınır kabul

ederiz, hakkında onu bir sınır yapmamız bakımından konuşuruz ve ondan örneğin

sonsuz B yönünde AB (çizgisin)den tıpkı AC gibi sınırlı bir parça alırız. Bu durumda

şayet onun (parçası alınmış olanın) üzerine AB örtüştürülürse, kaçınılmaz olarak AB ya

                                                            132Kindî, a.g.e.,s.199-202 133Kindî, a.g.e.,s.202 

80  

da CB (çizgisin)e eşit olacak ya simetrik olacak ya da aralarında ki bağıntı her ikisinin

de sonsuza kadar AB yolunda veya AB’den AC’ye eşit oranda eksik olarak gideceği

şeklinde değerlendirilecektir. Eğer AB, CB’ye sonsuza kadar örtüşük olursa ve CB de

AB’den bir parça ve bir kısım olursa, bu durumda tüm ve bir kısım iki örtüşük olurlar

ki, bu çelişkidir. Eğer CB, AB’den B yönünde kısa kalır ve ondan eksik olursa bu

durumda CB sonlu olur, AB ise ondan AC kadar üstün olmuş olur. Dolayısıyla AB’de

sonlu olmuş olur, hâlbuki sonsuz sayılmıştı! Bundan apaçık bir şekilde ortaya

çıkmaktadır ki, ölçülerde ve sıralı sayılarda bilfiil sonsuzluğun varlığı olanaksızdır.134

Diğer ispat da Galileo’nun, 1730’da yayımlanmış Devrim Üzerine

Diyalogları’nın çevirisinin birinci bölümünde mevcuttur. Bertrand Russel bize bu

eserde bulunan sonsuz tümlerin yansımalıklarının tartışmasından alınmış bir parça

sunuyor135:

Simplicus – Bir çizginin bir başkasından uzun olabileceği açık olduğuna göre ve

bunların ikisinde de sonsuz sayıda noktalar bulunduğuna göre, şu çıkarımı sağlamca

yapabiliriz: aynı tür için sonsuzdan daha büyük bir şey bulduk, çünkü uzun çizginin

noktalarının sonsuz sayısı, kısa çizginin noktalarının sonsuz sayısından daha büyüktür.

Şimdi de, bir sonsuzun ötekinden büyük olması, işte bunu olabilir diye

kavrayamıyorum.

Salviati – Bunlar bizim sonlu anlığımızın sonsuz üzerine yaptığı konuşmaların ortaya

koyduğu zorluklardır, sonsuzlara, sonlu ve sınırlı şeylere verdiğimiz yüklemleri vermek

kanımca hiç uygun değildir; çünkü büyüklük, küçüklük ve eşitlik gibi yüklemler

sonsuzlara uymaz ve bunlardan birinin ötekinden daha büyük, daha küçük, ya da ona

eşit olduğunu söylemeyiz. Kanıt olarak usuma bir şey geliyor (daha iyi anlayabileyim

diye) bunu, bu güçlüğü ortaya çıkarmış olan Simplicus’a sorular sorarak açıklayacağım.

Öyleyse başlayayım: Hangi sayılar kare sayı, hangileri değil, biliyorsunuz değil mi?

Simplicus – Kare sayının bir sayının kendiyle çarpımından çıkan sayı olduğunu çok iyi

biliyorum; böylece, 4 ve 9 sayıları, 2 ile 3’ün kendileriyle çarpımından çıkan kare

sayılardır.

                                                            134İbn Sina, Kitabu’ş-Şifa, Fizik II, Çeviri: Muhittin Macit-Ferruh Özpilavcı, Litera Yay., İstanbul, 2005, s.50 135Bertrand, a.g.e.,s.173-175 

81  

Salviati – Tamam, şunu da bilirsiniz, çarpımlara kare, çarpanlara da kök denir; sayıların

kendileriyle çarpımından çıkmış olmayan öteki sayılar kare değildir. Kare olan ve

olmayan bütün sayıları ele alıp, kare olmayanların kare olanlardan daha çok olduklarını

söylesem haklı olur muyum?

Simplicus – Kesinlikle evet.

Salviati – Daha sonra da size kaç tane kare sayı olduğunu sorsam, köklerin sayısı kadar

olduklarını, çünkü her karenin bir kökü her kökün de bir karesi olduğunu ve hiçbir

karenin birden çok kökü hiçbir kökün de birden çok karesi bulunmadığını söyleyebilir

misiniz?

Simplicus – Evet.

Salviati – Ancak şimdi, köklerin sayısının ne olduğunu sorsam, kaç tane sayı varsa o

olduğunu, çünkü herhangi bir karenin kökü olmayan hiçbir sayı bulunmadığını

yadsıyamazsınız. Bu kabul edilince, bunun gibi ne kadar sayı varsa o kadar da kare sayı

olduğunu söyleyebiliriz. Oysa başlangıçta, karelerin sayısını çok aşan sayılar

bulunduğunu, sayıların büyük bölümünün kare olmadığını söylemiştik ve büyük

sayılara doğru gittikçe karelerin sayısı daha büyük oranda azalır, 100’e dek

saydığımızda 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49,64, 81, 100 olarak 10 kare bulursunuz ki bu onda 1

demektir. Bu onbin için yüzde bire, bir milyonda da binde bire düşer. Ancak sonsuz

sayıda, eğer buna bir anlam verebilirsek, kareler de öteki sayılar kadardır.

Sagredo – Bu durumda neye karar verelim?

Salviati – Ben bütün sayı türlerinin sonsuz olduğunu söylemekten başka bir yol

bulamıyorum; kareler sonsuzdur, kökleri sonsuzdur ve karelerin sayısı köklerin

sayısından ne küçük ne de büyüktür; sonuç olarak eşitlik, büyüklük ve küçüklük gibi

yüklem ya da terimlerin sonsuzlar da yeri yok, bunlar sonlu niceliklerle sınırlıdır.

Yukarıdaki tartışmada sorunun açıklanış biçimi Galileo’ya yakışıyor, ancak

verilen çözüm doğru değil. Gerçekten durum, (sonlu) kare sayıların sayısının (sonlu)

sayıların sayısıyla aynı olduğudur. Bu şimdi yalnızca, matematikçilerin yakından

bildiği, bir fonksiyonun değişeninin belli bir noktaya yaklaştığı zamanki sınırının

değeriyle, değişenin gerçekten o noktaya vardığı zamanki değerinin aynı olmadığı

82  

olgusunun bir örneğidir. Ancak Galileo’nun tartıştığı sonsuz sayıların eşit olmasına

karşın Cantor, Simplicus’un kavrayamadığı şeyin doğru olduğunu gösterdi, yani sonsuz

sayıların da sonsuz sayıda türleri vardır ve daha büyük ve daha küçük kavramları

bunlara tam olarak uygulanabilir. Simplicus’un karşılaştığı zorluğun tümü, bir sonsuz

topluluğun bir bölümünün topluluğun tümünden daha az terimli olması gerektiği

kanısında oluşundan geliyor; ve bu yadsındığında bütün çelişki yok oluyor. Çizgilerin

daha büyük ve daha küçük uzunluklarına gelince, ki yukarıdaki tartışmayı başlatmış

olan sorundur, bu, daha büyük ve daha küçüğün, matematiksel olmayan bir anlamıyla

ilgilidir. Uzun bir çizgideki noktalarla kısa bir çizgidekilerin sayısı, gerçekte bütün

uzamdaki nokta sayısının aynı olduklarından, birbiriyle de aynıdır. Metrik geometrinin

daha büyük ve daha küçüğü, uygunluğun yeni bir ölçüsel kavramını gerektirir ve bu

yalnızca aritmetik düşüncelerden geliştirilemez. Ancak bu sorunun, sonsuzluğun

aritmetik kuramına ilişkin temelde bir önemi yoktur.136

  Görüldüğü üzere Kindî’den asırlar sonra onun ispatının neredeyse aynısı bir

ispatla Galileo karşımıza çıkmaktadır. Kindî, geçmişten, gerçeği büyük ölçüde

getirenler bir yana onu azıcık olarak ulaştıranlara büyük şükran borcumuz olduğunu

belirtmektedir. Yukarda bahsi geçen bu durum söz konusuyken Kindî’den bahsetmeden

aynı ispatı bizlere sunan Galileo hakkında bu hassasiyetin gözetilmediği

düşünülebilinir. Ama şunun bilinmesi gerekir ki Galileo döneminde bütünü sürekli

parçalayarak sonsuza ulaşma fikri zirvededir.137 Bu yüzden Kindî’ye haksızlık ettiğini

söyleyemeyiz. Ama aynı durum İbn Sina için geçerli olmayabilir.

                                                            136Bertrand, a.g.e., s.175 137 Galileo hakkında detaylı bilgi için bknz. Özalp, Hasan. “Galileo Galilei”, Doğu'dan Batı'ya Düşüncenin Serüveni, Ed. Bayram Ali Çetinkaya, İnsan Yayınları, 1. Baskı, 2015, c.2, s. 981-997

83  

V. BÖLÜM:

İLAHİYAT İLİMLERİ AÇISINDAN TANRI-EVREN İLİŞKİSİNİN KURULMASINDA SONSUZLUK KAVRAMI

 

Sonsuzluk kavramının bizi bir taraftan cezbederken diğer taraftan kafamızı

karıştırmasının birçok nedeni var. Teorilerden biri sonsuzluk kavramının büyüleyici

bazı çelişkiler yarattığı şeklindedir. Örneğin deniyor ki sonsuzluk noktasında tezatlar bir

araya gelir ya da çelişkiler kalkar ya da bunların olduğu yerdir deniyor sonsuzluk. Yani

düz bir çizginin eğri bir çizginin ve dairenin zıttı olduğunu düşünüyorsanız o zaman

deniyor ki sonsuz çaptaki bir daire aslında düz bir çizgi haline gelir. Yani sonsuzluk

noktasında daire ve düz bir çizgi aynı şey haline gelir. Bunu şu şekilde anlatalım: iki

teğet çember düşünelim, aynı iki “OO” harfleri gibi birbirlerine değsinler. Başlangıcı

için teğet noktası bu sayfanın ortası olan 25mm çapında iki çember alalım. Çapları

büyüdüğü ölçüde, eğrilikleri azalır. Dahası, eğer değme noktası sürekli sayfanın

ortasında kalırsa, iki “O”nun giderek daha az kesimini görebiliriz. Yarıçapın bir metre

olması durumunda, ne olacağı tasarlanabilir. Yarıçapın bir kilometre ya da 100 km

olması durumunda, görülebilen kesim yalnızca bir düz doğru olacaktır. Doğru çizginin

eğriliği yoktur ya da sıfırdır. Ne sağa ne sola doğru iç bükeydir. Yani, bir doğru yarıçapı

sonsuz olan bir çemberin parçası mıdır? İşte bu tür çelişkiler sonsuzluk kavramını bizim

için cazip hale getirmektedir.138

Bu çelişkili durumu biraz detaylandıralım. Eğri ile doğru çizgi arasındaki

örtüşme durumunu inceleyelim. Burada görünüşte farklı iki durum vardır: sonsuz

büyükte ve sonsuz küçükte. İlk durumda, yarıçapı belirsiz ölçüde artarak kendisine teğet

herhangi bir doğruyla örtüşmeye başlayan bir çember hayal edilir. İkincisinde ise bir

çemberin sonsuz yayını, yayı kesen kirişten ayırt edilemeyecek denli küçültmek söz

konusudur. Cusanus şöyle yazıyor:” burada yapılması gereken, en küçük kirişin en

küçük yayla örtüştüğünü görebilen anlağın bakışına başvurmaktır.” Anlak, anlaşılabilir

bir şekilde gösterilemeyeceğini bildiği şeyin zorunlu olduğunu düşünmelidir; “sürey hep

                                                            138Boll,a.g.e.,s.51

84  

bölünebilir olduğu için ne yay ne de kiriş (nicelik olduklarında) gerçekten en küçük

olabilir.”139

Giordano Bruno benzer doğruları araştırmış ve varlığın her temel kutbunu kuran

terimlere özdeş olarak görülen eğri ve doğru çizgi arasındaki karşıtlığa özel bir değer

atfetmiştir. Cusanaus gibi o da, çemberin en küçük yayının en küçük kirişle

örtüştüğünü, ayrıca doğruya ve eğriye has görünmez bir ölçü biçiminin varlığını

vurgulamıştır. 140 Bu, matematiksel bir belirsizlik ya da analizin ön araştırması

görülemeyeceği gibi, metafizik ilkelerin, onlarla soyutluk ve basitlik düzeyinde

uyuşabilen açıklamalı terimlerle gösterilmesinden de farklıdır. 141 Örneğin Bruno,

Praelectiones Geometricae’de (Geometri Derslerine Giriş) şöyle yazar: doğru, birbirine

bitişik bir ya da iki noktada eğriden ayrılabilir değildir; eğri olanla olmayan arasındaki

ayrım, birbirine bitişik üç noktanın çeşitli biçimlerinde ortaya çıkmaya başlar.142

 

  Ama biz artık yalnızca iki noktadan bir doğru geçtiğini biliyoruz ve dolayısıyla

Bruno’nun bahsettiği ayrımı rahatlıkla yapabiliyoruz.Sonsuzluk sadece bilim adamlarını

filozofları ya da matematikçileri cezbeden bir konu değildir. Sonsuzluğun sanatta da

sayısız yansımaları var. Şiirde, resimde, mimaride… Özellikle ibadet yerlerinde görülen

süslemeler bir taraftan Tanrının sonsuzluğunu işaret ederken diğer taraftan bu dünyada

sonsuzluğu bulmuş bir zarafet anlayışını ortaya koyar.Öyle gözüküyor ki, evrenin

sonsuz büyüklükte olduğundan emin değiliz. Bu durumda şu soruyu da sormak gerekir:

ya acaba sonsuz küçüklükte bir şeyin olması mümkün mü?

Paul Charles William Davies’e göre matematikçiler hiçbir güçlük olmaksızın

uzayın kesintisiz ve sonsuz parçalara bölünebilir olduğunu düşünebiliyor. Ve fizik

                                                            139BBC, Sonsuzluğun Keşfi Belgeseli, 2007 140Zellini, a.g.e., s.82 141Zellini, a.g.e., s.82 142Zellini, a.g.e., s.82 

85  

tarihinin büyük bir bölümü bir şeyin bölünebileceği parçaların sayısına bir alt sınır

getirilemeyeceğini öne sürer. Bu ister bir uzay aralığı olsun ister bir madde parçacığı

olsun böyledir. Ancak son yüzyıl zarfında belli bir uzunluk birimini ve belli bir zaman

aralığının aslında bir nevi içsel sınır oluşturduğu ve bunları incelememizin henüz

mümkün olmadığı ortaya çıktı. Bunlar Planck sabitleri olarak biliniyor yani Planck

uzunluğu ve Planck zamanı olarak. Planck uzunluğu 10-35m’ ye tekabül eder. Yani bir

atom çekirdeğinden yaklaşık 1020 kat daha küçüktür. Bu, şimdiye kadar üzerinde

incelemede bulunan her türlü yapıdan çok çok daha küçük bir uzunluktur.143

1. TANRI’NIN BİR SIFATI OLARAK SONSUZLUK/EZELİ VE EBEDİLİK:

Aristoteles sonsuzluk için, ”sonsuzluk Tanrısal bir şey de olsa gerek, çünkü

Anaksimandros ile çoğu doğa bilimcisinin dediği gibi ölümsüz, ortadan kalkmayan bir

şey” olduğunu söyler.144Sonsuz bir evren ve cennet kavramı arasında tarihsel olarak

kurulan bir bağ var. İlk medeniyetler açıklayamadıkları her şeyin muhtemelen ilahi

olduğunu düşünürlerdi. Platon, Saint Anselmus ve Farabi düşüncelerinde görülen

düşüncede zorunlu olarak varlığı kabul edilen varlık anlayışı, İslam filozofları

tarafından Tanrı’nın varlığının kanıtlanmasında kullanılmıştır.

Bu delil çerçevesinde, varlığı zorunlu, apaçık ve sırf iyilik olan İlk Varlık olan

Tanrı’dan görünüşler dünyası (evren) tabii zorunlulukla çıkar (sudur). Hiçbir illete ve

ilineğe ihtiyaç duymayan, engellenemeyen bu “çıkış ”tan İlk Akıl ve kademeli olarak

Onuncu Akıl oluşur. Bu süreçte, kozmik akıllar silsilesi ve semavi küreler dizisi

tamamlanır. Her şeyin varlığı Ondandır; ama bu kendi varlığının etkisinin nesnelere

ulaşması anlamındadır. Bütünüyle varlık, bir düzen içerisinde O’nun varlığının etkisiyle

meydana gelir. 145 Görüldüğü gibi burada maddenin varlığını Allah’tan aldığı kabul

edilmektedir. Bu kozmolojik görüş madde ve Tanrı ikilemini ortadan kaldırarak

maddenin varlığını Tanrı’dan aldığını söylemektedir. Sudur silsilesinde akılların madde

ile münasebeti yoktur. Çünkü Tanrı’dan sudur ettiklerinden ilahi mahiyettedirler. Bunlar

                                                            143 BBC, Sonsuzluğun Keşfi, 2007 144Aristoteles, Fizik, s.109 (203b-13) 145Kindi, Felsefi Risaleler, s.123-124 İbn Sina. Dördüncü Makale Birinci Fasıl: Önce, Sonra Ve Hudus, Metafizik, Çev. Ekrem Demirli, Ömer Türker, Litera Yay., İstanbul, 2004, s.148 Uyanık, Mevlüt, Felsefi Düşünceye Çağrı, Elis Yay., Ankara, 2003, s.125

86  

daima fiil halinde bulunan fikirlerdir. Faal akıl Ay’ın feleğine karşılıktır. Ay altında ve

arz üzerinde âlemi o idare eder. Faal akıldan ilk madde çıkar.146

Bu kozmolojik görüşte evrenin özü sudur denilirken aslında bunun maddi bir öz

arayışı olduğu açıktır. Bu teori yukarıda bahsettiğimiz gibi madde ve Tanrı ikilemi

ortadan kaldırmış, her şeyin Tanrı’dan sudur ettiğini söyleyerek temelde maddi bir öz

arayışına cevap olmuştur. Aynı zamanda bu nazariye, akıllar teorisinden yola çıkarsak

metafiziksel olarak da her şeyin canlı olduğunu söylemektedir.

Düşünce tarihinde “Muallim-i Evvel” sayılan Aristoteles’i takiben “Muallim-i

Sani” denilen Farabi (ö. 950) gibi önemli bir alimimiz felsefeyi “tahsilu’s-saade”; yani

mutluluğu elde edecek bilgileri temin etme olarak tanımlamıştır. Bunun nasıl

olabileceği doğru eylem/salih amel çerçevesinde belirlidir. Bunların nihai sonucu olarak

dünyada refah ve mutluluğu yani iyiyi tercih ederek nitelikli bir hayat geçirmek temel

hedeftir. Ama bir de bu iyi’nin daha iyisi, en yüksek iyi vardır ki, o da her mümin ve

müminenin Rabbinin rızasını kazanması ve ahirette mutluluktur.147Bu, müminler için

sonsuz hayattaki sonsuz mutluluktur.

Fârâbi'ye göre Allah için cins, fasl, tarif düşünülemez. Her şeyin ilk nedeni odur.

Onun vücuduzatiyle öncesizdir ve sonsuzdur. Bilkuvve mevcut değildir. Onun

olmamaklığı mümkün değildir. O bekası için bir şeye muhtaç da değildir. Bir halden

diğer hale geçmez. Bölünmeyi kabul etmez. Hakikati, bizzat kendisidir. Ona miktar,

zaman ve yer de isnat edilemez. Cisim değildir. Maddesi ve sureti de yoktur. Zıddı da

bulunmaz. O sırf hayırdır, sırf akıldır, sırf makuldur ve sırf akıldır. Bunun hepsi de bir

ve anı varlıktır. O haklindir, diridir, âlimdir, kadirdir, muridtir. Olgunluk ve güzelliğin

amacıdır. O ilk âşıktır ve ilk maşuktur. Her şeyin vücudu ondan onun dilemesiyle var

                                                            146 Kindî, Felsefi Risaleler, s.31-32/123-124; Taylan, Necip, Ana Hatlarıyla İslam Felsefesi, Ensar Yay., İstanbul, 2011, s.31-32; Fahri, Macit, İslam Felsefesi Tarihi, Çev. Kasım Turhan, Şa-To Yay., 2008, s.327; Fârâbî, el-Medinetü’l-Fâzıla, s. 33; İbn Sînâ, Kitâbu’ş-Şifâ/Metafizik II, s. 146, 154; Aygün Akyol, Şehristani’nin Filozoflarla Mücadelesi, s. 52, 78; a.g. mlf., Akyol, Aygün. “İslam’da Akli Düşüncenin Kriz Dönemi -Felsefe Karşıtlığı – Şehristani ve İbn Teymiyye”, İslam Felsefesi Tarihi, ed.: Bayram Ali Çetinkaya, Grafiker Yay., Ankara 2012, ss. 211-214; Akyol. Aygün, "Şehristânî ve Felsefe Eleştirisi", Doğu'dan Batı'ya Düşüncenin Serüveni -İslam Düşüncesinin Altın Çağı-, Proje ed.: Bayram Ali Çetinkaya, cilt ed.: Eyüp Bekiryazıcı,İnsan Yayınları, İstanbul, 2015, c. 7, ss. 1065-1071. a.g. mlf., Şehrezûrî Metafiği, Araştırma Yay., Ankara 2011, s. 119; Aygün Akyol, "Şehrezûri ve Metafizik", Doğu'dan Batı'ya Düşüncenin Serüveni -İslam Düşüncesinin Altın Çağı-, Proje ed.: Bayram Ali Çetinkaya, cilt ed.: Eyüp Bekiryazıcı, c. 7, İnsan Yayınları, İstanbul, 2015, s. 1031-1033. 147Uyanık, Mevlüt. Akyol, Aygün, İslam Ahlak Felsefesi, Elis Yay., Ankara, 2013, s.344

87  

olmuştur ". Basittir, tamdır ve benzeri yoktur. Onun basit olması, mürekkep olmaması

demektir '. O vüc'ûtların en üstünü ve en önce olanıdır. Onun olgunluğunu tam olarak

kavramak idrâkimizin ötesindedir.148 Hatta felsefe bütün varlıkların ilmi olduğu için,

ona varan, biraz Allah’a benzemiş olacağını söyler. 149 Yani kusurlardan mümkün

olduğu kadar arınarak temizlenmek için, mükemmel olan Tanrı’ya yakın olabilmek için

felsefe iyi bir araçtır.

Büyük dinlerin çoğunda Tanrı, prensip olarak diğer bütün faal varlıkların

üstünde tutulan bir Fa'il-i Muhtar, Mutlak Yaratıcı ve her şeyi kontrolü altında

bulunduran bir güç olarak tasavvur edilmektedir. Çünkü bu yolla mantıklı çözüm yolları

oluşturulabilir. Dolayısıyla Tanrı’ya ilk sebep, hareket etmeyen muharrik, sonsuzluk,

mutlaklık, zorunluluk, yetkinlik ve yoktan var etme gibi kavramlar atfedilmektedir.

İlk İslam Filozofu Kindî, Tanrının sonsuzluğundan yani ezeliliğinden şöyle

bahseder: Ezeli öyle bir varlıktır ki, O’nun hakkında mutlak olarak yokluk söz konusu

değildir. Ezeli’nin varlığının öncesi yoktur ve varlığını sürdürmesi başkasına bağlı

değildir. O, sebepsiz varlıktır. Ezeli olan için konu(madde), yüklem (suret), etkin (fail)

ve gaye sebep yoktur -bununla, başkasından dolayı olanı kastediyorum- zaten bunların

dışında başka bir sebep de yoktur. Ezeli’nin cinsi yoktur. Eğer cinsi olsaydı kendisi tür

olurdu; tür ise kendisini ve başkasını kuşatan genel cinsi ile başkasının iştirak etmediği

fasıldan oluşmuş bir bileşiktir.150 Dönüşüm (istihale) bir değişim olduğu için Ezeli olan

dönüşmez. Çünkü O’nda eksiklikten yetkinliğe (tamam) doğru bir geçiş söz konusu

değildir.151

Kindî’nin İlk Felsefe Üzerine’ningünümüze ulaşan kısmı, Tanrı’nın mahiyetine

dair bir ifade ile doruk noktasına ulaşarak son bulmaktadır. Ancak Kindî’yi bu ifadeye

götüren yol, bir ölçüde şaşırtıcıdır. Her ne kadar İlk Felsefe Üzerine’deAristoteles’e çok

sayıda telmih bulunsa da, eser genel olarak, hiçbiri özelde Aristotelesçiymiş gibi gö-

rünmeyen iki ana unsur ihtiva etmektedir. Bunlardan birincisi, aslında Aristoteles’in

âlemin ezelî olduğu yönündeki tezine bir reddiyedir. Kindî’nin bu konuda getirdiği

                                                            148Farabi. İdeal Devletin Yurttaşlarının Görüşlerinin İlkeleri, Çev. Ahmet Arslan, Kültür Bakanlığı Yay., Ankara, 1990, s. 1-14 149Farabi, İhsa’ül-Ulum, Çev. Ahmet Ateş, Kültür Bakanlığı Yay., Ankara, s.38 150Kindî, a.g.e., s. 148 151Kindî, a.g.e., s.149

88  

deliller, açıkça, geç Yunanlı Hıristiyan Yeni-Eflatuncu şarih John Philoponus’un

Aristoteles karşıtı tartışmalarından alınmıştır. Sözkonusu deliller, yaratılmış olan âlemin

sonsuz olamayacağını göstermeye çalışmaktadır. Zaman ve dolayısıyla hareket -zira

zaman hareketin ölçüsüdür- bir başlangıca sahip olmalıdır. Bu noktada Kindî, daha

sonra Arapça konuşan dünyada gelişecek olan Aristotelesçi gelenekten ayrılmaktadır.

İbn Sinâ ve özellikle İbn Rüşd, Aristoteles’in ezelî âlem tezini savunduğu gerekçesiyle

gazali tarafından tekfir edilmişlerdir. İlk Felsefe Üzerine’ninikinci ana unsuru, birlik

(vahdet) hakkındaki tartışmadır.152Ama bu konuyu burada incelemeyeceğiz.

Aristoteles külliyatına dair bir tetkik içinde (Aristoteles’in Kitaplarının Sayısı

Üzerine) oldukça alakasız duran yaratmaya dair en şümullü tartışmasında Kindî,

Philoponus’un, Âlemin Ezelîliği Konusunda Aristoteles’e Reddiyea dlı eserini

kullanmaktadır. Aristoteles’e karşı saldırısı sırasında Philoponus, yaratma hakkında,

Tanrı’nın bir şeyi var olmadanvar olur hale getirmesi şeklinde bahsetmiştir ve Kindî de

bu noktayı tekrarlamaktadır. Kindî’nin, Aristoteles’in Kitaplarının Sayısı Üzerine’debu

yaratma kavramını ispat için ortaya koyduğu akıl yürütme, Philoponus’un Aristoteles’i

Aristoteles’e karşı kullanma stratejisini takip etmektedir. Temel bir Aristotelesçi ilkeye

göre her değişim zıtları ihtiva etmektedir. Bir şeyin sıcak olması için öncelikle soğuması

zorunludur. Kindî bu ilkeyi Tanrı’nın yaratma fiiline uygulamakta ve buna sebep olarak

da O’nun bir zıttan diğerine geçişte bir köprü olması gerektiğini göstermektedir. Bu

durumda Tanrı’nın yarattığı her şey, daha önce gördüğümüz gibi, varlığa

kavuşmaktadır. Bunun sonucu ise yaratılmış olan şeyin bundan önce “var olmama”

durumunda bulunması gerektiğidir. Bu aynı zamanda Philoponus’la birlikte Kindî’ye de

yaratmanın bir ilk ânının olması gerektiği şeklinde benimseyecekleri bir başka sebep de

sunmaktadır. Eğer bu ilk hareket olmasaydı ve âlem ezelî olsaydı, bu takdirde âlem her

zaman var olacak ve âlemi “yaratmak”, yani var olmama durumundan var olma

durumuna getirmek için Tanrı’ya hiçbir surette gerek kalmayacaktı.153

                                                            152Adamson, Peter. Taylor, Richard C.,İslam Felsefesine Giriş, Çev.Kaya Cüneyt, Küre Yay.,2. Basım, 2007, İstanbul,s.38 Ancak biz bu tekfirin tutarlı olduğunu düşünmüyoruz. Nitekim İbn Rüşd bunun tutarsız olduğunu net bir şekilde Faslu’l Makal’da verir. Daha ayrıntılı bilgi için İbn Rüşd, Faslu’l Makal, Çev.:Bekir Karlığa, İşaret Yay., İstanbul, 1992, s.81-89. 153Adamson ve Taylor, a.g.e., s.43-44

89  

Kindî, aynı şekilde âlemin ezelî olduğu yönündeki iddiayı, âlemin yaratılmamış

olduğu iddiasıyla eş anlamlı görmektedir. Dolayısıyla âlemin ezelî olmadığını ispat

etmek, Tanrı’nın mutlak eşsizlik ve birliğini göstermekle doğrudan ilgilidir.154

Ayrıca bu nokta, Gazali’nin, özellikle âlemin ezelîliği konusundaki felsefî

öğretiyi ret ve mahkûm edişini anlamak için oldukça temel bir niteliğe sahiptir. Zira

şayet İlahî sıfatlar İlahî zat ile özdeş olursa bu durumda İlahî fiil de Tanrı’nın mahiyet

veya tabiatının doğrudan zorunlu bir sonucu olarak gerçekleşen, ilahî öze ait bir fiil

olacaktır. İbn Sina’nın Gazali tarafından da benimsenen görüşüne göre Tanrı ken-

disinden peşi sıra sudur eden tüm varlıkların, yani bir bütün olarak âlemin en üstün

temel sebebidir. İbn Sinâ açısından bu asıl sebebin, etkisine olan önceliği zamansal

değil ontolojiktir. Asıl sebep etkisiyle birlikte var olmaktadır. Dolayısıyla İbn Sinâ için

ezelî asıl sebebin zorunlu kılınmış etkisi olarak âlem de zorunlu olarak ezelîdir.155

Bu sonuç, Gazali’ye göre ilahı sıfatlardan iradenin inkârıanlamınagelmektedir.

Gazali açısından ezelî irade sıfatının seçtiği ve karar verdiği her şey mutlaka varlığa

gelmek durumundadır. Bu anlamda hakkında karar verilen şeyin varlığı zorunludur.

Ancak yine de ilahı zat tarafından zorunlu kılınmış değildir. İlahî özle özdeş olmadığın-

dan, ezelî irade âlemin yaratılışına karar vermek mecburiyetinde değildir. Tabir caizse

o, ihtiyara bağlı ezelî bir fiil tarafından “özgürce” gerçekleşmektedir. Gazali’ye göre bu

fiille o, âlemin geçmişten şimdiye zaman içinde sonlu bir anda yoktan (ex nihilo)

yaratılışına karar vermektedir.156

Bu noktanın günümüz İslam felsefesi açısından ne ifadeceğini sorgulayalım: Bir

varlığın (şeyin) gerçek sebebini bilebilmek için önce onun maddesini (cins),

formunu/suretini (tür) bilmek gereklidir. Madde ile form, tümel ile tikelin bir arada

varlıkta varoluşunu gösterir. Bu sayede onun türünü ve diğer türlerinden ayıran faslını

bilebiliriz. Bu ise arazların bilinmesi demektir ki, tamamlayıcı; yani gaye sebep de

bilinince tanımlananın hakikatine ulaşılabilir. “Âlem yaratılmıştır yada âlem

sonsuzdur,” önermelerinde âlem doğası gereği vardır, dolayısıyla tanımı yapılabilir.

Fakat âleme yüklenen “yaratılmıştık” veya “sonsuzluk ”un tanımı yoktur, zira tözün

                                                            154Adamson ve Taylor, a.g.e.,s.54 155Adamson ve Taylor, a.g.e.,s.155 156Adamson ve Taylor, a.g.e.,s.155-156

90  

tanımı olur, ama özneye yüklem olarak yüklenenin tanımı olmaz.157Fakat burada Tanrı

istisnai durum arz eder, zira o salt akli anlamda bir surettir (form), yani onun bir maddi

boyutu yoktur. Metafizik bu anlamda, tikele mesela âleme bakarak, onun içindeki

evrenselin, özün kavranmasıdır, yani âlemin mahiyetinden hareketle Tanrı’nın varlığına

ulaşmak söz konusudur. İşte bu nedenden dolayı, İslam Düşüncesinde kozmolojik bir

sorun olan âlemin mahiyetine verilen cevaplar, son tahlilde, kişinin Tanrı tasavvurunu

belirlemekte, dolayısıyla itikadî bir boyut arz etmektedir.158

Tanrı ve evrenin aynı varlık olduğunu söyleyen, Tanrı’nın kendini

gerçekleştirdiği yer olarak evreni gösteren159 Giordano Bruno şunu söyler: En yüksek

varlık bilinemez; onu bilebilmek için olağanüstü bir ışık gerek. Felsefeye düşen ödev,

doğayı bilmektir; doğanın birliğini kavramaya çalışmaktır; Tanrı’yı doğanın dışında

değil, içinde aramaktır. Buna göre doğayı bilmek, Tanrı’yı bilmektir, dolayısıyla da

doğa bilgisindeki her ilerleme, Tanrı’nın bir yönünü açmadır, bilinmeyen bir yönünü

kavramadır. İşte bu yüzden Bruno, Kopernikus sistemini büyük bir coşkunlukla

benimseyip, yeni öğretiyi sonuna kadar düşünmüştür.160

Tanrı bir şeylerin toplamı değildir. Sonsuz sayıdaki sonlu parçacıkların bir araya

gelmesinden oluşmaz. İslam felsefesinde Tanrı’yı tanımlayan en iyi söz “basit”

terimidir: “O görülmez ve hareket etmez, fakat gerçekte kendisi hareket etmeksizin

harekete sebep olur. Bu O’nu düzgün kelimelerle anlayanlar için verilmiş bir tariftir: O,

öylesine basittir ki, daha basit olan bir şeye bölünemez; O parçalanamaz, çünkü o

bileşik değildir ve bileşik olma ona yüklenemez, ancak şüphesiz O, görülebilir

cisimlerin hareketinin sebebi olduğundan, görülebilir cisimlerden ayrıdır.”161Tanrının

sonsuzluğundanbahsettiğimizde matematiksel olmayan nicel olmayan bir kavramdan

söz ediyoruz aslında. Buna nitel bir kavramda diyebiliriz. Yani Tanrı nitel olarak

sonsuzdur ama nicel olarak sonsuz değildir.

Bu konuda Descartes şöyle yazar: “Burada belirsiz ile sonsuz arasında bir ayrım

yapıyorum. Herhangi bir sınırına rastlanmayan şey tam sonsuzdur. Bu anlamda, sadece

                                                            157Kindî, İlk Felsefe Üzerine, s.140 Uyanık, Felsefi Düşünceye Çağrı, s.109 158Uyanık, a.g.e., s.109 159Gökberk, Macit. Felsefe Tarihi, Remzi Kitabevi, 6. Basım, İstanbul, 1990, s.230 160Gökberk, a.g.e., s.232 161Şerif M. M. İslam Düşüncesi Tarihi, Cilt 2, İnsan Yay., İstanbul, 1990, s.42

91  

Tanrı sonsuzdur. Ancak bazı bakımlardan bir sınırını göremediğim şeyler de vardır;

hayali uzamların yayılması, sayılar kümesi, niceliğin parçalarındaki bölünebilirlik gibi

şeylere, bunlara sonsuz değil, belirsiz diyorum; çünkü bunların her bir parçasında ne bir

sınır vardır, ne de son.”162 Diğer taraftan, felsefe profesörü William Lane Craig’e163

göretemel olarak Tanrının sonsuz olduğu görüşü fikri mutlak mükemmel olduğu fikrini

kapsıyor. Tanrının sonsuzluğu fikri her şeye kadir, her yerde olan ve her şeyi bilen

olmasından; ebedi elzem ve var olmasından, ahlaki olarak da mükemmel olmasından

kaynaklanıyor. Bunları tümü nitel karamlar ve Tanrının sonsuzluğundan bahsederken

bunlara değinilir.164

O halde Tanrı dışında herhangi bir sonsuzluk olamaz mı? Aquinolu Tommasso

bu önemli soruya bunun zayıf bir olasılık olduğunu söyleyerek yanıt verir. “per

essentiam” ya da “simplicitier” mutlak sonsuzluğun sadece Tanrı’ya ait olduğu, ondan

farklı olan şeyin de sonlu ya da göreli sonsuz, yani onun özel doğasına karşılık olarak

başka bir şey olamayacağı sonucuna varır. O halde mutlak (simpliciter) sonsuzun varlığı

biçimler dünyasının dışındadır, “infinitum secundum quid” ise hala olanaklıdır ve

temellendirilmiş olmasa da, kuşku uyandıran şey her tür sonsuzun varlığını yasaklayan

Aristotelesçi uyarının ihlal edilmesidir. Ancak Aquionalı “infinitum secundum quid”in

insanın kavrayabileceği bağlamda, temelde “infinutum ex parte materiae” olarak

olanaklı, yani var olmayan bir sonsuz olarak anlaşılabileceğini söyler.165

Summa Theologica‘da, mutlak sonsuz (yani “infinitum simpliciter”) olan bir

nesnenin muhtemel ilahi yaradılıştaki saf mantıksızlığı açıkça belirtilir. Aquinolu

Tommaso şöyle yazar: Bu yapılmış bir şeyin doğasının mutlak sonsuz olmasına

karşıdır. Bu nedenle Tanrı ki o sonsuz güce sahiptir, yapılmamış bir şeyi yapamaz,

çünkü bu, iki çelişkinin aynı anda doğru olmasını gerektirir. Aynı biçimde o, hiçbir

şeyin mutlak sonsuz olmasını sağlayamaz.

Aquinolu’nun uslamlaması basit ve tutarlıdır: Tanrı dilediğini yapabilir, ama

onun yapması, yapılmış olan şeyin varlığına yol açar. Yapılmış olan, yapılmış olduğu

                                                            162Zellini,a.g.e.,s.99 163BBC, Sonsuzluğun Keşfi, 2007 Professor of Philosophy at Talbot School of Theology, Biola University in La Mirada, California 164BBC, Sonsuzluğun Keşfi, 2007 165 Zellini, a.g.e.,s.59 

92  

için tamamen sınırsız olamaz. Aquinolu Tommaso, Tanrı dışında eyleyen mutlak

sonsuzun varlığını yadsıyor ve Tanrı’nın her şeye gücü yeterliği bilgisiyle kurulan bir

uslamlamayı bunun kanıtı olarak ileri sürüyordu; çünkü bu her şeye gücü yeterlik ile

eyleyen “simplicitier” (mutlak) sonsuzun olanaksızlığı birbiriyle çelişmiyordu.

Bu bağdaşmanın doğrulanması önemlidir, çünkü tam da bu noktada

Aristotelesçi-Tommasocu gelenekten kopuşun ilk adımları atılmıştır. 1277 yılında Paris

Psikoposunun İbn Rüşdcü savları lanetlemesi, Tanrı’nın sonsuz bir küme

yaratamayacağını öne süren Tommasocu savı da örtük olarak etkilemişti. Daha sonra

bazı düşünürler, ilahi her şeye gücü yeterliği sonsuz niceliklerin yaratılmasına kadar

genişletmişler ve bu da aperion’un (sınırlı olmayan) varoluşun temel kutupluluğundaki

olumsuz parçanın eşanlamlısı olarak görülmesinin önüne geçmiştir.166

Rush Perzuat sonsuzluktan kaynaklanan sorunlara şöyle dikkat çekmektedir.

Nietschze, Ecce Homo eserinde bahsettiği zamanın sonsuz olduğuna inanmamız

durumunda bunun çok ilginç bir kinaye doğurduğunu söylemişti. Şöyle ki: eğer zaman

sonsuzsa ve eğer olası tüm olaylar her ne kadar büyük olsalar da sonluysa o zaman

mantıken her şeyin tekrar etmesi gerekir. Bir başka deyişle everendeki her olay sonsuz

bir zaman içinde yinelenir, yinelenir, yinelenir... Daha önce bahsettiğimiz Holywood

yapımı Groundhog Day (Bugün Aslında Dündü) filminde de işlenen fikir budur aslında.

Filmdeki kahramanımız aynı gün sil baştan bir daha bir daha yaşar. Nietczhe’nin sonsuz

yineleme fikri baş döndürücü. Çünkü bu yazıyı şu anda okuyan okuyucunun aslında

bunu daha önce geçmişte bir zaman içinde sonsuz bir anda okumuş olduğu ve gelecekte

de bir zaman içinde sonsuz bir anda okuyacağı anlamına geliyor.167

Pul Davies, Rush Perzuat’nın açtığı kapıyı biraz daha aralıyor: Önemine binaen

şu sözleini aynen alıntılıyoruz: “Sonsuz ve düzenli bir evren içindeyseniz yani evren

uzayda sonsuza dek uzanıyorsa ama her noktada aşağı yukarı aynı sayıda galaksisi varsa

o zaman sizin ve benim sonsuz sayıda kopyalarımız var demektir. Yani uzayda herhangi

bir yönde yeterince uzağa gidersem benimle tıpatıp aynı deneyimleri yaşamış bana

tıpatıp benzeyen bir diğer Paul Davies karşılaşırım. Bu sonuca sadece sonsuzluğun

matematiksel kurallarını uygulayarak varabilirsiniz. Ancak bir sürü insan buna inanmak

                                                            166 Zellini, a.g.e.,s.57-58 167 BBC, Sonsuzluğun Keşfi, 2007

93  

istemiyor. Bunun yani sonsuz sayıda kopyalarının olması düşüncesinin matematiksel

olarak mümkün olduğunu ancak fiziksel olarak çok saçma göründüğünü söylüyorlar.

Ama varlıkların sonsuz sayıda kopyaları var zaten aslında. Sonsuz bir evren içinde

olabilecek her şey olacaktır ve bu sonsuz sıklıkta meydana gelecektir. Saçma gibi

gelebilir kulağa ama matematiksel sonsuzluğun bizi yönelttiği istikamet budur.

Dolayısıyla ben bilimsel tartışmaların çoğunun aslında bu tür akıl yürütmelerin ciddiye

alınıp alınmaması gerektiği noktasında yapılması gerektiğini düşünüyorum.168

2. NOMİNALİZM VE REALİZM KAPSAMINDA SONSUZLUK  

Tümeller problemi Ortaçağ felsefesine Porhyry ve Boethius’un eserleriyle

girmiştir. Buna göre, Aristoteles’in mantığı için bir giriş yazan Porhyry ile daha sonra

Porhyry’nin yazdığı girişi yorumlayan Boethius türlerin ve cinslerin, yani Aristoteles’in

ikincil tözlerinin tözsel bir varlığa sahip olup olmadığı sorusuna bir yanıt getirmeye

çalışmışlardır. Bu çerçeve içinde, Ortaçağ felsefesinde, önce, tümellerin bireylerden ayrı

ve daha yüksek bir varoluşa sahip olduklarını öne süren radikal kavram realizmi

egemen olmuştur. Patristik felsefenin büyük düşünürü St. Augustinus, hem Platon’dan

miras alınan radikal kavram realizmini savunmuş ve hem de bu görüş üzerinde

görünüşte önem taşıyan birtakım değişiklikler yapmıştır. Buna göre, tümeller, Platon’da

olduğu gibi, tikellerden ayrı ve bağımsız bir biçimde var olan İdealar ya da Formlar

olarak değil de, Tanrı’nın zihnindeki ideler olarak düşünülmüştür.169

Kilisenin resmi görüşüne çok uygun düştüğü ve özellikle de günah kavramının

açıklanmasında büyük bir başarıyla kullanıldığı için, pozitif bir destek olarak

değerlendirdiği realist görüşe, ilk olarak 11.yy’da Roscellinus tarafından karşı

çıkılmıştır. Roscelinus, tümellerin, nihai ve en yüksek gerçeklikler olmayıp, yalnızca

adlar olduğunu savunmuştur. Latincede “nomen” ad, isim anlamına geldiğinden,

Roscellinus’un söz konusu tümel görüşü, felsefede nominalizm olarak bilinir.

Nominalizmin en önemli avantajı, varlık bakımından sağladığı tasarruftur.170

                                                            168 BBC, Sonsuzluğun Keşfi, 2007 169Cevizci, a.g.e., s.515 170Cevizci, a.g.e., s.515

94  

Bununla birlikte, Ortaçağda Roscellinus’un nominalizmine, yalnızca, dine ve

teolojiye sağladığı destekten dolayı, kavram realizmini benimseyen filozoflar tarafından

değil, fakat “aynı sözcüğün, farklı şeyler için nasıl kullanılabildiği” sorusunu yanıtlama

çabası içinde olan düşünürler tarafından da karşı çıkılmıştır. Tümeller konusunda, aynı

sözcüğün, birçok farklı şey için, bu şeyler en azından bir bakımdan özdeş olduğu için,

kullanılabildiği öne sürülmüştür. Buna göre, bireyler çokluğuna yayılan bu karakter,

gerçek bir tümeldir: aynı tümelden pay alan ve bundan dolayı aynı türün üyesi olan

bireyler, birbirlerinin aynıdırlar.171

Abelardus, bireylerin kendisinden pay aldığı ayrı ve bağımsız bir tümel

görüşünün yol açtığı bu türden mantıksal güçlüklerden dolayı, realist bakış açısından

vazgeçerek, kavramcı bir tümel görüşü benimsemiştir. Buna göre, tümeller insan

zihninin oluşturduğu kavramlardır; bundan dolayı, tümellerin, nesnel değil de, yalnızca

zihinsel bir varoluşları vardır. Çünkü doğal dünyada, insan zihninden ayrı ve bağımsız

olarak gerçekten var olan şeyler, bireylerdir. İnsanlar, bireysel şeyler, tikel varlıklar

arasındaki farklılıkları bir kenara bırakarak, onların ortak yönlerini soyutlarlar ve

böylelikle de, tümel kavramları meydana getirirler.172

Skolastik felsefenin büyük düşünürü Aquionaslı Thomas, tümellerin bireylerden

ve bireysel şeylerden bağımsız bir biçimde var olduğunu savunmuştur; tümeller,

Tanrı’nın zihnindeki ideler olarak, tikel nesnelerden ayrı ve bağımsız bir biçimde var

olur. St. Thomas, buna ek olarak, tümellerin şeylerde, bireysel varlıklarda, bu

varlıkların özleri olarak var olduğunu savunur. O, tümellerin insan zihninde, soyutlama

işlemiyle elde edilmiş kavramlar olduğunu da savunmuştur. Tümeller konusunu ele alan

son büyük skolastik düşünür Ockhamlı William’dır. Tümeller konusunda nominalist bir

bakış açısı benimseyen Ockhamlı’ya göre, tümeller, bireysel nesnelerin ve nesne

öbeklerinin yerini tutan terim ya da işaretlerden başka hiçbir şey değildir; tümellerin

nesnel bir varoluşa sahip olduğu düşünülemez. Çünkü gerçekten var olan şeyler,

yalnızca bireylerdir.173

                                                            171Cevizci, a.g.e., s.516 Özlem Doğan. Felsefe Ve Doğa Bilimleri, Doğubatı Yay., Ankara, 2008, s.235-236 172Cevizci, a.g.e., s.516 173Cevizci, a.g.e.,s.515-516

95  

Batı, klasik Yunan ve İslam düşüncesiyle doğrudan yüzyüze geldiği skolastik

devrin başlangıcından bu yana, bir yandan kalkınmak için felsefe ve bilime merak

salıyordu, diğer yandan da teslis inancını “inançsızların düşüncesi” saydıkları felsefeye

karşı korumak istiyorlardı. Bunun en iyi yolu, farklı felsefeleri Hıristiyanlıkla

uzlaştırmaya ve felsefeyi Hıristiyan inancının hizmetine sokmak çabalarına giriyorlardı.

Ne var ki bu çaba zaman zaman yine felsefe aleyhine tezahür ediyordu. Skolastiğin

Hıristiyanlığı felsefeyle uzlaştırma çabası St. Thomas ve Abertus Magnus ile meyve

verme aşamasına gelmişken Ockhamlı William’ın “usturası” ile bütün gelişmeyi kazıdı

attı.174

Bu “ustura” Ockhamlı William’ın Hıristiyan idealizmine karşı nominalizmin

zaferidir. Bu tartışmayı felsefe tarihçileri geleneksel olarak nominalizm- realizm

çatışması olarak ortaya koyarlar. Eğer idealizmi ahlaki ve bazı epistemolojik

anlamlarına almazsak Batı Skolastik devrindeki realizm, gerçekte metafizik açısından

bir idealizmdir. Ortaçağ Batı realizmi, bugün modern felsefenin realizm dediği şeyin

tam zıddıdır; bugünkü realizm Ortaçağdaki nominalizm denen şeyin aynısıdır. Batılı

Hıristiyanlar “Universalid realia”, yani tümeller veya külliler gerçektir diyorlardı.

Nominalizm ve gerçek anlamdaki realizm tartışmasını ilk gündeme getiren Farabi’dir.

Farabi, Aristoteles gibi fertlerin veya ilk cevherlerin gerçekliklerinin olduğunu

savunmuştur; ancak özellikle mantık ve epistemoloji açısından külli kavramlara ihtiyaç

olduğunu söylemiştir. Daha sonra bu fikirler batı’ya geçince Roscelin nominalizmi

savunmuş ve teslisten üçTanrıcılık (tritheism) fikrini çıkarmıştır.175

William’ın bize Farabi ve İbn Sina’yı hatırlatan realizmi, Hıristiyan

realistlerinkinden farklıdır: “Bir kavrama, ancak bir nesneler toplamına ortak bir yüklem

olduğu zaman, külli olarak bakılabilir. Bu kavram, yüklem yoluyla küllidir, kendinde

kendisi için külli değil, ifade ettiği şeyler için küllidir. Akletme fiilinde, nesnelere işaret

olarak veya anlamsal delaleti yönüyle külli olur. ”William’ın açtığı bu çığır, aynı

yüzyıllardaki İbn Rüşdçülük, Biruni ve İbnü’l Heysem’in tecrübeye dayanan bilim

                                                            174Bayraktar, Mehmet, İlitam, Felsefe, Ankuzem Yayınları, Ankara Üniversitesi Basımevi, Ankara, 2007, s.343 175Bayraktar, a.g.e., s.344 Ockhamlı William hakkında daha fazla bilgi için bknz.:Bertrand Russell, Batı Felsefesi Tarihi, Çev. Muammer Sencer, Say Yay., İstanbul, 1893, s :450-457 

96  

felsefeleriyle beslenince, Batının Ortaçağ Anlayışının Rönesans ve Reform

hareketleriyle sonunu getirmiştir.176

Evrenin öncesizliği ya da başlangıçsızlığı (kıdem-ezeliyet), başka bir deyişle

yaratılışı (hilkat) sorunu, olumsal varlığın (mümkün) mahiyeti sorunu ile karışmış ve

Orta Çağın en önemli sistemleri olan adcılık (ismiye, nominalism) ve gerçekçilik

(hakikiye, realizm) sistemlerinin ortaya çıkmasına neden olmuştu.177Nominalizm ve

realizm tartışması salt epistemik bir tartışma değildir. Problem büyük ölçüde bilgiyle

ilgili bir problemdir. Bu tartışmanın kozmolojik, ontolojik ve itikadi boyutları vardır.

Yani bu iki kavram genellikle ortaçağ ile ilişkilendirilir ama bu tartışma ortaçağa özgü

bir tartışma değildir.

Bu noktada nominalizm tanımlanması üzerinde duralım: Nominalizm,

“adcılık”tır. Kavram realizminin tam karşıtı olan ve tümellerin gerçek bir varoluşu

olmadığını öne süren görüştür. Şeylerin özlerinin bulunmadığını savunan kuram ve

tanımların ve genel olarak da dillerin, şeylere işaret etmekten çok, bizim şeylere

verdiğimiz isimlerle (terimlerle) ilgili olduklarını ileri süren görüştür.Cins-tür

ayrımlarını gösteren tüm tikel ve tüm genel kolektif terimlerin, yalnızca isimler, yapay

ve keyfi simgeler olup, onlara karşılık gelen şeyin nesnel ve gerçek bir varoluştan

yoksun olduğunu öne süren görüş olarak nominalizm, yalnızca tikellerin, “şu” diye

gösterdiğimiz bireysel varlıkların varolduğunu, soyutlamaların, tümellerin, ideaların,

özlerin, dilimizin ve gerçekliği anlama tarzımızın yarattığı ürünlerden başka bir şey

olmadığını, söz konusu genel kavramların bize gerçekliğin nasıl olduğunu hiçbir zaman

bildiremeyeceğini belirtir.

Buna göre, nominalizm, “insan” türünden genel kavram ve soyutlamaların;

1. Yalnızca, bireysel bir varlıktan daha fazlasına gönderme yapmak için

kullanılabilecek isimler olup,

2. “insan” ya da “insanlık” şeklindeki bir varlık olarak, tek tek insanlar

tarafından paylaşılabilen nesnel bir varoluşu olmadığını ve

                                                            176Bayraktar, Mehmet, a.g.e.,s.343-345 177İzmirli, İsmail Hakkı.İslam’da Felsefe Akımları, Kitabevi Yay., İstanbul, 1995, s.187

97  

3. hatta soyut bir “insan” ya da “insanlık” düşüncesi ya da kavramı olarak, insan

bilincinde bile varolmadığını iddia eder.178

Buna karşın, ılımlı nominalizim, tümellerin yalnızca ağızdan çıkan sesler,

sözcükler olduğu görüşünü korumakla birlikte, sözcüklerin kullanımını, bireysel şeyler

arasındaki benzerliklere dayandırmak suretiyle, radikal nominalizmde söz konusu olan

bir öznelcilikten kaçınmaya çalışır.179

Platon tümeller kapsamı içinde ele alınmak durumunda olan İdeaları kuramını,

bilgi problemine bir çözüm götürmek, ezeli-ebedi bilgiyi mümkün kılacak genel ve

değişmez nesneler temin etmek için öne sürmüştü.180 Tümellersoyut varlıklar olup,

kendi içlerinde üçe bölünürler: özellikler, türler ve ilişkiler. Oysa tikeller, somut

varlıklardır; işte bu somut varlıklar da kendi içlerinde iki ana varlık grubuna ayrılırlar:

Tözler ve töz-olmayanlar. işte bunlardan tümellerin, gerçeklikte mi, düşüncede

mi,yoksa sadece dilde mi var olduğu problemi, metafiziğin en eskive en önemli

problemlerinden biridir. Bu konuda ilk ve enönemli tavır tümellerin; yani, genel

niteliklerin veya özlerin, türve cinslerin gerçekten var olduklarını öne süren realist

görüştür. İkinci görüş, tümellerin gerçeklikte değil de, sadece düşüncede veya zihinde

varolduklarını öne süren “kavramcılık”tır. Gerçekten de, realizm karşısında

“kavramcılık” tikellerin genel terimler altında sınıflanmasının, metafiziksel bir

hakikatten ziyade insanın seçici ilgisinin bir sonucu veya eseri olduğunu öne sürer.

Oysa üçüncü görüş olan “nominalizim”, tümellerin ne gerçeklikte ne de zihinde bir

varoluşa sahip olmadıklarını, onların sadece ağızdan çıkan bir ses olduklarını,

dolayısıyla sadece dilde var olabileceklerini savunur.181

Nitekim gerek Hıristiyan ve gerekse İslam Felsefesinde daha ilk kuruluş

yıllarından itibaren en yoğun bir biçimde benimsenen yegane öğretinin realist, üstelik

radikal realist görüş olduğu söylenebilir. Çünkü örneğin tikellerin, ya da somut

bireylerin tümellerden daha az gerçek olduğunu, ilk örneklerden pay almak suretiyle

varlığa geldiğini dile getiren radikal realist görüş, Hıristiyanlığın ve İslam’ın, içinde

yaşadığımız dünyanın tam anlamıyla ve gerçekten var olmadığı, gerçekten var olanın

                                                            178Cevizci, a.g.e., s.384 179Cevizci, a.g.e., s.384 180Cevizci, Ahmet.Felsefe, Sentez Yay.,Bursa, 2007, s.199 181Cevizci, a.g.e., s.200-201

98  

öte dünya olduğu tezini anlaşılır hale getirir, ahiret inancını temellendirir.182Ayrıca bu

problem kıdem-ezeliyet tartışmalarının bir boyutudur. Yani olumsal varlığın varlığını

salt özü gereği sürdürmesi mümkün olamayacağından bir yere (mahal) gereksinim

duyar. Maddeden başka kendisine bağlanacak bir şey de yoktur. Sonradan olan her

varlıktan (hadis) önce, bulunduğu madde gelir. Sonradan olan varlık maddeden

bağımsız olamaz. Maddenin kendisi sonradan değildir. Sonradan olan yalnız formları

(suret), ilintileri (araz) ve nitelikleridir (keyfiyet). Bunun karşısında ise şu görüş vardır:

olumsallık (imkan) aklın varlığını takdir ettiği şeye indirgeniyor, aklın bir yargısından

başka bir şey olmuyor. Artık kendisinin niteliği olacak hiçbir varlığı, maddenin

varlığının gereksinmiyor.183

 

                                                            182Cevizci, a.g.e., s.200-201 183 İzmirli, a.g.e., s.188

99  

VI. BÖLÜM:

FİZİK VE METAFİZİK İLİŞKİSİNİN KURULMASINDA MATEMATİKSEL BİR KAVRAM OLARAK SONSUZLUK

 

Sonu olan insanın sahip olduğu akıl, sonsuzluk gibi uçsuz bucaksız bir konuyu

nasıl alabilir? 1974 Nobel Ödüllü Astro Fizikçi Dame (Susan) Jocelyn Bell Burnell’e184

göre (Visiting Professor of Astrophysics at the University of Oxford) bu hakikaten bir

sorundur. Açıklaması şu şekildedir: “Deneyimlerimiz görece olarak sınırlıdır. Çok

sayıda insanın aklı, sonsuzluk hakkında ciddi sorunlarla karmakarışıktır. Bazıları

evrenin boyutlarını keşfedince depresyona girmektedir. Çünkü kendilerini çok küçük

çok önemsiz hissediyorlar. Profesyonel astronomların bu konu hakkında düşündüklerini

sanmıyorum. Bunu düşünmeyi engelliyoruz hatta. Kâğıda bunu matematiksel bir

kavram olarak 10 üzeri bir şeyler olarak yazıyoruz. Böylece sadece bir sayı oluveriyor

sonsuzluk. Ve onu sadece bir sayıymış gibi görerek sizin üzerinizde bırakacağı insani

etkileri de önlemiş oluyorsunuz. Böylece delirmeyi önlüyorsunuz.”185

İlimleri genel bir tasnife tabi tutarak alanlarını ve aralarındaki ilişkileri

belirlemek bir filozofun bilim ve metot anlayışını gösterdiği gibi onun varlık anlayışını

da gösterir. Eflatun, varlık ve bilgi türlerini aşağı, orta ve yukarı olmak üzere üçe

ayırarak fiziği aşağı, matematiği orta ve metafiziği yukarı diye nitelerken amacı, zihnin

somuttan soyutun bilgisine nasıl yükseldiğini göstermektir. Aristoteles’in ilimleri teorik,

pratik ve poetik şeklindeki üçlü tasnifi ise hocasınınkinden oldukça farklıdır.186Farabi,

İhsau’l-Ulum (ilimlerin sınıflandırılması) adlı eserinde, her hangi bir ilim öğrenmek

isteyen, bu kitaba bakmak suretiyle, çeşitli ilimlerin mevzularını, kendisine neler

öğretebilip, kendisini nelerden müstağni kılabileceğini anlayacağını, hangi ilmin daha

faydalı olacağına karar verebileceğini, bir ilmi öğrenmek istediği takdirde, bu işe körü

körüne girişmeyip, bilerek girişeceğini anlatır. Bahsettiği ilimlerin her birini mükemmel

bir şekilde anlatmış, mevzularını, gayelerini, dayandıkları prensipleri çok güzel bir

                                                            184 BBC, Sonsuzluğun Keşfi, 2007 Dame (Susan) Jocelyn Bell Burnell, Visiting Professor of Astrophysics at the University of Oxford 185 BBC, Sonsuzluğun Keşfi, 2007, 186Kindî, Felsefi Risaleler, s.17 Cevizci, Ahmet. İlk Çağ Felsefesi Tarihi, Asa Kitabevi, Bursa, 2001, s. 183

100  

şekilde göstermiştir. Farabi, bu eserinde, ilimleri ilk önce beş büyük kısma böler: 1. Dil

ilmi, 2. Mantık ilmi, 3. Ta'limî ilimler, 4. İlahiyat, 5. Medeni ilimler. Sonra, bunların her

birinin içinde bulunan ayrı ayrı ilimleri makul bir sıra ve tertip içinde gösterir; meselâ

ta'limî ilimler şunlardır: Sayılar (hesap), hendese, menâzır ilmi, yıldızlar (nü-cûm) ilmi,

musiki (çünkü bu da tamamıyla riyaziyeye dayanır) ilmi, cerr-i eşkal ve tedbirler

(hileler) ilimleri (bunlarda da her birinin amelî ve nazarî kısımlarını göstermiştir).187

Kindî’nin tasnifi ise bu filozoflarınkinden daha farklıdır: ilimleri dini ve insani şeklinde

ikiye ayırır ve insani ilimleri doğrudan ilim (sırasıyla fizik, psikoloji ve metafizik) ve

alet ilimler (mantık ve matematik) olmak üzere iki gruba ayırır.188

İlk İslam filozofu Kindî, insan zihninin soyut (manevi) bir alan olan metafiziği

kolaylıkla kavrayamadığını; işte bu konuda matematiğe önemli rol düştüğünü söyler.

Çünkü matematiğin temelini oluşturan sayılar, bir yönüyle maddi varlıkları gösterdiği

için fiziğe, soyut kavram olmaları bakımından da metafiziğe bağlıdır. O halde

matematik, fizikten metafiziğe yükselişte aracı bir role sahiptir. 189 Yine İbn Sina,

metafizik, fiziksel ve matematiksel varlığın ve bu iki varlıkla ilişkili şeylerin ilk

sebeplerinin, sebeplerinin sebebinin ve ilkelerin ilkesinin –ki o, yüce Tanrı’dır-

incelediği ilimdir190 diyerek matematiğin önemine değinmiştir.

Giordano Bruno ise temelde geometrik şekilleri ve sayıları çalışırken, duyulur

dünya ile zihinle kavranan dünya arasında bir ilişki gören Platoncu eğilimi dikkate alır

ve matematiği, fizik ile metafizik arasına yerleştirir.191

Gerçekte evrenin sınırsız olup olmadığı hakkında yapabildiğimiz tek şey hesap

kitaplara dayalı tahminlerdir. Ancak topolojide yani çok boyutlu cisimlerin geometrik

yapılarını inceleyen matematik dalında heyecan verici gelişmeler yaşanıyor. Rus

matematikçi Grigori Perelman’ın 100 yıllık bir matematik problemine evrenin şeklini

anlamlandırmaya çalışan Poincaré konjektürünü çözdüğü söyleniyor. Eğer Perelman’ın

teoreminin doğru olduğu kanıtlanırsa o zaman beklide gelecekte içinde yaşadığımız

                                                            187Farabi. İdeal Devletin Yurttaşlarının Görüşlerinin İlkeleri, Çev. Ahmet Arslan, Kültür Bakanlığı Yay., 1990, s.47-48 188Kindî, a.g.e., s.28 189Kindî, a.g.e.,s.28 190İbn Sina.İlahiyat-ı Şifa, Metafizik, Çev. Ekrem Demirli, Ömer Türker, Vakıflar Genel Müd. Yay., 2011, s.18 191Zellini, a.g.e.,s.76

101  

evren hakkında çok daha fazla şey bilmemiz mümkün olacak. Sonsuz ya da sonlu evreni

nasıl bir gelecek bekliyor sorusu bu noktada önem kazanıyor. Bu açıdan matematiksel

düşünce açısından analizler yapmak gerekiyor. Bu analizleri bölüm içerisindeki “Fizik

ve Matematikte Sonsuzluk” başlığı içerisinde ve sonrasında detaylı bir şekilde

inceleyeceğiz.

1. FİİLİ SONSUZLUK  

Paul Charles William Davies, günümüzde matematikçilerin sonsuz miktarları

ustalıkla idare ettiklerini ve bunların bağlı olduğu ilkeleri anlamakta hiçbir sorun

yaşamadıklarını söylüyor. Ki bu ilkeler sezgisel kurallara oldukça aykırı düşüyor.

Mesela sonsuz bir dizi şey içlerinden bir bölümünü alsanız dahi küçülmüyor. Sonsuzluk

o kadar büyük ki içinden yarısını alıp çıkarsanız hatta %90’nını alsanız bile değerinden

hiçbir şey kaybetmiyor. Bunu tasavvur etmekte çok güçtür, ama matematikçiler bunu

anlamakta hiç sorun yaşamıyor.192 Çünkü sonsuzluğu kendi başına bir sayı değilde bir

toplam olarak düşünmemiz gereklidir. Bu hususu ironik olarak açıklayan şöyle bir

rivayet var: sonsuz sayıda maymunu bir araya getirip önlerine sonsuz sayıda daktilo

koyarsanız maymunlar sonsuz zaman içinde Shakspeare’in bütün eserlerini baştan

yazabilirler.193

Jorge Luis Borges, Ficciones’teki öykülerinden birinde, çağdaş bir Fransız

yazarın, bir ilham sonucu Cervantes’in eseri Don Kişot’un iki bölümünü kelimesi

kelimesine yazması halinde olup bitecekleri kurgulamıştır. Aslında bu zorlu çalışma

saçma bir girişimdir, çünkü yerine getirebilmesi için iki karşıt savı birden gerektirir. İlki

serbest çağrışım, ikincisi ise orijinalinden herhangi bir sapmanın olmaması durumuna

işaret eder.194

Bu girişimi tanımlarken orijinal bir örnekten ve onunla karşılaştırıldığında basit

bir taklide indirgenen modern bir değişkeden söz edilmiyor. Burada ne taklit söz konusu

ne de kopyalamak. Yazarın özgür fantezisinden ödün vermeme amacı, çağdaş metnin

                                                            192 BBC, Sonsuzluğun Keşfi, 2007 193 BBC, Sonsuzluğun Keşfi, 2007, 194Borges, Jorge Luis. Don Quixote Yazarı Pierre Menard, Ficciones Hayaller Ve Hikayeler, İletişim Yay., İstanbul, 2014, S.67-78 

102  

orijinalliğini koruyacaktır. Eserin değeri, kendisinden önceki metinle arasındaki

biçimsel özdeşliğe bağlıdır. Bunun mümkün olup olmadığı sorusu bu noktada önem

kazanır. Fransız yazar buna şöyle karşılık verir: ”İşim hiç zor değil, bunun için bana

gereken ölümsüz olmak.” O halde orijinalin yetkin bir kopyasını yapmak için ölümsüz

olmanın yeterli olduğu söylenebilir.195

Bazı filozofların sonsuz sayıda şeylerin var olabileceğinden şüphe duymalarının

nedenlerinden biri gerçekte fiili sonsuzluğun var olması durumunda karşılaşılacak son

derece tutarsız durumlardır. Yukarıda bahsettiğimiz Nietzsche’nin, Zenon’nun

örnekleri ve aşağıdaki Hilbert’in oteli diye isimlendirilen örnek bu durumdadır.

Alman matematikçi David Hilbert, öncelikle sonlu sayıda odaları olan bir otel

düşünmemizi ve bu otelin bütün odalarının dolu olduğunu varsaymamızı ister. Yeni bir

müşteri bu otele geldiğinde maalesef otelin bütün odalarının dolu olduğu ve hiç yer

olmadığı söylenerek geri çevrilecektir. Hilbert, bu kez de sonsuz sayıda odaları olan ve

tüm odaları dolu olan bir otel düşünmemizi istiyor. Bu otele de bir müşteri gelsin ve boş

bir oda istesin. Bu sefer de müşterinin geri gönderileceğini düşünüyorsanız

yanılıyorsunuz. Otel sahibi, sorun değil deyip, 1. odadaki müşteriyi 2. odaya kaydırıyor.

2. odadaki müşteriyi 3. odaya 3. odadakini 4. odaya kaydırarak bunu sonsuza kadar

böyle devam ettiriyor. Böylece ilk oda boşalarak yeni gelen müşteri oraya

yerleştiriliyor.

Bu tür bir örnek fiili olarak sonsuz sayıda bir şeyin olmasının tutarsız olduğunu

gösteriyor. Tamamen dolu bir otel varken içindeki insanları oradan oraya kaydırarak

sonsuza dek birilerine oda açamazsınız. Bu bağlamda Harvard Üniversitesi Matematik

Topluluğu’nun kurucularından olan Robert Kaplan şuna dikkat çekiyor: Aristoteles,

sonsuzluğu mümkün olan bir şey gibi düşünebileceğinizi mesela önünüzdeki sonsuz

sayıdaki olanaklardan bahsedebileceğinizi ama sonsuzluğu fiili bir şey gibi

düşünemeyeceğinizi söylemiştir. Dolayısıyla fiili sonsuzluk diye bir şey yoktur.196

Biz duyulur nesneleri inceliyoruz ve üzerinde araştırma yaptığımız nesnelerde

büyüklük açısından sonsuz bir cisim var mı, yok mu, buna bakıyoruz. Şu tür kabullerle

bakarsak mantıksal açıdan yok gibi görünüyor:                                                             195 Zellini, a.g.e.,s.87 196 BBC, Sonsuzluğun Keşfi, 2007

103  

Bir cismin tanımı “bir yüzeyle belirlenmiş, sınırlanmış şey” ise, ne düşünülür ne

de duyulur sonsuz bir nesne olabilir (üstelik sayı da böyle ayrılmış-soyutlanmış olarak

sonsuz değil, nitekim ‘sayılabilir olan’ sayıdır ya da sayıya sahip olan şeydir;

‘sayılabilir’i saymak olası ise ‘sonsuz’a dek gidilmesi de olanaklı olsa gerek). Ama

fiziksel açıdan şöyle bakarsak: ‘sonsuz’un ne bileşik ne de yalın olması olanaklı.

Bileşik olarak alındıkça öğeleri çoklukça sınırlı ise sonsuz cisim olmayacaktır.

Çünkü öğelerin birden çok olması, karşıt öğelerin hep eşit olması onlardan hiçbirinin

sonsuz olmaması zorunludur. Nitekim iki öğenin herhangi birindeki olanak ötekinden az

olsa sözgelişi ateş sonlu, hava sonsuz olsa eşit ölçüde ateş eşit ölçüdeki havadan olanak

açısından belli bir üstünlükte olsa bile; yalnızca belli bir sayıda olsa bile şu açık:

‘sonsuz olan’ aşacak ve sonlu olanı yok edecektir. Öte yandan her öğenin sonsuz olması

olanaksız, çünkü cisim her yanda yayılımı olan şey, oysa sonsuz olan şey sınırsızca

yayılmış olan şey olacaktır.197

Nicolaus Cusanus, evrenin sayıya gelmez sonlu canlılarının, aşağıda da yukarıda

da belli bir sınırı olmayan, belirsiz bir ardıllığa yayıldığını anlatır. Kasılmaların ne artan

ne azalan süreci, ne mutlak maksimuma ne mutlak minimuma erişir, çünkü Tanrı’nın

sonsuz gücü yaratımın şeyleriyle tüketilemez. Bu tüketilemezlik, Tanrı’dan tümellere

aktarılarak her cinse ve her türe has özelliğe dönüşür. Evren mutlak maksimuma

ulaşamaz ve aynı biçimde, cinsler evrenin en son sınırına ulaşamaz, türler cinslerin

tümelliğine ulaşamaz, bireyler türlerin belirsiz örnekleme gücünü tüketemez. Böylece,

sakınımı da elden bırakmadan, ilk sonuca ulaşabiliriz. Evren, cins ve tür, kendi

bağlamlarında tanımlanmış sınırlar çerçevesinde edimsel sonsuzdur; bunların her biri,

birleştirici birlik niteliğiyle nesnelerin gizilgüç sonsuzluğunu barındırır ve sınırlar.198

Peter Jephson Cameron, Aristoteles’in sonsuzluk hakkındaki fikirlerini şöyle

yorumluyor: Sayıları düşünebilirsiniz mesela : 1,2,3,… her sayı kendi başına sonludur.

Sonsuzluk ancak sayıların artarda durmaksızın birbirlerini izlemeleriyle ortaya çıkar.

Eğer sayıların tümünü bir arada düşünürseniz o zaman sonsuz bir dizi oluştururlar.

Dolayısıyla Aristoteles, bunun sadece olası bir sonsuzluğa denk düştüğünü savundu.

Yani var olan tüm sayıları tek bir dizi içinde bir araya getirmeye çalışmamalı buna

                                                            197Aristoteles, Fizik, Çev: Saffet Babür, YKY, 1997, s.115 198 Zellini, a.g.e.,s.89

104  

tamamlanmış bir dizi gibi bakmamalısınız. Bunun yerine tüm sayıları içine alacak ve bir

sonraki sayıya geçecek sonsuza dek böyle devam edecek bir süreç gibi düşünmelisiniz.

Bu süreç sonsuza dek sürüp gidebilir. Ama bu sürecin hiç bir anında elinizde sonsuz bir

dizi oluşmaz. Dolayısıyla Aristoteles’u izleyen matematikçiler sonlu diziler hakkında

akıl yürütebiliyorlardı. Ama bu korkunç sonsuzluk fikriyle bir türlü yıldızları

barışmıyordu.199

Potansiyel sonsuzluk anlayışına göre, ulaşılabilen belirli bir sonsuz bir

büyüklükten ya da herhangi bir sayıdan bahsettiğimiz gibi sonsuz bir sayıdan

bahsedilemez. Örneğin 0,9999… devirli ondalık sayısını ele alalım. Potansiyel

sonsuzluğa göre, bu sayıya istenildiği kadar 9 yazılabilir ve 9 yazma süreci hiçbir

zaman bitmez. Reel sayılar kümesinde bu sayı 1’e eşittir. Bu sayının nasıl 1’e eşit

olduğunu gösterelim:

A=0,9999… olsun.  

, … , …

 

Fakat fiili sonsuzluk anlayışına göre, ω gibi sonsuz bir miktarın niceliğini ifade

eden bir değer varsa sonuç bizi şaşırtabilir. Yani sonsuz büyük ω sayısı ve sonsuz küçük

sayısı ile elde edilen ve 1˃1 ˃0, 9 şartını sağlayan 1 şeklinde bir sayı var ise

(ya da kabul edilirse) yukarıdakine benzer bir işlem yapıldığında aşağıdaki sonuçla

karşılaşılmaktadır.

10A 10

A 1

9 9

1

 

 

                                                            199BBC, Sonsuzluğun Keşfi, 2007 Peter Jephson Cameron , Half-Time Professor Of Mathematics At The University Of St Andrews, And Emeritus Professor AtQueen Maryy University Of London

105  

Sonuç olarak fiili sonsuzluk anlayışı çerçevesinde sistemleştirilen matematiksel

yaklaşımlar, bizi farklı ve şaşırtıcı sonuçlar ile karşılaştırmaktadır.200

Aristoteles’in bu mantıklı duruşu ortaçağ boyunca da hüküm sürdü. Aquinolu

Thomas’ın Katoliklik için ifade ettiği “fiili sonsuzluk mümkün değildir” tezinin de

temelinde de bu öğreti yatmaktaydı. Ancak Rönesans döneminde İtalyan filozof

Giordano Bruno bu teze karşı çıktı. Fiili sonsuzluk vardır, evren sonsuzdur, sonsuz

sayıda dünyalar vardır dedi. Bu sözlerinden ötürüde 1600 yılında yakılarak öldürüldü.201

Bruno, Kopernikus’un görüşünü daha da ileriye götürerek evrenin sonsuz olduğunu ileri

sürmüştü. Bruno’ya göre Tanrının sonsuzgücünü Batlamyus’un sınırlı evreni değil,

Kopernikus’in sonsuz ve sınırsız evreni temsil edebilirdi. Onu “yakan” da bu görüşleri

oldu.

Kopernikus sisteminin zamanı için nasıl büyük bir devrim getirdiğini, doğa

biliminin bundan böyle yürüyeceği yolu nasıl aydınlattığını bu noktada hatırlamak

gerekir. Kopernikus’in öğretisi üç şeyi alt üst etmişti:

1. Gözlerimizle gördüğümüz görünüş alt üst olmuştu. Biz, kendi

gözlemlerimizle yer’in ayaklarımız altında sapasağlam durduğunu, ay, güneş ve

yıldızların yer’in etrafında dolandıklarını görürüz. Kopernikus getirmiş olduğu yeni

öğreti ile bu en güvenilir gözlemimizin, her gün kendi gözlerimizle gördüğümüz

olguları açıklayışımızın yanlış olduğunu, duyuların bir kuruntusundan ileri geldiğini,

bunun bizim için duruş, bakış-noktamızla ilişkili sübjektif bir görünüş olduğunu

göstermiştir. İlk ve Ortaçağlarda yeryuvarlağı gibi küçücük bir yıldızı koca bir evrenin

merkezi yapmaya kalkışmak, doğa görüşümüzün nasıl sübjektif olabileceğini, nasıl

kendi ben’imizin rengiyle boyanabileceğini çok iyi gösterir. Hele Kopernikus’in öğretisi

daha ileriye götürülüp de evrenin sonsuz olduğu, durağan yıldızlar küresinin bir sınır

olamayacağı düşünüldükten sonra, yeryuvarlağı büsbütün küçülüp bir kum tanesi gibi

bir şey olmuş, dolayısıyla onu merkez saymak pek aykırı ve çelişik görünmüştür.202

2. Kilisenin dünya görüşünü alt üst olmuştu. Kopernikus sistemi bir de

Hıristiyan Kilisesi’nin ta baştan beri bağlı olduğu veren tasarımını yıkmıştır. Evrenin

                                                            200Aztekin, Serdar, Matematiksel Bir Kavram Olarak Sonsuzluk ve Ötesi, Tanımları ve Tarihsel Gelişimleriyle Matematiksel Kavramlar, Pegem Akademi Yay., 2013, s.505 201BBC, Sonsuzluğun Keşfi, 2007 202Gökberk, Macit, Felsefe Tarihi, Remzi Kitapevi, 6. Basım, 1990, s.252 

106  

kuruluşunun, varlığının nedeni, insanlık tarihine bir çerçeve, bir sahne olabilmesi

içindir; güneş, ay, yıldızlar, bitkilerle hayvanlar, bunların hepsi insan için vardırlar,

insanın yüzü-suyu hürmetine bulunmaktadırlar. Hıristiyanlığın bu dünya görüşü tam

anlamıyla anthroposentrik’tir, yani insan açısından varılmış olan bir görüştür. Böyle bir

görüşün insanın barınağı olan, insanlık tarihinin üzerinde geliştiği alan olan yer

yuvarlağını evrenin merkezi yapması pek doğaldır.203

3. Ortaçağın resmi felsefesi olan Aristoteles felsefesi alt üst olmuştur. Evrenin

sonsuz ve birlikli olduğu düşüncesi, bu öğretinin Aristotelesçi Skolastik doğa felsefesini

de alt üst etmeye yol açmıştır. Aristoteles’in fiziğine göre, doğa özce birbirinden ayrılan

iki kısma bölünür: Gökyüzü dünyası ile yeryüzü dünyasına ya da ayın üstündeki dünya

ile altındaki dünyaya. Gökyüzü dünyasında başlangıçları ile bitimleri olmayan düzgün

daire hareketleri vardır; bunlar başlamaları için dışarıdan itilmeğe muhtaç olmadıkları

gibi, sona da ermezler. Buna karşılık yeryüzündeki hareketler doğru çizgi

biçimindekidirler; dışarıdan bir itilme ile başlarlar ve bir zaman sonra kendiliklerinden

bitip dururlar. Kopernikus öğretisi Aristoteles fiziğinin doğayı bu ikiye bölmesini

ortadan kaldırmıştı, çünkü bu öğretide yeryuvarlağının kendisi de bir gök cismi

olmuştu; böylelikle gökteki ve yerdeki hareketler özce ayrı şeyler olmaktan

çıkmışlardı.).204

Kopernikus öğretisi gökyüzü ile yeryüzü arasındaki ayrılığı, dolayısıyla gökteki

hareketlerle yerdeki hareketlerin ayrılığını ortadan kaldırmakla Aristoteles fiziğinin

kavramsal özleri belirtmeğe dayanan fiziğinin temelini de sarsmıştı. Ama bu bakımdan

en kesin adım, Galilei’nin mekaniği ile onun özellikle ”süredurum –internia- yasası”nı

formüllemesi ile atılmıştır.

Bu yasaya göre, dışarıdan bir kuvvet işin içine karışmadıkça bir cismin hareket

durumunda ve doğrultusunda bir değişiklik olmaz. Bu ilkeye göre, artık Aristoteles’in

düşündüğü gibi başsız ve sonsuz olan daire hareketleri yoktur; kendiliklerinden bitip

kalan hareketler de olamaz; tersine olarak: kımıldatılan bir cisim, kendisine sürtme

kuvveti ya da başka bir kuvvet karşı gelmeseydi, itildiği doğrultuda hareketini sonsuz

olarak sürdürüp giderdi; başka bir deyişle: her hareket eden cisim –bu, ister gökteki bir

                                                            203Gökberk, Macit, a.g.e., s.252 204Gökberk, Macit, a.g.e.,253 

107  

cisim, ister yeryüzünde fırlatılmış bir taş olsun-, hareketine başladığı doğrultuda doğru

çizgi şeklinde yürüyüp giderdi- şu koşulla ki, bir takım saptırıcı kuvvetler onu bu düz

çizgiden ayırıp bir daire ya da bir parabol hareketine zorlamasınlar.

Galilei’nin bu süredurum ilkesine bir de Newton’un “genel çekim yasası”nı

eklersek, yeni fiziğin Kopernikus’ten bu yana geçtiği başlıca evrelerin üçüncüsünü de

görmüş oluruz. “Genel çekim yasası” gezegenlerin hareketleriyle bir taşın düşmesini,

yani Aristo fiziği için yapıları, özleri bakımından başka başka olan iki ayrı dünyada

geçen bu iki olayı, tek bir doğa yasasına bağlar. Bu yasaya göre, iki cisim –bunlar ister

iki gezegen, ister yer ile bir taş olsun- birbirlerini bir yandan kütleleriyle orantılı olan,

öbür yandan da aralarındaki uzaklığın karesi ile orantılı olan bir kuvvetle çekerler. Bu

yasa, hem yeryüzünün kütleleri miligramla ölçülen, aralıkları birkaç milimetre olan

cisimleri, hem de gökyüzünün milyonlarca kilogramlık, aralarındaki ışık yıllarıyla

tasarlanabilen cisimleri için aynı kesinlikle geçerliktedir.205

Bruno’ya göre eğer evren sonsuz ise, kaçınılması imkânsız olan muhakeme

şudur: iki sonsuz olamaz; imdi âlemin varlığı inkâr edilemez; şu halde Tanrı ve evren

bir ve aynı varlıktır. Tanrı tanımazlık itirazından kurtulmak için Bruno evrenle âlemi

birbirinden ayırıyor: Tanrı sonsuz Varlık veya Evren, âlemin prensibi, ezeli ve ebedi

nedeni, natura naturans’tır; âlem, onun sonuçlarının yahut olayların hepsi, natura

naturata’dır. Ona göre Tanrıyla âlemi bir saymak Tanrıtanımazlık olur, çünkü âlem

bireysel varlıkların toplamından başka bir şey değildir ve bir toplam ancak zihni bir

varlıktır. Fakat Tanrıyı evrenle bir saymak, onu inkâr etmek değil, aksine yükseltmektir;

en yüksek Varlık fikrini, onu başka varlıkların yanında bir varlık, yani sonlu bir varlık

sayanların, içinde tuttukları sınırların çok ötesine kadar genişletmektir.206 Bruno’nun

metafiziğinde evrenin birliği, canlı bir organizmanın birliği diye düşünülür: Evren aynı

ruhu taşıyan canlı bir varlıktır; gökyüzündeki varlıkları da, yeryüzündekileri de

oluşturan tek bir ruhtur, Tanrı’dır, evrenin ruhudur; bütün hareketlerin nedeni de bu

ruhtur.207

                                                            205Gökberk, Macit, a.g.e., , s.253-254 206Weber, Alfred, Felsefe Tarihi, Çev. H. Vehbi Eralp, Sosyal Yay., 1998, s.201 207Gökberk, a.g.e., s.254

108  

İşte doğanın sınırsız ve sonsuz olduğu görüşü, Giordano Bruno felsefesinin ana

direklerinden biridir. Aristoteles fiziğinde esir (aither) evreni sınırlıyordu. “Esir’in

ötesindeki boşluk ne olacak? Ona ne diyelim?” diye soran Bruno, “demek ki, nereye bir

sınır koyarsak koyalım, onun arkasında yine de bir uzay kalıyor; öyle ise evrenin hiçbir

yerine bir sınır koyamayız; evren sonsuz ve sınırsızdır” sonucuna varıyor. Esasen evren,

Tanrının kendini gerçekleştirdiği bir yerdir; sonsuz bir etkinlik olan Tanrı, kendini

ancak sonsuz olan bir evren içinde gerçekleştirebilir. Sonsuz evren içinde sayısız sınırlı

dünyalar vardır; her yıldız kendi ekseni ve kendi güneşi etrafında döner. Evrenin kendisi

hareketsizdir; kendi dışında başka bir yer olmadığı için, yerini değiştiremez; bundan

dolayı bütün hareketler görelidir (relatif); evrenin ne merkezi, ne aşağısı, ne yukarısı

vardır; bütün bunlar gözleyenin duruş-noktasına göre değişir, dolayısıyla herhangi bir

nokta merkez olabilir.208

Bruno sonsuz evren içinde sayısız sonlu dünyalar kabul etmişti; bunların her

birinin kendine göre bir hayatı, kendine göre bir güneşi vardı. Şimdi bu sonlu

dünyaların kendi başlarına oluşları ile sonsuz evrenin birliği nasıl bağdaşabilir? Bu soru,

individüalizm ile üniversalizm arasındaki bağlantı sorunudur. Giardano Bruno’ya göre,

evrenin (universum) tözü, en iç özü sonsuz Tanrı’dır. Bu öz bakımından görüldükte, tek

tek varlıkların (individuum) hiç biri başlı başına, bağımsız değildir, bunların her biri

öncesiz-sonrasız olan tek bir “Tanrısal kuvvetin” çeşitli görünüşleridir. Evrenin özü de

duran donmuş bir şey olmayıp sonsuz yaratıcı bir etkinliktir; doğanın yaratıcı gücüdür,

her şeyin etkin nedeni olarak “yaratan doğa” (natura naturans)tır.209

Yeni doğa biliminin dayandığı görüşlerden biri de, doğanın matematik bir yapısı

olduğu düşüncesidir. Matematik yapılı doğa duygu ve sezgi ile değil, hesap eden, ölçen

ve tartan anlık (intellekt) ile kavranır. Matematik doğa görüşünde nesneleri ölçülebilen,

sayıya vurulabilen yönleri ile yani sırf nicelikleri (quantitas) bakımından kavramak

esastır. Bu anlayışla nesneler ancak nicelik bakımından ayrılırlar; dolayısıyla doğanın

objeleri arasındaki sınırları belirleyen, bunların ölçülebilen yönleri olmalıdır. Bu

ölçülebilen büyüklüklerin yasaları matematik olarak formüllenirse, o zaman bu yasalar

                                                            208 Gökberk, a.g.e.,s.230 209 Gökberk, a.g.e.,s.230-31 Ronan Colin A.,Bilim Tarihi, Çev: Ekmeleddin İhsanoğlu, Feza Günergun, Tübitak Yay., Ankara, 2003, s.368-371

109  

aynı kesinlikle bütün doğaya uygulanabilirler. Buna göre, doğa gerçeğini boydan boya

ölçülebilen büyüklükler ile örülmüş gören nicelikçi (quantitatif) bir doğa anlayışı ile

doğa yasalarını matematik ile formülleme birbirine sıkı sıkıya bağlıdırlar.210

Aristoteles olası bir sonsuzluğun yani potansiyel bir sonsuzluğun olduğundan

şöyle bahsetmiştir. “ …’sonsuz’, olanak halinde var. Ne ki burada olanak halinde olanı

“şunun heykel olması olanaklı, öyleyse o heykel olacak” gibi ‘sonsuz’ da etkinlik

halinde var olacak diye anlamamalı. Var olmak çok anlamda olduğundan ’gündüz var’,

‘yarış var’ gibi, yani hep değişik süreçlerde olan bir şey gibi anlamalı (aslında bunlarda

hem olanaklılık hem etkinlik söz konusu; nitekim “olimpiyat oyunları var” demek hem

‘olması olanaklı’ demek hem de ‘gerçekten yapılmakta’ demek). O halde sonsuzluk bir

anlamda zamanda, bir anlamda insanların, bir anlamda da büyüklüklerin bölünmesi

açısından, bu açıktır.211 Yani Aristoteles sonsuzluğa sadece yaklaşabileceğimizi onu

asla yakalayamayacağımızı söylüyordu. Mesela 1, 2, 3, 4, 5 gibi dilediğimiz gibi

saymaya başlayabiliriz. Ama bu şekilde sonsuzluk noktasına ulaşmamız mümkün

değildir. Bunu daha iyi anlatabilmek amacıyla Aristo şöyle bir örnekseme kullanmıştı:

olimpiyat oyunlarının olduğunu söylüyoruz. Bunu hem gelecekte olacağı hem de

aslında şu anda olduğu anlamında kullanıyoruz. Aristoteles’nun dediği şu: olimpiyat

oyunlarının olduğunu biliyoruz ama oyunlar sadece her 4 yılda bir oynanıyor.

Dolayısıyla tam oyunların oynandığı anda değilsek olimpiyat oyunları sadece potansiyel

olarak var diyebiliriz.

Şimdi fizik –mekansal sonsuzluk içinde insanoğlunun ölçebildiği, sonsuzun

yanında 0 sayısı kadar mesabesi olan ama inceleyebildiğimiz uzaysal objelerden

bahsedelim. Sonsuzun yanında 0 mesabesinde olan bu muazzam sayılar şunlar olacak:

trilyon (1012), katrilyon(1015), oktrilyon (1027), nonilyon (1030), novemdecilyon (1060),

vigintrilyon (1063), googol (10100).

Tüm evrende 1024 yıldız olduğu tahmin ediliyor. Evren’de Samanyolu gibi her

biri ortalama 100 milyar yıldız içeren 100 milyar gökada olduğu tahmin ediliyor.

Bunlardan bizim galaksimize en yakın olanı, Andromeda’nın bize uzaklığı 2.5 milyon

                                                            210 Gökberk, a.g.e., s.254-255 211Aristoteles, Fizik, Çev: Saffet Babür, YKY, 1997, s.123

110  

ışık yılıdır. Yani Andromeda’da bugün gözlenen bir olay 2.5 milyon ışık yılı önce

gerçekleşmiş bir olaydır.

Gökyüzünde çıplak gözle görülebilen hemen tüm yıldızlar Güneş Sistem’imizle

birlikte büyük bir disk şeklindeki Samanyolu Galaksisi’nin içindedir. Gökadamızı

oluşturan, gaz, toz, yıldız, yıldız kümeleri vs. gibi tüm gök cisimleri (yaklaşık 250

milyar yıldız), 160 bin ışık yılı (yeni verilere göre 650 bin IY ) çapında basıkça bir

kürenin içinde yer alır.

Samanyolu’nun merkezinde, 5 milyon (5.106) güneş kütlesinde (1O34 ton), 1/10

IY çapında büyük bir kara deliğin bulunduğu tahmin ediliyor. Güneş Sistemi

merkezdeki bu kara delikten 30 bin (3.104) IY uzaktadır ve bunun etrafında 200 km/sn

hızla, 200 milyon (2.108) yıllık periyotla bir sarmal koldan diğerine geçerek döner

(galaktik yıl). Tüm gökada, merkez etrafında 250 km/sn hızla dönmekte ve Suyılanı

Takımyıldızına doğru saniyede 540 km’lik hızla hareket etmektedir. Gökadamızın yaşı

50 galaktik yıl; kütlesi, 6.1011-2.1012, Güneş kütlesi =6.1038-2.1039 tondur.212

Yine yukarıdakilere benzer bir incelemede Archimedes tarafından yapılmıştır.

Archimedes dünya ve gökyüzünü bir küre olarak yorumlayarak bunun ne kadar kum

tanesi tarafından dolduracağını hesaplamaya çalışmıştır. Her lineer (doğrusal) inçte 15

kum tanesi olduğu varsayarak, her düzlemsel inçte 15x15 kum tanesi ve her inç küpte

15x15x15=153 kum tanesi olduğunu varsayar. Her feet’te 12 inç olduğu için her feet

küpte 153x123 kum tanesi olur. Her mil küpte ise 153x123x5,283 kum tanesi olur.

Kürenin hacim formülünden ( ) r=1012 kabul ederek 10 x153x123x5,283

olarak hesaplar. Bu da yaklaşık 1054 kum tanesi eder. İşte bu tip işlemlere “pratik

sonsuzluk” denilebilmektedir.213

Yukarıda astronomik sayıların bulunduğu kısımda içinde bulunduğumuz

maddesel evrenin, bazı astronomik boyutlarından söz ettik. Bu anlatılanlar, somut

olarak var olan cisim ve olaylar hakkında astronomi biliminin elde ettiği sonuçların bir

kısmının özetinden ibarettir diğeri ise varsayımlardan yola çıkarak yapılan basit bir

                                                            212Güney, Zekeriya, Uzamsal Sonsuzluk Ve Matematiksel Sonsuzluk Üzerine, Mantık, Matematik Ve Felsefe III. Ulusal Sempozyumu, Sonsuzluk ve Görelilik, İstanbul Kültür Üniversitesi Yay., 2008, s.26-31 213Paulos, John Allen,Herkes İçin Matematik, Çev. Başak Yüksel, Beyaz Yayınları, 1998, s.29-30

111  

hesaptı. Ama İleri sürülen rakamların hiç birinin doğru olmadığını rahatlıkla

söyleyebiliriz! Elimizin altındaki (alan hacim, uzunluk, sıcaklık, ağırlık, zaman vs gibi)

büyüklükleri bile hiçbir zaman matematiksel bir dakiklikle ölçemeyiz. Örnek olarak,

şimdiye kadar 4 ayağı da düzleme tam olarak oturan bir sandalye yapmayı hiçbir

marangoz başaramamıştır; mikroskopik de olsa, hata mutlaka vardır! Astronomik

ölçümlerde ise, milyarlar mertebesinde yanılgılar olabilir. O halde diyebiliriz ki,

şimdiye kadar, var olan şeyler hakkında kesin olmayan bilgiler verdik. Şimdi olmayan

şeyler hakkında kesin bilgiler vereceğiz! İnsanoğlunun uzamsal sonsuzluğu idrak

edememesine karşın, matematikçiler sonsuz çoklukta sonsuzluk ortaya koyabilmişler ve

bunların kesin ve dakik analizlerini yapabilmişlerdir.214 Çünkü matematikçiler ölçüm

yapmazlar!

2. SONSUZ BOYUTLAR  

Şimdiye dek sonsuzluğun tanımını yapmaya evrenin sonsuz olup olmadığını

anlamaya çalıştık, Tanrı sonsuz mu diye sorduk. Sonra matematiksel düşünce açısından

analiz ettik. Matematikte sonsuzluğu görmek ne kadar mümkün dedik. Son olarak fiili

sonsuzluk mümkün mü diyerek matematiğin anlayışını değiştiren bir teoriye göz atacak

sonsuzluk dünyada görülebilir mi sorusuna yanıt arayacağız.

Aristoteles sonsuza ilke değeri atfetmekte tereddüt etmemiştir. Fizik’te (203 b 6)

şöyle diyor: her şey ya bir ilkedir ya da ilkeden gelir, ama sonsuzda ilke yoktur, olsaydı

bu onun sınırı olurdu. Ayrıca o yaratılamaz ve yok edilemezdir, bir ilke olarak yaratılan

her şeyin sonlu olması zorunlu olduğundan, her yıkımda bir son vardır. Bundan dolayı

dediğimiz gibi onun başlangıcı yoktur, ama sonsuzdan başka nedenler kabul

etmeyenlere göre, o bütün diğer şeylerin başlangıcıymış, her şeyi sarıyor, her şeyi

yönetiyormuş gibi görünür. Sonsuzluk Tanrısal bir şey de olsa gerek, çünkü

Anaksimandros’un ve doğa bilimcilerin çoğunun dediği gibi, o farklıdır, çünkü ölümsüz

ve yok edilemezdir.

Bu aşamada şu soruyu sormak gerekir: Sonsuzun varlığına dair kanıtlar var

mıdır? Aristoteles, zaman (ki onun sonsuz olduğu açıktır) ve büyüklüklerdeki bölünme

gibi, bu kanıtların bazılarını sayıyor. Ancak sonsuzu salt hayal ürününe indirgemeye                                                             214 Güney, a.g.e.,s.31

112  

izin vermeyen daha derin sebepler de vardır: “Yaratılmış olan her şeyin doğduğu

kaynağın sonsuz olması halinde, asla oluş ve bozuluş olmazdı,” diye belirtiyor

Aristoteles. “Ayrıca sınırlanmış olan he şey, sınırını başka bir şeye göre bulur; bir şey

hep başka bir şey tarafından sınırlanmak zorundaysa, sınırın olmaması gerekirdi. Ama

her şeyden önce, başlangıç ilkesi olan ve herkese zorluk yaratan şey, düşüncede asla

büsbütün aşılamadığı için, sayı, matematiksel büyüklük ve gökyüzünün ötesindeki

şeylerin tamamının sonsuz gibi görünmesidir.”215

Matematikte fiili sonsuzluğun aslında var olduğuna dair giderek büyüyen bir

kanı oluşmaya başlamıştı. Nihayet 19. Yüzyılda bir matematikçi bu problemi araştırdıve

set teori diye bilinen teoriyi geliştirdi. Harvard üniversitesinde 1994 yılında matematik

topluluğunu kuran Robert ve Alan Kaplan216 teoriyi şöyle anlatıyor: Set teorisi alman

matematikçi George Cantor tarafından keşfedilen bir matematik bilimi. O da aynı

kendisinden 300 yıl önce yaşayan Bruno gibi fiili sonsuzluğun mümkün olduğunu

düşünüyordu. Tüm sayıların, sayma sayılarının, kesirli sayıların, reel sayıların

dizilerinden bahsedilebileceğini de. Bu sonsuz sayıdaki sayıların bir araya gelmesinin

tamamlanmış bir dizi gibi yani fiili sonsuzluk gibi görüneceğini düşündüğü için bu

teoriyi ortaya attı. Tamamlanmış sonsuz dizilere bakma fikri sadece Aristoteles’yla

değil geçmişteki tüm matematikçilerin görüşleriyle ters düşüyordu.

Alan Kaplan bu konuyu şöyle açıyor: Şaşırtıcı olan ilk şey, diyelim ki sayma

sayılarından bahsediyoruz. 1, 2, 3… diye devam ediyor bunlar. Sonra çift sayılara

bakıyoruz ve onlar da 2, 4, 6,…diye gidiyor. İlk tahminimiz çift sayıların sayma

sayılarının yarısı kadar olduğudur öyle değil mi? Ama bu soruya hayır diye cevap

veriyoruz. Çift sayıları da sayma sayılarını da iki uzun çizgi gibi düşünürsek bir sırada

sayma sayıları bir sırada çift sayılar sıralanmış ilerliyorlar. Böyle yan yana kol kola

gidiyorlar. 1, 2’nin elini tutmuş, 3, 4’ün elini… ve anlıyoruz ki böyle elele sonsuza dek

yürüyecekler. Yani bu iki sonsuz çizgi aynı boyutta.217

Bunu şu şekilde gösterebiliriz:

 

                                                            215 Zellini, a.g.e.,s.9 216 BBC, Sonsuzluğun Keşfi, 2007 217 BBC, Sonsuzluğun Keşfi, 2007

113  

1          2          3         4          5         6           … 

↓       ↓        ↓        ↓        ↓        ↓         … 

2          4          6          8        10        12        … 

Sayma sayılarıyla çift sayılar arasında birebir benzerlik kullanarak, Cantor çift

sayılarında sayma sayıları kadar olduğunu gösterdi. İşte bu set teorisinin de temelini

oluşturdu. Bu teori bir grup ya da sonsuz uzunluktaki sayı dizilerinin aslında bir bütün

olarak düşünülebileceğini söylüyordu. Ama set teorisi bununla kalmadı. Cantor tüm

sayıların bu birebir benzerlik içinde eşleştirilemeyeceğini öne sürdü. Yani farklı

boyutlarda sonsuzluklar olabilirdi.218

Tüm sonsuzlukların yani sonsuz sayıdaki sayıların oluşturduğu farklı dizilerin

hepsinin aynı boyutta olacağını düşünebilirsiniz ilk anda. Ama Cantor reel sayıların

ondalık sayıların sayısının aslında sayma sayılarından daha fazla olduğunu kanıtladı.

Yani ilkinden daha büyük ikinci bir sonsuzluk boyutu ortaya çıktı. Sonra 3., 4., 5., …

Sonsuz sayıda boyutlar.

Cantor sonsuzluklar arasında bir hiyerarşi olduğunu söylüyordu. Ancak hayatı

boyunca teorisi ve çalışmaları gerek matematikçiler gerekse filozoflar tarafından yerden

yere vuruldu.219

19. yüzyılın ikinci yarısında sağduyularımızı alt üst eden bir kuram gelişti:

kümeler kuramı. Aristoteles’ten beri bir nesilden diğerine “amentü” gibi “intikal eden”

mantık bilimini derinden sarstı.220

Yukarıda ki bire bir eşlemeyi bir örnekle açıklayabiliriz. Bir salona girelim.

Önümüzde iki küme var: salonda hazır bulunanlar ve koltuklar. Bir anlık dikkatli bir

bakışla bu iki kümenin eşit olduğu, eğer eşit değillerse hangisinin daha büyük olduğu

sonucunu çıkarabiliriz:

1- Eğer tüm koltuklar doluysa ve hiç kimse ayakta değilse, doğru bir biçimde bu

iki kümenin eşit olduğu sonucuna varırız.

                                                            218BBC, Sonsuzluğun Keşfi, 2007 219 BBC, Sonsuzluğun Keşfi, 2007 220Boll, a.g.e., s.61 

114  

2- Eğer hiçbir boş koltuk yoksa ve ayakta insanlar varsa, tam bir kesinlikle

insanların koltuklardan daha fazla sayıda olduğunu anlarız.

Eşleme, kümelerden birinin her oluşturucu öğesinin, diğer kümenin bir öğesine

karşılık getirilmesiyle ve bunun kümelerden birinin –ya da her ikisinin- öğelerinin

tüketilmesine kadar devam edilmesiyle yapılır. Eşleme iki önemli noktayı öne çıkarıyor.

Bir yandan çift, ikili, düo, duble, ikiz gibi bir çok eşanlamlısını bulabileceğimiz en basit

sayıya, iki sayısına dayanıyor. Öte yandan, insan bilgisinin temel kavramlarından olan

karşılıklı bağımlılığı çağrıştırıyor. Eşleme yöntemiyle iki kümeyi karşılaştırarak,

hangisinin “daha fazla sayıda” olduğunu, hangisinin “kuvvetinin” daha büyük olduğunu

anlıyoruz.221

Sonsuzluk kavramına matematikte izin verilip verilmemesi gerektiği üzerine 19.

yy sonlarından 20. yy başlarına kadar büyük bir mücadele yaşandı. Alman ve Hollandalı

matematikçilerin içinde olduğu sert bir ekol vardı. Sonsuzluğun yasaklanması

gerektiğini, matematiğe dâhil edilmesi durumunda konunun tüm mantıksal yapısını yok

edeceğini sonsuz şeylere dair bir sezgi olmadığı için her tür yanılgıya düşülebileceğini

söylüyorlardı. John D. Barrow’a göre Cantor, özellikle alman matematiğinde çok etkin

olan Kronecker gibi isimler fikirlerini tamamen karşı çıktığı, bu fikirleri matematiğin

dışında tutmaya çalıştığı için büyük darbe aldı. 1930’ların 1940’lı yılların ikinci dünya

savaşının sona ermesinin ardından bu fikirler ortadan kalktı. Artık insanlar matematikte

sonsuzluk kavramına yer vermekten son derece hoşnuttu.222

Hesaplarının karmaşıklığı ve ardından karşı karşıya kaldığı sert eleştiriler

düşünülünce Cantor’un şiddeti giderek artan bir depresyona sürüklenmiş olması

herhalde pek şaşırtıcı değil. Buradan şöyle bir soru doğuyor: sonsuzluk hakkında

düşünmek psikolojik açıdan ne gibi tehlikeler yaratabilir? Danışman Psikolog Doktor

Rush Perzuat: “Londra’nın güneyinde bir hastanede çalışan bir psikiyatr olarak şunu

söyleyebilirim: gerçeklikle bağlarını yitiren ve bu yüzden benim koğuşumdaki

yatakların çoğunu işgal eden psikozlu hastaların en çarpıcı yönlerinden biri metafiziksel

                                                            221 Boll, a.g.e., s.14-16 222 BBC, Sonsuzluğun Keşfi, 2007

115  

sorulara yani sonsuzluk ruhanilik gibi konulara dini fikirlere giderek artan bir ilgilerinin

olması.”223

Sonsuzluk hakkında düşünmeye çalışmanın çok karmaşık bir şey olması birçok

insanın korkunun pençesinde kalmasına yol açtı. Sonsuzluk hakkında çok derin

düşünmenin deliliğe neden olmasından endişeleniyorlardı. Antik yunanlılar bile buna

inanıyordu. Hatta sonsuzluk korkusu için ürettikleri bir kelime dahi vardı: apeironfobi.

Apeiron yunanca sınırsızlık demek. Sonsuzluğunda tabi herhangi bir sınırı bulunmuyor.

Peki, Cantor’un devrim niteliğindeki teorileri matematikçilerin hayatını kolaylaştırdı mı

yoksa tam tersi mi oldu?224

Peter Jephson Cameron’a göre bu teoriler aslında tuhaf bir biçimde bazı şeyleri

çok daha kolay bir hale getirdi. Mesela büyük bir sonlu dizi ele aldığınızda her türlü

karışıklık söz konusu oluyor. Bu karışıklıklar zaten dizinin sonlu olmasında

kaynaklanan şeyler. Örneğin dizide çift sayılar mı var yoksa tek sayılar mı var bunu

bütün diziyi saymadan bilemiyorsunuz. Ama sonsuz dizilerde bu tür zorluklar tamamen

ortadan kalkıyor. Dolayısıyla tuhaf bir şekilde ele alınmaları çok daha kolay oluyor.

Ayrıca sonsuz diziler üzerinde mantık yürütebiliyoruz ve bize büyük sonlu dizilerin

nasıl hareket etmesi gerektiğini söylüyorlar. Kimse artık sonsuz dizilerle çalışmaktan

huzursuz olmuyor. Son derece doğal bir şekilde yürüyor işler artık.225

Bu durumda geriye şu soru kalıyor: Eğer matematikte fiili sonsuzluk kavramını

daha yeni kabullenmeye başladıysak peki bu konuda bilinmesi gereken her şeyi

keşfettik mi? Belkide inandığımız şeylerde hala yanılıyor olamaz mıyız?

Amerikalı filozof William Lane Craig’e göre bu sonsuz set teorisi tamamlanmış

değil. Craig şu şekilde açıklıyor bunu: Bu teoriyle uyumlu olan bazı hipotezler var ama

bunlarda sonsuz set teorisi temelinde kanıtlanamıyor. Tabi ki şu felsefi soru da havada

kalmış durumda: Cantor’un yarattığı bu teori sadece matematikçinin hayal gücünün bir

ürünü mü yoksa gerçek dünyada da var olabilecek gerçek bir şey mi? Bu kesinlikle bir

çelişki şu an. Sonsuzluk kavramının sadece akılda var olan hayal ürünü bir şey

olduğunu gerçek hayatta ise fiziksel evrende bir karşılığı bulunmadığını

                                                            223 BBC, Sonsuzluğun Keşfi, 2007 224 BBC, Sonsuzluğun Keşfi, 2007 225 BBC, Sonsuzluğun Keşfi, 2007

116  

düşünüyorum.226 Öyle görünüyor ki matematikçiler ve filozoflar asla sonsuzluğun her

açısını göremeyecekler. Peki, sonsuzluk dünyamızda gerçekten de var mı? Bu sorunun

kesin bir yanıtı var mıdır?

Rush Perzuat, sonsuzluk kavramının ilginç bir kanıya da işaret ettiğinden

bahsediyor: “Neden evrende olan her şeyin bizim tarafımızdan algılanabilir olması

gerektiğini düşünüyoruz ki. Belki de asla anlayamayacağımız şeylerin olması mümkün

değil mi? Sonuçta anlayışımız zaten büyük ölçüde evrenin yaşadığımız bölümüyle

sınırlı. Düşünüyoruz ki bir kısmını anlarsak eğer o zaman tümünün de anlaşılabilir

olması gerek. Ayrıca her şeyi anlayabilecek kavramsal donanıma sahip olduğumuzu

zannediyoruz. Ama gerçekten öyle midir? Yani Dünya üzerinde çok ilkel dilleri olan

bazı insanlar olabilir. Ve dilleri modern bilimin bazı karmaşık kavramlarını

anlamalarına izin vermeyebilir. Dolayısıyla sonsuzluk kavramı bir açıdan bu ilginç

soruları da doğurmaktadır.”227 Belki de sonsuzluğun var olup olmadığını gerçekten

hiçbir zaman bilemeyeceğiz. Sonsuzluk zaman içinde bizi hem ürküten hem de

özgürleştiren bir kavram oldu. Sonsuza kadar böyle kalma ihtimali var desek, tam

içinde bulunduğumuz durumu gösteren ironik bir tespit olur.

Sonsuzluk yolculuğumuza sonsuzluğun ne olabileceği hakkında ki görüşlerle

başladık. Sonra Tanrının sonsuz olup olmadığını sorguladık. Fiili sonsuzluğun

mümkünlüğüne göz attıktan sonra 19. yüzyılda ciddi ilerlemeler kaydedilen sonsuz

boyutlara ulaştık. Peki, bütün bu sonsuzluk hakkında konuşulanlar hep aynı sonsuzluk

hakkında mıydı? Aşağıda bu hususlar müzakere edilecektir.

3. FİZİKTE VE MATEMATİKTE SONSUZLUK  

Teolojide ve günlük hayatta “sonsuz” dediğimizde neyi kastettiğimiz pek iyi bir

şekilde bilinmemektedir. Ama matematikte “sonsuz”’un anlamı kesin bir şekilde

bellidir. Matematikte “sonsuz” bir sıfattır, bir ad değildir.228 Adına sonsuz denilen bir

nesne yoktur. Yani o ne bir sayı, ne bir işlem ne de bir yerdir. O yalnızca bir sıfattır.

                                                            226 BBC, Sonsuzluğun Keşfi, 2007 227 BBC, Sonsuzluğun Keşfi, 2007 228 Nesin, Ali, Matematik Ve Sonsuz, Nesin Yayıncılık A.Ş., İstanbul, 2011, s.207

117  

“Sonsuz nokta” ifadesindeki “nokta” kelimesini niteleyen, “sonsuz sayı” ifadesindeki

“sayı” kelimesini niteleyen bir sıfattır. Dolayısıyla buradan yola çıkarak sonsuzla işlem

yapılamayacağını söyleyebiliriz. Çünkü onun sayılar gibi bir nesne olmadığını söyledik.

2.∞+5 gibi bir işlem mümkün değildir. Sonsuz deyince sonsuz sayıda elemana sahip bir

kümeden, sürekli bir şekilde büyüyerek ilerleyen bir değişkenden ya da -∞ deyince

durmadan küçülen ama hiçbir yerde durmayan, hiçbir yere ulaşmayan bir değişken

kastedilir.

Sonsuz büyük kavramı, 1655 yılında J.Vallis (1616-1703) tarafından, “sevgi

düğümü” denilen ∞ simgesi kullanılarak, 1/0 = ∞ eşitliği ile tanımlamıştır. +∞ ve -∞

simgelerinin R gerçel sayılar kümesine eklenmesiyle R =R {+∞, ∞}genişletilmiş

gerçel sayılar kümesi elde edilir. Bu elemanlar, adi işlemler ve adi sıralama ile ilgili

aşağıdaki varsayımları sağlar:

[ ( +∞) + ( +∞ ) =+∞ ]

[ ( -∞) + ( -∞) = -∞ ]

( x ) [ -∞ < x < +∞ ]

[x + (+∞) = +∞]

[ x + (-∞) = -∞ ]

[ x - (+∞) = - ∞]

[ x - (-∞ ) = +∞]

[x / +∞ = x / -∞ = 0 ]

( x + ) [ x. (+∞ ) = +∞ ] [ x.(-∞) = -∞ ] [ x/0 = +∞ ]

( x -) [ x. (+∞ ) = - ∞ ] [ x.(-∞) = +∞] [ x/0 = - ∞ ].

Bunların dışında kalan,

(+∞) + (-∞ ), 0.∞ , ∞:∞

gibi ifadelerin ’de bir karşılığı olmadığından bunlara belirsiz ifadeler denir. Cauchy

gerçel değerli bir f fonksiyonu için, → a ≠ O ise, f fonksiyonu n. mertebeden

sonsuzluğa ulaşır” tanımlamasını yapmıştır.

Euclid (M.Ö. 3. yy), 13 ciltlik ünlü “elemanlar” adlı eserinin 9. cildinde,

sonsuzlukla ilgili bir tanım vermeden, asal sayılar kümesininsonsuzluğunu

kanıtlamıştır. Bernhard Bolzano (1781-1848) ise, (0,1) aralığıyla, bunun iki katı

118  

uzunluktaki (0,2) aralığının, bijektif (1-1 ve örten) f: (0,1)→ (0,2), f(x)=2x fonksiyonu

ile 1-1 eşlenmesindeki çelişkisel duruma dikkat çekmiş, Bernard Bolzano (1781-1881),

ve Dedekind (1831-1916), sonsuz kümeleri sonlulardan ayıran karakteristiği “bir öz alt

kümesine denk olmak” olarak tanımlamışlardır. Bu tanım oldukça önemlidir çünkü

matematikteki sonsuzluk kavramını sayılardan sıyırarak tamamen kümeler üzerinde

tanımlamışlardır. Cantor (1845-1918) tarafından geliştirilen küme teorisiyle, sonsuzluk

kavramı matematikte yeni gelişmelerin başlangıcı olmuştur.229

Küme Teorisi’nde, birebir (1-1) eşleme esas alınarak, kümeler elemanlarının

çokluğu bakımından sınıflandırılmıştır. Herhangi iki kümenin 1-1 eşlenebilmesi,

bunların birinden diğerine en az bir bijektif (1-1 ve örten ) fonksiyonun bulunması

demektir. 1-1 eşlenebilen kümelere elemanlarının miktarı bakımından denk kümeler

denir.

Herhangi bir A kümesi için A’dan A’ya 1-1 fakat örten olmayan bir fonksiyon

tanımlanabiliyorsa A kümesi sonsuzdur. Yani en az bir özalt kümesi ile 1-1 eşlenebilen

kümelere sonsuz küme denir.

Buna örnek olarak daha önce bahsettiğimiz Hilbert Oteli’ndeki müşterileri

odalara yerleştirme şeklinden verebiliriz. Yani her yeni gelen müşteriyi ilk odadan

itibaren yerleştirmeye başlayarak eski müşterileri bir oda ileri kaydıracağız.

f: +→ + −{1} ; f(x)=x+1

Burada görüleceği üzere + −{1} kümesi + kümesinin bir öz alt kümesidir ve

f(x) fonksiyonu birebirdir. Dolayısıyla + kümesi bir öz alt kümesine 1-1 eşlendiği için

sonsuzdur.

Yukarıdaki gibi eğer doğal sayılar kümesiyle herhangi bir kümenin eleman

çokluğu bakımından denk olduğunu gösterebiliyorsak, tanımladığımız kümeye

sayılabilir sonsuz küme denir. Cantor rasyonel sayılar kümesi ile doğal sayılar

kümesinin denk olduklarını yani rasyonellerin de sayılabilir sonsuz sınıfından olduğunu

1873’de Richard Dedekind (1831-1916) ’e yazdığı bir mektupta aşağıdaki 1-1 eşlemeyi

oluşturarak kanıtlamıştı:                                                             229 Güney, Zekeriya. 2008, Uzamsal Sonsuzluk Ve Matematiksel Sonsuzluk Üzerine, Mantık, Matematik Ve Felsefe III. Ulusal Sempozyumu, Sonsuzluk ve Görelilik, İstanbul Kültür Üniversitesi Yay., 2008, s.32-33

119  

1 2 3 4 5 6...

↕ ↕ ↕ ↕ ↕ ↕

1/1 1/2 2/1 3/1 2/3 1/3...

Dedekind, Cantor’un mektubuna cevabında hatta tüm cebirsel sayıların (cebirsel

denklemlerin kökleri olan sayılar) bile doğal sayılarla 1-1 eşlenebileceğinin kanıtını

gönderdi. (Bazı kaynaklarda bu kanıtı da Cantor’un yaptığı belirtilir. Kanıt şöyledir:

Satranç tahtası şeklinde fakat sonsuz satır ve sütunlu bir tablo düşünelim. Her m,n

doğal sayı çifti için m. Satır n. sütundaki kareye, katsayılarının mutlak değerlerinin

toplamı m olan n. dereceden cebirsel denklemleri (yani tam katsayılı polinom

denklemleri) yerleştirelim. Böylece her cebirsel denklem bir karede yeralır ve her

karede de sonlu sayıda cebirsel denklem yer alır. Örnek olarak3x2. karede, 3x2=0,

2x2+x= 0, 2x2-x =0, x2+2x=0, x2-2x = 0, x2+x+l=0, x2-x+l=0, x2+x-l=0, x2-x-l=0,

x2+2=0, x2-2=0 olmak üzere 11 denklem olacaktır. Şimdi tahtanın gözlerini çapraz

olarak, yani 1x1, 1x2, 2x1, 3x1, 2x2, 1x3, ... şeklinde sıralayalım. Her bir gözdeki

denklemlerin sonlu sayıdaki gerçel köklerini de, i. sıradakinin 1.si, i-1. sıradakinin

sonuncusundan hemen sonra gelecek ve aynı cebirsel sayı tekrarlanmayacak şekilde

sıralayalım. Böylece gerçel cebirsel sayıların bir dizisi elde edilmiş yani gerçel cebirsel

sayılar doğal sayılarla 1-1 eşlenmiş olur.230

Aslında iki kümenin eleman çokluğu bakımından denk olduğunun gösterilmesi

Galileo Galilei tarafından yapılmıştır. 1600’lü yılların başında sonsuza kadar

büyüyebilen sürekli değişkenleri olan uzay ve zamanla uğraşabilme çabası Galilei’yi

sonsuz ve bölünmez parçalarla uğraşma çabasına itmiştir. Galileo bir uzunluğa sonsuz

küçük boşluklardan sonsuz sayıda eklenerek daha uzun bir uzunluk elde edilebileceğini

ileri sürmüştür. Basit 1-1 eşleme ilkesi ile kendinden sonrakilere ışık tutacak sonuçlar

elde etmiştir. “Galileo paradoksu” olarak biline eşleme şu şekildedir: doğal sayılar

kümesiyle doğal sayıların karelerinden oluşan kümenin eşit sayıda elemana sahip

                                                            230 Güney, a.g.e.,s.34

120  

olduğunu söylemektedir.231

1 2 3 4 5 6 ...

↕ ↕ ↕ ↕ ↕ ↕

1 4 9 16 25 36...

“Diolog” adlı eserinde, sonsuzluğun tek türlü olduğunu, bunlar arasında bir

büyüklük-küçüklük kıyaslaması yapılamayacağını savunmuştu. Ama Cantor bunun

doğru olmadığını 1873 aralığında (Dedekind’e yazdığı bir mektupta) kanıtlamış ve

1874’de yayınlamıştır. Gerçekte, çok doğal gibi görünen bu sonuç, yukarıda

belirttiğimiz ve sanki tüm sonsuz kümeler birbirleri ile bir şekilde 1-l eşlenebilecekmiş

izlenimi veren şaşırtıcı sonuçlardan sonra kanıt gerektiriyordu. Bunun için (0,1)

aralığındaki gerçellerin doğal sayılardan çok olduğunu göstermek yeter.

Öncelikle bu durumu birkaç sayı üzerinde inceleyelim. (0,1) aralığında sayılar

alalım. Bu aralıktaki sayıları N ile birebir ve örten olacak şekilde eşlediğimizi

varsayalım ki bu varsayım (0,1) aralığında sayılabilir sonsuzlukta sayı olması demektir.

0,1230569…

0,2547864…

0,7341678…

0,5352167…

0,3610345…

Şimdi ilk satırda noktadan sonraki ilk sayıyı, ikinci satırda ikinci sayıyı, üçüncü

satırda üçüncüyü, genel olarak n’inci satırda noktadan sonraki n’inci sayıyı alarak yeni

bir sayı oluşturalım. Yukarıdaki sayılara göre oluşacak sayı şu şekilde: 0,15423… Bu

yeni sayıda, noktadan sonraki her sayıya bir ekleyelim ve 0,26534… sayısını elde

edelim. (eğer noktadan sonra 9 gelirse,10 yerine 0 yazacak). Bu sayı yukarıdaki

oluşturulacak bütün sayılardan farklıdır. Çünkü yukarıdaki sayıların her birinin bir

basamağını değiştirerek yeni bir sayı elde etmiş durumdayız. Yani bu yeni sayı

                                                            231 Aztekin, a.g.e.,s.512

121  

yukarıdaki listede hiçbir zaman belirmeyecektir. Ama oluşan yeni sayı kesinlikle (0,1)

aralığında olacaktır. Bu durumda (0,1) aralığı sayılabilir olamaz.

Şimdi bunun 1-1’liğini fonksiyonlar yardımıyla inceleyelim:

(0,1) aralığındaki gerçel sayılar ve doğal sayıların,

g:N→ (0,1), g(n) = 0,an1 an2 an3...

fonksiyonu ile 1-1 eşlendiğini varsayalım. Bu arada bir bi sayısı tanımlayalım. Şöyle ki,

virgülden sonraki n. basamak 1 ise yeni sayıda oraya denk gelen sayı yerine 1; eğer

virgülden sonraki n. basamak 1’den farklıysa yeni sayıda oraya denk gelen sayı 1

alınacaktır. Yani biz 0,231056… sayısını alırsak buna denk gelecek sayı 0,111011…

sayısı olacaktır.

0, ani = 1 bi = 1, ani ≠ 1

 

olmak üzere, b = 0,bıb2b3... gerçel sayısı (0,1) aralığında olduğu halde,

n∈ ⇒ g(n) = 0,an1an2an3…≠ 0,b1b2b3… olduğundan, g(n)=b olacak şekilde hiçbir n

doğal sayısı yoktur ve o halde g’nin bir 1-1 eşleme olduğu varsayımı yanlıştır.232

Bu durumda Galilei’nin tek tip sonsuz vardır görüşü çökmüş olacaktır. Çünkü

elimizde artık iki tip sonsuz küme vardır: 1- Sayılabilir sonsuz küme 2- Sayılamaz

sonsuz küme.

İstenildiği kadar küçük ya da büyük uzunlukta bir aralık içindeki transandant

(aşkın) sayılar, gerçel sayılar, ya da bunların istenildiği kadar büyük kuvvetteki

kartezyen çarpımları, “sayılamaz sonsuzluk” denilen sınıfa girerler. Bir karenin, (hatta

bir küpün, bir hiperküpün vs ) içindeki tüm noktaların kümesi ile karenin (küpün,

hiperküpün vs ) sadece bir kenarındaki noktaların kümesinin birebir eşlenebilmesi, yani

aynı miktarda elemana sahip olmaları, sezgisel olarak “bu kadar da olamaz”

denilebilecek başka bir ilginç olgudur.

                                                            232 Güney, a.g.e., s. 35

122  

Bu konuda Aristoteles’ten kalma, yaklaşık 2350 yıllık bir paradokstan

bahsedelim. Yere A noktasında değmekte olan bir çember bulunmaktadır. Bu çember 1

tam tur yaparak B noktasına varmaktadır (kaymadan ve patinaj yapmadan). Bu durumda

│AB│ doğru parçasının uzunluğu çemberin çevresinin uzunluğuna eşittir.

A B

 

Büyük çemberin içine merkezleri aynı nokta olacak şekilde daha küçük bir çember

çizelim. Şimdi bu durumu incelemeye çalışırsak büyük çember 1 tam tur yaptığında C

noktası D noktasına gelecektir. Yani küçük çemberin her noktası │CD│ doğru

parçasının her bir noktasına değecektir. Bu durumda küçük çemberin çevresi │CD│

doğru parçasının uzunluğuna eşittir. │CD│ uzunluğu │ AB│ ‘nin uzunluğuna │ AB│

de çemberin çevresine eşit olduğu için küçük çemberin çevresi büyük çemberin

çevresine eşit olmuş olur ki bu bir paradokstur. 233

A B

C D

İlk düşünceleri Galileo’ya kadar uzanan yine buna benzer bir problem daha

vardır. Biri uzun diğeri kısa olan iki doğru çizgi alalım. Her ikisinin de uçlarını

karşılıklı olarak birleştirirsek bu birleştirme çizgilerinin uçları bir noktada kesişecektir.

Bu noktayı üzerinden istediğimiz kadar enine çizgi geçirebileceğimiz bir başlangıç

noktası olarak kabul edebiliriz. Böylece şekilde görüldüğü gibi kısa çizgiyle uzun

çizginin noktaları birebir eşlenmiş olur.

Bu doğru üzerindeki nokta kümelerinin eşit ve aynı kuvvete sahip oldukları

sonucuna ulaşmak için, bu kümelerin öğelerini saymaya gerek yoktur. Galileo’nun

dediği gibi, “uzun çizgi kısa olandan daha fazla noktaya sahip değildir.”

                                                            233 Nesin, a.g.e., s.88-90

123  

Bu iki örnekteki yanlış şuradadır: çemberlerle doğru parçalarının birebir

eşlenmesi, iki uzunluğun eşit olduğu manasına gelmez. Noktaların eşleşmesinin

uzunluklarının eşit olduğu anlamına gelmediğini ilk dile getiren ve böylece Aristoteles

paradoksunu da ilk çözen Alman matematikçi Cantor’dur.234

Dedekind, Cantor’un iddiaları ve kanıtları karşısında, farklı boyut’tan kümeler

arasında 1-1 eşleme yapılabileceğini kabul etti fakat bu kez de, eşlemenin sürekli

olamayacağını savundu. Cantor’a, “Eğer, bir a boyutlu A sürekli manifoldunun

noktaları ile b boyutlu bir B manifoldunun noktaları arasında bir 1-1 eşleme

oluşturulabilirse, bu eşlemenin eğer a ve b eşit değilse süreksiz olması gerekir.” diye

yazdı. Cantor bu iddianın da kanıt gerektirdiğini savundu ve sayılabilir sonsuzlukla

gerçel sayıların sonsuzluğu (continum) arasında başka sonsuzluk olup olmadığını

araştırmış, sonunda böyle bir sonsuzluğun almadığını varsayım olarak ileri sürmüştü.

Bu varsayım, Hilbert’in 1900 kongresinde sunduğu çözülememiş 23 problemden biridir

ve “continium problemi” olarak bilinir. Doğal sayılarınkinden büyük, gerçel

sayılarınkinden küçük bir sonsuzluk bulunabilirse, bu ünlü problem çözülmüş olacaktı;

fakat tüm çabalara karşın çözülememiştir. Cantor’un da, kendi hipotezini kanıtlama

çabaları, kendi küme teorisinde (Russel paradoksu gibi) bazı pürüzler ortaya çıkana

kadar sürmüştür. 1940’da Kurt Gödel, continium problemi'nin kümeler teorisinin

aksiyomları ile çözülemeyeceğini; 1963’de Poul Cohen, Cantor Hipotezi' nin kümeler

teorisinin aksiyomlarından bağımsız olduğunu kanıtlamışlardır.

                                                            234 Nesin a.g.e.,s.90

124  

Tam bu noktada Russel Paradoksuna değinmek uygun olacaktır. Soru şu: Bütün

kardinal sayıların kümesi, bir kardinal sayıya sahip midir, değil midir? Her kümenin bir

kardinal sayısının olduğuna dair Cantor’un teorisinin bir varsayımı olmuştu. Bu

varsayıma göre yanıt olumlu olacaktı. Buna rağmen yanıt olumlu olamaz çünkü bütün

kardinallerin sayısı herhangi bir kardinal sayıdan büyük olmalıdır. Burada Cantor’un

düşünce çizgisinin basit bir şekilde izlenmesinden ortaya çıkan açık bir çelişki vardır.235

Tüm kümelerin bir küme oluşturduğunu varsayalım ve bu kümeye A adını

verelim. A kümesi “evrendeki” tüm kümeleri içeriyor. Eğer x herhangi bir kümeyse,

“x∈A” matematiksel tümcesi doğrudur. Aynı zamanda A bir küme olduğundan A kendi

kendisinin bir öğesidir. Şimdi A kümesinin “kendini içermez” özelliğini taşıyan

öğelerinden oluşan altkümeyi ele alalım. Bu kümeye B adını verirsek, B, kendini

içermeyen kümeler kümesidir. Yani B’nin öğeleri kümeler ve kendini öğe olarak

içermeyen kümeler. Yani, x B ancak ve ancak xx. ( B = {x ∈A: x∉ x} ) Peki B

kümesi, B’nin bir öğesi midir? Yani B kümesi kendisinin bir öğesi midir?

Önce B’nin kendi kendisinin bir öğesi olduğunu varsayalım. Yani “BB”

matematiksel tümcesinin doğru olduğunu varsayalım. Eğer B, B’nin bir öğesiyse,

o zaman B, B’nin bir öğesi olmamalı. Çünkü B, bu tür kümeleri, yani kendisinin

öğesi olan kümeleri içermiyor. Şimdi de B’nin kendi kendisinin öğesi olmadığını

varsayalım. Yani “BB” matematiksel tümcesinin doğru olduğunu varsayalım. O

zaman (B kümesinin tanımına göre) B, B’nin bir öğesi olmalı. Bu durumda bir

çelişki elde ettik.

O zamanlar bir nesnenin küme olabilmesi için birtakım koşulların gerektiği

daha bilinmiyordu. Akla gelecek tüm nesnelerin bir küme oluşturabileceği

düşünülüyordu. Russell akla gelen her nesnenin küme olmasını yasaklayarak,

matematiği değiştirmiş ve paradoksunu ortadan kaldırmıştır. Dolayısıyla Bu

paradoks, kümeler kuramının öbür paradoksları gibi, bugün ortadan kalkmıştır.

Bertrand Russell, paradoksunu ortadan kaldırmak amacıyla, 1908’de “tipler

kuramı” adı verilen bir kuram ortaya atmıştır. Tipler kuramı kümeleri

derecelendirir. Örneğin, dördüncü dereceden bir kümeyi tanımlamak için ancak

                                                            235Barker, Stephen F.,Matematik Felsefesi, Çev. Yücel Dursun, İmge Kitabevi, 2003, s.137

125  

birinci, ikinci ve üçüncü dereceden kümeler kullanılabilir. Böylece yukarda A

adını verdiğimiz, “tüm kümeler kümesi” diye bir küme matematikte yasaklanmış

olur ve Russell’ın paradoksu paradoks olmaktan çıkar.236

Cantor, “gerçel sayıların sonsuzluğundan daha büyük sonsuzluklar var mıdır?”

sorusuna cevap ararken, her n doğal sayısı için n’lerin, istenildiği kadar küçük bir

aralığın sonsuzluğundan daha büyük sonsuzluklar olmadığını kanıtlamış, fakat

bunlardan daha büyük bir sonsuz küme olarak,

F= {f | f: → }

gerçel değerli fonksiyonlar kümesini bulmuştur. Gerçekten bu kümenin sadece gerçel

sayılar kadar fonksiyon içerdiği varsayılırsa,

h: → F, h(x)=fx

şeklinde bir 1-1 eşlemenin varlığını kabul etmek gerekir. Fakat bu

g: → , g(x) = fx(x)+l

fonksiyonu F’ye ait olduğu halde, bunun h altında orijinali olmaz ve varsayım yanlış

olur. Buna göre, (Evren’in, bir küçük zerrecikten, büyük patlama (big-bang) ile

oluştuğunu ileri süren astronomi teorilerini de anlamlı kılan), istenildiği kadar küçük

çaplı bir toz zerreciğinin noktalarının, istenildiği kadar büyük çaplı bir uzay parçasının

noktalarından, hatta istenildiği kadar büyük boyutlu bir soyut uzayın noktalarından

daha az olmamasına karşın, fonksiyonlar bunlardan çoktur! Cantor sonsuzluklar

teorisine son noktayı “her sonsuzluktan daha büyüğü vardır” teoremini kanıtlayarak

koymuştur. Gerçekten, (sonlu ya da sonsuz) bir A kümesinin alt kümelerinden oluşan

P(A) kuvvet kümesinin elemanları A’nın elemanlarından çoktur. Çünkü eğer

f: A→P(A), f(x)=Ax A şeklinde bir 1-1 eşleme olduğunu varsayarsak,

B={x|x∉ Ax}

kümesinin f altında orijinali olmaz ve çelişkiye düşeriz.237

                                                            236Nesin, Ali, Bertrand Russell’ın Paradoksu, Matematik Dünyası Dergisi, 2013 Kış, s.31 237 Güney, a.g.e.,s.37

126  

Cantor’un 1884’ de Berlin Üniversitesine geçme isteği Schwarz ve Kronecker

tarafından engellenmiştir. 1884’de Mittag Leffler’e Kronecker’i tenkit eden 52 mektup

yazmıştır. Cantor 1895-1897 de küme teorisine dair ilk kitaplarını yayınladı. (Schröder-

Bernstein Teo. diye anılan) ünlü,

(x y) (z t) ( | x |=| t | ) (| z | = | y| ) ⇒ | y | = | t | teoremini kanıtladı. Bu

teorem, [0,1] ve (2,5) gibi aralarında bir 1-1 eşleme ortaya koymak zor olan kümelerin

denk olduğunu göstermekte işe yarar:

x = (0,1) , y= [0,1] , z=[3,4]ve t=(2,5) olsun, f: x→t, f(k)=3k+2

bijektif fonksiyonu x ve tkümelerinin denk olduğunu, g: y→z, g(k)= k+3 fonksiyonu da

y ve z kümelerinin denk olduğunu gösterir. Böylece teoremin

(xy)(z t)( |x|=|t|) (|z|=|y|)

şartları sağlanır ve y ve t kümelerinin denk olduğu ortaya çıkar.

O halde y’den t’ye bijektif bir (ve o halde sonsuz!) fonksiyon vardır; kuşkusuz

bu süreksiz bir fonksiyondur fakat nedir!

Cantor Kümeler Teoremi’nde, kümeler x,y,z, gibi harflerle gösterilir ye bir

eleman, tek elemanlı bir küme olarak düşünülür. Önermeler simgelerle

formülleştirilmiştir. Temel varsayımlar aşağıdaki gibidir:

1. ∀ z (z∈x⇔z∈y) ⇒ x=y (Extensionality)

2. ∃x∀y [y∈x⇔F(y)]⇔ x={y| F(y)} (Comprehension)

3. ∃f (f:x→∪x) (f(x)∈x) (Seçme aksiyomu)

Ayrıca, tüm kümeleri içeren bir evrensel küme de varsayılmıştır. Cantor,

1885‘de tüm kümelerin kümesini varsaymanın, kendi ispatladığı “her kardinalden daha

büyüğü vardır” teoremi ile çeliştiğini görmüştü. 1902 de, birbirlerinden bağımsız

olarak, Bernard Arthur William Russell (1872-1970) ve Zermelo’nun, bulduğu “Russel

Paradoksu” son nokta olmuştur. Gerçekten 2. aksiyomda f(y) açık önermesi olarak y∉y

alınır ve sonra y yerine x yazılırsa

∃x∀y [y∈x⇔y∉y]⇒∃x[x∈x⇔x∉x]

127  

çelişkisi elde edilir. Russell ve A.N. Whitehead (1861-1947), paradoksların çıkardığı

karmaşayı ortadan kaldırmak ve matematiği sağlam bir temele oturtmak için ünlü

“Principia Mathematica” yı yazmışlardır.238

Cantor’un çalışmaları, Matematiğin gelişmesinde büyük önem taşır. Hurwitz ve

Hadamard, 1897 Zürih kongresinde Cantor’un çalışmalarından övgüyle söz ettiler.

Lebesque, Cantor teorisini temel alarak 1901’de “ölçüm teorisi”ni, 1902’de integral

teorisini oluşturdu. Kronecker gibi bir çok matematikçide hakim olan “sezgiselci”

anlayış yerini biçimselcilik (formalizm) anlayışına bıraktı. Cantor, devrim niteliğinde

buluşları olan gelmiş geçmiş 16 bilim adamı arasında yer almıştır. Bu yüzyılın en

büyük matematikçisi ödülü için tek aday olan- David Hilbert (1862-1943)’ “İnsan

aktivitesinin en güzel ve en şaşırtıcı ürünleri” yorumunu yapmış ve “Hiç kimse bizi

Cantor’un bizim için yarattığı cennetten koyamayacaktır” demiştir. Ancak Cantor’da

çoğu ünlü bilim adamı gibi, bir aziz mertebesine çıkarılmadan önce haksız yere hayli

hırpalanmıştı. Leopold Kronocker (1823-1891), Cantor’un çalışmasını “şarlatanlık”

olarak nitelemiş ve yayınlanmasını engellemeye çalışmıştır. Jules Henri Poincare ise,

“Gelecek kuşaklar Cantor’un kümeler teorisini insanin atlatmış olduğu bir hastalık

olarak görecektir” demiştir.239

Cantor, çok basit bir varsayımdan hareketle, salt akıl yoluyla ortaya çıkardığı

sonsuzlukların, bir aritmetiğini de oluşturmuştur. Burada onun teorisini son derecede

özetleyerek açıklamaya çalıştık.

Cantor’un, buluşlarını çağdaşı matematikçilere kabul ettirebilmek için sarfettiği

eforun, buluşları için sarfettiğinden fazla olduğu söylenir. Özellikle Kronecker (1823-

1891) ile sert tartışmaları olmuştur. Cantor, 1918’de bir akıl hastanesinde öldü.240

Matematiksel sonsuz kavramında, karışıklık yaşanmamasının bir nedeni

farkındaolmadan ona bir sayıymış gibi davranmamız olabilir. Limit x sonsuza giderken

( lim→

) cümlesi, x’in sonsuza gittiğini söylemekten ziyade “x sürekli

yaklaşırken” anlamındadır. A ve B noktalarını ele alırsak, A noktasından B'ye varmak                                                             238Güney, a.g.e., s.38 239King, Jerry P.,Matematik Sanatı, Çev.:Nermin Arık, Tübitak Yay., 2010,s.151-153 240Güney Zekeriya, Korkmaz Nebiye, Georg Cantor’un Sonsuzları, Muğla Sıtkı Koçman Üniversitesi Eğitim Fakültesi Dergisi, Cilt 1 Sayı 1, Mayıs 2014

128  

için hareketine başlayan bir kişi önce yolun yarısını, sonra kalan yolun yarısını, sonra

tekrar yarısını alacak şekilde hareket ettiğinde B'ye varamayacak, bu noktaya sadece

yakınsayacaktır. Çünkü kalan yolun yarısını almaya devam ettiği sürece hiç

durmayacak, gitmesi gereken hep yarım bir yol kalacaktır. Ancak fiziksel olarak böyle

bir durum mümkün değildir. Fizikte ise A'daki hareketli bir şekilde B'ye

varacaktır. Zenon Paradoksu'nun açıklamasını veren bu örnek, matematik

ve fizikteki sonsuz kavramının ayrıldığı en belirgin noktadır.

4. SONSUZLUK KAVRAMI VE ZENON PARADOKSU

Parmenenides’in öğrencisi olan Elealı Zenon’u (i.ö. 490) Aristoteles

“diyalektik” diye adlandırdığı bir akıl yürütme yönteminin kurucusu olarak takdim eder.

Aristoteles’e göre diyalektik, kesin ve zorunlu öncüllerden hareketle kesin ve zorunlu

sonuçlara varan apodiktiğin tersine, muhtemel öncüllerden hareketle ancak muhtemel

sonuçlara varan bilimsel olmayan bir akıl yürütmedir. Diyalektikte bilimsel olan,

dolayısıyla kesin ve zorunlu olan öncüller söz konusu olmayıp yalnızca muhtemel olan

veya yaygın olarak kabul edilen veya birinin karşısındaki bir insanla tartışmasının

mümkün olması için doğru olarak kabul ettiği öncüller söz konusudur. İşte Zenon’un

yarattığı diyalektik sanatı, özellikle bu sonuncu türden öncüllere dayanmakta ve bu tür

öncüllerden hareketle onların içerdiği sonuçların ortaya çıkarılmasını

hedeflemektedir.241

Zenon paradokslarından biri şu şekilde:242 Yunan dünyasının en hızlı adamı ünlü

“tez ayaklı” Akhilleus’un, yavaşlığın darbı meselleşmiş kaplumbağa ile bir yarış

yapmasıdır. Kaplumbağa Akhilleus’un yarım km önünden başlar ve Akhilleus

kaplumbağanın iki katı hızla koşar. Akhilleus yarım km koştuğunda, kaplumbağa km

ilerdedir ve Akhilleus km daha koştuğunda kaplumbağa bu km daha ilerlemiştir.

Akhilleus bu km’yi koştuğunda, kaplumbağa yine biraz daha ileriye gitmiştir, vs.

Zenon, Akhilleus’un kaplumbağayı yakalaması için sonsuz sayıda koşular yapması

gerektiği sonucuna varır ve asla Akhilleus’un kaplumbağayı yakalayamayacağını

söyler. Burada mantıki bir boşluk olduğu ortadadır.

                                                            241Arslan, a.g.e. s.133 242Aristoteles, Fizik, 239 b 14 

129  

Zenon’nun bir diğer teorisi de Akhilleus’un stadyumu boydan boya geçmeye

çalışmasıyla ilgilidir.243Akhilleus stadyumu geçebilmek için öce önündeki mesafenin

yarısının sonra kat ettiği mesafenin yarısını sonra yine kat ettiği mesafenin yarısını …

koşmak zorunda kaldığı için bir türlü hareket edemez.

Zenon önce hareket ve çokluğun olduğunu kabul edenlerin görüşlerini teslim

eder, yani sırf tartışmanın mümkün olması için geçici olarak kabul eder veya bu kabulü

onlara bahşeder. Sonra bu görüşten çıkması gereken sonuçları gösterir. Bu sonuçlar

kendi aralarında birbirleriyle çelişik olan veya bu görüşü ileri sürenler tarafından kabul

edilemeyecek sonuçlardır. Bu sonuçların yanlış olması, onların dayandıkları iddianın da

yanlış olması demektir. Sözünü ettiğimiz iddia, hareket ve çokluğun var olduğu iddiası

olduğuna göre, onun tersi olan iddia da onların var veya gerçek olmadığı iddiasıdır.244

Zenon bu teorilerden yola çıkarak gerçekliğin sonsuz sayıda bölünebilir olduğu kanaati

yanlış olmalı diyor. Zenon’nun bu fikirleri şu an bize oldukça basit gelebilir ama şu bir

gerçek ki sonsuzluk kavramının tartışılmasına bu fikirler yol açmıştır.

4.1. Zenon Paradoksunun Matematiksel Analizi

 

Aslında Zenon paradoksunun matematikçiler için bir açmazı olmadığını ve bir

çözümü olduğunu rahatlıkla kanıtlayabiliyoruz.

4.2. Çözüm Önerisi I

 

İlk önce bunun paradoks olmadığını matematiksel düşünce açısından şu şekilde

gösterebiliriz:

Genel terimi ∑ olan diziyi ele alalım. Bu diziyi n=10 için yazarsak

+ + +…+ elde ederiz ve bu toplamın sonucu olur. [ (an) dizisi bir geometrik

                                                            243Aristoteles, Fizik, 239 b 33 244Arslan, a.g.e. s.134 

130  

diziyse ∑ .∞ geometrik serisinin n. kısmi toplamının yani = . ‘nin

|r|<1 için lim→∞

0ve lim→∞

. olduğunu biliyoruz] Ve bu dizi bu şekilde

sonsuza kadar giderse sonuç 1 olur!

Eski Yunan filozof ve matematikçisi Zenon'nun ileri sürdüğü paradoksları bu

yöntemle çözüme kavuşturabiliriz. Soruyu şu şekilde sorarsak cevabı bulabiliriz: tavşan

kaplumbağayı nerede yakalar? Cevap şu şekilde:

Tavşan toplamda km+ km+ km+… yol katetmiştir. Bu sonsuza dek uzayıp

giden işlemin sonucunun 1 ettiğini yukarıda söylemiştik. Dolayısıyla tavşan

kaplumbağayı tam 1 km ötede yakalar.

Burada gerçekten mantıksal bir sorun vardır ve Alfred Hooper'ında ifade ettiği

gibi: Bu paradoks, ortak çarpanı 1 'den küçük olan ve bu nedenle terimleri gittikçe

küçülen ve böylelikle de belli bir limit değerine "yakınsayan" bir geometrik dizi

oluşturan sayıların sonsuz seri toplamını bulmanın mümkün olduğunu bilen insanları

bile hala şaşırtmaktadır.245

Tavşan zaten sonsuza dek koşamaz çünkü zaman da mesafeyle aynı ölçüde

küçülür. Bence zaman buradaki mantıki boşluğun nedeni, bize sonsuz görünen bu dizi

aslında sınırlı bir dizidir ve sonsuzla sınırlılık çok ayrı kavramlardır. Ayrıca burada esas

olarak bir büyüklüğün sonsuza kadar bölünebilir olduğu görüşüne dayanılmaktadır.

Buna verilecek cevap ise bir büyüklüğün sonsuza kadar bölünebilir olması ile sonsuz

olmasının başka başka şeyler olduğu noktasına dayanmak durumundadır. Başka deyişle

sonsuz bölünme ile sonsuz büyüklük farklı şeylerdir. Bir büyüklük sonsuza kadar

bölünebilir ama bundan dolayı sonlu bir büyüklük olmaktan çıkmaz.246 (Burada sınırlı-

sonsuzluk söz konusu ve bunu ileriki zamanlarda detaylı bir şekilde inceleyeceğiz.)

Diğer taraftan bu matematiksel yaklaşımın paradoksu kesinlikle çözemeyeceğini

iddia edenler bulunmaktadır. 247 Gerekçe ise “sonsuz bir seriyi toplamak sonsuz iş

                                                            245Akbulut, Kürşat. Akgün, Levent, Matematik ve Sonsuzluk, Kazım Karabekir Eğitim Fakültesi Dergisi, sayı 2, 2005, s.551 246Arslan, a.g.e.,s.136 247Aydıner, Ekrem, Sonsuzluk, Görelilik Ve Zenon Paradoksları, Mantık, Matematik Ve Felsefe, Sonsuzluk Ve Görelilik, III. Ulusal Sempozyumu, İstanbul Kültür Üniversitesi Yay., 2008, s. 303-313

131  

yapmanın diğer bir adıdır. Yani sonlu zaman aralığında sonsuz iş yapılamaz! Bu

nedenle serileri matematiksel yoldan toplayarak fiziksel problemin çözümünü elde

etmek olası görünmüyor. Matematikçilerin pek sevdiği bu çözüm tekniği fizikçiler

tarafından bazı problemlerin çözümünde kullanılıyor olsa da kanımca uzak durulması

gereken bir yaklaşımdır.” şeklindedir. Burada birkaç konunun birbirine karıştığını

söyleyebiliriz. İlki matematiksel bir çözümü yani soyut uzayda ele alınan bir problemin

çözüm değerlendirilmesi fizik uzayda yapılmıştır. Sonsuz işin sonlu zaman aralığında

yapılamayacağından kasıt budur. Ama matematikte zaman kavramı yoktur, zaman fizik

uzaya bağlı bir olgudur. İkincisi sonsuzluk ve sınırlılık kavram kargaşasından

kaynaklanan bir problem olduğunu düşünüyoruz. (0,1) sayı aralığını ele alalım ve bu

aralığı metre üzerinde işaretleyelim. Bu aralıkta sonsuz sayıda reel sayı vardır ve

yukarıdaki fikre göre bunu ölçmemiz sonsuz zaman alır. Ama biz iki nokta arasındaki

mesafenin 1m olduğunu rahatlıkla ölçebiliriz. Bu durumda sonsuz reel sayılar üzerinde

mesafe hesabı yapmış oluruz. Ölçüm yapabilmemizin nedeni ise ele aldığımız aralığın

sınırlı bir aralık olmasıdır.

4.3. Çözüm Önerisi II  

Felsefî düşüncede tümevarım, zihnin tikelden tümele götüren akıl yürütme

formu diye tanımlanır. Yeniçağ felsefesinde yöntem sorunu bağlamında incelenen

tümevarım ile insan zihnini yeni baştan tanzim etmek, bilimin temellerini yeniden

kurgulamak hedeflenir. Tümevarım, bir bütünün parçalarına dayanarak o bütün

hakkında hüküm vermektir. Bu, “hafta” gibi her parçasının sayılması mümkün olan

bütünler hakkında mümkün olabilir ama deneysel/pozitif bilimlerde kullanılan

yöntemlerden biri olarak kullanıldığında pek mümkün olmaz. Zira tümevarımda tabiatın

bir düzeni olduğu varsayılarak gözlemlenen olayların benzer şartlarda gelecekte de

tekrarlanacağı tahmin edilir.248 Matematiksel işlemlerde sayıların sonsuza kadar aynı

şekilde gittiğini, aritmetik ve geometrik dizilerin de belli bir düzen içerisinde sonsuza

                                                                                                                                                                               248Uyanık, Mevlüt, Tümevarım Meselesi – İbn Sina Merkezli Yeni Bir Okuma, Hitit Üniv. İlahiyat Fak. Dergisi 2012/1, c. 11, sayı: 21, s.196

132  

kadar gittiğini göz önünde bulundurarak bu çözüm önerisinde rahatlıkla tüme varım

yöntemini kullanabileceğimizi düşünüyoruz.

Bu noktada tümevarım meselesi, gerek felsefe ve bilim tarihinde gerekse bilimin

doğa ve yönteminin sistematik ve mantıksal tahliller ile uğraşan disiplinlerde önemli bir

yer tutar. Çünkü özellikle bilim adamlarının gözlem ve deneylere dayanarak yeni

varsayımları benimsemeleri sürecini ifade eder. Tüme-varım, özellikle matematik

disiplininde sayılar kuramında yeri ayrıdır. “Sonsuz çıkış ve sonsuz iniş” şeklinde ifade

edilen bu yöntemde her yaştan insanı cezp edecek bir nokta bulunur.249

Bize göre diğer çözüm önerisi şu şekildedir: Bunu ilerde daha derin bir şekilde

irdeleyeceğiz ama burada hazır bulunuşluk açısından ana hatlarıyla bilgi vermek gerekir

diye düşünüyoruz.

Bir sayı doğrusu düşünelim. Üzerindeki 5 ve 6 sayılarının aralığını yani 1

birimlik uzunluğu göz önüne alalım. Bu mesafenin sınırlı olduğu çok açık peki ya

sonsuz mu? Birçoğumuz bunun sonlu olduğunu düşünebilir ama bu mesafe gerçekten

sonsuzdur. Tıpkı Zenon’nun yaptığı gibi bu aralığı önce yarıya bölersek ’yi elde ederiz.

Sonra bunu yarıya bölersek ’ü elde ederiz. Bu işlemin sonsuz kez tekrarlanabileceğini

görebiliriz. Yani aralığımızda sonsuz sayıda rasyonel sayı vardır. Bu durumda

aralığımız sınırlıdır ama sonsuzdur. Eğer buradaki rasyonel sayıları tekrar toplarsak,

yani sayı doğrusu üzerindeki bu aralıkları birleştirirsek ( + + +…) 1’i elde ederiz.

Burada Zenon bir şeye daha dikkat çekmektedir, bizim için çok önemli olan bir

şey. Genelde bizler sonsuzu bir sayıymış gibi düşünüyoruz. Aslında sonsuzun bir sayı

olmadığını, bunun bir süreç olduğunun altını çiziyor. Eğer herhangi bir şeyi durmadan

sürekli büyütürsek bu süreci “sonsuz büyük” ve yine herhangi bir şeyi sürekli

küçültürsek “sonsuz küçük” diye adlandırıyoruz.

Pythagoras’cıların, sayıları uygulama girişiminde karşılaştıkları zorluk,

ölçülemez sayıları bulmalarıyla ortaya çıktı ve bu da şöyle oldu: Pythagoras, neredeyse

hepimizin bildiği dik üçgende iki kenarın karelerinin toplamının hipotenüsün karesine

eşit olduğu teoremini buldu. Ancak Pythagoras, ya da hemen arkasından gelenler, bir

                                                            249 Uyanık, a.g.e., s.202 

133  

tam sayının karesinin, başka böyle bir sayının karesinin iki katı olamayacağını

kanıtladılar. Yani kenarın ve köşegenin uzunlukları ortak ölçülemez sayılardır. (Bu

Pythagoras’cı kanıtlama şöyle: eğer olanaklıysa bir karenin çapının kenarına oranı m/n

olsun, m ve n ortak çarpanları olmayan tam sayılardır. Demek m2=2m2’dir. Bir tek

sayının karesi tek olur, ancak m2, 2n2’ye eşit olduğundan çifttir. Demek m çift olmalı,

ancak çift sayının karesi 4’e bölünebilir, demek m2’nin yarısı olan n2çift olmalı. Yani n

çift olmalı. Ancak m çift olup n’nin onunla ortak çarpanı bulunmadığına göre n tek

olmalı. Böylece n hem çift hem tek olur ki bu da olanaksızdır. Buna göre çapın kenara

oranı bir gerçek sayı olamaz.)

Bu olgu kimi felsefelerde büyük güçlük göstermeden özümsenebilirdi ama

Pythagoras felsefesi için kesinlikle öldürücüydü. Pythagoras sayının her şeyin özü

olduğunu savunuyordu, oysa bir karenin kenarının köşegenine oranını gösteren iki sayı

bulunmuyordu. Görünüşe göre, bir çizginin uzunluğunun onda bulunan atom sayısıyla

belirlendiği, iki cm boyundaki bir çizgide bir cm boyundakine göre iki kat atom

bulunduğuna görüşünde olduğunu kabul ederek, karşılaştığı güçlüğü daha da açabiliriz.

Ancak bu doğru olsaydı, herhangi iki sonlu uzunluk arasında belirli bir sayısal oran

bulunması gerekirdi, çünkü her birimdeki atomların sayısı, ne denli büyük olursa olsun

sonlu diye kabul ediliyordu. Burada çözülmez bir çelişki vardı.

Görüldüğü gibi bir uzunluğun noktalardan oluştuğu kabul edilince,

ölçülemezlerin varlığı, her sonlu uzunluğun sonsuz sayıda noktalar içerdiğini kanıtlar.

Başka deyimle, noktaları birer birer alıp atmak istersek, bu süreci ne denli uzatırsak

uzatalım bütün noktaları atmak olanaksızdır. Demek ki noktaların sayısı sayılamaz,

çünkü saymak, şeyleri birer birer sayıp göstermek demektir. Sayılamaz olma özelliği

sonsuz toplulukların ayırt edici niteliği ve bunlardaki çelişkili özelliklerin çoğunun da

kaynağıdır. Bu nitelikler öylesine çelişiktir ki, günümüze dek bunların mantıksal çelişki

oluşturdukları sanılmıştır. Zenon’dan Bay Bergson’a uzun bir filozoflar çizgisi,

metafiziklerinin çoğunu sonsuz toplulukların sözde olanaksızlığı üzerine oturttular.

Geniş çizgileriyle, güçlükleri Zenon ortaya koymuş ve 1851’de yayımlanan Paradoxian

des Unendlichen adlı küçük boyutlu yapıtına dek somut hiçbir şey eklenmemiştir.

134  

Güçlüklerin kesin çözümünü Bolzano değil, bu konudaki ilk yapıtı 1882’de çıkan Georg

Cantor vermiştir.250

Süreklilik kuramı, inceliklerinin ve gelişmelerinin büyük bölümüyle salt

matematiksel bir konudur, ancak, titiz bir anlatımla felsefenin konusu olmadığı görülür.

Kuramın yalnızca mantıksal temeli felsefeye girer. Süreklilik kuramının felsefeye giriş

yolu, geniş çizgileriyle şöyledir: Matematikçilere göre uzam ve zaman, nokta ve

anlardan oluşur, ancak bunların, duyumlanması tanımlanmasından daha kolay olan bir

başka özellikleri de vardır ki buna süreklilik denir ve filozofların çoğu uzam ve zaman

noktalar ve anlar olarak açıklandıkları zaman sürekliliğin yok edildiğini kabul ederler.

Zenon, sonlu bir zaman ve uzam içindeki an ve nokta sayılarının da sonlu olduğu kabul

ettiğimizde, nokta ve anlarla çözümlemeye olanak bulunmadığını kanıtlamaya

çalışmıştır. Sonraki filozoflar sonsuz sayının, kendiyle çelişkili olduğu kabul

ettiklerinden, burada bir mantıksal çatışkı (antinomy) gördüler: uzamlar ve zamanlar,

Zenon’un gösterdiğine benzer sebepler yüzünden sonlu sayıda nokta ve anlardan

oluşamazlardı, çünkü sonsuz sayılar kendiyle çelişkili kabul edilmişlerdi. Demek ki

uzamlara ve zamanlara, eğer gerçekseler, noktalardan ve anlardan oluşurlar diye

bakılamazdı.251

Nokta ve anların, sonsuz sayıda bile olsalar, duyuların bizi alıştırdığı gibi

pürüzsüz geçişler değil, ancak, -Zenon’un havadaki okun durmakta olduğu çelişkisine

götüren türden- ayrı ayrı devimsizliklerin art arda sıralanışından oluşan sıçramalı bir

devim verebileceği duygusundan kurtulunamıyor. Bu duygu, sürekli serinin

matematikte göründüğü biçimiyle doğasının, soyut olduğu kadar imgelemsel olarak da

anlaşılamamasından geliyor. Bir kuramın mantıksal olarak anlaşıldıktan sonra

duyulabilmesi için de çoğu zaman uzun ve ağır bir çaba gerekir; onun üzerinde durmak,

daha alışılmış ancak yanlış kuramların yanıltıcı esintilerini birer birer zihinden atmak

gerekir. Matematikçilerin uzam ve zamanı incelemek için ortaya attıkları nokta ve

anların, fizik alanında gerçekte var olan nesneler olduğunu kabul etmek için bir sebep

gözükmüyor. Ancak gerçek uzam ve zamanın sürekliliğinin, matematiksel süreklilikle

az çok benzeşim içinde olduğu görülecektir. Matematiksel süreklilik kuramı, geçerliliği

                                                            250Bertrand, Russell, Dış Dünya Üzerine Bilgimiz, Çev. Vehbi Hacıkadiroğlu, Kabalcı Yay., 1996, s.148-150 251Bertrand, a.g.e., s. 119

135  

bakımından gerçek uzam ve zamanın hiçbir özelliğine bağlı olmayan soyut mantıksal

bir kuramdır. Onunla ilgili söylenen şey, o anlaşıldığı zaman, uzam ve zamanın,

önceleri çözümlemesi çok zor olan kimi özelliklerinin hiçbir mantıksal zorluk

göstermediklerinin anlaşılmış olacağıdır. Uzam ve zaman üzerine deneysel olarak

bildiğimiz şey, matematiksel bakımdan olası türlü seçenekler arasında bir karara

varmamız için yeterli değildir, ancak bu seçenekler tümüyle anlaşılabilir ve

gözlemlenen olgulara tümüyle upuygundur. 252

Süreklilik matematikte, ancak bir terimler serisi, yani herhangi bir ikilisinden

biri ötekinden önce gelir diyebileceğimiz bir sıraya göre düzenlenmiş terimler içinde

olabilirlik kazanmış bir özelliktir. Matematikçiler, “sürekli” sözcüğünü, teknik

düşüncelerle, belli bir yüksek dereceden sürekliliği olan seriler için kullanmışlardır.

Oysa felsefi amaçlar bakımından süreklilikte önemli olan ne varsa, “sıkılık” denen en

aşağı dereceden süreklilikle gelmiştir. Bir seride ardışık (consecutive) iki terim hiç

yoksa yani herhangi iki terim arasında başkaları bulunuyorsa ona “sıkı” denir. Sıkı bir

serinin en basit örneklerinden biri, büyüklük sırasına göre dizilen kesirler serisidir.

Örneğin 1/2 den hemen sonra gelen bir kesir yoktur. 1/2 'den çok az daha büyük olan bir

kesri mesela 51/100 ü seçersek iki kesir arasında başka bir kesir daha bulabiliriz.

Böylece aralıkları ne kadar küçük seçersek seçelim, iki kesir arasında sonsuz sayıda

kesirler vardır. Matematiksel uzam ve zaman da bu sıkılık özelliği vardır, gerçek uzam

ve zamanda bu özelliğin bulunup bulunmadığıysa, deneysel apaçıklığa bağlı, kesin

yanıtlaması belki de olanaksız olan ayrı bir konudur.253

Kesirler gibi soyut nesneler durumunda, bunların bir sıkı seri oluşturmasının

mantıksal olabilirliğini kavramak belki de çok zor olmaz. Duyulan güçlük sonsuzu

kavrama güçlüğüdür, çünkü bir seride herhangi iki terim arasındaki terimlerin sayısı

sonsuzdur. Bununla birlikte, devim gibi daha somut durumlarda sıkılık, düşünce

alışkanlıklarımıza çok daha ters düşer. Bu yüzden, hareketin mantıksal olabilirliğini

duyurabilmek için, matematiksel açıklamasını daha açık olarak ele almak gerek.

Hareketin matematiksel açıklaması, fiziksel dünyada gerçekten olan şeyin bir

betimlemesi gibi görülmekle bekli de yapay olarak basitleştirilmiş oluyor. Sorunumuzu

                                                            252Bertrand, a.g.e., s.119-121 253Bertrand, a.g.e., s.121 

136  

bir örnekle basitleştirmeye çalışalım: bir cetvel boyunca devinen bir ışık huzmesi

düşünelim. Işık huzmesinin herhangi iki anda bulunduğu herhangi iki konumunu göz

önünde tuttuğumuzda, ara anlarda bulunulan başka ara konumların da bulunmasıdır. İki

konumu birbirine ne denli yakın alırsak alalım, ışık birinden ötekine birdenbire atlamaz,

ancak sonsuz sayıda başka konumlardan geçer. Her aralık ne denli küçük olursa olsun,

ışık o aralığın bir ucundan ötekine, aradaki sonsuz sayıda konumlar serisinden geçerek

varacaktır. Ancak huzmenin belli bir anda belli bir konumdan, hemen sonraki anda

hemen sonraki konuma geçişi olarak betimlenebildiğini söylediğimiz ya da

tasarladığımız anda yanlışlığa düşmüş oluruz, çünkü ne hemen sonraki an vardır ne de

hemen sonraki konum. Eğer bunlar olsaydı Zenon’un çelişkilerine düşmek kaçınılmaz

olurdu. Eğer huzme belli bir zamanın tüm süresinde cetvel boyunca devim içindeyse, iki

ardışık anda aynı noktada bulunamaz. Ancak bir an ile ardılı arasında, bir noktayla ardılı

arasındakinden daha çok yol alamaz, çünkü alabilseydi, ilk an ile ondan sonraki an

arasındaki ara konumlarının karşılığında bir an olmazdı, oysa biz devimin sürekliliğinin

böyle birden bire sıçramalara olanak vermediğini baştan kabul etmiştik. Burada ki

sonuç, ışık devindikçe, bir andaki bir noktadan, sonra gelen andaki sonra gelen noktaya

geçmesi gereğidir. Bu durumda ise bütün hareketlerde yalnızca belli bir hız olması

demektir. Bu çıkarım sonucu yanlış olduğuna göre ardışık noktalar bulunduğu

varsayımını da atmamız gerekir. Yani hareketin sürekliliğinin, bir cismin ardışık anlarda

ardışık konumlarda bulunması olarak kabul edilmemesi gerekir. 254

Demek ki sürekli bir harekette, hareket eden cisim, belli bir anda belli bir

konumda, başka anlarda da başka konumlarda bulunur diyeceğiz. Hareket eden cisim

hiçbir zaman bir konumdan ötekine atlamaz, sonsuz sayıda ara konumlar yoluyla

dereceli olarak geçer. Belli bir anda, Zenon’un oku gibi neredeyse oradadır; ancak o

anda durmuş olduğunu söyleyemeyiz, çünkü an sonlu bir zaman sürmez ve anın

aralarında bir aralık bulunan bir başıyla bir sonu yoktur. Durmak demek, ne denli kısa

olursa olsun, belli bir sonlu zaman süresindeki bütün anlarda hep aynı konumda

bulunmak demektir, yoksa yalnızca bir cismin belli bir anda olduğu yerde bulunması

demek değildir. Burada ispatlanması istenen şey, matematik dilinde, devinen bir cismin

konumu zamanın sürekli bir bağıntısı olmasıdır diye anlatılabilir. Yani T anında P

noktasında bulunan bir cisim alalım ve bu cismin geçtiği yol üzerinde küçük bir P1P2

                                                            254Bertrand, a.g.e., s.121-124 

137  

bölümü seçelim ve P noktası bu bölümün içinde bulunsun. Eğer cismin t anındaki

devimi sürekliyse, biri t’den önce diğeri t’den sonra öyle iki t1 ve t2 anları bulunabilir

ki t1 den t2 ye dek (ikisini de içine alan) bütün süre boyunca cisim P1 ileP2 arasında

bulunsun. Ve yine P1 ile P2 arasını ne denli küçük alırsak alalım, söylediğimiz yine de

geçerlidir. Böyle olunca t zamanında devim süreklidir deriz ve hareket bütün

zamanlarda sürekliyse tümüyle süreklidir deriz. Aşikârdır ki eğer cismin bir P

noktasından Q noktasına sıçraması gerekseydi içinde Q’nun da bulunamayacağı kadar

küçük olan bütün P1 P2 aralıkları için tanımımız geçersiz olurdu. Böylece tanımımız

nokta ve anları kabul edip, uzamda sonsuz küçük uzaklıkları ya da zamanda sonsuz

küçük süreleri yadsıyarak, hareketin sürekliliğinin bir çözümlemesini vermiş oluyor.255

5. SONSUZ KÜÇÜK KAVRAMI  

Leibniz’ in, fonksiyon kavramıyla tanımlamak yerine, saf geometrik yoldan

yaptığı diferansiyel tanımında, bir tür ilkel kuvvet, görüngünün sıradan görünüşlerinin

etkilerinin çıkarsanabileceği görünmez bir öz kavramı vardı. Burada Leibniz’in izlediği

yola kısaca bir göz atalım.

Leibniz’in uslamlaması, x ve y eksenleri olan bir kartezyen koordinattaki C

eğrisine gönderme yapılarak geliştirilebilir. Eğer dx ve dy, x ve y’nin Ceğrisi üzerinde (x

ve y koordinatındaki) P noktasından, (x+ dx ve y+ dy koordinatındaki) Q noktasına

geçişindeki sonlu iki değişkeni temsil ediyorsa, ∆x sabit doğru parçası için ∆y niceliği

aşağıdaki oranla tanımlanabilir:

∆x∆y

dd

                                                            255Bertrand, a.g.e., s.125-126 

138  

 

Yani dy:dx oranı, bildiğimiz trigonometrik anlamda, P ve Q noktalarından geçen

c doğrusunun x ekseniyle oluşturduğu açının tanjantıdır.

Eğer dx sıfıra yaklaşacak kadar küçülürse, dy/dx oranı çok küçük iki büyüklük

arasındaki orana dönüşür. Eğer dx tamamen kaybolursa, c doğrusu sonsuz ara değerleri

aşarak, C eğrisinin P noktasındaki tanjantı olan t doğrusuyla özdeşleşecektir. Leibniz

şöyle açıklıyor; ∆y niceliği dx=0 olsa bile tanımlıdır, çünkü bu durumda ∆

∆ = (d, t

doğrusunun x ekseniyle kesiştiği uzaklık ve P noktasının aynı eksen üzerindeki

izdüşümüdür) olduğundan ∆

∆ her zaman sonlu bir sayıdır.

O halde, dx=0 için oranı, (1) oranı sayesinde hala sonlu nicelikler arasındaki

ilişki olarak yorumlanabilir ve dolayısıyla hala bir şey ifade eder. Ama bu şey, dx’ e

tamamen hiçlik değeri atayarak ifade edilemez (ki bu, tanımsızlık yaratarak problemi

belirsiz kılacaktır), düzenli bir makroskopik durumda görünür olan sonucun

bütünlüğünü korusa bile, “sıfır”a ulaşan bir kavramla anlatılmalıdır. Bu, sonsuz küçük

kavramıdır. Bu durumda, dx ve dy’nin iki sonsuz küçük oldukları söylenecek ve sonsuz

küçük, atanmış herhangi bir sonlu nicelikten çok daha küçük bir nicelik olarak

düşünülebilecektir.

Şimdi sonsuz küçüğe ulaşmayı olanaklı kılan işleyişi tanımlayabilmek için

süreklilik ilkesinden söz etmek gerekir. dx=0 olan en aşırı durumda bile –bir değişkenin

(teğet doğru) kesin çözümünün “bariz” görünürlüğü sayesinde – oranını anlamlı

kılan bu ilkedir. Sonsuz küçüklük tanımında her zaman bulunan kavramsal belirsizlik,

bu ilkenin uygulanmasından, belli bir konfigürasyonun ara durumlarının sonsuz

139  

dizisinin, gerçekten ulaşılmış son durum olarak tanımlanmasından kaynaklanmaktadır.

Leibniz, limiti, Weierstrass’ın daha sonra açımlayacağı gibi, asla ulaşılmadan,

belirsiz biçimde yaklaşılabilen bir konfigürasyon ya da büyüklük olarak düşünmemiştir.

Weierstrass’ın matematiğinde, c doğrusunun t tanjantına yaklaşmasıyla elde edilen

oranının değeri, ona yaklaşan değerler dizisinin ötesine yerleştirilmiş bir limit haline

gelir ve bu limit kavramıyla, Aristoteles’in Leibniz’in savlarına bizzat karşı

çıkabileceği mükemmel bir tutarlılıkla, süreklilik ilkesinin esinlendiği tanımlar ve

teoremler ayrıntılarıyla yeniden formüle edilebilir. Oysa Leibniz, elde ettiği sonuçları,

“sonlu dizilerin hesaplama kavramlarının edimsel sonsuzda yorumlanması” olarak

görmüştür. Sınırsız bir sürecin son terimi olarak kabul edilen bu sonuçlar, edimsel

sonsuzun varlığına dair açık bir kanıttı. Buna göre bir eğri, sonsuz sayıda kenarlı

çokgensi bir çizgi olarak ölçülebiliyordu. Bu yöntem diferansiyel hesabında halen

kullanılmaktadır.

Şimdi diferansiyel hesabını fonksiyonel olarak inceleyelim.

y=f(x) şeklinde tanımlanmış sürekli bir fonksiyon olsun. Bu fonksiyonun

grafiği üzerinde bir P (x,f(x)) tanımlanmış bir nokta alalım. X noktasını Δx kadar

değiştirelim. Yeni koordinat x + Δx olur ve bu noktayı da Q ile gösterelim. x’in

değişimine bağlı olarak y’de değişir yani f(x) değişir. Oluşabilecek yeni değerleri

f(x + Δx) ile gösterebiliriz. O halde Q’nun koordinatı (x + Δx, f(x + Δx)) olur.

Bu durumda PQ eğrisinin eğimi

Δ

Δ

Δ

Δolur.

Artık, P noktasındaki teğet çizgisinin eğim tanımı vardır:

140  

P noktasındaki teğetin eğimi fonksiyondaki bağımsız değişkenin 0’ a yaklaştığındaki

değeridir. Yani

f ‘(x)= 0Δ

liΔ

mΔ

x

y

x=

0Δ

  Δ (

Δlim

)

x

f x x f x

x olur.

Türev, artık bu limit demek olduğundan: 0Δ

liΔ

mΔ

x

y

x limiti sembolü ile gösterilir. Yani

0Δli

Δm

Δx

y

x.

Buradan diferansiyel kavramının limit ve değişim kavramlarıyla ne kadar iç içe

olduğunu görüyoruz. Son bir incelemeyle bunu detaylandırmak istersek:

f(x)= fonksiyonunu ele alalım. Bu fonksiyonun x=2 noktasında tanımsız olduğu

aşikardır. (x=2 alınırsa 0/0 belirsizliği elde edilir.)

y= fonksiyonunda x ile y arasındaki değişim şu şekildedir:

x 1.90 1.95 1.99 1.995 1.999 2.001 2.005 2.010 2.15

y 3.90 3.95 3.99 3.995 3.999 4.001 4.005 4.010 4.15

x’i 2’den küçük değerler için 2’ye yaklaştırırsak (bu yaklaşım sonsuz küçük miktarda

olmalı ve hiçbir zaman 2’ye eşit olmamalı) ya da 2’den büyük değerler için ikiye

yaklaştırırsak (aynı şekilde bu yaklaşım sonsuz küçük miktarda olmalı ve hiçbir zaman

2’ye eşit olmamalı) y değerinin 4’e yaklaştığı görülür.

Bu sayısal değerlerden tahmin edilen y değerini limit değeri doğrulamaktadır:

2

2

2 2

( 2)( 2)lim lim lim( 2) 4

2 2

4x x x

x x xx

x x

Ayrıca, Arkhimedes’in sayısını bulmak için kullandığı yöntem limit

kavramının temellerinden birini oluşturur. Bir metre çapındaki çemberin içine

çizilmiş bir eşkenar üçgenden yola çıkılır ve üçgenin çevresi bulunur. Sonra

altıgene, onikigene geçilir ve böylece kenar sayıları ikiye katlanarak işlem

südürülür. Hesaplamaların sonuçları gittikçe daha çok birbirine yaklaşırlar ve limit

141  

durumda sayısı elde edilir.* Bu işlem aynı şekilde çemberin dışına çizilmiş bir

üçgenle de yapılabilir.256

 

Şekil A: Arkhimedes’in sayısını hesaplamak için kullandığı yöntem.

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                            * simgesi Yunanca, küçük harfle yazıldığında çevre sözcüğünün ilk harfidir. 256 Boll, a.g.e., s.45-47

142  

ARKHİMEDES YÖNTEMİYLE ELDE EDİLMİŞ YAKLAŞIK DEĞERLER

(Bir Metre Çaplı Çember)

Kenar Sayısı Çemberin İçine Çizilmiş Çokgenlerin

Çevresi

Çemberin Dışına Çizilmiş

Çokgenlerin Çevresi

Aritmetik Ortalama

3 2,5980762 5,1961524 3,3971143

6 3,0000000 3,4641016 3,2320508

12 3,1058265 3,2151900 3,1606082

24 3,1326325 3,1596673 3,1461499

48 3,1393546 3,1460919 3,1427232

96 3,1410369 3,1427201 3,1418785

192 3,1414569 3,1418776 3,1416672

384 3,1415625 3,1416675 3,1416150

768 3,1415883 3,1416153 3,1416018

1536 3,1415918 3,1415946 3,1415932

işlem sürdürül-

düğünde

3,1415927 3,1415927 3,1415927

5.1. Salih Zeki’nin Sonsuz Küçük Nicelikler Açıklaması  

Salih Zeki Bey’e kadar ne Osmanlı coğrafyasında ne de İran gibi İslam

ülkelerinde doğrudan yazma matematik eserlerine dayalı olarak İslam-Türk matematik

tarihiyle ilgili müstakil herhangi bir çalışma kaleme alınmamıştır. Batıda telif edilen

eserlerde İslam-Türk matematikçilerinin çalışmalarında İslam-Türk matematiğinin;

mirasçısı olduğu Yunan ve Hint matematiğiyle olan ilişkisi, bu matematik birikimini

özümsemesi, dönüştürmesi ve yeni katkılarla zenginleştirilmesi karşılaştırılmalı olarak

incelenmiş değildir. Bu nedenlerle batıda telif edilen eserler, İslam-Türk matematik

tarihinin kendine özgü tarihini göz önünde bulundurmaktan çok, Batı’ya olan etkisini

öne çıkartan kısmi çalışmalardır. Salih Zeki’nin Asarı Bakiye adlı eseri, gibi sorunları

aşmış, kendi dönemine kadar İslam-Türk matematik tarihi alanında, yazma metinlere

dayalı tek kapsamlı çalışmadır.

Hem Türkiye’de yazılan ilk matematik ve astronomi ansiklopedisi, hem de yine

Türkiye’de kaleme alınan ilk matematik ve astronomi tarihi ansiklopedisi olan ve ilmi

143  

düzeltmeleri Vidinli Tevfik Paşa tarafından (1832-1893) yapılan Kamus-ı Riyaziyat’ın

ilk cildi 1897 ‘de yayımlandı. Eserin geri kalan ciltleri henüz yazma halinde, ilmi olarak

neşredilmeyi beklemektedir.257

Türk matematik tarihine seçkin bir kimlikle giren Salih Zeki (1864-1921), Doğu

düşüncesine Batı’nın en yeni ve özgün değerlerini aktaran zamanın ünlü bir bilim

adamıdır. Matematiği düşünceye yön veren; işaretler kalabalığı ve hazırlanmış

problemler şeklinde düşünmeyen bir fikir adamıdır. Salih Zeki, analizi ve özellikle

mantıki düşünceyi önemli bir noktaya eriştirmiştir. Mizani Tefekkür isimli eseri

çalışmalarının en verimli bir işaretidir.258

“Sonsuz Küçük”, Salih Zeki’nin yazdığı Kâmûs-ı Riyâziyyât’ın (Matematik

Bilimleri Ansiklopedisi) birinci cildinde incelenmiştir. Burada Türkçe’ye çevrilmiş ve

yayınlanmış olan kısmını önemine binaen aynen aktaracağız. Kaynakçasını belirterek

aynen vermemizin nedeni, alanda buna dair bu kadar derli toplu bilgi olmayışından

dolayıdır. Nitekim Salih Zeki’nin, özellikle “mertebe” kavramı üzerine yoğunlaştığını

ve konuyu gayet berrak bir şekilde bizlere sunduğu görülecektir. Günümüz

kaynaklarında bile çoğu kez bu denli açık ve sade bir anlatıma rastlayamadığımızdan

dolayı, ‘Asgari Nâ-mütenâhî’ anlayışını alıntılıyoruz.

5.2.Sonsuz Küçük Kavramı  

Limiti sıfırdan ibaret bulunan değişken niceliklere mutlak ‘Asgari Nâ-mütenâhî’

(sonsuz küçük) denir. Bu tanıma göre bir nicelik sonsuz küçüktür denilince, her şeyden

önce, o niceliğin değişken olduğu ve ikinci olarak ta sıfıra yaklaşık bulunduğu anlaşılır.

Genellikle bir matematik problemine dahil olan sonsuz küçük nicelikler, bir

değişkenin muhtelif fonksiyonlarından ibarettir. Söz konusu değişken belirli bir değere

yaklaştıkça bu fonksiyonlar da sıfıra doğru yaklaşırlar. Nitekim 1

fonksiyonu x yayı ± değerine yaklaştıkça sonsuz küçük bir miktar olur.

                                                            257Güney, Ahmet Faruk, İslam-Türk Matematik Tarihinde İlk Eser: Salih Zeki’nin Asar-ı Bakiye’si, Türkiye Araştırmaları Literatür Dergisi, Cilt 4, Sayı 2, 2004, s.681-683, 258Taneri, Kemal Zülfü, Türk Matematikçileri, Derleyen Güven Taneri Uluköse, Cinius Yay., 2009, s.97-102

144  

Fakat bir problemde birkaç sonsuz küçük niceliğe tesadüf olunduğu durumda bu

sonsuz küçük nicelikleri birbirinden ‘mertebe’ itibarıyla ayırmak gerekir. Diğer bir

değişle sonsuz küçük denilen fonksiyonlar için muhtelif mertebeler mevcuttur. Şöyle ki

aralarındaki oran, sınırlı bir nicelikte biten iki sonsuz küçük niceliğe aynı mertebeden

ve bilakis aralarındaki oran sıfıra bitişen (yaklaşan) iki sonsuz küçükten birincisi

İkincisinin üstünde(daha yüksek) bir mertebeden sayılır ve kabul edilir.

Mesela x yayı değerine yaklaştığı durumda

1

z cosx

fonksiyonlarından her biri aynı mertebeden bir sonsuz küçük gibi kabul edilir. Çünkü

bunlar arasındaki oranın limiti

2 2

2

2 2

2l

1 1 1 1im li

cm lim

os 1 sin 1 2lim

x x x x

y sinx sinx

z x x sinx

gibi belirli bir sabite (miktara) yaklaşır. Halbuki

1 fonksiyonu

z cosx

fonksiyonuna göredaha büyük mertebeden bir sonsuz küçüktür. Çünkü bunlardan

birincisi ile ikincisiarasındaki oranın limiti

2 2 2 2

2

1 1lim lim lim lim

10

11 sinx x x x

y sinx sinx sinx

z cosx sinxx

olduğu gibi sıfıra gider.

5.3.Temel Sonsuz Küçük (Asgar-ı Nâ-Mütenâhî Aslî)

Genellikle bir probleme dahil olan sonsuz küçüklerin mertebelerini belirlemek

için bunlardan biri karşılaştırma terimi olarak seçilir. İşte karşılaştırma terimi kabul

edilen bu sonsuz küçüğe “Asgar-ı Nâ-mütenâhî aslî” (temel sonsuz küçük) adı verilir.

Bunun mutlaka probleme dahil olan diğer sonsuz küçüklerden küçük ve en azından eşit

bir mertebeden bulunması lazımdır.

145  

Bundan sonra bu asli sonsuz küçüğe nazaran aynı mertebede bulunan sonsuz

küçüklere, “1. mertebeden” sonsuz küçük denildiği gibi aksine bunun karesi ile aynı

mertebeden olan sonsuz küçüklere “2. mertebeden” ve küpüyle aynı mertebeden olan

sonsuz küçüklere “3. mertebeden” ve bunun gibi asli sonsuz küçüğün n. kuvvetiyle aynı

mertebeden olan sonsuz küçüklere de “n. mertebeden” sonsuz küçük adı verilir.

Maksadımızı açıklamak için birbirlerine g(x,y) = 0 gibi bir denklem ile bağlı iki

değişken nicelik tasavvur ve bu niceliklerden birinde meydana gelecek gayet küçük bir

değişmeden dolayı diğerinin aynı derecede bir değişime uğrayacağını varsayalım ve

kabul edelim. Bu halde bu iki değişkenden biri, mesela x niceliği bağımsız değişken

olarak kabul edilirse diğerinin y = f (x) gibi bunun sürekli bir fonksiyonu olacağı

doğaldır.

Şimdi x değişkeninin gayet (yeterince) küçük olan artma miktarı h ile ve bu

değişmeden dolayı diğer y niceliğinin uğrayacağı değişim miktarı da k ile ifade edildiği

halde oranı sıfırdan farklı b gibi bir belirli bir limite ulaştığına göre söz konusu oran

alelade,

biçiminde ifade olunabilir. Bu eşitliğin ikinci tarafında bulunan miktarı h artma

miktarıyla beraber sıfıra gitmek ve diğer bir değişle

bulunmak üzere konulur ve kabul edilir.

5.4.Birinci Mertebeden Sonsuz Küçük (Asgar-ı Nâ-Mütenâhî)  

İşte h artma miktarı, aslında sonsuz küçük bir nicelikten ibarettir. “Asgari Nâ-

mütenâhî Aslî” (asli sonsuz küçük) adıyla anıldığı gibi k artma miktarına da “1.

mertebeden bir sonsuz küçüktür” denilir.

146  

Bu örnekten anlaşılacağı üzere 1. mertebeden sonsuz küçükleri genellikle, h asli

sonsuz küçük, b belirli bir miktar, α değişme miktarı h ile beraber sıfıra giden bir

sonsuz küçük niceliği göstermek üzere

k=h(b + α)tarzında ifade edilebilir.

5.5.İkinci Mertebeden Sonsuz Küçük ( Asgar-ı Nâ-Mütenâhî )

Yukarıdaki oranı yine h artma miktarı arasındaki limitte sıfırdan başka

(farklı) c gibi belirli bir miktara ulaştığı varsayılacak olur ise :

olması lazım geleceğinden bu durumda söz konusu k miktarı sonsuz küçüğüne de

“ikinci mertebeden bir sonsuz küçüktür” denilir.

5.6.Üçüncü Mertebeden Sonsuz Küçük (Asgar-ı Nâ-Mütenâhî)

Bunun gibi ile yine h asli sonsuz küçüğü arasındaki oran sıfırdan başka bir d

limitine yaklaştığı surette söz konusu oran,

tarzında ifade olunabileceğinden oranı da “3. mertebeden bir sonsuz küçük” olur.

5.7.n. Mertebeden Sonsuz Küçük (Asgar-ı Nâ-Mütenâhî )

Genellikle oranı sıfırdan başka belirli bir limite yaklaştığı durumda söz

konusu orana“n. mertebeden” sonsuz küçüktür denilir.

Muhtelif mertebelerden olan sonsuz küçükler hakkında yukarıda beyan olunan

maddeleri açıklamak için yukarıdaki y=f(x) fonksiyonunun ardışık türevlerini

incelemeye alalım:

Türevin tanımına göre söz konusu fonksiyonun 1. türeviα miktarı h artma

147  

miktarıyla beraber sıfırda biten bir sonsuz küçük miktarı göstermek üzere,

′

olacağından

k h f ′ x α]

bulunur ki burada f ′ x türevi sıfırdan farklı bir belirli değeri haiz bulunduğu taktirde h.

f(x) çarpım sonucu 1. mertebeden bir sonsuz küçük olur.

Şimdi f ′ x fonksiyonunun ardışık türevleri x değişkeninin birer belirli ve

sürekli fonksiyonu olduğu takdirde k artma miktarı Taylor serisine uygun olarak

açıldığında,

1f ′ x

1 2f ′′ x

1 2 3f ′′′ ⋯

1 2 … 1 2 … 1

olur.

İşte değişkenin h artma miktarı asli sonsuz küçük kabul edildiğine göre bu

serinin 1. terimi 1. mertebeden; 2. terimi 2. mertebeden ve böylece (n+1). terimi

olan…

miktarı da (n+1). mertebeden sonsuz küçükten

ibarettir.

Bu takdirde

k1f′ x

1 2f′′ x ⋯

Olacağından ′ fazlalığı da 2. mertebeden bir sonsuz küçük ve yine aynı

değerlendirmeye dayanarak

1′

1 2′′

farkı, 3. mertebeden ve bu şekilde devam ettirildiğinde diğer mertebelerden sonsuz

küçük olur.

Kısaca söylemek gerekirse, 1. mertebeden iki sonsuz küçük toplamı da yine 1.

mertebeden bir sonsuz küçüktür. Fakat 1. mertebeden iki sonsuz küçük arasındaki fark

148  

daima 1. mertebeden bir sonsuz küçük değildir.

Gerçi çoğunlukla bu gibi fark yine 1. mertebeden bir sonsuz küçük olur ise de

bazı defalar söz konusu farkın 2. mertebeden sonsuz küçük bulunduğu da vâkîdir.

1. mertebeden iki sonsuz küçüğün çarpım sonucu ise, mutlaka 2. mertebeden bir

sonsuz küçüktür.

Genellikle n adet mertebeden olan sonsuz küçük çarpımının sonucu n.

mertebeden bir sonsuz küçükten ibarettir.

(Şekil 1)

X değişkenini apsis x ve y değişkeni de ordinat kabul ederek (Şekil 1)

denkleminin delalet eylediği eğriyi çizelim.

Şimdi x değişkenine ML değerinden itibaren

h LL′

gibi sonsuz küçük bir miktar arttırma verilecek olur ise y fonksiyonunda CLdeğerinden

itibaren

′

gibi sonsuz küçük bir miktar artış kazanması doğaldır.

149  

Bu halde türev kelimesinde açıklandığı üzere f x 1. türevi ve diğer bir değişle

oranının - limiti eğriye C noktasında çizilen teğet çizgisinin x ekseni ile oluşturduğu β

açısının tanjantına (trigonometrik teğetine) eşit bulunur. İşte

′

miktarı asli sonsuz küçük gibi kabul edildiği taktirde

′

artış miktarıyla

′

çarpım sonucu ve CC′yayı veya kirişi de 1. mertebeden birer sonsuz küçük olur. Çünkü

söz konusu miktarlardan her birinin h aslî sonsuz küçüğüne oranı sıfır olamayacak

şekilde belirli bir şekilde belirli bir miktara yaklaşmış bulunur.

Bunun gibi birbirine sonsuz yakın olan , ′ noktalarından eğriye çizilen teğet

doğrularının oluşturdukları açı da yine 1. mertebeden bir sonsuz küçüktür.

Çünkü C noktasında çizilen CD teğet çizgisinin x ekseni ile teşkil eylediği β

açısı, esasen x değişkeninin bir sürekli fonksiyonu olduğu için söz konusu açının bu

noktaya sonsuz yakın bulunan ′noktasında kazanacağı değer, ilk değerinden sonsuz

küçük olan bir miktar artış kadar değişeceği şüphesizdir.

Böyle birbirine sonsuz yakın bulunan iki noktanın teğet doğrulan arasında

meydana gelen açı ise bu tanjant çizgileri arasında meydana gelen açı ise bu teğet

doğrularının x ekseni ile teşkileyledikleri açılar arasındaki farktan başka bir şey

değildir.

Halbuki C'T doğrusu 2. mertebeden bir sonsuz küçüktür. Gerçekten de

′ ′ k f x hf x1x2

olduğundan söz konusu doğrunun 2. mertebeden bir sonsuz küçüğe eşit bulunması

doğaldır. Bunun gibi C′ noktasından CD teğet doğrusuna ′ dikmesi indirilecek

olursa söz konusu doğrunun boyu da yine 2. mertebeden bir sonsuz küçük olur.

150  

Çünkü C’KT dik üçgeninde

′ = x

olacağından ve β açısı ise varsayımlar gereği ‘den az olduğu için cosβ sıfıra eşit

olamayacağından doğal olarak yukarıdaki tanımlara uygun olarak C'K doğrusunun da

2. mertebeden bir sonsuz küçük olması gerekir.

Eğer fonksiyonun f′′ x 2. türevi sıfıra eşit bulunacak olur ise, zorunlu olarak

′ k f x hf x

1 2 3

olacağından bu halde doğrusu ve bu yüzden ′ dikmesi de üçüncü mertebeden

birer sonsuz küçük olur.

İşte bu durum x değişkeninin f x türevinin bir büyük veya küçük değerden

geçtiği zaman meydana gelerek eğrinin C noktası da bir dönme noktasından ibaret

bulunur. Bu yüzden bir eğri üzerinde bulunan bir dönme noktasından sonsuz küçük

uzaklıkta bulunan diğer bir noktanın söz konusu eğri bu dönme noktasında çizilen teğet

çizgisine olan geometrik uzaklığın sonuçta 3. mertebeden bir sonsuz küçük olabilir. Bu

noktalardan eğriye çizilen teğet doğrular arasında, meydana gelen açı da 2. mertebeden

bir sonsuz küçüktür.

Sonsuz küçükler, aslında sıfıra yakın değişken niceliklerden ibaret oldukları için

kullanımları yalnız bir oran veya toplam biçiminde yarar sağlar. Hakikaten de iki

sonsuz küçük aynı mertebeden bulunduğu taktirde bunların aralarındaki oran da belirli

bir değere delalet edebilir.

Böylece sonsuz küçük bir miktar yalnız başka hiçbir öneme sahip olmasa da

adedi sürekli artan bir cins sonsuz küçüklerin toplamı belirli bir değere yaklaşabilir.

Ancak bu sonsuz küçüklerin her biri sıfıra yaklaştıkça adedlerinin de sonsuza

yaklaşması gerekli ve yeterlidir. Bu konuda gerekli olan ayrıntı “hisâb” (hesap),

“tefâzuli” (diferensiyel) ve “temâmi” (integral) kelimelerinde verilecektir.

Sonsuz büyük bir miktar alelade ∞ işareti ile gösterildiği gibi sonsuz küçük bir

miktar dagenellikle ∞

ile gösterilir.

151  

Ancak ∞

ifadesi 1. mertebeden bir sonsuz küçüğü göstereceği için 2.

mertebeden olan sonsuz küçükler ∞

ve 3. mertebeden olan sonsuz küçükler ∞

ve hasılı

n. mertebeden bir sonsuz küçük de ∞

ile gösterilmesi gerekir.259

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                            259Akın, Ömer. Köten, Hacer, Salih Zeki’de Sonsuz Küçük Kavramı, Mantık, Matematik Ve Felsefe III. Ulusal Sempozyumu, Sonsuzluk ve Görelilik, İstanbul Kültür Üniversitesi Yay.,2008, s.46-53

152  

VII. BÖLÜM

SONSUZLUK VE GÖRELİLİK KAVRAMLARI

1. GÖRELİLİK TEORİSİ  

Göreliliğin en büyük belirtisi, varlık hakkında ortaya konulan çelişik düşünceler

olduğu düşünülür. Yani duyularımız ve algılarımız tarafından yorumlanan fenomenlerin

kişiden kişiye, düşünceden düşünceye değiştiği düşünülür. Dolayısıyla gerçekliğin

bireye, kültüre veya paradigmaya göre izafî olduğunu söyleyen görüşlerle izafiyet

teorisi arasında ilişki kuranlar olmuştur. Bu ilişkiyi kuranların bir kısmı, izafiyet

teorisinin, ‘değerlerin izafî olduğu’ görüşünü; zaman ve kütle gibi unsurların izafiliğini

göstererek, desteklediğini söylemektedirler. Oysa anlaşılması önemli olan husus; bu

teorinin zaman, uzay, kütle gibi mutlak zannedilenlerin izafiliğini göstermesine karşın

ışığın hızı ve daha da önemlisi doğa yasalarının evrensel olduğunu ifade etmesidir. Bu

teoriye göre ışığın hızı ve doğa yasaları kişilere, zamana ve mekâna göre

değişmez. Aslında izafiyet teorisi; evrenin anlaşılabilirliğini, matematiksel yasalarla

evrenin tarif edilebileceğini ve evren hakkında evrensel (izafi olmayan) açıklamaların

doğa yasalarıyla yapılabileceğini en başarılı şekilde ortaya koyan teorilerden biri

olmuştur.260

Görelilik konusu, bir bakıma, kimileri tarafından özgürlük konusu edilebiliyor.

Yani herkes düşüncesini ortaya sürmekte özgür ve herkesin düşüncesi ya da bakış açısı

doğrudur gibi anlamlandırılmaya çalışılıyor. Oysa Einstein’ın göreliliği bunun tam

aksini söyler: fizik kuralları evrenseldir ve bakış açısına göre değişmezdir! Ancak bahsi

geçen bu anlayış o kadar yaygındır ki sanki fizik dünya bizim bakış açımıza göre

şekillenir algısı mevcuttur. Bunun sanatsal yansımalarının en ünlülerinden biri Maurits

Cornelis Escher’in (1898-1972) eserinde ortaya çıkmıştır:

                                                            260Taslaman, Caner.Modern Bilim Felsefe Ve Tanrı, İstanbul Yayınevi, İstanbul, 2008, s.53

153  

Relativity (1953)261

Görecelik, gözlemcinin gördüğünün bulunduğu yer ve bakış açısına göre

değişeceği anlamına gelmektedir. Escher bu resminde, genel bir görünüm oluşturmak

için herhangi bir nesnenin farklı gözlem çerçevelerinden birkaç görünümünü

birleştirmenin ne gibi çelişkilere neden olduğunu resminde ortaya koymuştur. Escher,

matematikçi olmasa da çalışmaları pek çok matematikçiyi etkilemektedir.

Rönesans zamanında ortaya çıkan ve günümüzde projektif geometri adı verilen

matematik alanının başlangıcını oluşturan perspektif kurallarına göre herhangi bir

perspektif çizimde, gözler için sonsuzdaki noktalara karşılık gelen kaçış noktaları

bulunur. Escher, bazı çizimlerinde alışılmışın dışında kaçış noktaları kullanarak

paradokslar yaratmıştır. Ayrıca Kant’ın iddia ettiği gibi, zihnin evrene düzeni ve

matematiksel yapıyı yüklediği, fakat düzeni ve matematiksel formülleri evrenden

okumadığı görüşünü de izafiyet teorisi desteklemez. Tam tersine izafiyet teorisi ile

                                                            261Resim, Escher’in resmi sitesinden alınmıştır: http://www.mcescher.com/ 

154  

insan zihninden bağımsız olarak evrende düzen olduğu ve matematiksel formüllerle

bunun açıklanabileceği ortaya konulur.262

Bacon‘ın tümevarım, Galile’nin deney ve matematik yöntemlerini kullanan

bilim, 18 ve 19. yüzyıllarda büyük başarılar elde etti. Newton’cu pozitivist bilim görüşü

bilimin, dışarıdaki nesnel olguyu tam olarak yansıttığın söylüyordu. Ancak 19. yüzyıl

sonu ve 20. yüzyıl başlarındaki kuvantonlar alanındaki buluşlar ve Einstein’in relativite

teorisi, pozitivist bilim görüşünü sarsmaya başladı. Buna göre bilim, dış olguların

doğru bir tasviri olmayabilirdi. Varlık dünyasına yüklediğimiz kavramlar doğru

olmayabilirdi. Üç boyutlu zaman yerine dört boyutlu zaman, düzlem geometrisi yerine

eğri geometriler, modern fizikte elektronun dalga olarak mı tanecik olarak mı alınacağı

şeklinde birçok soru çıktı. Tümevarım yöntemine uymayan ve araştırılması gereken

birçok fiziksel olgu vardı. Değişmez, evrensel bilgiler sistemi olarak savunulan bilime,

değişme fikri geldi. Peirce, “bilim değiştiği için bilimdir” dedi. Bilimcilerin fikri de

yanlış olabilirdi. Bacon’ın “soruları doğaya sorup geçerli olmadıkları takdirde fikrimizi

değiştirmeye hazır olmalıyız” ilkesi gündeme geldi.

Bilim, dünyanın yapısının içinde varolan yasaları mı ortaya koyuyordu, yoksa

insan kafasındaki yasaları mı dünyaya yansıtıyordu. Kişi kendi zihnine uygun (öznel)

açıklamalar yaptığı zaman nesnelliğin ters görünüşleri ile karşılaşıyor; tam nesnelliğe

uygun açıklamalar tutarlı giderken buraya uymayan gerçek kümeleriyle

karşılaşıyordu.263

Görelilik kavramı mevzuu olunca elbette işin içine fizik girmektedir. Dünyanın

güneş etrafındaki yörüngesi hesaplanırken bunun üstünde olabilecek Mars veya Venüs

gezegenlerinin etkisi ilk etapta düşünülmez. Fizikte ilk prensip problemde cismi, izole

etmektir. Bu da fiziğin lokal problemlere konsantre olması demektir. Fiziğin bütün

temel yasaları sistemin evrimini tarif eden diferansiyel denklemlerdir. Dolayısıyla fizik

yasaları lokaldir. Bunlarda ilk başta sonsuzluğa ait hiçbir unsur yoktur. Zaten problemi

izole etmek demek cismin üstünde sonsuza kadar başka etken olmadığını varsaymak

demektir. Ancak sonsuzluk, bir nevi arka kapıdan gene karşımıza çıkar: Acaba bu evrim

                                                            262 Taslaman,a.g.e., s.55 263Ergün Mustafa, Bilim Felsefesi, Felsefeye Giriş(Bilim Felsefesi), http://www.egitim.aku.edu.tr/bilimfelsefesi.pdf (Erişim:27.01.2016), s.4-5

155  

denklemlerinin zaman sonsuza doğru gittiğinde çözümü var mıdır? Yani global çözüm

var mıdır? Fizikte bu çok iyi bildiğimiz yerleşmiş yasaların çözümsüzlüğe eriştiği

noktalar vardır. Bunlar iki türlüdür:

1. Gaz dinamiğinde olduğu gibi flok oluşumu,

2. Maxwell’in elektrodinamiği, Yang-Mills ve Einstein’ın genel görelilik

yasalarında uzay-zamanın topolojisinden kaynaklanan sonsuzluk tarifleri.

Öte yandan Einstein teorisinde sonsuzluk kavramı ilginçtir. Einstein’in bize

öğrettiğine göre kütle çekim uzay-zamanın eğriliğiyle tarif edilir. Uzay-zaman

çokluğunun (manifold) bir Riemann metriği ile verilmesi söz konusudur. Ancak metrik

bir yerel koordinat sisteminde ifade edildiği için manifoldun topolojisi hakkında sağlıklı

bir fikir veremez. Dolayısıyla sonsuzun tarifi de şüphelidir. Bunu ancak manifoldun

maksimal analitik uzantısı bulunarak belirlenebilir.264

Genel görelilik konusunda sonsuzluğun araştırılması Penrose’un çalışmalarına

dayanır. Önümüze üç çeşit sonsuzluk çıkar: Zamansal sonsuzluk, ışıksal sonsuzluk ve

uzaysal sonsuzluk. Bunun sebebi ışığın evrensel bir sabit olmasından

kaynaklanmaktadır. Peki, sonsuzun tarifi nedir? Jeodeziklerin yay uzunluğunu sonsuza

kadar uzatılabilmesidir. Yani bir manifoldda bulabileceğiniz jeodezikler sonsuz yay

uzunluğuna kadar uzatılabilirse o zaman bu manifold jeodezik tamamdır.

Bu tarifleri Einstein denklemlerinin en önemli çözümü olan Schwarzschild

metriğinde görebiliriz. Schwarzschild metriği güneş gibi izole edilmiştek bir cismin

kütle çekim alanını tarif eder. Burada görürüz ki izole edilmiş her cisimde olduğu gibi

burada da uzaysal sonsuz vardır. Aynı şekilde gravitasyon dalgalarının erişebileceği

ışıksal sonsuz da vardır. Ancak zamansal sonsuz ki bu da gözlemcilerin yörüngesini

tarif eder, ilk şartlara bağlı olmak üzere iki türlüdür. Ya gözlemci zamansal sonsuza

erişebilir, ya da Schwarzschild metriğindeki ufkun arkasına doğru yol alır. Kara deliğin

içine girer ve bir daha çıkamaz. Bu tür jeodeziklerde yay uzunluğu sonludur. 265

Einstein’ın çözmeye çalıştığı sorunu anlamaya çalışalım. 20. yüzyılın başlarına

kadar yapılan birçok deney, ışığın boşluktaki hızının değerinin bir sabit olduğunu                                                             264 Nutku Yavuz, Sonsuzluk Ve Görelilik, Matematik Dünyası Dergisi, 2010/4, S.59‐60 265Nutku, Yavuz, Sonsuzluk Ve Görelilik, Matematik Dünyası Dergisi, 2010- IV, s.59-60

156  

gösteriyordu. Simgesi c olan bu hız yaklaşık olarak saniyede 300,000 km kadardır. Bu

değerin her yön için aynı olması beklenmedik bir sonuçtu. Bunun nedeni, üzerinde

yaşadığımız Dünya’nın hem kendi çevresinde, hem de Güneş çevresinde dönmesidir.

Yani Dünya’nın sürekli hareket halinde olmasıdır. Bu nedenle ışığın bazı yönlerde

farklı hızla yayılması bekleniyordu. Çünkü fizikteki bağıl hıza göre saatte 100 km hızla

giden bir otomobili, saatte 90 km hızla takip edersek, otomobilin bizden saatte 10 km

hızla uzaklaştığını görürüz. Ya da her ikimiz de saatte 100km hızla yol alırsak

birbirimizi duruyormuş gibi görürüz. Ne yazık ki aynı işlem ışık için uygulanamıyordu.

Gerçi Dünya’nın hızı (Güneş çevresinde saniyede 30 km kadar) ışığın hızına göre

oldukça düşük kalıyor ama Dünya ne kadar yavaş olursa olsun, aynı yönde ilerleyen

ışığın biraz daha yavaş yayıldığını görmemiz gerekirdi. Bu deneylerden en ünlüsü

Michelson-Morley deneyidir.266

Michelson ve Morley her yöne kolay dönebilsin diye cıva içinde yüzen bir

platform kurdular ve platform üzerinde bir deney düzeneği yaptılar. Bir ışık

kaynağından çıkan ışını, birbirlerine dikey doğrultularda yerleştirilen aynalara

yönlendirdiler. Aynalardan yansıyan ışını bir interfometre ile gözlediler. Birbirlerine

dikey yönde gidip aynada yansıdıktan sonra dönen ışınların hızları farklı olduğunda,

Doppler kayması denilen olayın interferometrede görünmesi gerekir. Yerin ether’e göre

mutlak hızını hesaplamak mümkün olacaktı. Bu hızın yerin güneş etrafındaki teğetsel

hızı mertebesinde olması gerektiği aşikârdır. Platform her yöne hareket ettirilerek

yapılan deneylerde, beklenen kayma gözlenemedi. Yani ışığın hızı her yönde aynı

                                                            266Detaylı bilgi için bkz: Zor Muhsin, Orhun Önder, Şenyel Mustafa, Tanışlı Murat, Aybek A. Şenol, Aksay Sabiha, Fizik, T.C. Anadolu Üniversitesi Yayınları No: 1060, 1998, s.3-5  

157  

oldu. 267 Buradan çıkan sonuç şudur: Ya dünya hareketsizdir, ya da ether yoktur.

Dünyanın hareket ettiğine kuşkumuz olamayacağına göre, ether yoktur sonucuna

varmalıyız. Tabii, bu deneyin verdiği asıl sonuç, ışığın her yönde aynı hıza sahip

olduğudur.268 Bu denli küçük hız değişimlerini ölçebilecek hassaslıkta olmasına karşın,

bu deneyde en küçük bir fark bile ölçülememişti. Bir anlamda, bütün deneyler

Dünya’nın hareket etmediğini, yerinde durduğunu; yani Dünya ve Güneş sistemi

konusunda edindiğimiz sağlam bilgilerin tam tersini söylüyordu.

Yani bir aracın yere göre 0,9c hızıyla (yani ışık hızının %90’ı) hareket ettiğini

düşünelim. Bu aracın hareket doğrultusuyla aynı yönde, yine yere göre c hızıyla

ilerleyen bir ışık ışını gönderelim. Bu durumda ışığın araca göre 0,1c hızıyla ilerlemesi

beklenir. Buna karşın, yapılan bütün deneyler beklentimizin yanlış olduğunu, ışığın

hızının yere göre de, araca göre de aynı c değerine sahip olduğunu söylüyor. Bu oldukça

garip bir şey: ışığın peşinden ne kadar hızlı gidersek gidelim, o hala bizden aynı hızla

uzaklaşmaktadır.

Einstein, çözümü 1905 yılında buldu: eğer aracın içindeki saatler daha yavaş

işliyorsa, o zaman ışığın araca göre hızının hala c değerine eşit olması mümkündür.

Fakat görelilik ilkesini ihlal etmemek için, araçtaki gözlemcinin saatlerin gerçekten

yavaş işlediğini fark etmemesi gerekir. Bu da ancak çalışma ilkesi ne olursa olsun bütün

saatlerin aynı oranda yavaşlamasıyla mümkün olabilir. Ancak bu koşul altında araçtaki

gözlemci, saatlerinin yavaşladığını fark edemez ve dolayısıyla aracın hızıyla

ilişkilendiremez; yani görelilik ilkesi güvendedir.

Görelilik kuramı, doğru olduğunu düşündüğümüz, ama sorgulamayı aklımızın

ucundanbile geçirmediğimiz bazı varsayımların yanlış olabileceğini gösteriyor. Doğal

olarak, görelilik kuramını ilk öğrenmeye başlayan birinin karşılaştığı en önemli güçlük,

bu varsayımlardan hangisinin yanlış olduğunu öğrenmek. Daha önce bahsi geçen

“paradoks” konusuyla ve yeni bir paradoksla konuyu açmaya çalışayım. Hatırlarsak

paradoksların amaçlarından biri de öğrencinin çelişkiyi görmesi sağlandıktan sonra, bu

                                                            267Yerin ethere göre mutlak hızının hesaplanması için: Özemre Ahmet Yüksel, Çağdaş Fiziğe Giriş, İstanbul Üniversitesi Yayınları, 3. Baskı, 1983, s.12-14 268Turgut Sadi, Einstein’ın Mucize Yılı/Özel Görelilik, Bilim Teknik Dergisi, 2005/2, s.39 Özemre Ahmet Yüksel, Çağdaş Fiziğe Giriş, İstanbul Üniversitesi Yayınları, 3. Baskı, 1983, s.12-16 

158  

yöntemlerden birinin yanlış uygulandığı, yapılmaması gereken bir varsayımı

kullandığını göstermektir. Bu noktada tren paradoksunu inceleyelim:269

Trenin ön ve arka vagonlarının en ucuna iki flaş yerleştirilir. Trenin ortasında,

flaşlardaneşit uzaklıkta bir algılayıcı bulunur. Algılayıcının her iki yüzü de ışığa karşı

hassastır veüzerine bir ışık düşüp düşmediğini saptar. Eğer algılayıcının sadece bir

yüzüne ışık düşerse, düzenek yardımıyla patlayıcılar ateşleniyor ve tren havaya uçuyor.

Ama eğer her iki yüzüne aynı anda ışık düşerse, bu defa herhangi bir şey olmuyor; tren

sağ salim yoluna devam ediyor. Zifiri karanlıkta her iki flaşı aynı anda patlatıyoruz.

Burada cevabını aradığımız soru şudur: Tren havaya uçar mı, uçmaz mı? Eğer

tren sabit bir hızla hareket ediyorsa, bu soruya trendeki bir gözlemci ile dışarıda, yerde

sabit duran bir gözlemci farklı cevaplar verir. Önce trendeki gözlemciye göre

düşünelim. Buna göre tren yerinde durmaktadır (asıl hareket eden yer ve üzerindeki her

şeydir). Flaşlar algılayıcıdan eşit uzaklıkta olduğundan, bilinen sabit hızla hareket eden

ışık da eşit mesafeleri eşit sürede kat edecektir. Bu nedenle, flaşlardan aynı anda ortaya

çıkan her iki ışık, algılayıcıya aynı anda ulaşır. Patlayıcı ateşlenmez. Tren güvendedir.

Şimdi de olaya, yerde sabit duran bir gözlemcinin bakış açısıyla bakalım. Tren hareket

etmektedir ve bu nedenle boyu bir miktar kısalmıştır. Trenin boyunun ne kadar kısalmış

olduğundan bağımsız olarak, algılayıcının her iki flaşa uzaklığı eşittir (trenin ön

yarısıyla arka yarısı aynı oranda kısaldığı için). Flaşlar patlatıldığında, her iki ışık aynı c

hızıyla öne ve arkaya doğru hareket etmeye başlar. Bu süreç içinde tren de bir miktar

önde doğru gittiği için, önden gelen ışık algılayıcıya daha önce ulaşır. Patlayıcı ateşlenir

ve tren havaya uçar!

                                                            269Turgut Sadi, a.g.e., s.42-43 Ayrıca “Eşzamanlılığın Göreceliği” konusunda buna benzer deney ele alınmıştır. Bknz.: Einstein, Albert. Özel Ve Genel Görelilik Kuramı Üzerine, Çev.:Aziz Yardımlı, İdea Yay., İstanbul, 2009, s.68-69 

159  

                                                     Tren 1 

 

 

                                                   Tren 2 

 

Peki, aynı olay aynı anda gözlem yapan iki kişi için iki ayrı sonuç verir mi?

Aynı anda gözlem yapan kişilerden biri için patlama olurken diğeri için olmayacak. Bu

paradoksun bir çözümü var mı acaba?

Birçok kişi bu paradoksla ilk defa karşılaştıklarında görelilik kuramının temel

iddialarını sorgulamayayöneliyor. Örneğin, trendeki gözlemcinin(trenin gerçekten

hareket ediyor olmasından dolayı) önden gelenışığın daha hızlı, arkadan geleninsedaha

yavaş gittiğini görmesi gerektiğisöylenir. Ama bu doğru değildir. Görelilik kuramının

temel iddialarında herhangi bir sorun yoktur. Gerçekten de her iki gözlemci ışığın,

hangi yöneolursa olsun, aynı hızla yayıldığını görürler (bukuramın temel

varsayımlarından birincisiydi). Bunaek olarak, her ne kadar dünya görüşümüz, yerisabit

alıp treni hareket ediyor gibi düşünmemizizorlasa da, kuramın ikinci varsayımı da

160  

geçerli. Yani trendeki gözlemci, trenin yerinde durduğunu, aksine aslında Dünya’nın

hareketli olduğunusöylerken bir hata yapmıyor. Buradan yola çıkarak yapacağı fiziksel

yorumların da kesin doğru olması gerekir. Dikkat ederseniz burada, görelilikkuramının

dayandığı iki temel varsayımınarasındaki görünür çelişki daha açık bir şekildegöz

önüne seriliyor.

Çelişkinin ortaya çıkmasına neden olan, flaşların patlama zamanını belirtmek

için kullandığımız “aynı anda” ifadesidir. Einstein’ın elde ettiği konum-zaman

dönüşümleri incelendiğinde, birgözlemciye göre aynı anda olan iki olayın, başkabir

gözlemciye göre farklı zamanlarda gerçekleşebildiği görülebiliyor. Nasıl iki olay

arasındakizaman süresi göreliyse (farklı gözlemciler farklı buluyor), aynı anda olmak da

görelidir. Buna “eş zamanlılığın göreliliği” deniyor. Görelilik kuramındaki bir

gözlemcidendiğerine yapılan dönüşümlerde yer ve zamanbirbirine bağımlı olduğu için,

“aynı zaman” kavramının da göreli olması oldukça doğaldır. Yani flaşların aynı anda

patlatıldığını söylerken, bunların hangi gözlemciye göreaynı anda olduğunu belirtmemiz

gerekir.

Buradabunların trendeki gözlemciye göre aynı andaoluştuğunu düşünüp, analizi

ona göre yapacağız. Bu nedenle, trendeki gözlemcinin analizinde birkusur yok. Tren

havaya uçmaz. Yerdeki gözlemciye göreyse ilk önce arkadakiflaş patlar, biraz sonra da

öndeki. Her iki ışığın hareket etmekte olan algılayıcıya aynı andaulaşması için bu

olayların zaman sıralamasınınbu şekilde olması gerektiğini rahatlıkla görebilirizama

aynı sonuç görelilik kuramındaki yerzamandönüşümleri kullanılarak da elde edilebilir.

Öndeki flaş patladığı anda, hem arkadan gelenışık hem de tren bir miktar yol almıştır.

Doğal olarak, bu anda arkadan gelen ışık algılayıcıya öndekinden daha yakındır. Bir

süre daha geçtiktensonra, trenin hareketi de göz önüne alındığında her iki ışığın

algılayıcıya aynı anda çarptığı görülür. Patlayıcı ateşlenmez ve tren güvendedir! Dikkat

edilirse, arkadan gelen ışık daha uzun bir yol kat etmesine karşın daha önce belirdiği

için, her ikisinin de aynı anda algılayıcıya ulaşması gerçekleşir. Bu paradoksun çözüm

yöntemlerinden birini, hatta paradoksun temelini oluşturan bulguyu, ileriki bölümlerden

biri olan “özel görelilik teorisi” içerisindeki Lorentz dönüşümünde matematiksel

notasyonlar ve eşitliklerlei ele alırken tekrar inceleyeceğiz.

161  

E=m c2 denklemini Einstein, 1905 yılında yayımladığı bir makalede ortaya

atıyor. Burada, bircismin ışık yayınlayarak enerji kaybettiği bir düşünce deneyi üzerinde

yoğunlaşıyor. Daha sonra da, görelilik kuramının tutarlı olması için cismin kütlesinin

bir miktar azalması gerektiğini gösteriyor. Kütle ve enerjinin eşdeğerliliği ilkesi bu

şekilde doğuyor. Bu denklemin en önemli uygulama alanı şüphesiz, çekirdek ve

parçacık fiziği. Çekirdek dönüşümlerinde ortaya yüksek enerjili fotonlar

çıkarakçekirdekten ayrılır. Bu da geride kalan çekirdeğin kütlesinin ayrılan enerjinin

eşdeğeri kadar küçülmesi demek. Aradaki kütle farkı, toplam kütleye oranla pek küçük

olmadığı için, bu tip dönüşümlerde ortaya çıkan enerji olağanüstü derecede büyüktür.270

Ayrıca Einstein’ın 1905 yılında yayımladığı makalesinde yaşadığımız dünyada

ışık hızının aşılamayacağı konusunda bir akıl yürütme vardır ki inceleyelim: Duran bir

cismi iterek hızlandırmak ve böylece ışık hızını geçmek istediğimizi düşünelim. Cismi

iterken ona bir miktar enerji aktarırız. Sadece hareketinden dolayı cismin sahip olduğu

bu enerjiye biz “kinetik enerji” diyoruz. Einstein’ın ünlü enerjinin kütleye özdeşliği

bağlantısı (E=mc2) uyarınca bu kinetik enerji aynı zamanda kütle işlevi görecektir. Yani

cismi iterek, toplam kütlesinin artmasına neden oluyoruz ve bu gerçek bir etkidir. Fakat

kütle artması etkisini cismi iten kişi hisseder. Daha kütleli olduğu için, cisim artık daha

zor hızlanacaktır. Böylece hızını aynı miktar artırmak için cisme daha fazla enerji

aktarmamız gerekir. Bu da kütlesinin daha da fazla artmasına neden olacaktır. Bu

şekilde devam ettiğimizde, cisim ışık hızına yakın hızlara yaklaştığında kütlesi

inanılmaz boyutlara ulaşır. Özellikle cisim, tam olarak ışık hızına erişirse sonsuz kütlesi

yani sonsuz enerjisi olması gerekir. Görebildiğimizevrende bile ancak sonlu

miktardaenerji olduğu için, cisme bu enerjiyiverebilmek dolayısıyla ışık hızına

erişmekimkânsızıdır. Dolayısıyla bütün cisimlerışıktan yavaş hareket etmeli. Cisimlerin

ışık hızında veya daha hızlı gitme olasılıkları yok. Bu mantık yürütme belki birkaç

yönden eleştirilebilir. Bunlardan biri de şudur: Biz cismin aşamalı olarak

hızlandırıldığını varsaydık. Ama belki ilerde yeni bir yöntemle cisme ara hızlar

vermeden doğrudan ışık üstü hızlar vermek mümkün olabilecektir. Einstein bu tür

                                                            270Turgut Sadi, a.g.e., s.44 

162  

mantık yürütmeleri de saf dışı bırakabilmek nedensellik merkezl iiçin yeni bir mantık

kurgusu sunmaktadır. 271

Biri diğerinin olmasına yol açan ikiolay düşünelim. Bunlardan “neden”olarak

adlandırdığımız bir tanesininoluşması, kaçınılmaz olarak “sonuç”olarak adlandırdığımız

diğerinin de gerçekleşmesineyol açıyor. Eğer nedengerçekleşmezse, sonuç da

gerçekleşmiyor. Bu tip olayların birbirine “neden sonuçilişkisiyle bağlı” olduğunu

söylüyoruz. Nedensellik ilkesinin söylediğioldukça basit: Zaman açısından neden,

sonuçtan önce meydana gelir. Bu ilkenin, felsefede kullanılan nedensellik ilkesinden

daha farklı bir anlamı olduğunu, yani aynı adama farklı ilkelerden bahsedildiğini

hatırlamak gerekir.

Nedensellik ilkesinin temeli şudur: bugün gerçekleşen bir olay dünkü bir

olayınoluşmasına neden olabilir mi? Genele yayarsak, acaba herhangi bir anda

gerçekleşmiş olan bir olayın oluşmasının nedeni bu olaydan sonra mı gelmektedir? Eğer

ışık hızından hızlı olunsaydı, önce gol olurdu sonra şut çekilirdi. Burada neden şut;

sonuç ise goldür. Bunu biraz da irdeleyelim: Eğer şutu gerçekten ışıktan hızlı

çekiyorsak, o zaman bize göre hareket eden bazı gözlemciler sonucun nedenden önce

oluştuğunu görürler. Yani bunlara göre önce gol olmuş, sonra da biz şut çekmişizdir.

Böyle bir şey nedensellik ilkesine aykırı, çünkü bütün gözlemcilere göre neden

sonuçtan önce oluşmalıdır.272

Einstein, 1907 yılında özel görelilik kuramı hakkında bir bilimsel dergiye

yazdığı makalede, yeni bir düşüncesi olduğunu, dayandığı “görelilik ilkesinin” çok daha

genel bir başka ilkenin sadece özel bir hali olduğunu belirtiyor. Einstein bu düşüncenin

belirmesini “hayatımın en mutlu anı” sözleriyle nitelendiriyor. “Denklik ilkesi” olarak

adlandırdığımız bu yeni ilke de çok sayıda yeni sonucu üretebilecek potansiyele sahip.

1905 yılında temelleri atılan kurama “özel görelilik”, denklik ilkesinden yola çıkarak

oluşturulan ve tüm matematiksel detaylarla ancak 1915-16 yıllarında tamamlanacak

yeni kurama da “genel görelilik” adı veriliyor. Genel görelilik bu defa Newton’un bir

                                                            271Einstein, Albert. a.g.e., s.22-25 272 Turgut, Sadi, a.g.e.,s.44-45

163  

diğer yasasını, evrensel kütleçekim yasasını değiştiriyor. Fakat sadece değiştirmekle

kalmayıp, tüm kütleçekim olgusunu çok daha sağlam geometrik temellere oturtuyor.273

Eğer bütün cisimlerin eylemsizlik ve çekim kütleleri eşitse, o zaman bir

asansördeki gözlemci sadece cisimlerin hareketine bakarak düşen bir asansörde mi,

yoksa dış uzayda mı olduğunu anlayamaz. Einstein bundan bir adım daha ileri giderek

gözlemcinin başka türden deneyler yapsa bile farkı anlayamayacağını iddia ediyor.

Yani, bugüne kadar yapılmış veya gelecekteyapılabilecek bütün olası deneyler, düşen

asansörde de dış uzayda da aynı sonucu verir. Einstein’ın kullandığı denklik ilkesi

budur.

2. GÖRELİLİK TEORİSİNİN FELSEFİ AÇIDAN İNCELENMESİ  

Görelilik Teorisi, evren ve zaman kavramlarında oluşturduğu yeni bakış açısıyla

bizim kurguladığımız Tanrı-evren ilişkisine yeni bir bakış açısı sunar. İzafiyet teorisi,

“Tanrı zamansız mı yoksa sürekli mi?” sorusuna farklı bir cevapimkânı tanımıştır.

Sonsuz zamandan beri var olan (ezeli) Tanrı yaklaşımlarının yerine, “zamansız” ya da

“zaman üstü” olarak tarif eden yaklaşımların ortaya çıkmasını mümkün kılmıştır. Bu

konuda ki yaklaşım şu şekildedir: galaksinin birbirlerinden çok uzak bölgelerinde bir

uydunun bir gezegenle çarpışmasını ve bir süpernova patlamasını ele alalım.

Yeryüzündeki bir gözlemci için, çarpışma patlamadan önce izlenilmiş olabilir. Fakat

başka gezegendeki uzay gemisindeki bir gözlemci için patlama çarpışmadan önce

izlenebilir. Acaba bunlardan hangisi gerçekten diğerinden önce olmuştur? İzafiyet

teorisine göre bu sorunun cevabı yoktur!

Peki, Tanrı için bu hadiselerin hangisi daha öncedir? Bu sorudan tek çıkış

yolunun Tanrı’nın zamandan bağımsız olduğunu kabul etmek olduğu ileri sürülmüştür.

Ama buradaki akıl yürütme kusurludur. Çünkü hadiselerin sıra düzeni belirli ışık hızıyla

sınırlıdır. İlahi zamansızlık öğretisi hala anlaşmazlık konusu olmaya devam ederken

diğer taraftan Tanrı’nın sürekli olduğu görüşünü kabule bir eğilim olmaktadır.274

                                                            273 Turgut, Sadi, Genel Görelilik, Bilim Teknik Dergisi, 2005/3, s.39 Einstein, Albert. a.g.e., s.88-95 274Peterson, Michael. Hasker William. Reichenbach Bruce. Basinger David, Akıl Ve İnanç, Çev. Rahim Acar, Küre Yay., 2012, s.92-95

164  

Tanrı-zaman ilişkisinin, Tanrı’nın evrene müdahalesi ile ilgili felsefi

problemlerde göz önünde bulundurulması önemlidir. Aslında zamanın izafî olduğunun

anlaşılması bu konuyla ilgili birçok felsefî problemin çözümüne önemli katkılarda

bulunabilir. Örneğin Leibniz’in, Tanrı’nın ‘baştan müdahale’ ile evrendeki her şeye

müdahalelerini gerçekleştirdiğine dair yaklaşımını ve Malebranche’ın Tanrı’nın her an

her şeye müdahale ettiğine dair yaklaşımını (vesilecilik) ele alalım. Modern kozmoloji

ile Leibnizci yaklaşımı bir arada ele alırsak, Tanrı’nın 15 milyar yıl önce yaptığı bir

müdahale ile evrenin her anına ve her yerine müdahalelerde bulunduğunu söylemiş

oluruz. Sonuçta bu yaklaşım ile Malebrancheçı yaklaşım arasındaki temel fark 15

milyar yıllık zaman mesafesindedir. Fakat görelilik teorisiyle zamanın izafî olduğu ve

Tanrı’nın bu evrenin zamanına bağımlı olamayacağı anlaşıldıktan sonra, söz konusu 15

milyar yılın ciddi bir önemi kalmamıştır. Bizim için 15 milyar yıl süren zaman süresinin

Tanrı için bir an gibi olduğunu düşünebiliriz. Nitekim Dünya’dan ışık hızına yakın

süratle hareket eden bir uzay gemisine binen herhangi bir kişinin, Dünya takvimine göre

birkaç yüzyıl sonra geri döndüğünde sadece birkaç yıl yaşlanmış olmasının; görelilik

teorisine göre gayet normal bir fiziksel olgu olduğunu hatırlayalım.

Görelilik teorisinin ‘zaman’ kavramında yaptığı zihniyet devrimi, kader konusu

için de yeni açılımlara sebep olabilir. Kader konusu ile ilgili olarak, genelde, sonsuzca

geriye giden bir nehir gibi düşünülen zaman kavramının ‘başına’ Tanrı konur ve sonra

Tanrı’nın, her şeyi bu ‘başlangıçta’ bilmesine rağmen neden insanların yaptıkları

fiillerinden mesul oldukları gibi sorular sorulur. Görelilik teorisi ile zamanın izafîliği

gösterildiği için; Tanrı’yı zamanın başlangıcına koyan anlayışın yerine Tanrı’yı

‘zamana aşkın’, ‘zaman üstü’ bir konumda düşünmenin daha doğru olacağı söylenebilir.

Kader konusunun anlaşılması için ileri sürülen kimi çözüm önerilerinde ‘Tanrı’nın

geleceği bilmesi’ ile ‘Tanrı’nın geleceği belirlemesinin ayrı tutulması ve Tanrı’nın

geleceği bilmesinin, insanların fiillerini cebren oluşturmasından kaynaklanmadığı

söylenir.

Leibnizci bir anlayışla Tanrı’nın tüm müdahaleleri baştan yaptığını savunanlarla

Malebrancheçı bir anlayışla Tanrı’nın her an müdahale ettiğini savunanlar arasında

görelilik teorisi sayesinde ciddi bir fark kalmamıştır. Ayrıca izafiyet teorisinin

gösterdiği ‘mutlak olmayan zaman’ tasarımı Tanrı’nın ‘zaman üstü’ olarak tahayyül

165  

edilmesini kolaylaştırır; bu ise, Tanrı’nın geleceği ‘bilmesi’ ile ‘belirlemesi’ arasında

olduğu düşünülen paradoksun çözümlenmesi için yeni açılımlar getirebilir.275

 

3. GÖRELİLİK TEORİSİNİN FİZİK VE MATEMATİK AÇISINDAN İNCELENMESİ

 

Galileo ve Newton’un kurdukları klâsik mekanik, kuvvet ve hareket arasındaki

ilişkiyi inceler ve gravitasyonu basit bir matematik formülle açıklar. Bu noktadan sonra,

fiziğin iki yöne ayrıldığını görüyoruz: Bir tarafta Görelilik Kuramı (özel ve genel), öteki

tarafta Kuantum Fiziği ve İstatistiksel Fizik. Bunlar birbirleriyle sıkı ilişkileri olması

gereken iki ana kuramdır. Özel Görelilik Kuramının matematiksel dayanağı Poincaré,

Lorentz ve Minkowski tarafından verilmiş, bu geometrinin fiziksel yorumu Einstein

tarafından yapılmıştır. Genel Görelilik Kuramı ise Einstein ve Hilbert tarafından

kurulmuştur. Özel Göreliliği içeren Genel Görelilik Kuramı gravitasyonu bir kuvvet

olarak değil, uzay-zamanın eğriliği olarak açıklar. Evreni kavrayışımızı kökünden

değiştiren Görelilik ve kuantum fizikleri 20.yüzyılın en büyük bilimsel bulgulan

arasında sayılmakla kalmaz, her biri kendi alanındaki fiziksel fenomenleri şaşırtıcı

duyarlıkla belirlerler, ama bir o kadar da birbirlerinden farklıdırlar. Bu gün

matematikçiler, Görelilik Kuramı'nın Einstein’in ortaya koyduğu yöntemle

incelemiyorlar. Aradan geçen yüz yılda göreliliği daha iyi açıklayan matematiksel

yapılar ortaya kondu. Bunların bir kısmı geometrik modeller kullanır, bir kısmı da

cebirsel modeller kullanır. Elbette daha iyi matematiksel modellerin ortaya çıkmış

olması, Einstein’in yaptığı işin önemini azaltmaz.276

Einstein’nın görelilik kavramından önce, Galileo göreliliğinden kısaca

bahsedelim: Galileo göreliliği, bağıl hız kavramına bağlı bir göreliliktir. Yani biz

30km/s hızla doğu yönünde akan bir nehirde 10 km/s hızla batı yönünde yüzmeye

çalışırsak akıntıdan dolayı aslında karaya göre doğu yönünde 20km/s hızla ilerleriz. Ya

da aynı nehirde 10 km/s doğu yönünde yüzmeye çalışırsak karaya göre hızımız 40km/s

olacaktır. Son olarak nehirde 50km/s hızla yol alsak ve karadan aynı yönde 50km/s

                                                            275Taslaman, a.g.e., s.66 276Karaçay Timur, Görelilik Kuramının Matematiksel Temelleri, Mantık, Matematik Ve Felsefe III. Ulusal Sempozyumu, Sonsuzluk Ve Görelilik, İstanbul Kültür Üniversitesi Yay., 2008, s.189

166  

hızla giden bir arabanın içindeki insan bizi sabit duruyormuşuz gibi görür. İşte Galileo,

bu gözlemlerin sonucunu şu görelilik postulatıyla verir:

“Birbirine göre sabit hız ve doğrultuda hareket eden iki gözlemci bütün mekanik

deneylerde aynı sonucu elde eder.”277

Burada hareket yasalarından bahsedelim ve birden fazla hareket yasasının

olduğunu hemen belirtelim. Newton Mekaniği diye adlandırılan bilim dalına esas olan

Newton hareket yasaları, bilimde atılmış en büyük adımlardan birisidir. 18. ve 19.

yüzyıllarda Newton Mekaniği sayesinde muazzam bir teknoloji yaratıldı, gök

cisimlerinin hareketleri belirlendi. Bu gün bile Newton Mekaniği yok sayılırsa,

elimizde 20. yüzyıl teknolojisi yok olur. Bu oluşumu yaratan ve bu gün Isaac Newton

(1643-1727) adıyla anılan hareket yasaları şöyle ifade edilir:

1. Hareketli bir cisim dışarıdan bir kuvvetle etkilenmezse düzgün doğrusal

hareketini ilelebet sürdürür.

2. Kütlesi m olan bir cisme uygulanan F kuvveti ile a ivmesi arasında F=m.a

bağıntısı vardır.

3. Her etkiye karşı ona eşit bir tepki vardır.278

M ile m iki ayrı cismin kütleleri, r aralarındaki uzaklık, G gravitasyon katsayısı

olmak üzere, iki cisim arasındaki F çekim kuvveti F= G.m.M /r2bağıntısıyla verilir.

Euler, Newton gravitasyon yasasının analitik biçimini verdikten sonra Lagrange,

Hamilton, Jacobi, Clairaut, Laplace ve Poisson gibi ünlü matematikçiler, gravitasyon

yasasının matematiksel temellerini sağlamlaştıran teoremleri kurdular. Bu arada

potansiyel gibi yeni kavramları da ortaya çıkardılar. 20.yüzyıl başlayana dek, hareketle

ilgili her şeyin Newton’un hareket yasalarıyla hesaplanabileceği düşünülmüştür. Ama

Newton Mekaniği ya da klâsik mekanik denilen ve teknikte muazzam bir uygulama

alanı bulan bu yasaların uygulanamadığı durumlar da ortaya çıkmıştır ve bu durumlar

aşağıda sıralanmıştır:

1. 10-8 cm den küçük uzaklıklar.

                                                            277Karaçay Timur,a.g.e., s.197 278Karaçay Timur,a.g.e., s.201 

167  

2. Gravitasyonu güneşe göre 108 kat daha büyük olan cisimler.

3. Hızı 108 m/sn den büyük olan cisimler.

Newton Mekaniği’nin geçerli olmadığı yerlerde Kuantum Mekaniği ve Einstein

Mekaniği kullanılır. Kuantum Mekaniği atomaltı parçacıkların hareketlerini belirlemek

için, Einstein Mekaniği ise hızı ışık hızına yakın büyük gök cisimlerinin hareketlerini

açıklamak için kullanılır. Newton’un ikinci yasasını F= mi .a ile, iki cisim arasındaki

çekim kuvvetini belirtendenklemlerin biçiminde yazıldığını

biliyoruz .279 Bu iki denklemdeki mi ve mg nicelikleri fiziktarihi bakımından önemlidir.

Birincideki mi niceliğini, cismin F kuvveti etkisinde kalarak a ivmesiyle hareket

etmesine karşı koyuşun (etki-tepki) bir ölçüsü olarak görülebilir. mi sabit tutulduğunda,

a ile F doğru orantılı olduğundana ivmesinin artması için F kuvveti artmalıdır. Benzer

şekilde, a sabit tutulduğunda, mi niceliği büyüdükçe F kuvveti artar. İşte bu özellik

nedeniyle F =mi.a eşitliğindeki mi, niceliğine eylemsizlik kütlesi (inertial mass) denir.

İkinci eşitlikteki mg niceliği ise gravitasyon kuvveti ile doğru orantılıdır; mg

büyüdükçe artar. Bu niteliği nedeniyle, bu eşitlikteki mg niceliğine gravitasyon

kütlesi (gravitational mass) denir.

Galilei’den sonra Huygens, Newton, Bessel ve daha başkaları mi ile mg arasındaki

farkı ortaya çıkaracak ölçümler yaptılar. Ama bir cismin eylemsizlik kütlesinin

gravitasyon kütlesinden farkını ölçemediler, hesaplayamadılar. 20.yüzyıl başlarında,

Baron von Eötvös tahta ve platin gibi farklı maddelerle, 109 da 1 duyarlılıkla yaptığı

ölçümler sonunda mi ile mg arasında bir fark bulamadı. 1950/60 yıllarında R. Dicke

tarafından bu ölçümler 1011 de 1 duyarlılıkla tekrarlandı, ama bir fark görülemedi. mi

ile mg arasındaki fark, pratikte hesaplanamayan, ama klâsik mekanikte kuramsal olarak

vardı. Einstein, bu farkın bulunamayışını, görelilik kuramına giden yoldaki kilometre

taşlarından bir başkası olarak yorumlamıştır. Ayrıca buradan, Galileo’nun gözlemle

ulaştığı “bütün cisimler aynı ivmeyle yere düşerler.” yasasının matematiksel kanıtını

elde edebiliyoruz:

                                                            279Kılıçkaya Selami, Temel Fizik, T.C. Anadolu Üniversitesi Yayınları No: 674, 1996, s.27-28 Zor Muhsin, Orhun Önder, Şenyel Mustafa, Tanışlı Murat, Aybek A. Şenol, Aksay Sabiha, Fizik, T.C. Anadolu Üniversitesi Yayınları No: 1060, 1998, s.148-151

168  

M kütlesi olarak dünyayı alırsak ve m kütlesinin gravitasyonu etkisiyle

dünya merkezine doğru, a ivmesiyle çekildiğini varsayalım. Bu durumda,

eşitliğini kurabiliriz. Ortadaki eşitlikte m ‘leri sadeleştirirsek eşitliği çıkar. Bu

da gösteriyor ki, m kütlesinin dünya (M) tarafından çekilmesi esnasında doğan a ivmesi

çekilen m kütlesine bağlı değildir. İşte burası yukarıdaki yasanın matematiksel

kanıtıdır.280

Eğer Newton’nun eylemsizlik yasalarından söz konusuysa, bu Eylemsiz

Konuşlanma Sistemidir (İnertial Frames) ve ivmesiz bir koordinat sistemidir. Yani

Eylemsiz Konuşlanma Sistemi, bir referans noktasına göre sabittir ya da düzgün

doğrusal hareket eder. İçinde eylemsizlik yasasının geçerli olmadığı konuşlanma

sistemlerine ise Eylemli Konuşlanma Sistemi (Noninertial Frames) denir. Bu sistemler,

eylemsiz sistemlere göre bir ivmeye sahip sistemlerdir. Özel Görelilik kuramı, fizik

yasalarının eylemsiz konuşlanma sistemlerinde aynı olduğunu söyler. Genel Görelilik

Kuramı ise, bunu genelleştirir ve fizik yasalarının eylemli sistemlerde de aynı olduğunu

söyler. Bütün eylemsiz sistemlerde fizik yasalarının aynı olduğunu söylemiştik. Yani

bir eylemsiz sistemdeki kurallar diğer eylemsiz sistemlerde de geçerlidir. Eylemli

(ivmeli) sistemlerde Newton’un ikinci hareket yasası (Kütlesi m olan bir cisme

uygulanan F kuvveti ile a ivmesi arasında F=m.a bağıntısı vardır.) geçersizdir. Uzayda

yerküre etrafında dönen bir uzay gemisini düşünürsek, gravitasyon gemiye ve gemi

içindeki her şeye etki eder, ama gemi içindeki hiç bir cisim gemiye göre ivme

kazanamaz.

Görelilik kavramının doğuşunu Galilei’ye kadar götürebiliriz yani Einstein’dan

çok daha öncesine. Newton, görelilik kavramını bilinçle kullanmış ve hareket yasalarını

mutlak uzay ve mutlak zamana göre ifade etmiştir. Einstein’in özel görelilik kuramının

Galilei ve Newton göreliliğinden farkı, uzayın ve zamanın mutlak olamayacağım

söylemesidir. Matematiksel açıdan bakınca, Galilei dönüşümleri yerine Lorentz

                                                            280Karaçay Timur, a.g.e., s.202  

169  

dönüşümünü kullanması ve çıkan sonuca yepyeni bir fiziksel yorum getirmesidir. Tabii,

şimdi basitçe ifadeettiğimiz bu iş, o gün için hayal edilmesi zordu ve Einstein’in bu

büyük hayali 20. yüzyıl başlarında fiziğe bakışımızı bütünüyle değiştiren büyük bir

bilimsel bulgudur.

4. ÖZEL GÖRELİLİK TEORİSİ  

Newton 1727 yılında öldüğünde, geliştirdiği bilim anlayışı ve parçacık kuramı,

bilim topluluklarınca benimsenmeye ve savunulmaya başlandı. Kurama ilgi çok

büyüktü, çünkü olası tüm olguların sadece bu kuram bağlamında açıklanıp

açıklanamayacağı merak ediliyordu. Bu nedenle sonraki 170 yıl boyunca kuram -

Newton Programı adı altında- olgusal ve kavramsal düzeyde ayrıştırılmaya başlandı ve

Newton yasaları ısı, ışık, gazlar kimyası, elektrik ve manyetizma ve benzeri alanlarda

denendi. Bu denemeler büyük oranda başarılı olurken bir yandan da kuramın tıkandığı

noktalar da belirginleşmeye başladı ve sonunda Newton yasalarının belli hız ve

büyüklük sınırları içinde geçerli olduğu ve bunların dışında yetersiz kaldığı anlaşıldı.

Böylece kuramın uygulanamadığı yerlerde yepyeni kuramların ortaya çıkması

kaçınılmaz hale geldi; kuantum mekaniği, görelilik ve ışığın dalga olduğunu savunan

dalga kuramlarının doğuşuna giden yol açılmış oldu. Newton Mekaniği’nin bazı doğa

olaylarını açıklamakta yetersiz kaldığı konulardan bazılarını şu şekilde

sıralayabiliriz:281

1. Işığın bir dalga hareketiyle yayıldığı genel kabul görmüştü, ama o dalgayı

taşıdığı varsayılan ve uzayı dolduran ortamın (ether) var olduğunun kabul

edilmesi çelişki yaratıyordu (Michelson-Morley deneyi).

2. Maxwell’in Elektrik ve Magnetizma denklemleri Newton Mekaniğinin temeli

olan mutlak uzay ve mutlak zaman kavramlarıyla çelişiyordu.

3. Newton hareket yasalarıyla Merkür gezegeninin yörüngesi çok büyük bir

duyarlılıkla hesaplanabiliyordu. Ancak, gözlem sonuçlarıyla hesap sonuçları

arasında beliren küçük ama rahatsız edici bir fark ortaya çıkıyor, ama nedeni

açıklanamıyordu.

                                                            281 Topdemir, Hüseyin Gazi, Isaac Newton Ve Bilim Devrimi, Bilim Teknik Dergisi, 2010/10, s.91 

170  

4. Çok düşük ısıdaki maddeler Newton yasalarına göre hareket etmiyordu.

5. Newton fiziğine göre, sabit ısıdaki bir ocağın sonsuz enerjisi olmalıydı.282

Çözüm yönünde ilk adım Lorentz’den, ikinci önemli adım ise, zamanın ünlü

matematikçisi Poincaré’den geldi. Bu ikisi, birbirlerinden bağımsız olarak, Görelilik

Kuramı için gerekli bütün matematiksel araçları ortaya koymuşlardı. Ama onlar ortaya

koydukları matematiksel formüllere fiziksel anlam veremediler. Onları yorumlayıp,

evrene bakışımızı değiştiren kuramı Özel Görelilik’i 1905 yılında Albert Einstein ortaya

koydu. Bu kuramda Einstein, fizik yasalarının bütün eylemsiz sistemlerde aynı

olduğunu gösterdi. Fizik yasaları evrensel ise, eylemsiz sistemlerde olduğu gibi, eylemli

sistemlerde de aynı olmalıydı. Bunun için gravitasyonu yaratan nedeni bulması

gerekiyordu. Bunu bulması tam 10 yılını aldı. 1915 yılında da Genel Görelilik kuramını

ortaya koydu. Bu iş, 1800 yıllık Aristo evren modelini 1543 yılında Copernicus’in

yıkılışından çok daha görkemli oldu. James C. Maxwell (1831-1879) elektromagnetik

dalgaların ışık hızıyla yayıldığını, başka bir deyişle, ışığın elektromanyetik dalgalar

halinde yayıldığını ortaya koydu. Bu hızın elektrik ve magnetizma alanlarından

tamamen bağımsız bir sabit olduğunu belirledi. Böylece evrensel bir sabiti, ışık hızını,

keşfetmiş oluyordu. [Çok duyarlı deneylerle, ışık hızı c=3xl08 m/sn (yaklaşık 300 000

km/sn) olarak ölçülmüştür.] Galileo’nun Görelilik İlkesi fizik yasalarının her eylemsiz

sistemde aynı olduğunu söylemektedir. Bu ışık hızı için yorumlanırsa, ışık hızının

mutlak olamayacağı, gözlemcinin ve ışık kaynağının içinde bulundukları sistemlere

göre değişeceği anlamına gelmektedir. Yani v hızıyla hareket eden bir cisimden çıkan

ışığın hızı yere göre v+c olmalıdır (bağıl hız gereğince). Ama Maxwell’e göre, bütün

gözlemciler ışık hızını c olarak görecektir. Eğer ışık hızı sonsuz olsaydı, Maxwell’in

bulduğu sonuç Galileo’nun uzay ve zaman sistemi ile çelişmezdi. Ama Maxwell ışık

hızına denk olan elektromagnetik dalgaların hızının sonlu ve sabit olduğunu

belirlemişti. Fizikçiler bu problemin çözümünü araştırmaya başladılar. Acaba bu sorun

evreni dolduran “ether” (bazı kaynaklarda “esir” denilmektedir) denen nesneden mi

kaynaklanıyordu?283

1. Işık elektromagnetik dalgalar biçiminde yayılıyorsa, bu dalgaların oluştuğu

                                                            282 Karaçay, Timur, a.g.e.,s.205-206 283Karaçay Timur, a.g.e., s.207-208 

171  

bir ortam olmalıydı. En geçerli görünen görüş “ether” kuramadı. Ses

dalgalarının yayılabilmesi için hava, su vb. bir ortamın olması nasıl

gerekiyorsa, ışık dalgalarının da boşlukta yayılabilmesi için bir ortama

gereksinimi var olmalıydı. Bütün uzay boşluğunu doldurduğu varsayılan bu

maddeye ether denildi.

2. Maxwell deneylerinin belirlediği ışık hızı ether'e göreli olarak belirleniyor

olmalıydı. Gözlenen ışık hızı Galileo dönüşümü altında olması gerektiğinden

farklı ise (ki bu çok küçük bir farktır), bunun nedeni, fizik kurallarının her

eylemsiz sistemde aynı olmaması değil, gözlemcinin eylemsizlik

konuşlanmasının ether'e göre hareket ediyor olmasıydı.284

Öyleyse, her şeyden önce ether'in varlığını kanıtlamak gerekiyordu.

Beklentilerin aksine, boşlukta ether olmadığı, ışık hızının gözlemcinin hızına (onun

bulunduğu eylemsiz sistemin hızına) bağlı olmadığı, her sistemden aynı hızda

göründüğü kanıtlandı. Ortaya oldukça ilginç bir durum çıkmıştı. Maxwell

denklemlerine Galileo dönüşümü uygulanınca, ışık hızı bir eylemsiz sistemden ötekine

değişiyordu. Ama Michelson & Morley deneyi, ışığın her eylemsiz sistemden aynı

göründüğü sonucunu veriyor ve böylece Maxwell’in deney sonuçlarını doğruluyordu.

Yani ışık, Galileo Görelilik İlkesine uymuyor, her eylemsiz sistemde değişmez

(invariant) c değerini alıyordu.285

Bağıl hızdan dolayı Dünya, ethere göre -v hızıyla gidiyor ise, tersine olarak,

ether, dünyaya göre v hızıyla gidiyor olacaktır. O halde, etheri v hızıyla akan bir ırmak

gibi düşünebiliriz. Dolayısıyla, etherin akış doğrultusuna göre karşı yöne, aynı yöne ve

dikey yöne gönderilecek ışık ışınlarının hızları farklı olmalıdır.

Michelson ve Morley yaptıkları deneyde durumun böyle olmadığını yani ışığın

her yönde hızının aynı olduğunu tespit ettiler. 286 Bağıl hıza göre sonuç böyle

olmamalıydı. Böylece iki durum söz konusu oluyordu: ya dünya dönmüyordu ya da

ether denen nesne yoktu. Dünyanın döndüğü artık kesin olarak bilindiğine göre ether

                                                            284Karaçay Timur, a.g.e.,s.208 285Karaçay Timur, a.g.e.,s.208 286 Sayfa 152’teki şekil, deneyi temsil etmektedir ve açıklaması da sayfa 152’te bulunmaktadır. 

172  

yoktur denilebilir. Ama ortada ciddi bir problem vardı: Işığın hızı neden her eylemsiz

sistemde aynı görünüyordu? Bunun fiziksel yanıtıyla ilgilenmeyen matematikçiler

sorunu kolayca çözdüler. Galilei dönüşümü yerine, ışık hızını koruyan bir dönüşüm

tanımladılar. Hendrik Antoon Lorentz (1853-1928) ışık hızını değişmez (invariant)

kılan bir dönüşüm tanımladı. Henri Poincare, Einstein’in Özel Görelilik Kuramını

yayınlamasından önce, 1904 yılında, aynı işi yapan dönüşüm gruplarını tanımladı ve

sorunu matematiksel açıdan bütünüyle çözdü. Hebert Minkowski’nin kurduğu

geometri, henüz ortaya çıkmayan göreliliğin geometrik modeliydi. Böylece, görelilik

kuramının matematiksel dayanağı hazır duruma gelmişti. Ama ışık hızını sabit gösteren

deneylere ve o hızı sabit kılan matematiksel yapılara fiziksel bir yorum getirilmeliydi.

Bu yorumu 1905 yılında Einstein, Özel Görelilik Kuramı’nı ortaya atarak yaptı ve

böylece fizikte yepyeni ufuklar açtı. Bu ufku açıklayabilmek için Lorentz

dönüşümlerini ya da daha genel olarak Poincaré gruplarını incelemek gerekir. Genelliği

ve estetiği bakımından ikincisi tercih nedenidir. Ama kısalığı nedeniyle burada Lorentz

Dönüşümlerini ele alacağız.287

İlkin Galileo dönüşümlerinden bahsedelim:

O ve O' iki eylemsiz konuşlanma sistemi olsun ve O' sistemi O ya göre sabit v

hızıyla Ox doğrultusunda hareket etsin. Bir P noktasının bu iki sisteme göre

koordinatları, sırasıyla, (x,t) ve (x',t) olsun. Bu koordinatlar arasında

x' = x-vt , t'=t

bağıntısı vardır. Burada, her iki sistemde zaman koordinatlarının (saatlerin) aynı

olduğunu varsayıyoruz (t = t'). O sistemi içindeki bir gözlemciye göre bir t anında bir

cismin yatay eksendeki konumu x = x’ + vt dir. O' sistemi içindeki bir gözlemciye göre

ise aynı t = t'anında cismin yatay eksendeki konumu x' dür. Yukarıdaki bağıntıdan

x = x' + vt , t = t'

yazabiliriz. Galileo dönüşümü denilen bu bağıntıları kullanarak, cismin bir eylemsiz

sistemdeki konumunu biliyorsak, öteki sistemdeki konumunu daima bulabiliriz.288

                                                            287Karaçay Timur, a.g.e., s.209 288Zor Muhsin ve diğerleri, a.g.e., s.6-11 

173  

Başlangıçta O ve O’ çakışıktır. Sonra O’ gözlemcisi sağa doğru sabit v hızıyla hareket

ediyor. Son şekil, O’ ye göre O gözlemcisinin durumunu vermektedir. Galileo

dönüşümleri, birbirlerine göre düzgün doğrusal (sabit hızlı) hareket yapmakta olan

referans sistemlerini ilişkilendiren dönüşümlerdir.

Galileo dönüşümlerini kullanarak, O ve O’ sistemleri için hareketin yörüngesini (yol)

ayrı ayrı yazabiliriz:

x=x(t) =x' + vt ve x' = x'(t) = x - vt

Her iki yolun t zamanına göre ikinci türevleri hareketin K ve K’ sistemleri içindeki

ivmesini verecektir. Bunu yapınca d2x/dt2=d2x'/dt2 çıkar. Demek ki, her iki sistemde

ivmeler birbirlerine eşittir. Düzgün bir hareketi kendi ivmesi belirlediğine göre, O ve

O’ sistemlerinde hareket yasaları aynıdır. Yani buradan fizik yasaları, Galileo

dönüşümü altında değişmezler denilebilir. İşte bu Galileo görelilik ilkesidir.289

O ve O’ konuşlanma sistemlerinin başlangıç noktaları çakışsın ve O’ sistemi O

sistemine göre v hızıyla Ox ekseni boyunca hareket etsin. Başlangıç noktasını

0(0,0,0,0)ile gösterelim. O sistemindeki noktalan (x,y,z,t) ile O’sistemindeki noktaları

da (x’,y’,z’,t’) ile gösterelim. Aşağıdaki denklemlerin tanımladığı dönüşüm Lorentz

dönüşümüdür:

t’= )

x′ γ x υt

                                                            289Karaçay Timur, a.g.e., s.204 

174  

y′ y

z′ z

≡1

Burada γ Lorentz katsayısı ve c ışığın vakum içindeki hızıdır. Şimdi O sistemi

içindeki bir gözlemci Ox ekseni boyunca w hızıyla hareket eden bir cismi gözlesin.

Aynı cismi, O’ sistemindeki gözlemci w’ hızıyla gözlüyorsa, bu ikisi arasında

′

bağıntısı varolacaktır. Şimdi bu bağıntıda O sistemine göre cismin ışık hızıyla hareket

ettiğini düşünelim. w=c değerini eşitlikte yerine koyarsak w’=c çıkar. Demek ki, O

sistemine göre ışık hızıyla hareket eden bir cisim O’ sistemine göre de ışık hızıyla

hareket etmektedir. O halde, Lorentz dönüşümü, Maxwell denklemlerinin Galileo

dönüşümü altında ortaya çıkardığı sorunu çözmektedir. Buradan görüldüğü gibi, bir

eylemsiz sistem ötekine göreli olarak sabit v hızıyla gidiyorsa ve v ˂ c ise, Lorentz

dönüşümü Galileo dönüşümüne indirgenmiş olur. O halde, Galileo dönüşümü, Lorentz

dönüşümünün özel bir halidir. Gerçekten, Maxwell'e kadar Galileo dönüşümüyle bir

sorun yaşanmamış olmasının nedeni, ele alınan v hızlarının ışık hızından çok çok küçük

olmasıdır.290

Buradan, daha önce bahsettiğimiz tren pradoksunun da çözümüne ulaşmış

bulunmaktayız. Aşağıda, bu konunun devamında daha detaylı bilgiye ulaşabiliriz.

Maxwell denklemleri ve Michelson-Morley deneylerinden sonra Lorentz ve

Poincaré ’nin ortaya koyduğu matematiksel çözüme fiziksel bir yorum 1905 yılında

Albert Einstein tarafından Özel Görelilik Kuramı adı altında şu iki postulatı ortaya

koydu:

1. Görelilik İlkesi: Mutlak dinginlik (hareketsizlik) yoktur. Bütün hareketler ya da

hareketsizlikler, gözlenen bir başka nesneye görelidir. Bir cismin dingin halde                                                             290Karaçay Timur, a.g.e., s.210-211 Einstein,a.g.e., s.77-82 

175  

mi, yoksa düzgün doğrusal hareket mi yaptığı mekanik deneylerle ayırt

edilemez. Başka bir deyişle, bir referans noktasına göre sabit duran bir gözlemci

ile o referans noktasına göre düzgün doğrusal hareket eden başka bir gözlemci,

bütün hareket yasalarını aynı algılarlar. Gözlemcilerin hızlarına bağlı olmaksızın

fizik yasaları her eylemsiz sistemde aynıdır.

2. Işık hızı sabittir: Gözlemcilerin birbirlerine göre hızları ne olursa olsun, ışık

hızı bütün gözlemciler için aynıdır.

Einstein Maxwell’in deney sonucunu postülat olarak alırken, deneyden daha

sağlam dayanaklara sahip olmalıydı. O dayanak, Lorentz dönüşümüydü. Lorentz

dönüşümü kullanılırsa, iki hızın toplamı için

1

formülü geçerli olmaktadır. Şimdi, yerdeki bir gözlemciye göre v hızıyla giden bir

arabadan ileriye doğru bir ışık ışını salınsın. v1= c (ışık hızı) ve v2=v (arabanın hızı)

konulursa

1

eşitliği elde edilir.291

Dolayısıyla hiçbir cisim ışıktan hızlı gidemez. Yukarıdaki işlemler sonucunda

Einstein’in postulatının sağlam bir matematiksel dayanağa sahip olduğunu

söyleyebiliriz. Bu varsayımlardan yola çıkan Einstein, Newton Mekaniğinin temeli olan

mutlak uzay ve mutlak zamanın var olmadığını, zamanın ve uzunluğun gözlemcinin

kullandığı konuşlanma sistemine bağlı olarak değiştiğini göstermiş, momentum ve

enerji tanımlarına farklı bir bakış getirmiştir.292 Şimdi bunları açıklamaya çalışalım.

                                                            291Einstein,a.g.e., s.81-82 292Karaçay Timur, a.g.e., s.211-212 

176  

Düz Uzay Zaman (Flat Spacetime)

uzayı iki boyutlu xOy-düzlemi ile zamanı buna dik olan 0t-ekseni ile gösterelim. Bir

olayı uzaydaki bir nokta olarak düşüneceğiz. Galileo uzay ve zaman sisteminde zaman

eksenine dik düzlemler eşanlı olayları belirler; yani xOy-düzlemine paralel bir düzlem

içindeki bütün noktalar eşanlıdır (o olaylar aynı zamanda meydana gelmiştir). Bu

mutlak zaman demektir, çünkü bütün gözlemciler (nerede olurlarsa olsunlar) iki olay

arasındaki zaman farkını aynı göreceklerdir. Einstein-Minkowski uzayzamanı

yukarıdakinden farklı algılanmalıdır. Özellikle, eşanlılık ilkesi tamamıyla farklıdır.

Uzay-zaman kavramını anlamanın zorluklarından birisi, gözümüzde

canlandırmamızı zorlaştıran dört boyutlu olması özelliğidir. İki boyut (bir uzay ve bir

zaman), bir çok amaca pekala hizmet edebilir, ama biz üç boyuta (iki uzay ve bir

zaman) çıkalım. Üç boyut çok iyi bir tablo çizmemizi sağlayacak ve ilke olarak fikirler,

fazla değişikliğe uğramaksızın dört boyuta genellenebilecektir. Bir uzay-zaman

şemasıyla ilgili olarak aklımızdan çıkarmamamız gereken husus, şemadaki her noktanın

bir olayı temsil ettiğidir; başka bir deyişle, her nokta sadece bir an için varolur ve bu

nedenle uzaydaki bir noktanın anlık bir varlığı vardır. Şemanın tümü, geçmişi, şimdiki

hali ve geleceği ile bütün tarihi gösterir. Bir parçacık zaman içerisinde sürekli olduğu

için bir noktayla değil, parçacığın dünya çizgisi adı verilen bir eğriyle temsil edilir.

Parçacık ivmesiz hareket ediyorsa doğrusal, ivmeli hareket ediyorsa eğri olan bu çizgi

parçacığın varlığının tüm tarihçesini belirler. Aşağıdaki şekilde, iki uzay ve bir zaman

boyutlu bir uzay-zaman tasarımlanmıştır. Dikey yönde ölçülen standart bir zaman

koordinatı t, ve yatay ölçülen iki uzay koordinatı / ve / olduğunuvarsayıyoruz.

177  

Merkezdeki koni, uzay-zaman merkezi O'nun (gelecekte) ışık konisidir. Önemini

anlamak için O olayında meydana gelen bir patlama düşünelim. (Böyle bir patlama

uzayınmerkezinde, t = O anında meydana gelmiştir). Patlama sonucu çıkan ışığın tarihi

bu ışık konisidir. İki boyutlu uzayda ışık demetinin tarihi, c ışık hızıyla dışarıya doğru

hareket eden birçember olur. Üç boyutlu uzayda ise bu, c hızıyla dışa doğru genleşen

küre yüzeyi, yani ışığın küresel dalga cephesi olacaktır. Fakat burada y uzay boyutunu

ihmal ettiğimiz için bir çemberelde ederiz. Tıpkı bir havuzun ortasına atılan taşın

düştüğü noktadan kaynaklanan içi içe halkalar şeklinde dalgalar gibi. Bu çemberi bir

uzay-zaman resminde görebilmek için konininyatay kesitlerini alabiliriz. Bu yatay

düzlemlerin her birisi, t zaman koordinatının artan değerlerine karşı gelen değişik uzay

temsilleridir. Görelilik kuramının önemli bir niteliği, hiç bir maddesel parçacığın ışık

hızından daha hızlı hareket edememesidir. Merkezdeki patlamadan çıkan tüm maddesel

parçacıklar ışığın gerisinde kalmalıdırlar. Bunun uzay-zaman cinsinden anlamı,

patlamadan çıkan parçacıkların dünya çizgilerinin ışık konisi içinde kaldıklarıdır.293

P noktasının, üç boyutlu uzayda, O'nun (gelecek) ışık konisinde yeraldığını

varsayalım. Bu durumda OP doğru parçası bir maddesel parçacığın, diyelim patlamayla

oluşan belirli bir parçacığın, geçmişinin bir kısmını temsil edebilir. Minkowski

uzayında, OP doğru parçasının s uzunluğu, dolaysız bir fiziksel yoruma sahiptir.

                                                            293Penrose Roger, The Emperor's New Mind - Concerning Computers, Minds, And The Laws of Physics, Fiziğin Gizemi (Kral’ın Yeni Usu II), Çev: Tekin Dereli, Tübitak Popüler Bilim Kitapları 95,2004s.57-58

178  

Parçacığın O ve P olayları arasında yaşadığı zaman aralığıdır! Başka bir deyişle

parçacık, son derece duyarlı bir saatle donatılı olsaydı, O ve P olaylarında bu saatin

kaydedileceği zamanlar arasındaki fark tam olarak │OP│ değerine eşit olurdu.

Beklentilerin aksine, t koordinat değişkeni, ölçümlenen bu süreyi, saatin koordinat

sisteminde (yani, / , / , / sabit koordinatlarının sabit değerlerinde) olmadığı

sürece belirleyemez. Bunun anlamı, saatin, şemada 'dikey' olarak gösterilen bir dünya

çizgisine sahip olacağıdır. Demek ki 't', yalnız 'durgun' (yani, 'dikey' dünya çizgili)

gözlemciler için 'zaman' bildirir. Hareketli (O merkezinden sabit hızla uzaklaşan) bir

gözlemci için 'doğru' süre ölçümü, özel göreliliğe göre,│ OP│ niceliği tarafından

sağlanır. Bu ölçüm, ölçüm sonucu koordinat değeri t ile verilen 'sağ duyuya' uygun

Galilei-Newton göreliliği anlamındaki ölçümden çok farklıdır. Göreli (Minkowski

anlamında) zaman ölçümü sonucunun, herhangi bir hareket söz konusu olduğunda,

daima t'den biraz küçük olduğuna dikkat edelim. Hareket, (yani, OP'nin tekseni boyunca

yer almaması) koordinat sistemimizde ölçülen t ile kıyaslandığında, saatin 'geri

kalmasını' sağlama eğiliminde olacaktır. Bu hareketin hızı, c'den çok daha küçükse, bu

durumda, │OP│ ve t hemen hemen aynı değeri alacaklardır ve bu hareket halindeki

saatlerin neden geri kaldıklarının' doğrudan farkına varamamamızın nedenini

açıklayacaktır. Minkowski geometrisinin, fiziksel saatlerle ölçülen (veya 'yaşanan')

zaman olarak yorumlanan ilginç 'uzunluk' ölçümü dahil ana yapısı, özel göreliliğin

gerçek özünü içerir. Özel olarak, göreliliğin 'ikizler paradoksu' adı verilen örneğin

çözüm metodu yine Minkowski geometrisine dayanmaktadır. 294

Eşanlılık kavramının göreli oluşunun sonuçlardan birisi şudur: Bir konuşlanma

sistemi içinde eşanlaştırılan (senkronize edilen) saatler başka bir sistem içinden

eşanlaşmamış (senkronize olmamış) görünür. Yani farklı eylemsiz konuşlanma

sistemlerinde zamanın akış hızı farklıdır. Buna zaman genişlemesi (time dilation)

diyoruz.

Ayrıca eşansızlık kavramının sonuçlarından birisi de uzunlukların gözlemciye

bağımlı olarak değişmesidir. Hareket eden bir vagonun uzunluğunu nasıl

hesaplayabiliriz? Eğer arka ucunun iz düşümünü hesaplayıp hemen ön uca giderek

ölçmeye çalışsak ve ne kadar hızlı gidersek gidelim tren bir miktar hareket edeceğinden

                                                            294Penrose Roger, a.g.e., s.61 

179  

trenin boyu normalden uzun hesaplanır. Aynı işlemi ön taraftan yapmaya çalışırsak bu

defa da normalden kısa hesaplanır. Eğer aynı koordinat sistemindeysek bir problem

olmadan ölçümü gerçekleştirebiliriz, yani pratik hayatta bu ölçüm oldukça kolaydır.

Çünkü vagonun iki ucunu da eşanlılıkla ölçebiliriz. Ama farklı koordinat sistemlerinde

eşanlılık yoktur, ölçüm bu kadar basit değildir.

Vagon içindeki gözlemci, vagonun ön ve arkası arasındaki uzunluğu, kendi

koordinat sistemi göre, vagonun ön ve arka duvarlarını eşzamanlı olarak eksen üzerine

izdüşürerek, vagonun uzunluğunu L' olarak ölçsün. Yerdeki gözlemci de kendi kon

sistemine göre, vagonun uzunluğunu L olarak ölçsün. Trenin hızı v ise, Lorentz

dönüşümüne göre L ile L' arasında

′ 1 bağıntısı vardır. Görüldüğü üzere L > V dür. Bu demektir ki, yerdeki

gözlemci hareketli treni daha kısa görecektir. Bunun nedeni, farklı gözlemciler arasında

eşanlılık olamayışıdır. Bu etkiye Lorentz Daralması (Lorentz contraction) denir.

Hareketsiz iken cismin uzunluğuna onun doğal uzunluğu diyoruz. Bir cismin doğal

uzunluğu, hareket halindeki uzunluğundan daha büyüktür. Başka bir deyişle, hareket

eden cisimler (hareket yönünde) daha kısa görünürler. Lorentz Dönüşümü bu

daralmanın oranını vermektedir.295

5. GENEL GÖRELİLİK

Eylemsiz hareketin düzgün doğrusal hareket olduğunu söylemiştik. Eylemsiz

hareket ivmesizdir. İvmesiz hareket eden cisim, bir referans noktasına göre, ya bir

doğru boyunca sabit bir hızla hareket eder ya da hareketsiz durur. Öte yandan, doğada

hareketlerin çoğunluğu eylemlidir, yani ivmeli hareketlerdir. Hızı ya da yönü değişen

her hareket eylemlidir (ivmelidir). Örneğin, üzerinde yaşadığımız dünya eylemli

hareket halindedir. Özel Görelilik Kuramı, fizik yasalarının eylemsiz konuşlanma

sistemlerinde aynı olduğunu söyler. Genel Görelilik Kuramı ise, bunu genelleştirir ve

fizik yasalarının her sistemde (eylemli ya da eylemsiz) aynı olduğunu söyler.296

                                                            295Karaçay Timur, a.g.e., s.216-217 296Einstein, Albert. a.g.e., s.86-91 

180  

Eğer bütün cisimlerin eylemsizlik ve çekim kütleleri eşitse, o zaman bütün

cisimler, şekilleri ve kimyasal yapıları ne olursa olsun yeryüzünde aynışekilde düşerler.

Örneğin, bir çekiç ve tüyü bırakarak düşüşlerini izlediğimizi varsayalım. Dünya, bu iki

cisme kütleleriyle orantılı bir kuvvet uyguluyor, yani tüye daha az, çekice de daha fazla

(çekiç tüyden daha ağır) kuvvet uygular. Buna karşılık bunların ivmesi, ağırlık

kuvvetlerinin kütlelerine bölünmesiyle elde ediliyor. O halde her iki cismin ivmesi aynı

olmalıdır. Dolayısıyla bunları aynı anda bırakırsak, her ikisi de aynı anda yere ulaşır.

Böyle bir şeyin yeryüzünde gözlenememesinin nedeni, havanın düşen cisimlere

uyguladığı sürtünme kuvvetidir. Sürtünme, tüyü çekiçten daha fazla etkilediği için,

tüyün yere daha geç ulaştığını görürüz. Ama Galileo, yaptığı analizlerle sürtünmenin

farkına varmışve eğer bu olmasaydı bütün cisimlerin aynı ivmeyle düşeceğini

söylemiştir. Nitekim Ay’a yapılan Apollo uçuşlarından birinde, öğrencilere gösteri

maksadıyla bu deney gerçekleştirilmiştir.

http://vesuvius.jsc.nasa.gov/er/seh/feather.html (Erişim 14.08.2015)adresinde bu

deneyin filmini görebiliriz. Yeryüzünde yüksek vakumlu ortamlarda da aynı deney

rahatlıkla yapılabilir. Çekiç ve tüy deneyinde dikkat edilmesi gereken önemli bir nokta,

düşüş boyunca bu iki cisim arasındaki uzaklığın sabit kalması. Olayın anlamını daha iyi

kavramak için, bir asansörün içinde bir gözlemci ve birçok cisim bulunduğunu,

asansörün ipinin koparak içindekilerle beraber düşmeye başladığını düşünelim. Asansör

dâhil her şeyaynı ivmeyle düştüğü için, gözlemci içerideki bütün cisimlerin asansöre

göre bulundukları yerde sabit durduklarını görecektir. Buna ek olarak, eğer cisimlerden

birine bir ilk hız verilmişse, bu defa cisim aynı hızını koruyarak hareketine devam

edecektir. Kısacası, gözlemcinin sadece asansörü referans alarak ve dışarıdaki Dünya’yı

düşünmeden yaptığı gözlemler, sanki asansör dış uzaydaymış izlenimini

uyandıracaktır.297

Newton’un mutlak uzay varsayımı eylemsizlik ivmesine (direncine) ve merkezkaç

kuvvetlere dayanır. Newton Mekaniği’nin, bir cismin mg gravitasyon ivmesi ile mi

eylemsizlik ivmesini kuramsal açıdan farklı gördüğünü, ama Eötvös’ün 108 de bir

duyarlılıkla yaptığı deneylerde ikisi arasında pratik açıdan bir fark görülemediğini

söylemiştik. Buna ek olarak, Galilei yasası uyarınca ağır ve hafif cisimler aynı hızla

                                                            297Turgut Sadi, Genel Görelilik, Bilim Teknik Dergisi, 2005/3, s.38-44

181  

yere düşerler. Newton’un gök cisimleri arasındaki F=mMG/r2 çekim kuvvetinden,

çekim ivmesinin cismin m kütlesine bağlı olmadığını söylemiştik. Bütün bunlar bir

arada düşünülünce, bu yasaların hepsini içine alan daha genel bir fizik yasasının

varolduğunu düşünmek doğal olmaktadır. Einstein da böyle düşündü ve yerel olarak:

Gravitasyon = Eylemsizlik = İvme

olduğunu gördü. Eylemsizlik cismin düzgün hareketinin (dingin de olabilir) değişmesini

engellemeye çalışan kuvvettir. Düzgün hareketin değişmesi demek, cismin ivme

kazanması demektir. O halde, eylemsizlik kuvveti ivmeye karşı koyan bir kuvvettir.

Etki-tepki yasası uyarınca eylemsizlik = ivme eşitliği doğal bir sonuçtur, öte yandan,

gravitasyonun etkisinin serbest düşmeyle (eylemsizlik), yerel olarak, yokedilebileceğini

söylemiştik.298

Euclides geometrisinde iki nokta arasındaki en kısa yol “doğru”dur ve uzaklık

bir metrik fonksiyon ile tanımlanır. P(x1,y1,z1) ve O(x2,y2,z2) noktaları arasındaki

uzaklık │PO│= bağıntısıyla bulunur. Bu

metrik katı dönüşümler altında değişmez. Katı dönüşüm deyiminden, öteleme (paralel

kayma) ve dönme dönüşümlerini anlaşılmalıdır. Katı dönüşümler uzunluğu ve açıyı

değiştirmez. Öklit geometrisinde geçerli olan bu kurallar başka geometrilerde başka

biçimlere girebilir. Örneğin, Lizbon’dan Newyork’a gidecek gemi ya da uçak, en kısa

yoldan gitmek isterse, iki kentten geçen paralel daireyi izlemez. Kaptanlar bu iki

kentten geçen büyük çember üzerinde giderler. Bu nedenle, yolcular önce kuzeye doğru

çıkıldığı sonra güneye doğru inildiği izlenimini edinirler. Çünkü küre üzerindeki P

noktasından bir O noktasına giden en kısayol P ve Odan geçen büyük çember yayıdır.

Öklit uzayındaki POdoğrusunun yerini kürede büyük çember yayı almıştır.299

Uzay-zamanda her olayı bir nokta ile gösterirsek işin içine zaman girdiği için,

uzay-zamanda iki nokta arasında Öklid geometrisindekine benzer bir uzaklıktan

sözedemeyiz. Noktalar arasındaki uzaklık terimi yerine, iki olay arasındaki uzay-zaman

aralığı terimini kullanacağız. Buna göre, Δt süresi içinde uzay koordinatlarındaki

değişim Δx, Δy ise, uzay-zaman aralığı aşağıdaki bağıntı ile tanımlanır:

                                                            298Karaçay Timur, a.g.e., s.223 299Karaçay Timur, a.g.e., s.224 

182  

│PO│ Δt Δx Δy Δz

a) Öklid metriği b) Minkowski metriği300

Bu bağıntı Minkowski Metriği 301 diye bilinir. Öklid metriği negatif değer

alamazdı ama Minkowski metriği negatif ve pozitif değerler alabileceği gibi, farklı

olaylar (noktalar) için sıfır değerini bile alabilir. Burada c bir dönüşüm sabitidir ve

pratikte onu ışık hızı olarak kabul edeceğiz. Bu metrikte önemli olan şey, fotonların c

hızıyla gitmesinden çok, koordinat dönüşümleri altında uzay-zaman aralığını değişmez

kılan bir c sabitinin varlığıdır. Başka bir deyişle, (t,x,y,z) eylemsiz sisteminden

(t’,x’,y’,z’) eylemsiz sistemine geçilirse aşağıdaki eşitliği sağlayan bir c sabiti vardır:

│PO│ Δt′ Δx′ Δy′ Δz′

Uzay-zamanda koordinat sistemlerimiz çok sık değişecektir. Koordinat sistemi

değişince, yukarıda tanımlanan Minkowski metriğinin değişmez (invariant) kalmasını

isteriz. O halde, uzay-zamanda hangi dönüşümlerin metriği (uzunluğu) değiştirmediğini

bilmeliyiz. Bu eşitliği sağlayan dönüşümlere Lorentz dönüşümleri denir.302

Einstein, ivmeli hareket eden bir parçacığı ele alarak zaman dilimlerini

durmadan küçültür. Her adımda, zaman dilimlerinin uç noktaları arasındaki hız farkı

                                                            300Şekil için bkz: Penrose Roger, a.g.e., s.60 301Abbott Edwin A.,Açıklamalı Düzülke-Çok Boyutlu Bir Macera, Çev: Barış Bıçakçı, Ayrıntı Yay., 2008, s.387-388 302Einstein, Albert. a.g.e., s.71-74 

183  

giderek küçülür ve zaman dilimlerinin uzunluğunu sıfıra yaklaştıran sürecin (limit

konumu) sonunda anlık hız ortaya çıkacaktır. Anlık hız sabittir, yani cisim ivmesizdir.

Tam bu anda iken cismi bir eylemsiz konuşlanma sistemi içine koyarak Özel Görelilik

Kuramının bütün sonuçlarını o an için uygular. Bu düşünceyle Einstein şu ilkeyi koydu:

“Keyfi bir gravitasyon alanındaki uzay-zaman’ın her noktası için öyle yerel

eylemsiz (serbestdüşen) bir konuşlanma sistemi seçilebilir ki, noktanın yeterince küçük

komşuluğunda doğa yasaları ivmesiz kartezyen koordinat sistemindeki biçimi (form)

alır.”303Einstein, bunlardan sonuçla Genel Görelilik Kuramının, gravitasyonu uzay-

zamanın eğriliği olarak açıkladığını söyler.304

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                            303Einstein,a.g.e., s.94 304Karaçay, a.g.e., s.223-227 

184  

VIII. BÖLÜM

EBU İSHAK EL KİNDİ’NİN ÂLEMİN SONLU OLMASI TEZİNİN İSPATININ MATEMATİKSEL ANALİZİ VE

MANTIKSAL TUTARLILIĞI  

İki litre saf suya iki litre saf alkol eklendiğinde sonuç dört litre alkollü su

değildir. (Ağırlıklar ve Ölçüler Genel Konferansının sekizincisinde 150 C sıcaklığında

2000cm3+2000cm3=3955cm3 olarak alınmıştır). Üç fazlı dağılımda iki amper, iki

amper daha dört amper etmemektedir. (üçgen bağlama üç fazlı motorda

2amp+2amp=3,4641amp’dir). Hızların toplanmasında da, eğer hızlardan biri ışık

hızıysa, alışılmış vektör toplamları burada geçersiz kalmaktadır. Ancak bütün bunlardan

matematiğin toplama yasasının geçersiz olduğu ve daha doğru toplama yasaları bulmak

için deney veya gözlem yapmak sonucu çıkmıyor. Matematiğin biçimsel yapısında

2+2’nin 4 etmesi, yapılan deneylerle tümevarım sonucu ulaşılan bir bilgi değildir ve

matematiğin aksiyomatik yapısından çıkar; burada bu sonucun matematik dışı kalması,

ancak çelişkiye neden oluyorsa olanaklıdır. Matematik ve geometri önermelerinin deney

ve gözlemle yanlışlanacağını düşünmek, matematik ve doğa bilimlerini birbirine

karıştırmak veya bir tutmaktan kaynaklanıyor.305

Felsefeyle arı matematik arasında belli bir yakınlık vardır, bu, ikisinin de genel

ve önsel olmalarından gelir. Matematik göreli basit önermelerden başlayıp,

tümdengelimsel bireşimlerle gitgide daha karmaşık sonuçları kurmaya çalışırken,

felsefe, genel bilgi olmuş verilerden yola çıkarak, onlardan mantıksal çözümlemeyle

elde edilebilecek olan soyut biçimin en basit anlatımları içinde onları arıtıp

genelleştirmeyi arar.

Felsefe ve matematik arasındaki ayrım sayının doğası sorununda da örnek bulur.

İkisi de sayılar üzerine, yoklamayla apaçık görünen belli olgulardan yola çıkar. Ancak

matematik bu olguları, gittikçe daha karmaşık teoremler bulmakta kullanır, oysa felsefe,

çözümlemeyle bu olguların ötesinde, daha basit, daha temelli ve aritmetik biliminin

öncülerine biçim vermeye doğal olarak daha uygun olgulara gitmeyi ister. “Sayı nedir?”

                                                            305 Boll, a.g.e., s.26

185  

sorunu bu konuda en önemli felsefi sorundur, ancak matematikçilerin, sayıların

özelliklerini, kendi teoremlerini çıkarmaya yetecek denli bildikleri zaman, bu biçimiyle

sormaya gerek görmedikleri bir sorudur. Filozoflar, “sayı, çoklukta birliktir” türünden

bulanık bir deyişle yetinmişlerdir. Bu tür tanımlarda çok ilkel bir karışıklık bulunur,

kimi çiçeklerin sarı oluşu yüzünden “sarı, çiçektir” dediğimiz zaman düşmüş olacağımız

türden bir karışıklıktır. Demek ki bu tanım, başka herhangi bir bozukluk bir yana,

gerekli soyutlama derecesine ulaşmış değildir. Bununla birlikte bu tür bulanık tanımlar

bu bulanıkları yüzünden etkisiz kalırlar.306

Bizi yanlışa itecek en önemli nokta bilgisizliktir yani bilgi eksikliğir. Ancak

bilginin var olması kesinlikle doğruyu bulacağımız anlamına gelmez. Bilgiye katılacak

yorum, analiz ve sentez bizi doğruya ulaştırmada bir araçtır ve bu yolda illa ki doğru

yöntem kullanılmalıdır. İbn sina bu konuyu şu şekilde açmaktadır:

“Bilginin zıddı olan cehalet -ki bu, yalnızca kendisiyle birlikte bilginin olmaması

değildir, bunun yanı sıra tıpkı ilmî olmayan ve geometrik olmayanın ikinci anlamında

gerçekleştiği gibi bilginin formuna zıt bir forma inanmaktır, matematik ilimlerde

nadiren gerçekleşir. Çünkü cehalet, bazı sebeplerle gerçekleşir. Bu sbeplerin en açığı,

iki şeydir. Birincisi, kıyasın terimlerinin, özellikle de orta terimin mefhumunun isim

ortaklığı nedeniyle karışmasıdır. Çünkü çoğu aldanma, lafız her iki öncülde de aynı

ama anlam farklı olduğunda, bu sebeple gerçekleşmektedir. İkincisi, telifin durumu ve

sözün şeklinin sonuç vermediği halde sonuç verene benzemesidir.”307

Sayılar üzerine düşünenlerin çoğunun zihinlerindeki şey, sayıların, saymanın

verdiği sonuç olduğudur. Yani sayılar serisini kendiliğinden sonsuza dek uzatma

olanağı kurulmuştur diye düşünülür. İşte, sonsuz sayıların anlaşılmasındaki ruhbilimsel

engel, saymadan kaynaklanan bu sayı görüşüdür. Sayma, alışılmış bir şey olduğundan,

yanlış olarak basit kabul edilmiştir, oysa gerçekte çok karmaşık bir süreçtir ve sayarken

ulaşılan sayıların, kendilerine ulaştıran sürece bağlı olmayan bir anlamı olmadıkça onun

da bir anlamı yoktur ve sonsuz sayılara bu yoldan hiç ulaşılmaz. Yanlışlık, sığırları,

sığır satıcısından alınan şey diye tanımlandığı zamankiyle aynı türdendir. Bir çok sığır

satan kişiyi tanıyıp da hiç sığır görmemiş bir kimseye bu tanım pek uygun görülebilir.

                                                            306 Russell, a.g.e., s.168-169 307İbn Sina, II. Analitikler, s.141 

186  

Ancak bir yolculukta yaban öküzlerine rastlarsa, bunların, hiçbir sığır satıcısınca

satılmadıklarına göre sığır olmadıklarını söyler. Bu durumda sonsuz sayılara da sayı

denmemesi gerekirdi çünkü sayma yolundan bunlara varılamaz. 308

Saymanın gerçekte ne olduğu üzerine biraz duralım. Bir nesne kümesinde, her

ardışık dikkat eylemimizin sırası içinde sayıların adlarını söyleyerek her nesneyi bir kez

görmüş oluncaya dek dikkatimizi nesnelerin birinden ötekine geçirdiğimiz zaman o

kümeyi saymış oluruz. Bu süreçteki son sayı nesnelerin sayısını gösterir ve bu yüzden,

saymak, nesnelerin sayısının ne olduğunu bulmaktır. Ancak bu, gerçekte çok karmaşık

bir işlemdir ve sayının mantıksal kaynağının bu olduğunu düşüneler, çözümlemede

belirgin bir yeteneksizlik göstermiş olurlar. Biz sayarken “bir, iki, üç, …” dediğimizde,

bu sözcüklere bir anlam bağlamadıkça sayılan nesnelerin sayısını öğrendiğimiz

söylenemez. Ayrıca, sayma sürecinde ulaşılan son sayının, sayılan şeylerin sayısı

olduğunu nerden biliyoruz? Bu olguyla ilgili iki öneri var: birincisi, 1’den belli bir

sayıya kadar olan sayıların sayısı o belli sayıdır –mesela 1’den 100’e dek olan sayıların

sayısı 100’dür-. İkincisi, eğer bir sayılar kümesi, her sayı yalnız bir kez geçmek üzere,

bir nesneler kümesinin adları olarak kullanılabilirse, ad olarak kullanılan sayıların

sayısı, nesnelerin sayısının aynıdır. Bu önermelerden birincisi, sonlu sayılar söz konusu

oldukça, kolay bir aritmetik kanıtlamaya uygundur. Ancak sonsuz sayılarda, ilk sonsuz

sayıdan sonra doğruluğu kalmaz. İkinci öneri doğru kalır ve o, gerçekte, göreceğimiz

gibi, sayının tanımının dolaysız bir vargısıdır. Ancak sonsuz sayılarla ilgili olarak ilk

önermenin yanlışlığı yüzünden, sayma, kılgısal bakımdan olabilir bile olsaydı, yine de

bir sonsuz topluluğun terimlerinin sayısını bulmakta sağlam bir yöntem olmazdı ve

gerçekte, içinde yürütüldüğü yönteme göre yanlış sonuçlar verirdi.309

Sonlu sayıların incelenmesinden gelen bir takım zihni alışkanlıklarımız vardır ki

bu bizde mantıksal zorunluluklar oluşturur. Bu anlayışın etkisiyle sonsuz sayılara da

kolayca yaygınlaştırabileceğimizi düşündürürler. Mesela alışkın olduğumuz her sayının

önünde bir başka sayı vardır ve o sayı buna 1 eklenerek oluşur; ancak ilk sonsuz sayının

böyle bir özelliği yoktur. Hatta ilk sonsuz sayıya küçük adımlarla yavaş yavaş

ulaşacağımızı kabul edilirse, bunun kendisiyle çelişik olduğunu göstermek kolaydır. İlk

                                                            308 Russell, a.g.e., s.169-170 309 Russell, a.g.e., s.170-171 

187  

sonsuz sayı sonlu sayıların bitmeyen bütün serisinin ötesindedir. Denilebilir ki, “ancak

bitmeyen bütün bir serinin arkasında bir şey bulunamaz ki”. İşte bu, Zenon’un yarış

yolu ve Akhilleus çıkarımlarında dayandığı ilkenin ta kendisidir diyebiliriz.

Akhilleus’un önünde, koşacağı uzaklığın henüz yarısının bulunduğu an var, böylece tam

bir bitmez seri bulunuyor. Bu serinin ötesinde bitiş ucuna ulaştığı nokta görünüyor.

Ancak bu olgunun beklenenin dışında bir şey olmadığı göstermek gerek.310

Yukarıdaki paragrafta aritmetik aksiyomların oluşturabileceği zihni

alışkanlıklarımız söz konusuydu. Peki, aritmetik aksiyomlardan ziyade geometrik

aksiyomlar için ne denilebilir? Geometrik aksiyomlar ne sentetik a priori

muhakemelerdir ne de deneysel olgulardır. Bunlar, anlaşmalardır, olabilir tüm

anlaşmalar içindeki seçimimiz deneysel olgular tarafından yönlendirilmiştir; ama

seçimimiz özgürdür ve yalnızca her çelişkiyi bertaraf etme zorunluluğu ile sınırlıdır.

Peki, bu soru nasıl cevaplanabilir: Eukleides geometrisi doğru mudur? Ya da kartezyen

koordinatlar doğru kutupsal koordinatlar yanlış mı? Tabi ki, bu soruların hiçbir anlamı

yoktur. Çünkü bir geometri diğer bir geometriden daha doğru olamaz; yalnızca daha

kullanışlı olabilir. Eukleides geometrisi diğer geometriler göre daha kullanışlıdır ve

bunun birkaç nedeni vardır:

1. En yalınıdır; birinci dereceden bir polinomun ikinci dereceden bir

polinomdan daha yalın olması gibi kendi içinde en yalın geometridir.

Dairesel trigonometrinin formülleri düz çizgi trigonometrisinin

formüllerinden daha karmaşıktır ve bunlar geometrik anlamını bilmeyen bir

analiste de böyle gözükecektir.

2. Bu geometri organlarımızın ve gözümüzün yaklaşabildiği ve onlarla ölçü

aletlerimizi yaptığımız cisimler olan katı cisimlerin özellikleriyle oldukça iyi

bir uyum sağlamaktadır.311

Doğa bilimlerinin, nesne olarak olayları ve bu olayları yöneten yasaları vardır;

olanı bilmeyi ve açıklamayı istemektedir. Matematik, olaylardan bağımsızdır ve doğru

olmak için nesnelerin gerçek olması gerekmemektedir. Matematikçi, bir kavram, sayı

                                                            310 Russell, a.g.e., s.163-164 311Cuvillier Armand, Felsefe Yazarlarından Seçme Metinler, Çev.: M. Mukadder Yakupoğlu, Doruk Yay., 2007, S.572 Poincaré Henri, La Science et l’hypothése (Bilim Ve Varsayım), Flammarion, 1909, S.66-67

188  

veya fonksiyon, daire veya üçgen yaratır; tanımın ona verdiği gerçekten başka bir

gerçeğe gereksinmeden onu tanımlar; tanımın kavranabilir olması yeterlidir. Daha

sonra, tanımlamak için seçtiği kavramdan mantıksal olarak kaynaklanan diğer tüm

özellikleri ortaya çıkararak kuramı inşa eder. Bunu hiçbir zaman deneysel bir kanıtı

kullanarak yapmaz çünkü emprik olarak doğru olan şey bundan dolayı matematiksel

olarak doğru değildir. Aslında deney, bir şeyin aşağı yukarı doğru olduğunu,

duyularımızın ve araçlarımızın taşıdığı yaklaşıklık derecesiyle doğru olanı pekala

gösterebilir; ama matematikçi ileri sürdüğü önermelerin mutlak olarak doğru olmasını

ister. Bunun dışında, deney yalnızca bir önermenin doğru olduğunu kanıtlar;

matematikçi için ayrıca önermenin kavranılabilir olması gerekir.

O halde matematikçi, düşüncesinin dışında hiçbir araç olmadan nesnelerin

yalnızca düşüncesinde gerçek olduğu bir bilimi inşa etmiştir. Üçgenin geometrisi

üçgenlerin var olduğunu varsaymamaktadır. Üstelik hiçbir duyarlı dünya olmasaydı,

geometrinin bunun için doğru olma olgusu sona ermezdi.

Fizikçi, varolan, maddi ve duyarlı bir varlığa sahip şeyleri inceler ve durum

elverdiğinde tümdengelimsel çıkarım yapsa ve kanıtlasa da, kanıtlaması tümevarımsal

biçimde kanıtlanmış yasalar olan ilkeleri uygulamaktan ibaret olduğuna göre, ileri

sürdüğü gerçek her zaman sonunda olayların gözlemlerine dayanmaktadır. Yani

fizikçinin nesnesi, olaylardan çok olayları yöneten düzendir. O halde saf matematik ile

doğa bilimleri arasındaki karşıtlık mutlak görünüyor.312

Ama ileri sürüldüğü gibi, matematiksel gerçek ile deneysel gerçek arasındaki

zıtlığın hiçbir mutlaklığı yoksa bundan deneysel gerçeğin, büyük bir oranda,

oluşturulmuş bir gerçek olduğu sonucu çıkmaz mı?

Buradan birkaç sonuç çıkarabiliriz: matematiksel analiz nesneler üzerinden

değil, düşünce yoluyla yapılır ve yukarda Kindî’nin bahsettiği yöntem acaba

matematiksel bir yöntem midir? Bu yöntemin fiziksel olduğunu kabul ettiğimiz

durumda ise oluşturulmuş bir gerçeklikle karşı karşıya gelmiş olmakta mıyız?

                                                            312Cuvillier Armand, a.g.e.,s.573-574 Goblot Edmond, Le Systéme Des Sciences (Bilimlerin Sistemi), Armond Colin, 1922, s.19-22 

189  

Bu tez konusu üzerinde karar kılıp bizi çalışmaya teşvik eden nedenlerden birini

de burada açıklamak isteriz. Sonsuzluk konusunun ele alındığı üst düzey akademik

çalışmalarda bile ciddi hatalar bulunmaktadır. Bu konuda, doktora tezi olarak hazırlanıp

daha sonra kitap haline getirilen bir çalışmayı ele alalım.313 Kindî’nin alem anlayışının

ele alındığı bölümün alt başlığı olan “Alemin Sonluluğu Meselesi” bölümünde,

Kindî’nin alemin sonsuz olamayacağını matematik yöntemiyle açıkladığını ve bunu

yaparken cismin ezeli ve bilfiil sonsuz olamayacağını, sonsuzluğun ancak bilkuvve

olacağını izah ederek, vasıtasız idrak edilebilen aksiyomlardan yola çıktığı iddia

edilmektedir. Ardından “Gerçekte ise bu aksiyomların delile ihtiyacı yoktur. Çünkü bu

aksiyomlar kendiliğinden apaçık olan ve böyle olduğu için diğer mukaddimelere ön

dayanak olan önermelerdir.” 314 şeklinde yapılan açıklamayla bir matematikci olarak

genel anlamda görülen yanlışlığın tekrarlandığını belirtelim. Bu bağlamda, vasıtasız

idrak edilebilen ve delile ihtiyacı olmayan aksiyomlar olduğu iddia edilen bu

önermelerin günümüz matematiği açısından tutarlı olmadığını göstereceğiz. Nitekim

önceki bölümlerde Milli Eğitim Bakanlığı Talim Terbiye Kurulu Başkanlığı’nın

incelemesinden geçmiş matematik kitabındaki sonsuzluk üzerine yapılan hatalara işaret

etmiştik. 315 Bunun doktora seviyesinde yapılan bir çalışmada olması, artık fizik ve

metafizik konularını çalışmanın disiplinler arası işbirliği içinde olmasının elzem

olduğunu düşündürmektedir.

Şimdi bütün bunları Kindî’nin önermelerini ve kanıtlamalarını önceleyerek

inceleyeceğiz. Tabi ilerlerken belli bir yöntemimiz olacak ve matematiğin alt

dallarından (soyut cebir, analiz ve topoloji) yardım alacağız. Öncelikle denklik

bağıntısının tanımı yapılacaktır çünkü Kindî kanıtlamasında doğrulardan

bahsetmektedir ve farklı doğrular üzerinde çalışacaksak onların denk olduğunu

göstermemiz gerekecektir. Hemen ardından eşitlik ve denklik konusuna kısaca

değineceğiz. Kindî, doğrunun içinden parçalar alarak kanıtlamasına devam ettiği için,

acaba bir küme alt kümesine denk olabilir mi sorusuna cevap arayacağız. Ardından

aralıkların topolojik olarak denkliğini inceleyeceğiz. Reel sayılar kümesinin iyi sıralı

                                                            313Şulul, Cevher. Kindî Metafiziği, İnsan Yayınları, İstanbul, 2003 314Şulul, a.g.e., s.74-75 315 107.nolu dipnota bkz. Karakuyu, Erhan. Bağcı, Oktay, Ortaöğretim Matematik 9 Ders Kitabı, Dikey Yayıncılık, Ankara, 2014, s.56

190  

olduğunu gösterip bunun aynı zamanda bir doğruya denk olabileceğini görüp

incelememizi reel sayılar üzerinden sürdürüp konumuzu sonlandıracağız.

Bu aşamadan sonra Kindî’nin kanıtlamasındaki aksiyomları göz önüne alarak

analizimize başlayabiliriz:

Kindî’nin “Birbirinden büyük olmayan aynı cinsten nicelikler eşittir.”

önermesinde geçen eşitlik kelimesi çeviriden kaynaklanan bir problem olabilir. Çünkü

eşitlik yerine “denk”tir kavramı daha uygun düşmektedir. Hatta “Eşit nesneler benzer

sınırları itibariyle boyutları eşit olanlardır.316” cümlesiyle ve “Eşitlik cismin sınırları

içindeki boyutların bilfiil ve bilkuvve aynı olmasıdır. 317 ” Cümlelerinde geçen, eşit

niceliklerin ‘benzer sınırlara’ sahip olması gerekliliği şeklindeki, koşul da yine bir

denklik bağıntısı belirlemektedir.

Neden bu kavramın daha uygun düşeceğini açıklayalım. Matematikte ve başka

bilim dallarında birbirine eşit olmayan, ama eşitliğe benzer niteliklere sahip nesnelerle

sık sık karşılaşırız. Bu tür nesneleri inceleyebilmek için, eşitlik kavramını genişleterek,

denklik kavramını tanımlıyoruz. Eşitlik iki ya da daha fazla cümlenin hem niceliksel

hem de niteliksel yönden birbirlerinin tıpa tıp aynısı demektir. Denklik ise niteliksel

aynı olma durumudur.

Yansıma, simetri ve geçişkenlik özelliklerine sahip bağıntılara, denklik bağıntısı

denir. Bunu simgesel olarak şu şekilde açıklayabiliriz:

X kümesi üzerinde aşağıdaki özelliklere sahip β bağıntısı bir denklik

bağıntısıdır:

x∈ X ⇒xβx (yansımalı)

x,y ∈ X ∧xβy ⇒yβx (simetrik)

x,y,z ∈ X ∧ xβy ∧ yβz ⇒ xβz (geçişken)

                                                            316 Kindî, a.g.e., s.204 317 Kindî, a.g.e., s.208  

191  

Boş olmayan bir A kümesi üzerinde tanımlı bir denklik bağıntısı β olsun. (x,y) ∈

β ise x ve y öğeleri, β bağıntısına göre birbirine denktirler denir ve x≡y ya da x~y

simgelerinden biriyle gösterilir.

Bu tanımlamadan sonra şu iki teoremi inceleyelim:

1- İki denklik sınıfı ya birbirlerine eşittir ya da ayrıktırlar:

x, y ∈ X ⇒ [( V ⋂ ∅ ]

ispat:

[x] ve [y] gibi herhangi iki denklik sınıfı alalım.

a∈ [x] ⋂ [y] ⇒ aβx ∧ aβy ⇒ xβa ∧ aβy olacaktır. Şimdi

∀ b (b∈ [x] ) ⇒ b∈ [y] ⇒ [x] ⊂ [y]

olacağını görebiliriz. Çünkü b∈ [x] demek bβx demektir. Öte yandan xβy

olduğunu gördük. Şu halde,

∀ b (b∈ [x] ) ⇒ bβx ∧ xβy ⇒ bβy ⇒ b∈ [y]

dir. Tamamen benzer şekilde [x] ⊃ [y] olduğu da gösterilir. Şu halde, arakesitleri

boş olmayan her [x], [y] denklik sınıfları özdeş olarak eşittir.

Şimdi X kümesinin herhangi bir { │ ∈ I} ayrışımı verilmiş olsun. Ayrışım

tanımına göre:

α, β ∈ I ∧ α ≠ β ⇒ ⋂ = ∅

olacağından, herhangi bir x ∈ X verildiğinde x ∈ olacak şekilde bir tek α ∈ I

vardır. Buna göre, X üzerinde

x γ y ⇔ [∃α, (α ∈ I) x, y ∈

bağıntısını tanımlayalım, γ’nın bir denklik bağıntısı olduğu ve γ’nın denklik

sınıflarının { │ ∈ I} ailesinden ibaret olduğu kolayca görülebilir.

2- Herhangi bir küme üzerindeki eşitlik, bir denklik bağıntısıdır.

192  

İspat:

X boş olmayan bir küme olsun. Bunun üzerinde,

β= {(x,y) │x = y}

Bağıntısının bir denklik bağıntısı olduğunu göstermeliyiz. Eşitlik Beliti’nden

(a) Her öğe kendisine eşittir; yani x ∈ X ⇒ x = x olduğundan β bağıntısı

yansımalıdır.

(b) (x, y ∈ X) ve x = y ise y = x olduğundan β bağıntısı simetriktir.

(c) (x, y, z ∈ X) için x = y ve y = z ise x=z olduğundan β bağıntısı geçişlidir.

yazılabilir.

Bu durumda, eşitlik bağıntısı aynı zamanda bir denklik bağıntısıdır (2. teorem).

Yani Kindî’nin nicelikleri eşit almasında bir problem yoktur ama doğru olanı “eşitlik”

yerine “denklik” kavramıdır. Bunu şu şekilde açıklayabiliriz: Düzlemde yönleri aynı

olan doğrular (paralel doğrular) nereye yerleşmiş olursa olsunlar birbirlerine denk kabul

edilirler. Eşit olduğunda çakışık doğrulardan yani tek bir şekilden bahsetmiş oluruz.

Ama bu bizim için zorluk teşkil edebilir. Bu yüzden 1. teorem denklik sınıflarının eşit

ya da ayrık olabileceğini söylemektedir. Bunun gibi birçok örnek verilebilir ve bu

durum matematiksel olarak “denklik bağıntısı” kavramıyla temellendirilir. Bu durumda

El Kindî’nin bahsettiği doğruları paralel kabul edebiliriz. Paralellik bağıntısının denklik

bağıntısı olup olmadığını inceleyelim.

Analitik düzlemdeki bütün doğruların kümesi üzerinde, ∥ simgesiyle

göstereceğimiz paralelliği

x∥ y ⇔ [(x = y) ⋁ (x ⋂ y = ∅)]

biçiminde tanımlayalım. Paralellik bağıntısının bir denklik bağıntısı olduğunu

gösterelim.

, düzlemdeki bütün doğruların kümesi olsun.

β= {(x,y) │ (x,y ) ∈ D∧ (x ∥ y) } bağıntısını tanımlayalım. β ’nın denklik

bağıntısı olduğunu görmek için, yansıma, simetri ve geçişme özelliklerine sahip

olduğunu göstermeliyiz.

193  

a) Her doğru kendisine paralel olduğundan, x ∈ D ⇒ x ∥ x olur; yani paralellik

yansıma özelliğine sahiptir.

b) x∥ y ⇒ y ∥ x olduğundan, paralellik bağıntısı simetriktir.

c) x∥ y ∧ y ∥ z ⇒ x ∥ z olduğundan paralellik bağıntısı geçişkendir.

Bu yüzden, düzlemde aynı doğrultuya sahip olan doğrular; yani birbirlerine

paralel olan doğrular, aynı denklik sınıfı içindedirler. Düzlemde, sonsuz doğrultu

olduğu için paralellik bağıntısının sonsuz çoklukta denklik sınıfı vardır.

Diğer taraftan Kindî’nin sisteminde geçen bağıntı ve işlemleri

[¬(x˂y) & ¬ (y˂x)] → (x ~ y)

(biri diğerinden küçük olmayan iki nicelik denktir)

beliti ile belirlediği denklik bağıntısına göre oluşan denklik sınıfları üzerine

taşımaya çalışıldığında bağıntı ve işlemlerin denklik sınıfları üzerinde düzgün

tanımlanmasında sorunlar olduğu görülür.

S≠∅ ve ~ , S üzerinde bir denklik bağıntısı olmak üzere s ∈ S elemanının denklik

sınıfını [s], tüm denklik sınıflarının kümesini S/~ = {[s]: s ∈ S } ile gösterelim. Eğer #,

S kümesi üzerinde ikili bir işlem ise denklik sınıfları üzerinde [s] #/~ [t] = [s#t] şeklinde

tanımlanan ikili #/~ işleminin düzgün tanımlanmış bir işlem olması için [s] #/~ [t]

sonucunun s ve t den bağımsız olması gerekir. Yani, s ~ s’ ve t ~ t’ ise [s] #/~ [t] = [s’]

#/~ [t’] olmalıdır. Aynı şekilde, eğer S üzerinde bir R bağıntısı [s] R /~ [t] ⇔ sRt

şeklinde tanımlayarak S/~ üzerine taşımak istiyorsak ve s ~ s’ ve t ~ t’ ise [s] R /~

[t]⇔[s’] R /~ [t’] olmalıdır.

Nicelikleri arasındaki “büyüklükleri eşit olma” şeklinde tanımlanan denklik

bağıntısının türettiği denklik sınıflarında da nicelikler arasındaki ilişkileri ve nicelikler

üzerindeki işlemleri denklik sınıfları üzerine yukarıdaki şekildeki taşınamadığını

görürüz. Nicelikler arasındaki “parçası olma” bağıntısını S/~ üzerine taşımaya

çalıştığımızda güçlükle karşılaşırız. Yani, s⊂t, s ~ s’ ve t ~ t’ olmasına rağmen s’⊂t’

olmayabilir.318 Örnek olarak P( ) üzerindki eşit büyüklükte (aynı kardinalitede) olma

                                                            318Taşdelen, İskender, Kindî, Sonsuz Nicelikler, Matematik Ve Felsefe İlişkisi Üzerine, Felsefe Tartışmaları 33, Boğaziçi Üniversitesi Yayınları, 2004, s.28

194  

denklik bağıntısını düşünelim. Bu bağıntı altında {0}~{1} ve {0}⊆{0,2} ve

{0,2}~{0,2} olduğu halde {1}⊈{0,2} dir.

Hemen burada şu soruyu sorabiliriz ki bu soru Kindî’nin ispatı için oldukça

mühimdir:

X sonsuz bir kümeyse, X’ten bir eleman atarsak, kalan küme X’e eşlenik (denk)

olur mu? Yani, bir anlamda, sonsuz bir kümeden bir eleman eksildiğinde eleman sayısı

azalır mı? Kindî, sonsuz bir kümeden eleman alarak kanıtlama yaptığı için bu konuya

eğilmek durumundayız.

Konuyu ilkin lokal olarak inceleyelim:

Gerçel sayılar kümesi ve ’den 0 atılmış \{0} kümelerini ele alalım. Acaba

bu iki küme arasında bir eşleme mevcut mudur? Yani ~ \{0} mıdır? Eğer

g(x) = 1, ğ ∈

, ğ ∉

fonksiyonunu ele alırsak, bu fonksiyon ’den \{0} kümesine giden bir eşlemedir.

Şimdi sorumuzu genelleştirip teoremimizi ortaya koyalım:

Eğer X sonsuz bir kümeyse ve x∈X ise X ile X\{x} kümeleri arasında bir eşleme

vardır.

Kanıtlayalım:

X\{x} kümesi sonsuz olduğundan ve her sonsuz küme sayılabilir sonsuzlukta bir

alt küme barındırdığından319X\{x} kümesinin sayılabilir sonsuzlukta bir alt kümesi

vardır. Bu alt kümeye A diyelim ve A’nın elemanlarını

A= {an: n ∈ } olarak numaralandıralım. Şimdi, X ile X\{x} kümeleri arasındaki eşleme

şu şekilde bulunabilir: : X → X\ x fonksiyonunu,

                                                            319 X sonsuz bir küme olsun. Her küme en az bir ordinale eşlenik olduğuna göre X bir α ordinaline eşleniktir. : → bir eşleme olsun. Ya ω ⊆ α ya da α ∈ ω. Ama X sonsuz olduğundan ikinci şık olamaz dolayısıyla ω ⊆ α olur. Şimdi , X’in sayılabilir sonsuzlukta bir alt kümesidir. 

195  

, ğ , ğ

, ğ olarak tanımlayalım. ’nin eşleme olduğu açıkça

ortadadır.

Yukarıdaki teoremimizde X’ten bir eleman atarsak kalan küme X’e eşlenik olur

mu inceledik. Peki ya daha fazla eleman atılırsa eşlenik olur mu? Yani ile arasında

bir eşleme mümkün müdür?

sayılamaz sonsuz320 olduğu için ile arasında bir eşleme yoktur.

Bütün bunlardan iki sonsuz küme arasında bir eşleme (denklik) olamayabilir

diyebiliriz.

Yukarıda doğruların paralelliğinin denk olduğunu gördük ve Kindî’nin

kanıtlamasını doğrular üzerinden sürdürdüğünü biliyoruz. Acaba biz doğrulara denk

olan reel sayılar kümesini ele alarak yolumuza devam edebilir miyiz?

Daha önce sonsuzluğun matematik teki ve fizikteki tanımı bölümünde

bahsettiğimiz Aristoteles’ten kalma, yaklaşık 2350 yıllık çember paradoksu ve

Galileo’nun “uzun çizgi kısa olandan daha fazla noktaya sahip değildir” paradokslarını

tekrar ele alalım. Galileo bu paradoksunu aşağıdaki çizimle açıklıyordu. Ayrıca Galileo

her tam sayının sadece bir tam karesinin olduğuna ve her tam karenin sadece bir pozitif

tam sayının karesi olduğuna işaret etti. Böylece bir bakıma ne kadar pozitif tamsayı

varsa o kadar da tam kare vardır. Bu bizi derhal mantıksal bir çelişkiye götürür. Bu,

bütünün, kendisini oluşturan parçalardan daha büyük olduğu aksiyomuyla çelişir, çünkü

tüm pozitif tamsayılar bir tam kare değildirler ve tüm tam kareler tüm pozitif

tamsayıların bir parçasını oluştururlar. Bu konuya tekrar dönmemizin nedeni gerçel

sayılarla aralıkların eşlenik olup olmadığı konusunu incelemektir. Çünkü Kindî’nin

ispatını bu açıdan da ele almamız gereklidir.

                                                            320 İspat uzun olduğu için ve bu teorem ile ispatı herhangi bir kümeler kuramı kitabında rahatlıkla bulunabileceği için burada verilmemiştir.

196  

Gerçel sayılar kümesinden bir (a,b) aralığı ve bu aralığın boş olmaması için a ˂ b

alalım. Bu aralıkla (0,1) aralığı arasında bir eşleme vardır:

kuralıyla tanımlanmış f fonksiyonu (0,1) ile (a,b) aralığı arasında

bir eşlemedir. İşte cebirsel hali verilen eşlemenin yukarıdakine benzer geometrik şekli:

                                    

Burada, (0,1) aralığı önce ile çarpılarak (0, ) aralığı haline getirilir,

sonra ekleyerek bulmak istenen , aralığı haline getirilir. Bu yöntemle, [0,1] ve

[a,b] gibi kapalı ve sınırlı aralıklar arasında da bir eşleme olduğu anlaşılır. (0,1]

aralığıyla [0,1) arasında da bir eşleme vardır: 1. Şu şekilde de görülebilir:

a b

10x

f(x)

197  

(0,1] ~ (0,1)⋃{1}~(0,1)⋃{0}~(0,1]. Yani yarı açık sınırlı aralıklar arasında da bir

eşleme vardır.

(0,1) açık aralığıyla (0,1] yarı açık aralığı arasında eşleme var mıdır?

2 ğ

12

ğ12

Bu bir eşlemedir. Yani boş olmayan tüm sınırlı aralıklar eşleniktir.

Peki (0,1) ile (0,∞)aralıkları arasında bir eşleme var mıdır?

Evet vardır. 1 bu eşlemenin olduğunu gösterir. 1 fonksiyonu

da (0,1) ile ( ∞,0) aralıkları arasında bir eşleme olduğunu gösterir.

Son olarak (0,1) ile arasında bir eşleme var mıdır?

Evet vardır:

(0,1) ~ (-1,1) = (-1,0)⋃{0}⋃(0,1) ~ ( ∞,0)⋃{0}⋃(0,∞)=

Başka bir çözüm de şudur: | |

fonksiyonu (-1,1) aralığıyla arasında bir

eşlemedir.321

Buradan da tüm boş olmayan, sınırlı ve açık aralıkların topolojik olarak denk

oldukları çıkar. Aynı nedenden, boş olmayan tüm kapalı ve sınırlı aralıklar topolojik

olarak birbirlerine denktirler.

R'de boş olmayan tüm açık aralıklar topolojik olarak birbirlerine denktirler. Aynı

şey kapalı (ya da yarı kapalı yarı açık ), sonsuz ve sınırlı aralıklar için de geçerlidir.322

(X, ≤) bir tam sıralama olsun . Yani ≤ ikili ilişkisi her x, y, z ∈ X için, şu özellikleri

sağlasın:

x ≤x;

x ≤ y ve y≤x ise x = y,

                                                            321Matematik Dünyası Dergisi, Gerçel Sayılarla Aralıklar Eşleniktir, 2006-3, s.36 322Nesin, Ali. Analiz IV, Nesin Yay., 2. Baskı, İstanbul, 2012, s.88

198  

x ≤ y ve y≤z ise x ≤ z,

x ≤ y ya da y ≤ x.

Örneğin X = , , ℚ, olabilir ve sıralama bildiğimiz, ilkokuldan beri aşina

olduğumuz sıralama olabilir, ya da X bir ordinal ya da kardinal olabilir. a, b ∈ X için,

(a, b) = {x ∈X : a< x < b},

(a,∞) = {x ∈X : a< x},

(-∞, b) = {x ∈X : x< b}

ve (-∞,∞) = X tanımlarını yapalım. (Burada x < y, “x ≤ y ve x ≠ y" anlamına

gelmektedir.) Bunlara açık aralık diyelim. Açık aralıkların bileşimi olarak yazılan

kümelere de açık küme" diyelim. Böylece X üzerinde bir topoloji tanımlanmış olur. Bu

topolojiye ≤ sıralaması tarafından üretilmiş sıralama topolojisi denir. 'nin Öklid

topolojisiyle bilinen sıralamasıyla üretilen sıralama topolojisi aynı topolojidir. 323 Bu

durumda biz Kindî’nin teoremini üzerine taşımış oluruz. Yani bundan böyle

kümesi üzerinde çalışacağız.

Dedekind-Cantor ilkesi şunu söyler: bir doğrunun her noktasına bir tek gerçel

sayı karşılık gelir ve her gerçel sayı, doğru üzerindeki bir tek noktayla temsil edilir.

Başka bir deyişle, bir doğrunun noktalarının kümesiyle gerçel sayılar kümesinin

kuvvetleri aynıdır. Bu, bir doğrunun öğeleriyle sayı alanı arasında tam bir karşılıklılık

olduğunu gösteriyor; sonsuz ötesi sayıyla uzay arasındaki yakın özellikleri ortaya

çıkarıyor. Böylece hem sayıya verilen “gerçek” nitelemesi, hem de sonsuzun ötesindeki

ilk kümeye yüklenen “süreklinin kuvveti” nitelemesi doğrulanıyor. Bununla da daha

önce ifade ettiğimiz kaygılar siliniyor. Böylece geometrinin ve sayı ile büyüklük

sorununa indirgenen diğer bilimlerin aritmetikleşmesi tamamlanıyor.324

O halde Kindî’nin ispatını tekrar ele alalım:

“Eğer cisim sonsuz, ondan alınan parça sınırlı ise bu parça alındıktan sonra

geriye kalan sonlu veya sonsuz olacaktır. Eğer sonlu ise, tamamı da sonlu olur. Çünkü

                                                            323Nesin, Analiz IV, s.32 324 Boll, a.g.e., s.69

199  

her biri sonlu olan niceliklerin tamamının sonlu olacağı açıklanmıştı. Buna göre sonlu

olanın sonsuz olması gerekir ki bu bir çelişkidir. Eğer o parça ayrıldıktan sonra geriye

kalan sonsuz ise alınan geri iade edilince önceki haline döner. Oysa yukarıda iki cismin

toplamının, kendini meydana getirenlerden daha büyük olduğu açıklanmıştı. Buna göre

sonsuz olan, ona katılan sınırlı parçayla birlikte tek başına sonsuz olandan daha

büyüktür. İkisi birlikte sonsuz olduğuna göre, sonsuz olan sonsuz olandan daha büyük

demektir. Hâlbuki sonsuz cismin sonsuz cisimden daha büyük olmasının imkânsızlığını

ve biri öbüründen büyük olmayan aynı cinsten iki niceliğin, artırılmazdan önceki

durumuna eşit olmadığı açıklanmıştı. Bu durumda miktarı artırılanla artırılmayan,

nicelik bakımından hem eşittir, hem eşit değildir. Bu ise imkânsız bir çelişkidir.”325

Sonsuz bir kümeden eleman alınca geriye kalan kümenin yine sonsuz olduğunu

görmüştük. Yani kalan kısmın sonlu olması mümkün değildir. Ama en önemli kısım

sonsuz bir kümeye alt kümesi eklendiğinde sonsuzun daha büyük olması konusudur

kiKindî’nin teoreminin temeli budur. Bu temel de iki cismin toplamının, kendini

meydana getirenlerden daha büyük olduğu üzerine kuruludur. Eğer matematiksel olarak

bu ifade doğruysa ve çalıştığımız küme ise bu ifade bütün örnekler için sağlanmalıdır.

Ama biz bunu şu şekilde düşünürsek bunun doğru olmadığı aşikârdır:

(1, ∞) reel sayılar aralığını ele alırsak, bu kümeye (5,1] aralığını eklersek yani

(5,1] ∪ (1, ∞) aralığındaki reel sayılar (1, ∞) aralığındakilerden daha mı büyüktür? Her

iki küme de sayılamaz sonsuz olduğu için birbirinden daha büyük olduğunu

söyleyemeyiz.

Eukleides’e borçlu olduğumuz ve Henri Bergson’un da anımsattığı “bütün,

parçasından daha büyüktür” diye ifade edilen sağduyunun bu doğruluğunu bir kenara

bırakmak zorundayız: Bütün, sonsuz bir küme olduğunda parçasına eşit olabilir.326

Geometri aksiyomları, deneyle ya da gözlemle doğrulanacak ya da yanlışlanacak

veya yaklaşık olan önermeler değildir. Eukleides dışı geometrilerin

kurulabilmelerinden, Eukleides geometrisinin 5. aksiyomunun (ve genelde Eukleides

geometrisinin) yanlış olduğu sonucu çıkmıyor. Yalnızca matematiksel olanaklılık

olarak, Eukleides geometrisinin aksiyomlarından farklı, hatta onların tam karşıtı                                                             325Kindî, a.g.e.,s.199-202 326Boll, a.g.e., s.63

200  

önermelerle, kendi iç tutarlılığı olan (yani tüm teoremlerinin, Eukleides geometrisinde

olduğu gibi herhangi bir çelişkiye yol açmadan kanıtlanabildiği) geometrik dizgeler

kurulabileceği sonucu çıkıyor. Bundan dolayı, Eukleides dışı geometrilerden sonra,

geometriye doğruluk ya da yanlışlık nitelemesinde bulunmak bir kenara bırakılmış,

bunun yerine dizgelerin iç tutarlılıklarının olması öne çıkmıştır. 327

                                                            327Boll, a.g.e.,s.110

201  

SONUÇ

 

Fizik (evren ve insan) ve metafizik (Tanrı) ilişkisinin açıklanması felsefi

düşüncenin teşekkül döneminden itibaren en önemli hususlardan olmuştur. Sophia ve

Philosophia teriminin açıklanmasından itibaren bu konuda birçok filozof kendine ait

görüşler ortaya koymuştur. Özellikle İslam felsefesi açısından söyleyecek olursak,

“Tanrı, varolması için bir başka nedene ihtiyaç duymayan Varlık olarak Evreni

yaratmıştır” hükmü bağlamında İslam felsefesi tarihinde Kindî’den itibaren

tartışılmıştır. Hakikat/gerçek, sonluluk, sonsuzluk, öncesizlik ve sonrasızlık gibi

kavramlar bu bağlamda incelenmiştir. Evrenin mahiyetine dair bu sorular fizik alanın

nasıl anlaşıldığı üzerine çalışan ilimlerin neliğini ortaya koyulmasına neden olmuştur.

Daha sonra dil, düşünce mantık ilişkisi temellendirilmiştir, ardından fizik ve metafizik

ilişkisi ortaya konulmuştur. İlahiyat (medeni ilimler, siyaset, kelam) bu temellendirme

sonuncunda kendisine yer bulabilmiştir.

Evren yaratılmıştır ve sonludur, bir gün yok olacaktır, hükmü, Haşr; yani

yeniden dirilme ve hesap verme süreci açısından önemlidir. Yani Tanrı-Evren ilişkisine

dair fizik inceleme doğrudan metafizik bir temellendirmeye de konu olmaktadır. Evren

yaratılmıştır ve sonludur ile evren yaratılmamıştır/kadimdir ve sonsuzdur önermelerinin

hangisinin tutarlı olacağına dair verilen cevap kişinin Tanrı tasavvurunu da

belirleyecektir. Teist, ateist veya deist, ya da bu önermeyi hiç tartışma konusu

yapmayan bilinemezciler/gnostislerin her biri kendi paradigmasında bu sorunu

müzakere ederler. Aklın mümkün dünya/deney alanı ötesinde bir bilgi koyabilme

imkânı nasıl olacaktır? Ya da evren sonludur önermesine eşit ölçüde geçerli evren

sonsuzdur karşıt önermesini de ileri sürülebilir ve tutarlılığı savunulabilir.

Buradan hareketle aynı anda evren sonludur ve evren sonsuzdur önermelerinin

geçerliliğini savunanların olması ve iki önermenin birbirinin yerine konulamazlık

durumunun geçerliliğini gösterir. Bu bağlamda Kant’ın felsefi düşünceye yaptığı en

önemli katkılardan birisi de uzay ve zamanda evrenin sınırlanması bağlamında evren

sınırlıdır ve evren sınırsızdır önermelerini antinomi diye açıklaması olduğunu

söyleyebiliriz.

202  

İslam düşüncesi açısından bir de evrenin sonu meselesi, yani sonsuz olmadığı

meselesi vardır: Bu noktada Tanrı’nın ezeli ebedi/sonsuzluğu konusunun aslında

sonsuz kavramının tanımına dayandığı bellidir. Yani sonsuz kavramını ontolojik olarak

mı yoksa epistemolojik olarak mı ya da epistemik ontoloji kavramıyla ele almamız

gerekliği bizi her iki önermenin tutarlılığını mukayese etme hususunda biraz daha fazla

bilgi verebilir. Çünkü fizik ve metafizik ilişkisinin kurulmasında anahtar kavram olan

Sonsuzluk kavramının insanlarda müthiş, muazzam, aklımızın alamayacağı kadar

büyüklük duygusunu uyandırdığı bir gerçektir. Bununla birlikte belirli bir bilgi

sistemine içerisine girdiğinde sonsuzluk kavramına yüklenilen anlamın değiştiğini

gördük. Hatta tanımını yapmaya çalışırken bunu üç farklı alanda yani matematikte,

fizikte ve metafizikte ayrı ayrı yapmamız gerekliliği ortaya çıktı.

Eğer Evren yaratılmıştır ve sonludur denilirse, ontolojik olarak bir öncelik ortaya

çıkar, Evren yaratılmamıştır ve sonsuzdur denilirse de, epistemolojik duruşa göre bir

önerme ortaya konulur ki, her iki durum da Kant’ın antinomi/çatışkı anlayışı tekrar

devreye girer. Ama epistemolojik ontoloji anlayışını öne çıkarabilirsek, yani hangi

alanda ve hangi düşünce modeline göre bu kavramsallaştırma analiz ediliyor sorusunu

müzakere edebilirse, bu paradokslara biraz ara verme imkânı ortaya çıkabilir. Zira bütün

bu alanları kapsayacak şekilde bir sonsuzluk tanımı ararken; bir tek alana indirgenmiş

sonsuzluk tanımının olması durumunda karşımıza ciddi problemler çıktığını tezimizde

gözlemledik. İnceleme konusu yaptığımız iki her iki yöntem de bizi net bir çözüme

ulaştıramadı. Bununla birlikte evrenin sonsuz olup olmadığını konusunda yapılan

çalışmalara göre evrenin bir başlangıcı olduğunu anlayabildik.

Bu aşama da matematik disiplini bizlere oldukça geniş bir alan sağlamaktadır.

Çünkü matematik, evrenin dilidir ve metafizik kavramları algılamamızda iyi bir araç

olarak karşımıza çıkmaktadır. Ama yine sonsuzluk söz konusu olduğunda matematikte

de bazı zorluklar karşımıza çıktığını gözlemledik. Aslında matematikte, sonsuzluğu

görmenin ne kadar mümkün olabileceğini inceleyebiliyoruz. Tezin kanaatimize göre

alanına en önemli katkısı bu noktada ortaya çıkmakta, matematikteki sonsuzlukla fizik

dünyadaki sonsuzluğu karşılaştırarak aynı şeyler olmadığını göstermesidir. Bunu Elealı

Zenon’nun teoremlerini analiz ederek net bir şekilde ifade ettiğimiz kanaatindeyiz.

203  

KAYNAKÇA  

Abbott Edwin A. Çev. Barış Bıçakçı, Açıklamalı Düzülke -Çok Boyutlu Bir Macera,

Ayrıntı Yay., İstanbul, 2008

Adamson, Peter. Taylor, Richard C., İslam Felsefesine Giriş, Çev. Cüneyt Kaya, Küre

Yay., 2. Basım, İstanbul, 2007

Akbulut, Kürşat. Akgün, Levent. Matematik ve Sonsuzluk, Kazım Karabekir Eğitim

Fakültesi Dergisi, Sayı 2, Erzurum, 2005

Akçam, Merih. Teker, Ayşegül F., Görsel Sanatlarda Sonsuzluk Düşüncesi, Mantık,

Matematik Ve Felsefe III. Ulusal Sempozyumu, Sonsuzluk ve Görelilik, İstanbul Kültür

Üniversitesi Yay., İstanbul, 2008

Akın, Ömer. Köten, Hacer. Salih Zeki’de Sonsuz Küçük Kavramı, Mantık, Matematik Ve

Felsefe III. Ulusal Sempozyumu, Sonsuzluk ve Görelilik, İstanbul Kültür Üniversitesi

Yay., İstanbul, 2008

Akyol, Aygün. “İslam’da Akli Düşüncenin Kriz Dönemi -Felsefe Karşıtlığı – Şehristani

ve İbn Teymiyye”, İslam Felsefesi Tarihi, Ed.: Bayram Ali Çetinkaya, Grafiker Yay.,

Ankara, 2012

Akyol. Aygün , Şehrezûrî Metafiği, Araştırma Yay., Ankara, 2011

Akyol, Aygün. Şehristani’nin Filozoflarla Mücadelesi, Araştırma Yay., Ankara, 2011

Akyol. Aygün, "Şehristânî ve Felsefe Eleştirisi", Doğu'dan Batı'ya Düşüncenin

Serüveni -İslam Düşüncesinin Altın Çağı-, Proje Ed.: Bayram Ali Çetinkaya, Cilt Ed.:

Eyüp Bekiryazıcı, c. 7, İnsan Yayınları, İstanbul, 2015

Aygün Akyol, "Şehrezûri ve Metafizik", Doğu'dan Batı'ya Düşüncenin Serüveni -İslam

Düşüncesinin Altın Çağı-, Proje Ed.: Bayram Ali Çetinkaya, Cilt Ed.: Eyüp Bekiryazıcı,

c. 7, İnsan Yayınları, İstanbul, 2015

Aristoteles. Fizik. Çev. Saffet Babür, Yapı Kredi Yay., 2. Baskı, İstanbul, 2001

Aristoteles. Metafizik, Çev. Ahmet Arslan, Sosyal Yay., İstanbul, 3. Baskı, 2012

204  

Aristoteles. Politika, Çev. Mete Tunçay, Remzi Kitabevi, İstanbul, 2002

Arslan, Ahmet. İkçağ Felsefe Tarihi 1, Ege Ünv., Basımevi, 1995, İzmir

Aydıner, Ekrem. Sonsuzluk, Görelilik Ve Zenon Paradoksları, Mantık, Matematik Ve

Felsefe, Sonsuzluk Ve Görelilik, III. Ulusal Sempozyumu, İstanbul Kültür Üniversitesi

Yay., İstanbul, 2008

Aydınlı, Yaşar, Farabi’nin Bilgi Anlayışına Genel Bir Bakış, Bilimname IV, 2004/1

Aztekin, Serdar. Matematiksel Bir Kavram Olarak Sonsuzluk ve Ötesi, Tanımları ve

Tarihsel Gelişimleriyle Matematiksel Kavramlar, Pegem Akademi Yay., Ankara, 2013

Barker, Stephen F., Matematik Felsefesi, Çev. Yücel Dursun, İmge Kitabevi, Ankara,

2003

Bayraktar, Mehmet, İlitam, Felsefe, Ankuzem Yayınları, Ankara Üniversitesi

Basımevi, Ankara, 2007

BBC, “Sonsuzluğun Keşfi”, Selin Girit'in yayına hazırlayıp sunduğu dört bölümlük dizi,

BBC Türkçe'de ilk olarak 4-12 Eylül 2007 tarihleri arasında yayımlandı:

http://www.bbc.co.uk/turkish/indepth/story/2007/09/070911_infinity_programmes.shtm

l(Erişim: 27.01.2016)

Bertrand, Russell. Batı Felsefesi Tarihi, Çev. Muammer Sencer, Say Yay., İstanbul,

1893

Bertrand, Russell, Dış Dünya Üzerine Bilgimiz, Çev. Vehbi Hacıkadiroğlu, Kabalcı

Yay., İstanbul, 1996

Bilim ve Teknik Dergisi, Fizik Paradoksları Eki, Nisan, 2008, Ankara

Boll, Marcel, Matematik Tarihi , Çev. Bülent Gözkan, İletişim Yayınları, İstanbul,

2008

Borges, Jorge Luis. Alef, Çev. Tomris Uyar, Peral Bayaz Charum, Fatih Özgüven,

Fatma Akerson, İletişim Y., İstanbul, 2013

205  

Borges, Jorge Luis. Don Quixote Yazarı Pierre Menard, Ficciones Hayaller Ve

Hikayeler, İletişim Yay., İstanbul, 2014

Borges, Jorge Luis. Kum Kitabı, Çev. Yıldız Ersoy Canpolat, İletişim Y., 11. Basım,

İstanbul, 2010

Cevizci, Ahmet. Felsefe, Sentez Yay., Bursa, 2007

Cevizci, Ahmet. Felsefe Sözlüğü, Ekin Yayınları, Bursa, 1996

Cevizci, Ahmet. Felsefe Sözlüğü, Paradigma Yay., İstanbul, 1999

Cevizci, Ahmet. Felsefe Terimleri Sözlüğü, Paradigma Yayınevi, İstanbul, 2003

Cevizci, Ahmet. İlk Çağ Felsefesi Tarihi, Asa Kitabevi, Bursa, 2001

Cuvillier Armand. Felsefe Yazarlarından Seçme Metinler, Çev. M. Mukadder

Yakupoğlu, Doruk Yay., İstanbul, 2007

Çelik, Sara. Modern Felsefe II, T.C. Anadolu Ünv. Yay. No: 2409, Eskişehir, 2013

Çubukçu, İbrahim Agah. İslam Felsefesinde Allah’ın Varlığının Delilleri, Ankara Ünv.

İlahiyat Fak. Yay., Ankara, 1967

Denkel, Arda. Anlaşma: Anlatma ve Anlama İletişim Üzerine Bir Felsefe Araştırması,

Boğaziçi Üniversitesi Yay., İstanbul, 1981

Descartes, R. Metot Üzerine Konuşma, Çev.K.Tahir Sel, Sosyal Yayınları, İstanbul,

1984

Einstein, Albert. Özel Ve Genel Görelilik Kuramı Üzerine, Çev.Aziz Yardımlı, İdea

Yay., İstanbul, 2009

Erdemci, Cemalettin. “Proclus’un Alemin Kıdemine İlişkin Delilleri Üzerine”, Hitit

Üniv. İlahiyat Fak. Dergisi, C. V, Sayı 9, 2006/1

Fahri, Macit. İslam Felsefesi Tarihi, Çev. Kasım Turhan, Şa-To Yay., 2008

Farabi. İdeal Devletin Yurttaşlarının Görüşlerinin İlkeleri, Çev. Ahmet Arslan, Kültür

Bakanlığı Yay., Ankara, 1990

206  

Farabi. İhsa’ül-Ulum, Çev. Ahmet Ateş, Kültür Bakanlığı Yay., Ankara, 1990

Farabi. Kitabu’l-Huruf, Çev. Ömer Türker, Litera Yay., 2. Baskı, İstanbul, 2008

Fazlıoğlu, İhsan. İslam Ansiklopedisi, TDV Yayınları, 1997, İstanbul, c. 16

Gazzali. Filozofların Tutarsızlığı, Çev. Mahmut Kaya, Hüseyin Sarıoğlu, Klasik Yay.,

2012, İstanbul

Goblot Edmond. Le Systéme Des Sciences (Bilimlerin Sistemi), Armond Colin, 1922

Gökberk, Macit. Felsefe Tarihi, Remzi Kitabevi, 6. Basım, İstanbul, 1990

Guedj, Denis. Sayılar İmparatorluğu, Çev. Ömer Aygün, Yapı Kredi Yayınları, Ankara,

2009

Güney, Ahmet Faruk. İslam-Türk Matematik Tarihinde İlk Eser: Salih Zeki’nin Asar-ı

Bakiye’si, Türkiye Araştırmaları Literatür Dergisi, Cilt 4, Sayı 2, 2004

Güney, Zekeriya. Korkmaz, Nebiye. Georg Cantor’un Sonsuzları, Muğla Sıtkı Koçman

Üniversitesi Eğitim Fakültesi Dergisi, Cilt 1, Sayı 1, Mayıs 2014

Güney, Zekeriya. Uzamsal Sonsuzluk Ve Matematiksel Sonsuzluk Üzerine, Mantık,

Matematik Ve Felsefe III. Ulusal Sempozyumu, Sonsuzluk ve Görelilik, İstanbul Kültür

Üniversitesi Yay., İstanbul, 2008

Grünberg, Teo. Onart, Adnan. Vd., Mantık Terimleri Sözlüğü, Metu Pres, 3. Basım,

Ankara, 2003

Hacısalihoğlu, H. Hilmi. Yüksek Boyutlu Uzaylarda Dönüşümler Ve Geometriler,

Bilecik Üniversitesi Yayınları, Bilecik, 2010

Hançerlioğlu Orhan. Felsefe Ansiklopedisi, Kavramlar Ve Akımlar, Cilt 1, Remzi

Kitabevi, İstanbul, 1985

Hançerlioğlu, Orhan. Felsefe Ansiklopedisi, Kavramlar Ve Akımlar, Cilt 6, Remzi

Kitabevi, İstanbul, 1985

Hocaoğlu, Durmuş. Sokrates Öncesi Grek Felsefesi l, Ders Notu, İstanbul, 2007

207  

İbn Rüşd. Faslu’l Makal, Çev. Bekir Karlığa, İşaret Yay., İstanbul, 1992

İbn Sina. Dördüncü Makale Birinci Fasıl, Önce, Sonra Ve Hudus, Metafizik,

Çev.,:Ekrem Demirli, Ömer Türker, Litera Yay., İstanbul, 2004

İbn Sina. İşaretler Ve Tembihler, Çev. Ali Durusoy, Litera Yay., İstanbul, 2005

İbn Sina, Kitabu’ş-Şifa,II. Analitikler, Üçüncü Makale, İkinci Fasıl, Çev. Ömer Türker,

Litera Yayıncılık, İstanbul, 2006

İbn Sina. Kitabu’ş-Şifa,Fizik II, Çev. Muhittin Macit-Ferruh Özpilavcı, Litera Yay.,

İstanbul, 2005

İbn Sina. İlahiyat-ı Şifa,Metafizik, Çev. Ekrem Demirli, Ömer Türker, Vakıflar Genel

Müd. Yay., Ankara, 2011

İhvanı Safa Risaleleri, Ayrıntı Yay., 1. Baskı, İstanbul, 2014, c. 3

İnam, Ahmet, Yaşananın Anlamı Olarak Sonsuz, Mantık Matematik ve Felsefe 3. Ulusal

Sempozyumu, İstanbul Kültür Ünv. Yay., İstanbul, 2008

İzmirli, İsmail Hakkı. İslam’da Felsefe Akımları, Kitabevi Yay., İstanbul, 1995

Karaçay, Timur. Genel Topoloji, Kuban Matbaacılık Yay., Ankara, 2009

Karaçay Timur, Görelilik Kuramının Matematiksel Temelleri, Mantık, Matematik Ve

Felsefe III. Ulusal Sempozyumu, Sonsuzluk Ve Görelilik, İstanbul Kültür Üniversitesi

Yay., İstanbul, 2008

Karaçay, Timur. Matematik Ve Dil, Mantık, Matematik Ve Felsefe, IX.Ulusal

Sempozyumu -Düşüncenin İletişim Aracı Olarak, Edebiyat, Bilim, Sanat Ve Felsefe

Alanlarında: Dil-, İstanbul Kültür Üniversitesi Yay., İstanbul, 2011

Karakuyu, Erhan. Bağcı, Oktay. Ortaöğretim Matematik 9 Ders Kitabı, Dikey

Yayıncılık, Ankara, 2014

Kılıçkaya Selami. Temel Fizik, T.C. Anadolu Üniversitesi Yayınları No: 674, Eskişehir,

1996

Kindî. Felsefi Risaleler, Çev. Mahmut Kaya, Klasik Yay., 2. Baskı , İstanbul, 2006

208  

King, Jerry P. Matematik Sanatı, Çev. Nermin Arık, Tübitak Yay., Ankara, 2010

Koçin, Abdülhakim, Psikofizyoloji Biliminin Kurucusu: El Kindî, Bilim Ve Teknik

Dergisi, 1990 Ekim

Kranz, Walther. Antik Felsefe: Metinler Ve Açıklamalar, Çev. Suat Yakup Baydur,

Sosyal Yayınları, 3. Baskı, İstanbul, 2009

Matematik Dünyası Dergisi, Gerçel Sayılarla Aralıklar Eşleniktir, 2006-3

Musayev, Binali. Alp, Murat. Mustafayev Nizami. Analiz II, Seçkin Yayıncılık, 2.

Baskı, Ankara, 2007

Nesin, Ali. Analiz 1, Nesin Yayıncılık A.Ş.,İstanbul, 2012

Nesin, Ali. Analiz IV, Nesin Yayıncılık A.Ş., 2. Baskı, İstanbul, 2012

Nesin, Ali. Bertrand Russell’ın Paradoksu, Matematik Dünyası Dergisi, 2013 Kış

Nesin, Ali. Matematik Ve Sonsuz, Nesin Yayıncılık A.Ş., İstanbul, 2011

Nutku, Yavuz. Sonsuzluk Ve Görelilik, Matematik Dünyası Dergisi, 2010- IV

Öncel, Ali Osman. Alptekin, Ömer, Fraktal Dağılım Ve Sismolojideki Uygulamaları,

Jeofizik Dergisi, 1-2 1995 / Mart-Eylül, 1995

Öner, Necati. Klasik Mantık, Ankara Üniversitesi Basım Evi, Ankara, 1986

Özalp, Hasan. “Galileo Galilei”, Doğu'dan Batı'ya Düşüncenin Serüveni, Ed. Bayram

Ali Çetinkaya, İnsan Yayınları, 1. Baskı, 2015, c.2

Özemre Ahmet Yüksel. Çağdaş Fiziğe Giriş, İstanbul Üniversitesi Yayınları, 3. Baskı,

İstanbul, 1983

Özkan H. Esra. Kompleks Analiz 1, İstanbul Kültür Ünv., Udes (Örgün Eğitimde

Uzaktan Öğretim Desteği) http://udes.iku.edu.tr/(Erişim 03.12.2015)

Özlem Doğan. Felsefe Ve Doğa Bilimleri, Doğubatı Yay., Ankara, 2008

209  

Özmantar Mehmet Fatih. Bozkurt Ali.Tanımsızlık Ve Belirsizlik: Kavramsal Ve

Geometrik Bir İnceleme,Tanımları Ve Tarihsel Gelişmeleriyle Matematiksel Kavramlar,

Pegem Akademi Yay., Ankara,2013

Paulos, John Allen. Herkes İçin Matematik, Çev. Başak Yüksel, Beyaz Yayınları,

İstanbul, 1998

Penrose Roger. The Emperor's New Mind - Concerning Computers, Minds, And The

Laws of Physics, Fiziğin Gizemi (Kral’ın Yeni Usu II), Çev: Tekin Dereli, Tübitak

Popüler Bilim Kitapları 95, Ankara, 2004

Peterson Michael. Hasker William. Reichenbach Bruce. Basinger David, Akıl Ve İnanç,

Çev. Rahim Acar, Küre Yay., İstanbul, 2012

Poincaré Henri. La Science et l’hypothése (Bilim Ve Varsayım), Flammarion, 1909

Polatoğlu, Yaşar. Şen, Arzu. Yavuz, Emel. Özkan, Esra. Matematiksel Sonsuzluk Ve

Görelilik, Mantık, Matematik Ve Felsefe III. Ulusal Sempozyumu, Sonsuzluk Ve Görelilik,

İstanbul Kültür Üniversitesi Yay., İstanbul, 2008

Ronan Colin A. Bilim Tarihi, Çev. Ekmeleddin İhsanoğlu, Feza Günergun, Tübitak

Yay., Ankara, 2003

Saban G. Analize Giriş, İ. Ü. Fen Fakültesi Basımevi, İstanbul, 1989

Sezgin, Erkut. Sonsuzluk Kavramının İcadından Önce Ve Sonra, Mantık, Matematik Ve

Felsefe III. Ulusal Sempozyumu, Sonsuzluk ve Görelilik, İstanbul Kültür Üniversitesi

Yay., İstanbul, 2008

Sunar, Cavit. İslam Meşşai Felsefesinde İlk Adım, Ankara Üniversitesi Dergisi, Cilt17,

Sayı 1, Ankara, 1969

Şerif M. M. İslam Düşüncesi Tarihi, Cilt 2, İnsan Yay., İstanbul, 1990

Şuhubi, Erdoğan S. Dış Form Analizi, Türkiye Bilimler Akademisi Yay., Ankara, 2008

Şulul, Cevher. Kindî Metafiziği, İnsan Yayınları, İstanbul, 2003

Taslaman, Caner. Din Felsefesi Açısından İzafiyet Teorisi, 2011

210  

Taylan, Necip. Ana Hatlarıyla İslam Felsefesi, Ensar Yay., İstanbul, 2011

Taneri, Kemal Zülfü. Türk Matematikçileri, Derleyen Güven Taneri Uluköse, Cinius

Yay., İstanbul, 2009

Taslaman, Caner. Modern Bilim Felsefe Ve Tanrı, İstanbul Yayınevi, İstanbul, 2008

Taşdelen, İskender. Kindî- Sonsuz Nicelikler, Matematik Ve Felsefe İlişkisi Üzerine,

Felsefe Tartışmaları 33, Boğaziçi Üniversitesi Yayınları, İstanbul, 2004

Topdemir, Hüseyin Gazi. Isaac Newton Ve Bilim Devrimi, Bilim Teknik Dergisi,

2010/10

Turgut, Sadi. Einstein’ın Mucize Yılı - Özel Görelilik, Bilim Teknik Dergisi, Şubat

2005/2

Turgut, Sadi, Genel Görelilik Bilim Teknik Dergisi, 2005 Mart

Ufuktepe, Ünal. Aslan, İsmail, Fraktal Geometri’den Bir Kesit, Matematik Dünyası

Dergisi, 2002, C:11, S:1

Unat, Yavuz. Ortaçağ İslâm Astronomisinde Küre Katmanları Sistemi ve Gökyüzü

Hareketlerin Fiziksel İzahı, XIII. Ulusal Astronomi Toplantısı, 2-6 Eylül 2002, Antalya,

TÜBİTAK Ulusal Gözlemevi

Ural, Şafak, Sonsuzun Kavranılması, Mantık, Matematik Ve Felsefe III. Ulusal

Sempozyumu, Sonsuzluk ve Görelilik, İstanbul Kültür Üniversitesi Yay., 2008

Uyanık, Mevlüt. Akyol, Aygün, İslam Ahlak Felsefesi, Elis Yay., Ankara, 2013

Uyanık, Mevlüt. Akyol, Aygün. Farabi'nin Medeniyet Tasavvuru Ve Kurucu Metni

Olarak İhsau’l-Ulum. Medeniyet Düşünürü Farabi Uluslararası Sempozyumu,

Eskişehir,13-15 Kasım 2014.

https://www.academia.edu/9393626/Mevl%C3%BCt_Uyan%C4%B1k_Ayg%C3%BCn_Akyol_Farabinin_M

edeniyet_Tasavvuru_ve_Kurucu_Metni_Olarak_%C4%B0hs%C3%A2ul‐

Ul%C3%BBm_Medeniyet_D%C3%BC%C5%9F%C3%BCn%C3%BCr%C3%BC_Farabi_Uluslararas%C4%B1_S

empozyum_Eski%C5%9Fehir_13‐15_Kas%C4%B1m_2014 (Erişim 05.01.2016)

211  

Uyanık, Mevlüt. Felsefeyi Anadolu’da Yeniden Yurtlandırmak: İslam Felsefesinin

Günümüzdeki Anlamı Üzerine Bir Deneme, İslamiyat. C.8 Sayı.4. 2005

Uyanık, Mevlüt. Felsefi Düşünceye Çağrı, Elis Yay., Ankara, 2003

Uyanık, Mevlüt, İlk İslam Filozofu Kindî’ye Göre Alemin Mahiyeti Sorunu (Kozmolojik

Bir Meselenin İtikadi Bir Boyut Alması), I. İslam Felsefesi Meseleleri Sempozyumu, 8-9

Kasım, 2002, Ankara

Uyanık, Mevlüt. Tümevarım Meselesi – İbn Sina Merkezli Yeni Bir Okuma, Hitit Üniv.

İlahiyat Fak. Dergisi 2012/1, C. 11, Sayı: 21

Weber, Alfred. Felsefe Tarihi, Çev. H. Vehbi Eralp, Sosyal Yay., İstanbul, 1998

Wittgenstein, Ludwig. TractatusLogico-Philosophicus, Çev. Oruç Aruoba, Yapı Kredi

Yayınları, İstanbul, 2003

Yüksel, Şaziye. Genel Topoloji, Eğitim Yay., Konya, 2011

Zellini, Paolo. Sonsuzun Kısa Tarihi, Çev. Fisun Demir, Dost Yay., 2. Baskı, Ankara,

2011

Zor, Muhsin. Orhun, Önder. Şenyel, Mustafa. Tanışlı, Murat. Aybek A., Şenol.

Aksay, Sabiha. Fizik, T.C. Anadolu Üniversitesi Yayınları No: 1060, Eskişehir, 1998

http://www.mcescher.com/(Erişim:27.01.2016)

http://www.tdk.gov.tr/index.php?option=com_bts&arama=kelime&guid=TDK.GTS.567e6bb9a

b2477.73398675(Erişim:27.01.2016)

http://en.wikipedia.org/wiki/National_Film_Registry(Erişim 12.01.2016)

http://gsf.akdeniz.edu.tr/tr.i226.yrd‐doc‐dr‐oguzhan‐ersumer‐soylesi(Erişim

11.12.2015)

http://www.robertsmithson.com/earthworks/spiral_jetty.htm(Erişim 14.08.2015)

http://www.miasanat.com/SimpleViewer_yagliboya/yagliboya.html(Erişim:27.01.2016

)

212  

http://www.egitim.aku.edu.tr/bilimfelsefesi.pdf