tasa interna de retorno bt

c a p í t u l o

Cálculos de tasa de retornopara un proyecto único

En este capítulo se analiza el procedimiento para calcular correctamente latasa de retorno (TR) para un proyecto basado en una ecuación de valor presenteo de valor anual. Puesto que con frecuencia los cálculos de TR requieren unmétodo de ensayo y error, o un sistema de hoja de cálculo para una soluciónmás rápida, se presentan los procedimientos para estimar la tasa de interésque satisfará la ecuación TR.

Uno de los dilemas del análisis TR radica en que, en algunos casos, habrámúltiples valores para i que satisfarán la ecuación TR. Se explicará la formade reconocer esta posibilidad y el enfoque correcto para obtener el valor TRmediante una tasa de reinversión para los flujos de efectivo netos positivosdel proyecto. En este capítulo se considera solamente un proyecto; sinembargo, en el siguiente capítulo se aplican los principios utilizados aquípara la selección entre dos y más alternativas.

OBJETIVOS DE APRENDIZAJE

Este capítulo ayudará al lector a:

1. Entender las bases de los cálculos de tasa deretorno.

2 . Calcular la tasa de retorno mediante unaecuación de valor presente.

3 . Calcular la tasa de retorno mediante unaecuación de valor anual.

4 . Determinar el máximo número posible devalores de TR para una secuencia de flujo deefectivo no convencional (no simple).

5. Calcular la tasa de retorno compuestamediante una tasa de reinversión determinada.

201

202 CAPíTUlO 7 l Ingeniería económica

7.1 GENERALIDADES SOBRE LA TASA DE RETORNOY su CÁLCULO

Si el dinero se obtiene en préstamo, la tasa de interés se aplica al saldo IZO pagado (insoluto)de manera que la cantidad y el interés total del préstamo se pagan en su totalidad con elúltimõ‘pägó&pi-estamo. Desde la perspectiva del prestamka o &?esTsa,&do eldinero se presta o se invierte, hay un saldo no recuperado en cada periodo de tiempo. Latasa de interés es el retorno sobre este saldo no recuperado, de manera que la cantidad totaly el interés se recuperan en forma exacta con el último pago o entrada. La tasa de retornodefine estas dos situaciones.

Tasa de retorno (TR) es la tasa de interés pagada sobre el saldo no pagado de dineroobtenido en préstamo, o la tasa de interés ganada sobre el saldo no recuperado de unainversión, de manera que el pago o entrada final iguala exactamente a cero el saldo conel interés considerado.

La tasa de retorno está expresada como un porcentaje por periodo, por ejemplo, i = 10%anual. Ésta se expresa como un porcentaje positivo; es decir, no se considera el hecho deque el interés pagado en un préstamo sea en realidad una tasa de retorno negativa desde laperspectiva del prestamista. El valor numérico de i puede moverse en un rango entre -100%hasta infinito, es decir, -100% < i < 03. En términos de una inversión, un retorno dei = -100% significa que se ha perdido la cantidad completa.

La definición anterior no establece que la tasa de retorno sea sobre la cantidad inicial dela inversión, sino más bien sobre el saldo no recuperado, el cual varía con el tiempo. Elsiguiente ejemplo ilustra la diferencia entre estos dos conceptos.

Ejemplo f-1Ejemplo f-1ParaI=ParaI= 10% anual, se espera que una inversi0n de $1000 produzca un flujo de efectivo neto de.10% anual, se espera que una inversi0n de $1000 produzca un flujo de efectivo neto de.$335.47 para cada uuo de 4 afíos.$335.47 para cada uuo de 4 afíos.

A = $1000(M~10%,4) = $315.47A = $lOOO(M~10%,4) = $315.47

Esto representa una tasa de retorno del 10% anual sobre el saldo no recuperado. Calcule la cantidad deEsto representa una tasa de retorno del 10% anual sobre el saldo no recuperado. Calcule la cantidad dela inversión no recuperada para cada uno de los 4 años utilizando (a) la tasa de retorno sobre el saldola inversión no recuperada para cada uno de los 4 años utilizando (a) la tasa de retorno sobre el saldono recuperado y (b) la tasa de retorno sobre la inversiiin inicial de $1 Ooo, (c) Explique por qué toda lano recuperado y (b) la tasa de retorno sobre la inversiiin inicial de $1 Ooo, (c) Explique por qué toda lainversión inicial de $1000 no se recupera de acuerdo con el enfoque de la parte (b).inversión inicial de $1000 no se recupera de acuerdo con el enfoque de la parte (b).

sowrsowrfa) La tabla 7.1 presenta fas cifras del saldo na recuperado para cada año utilizando la tasa del 10%fa) La tabla 7.1 presenta fas cifras del saldo na recuperado para cada año utilizando la tasa del 10%

sobre el saldo no recuperado a principios del año. Despu& de 4 años, Ia inversión total de $lM@ sesobre el saldo no recuperado a principios del año. Despu& de 4 años, Ia inversión total de $lM@ serecupera y el saldo en la columna 6 es exactamente cero.recupera y el saldo en la columna 6 es exactamente cero.

(b] La tabla 7.2 muestra las cifras d& saldo no recuperado si el retorno del 10% se calcula siempre(b] La tabla 7.2 muestra las cifras d& saldo no recuperado si el retorno del 10% se calcula siempresobre la inversión inicial de $lO#. La columna 6 en el año 4 muestra la cantidad no recuperadasobre la inversión inicial de $lO#. La columna 6 en el año 4 muestra la cantidad no recuperadarestante de $138.12, porque en los 4 años solamente se recuperan $861.88 (columna 5).restante de $138.12, porque en los 4 años solamente se recuperan $861.88 (columna 5).

AñoAño

00

11

22

33

44

mm

Saldo inicial noSaldo inicial norecuperadorecuperado

--

$-1,OOO.OO$-1,OOO.OO

-784.53-784.53

-547.51-547.51

-286.79-286.79

(3) = O.lQ(Z)(3) = O.lQ(Z)Me& sobreMe& sobre

saldo nosaldo norecuperadorecuperado

--

$loo.#o$loo.#o

78.4578.45

54755475

28.6828.68

$261.88$261.88

Flujo deFlujo deefectivoefectivo

$-1,000,00$-1,000,00

+315,47+315,47

+315.47+315.47

+31.x47+31.x47

-1-315.47-1-315.47

CantidadCantidadrecuperadarecuperada

--

$215.47$215.47

237.02237.02

260.72260.72

286.79286.79

$1,000.00 <$1,000.00 <

Saldo final noSaldo final norecuperadorecuperado

$-1,000.00$-1,000.00

-784.53-784.53

-547.51-547.51

-286.79-286.79

00

(2)(2)

Saldo hlídal noSaldo hícia~ norecuperadorecuperado

--

$-1,OOO‘OO$-1,OOO‘OO

-784.53-784.53

-569.06-569.06

-353.59-353.59

(3) =tMW2)(3) =tMW2)Mm% sobreInterks sobre

saldo ROsaldo RO

recuperadorecuperado

$100$100

100.100.100100

100100

$400$400

(41(41

Flyjo deFlyjo deefectivoefectivo

$i-1 ,OOO.OO$i-1 ,ooo.oo

+315*47+315*47

d-315.47d-315.47

+315,47+315,47

+315.47+315.47

63) =f4)-(3)63) =f4)-(3)

CantidadCantidadrecuperadarecuperada

--

$215.47$215.47

215.47215.47

215.47215.47

215.47215.47

$861‘8~$861‘8~

(6) = (2) +(6) = (2) + (5)(5)

Saldo final noSaldo final norecuperadorecuperado

$-1,000.00$-1,000.00

-784.53-784.53

-569.06-569.06

-353.59-353.59

-138.12-138.12

204 CAPíTUlO 7 ’ Ingeniería económica

(c) Si se calcula un retorno del fO% cada año sobre la cantidad inicial de $1000 debe obtenerse untotal de $400 de inter&s. Sin embargo, si se utiliza un retorno del 10% sobre el saldo no recuperadosolo se obtiene $261.88 de interés. Hay más Bujo de efectivo anual disponible para reducir lainversic(tn restante cuando se aplica la tasa al saldo no recuperado como en la parte fa) y en la tabla7.1.

Como se definí& antes, la tasa de retorno es la tasa de interés sobre el saldo no recuperado; porconsiguiente, los cálculos en la EaHa 7.1 para ia parte fu) presentan una inteqmetación correcta deUIEU lasa de retonto del 10%. Claramente, una tasa de inter& aplicada ~610 al principal representa unatasa más aIta que fa establecida. En la,prWica, la llamada tasa de inte& sobre el interés, se basa amenudo ~610 en el principal, como en la parte (bj.

Para determinar la tasa de retorno i de los flujos de efectivo de un proyecto, se debedefinir la relación TR. El valor presente de las inversiones o desembolsos, VP, se iguala alvalor presente de los ingresos, VP,. En forma equivalente, los dos pueden restarse e igualarsea cero. Es decir,

VP, = VP,

0 = -VP,i-VP, L7.11

El enfoque de valor anual utiliza los valores VA en la misma forma para resolver para i.

VA, = VA,

0 = -VA, +VA, 17.21

El valor i que hace estas ecuaciones numéricamente correctas es la raíz de la relación TR. Sehace referencia a este valor i mediante otros términos adicionales a la tasa de retorno: tasainterna de retorno (TIR), tasa de retorno de equilibrio, índice de rentabilidad y retorno sobrela inversión (RSI). Éstos se representan por la notación i* (i estrella).

Problemas 7.1 y 7.2

7.2 CÁLCULOS DE LA TASA DE RETORNO UTILIZANDO UNAECUACIÓN DE VALOR PRESENTE

En la sección 2.11, el método para calcular la tasa de retorno sobre una inversión fue ilustradocuando solamente había un factor de ingeniería económica involucrado. En esta sección,una ecuación de valor presente es la base para calcular la tasa de retorno sobre una inversióncuando hay diversos factores involucrados. Para entender con mayor claridad los cálculosde la tasa de retorno, recuerde que la base para los cálculos de la ingeniería económica es laequivalencia, o el valor del dinero en tiempo. En capítulos anteriores se demostró que una

Cálculos de tasa de retorno para un proyecto único 205

cantidad presente de dinero es equivalente a una cantidad más alta a una fecha futura, siempreque la tasa de interés sea mayor que cero. En los cálculos de la tasa de retorno, el objetivo esencontrar la tasa de interés i* a la cual la cantidad presente y la cantidad futura sonequivalentes. Los cálculos hechos aquí son contrarios a los cálculos realizados en capítulosanteriores, donde la tasa de interés i era conocida.

La columna vertebral del método de la tasa de retorno es la relación TR. Por ejemplo, sialguien deposita $1000 ahora y le prometen un pago de $500 dentro de tres años y otro de$1500 en cinco años a partir de ahora, la relación de la tasa de retorno utilizando VP es:

1000 = 5oo(P/F,i*,3) + 15OO(P/F:i”,5) L7.31

donde debe calcularse el valor de i* para hacer que la igualdad esté correcta (Véase figura7.1). Si se trasladan $1000 al lado derecho de la ecuación [7.3], se tiene

0 = -1000 + 5oo(P/F,i*,3) + 15OO(P/F;i”,5) L7.41

La ecuación [7.4] aplica la forma general de la ecuación [7.1], que será utilizada en lafijación de todos los cálculos de la tasa de retorno basados en valor presente. La ecuación seresuelve para i y se obtiene i * = 16.9%. Puesto que, en general, en un proyecto dado, hayentradas y desembolsos involucrados, puede encontrarse un valor de i*; además, la tasa deretorno siempre será mayor que cero si la cantidad total de los ingresos es mayor que lacantidad total de los desembolsos, cuando se considera el valor del dinero en el tiempo.

Debe ser evidente que las relaciones de la tasa de retorno son apenas una reordenaciónde una ecuación de valor presente. Es decir, si se supiera que la tasa de interés anterior era16.9% y se deseara encontrar el valor presente de $500 dentro de tres años y de $1500dentro de cinco años, la ecuación sería:

P = 5OO(P/E 16.9%,3) + 15OO(P/F,16.9%,5) = $1000_ ,bg 1 *;, --~ ,

$1 so0

t

$1 .ooo

Figura 7.1 Flujo de efectivo para el cual debedeterminarse un valor de i.

206 CAPíTULO 7 . Ingeniería económica

la cual se reordena fácilmente en la forma de la ecuación [7.4]. Esto ilustra que las ecuacionesde la tasa de retorno y del valor presente se plantean exactamente de la misma forma. Lasúnicas diferencias están en lo que está dado y en lo que se busca.

Hay dos formas comunes para determinar i* una vez se ha establecido la relación VP: lasolución manual a través del método de ensayo y error, y la solución de computadora travésde la hoja de cálculo. La segunda es más rápida pero la primera ayuda a entender mejor laforma como trabajan los cálculos TR. Aquí y en el ejemplo 7.2 se resumen ambos métodos.

i* utilizando ensayo y error manual. El procedimiento general empleado para calcularuna tasa de retorno utilizando la ecuación de valor presente y cálculos manuales de ensayoy error es el siguiente:

1. Trazar un diagrama de flujo de efectivo.

2. Plantear la ecuación de la tasa de retorno en la forma de la ecuación [7.1].

3. Seleccionar valores de i mediante ensayo y error hasta que la ecuación esté equilibrada.

Al utilizar el método de ensayo y error para determinar i*, es conveniente acercarse bastantea la respuesta correcta en el primer ensayo. Si los flujos de efectivo se combinan, de talmanera que el ingreso y los desembolsos pueden estar representados por un solof’ctor talcomo P/F o P/A, es posible buscar (en las tablas) la tasa de interés correspondiente al valorde ese factor para 12 años, como se analizó en el capítulo 2. El problema, entonces, es combinarlos flujos de efectivo en el formato de uno solo de los factores estándar, lo cual puedehacerse mediante el siguiente procedimiento:

1. Convertir todos los desembolsos en cantidades bien sea únicas (P o F) o cantidadesuniformes (A), al ignorarse el valor del dinero en el tiempo. Por ejemplo, si se deseaconvertir un valor A en un valor F, multiplique simplemente por A el número de años ~1.El esquema seleccionado para el movimiento de los flujos de efectivo debe ser aquelque minimiza el error causado por ignorar el valor del dinero en el tiempo. Es decir, si lamayoría de los flujos de efectivo son una A y una pequeña cantidad es F, la F se debeconvertir en una A en lugar de hacerlo al revés, y viceversa.

2 . Convertir todas las entradas en valores bien sea únicos o uniformes.

3 . Después de haber combinado los desembolsos y las entradas, de manera que se apliquebien sea el formato P/E P/A o A/F, se deben utilizar las tablas de interés para encontrarla tasa de interés aproximada a la cual se satisface el valor P/E PIA o A/F; respectivamente,para el valor apropiado de n. La tasa obtenida es una buena cifra aproximada para utilizaren el primer ensayo.

Es importante reconocer que la tasa de retorno obtenida en esta forma es solamente unaestimación de la tasa de retorno real, ya que ignora el valor del dinero en el tiempo. Elprocedimiento se ilustra en el ejemplo siguiente.


Eiemplo 7.2Si se invierten $5000 ahora en acciones comunes, los cuales se espera que produzcandurante 10 años y $7000 al iktl de estos 10 años,

$100 anualmente¿cuál es la tasa de retorno?

SoluciónUtilice el procedimiento manual de ensayo y error con base en una ecuación Vp:1 La figura 7.2 muestra el diagrama de flujo de efectivo.2 . Use el formato de la ecuación [7.l].

0 = -5000 + lOO(P/A,i*, 10) + 7OOO(P/Ei”, 15)3 . UtiIice el procedimiento de estimación de la tasa de interés a fin de determinar la

ensayo. Todo el ingreso sera considerado como una sola F en eli para el primer

añoutilizarse el factor P/F

10, de manera que pueda

i=? $7,000

$100

1 / 1 1 1

t t j

t r0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 IO

tu,ooo

Figura 7.2 Flujo de efedivo para una inversi0n en acciones, ejemplo 7.2.

EZ factor P/F ha sido seleccionado porque la mayorfa del ffuja de efectivoen este factor y

(es decir,los errores creados porignorarel

$7500)

Solamente para la primera estimación devalor del dinem en el tiempo restante

ya encajaser& minimizados.

i, defina P = $5505, n = 15. =Abora puede plantearse que

y F 15(155) + 7055 = 8555.

5uuu = 8OOO(P~~i,15)(P/f410) = 0,625

La i aproximada está entre 4% y 5%. Por consiguiente, se debe utilizar i = 5%retorno real,

para estimar la tasa de

0 = -5000 + 1OO(P~A,S%,íO) + 7555(P/F,5%,10)0 < $69.46

Este c&lcufo es aGn muy alto por el lado positivo, lo que indica que el retorno es mas del 5%.i = 6%.

Ensaye

5 = -5050 + lOO(P,‘A,6%,10) +0 > $-355.19


Dado que la tasa de interés del 6% es muy alta, interpole entre el 5% y el 6% (sección 2.7) paraobtener:

mn6-c ni* = 5.00 + v7*-r” - v69.46 - f-355.191 (1eo)

= 5.00 + 0.16 = 5.16%

Camfmt arioObserve que para el primer ensayo se tl tílizó 5% en lugar del 4%. Se empleó el valor más alto porque,al suponer que las diez cantidades de-$100 fueran equivalentes a una sola de $1000 en el afro 10, latasa aproximada estimada del factor P/1 0 era más baja que el verdadero valor. Esto se debe al hecho dehaber ignorado el valor del dine :ro en tiempo.

i* utilizando una hoja de cálculo. El procedimiento general basado en una ecuación devalor presente y en una solución de hoja de cálculo es el siguiente:

1. Dibujar un diagrama de flujo de efectivo.2 . Plantear la relación de tasa de retorno en la forma de la ecuación [7.1].3 . Ingresar a la hoja de cálculo los valores del flujo de efectivo exactamente en el mismo

orden en que ocurren.4. Plantear la función de la tasa interna de retorno (TIR) del sistema en la hoja de cálculo

para obtener el i* correcto (preferiblemente con una precisión de dos lugares decimales).

Puesto que la mayoría de las hojas de cálculo utilizan el orden de entrada para determinar elorden y el tamaño de los flujos de efectivo en las relaciones VP, es de vital importancia quese ingresen todos los valores cuidadosamente. Asimismo asegúrese de entrar el ‘0’ en losperiodos donde no hay un flujo de efectivo. El ejemplo 7.2 (hoja de cálculo) ilustra unaaplicación simple de este procedimiento. Para una información adicional sobre el uso de lossistemas de hoja de cálculo Excel (y otros), consulte el Apéndice A.

Ejemplo 7.2(Hoja de cbkulo)Si se invierten $5000 ahora en acciones comunes, los cuales se espera que producirán $100 anualesdurante 10 años y $7000 al final de los 10 años, ¿cuál es la tasa de retorno?

Utilice los pasos procedimentaIes de la hoja de cálculo. En la figura 7.2 se dan los flujos de efectivo.La relación VP es:

0 = -5000 + lOO(P/A,i*, 10) + 7oOO(WG*, 10)Las entradas de la hoja de cálculo se presentan en la figura 7.3, en cuya columna B se muestran losvalores de los años sólo a manera de información, La funcíitn TIR proporciona un valor de H* en lacelda B 13 de i* = 5.168, el cual es el mismo que el valor de ensayo y error. observe que los valores delos años 1 a 10 no son utilizados en la funcion de fa hoja de cálculo, de manera que es muy importanteque los valores del flujo de efectivo hayan sido correctamente ingresados a las celdas.


Ejemplo adicional 7.6Problemas 7.3 a 7.22

7.3 CÁLCULOS DE TASA DE RETORNO UTILIZANDO UNAECUACIÓN DE VALOR ANUAL

De la misma manera como i* puede encontrarse utilizando una ecuación VP, también puededeterminarse mediante la forma VA de la ecuación [7.2]. Este método se preferiere, porejemplo, cuando hay flujos de efectivo anuales uniformes involucrados. El procedimientoes el siguiente:

1. Dibuje un diagrama de flujo de efectivo.

2 . Defina las relaciones para el VA de los desembolsos, VA,, y entradas, VA, con i* comovariable desconocida.

210 CAPiTULO 7 l Ingeniería económica

3 . Defina la relación de la tasa de retorno en la forma de la ecuación [7.2], 0 = -VA, + VA,.

4. Seleccione valores de i por ensayo y error hasta que la ecuación esté equilibrada. De sernecesario, interpole para determinar i*.

Aquí también puede utilizarse el procedimiento de estimación planteado en la sección 7.2para el primer valor de i.

Por tanto, para los cálculos TR se puede escoger VP, VA, o cualquier otra ecuación deequivalencia. En general, es mejor acostumbrarse a utilizar uno solo de los métodos con elfin de evitar errores. Si i* se determina utilizando una hoja de cálculo, es muy probable quesea aproximada con los cálculos basados en VP y no en los basados en VA.

Problemas 7.3 a 7.22

7.4 VALORES MÚLTIPLES DE TASAS DE RETORNO POSIBLES

En las dos secciones anteriores se determinaba un valor i* único de tasa de retorno para lassecuencias del flujo de efectivo dadas. Hasta ahora, en los casos, los signos algebraicos enlosflfíujos de efectivo netos sólo cambian una vez, generalmente, de menos en el año 0 a máspara el resto de los periodos, lo cual se denomina una secuencia convencional (o simple) dej7ujo de efectivo. Si hay más de un cambio de signo, la serie se llama no convencional o nosimple. Como se muestra en los ejemplos de la tabla 7.3, la serie de signos del flujo deefectivo neto positivos o negativos puede tener una longitud de uno o más.


Cz-fi J-1 “ujo de efectivo neto Número de3 4 5 6 camhins de signo

oqyru UCTI c1

Tipo de secuencia 0 1 2

Convencional + + + + + + 1Convencional - - + + + + 1Convencional + + + -+ + - - 1No convencional -- + -/ ,<- + +,, - . 2No convencional + + - - - + + 2No convencional + - - + + + 3

Cuando hay más de un cambio del signo, es decir, cuando el flujo de efectivo neto es noconvencional, es posible que haya valores múltiples de i* en el rango de menos 100% a másinfinito que equilibrarán la ecuación de la tasa de retorno. El número total de valores i* denúmeros reales siempre es menor o igual al número de cambios de signo en la secuencia.Esto se llama la Regla de Descartes y se deriva del hecho de que la ecuación definida por lasecuaciones [7. l] ó [7.2] para encontrar i* es un polinomio de grado ~1. (Es posible determinarque valores imaginarios o el infinito también pueden satisfacer la ecuación). El ejemplo 7.4presenta la determinación y la interpretación gráfica de múltiples posibilidades para la tasade retorno.

Ejemplo 7.4Una compaSa con sed :o durante 3 años, cone en Europa ha mercadeado un aceite lubricante sint&klos siguiekes flujos de efectivo netos en miles de dólares estadounidenses.

Año I Q--.. 1 2 ' 3\

Flujo d e efectivo ($1000) 1 $+2000 ‘I,- -5# -8100 4300

7 50%(a) Grafique el valor del valor presente vcrsus las tasas de interés de 5, 10,20, 30,40 I(b) Determine si la serie del flujo de efectivo es convencional o no con\ _

retorno a partir de la gráfica elaborada en la parte (a).fencional y estime las tasas de

soluclóll(a) La relación VP es:

VP = 2000 - SOO(P/Sí, 1) - 81OO(P/f$,2) + 68OO(PfF,i,3)

Las cantidades de valor presente para cada valor de i son:

i, % 5 10 20 30 40

VP,$ +51.44 -39.55 -106.13 -82.01 -11.85

SU

+&1.85


l

Ejempfo 7.4(Hoja drtr c&uio)Para la secuencia del flujo de efectivo neto no convencional en el ejemplo 7.4, utilice una hoja decálculo para determinar los valores múltiples de i*.

Cálculos de tasa de retorno para un proyecto único 2 1 3

La secuencia puede tener hasta dos valores para los cuales VP = 0, como se ha determinado. La soluci6nLa secuencia puede tener hasta dos valores para los cuales VP = 0, como se ha determinado. La soluci6nde hoja de cíilculo se muestsa en la figura 7.5. Las celdas de la fila 8 indican “posibles” valores de i*,de hoja de cíilculo se muestsa en la figura 7.5. Las celdas de la fila 8 indican “posibles” valores de i*,irqresados en la función Excel TIR. Al ensayar valores diferentes para iniciar la solución, es posihleirqresados en la función Excel TIR. Al ensayar valores diferentes para iniciar la solución, es positrledekrtninar los valores mfiltipfes de i* cuando&tos existen, como se muestra en las celdas de la füa 10.dekrtninar los valores mfiltipfes de i* cuando&tos existen, como se muestra en las celdas de la füa 10.Se indican dos vaSares diferentes: 7.47% y 41.35%. Observe en la celda G8 que es pasible: ingresarSe indican dos vaSares diferentes: 7.47% y 41.35%. Observe en la celda G8 que es pasible: ingresarvalores de ensayo wgativos.valores de ensayo wgativos.

-----_-_- ___-“------_-_- ___-“- -__.--__.- _- ..__- .._ -_-_ - ---. -.--.-- ---. -.--.- -.---.-- -l___-.---.-- -l___ -..-.-----..-.----

r---

_t - +. ^- ..I_-- i_ .- -. .---. .i” - ._-.I, .- ““- - .

“. , ~ - I - -- .-..- -

I

_ - .+ __ .---- ..- -L- -. . . .“._ : ” “I ~ - -. - 4 _.-_I

“_ “. -.- - i-- _- ._--

Una prueba adicional debe aplicarse a una secuencia de flujo de efectivo para determinarsi solamente hay un valor positivo i*, un número real. El criterio de Norstrom establece quecuando hay sólo un cambio de signo en la serie del flujo de efectivo acumulado (sin considerarvalor del tiempo), que empieza negativamente, ello indica que hay una raíz positiva en larelación polinomial. Primero, determine la serie:

Sr= flujos del efectivo acumulado a través del periodo t

Observe el signo de S, y cuente los cambios de signo en la serie S, S, Sn. Para el ejemplo< <7.4,

s, = $+2000 s,= + 1500 s,= -6600 s,= +200

214 CAPíTULO 7 l Ingeniería económica

El primer signo es + y se presentan dos cambios de signo. Estos hechos indican que no hayuna sola i* positiva. Como ya se determinó, hay dos raíces en la ecuación VP: 7.47% y41.35%.

En muchos casos algunos de los valores múltiples de i* parecerán ridículos porque sono muy grandes o muy pequeños (negativos). Por ejemplo, para una secuencia con tres cambiosde signo, los valores de 10, 150 y 750% son difíciles de utilizar en el momento de tomardecisiones prácticas. (Obviamente, una ventaja de los métodos VP y VA para el análisis dealternativas estriba en que las tasas ir-realistas no hacen parte del análisis). Al determinarcuál valor de i* elegir para seleccionar el valor de la TR, es común ignorar los valoresnegativos y grandes o simplemente no calcularlos. Realmente, el enfoque correcto esdeterminar la tasa de retorno compuesta única, como se describe en la siguiente sección.

Si se utiliza un sistema de hoja de cálculo estándar, tal como Excel, éste determinaránormalmente una raíz de un número real, a menos que hayan sido ingresados en secuenciadiferentes cantidades de ‘TR de ensayo’. Este valor i* determinado de Excel es en generaluna raíz valuada en forma realista, porque la i* que resuelve la relación VP está determinadapor el método de ensayo y error incorporado a la hoja de cálculo, empezando con un valoromitido, de ordinario lo%, o con el valor de ensayo suministrado por el usuario, como seilustra en el ejemplo anterior.

Para el lector interesado, hay material adicional disponible de antecedentes sobre elcálculo de múltiples i* y de tasas de retorno introducidos aquí, y en la siguiente sección, enlas referencias después de la sección 7.5.

Ejemplo adicional 7.7Problemas 7.23 a 7.30

7.5 TASA DE RETORNO COMPUESTA: ELIMINACIÓN DEVALORES MÚLTIPLES DE i”

Las tasas de retorno calculadas hasta ahora son tasas que equilibran exactamente los flujosde efectivo positivos y negativos considerando el valor del dinero en el tiempo y parasecuencias convencionales de flujo de efectivo. Cualquier método de medida de valor queexplique el valor del dinero en el tiempo puede utilizarse al calcular esta tasa de equilibrio,tal como VP, VA o VE Independientemente del método que se utilice, la tasa de interésobtenida a partir de estos cálculos se conoce como la tasa interna de retorno, TZR. Expresadoen forma simple, la tasa interna de retorno es la tasa de rendimiento del saldo no recuperadode una inversión, como se definió en la sección 7.1. Los fondos que permanecen sin recuperarestán aún dentro de la inversión, de ahí el nombre de tasa interna de retorno. Los términosgenerales, tasa de retorno y tasa de interés implican en general la tasa interna de retorno. Lastasas de interés citadas o calculadas en capítulos anteriores eran todas tasas internas.

El concepto de saldo no recuperado cobra importancia cuando se generan (arrojan) flujosde efectivo positivos antes del final de un proyecto. Un flujo de efectivo positivo, una vez


generado, se libera o se convierte en un fondo externo al proyecto, y no se considera más enel cálculo de la tasa interna de retorno. Tales flujos de efectivo netos positivos puedenocasionar una secuencia de flujo de efectivo no convencional y valores múltiples de i*,como se analizó en la sección anterior. Sin embargo, hay un método para considerarexplícitamente estos fondos, como se ha planteado en esta sección. Adicionalmente, se haeliminado el dilema de raíces múltiples de i*.

Primero, se examinarán los cálculos de tasa interna de retorno para los siguientes flujosde efectivo: se invierten $10,000 en t = 0, se reciben $8000 en el año 2, y se reciben $9000en el año 5. La ecuación VP que determina i* para la tasa de retorno es:

0 = -10,000 + 8OOO(P/F:i,2) + 9OOO(P/F:i,5)

i = 16.815%

Si se utiliza esta tasa para los saldos no recuperados, la inversión será recuperada exactamenteal final del año 5, como lo verifican los siguientes cálculos.

Saldo no recuperado al final del año 2 inmediatamente antes de recibir $8000:

-1O,OOO(F/p,16.815%,2) = -lO,OOO(l + 0.16815)2 = $ -13,645.74

Saldo no recuperado al final del año 2 inmediatamente después de recibir $8000:

-13,645.74 + 8000 = $ -5645.74

Saldo no recuperado al final del año 5 inmediatamente antes de recibir $9000:

-5645.74(F/I 16.815%,3) = $ -8999.47

Saldo no recuperado al final del año 5 inmediatamente después de recibir $9000:

$-8999.47 + 9000 = $0.53 (considerando el error de aproximación)

En este cálculo no se consideran los $8000 disponibles después del año 2. Por consiguiente,una buena pregunta es: ¿Qué sucede si se consideran los fondos liberados de un proyecto alcalcular la tasa de retorno global de éste? Después de todo, algo debe hacerse con los fondosliberados. Una posibilidad es suponer que el dinero se reinvierte a alguna tasa establecida.Una segunda es suponer simplemente que las reinversiones ocurren a la TMAR, si ésta esuna tasa factible para dicho propósito. Además de dar cuenta de todo el dinero liberadodurante el periodo del proyecto y reinvertido a una tasa realista, el enfoque analizado enseguida tiene la ventaja de convertir una secuencia de flujo de efectivo no convencional (convalores múltiples de i*) en una secuencia convencional con una raíz, que puede serconsiderada como la tasa de retorno para tomar una decisión sobre un proyecto.

La tasa de ganancias utilizada para los fondos liberados se llama la tasa de reinversión,simbolizada por c. Esta tasa, establecida por fuera del proyecto particular que está siendoevaluado (o externa a éste), depende de la tasa disponible en el mercado para inversiones. Siuna compañía está obteniendo, por ejemplo, 8% en sus inversiones diarias, entonces


c = 8%. Puede ser práctico fijar c igual a la TMAR ya establecida. Ahora, la tasa de interésque satisface la ecuación de la tasa de retorno se llama la tasa de retorno compuesta (TRC)y será simbolizada por i’. Por definición:

La tasa de retorno compuesta, i’, es la tasa de retorno única para un proyecto que suponeque los flujos de efectivo netos positivos, que representan dinero no requeridoinmediatamente por el proyecto, son reinvertidos a la tasa de reinversión c.

El término compuesto se utiliza aquí para describir dicha tasa de retorno porque ésta seobtiene utilizando otra tasa de interés, a saber c, la tasa de reinversión. Si c resulta ser iguala cualquier otro de los valores i*, entonces la tasa compuesta i’ será igual a ese valor de i*.La TRC es conocida, entre otros términos, como retorno sobre el capital invertido (RCI) ytasa externa de retorno (TER).

El procedimiento correcto para determinar i’, denominado procedimiento del proyectode inversión neta, se resume a continuación. La técnica permite encontrar el valor futuro dela cantidad de inversión neta en un periodo (ano) futuro. Encuentre el valor de la inversiónneta del proyecto Ft en el año t a partir de F*- 1 utilizando el factor F/P para un año a la tasade reinversión c si la inversión neta anterior Ft- 1 es positiva (dinero extra generado por elproyecto), o a la tasa TRC i’ si Ft _ 1 es negativa (el proyecto utilizó todos los fondosdisponibles). Matemáticamente, para cada año t establezca la relación:

Fr = Ftm, (1 + i) + Ct [7-51

dondet= 1,2,...,nn = total de años en el proyecto

Ct = flujo de efectivo neto en el año t

i

C s’F,-1 > 0 (inversión positiva neta)i= .>1 siF,-, <O (inversión negativa neta)

La ecuación para F, obtenida utilizando este procedimiento se ha fijado igual a cero y se haresuelto para i’por computador o por el método manual de ensayo y error. El valor i ’ obtenidoes único para una tasa de reinversión establecida c.

Para una tasa de reinversión c del 15% se ilustra el desarrollo de F, hasta F3 para lasecuencia siguiente de flujo de efectivo, que está graficada en la figura 7.6a.

Año Flu.io de efectivo, $

0 501 -200

2 50

3 100

La inversión neta para el año t = 0 es:F, = $50


100

:~~~-!/-

‘. 142.50(1 + i’)

200Ca) (b) (cl

Figura 7.6 Secuencia del fluio de efectivo por la cual se calcula la tasa de retorno compuesta i’:(al forma original, (b) forma equivalente en el año 1, y (c)forma equivalente en el año 2.

la cual es positiva, de manera que rinde c = 15% durante el primer año. Mediante la ecuación[7.5], F, es:

F,= 50(1 + 0.15) - 200 = $-142.50

Este resultado se muestra en la figura 7.6b. Dado que la inversión neta del proyecto es ahoranegativa, el valor F, obtiene un interés a la tasa i’ durante el año 2. Por consiguiente, para elaño 2,

F2 = F, (1 + i’) + C, = -142.50(1 + i’) + 50

El valor i’ debe determinarse. Comoquiera que F2 será negativo para todos los i’ > 0, utilicei’ para fijar F3 como se muestra en la figura 7.6~.

F, = F,(l + i’) + C, = [-142.50(1 + i’) + 50](1 + i’) + 100 L7.61

Al definir la ecuación [7.6] igual a cero y resolviendo para i’, resultará la tasa de retornocompuesta i’. Si hubiera habido más expresiones F,, i’ sería utilizada en todas las ecuacionesposteriores (véase ejemplo 7.8). El procedimiento del proyecto de inversión neta paraencontrar i’ puede resumirse de la siguiente manera:1. Trace un diagrama de flujo de efectivo de la secuencia original del flujo de efectivo neto.

2. Desarrolle la serie de inversiones netas del proyecto utilizando la ecuación [7.5] y elvalor establecido de c. El resultado es la expresión Fn en términos de i’.

3. Defina la expresión F, igual a cero y encuentre el valor i’ para equilibrar la ecuación.Vienen al tema diversos comentarios. Si la tasa de reinversión c es igual al valor de la

tasa interna de retorno i* (o sólo a uno de los valores de i* cuando hay múltiples), la i’ quees calculada será exactamente la misma que i*, es decir c = i* = i’. Cuanto más cercano estéel valor de c a i’, menor será la diferencia entre las tasas compuesta e interna. Es razonable


suponer que c = TMAR, si todos los fondos extra del proyecto pueden obtener de manerarealista la tasa TMAR.

A continuación se resumen las relaciones entre c, i’, e i*; asimismo en el ejemplo 7.5 sedemuestran las relaciones.

Relación entre tasa Relación entre TCR i’

de reinversión c y TIR i* y TIR i”

c = i* i’ = i*

c < i* i’ < i*

c> i * i’ > i*

Recuerde: El procedimiento completo es necesario sólo en la eventualidad de que se indiquenvalores múltiples de i*, como se analizó en la sección 7.4 Los valores múltiples de i* sepresentan cuando una secuencia no convencional de flujo de efectivo no tiene una raíz positiva,como lo determina el criterio de Norstrom. Además, ninguno de los pasos en esteprocedimiento se aplica si el método de valor presente o de valor anual se utiliza de modocorrecto para evaluar un proyecto, en la forma presentada en los capítulos 5 y 6,respectivamente.

Calcule la tasa de retorno compuesta para la inversión en aceite lubricante sintético del ejemplo 7.4 sila tasa de reinversión es (a) 7.47% y (b) 20%.

Solución(a) Utilice el procedimiento expresado arriba a fin de determinar i’para c = 7.47%.

1. La figura 7.7 muestra el flujo de efectivo original.2. La primera expresión del proyecto de inversión neta es Fo = $+2000. Dado que Fo > Q, se

puede utilizar c = 7.47% para escribir F, por la ecuación [7,5].F, = 2000( 1.0747) - 500 = $1649.40

Nuevamente, F,> 0, por tanto, use E = 7.47% para determinar F,.F, = 1649.40( 1.0747) - 8100 = $4327.39

La figura 7.8 muestra el flujo de efectivo equivalente en este momento. Puesto que Fz < 0,utilice i’ para expresar F3.

F,= -6327.39(1+ i’) + 6800

3. Defina F, = 0 y resuelva para i’ directamente.

-6327.39(1 + i')+ 6800 = 0

l+i’ = 68006327.39

= 1.0747

1 <’ = 0.0747 (7.47%)

Cálculos de tasa de retorno para un proyecto único 2 1 9

$6,800A

Año1

0iti -

2 3$5

4$8,100

Figura 7.7 F#vjo de efectivo original (en miles),ejemplo 7.5

$6,800A

Al-i0t l0 1 2 3

$500

7$6,327.39

Figura 7.8 Flujo de efectivo equivalente

(en miles) de la figura 7.7 conreinversión en c = 7.47%.

La TRC es 7.47%, que es Io mismo que c, la tasa de reinversión y el valor i,* determinado en el ejemplo7.4 (hoja de cálculo). Observe que 41.35%, que es el segundo valor i*, ya no equilibra la ecuación dela tasa de retorno. El resultado del valor futuro equivalente para el flujo de efectivo en la figura 7.8, sii’ fuera 41.35%, es:

6327.39(F/P,41.35%,1) = 8943.77 f 6800

220 CAPíTULO 7 . Ingeniería económica

(b) Para c = 20%, la serie del proyecto de inversión neta es:

Fo = +2000

F, = 2000(1.20) - 500 = $1900

F, = 19OO( 1.20) - 8 100 = $-5820

F, = -5820(1+ i’) + 6800

(F, > 0, usar c)(F, > 0, usar c)

(F, < 0, usar í’)

Defina F3 = 0 y resuelva para i * directamente:

1 +i* i 6800 -- - 1.16845820

1” = 0.1684 (16.84%)

La TCR es i’ = 16.84% a una tasa de reinversión del 20%, lo cual es un incremento marcado dei’ = 7.47% a c = 7.47%.

Si se utiliza el valor c = 41,35%, la ecuación estar6 equilibrada con i’ = 41.35%, que es el segundovalor de i*. Esto es posible ~610 cuando las entradas son reinvertidas exactamente a i*, porque entoncessólo hace c = i* = i’.

La función de hoja de cálculo llamada TIRM (TIR modificada) determina una tasa deinterés única cuando se ingresa una tasa de reinversión c para flujos de efectivo positivos.Sin embargo, la función no implementa el procedimiento del proyecto de inversión neta enla forma analizada aquí, más bien requiere proporcionar una tasa financiera para los fondosutilizados como inversión inicial. Entonces, las fórmulas para los cálculos de TIRM y TRCno son las mismas. La TIRM no producirá exactamente la misma respuesta que la ecuación[7.5], a menos que todas las tasas resulten ser las mismas y éste valor sea una de las raíces dela relación TR.

Ejemplo adicional 7.8Problemas 7.31 y 7.32

REFERENCIAS PARA LA SECCIÓN 7.4

Bussey, L. E., and T. G. Eschenbach. The Economic Analysis of Industriul Projects, 2d ed. Englewood Cliffs,NJ: Prentice-Hall, 1992, pp. 188-203.

Fleischer, G. A. Introduction to Engineering Economy. Boston. PWS, 1994, pp. 124-130.McLean, J. G. “How to Evaluate New Capital Investments.” Harvard Business Review, Nov-Dec. 1958, pp.

58-69.Newnan, D. G., Engineering Economic Analysis, 6th ed. San Jose, CA: Engineering Press, 1996, pp. 221-33Park, C. S. Contemporary Engineering Economics, 2d ed. Menlo Park, CA: Addison-Wesley, 1997, pp. 302-

9, 347-62.


EJEMPLOS ADICIONALES

Ejemplo 7.6(Hola de cálculo)TR UTILIZANDO UNA REfACí6N VF, SECCIÓN 7.2 Suponga que una pareja invierte $10,000 ahora y $500dentro de tres años y recibir& $500 dentro de un año, $600 dentro de dos afios y cantidades que aumentanen $100 por año durante un total de 10 años. La pareja también recibirá pagos de cantidad global de$5000 dentro de 5 años y $2000 dentro de diez años. Calcule la tasa de retorno sobre su inversiónutilizando los métodos de ensayo y error y de hoja de cálculo.

SolucíónPara fijar una relación de tasa de retorno utilizandòel~valor presente se requiere el diagrama de flujo deefectivo (simple) convkncional de la figura ‘7.9,

0 = -lO,OOO- 5OO(WF’,i*,3) + 5OO(P/A,i*,lO) + lOO(P/G,i*,lO)

+5OOO(P/F,i*,5)+ 2ooO(PfF,i*,10)I

‘\', i=?

$5,000 E2,000

Figura 7.9 Diagrama de fluìo de efectivo para el ejemplo 7.6.


Al resolver por ensayo y error manual e interpolar entre i = 7% e i = 84, se encuentra i* = 7.8%. Alresolver mediante hoja de cálculo SC: obtienen los resultados oresentados en la fisura 7,fO, colimna 3,

l

donde i* = 7.79%.

ComentarioObserve que en la solución manual, los valores úuicos de los años 3,s y 10 fueron manejados en fmziseparada, de manera que podrían utilizarse los factores PfA y PB en los flujos de efectivo restantes.

Tasa de retorno : 7.79%\ !

ETpmplo 7.7POSRkES TASAS BE RETORNO MUl~PLRS, SECCl&N 7.4. Suponga que se estimau flujos de efectivo netosdurante 10 años (tabla 7.4) para un activo en uso. El Ihijo de efectivo neto negativo en el año 4 es elresultado de una mejora hecha al activo. Determine el número de raices i* y estime sus valoresgrkficameute.


La regla de Descartes indica una serie del finjo de efectivo neto (no simple) uo convencional hasta condos raíces; el criterio de Norstrom para la serie del f<jo de efectivo neto acumulado de la tabla 7.4empieza positivamente y tiene miis de un cambio de signo, indicando asi que no se encontrar& una rakzpositiva ánica. Para resolver ios dos valores i* se utiliza una relac%n TR basada en VE?

0 = 2oo(lJ/Eà, 1) + loo(P/F,,i,2) +, f . + loo(P/F3,10) f7.71

Los resultados del lado dereeho de h ecuación 17.73 se calculan para diferentes valores de i y song&ieados en Ia figura 7.11 con d trazo de una curva suave superpuesta.

i@) 10 3-J 2 5 30 3 7 40 50 tio

vrt$ +196 +42 +12 -2 -8 -7 +2 +i4

Aparecen dos valores que satisfacen la eeuaci6n f7.71, los cuales son (a~~~d~en~) it = 29% yq = 49%.

;+3u

iiii-20

B3

+ 10

0

- 10

Figuro 7.11 Gddiea del valor presente VS i, ejemplo 7.7.


Ejemplo 7.8TASA DE RETORNO COMPUESTA, SECCl6N 7.5 Determine la tasa de retorno para el ejemplo 7.7 si la tasade reinversión es del 15% anual.

SoluciónUtilice los pasos resumidos e n la sección 7.5 para escribir la serie de inversión neta de proyectos parat=lat=lO.

Fo = 0

= $200 (F, 0 , usar c)

= 200(1:.15f + la, = $330 (F, > 0, usar c)

F3 = 335(1.15) + 50= $429‘50 (F, > 0, usar c)

= 429.$0(1+15)- 1800 =$-1306.08 < 0, usar i 3

F, = -1306.08(1+ i')+ 600

Puesto que n o s e sabe si es mayor o menor que cero, en todas las eñpresiones restantes u s e i ‘.= F,(l+ i’) + 500 = [-f306.08(1+ i’) + 600) (1 i- i’) + 500

F, = F,(l+i’)+400li

F,(l+ i’) + 300

F,(l+ i’f + 200

F,(l+ i’) + loo

Para encontrar i’, se resuelve la expresión F,, = 0. La soluci&r computarizada o manual determina queí'=21.25%.

En este momento s e podria desear trabajar nuevamente este problema con una tasa d e reìnversi0n del29% o del 49%, como se encontró en el ejemplo 7.7, para ver que eI valor i’ será el mismo que estastasas de reinversión; es decir, si c = ?9%, entonces el vaíor de i” = 29%. E n el anterior ejemplo, c =15% es menor que i*= 29%, entonces i’ = 21.25% como se analizó en la sección 7.5.

l RESUMEN DEL CAPÍTULO

La tasa de retorno, o la tasa de interés, es un término de uso muy común entendido casi portodos. Sin embargo, la mayoría de la gente puede tener gran dificultad para calcular una tasade retorno correctamente para todas las secuencias de un flujo de efectivo. Este hecho obedecea que, para algunos tipos de secuencias, es posible determinar más de una posibilidad deTR. El máximo número de valores posibles es igual al número de cambios en los signos de


la serie del flujo de efectivo neto (regla de Descartes). También, puede encontrarse una tasapositiva única si la serie del flujo de efectivo neto acumulado empieza negativamente ytiene sólo un cambio de signo (criterio de Norstrom).

Para todas las secuencias de un flujo de efectivo donde hay indicación de raíces múltiplespara la ecuación TR, debe tomarse una decisión sobre si se deben calcular las tasas internaso la tasa de retorno compuesta. Aunque la tasa interna es en general más fácil de calcular, latasa compuesta es el enfoque correcto, ya que tiene dos ventajas: se elimina la posibilidadde tasas de retorno múltiples, y se liberan flujos de efectivo que pueden ser tratados utilizandotasas de reinversión realistas.

¿La tasa de retorno se define como el interés pagado o recibido sobre qué valor?

PROBLEMAS

7.1

7.2

7.3

La tasa de retorno se conoce también por otros nombres. Enumere tres de ellos.

Si una compañía gasta $12,000 ahora y $5000 anualmente durante 10 años, efectuandoel primer gasto de $5000 dentro de 4 años, ¿qué tasa de retorno obtendría si su ingresofuera $4000 anuales empezando en el año 8 y continuando hasta el año 25?

7.4 Un empresario compró una volqueta con el propósito de ofrecer un servicio de recorridocorto de movimientos de tierra. Pagó $14,000 por el camión y lo vendió 5 años despuéspor $3000. Sus gastos de operación y mantenimiento fueron $3500 anuales. Además,le hizo mantenimiento al motor del camión por $900 al final del tercer año. Si suingreso, mientras fue propietario del camión, fue $15,000 cada año, icuál fue su tasade retorno?

7.5 ,~,Cuál tasa de retorno habría obtenido el empresario en el problema 7.4 si sus recaudosfueran $20,000 en el primer año, disminuyendo en $3000 anualmente hasta el quinto ano?

7.6 Un inversionista de finca raíz compró una propiedad por $90,000 en efectivo,arrendando luego la casa por $1000 mensual. Al final del año 2, el arrendatario semudó y el inversionista gastó $8000 en remodelación. Le tomó 6 meses vender lacasa por $105,000. Tuvo que pagar a una agencia de finca raíz el 6% del precio deventa y proporcionar una póliza del título por $1200. ¿Qué tasa de retorno obtuvo elinversionista sobre su inversión?

7.7 Una alumna desea crear una dotación permanente a nombre suyo en una pequeñainstitución universitaria privada. Piensa donar $100,000 y hacer que el ingreso seautilizado para comprar suministros de laboratorio, pero hará la donación sólo si secoloca una placa permanente con su nombre en la puerta del laboratorio. Si lainstitución universitaria está de acuerdo con su solicitud y los suministros dellaboratorio cuestan $12,000 anualmente, Lqué tasa de retorno se requiere sobre ladotación?


7.8 Al propietario de un basurero privado se le pidió instalar un protector plástico paraevitar que las filtraciones contaminaran el agua del suelo. El área de relleno era 40,000m2y el costo de manejo de vapores fue de $5 por metro cuadrado. El costo de instalaciónfue $4000. Con el fin de recuperar la inversión, el dueño cobró $8 por las cargas delcamión de reparto, $25 por las cargas de volqueta y $65 por las cargas del camióncompactador. Si la distribución mensual ha sido 200 cargas de camión de reparto, 40cargas de volqueta y 100 cargas de compactador, ¿qué tasa de retorno obtuvo elpropietario del basurero sobre su inversión (a) por mes y (b) efectivamente por año?Use n = 5 años.

7 .9 Un empresario, quien pone objeción al alto costo de los servicios funerarios, hadiseñado un “ataúd reutilizable”. Éste consiste en una cápsula plástica que encajadentro de la concha del tradicional ataúd decorado. Una vez terminados los servicios,la cápsula puede enterrarse y la concha puede ser utilizada de nuevo. Él espera podervender la cápsula por $225. Si un ataúd tradicional para gente de clase popular cuesta$2100, ¿qué tasa de retorno se requiere para una familia que desdeña el ataúd tradicionalporque ha ganado lo suficiente en intereses sobre sus ahorros para poder comprar otracápsula en 10 años?

7.10 A un fiscal que ganó un pleito le fue otorgada una sentencia de $3000 mensualesdurante 3 años. El fiscal necesita una cantidad relativamente grande de dinero parauna inversión y ha ofrecido al defensor la oportunidad de pagar el dinero en unacantidad global de $75,000 ahora. Si el defensor acepta la oferta y paga $75,000ahora, Lqué tasa de retorno se obtiene en la “inversión”?

7.11 Un inversionista compró 900 acciones de un fondo mutuo de índice de acciones a$18.25 cada una. El precio de las acciones varía de acuerdo con el índice S&P 500.Si el índice S&P 500 aumentó de 801.32 a 871.66 en 5 meses, (a) iqué tasa de retornomensual obtuvo el inversionista y (b)¿cuál fue el valor de las 900 acciones despuésdel alza del índice?

7.J&Una gran universidad está considerando un plan para construir una planta decogeneración de 7 megavatios para suplir sus necesidades de energía. Se espera queel costo de la planta sea $31 millones. La universidad consume 36,000 megavatios-hora anualmente a un costo de $110 por megavatio-hora. La universidad puede producirsu energía a la mitad del costo al cual la está comprando. (a) ¿Qué tasa de retornologrará sobre su inversión si la planta de energía dura 30 años? (b) Si la universidadpuede vender un promedio de 10,000 megavatios-hora anualmente a la empresa deenergía a $85 por megavatio-hora, kqué tasa de retorno obtendrá?

7.13 Una pareja de edad media está considerando la compra de una póliza aplicable alprimero que muera. Este tipo de póliza se liquida cuando la primera persona muera.Para esta pareja, cuyas edades están entre 55 y 53, el costo anual es de $5000 para unvalor de cobertura de $250,000 (pagos al principio del año). El agente de segurosexpresó que después de 10 años (es decir, ll pagos) las ganancias sobre el valor del


efectivo acumulado deben ser iguales a la prima anual. Si el primer cónyuge muereinmediatamente después del décimo año, (a) iqué tasa de retorno requerirá la compañíade seguros para apenas cubrir costos, es decir, tener los $250,000? y (b) qué tasa deretorno habrá obtenido la pareja?

7.14 Si el agente de seguros en el problema 7.13 está en lo correcto y no se hacen máspagos después del año 10, Lqué tasa de retorno habrá obtenido la pareja si el primeromuriese (a) 20 años después de haber comprado la póliza? (b) ¿Cuál es la tasa deretorno si el primer cónyuge muriese inmediatamente después del quinto pago deprima?

7X. Un emisor grande de tarjetas de crédito ha publicado un anuncio que dice “efectivolibre de intereses”. El aviso dice, “Pague sólo su saldo completo cada mes, por unapequeña comisión de transacciones”, no incurrirá en intereses por su avance deefectivo”. Para la llamada”, hay una nota de pie de página que dice “La comisión detransacción por avances en efectivo es de 2.5% por cada avance de efectivo con unmínimo de $2 y sin un máximo”. Si la persona obtiene un avance de $100 y luegopaga la cantidad total adeudada un mes después, ¿qué tasa efectiva de interés se estápagando (a) mensualmente? (b) anualmente?

7.16 Si la persona del problema 7.15 obtiene un avance de efectivo de $50, iqué tasasefectivas mensuales y anuales se están pagando, si el saldo se cancela en su totalidadal final del mes?

7.17 Una conocida compañía de tarjetas de crédito ofrece no cobrar comisiones detransacción por los avances de efectivo ni cargos de intereses durante el mes en que elavance de efectivo se realiza. Se aplica una tasa porcentual anual del 19.8%, sólo si elsaldo no se paga en su totalidad cada mes. Sin embargo, para obtener la tarjeta decrédito, se requiere una comisión anual de $25. (a) Si la persona consigue esa tarjetade crédito y obtiene en préstamo $100 cada dos meses (empezando dentro de un mesy terminando en el mes ll) a principio de mes y lo repaga al final de ese mes (y, porconsiguiente, no incurre en cargos extra), determine las tasas de interés nominales yefectivas por año para una persona que paga sólo la comisión anual. (b) Considereestas mismas preguntas, si retira $2000 cada vez.

Un hombre de 55 años de edad, que deseaba dejar dinero a sus herederos, investigósobre la compra de un seguro de vida. El llamado plan de vida total protegido por elestado le costaría $297 mensuales o $3374 anuales. Esta póliza proporciona un segurode vida de $100,000 y valores de efectivo diferentes dependiendo de qué tantosobrevive el asegurado. Por ejemplo, la póliza tiene valores de efectivo garantizadosde $52,690 y $86,574 en 15 y 20 años, respectivamente. Si el asegurado decide hacerefectiva la póliza después de los 15 años, ¿qué tasa de retorno se logra por año, si hizopagos de primas (a) mensualmente? (b) anualmente? Suponga que los pagos de lasprimas se efectuaron al principio de cada periodo.

fespindola

fespindola

228 CAPíTULO 7 l Ingenieha económica

7.19 Una póliza de seguros de vida pagada a 10 años puede comprarse por $557 mensualeso $6330 anuales, lo cual proporcionará $100,000 en beneficios por muerte. La pólizatambién acumulará un valor en efectivo, el cual puede ser retirado por el tenedor de lapóliza, si lo desea. Por ejemplo, el tenedor de la póliza puede retirar $27,506 dentrode 5 años o $78,160 en 10 años. Los beneficios por muerte en esos momentos serían$103,000 y $117,566, respectivamente. ¿Qué tasa de retorno obtendría el tenedor dela póliza si vive 10 años y retira el valor acumulado de efectivo al final del año 10,suponiendo que hizo 10 pagos de primas anuales al principio de cada año?

7.20 Si el tenedor de la póliza del problema 7.19 muere inmediatamente después de 5años, ¿qué tasa de retorno efectiva por mes se obtuvo sobre el dinero pagado enprimas, suponiendo que hizo 6 1 pagos de prima de principios de mes?

7.21 El gerente de un fondo de pensiones compró 10,000 acciones comunes en una compañíaque contrata lavado de pantalones. Las acciones se compraron hace 3’/2 años cuandose estaban vendiendo a $143/s por acción. Si los dividendos de las acciones fueran$0.63 por trimestre, Lqué tasa de retorno trimestral obtendría el gerente si vendieralas acciones por $16’1~ cada una ? Suponga que las acciones fueron compradas yvendidas inmediatamente después de la fecha de dividendos, es decir, sobre la fechaex-dividendos.

7.22 Una inversionista que entiende el principio de apalancamiento compró una casa pararemodelar por $103,000. La inversionista hizo un pago inicial de $11,000, pagó costosdel cierre por $3200 y remodeló la casa a un costo de $12,000. Después de hacer seispagos mensuales de la casa de $935 cada uno, la inversionista la vendió por $138,000,cantidad de la cual se dedujeron gastos de venta de $7800, lo mismo que el saldo delprincipal de $90,000. ¿Qué tasa de retorno nominal anual logró la inversionista,suponiendo que los costos de remodelación se redistribuyeron uniformemente du-rante el periodo de 6 meses en que fue propietaria?

7.23 ¿Qué significa un flujo de efectivo convencional?

7.24 ¿Cuál es el rango de valores posibles cuando se resuelve una ecuación de tasa deretorno? ¿Qué significado tiene una tasa de retorno del lOO%?

7.25 ¿Qué tipo de información proporcionará la aplicación de la regla de Descartes?

7.26 ¿Cuál es el criterio de Norstrom y para qué se usa?

7.27 Un proyecto que acaba de ser implementado involucrará los flujos de efectivo que semuestran a continuación. (a) LCuántos valores de tasa de retorno posibles hay paraeste flujo de efectivo? (b) Encuentre todos los valores entre Q y 100%.

Año 0 1 2 3

Flujo de efectivo, $ -20,000 15,000 15,000 -2,000


7.28 Encuentre todos los valores de tasa de retorno entre -10% y 200% para los siguientesflujos de efectivo:

Año I 0 1 2 3 4

Flujo de efectivo, $ -7000 -2000 4000 5000 6000

7.29 Para las siguientes secuencias de flujo de efectivo, determinar (a) el número de valoresposibles de i que pueden equilibrar la relación de valor presente y (b) todos los valoresreales entre 0 y 100%.

Año Gasto, $ Ingreso, $

0 50,000 0

1 22,000 19,000

2 30,000 27,000

3 40,000 25,000

4 20,000 29,000

5 13,000 21,000

7.30 En el problema 7.29, si el flujo de efectivo neto en el año 6 se estima en $ +50,000,(a) Lcuántos valores posibles de tasa de retorno hay? (b) Determine todos los valoresentre -50% y + 150%.

7.31 Utilice una tasa de reinversión de (a) 15% y (b) 50% para encontrar la tasa de retornocompuesta en el problema 7.27.

7.32 Utilice una tasa de reinversión de (a) 7% y (b) 25% para encontrar la tasa de retornocompuesta en el problema 7.28.

fespindola

tasa interna de retorno bt

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