Taller 2 clculo diferencial cdx24: Preparacin seg undo parcial Profesor Jaime Andrs Jaramillo Gonzlez jaimeaj@conceptocomputadores.com. ITM 2016-2

Funciones exponenciales y logartmicas

1. Expresa como un nico logaritmo.

a) =+ 70log6log aa b) =+ 2log65log bb c) =+ YK cc loglog

2. Expresa como un producto.

a) =3log Xa b) =5log tb c) =

6log Yc

3. Expresa en trminos de los logaritmos x, y y z.

a) =ZYXa32log b) =345log ZXYa c) =3

2

logZ

XYb

4. Expresa como un logaritmo nico y de ser posible simplifica.

a) = YX aa log21

log3

2 b) =+ 5log7log 33

5. Resuelva la ecuacin

a. ( )log log 9 1x x+ = b. ( )log log 9 1x x+ + = c. ( )log log 3 1x x + =

d. ( )log 9 log 1x x+ = e. ( ) ( )4 4log 3 log 3 2x x+ + = f. ( ) ( )5 5log 4 log 4 2x x+ + =

6. Desafo: encuentre X +Y +Z ,dado que.

( )[ ] 0logloglog 432 =X

( )[ ] 0logloglog 423 =Y

( )[ ] 0logloglog 234 =Z

7. Calcule el valor de K en cada uno de los siguientes casos:

a) 16log36log =+ KK b) 29

16log2log =+ KK c) 16log8log 11 =+ ++ KK

8. Resuelva las siguientes ecuaciones logartmicas:

9. a) ( ) 99log7 =+X b) 2log3log 44 =+ XX c) 08log2log 525 = XX

10. Resuelva la ecuacin exponencial:

i. 32122

=+x ii.

13x24

1 +x

=

iii. 01224 = xx

iv. 232 35 + = xx v. 03525 1 =x+x vi. 1833 1 =x+x

vii. 6665

256255 =+

xx

viii. 8957*5123427 =+ xx ix. xx 9*721195129 2 =

x. 162932 =+ xx xi. ( ) 05 12 = +xxx eeee xii.

11. Resuelva la ecuacin logartmica:

i. 4

7

2log2log

x=x ii. x=

32

1log2

iii. log6 x= 3

iv. log5 x= 2,5 v. log2 8x= 7 vi. 2 22log ( 1) log 4 5x + =

vii. 08log2log 52

5 = xx viii. 2log3log 44 =+ xx ix. ( ) 99log7 =+x

12. Resuelva la ecuacin:

i. ( ) 29log4log2 33 =+x ii. ( ) 42lnln =++ xx iii. 01222 22 =+ +xx

iv. ( ) ( ) ( ) ( )3log2log6log1log ++=+ xxxx aaaa v. x

x

53

41

=

vi. 2.18 =x vii. ( ) 222 23 xx = viii. 32

=+xx ee

xiii. ( ) 8434 = xx xiv. ( ) 6262 = xx xv. 2512 67 + = xx

13. El crecimiento de cierto cultivo de bacterias puede expresarse mediante la funcin te

y4.025.01

25.1+

= .

Donde y es el peso del cultivo en gramos y t es el tiempo en horas. Determine: a. Cul ser el peso del cultivo para t=0? b. Cul ser el peso del cultivo para t=1? c. Cul ser el peso del cultivo para t=10? d. En qu momento el cultivo tendr un peso de 1.15 gramos?

14. Suponga que en alguna ciudad la poblacin se duplica cada 26 aos. Si a principios de 1 931 su poblacin era de 190 000 habitantes

a. Cul era la poblacin a finales de 1 957? b. Cul era la poblacin a finales de 1 983? c. Si contina cumplindose este patrn de crecimiento, cul ser al finalizar 2 009? d. Cul ser en 2015? e. Cundo la poblacin ser de 1 000 000 de habitantes?

15. Cierto elemento radiactivo tiene una vida media de 1690 aos. Empezando con 60g,

despus de t aos habr ( )kt

tm

=2

160 g. Determine la constante k. Qu cantidad habr

dentro de 2000 aos? En cuntos aos habrn 10g? Nota: vida media de un elemento radiactivo, es el tiempo requerido para desintegrar hasta la mitad cierta cantidad de este. Por ejemplo la vida media del carbono 14 es de 5730 aos.

16. Si una pastilla de 100 miligramos de un medicamento para el asma se toma oralmente y si nada de esta droga est presente en el cuerpo cuando se toma la primera pastilla, la cantidad total A en miligramos, en el torrente sanguneo despus de t minutos se pronostica que es:

)9,01(100 tA = para 0 t 10

a) Trace la grfica de la ecuacin. b) Determine la cantidad de miligramos presente en el torrente sanguneo, a los 5 minutos

de haber ingerido la pastilla.

c) Determine el numero de minutos necesarios para que 50 miligramos de la droga hayan entrado al torrente sanguneo.

17. La tasa de crecimiento de una bacteria comn es proporcional a su tamao. Cuando esta bacteria crece en un medio con nutrientes abundantes, la cantidad de especimenes se duplica cada 20 minutos. i. Si la poblacin inicial es 100, determine la funcin que exprese el crecimiento

exponencial de la cantidad Q(t) de bacterias como funcin del tiempo t. ii. Si la poblacin inicial fuera 3500, cmo se vera afectado el modelo?

18. El yodo radiactivo 131I, que se usa con frecuencia en estudios de rastreo de la glndula

tiroides, se desintegra segn tNN )5,0(0= , donde 0N es la dosis inicial y t es el tiempo en das.

a) Trace la grfica de la ecuacin si 640 =N

b) Encuentre la vida media del 131I.

19. La poblacin mundial al inicio de 1990 era de 5.3 mil millones de personas. Si la poblacin

contina creciendo con la razn actual de aproximadamente 2% por ao: i. encuentre la funcin Q(t) que expresa la poblacin mundial (en miles de

millones) como funcin del tiempo t (en aos), donde t=0 corresponde al inicio de 1990.

ii. Segn este modelo, cul sera la poblacin mundial al inicio de 2007?

20. Cierta regin minera tiene una poblacin que est decreciendo segn la funcin: 0.0327500 tP e= , donde t son los aos despus de 1995.

i. Encuentre la poblacin en 2006. ii. En cuantos aos la poblacin ser de 15092 habitantes.

21. Una mquina se compra en 10 000 USD y se deprecia de manera continua desde la fecha

de compra. Su valor despus de t aos est dado por la frmula: 0.210000 tV e= . b. Determina el valor de la mquina despus de 8 aos. c. Cundo su valor ser de 7 000 USD ?

22. La poblacin en una ciudad en el ao 2000 era de 83,750 personas. Cundo alcanzar

esta ciudad una poblacin de 100,000 habitantes, suponiendo que contine con una tasa de crecimiento del 3% anual?

23. En cunto tiempo se duplica un capital si se invierte a una tasa del 15% compuesto anual?

24. El crecimiento de una colonia de mosquitos sigue un crecimiento exponencial que puede

ser modelado con la siguiente ecuacin ( ) kteA=tA 0 . Si inicialmente haban 1000 mosquitos y despus de un da la poblacin de stos aumenta a 1800, cuntos mosquitos habrn en

la colonia despus de 3 das? Cunto tiempo tendra que pasar para que la colonia tenga 10000 mosquitos?

25. Un cuerpo en un experimento, tiene una velocidad, en metros por segundo, dada por:

tev 01.0391

80+

= ; donde [ ]600,0t es el tiempo en segundos, transcurrido despus de haber iniciado el experimento.

a) Cul es la velocidad inicial del cuerpo (con 0=t ) b) Cul es la velocidad a los 5 minutos? c) A los cuantos segundos de haber iniciado el experimento, la velocidad ser de 68 m/s? d) Trazar la grfica de la funcin (usar puntos de la grfica correspondientes a las respuestas

de los puntos anteriores).

26. Supngase que el nmero de bacterias de cierto cultivo t horas a partir de este momento ser:

( ) tetN 468,0200=

Cundo habrn 10.000 bacterias?

27. La relacin de Ehremberg dada por:

hW 84.14,2lnln += Es una frmula emprica que relaciona la estatura h (en metros) con el peso promedio W(en Kg) para nios entre 5 y 13 aos de edad. a. Exprese W como una funcin de h b. Calcule el peso promedio de un nio de 12 aos que mide 1,50 m. c. Cul debera ser la altura de un nio de 8 aos que pesa 30 Kg?

Funciones seccionalmente definidas (funcin por tra mos) 28. Determine el dominio y dibuje la grfica de la funcin

a.

>+

Inversa de una funcin 29. Determine si la funcin es o no uno a uno:

30. Encuentre la inversa de la funcin

Composicin de funciones

31. Dadas x

xxf

314

)(= , 281)( xxh = y xxg = 7)(

determinar:

a. ))(( xgf o b. ))(( xgh o

c. ( ) )()( xgfh oo

32. Exprese la siguiente funcin, como combinacin de funciones:

5)( 2 += xxf

33. Dadas x

xxf

253

)(= y ;18)( = xxg determinar la inversa de la funcin:

d.

>

a.

( )( )xgfxH o=)( b.

( )( )xfgxH o=)(

Lmites

34. Calcule los siguientes lmites: a.

3

4

0

2

x

xlimx

b.

2

2

5 )4(

89lim

+

x

xxx

c.

124

322

3

x

xxlimx

d.

2

3

4 916

74lim

xx

xxx +

+

e. 495

322lim

2

23

1 +++

xx

xxxx

f.

( )2

3

0

)25(2lim

x

xxx

++

g. 212

2253lim

7 ++

x

xx

h.

4

862

4 +

x

xxlimx

i.

( )6574

251lim

2

2

5 +

xx

xxx

j.

416

390 +

+ x

xlimx

k.

522

155124lim

23

3 ++

x

xxxx

l. 2

2

2 )2(

156lim

+

xx

xxx

m.

( )189

362lim

2

2

6 ++

xx

xxx

n. xx

xxxx 5814

567817lim

23

9 +

o.

x

xxlimx

+

110

p.

3

213

+ x

xlimx

q.

+

+

xx

xx

x

xlimx 2

2

2

12

22

2

r.

x

xxx 318

665lim

6 +

s.

522935

23lim

3

2

6 +

xx

xxx

t.

49143

3557lim

2

23

7 +

xx

xxxx

u. 722

87