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Taller 2 cálculo diferencial cdx24: Preparación seg undo parcial Profesor Jaime Andrés Jaramillo González [email protected]. ITM 2016-2
Funciones exponenciales y logarítmicas
1. Expresa como un único logaritmo.
a) =+ 70log6log aa b) =+ 2log65log bb c) =+ YK cc loglog
2. Expresa como un producto.
a) =3log Xa b) =5log tb c) =6log Yc
3. Expresa en términos de los logaritmos x, y y z.
a) =ZYXa32log b) =345log ZXYa c) =
3
2
logZ
XYb
4. Expresa como un logaritmo único y de ser posible simplifica.
a) =− YX aa log2
1log
3
2 b) =+ 5log7log 33
5. Resuelva la ecuación
a. ( )log log 9 1x x+ − = b. ( )log log 9 1x x+ + = c. ( )log log 3 1x x− + = −
d. ( )log 9 log 1x x+ − = − e. ( ) ( )4 4log 3 log 3 2x x+ + − = f. ( ) ( )5 5log 4 log 4 2x x+ + − =
6. Desafío: encuentre X +Y +Z ,dado que.
( )[ ] 0logloglog 432 =X
( )[ ] 0logloglog 423 =Y
( )[ ] 0logloglog 234 =Z
7. Calcule el valor de K en cada uno de los siguientes casos:
a) 16log36log =+ KK b) 2
916log2log =+ KK c) 16log8log 11 =+ ++ KK
8. Resuelva las siguientes ecuaciones logarítmicas:
9. a) ( ) 99log7 =+X b) 2log3log 44 =+ XX c) 08log2log 52
5 =−− XX
10. Resuelva la ecuación exponencial:
i. 32122
=+x ii.
13x24
1 +x
=
iii. 01224 =−− xx
iv. 232 35 +− = xx v. 03525 1 =x+x −⋅− vi. 1833 1 =x+x −
vii. 6665
256255 =+
xx
viii. 8957*5123427 =+ −xx ix. xx 9*721195129 2 =−
x. 162932 =+ xx xi. ( ) 05 12 =−−− +xxx eeee xii.
11. Resuelva la ecuación logarítmica:
i. 4
7
2log2log −
x=x ii. x=
32
1log2
iii. log6 x= 3
iv. log5 x= 2,5 v. log2 8x= 7 vi. 2 22log ( 1) log 4 5x − + =
vii. 08log2log 52
5 =−− xx viii. 2log3log 44 =+ xx ix. ( ) 99log7 =+x
12. Resuelva la ecuación:
i. ( ) 29log4log2 33 =−+x ii. ( ) 42lnln =++ xx iii. 01222 22 =−+ +xx
iv. ( ) ( ) ( ) ( )3log2log6log1log ++−=+−− xxxx aaaa v. x
x
53
41
=
−
vi. 2.18 =−x vii. ( ) 2
222
3 xx=
− viii. 3
2=+ −xx ee
xiii. ( ) 8434 =− −xx
xiv. ( ) 6262 =− −xx
xv. 2512 67 +− = xx
13. El crecimiento de cierto cultivo de bacterias puede expresarse mediante la función te
y4.025.01
25.1−+
= .
Donde y es el peso del cultivo en gramos y t es el tiempo en horas. Determine: a. Cuál será el peso del cultivo para t=0? b. Cuál será el peso del cultivo para t=1? c. Cuál será el peso del cultivo para t=10? d. En qué momento el cultivo tendrá un peso de 1.15 gramos?
14. Suponga que en alguna ciudad la población se duplica cada 26 años. Si a principios de 1 931 su población era de 190 000 habitantes
a. Cuál era la población a finales de 1 957? b. Cuál era la población a finales de 1 983? c. Si continúa cumpliéndose este patrón de crecimiento, cuál será al finalizar 2 009? d. Cuál será en 2015? e. Cuándo la población será de 1 000 000 de habitantes?
15. Cierto elemento radiactivo tiene una vida media de 1690 años. Empezando con 60g,
después de t años habrá ( )kt
tm
=2
160 g. Determine la constante k. ¿Qué cantidad habrá
dentro de 2000 años? ¿En cuántos años habrán 10g? Nota: vida media de un elemento radiactivo, es el tiempo requerido para desintegrar hasta la mitad cierta cantidad de este. Por ejemplo la vida media del carbono 14 es de 5730 años.
16. Si una pastilla de 100 miligramos de un medicamento para el asma se toma oralmente y si nada de esta droga está presente en el cuerpo cuando se toma la primera pastilla, la cantidad total A en miligramos, en el torrente sanguíneo después de t minutos se pronostica que es:
)9,01(100 tA −= para 0 ≤ t ≤ 10
a) Trace la gráfica de la ecuación. b) Determine la cantidad de miligramos presente en el torrente sanguíneo, a los 5 minutos
de haber ingerido la pastilla.
c) Determine el numero de minutos necesarios para que 50 miligramos de la droga hayan entrado al torrente sanguíneo.
17. La tasa de crecimiento de una bacteria común es proporcional a su tamaño. Cuando esta bacteria crece en un medio con nutrientes abundantes, la cantidad de especimenes se duplica cada 20 minutos. i. Si la población inicial es 100, determine la función que exprese el crecimiento
exponencial de la cantidad Q(t) de bacterias como función del tiempo t. ii. Si la población inicial fuera 3500, ¿cómo se vería afectado el modelo?
18. El yodo radiactivo 131I, que se usa con frecuencia en estudios de rastreo de la glándula
tiroides, se desintegra según tNN )5,0(0= , donde 0N es la dosis inicial y t es el tiempo en días.
a) Trace la gráfica de la ecuación si 640 =N
b) Encuentre la vida media del 131I.
19. La población mundial al inicio de 1990 era de 5.3 mil millones de personas. Si la población
continúa creciendo con la razón actual de aproximadamente 2% por año: i. encuentre la función Q(t) que expresa la población mundial (en miles de
millones) como función del tiempo t (en años), donde t=0 corresponde al inicio de 1990.
ii. Según este modelo, ¿cuál sería la población mundial al inicio de 2007?
20. Cierta región minera tiene una población que está decreciendo según la función: 0.0327500 tP e−= , donde t son los años después de 1995.
i. Encuentre la población en 2006. ii. En cuantos años la población será de 15092 habitantes.
21. Una máquina se compra en 10 000 USD y se deprecia de manera continua desde la fecha
de compra. Su valor después de t años está dado por la fórmula: 0.210000 tV e−= . b. Determina el valor de la máquina después de 8 años. c. ¿Cuándo su valor será de 7 000 USD ?
22. La población en una ciudad en el año 2000 era de 83,750 personas. ¿Cuándo alcanzará
esta ciudad una población de 100,000 habitantes, suponiendo que continúe con una tasa de crecimiento del 3% anual?
23. ¿En cuánto tiempo se duplica un capital si se invierte a una tasa del 15% compuesto anual?
24. El crecimiento de una colonia de mosquitos sigue un crecimiento exponencial que puede
ser modelado con la siguiente ecuación ( ) kteA=tA 0 . Si inicialmente habían 1000 mosquitos y después de un día la población de éstos aumenta a 1800, ¿cuántos mosquitos habrán en
la colonia después de 3 días? ¿Cuánto tiempo tendría que pasar para que la colonia tenga 10000 mosquitos?
25. Un cuerpo en un experimento, tiene una velocidad, en metros por segundo, dada por:
tev 01.0391
80−+
= ; donde [ ]600,0∈t es el tiempo en segundos, transcurrido después de haber iniciado
el experimento. a) Cuál es la velocidad inicial del cuerpo (con 0=t ) b) Cuál es la velocidad a los 5 minutos? c) A los cuantos segundos de haber iniciado el experimento, la velocidad será de 68 m/s? d) Trazar la gráfica de la función (usar puntos de la gráfica correspondientes a las respuestas
de los puntos anteriores).
26. Supóngase que el número de bacterias de cierto cultivo t horas a partir de este momento será:
( ) tetN 468,0200=
¿Cuándo habrán 10.000 bacterias?
27. La relación de Ehremberg dada por:
hW 84.14,2lnln += Es una fórmula empírica que relaciona la estatura h (en metros) con el peso promedio W(en Kg) para niños entre 5 y 13 años de edad. a. Exprese W como una función de h b. Calcule el peso promedio de un niño de 12 años que mide 1,50 m. c. ¿Cuál debería ser la altura de un niño de 8 años que pesa 30 Kg?
Funciones seccionalmente definidas (función por tra mos) 28. Determine el dominio y dibuje la gráfica de la función
a.
>≤≤−+−
−<−
=2,
23,2
3,5
)(3 xsix
xsix
xsi
xg
b.
≥−
−<−=
2,4
2,13)(
2 xsix
xsixxG
c.
<≤+
<≤−−=60,3
03,9)(
2
2
xsix
xsixxF
Inversa de una función 29. Determine si la función es o no uno a uno:
30. Encuentre la inversa de la función
Composición de funciones
31. Dadas x
xxf
314
)(−= , 281)( xxh −= y xxg −= 7)(
determinar:
a. ))(( xgf o b. ))(( xgh o
c. ( ) )()( xgfh oo
32. Exprese la siguiente función, como combinación de funciones:
5)( 2 += xxf
33. Dadas x
xxf
253
)(−−= y ;18)( −= xxg determinar la inversa de la función:
d.
>−<<−−
−≤−−=
2,214
21,64
1,35
)( 2
xsix
xsix
xsix
xf
e.
≥<<−−
−<−
=1,2
12,4
2,4
)( 2
2
xsix
xsix
xsix
xf
f.
≥+
−<−=
1,1
3,12)(
2
xsix
xsixxf
a.
24)( += xxf
b.
22
1)(
2 −=
xxf
c.
22
1)(
2 −=
xxf , 0≥x
d.
22
1)(
2 −=
xxf
1−>x
a.
3453
)(+
−=x
xxf
b.
53 −= xy
c.
331
)( 2 −=
xxf , 0≥x
d.
x
xy
6517
−−=
a.
( )( )xgfxH o=)(
b.
( )( )xfgxH o=)(
Límites
34. Calcule los siguientes límites: a.
3
4
0
2
x
xlimx
−→
b.
2
2
5 )4(
89lim
−+−
→ x
xxx
c.
124
322
3 −−−
→ x
xxlimx
d.
2
3
4 916
74lim
xx
xxx −+
+−→
e. 495
322lim
2
23
1 ++−−+
−→ xx
xxxx
f.
( )2
3
0
)25(2lim
x
xxx
++→
g. 212
2253lim
7 +−+
−→ x
xx
h.
4
862
4 −+−
→ x
xxlimx
i.
( )6574
251lim
2
2
5 −−−+
→ xx
xxx
j.
416
390 −+
−+→ x
xlimx
k.
522
155124lim
23
3 −+−+−
→ x
xxxx
l. 2
2
2 )2(
156lim
+−−
−→ xx
xxx
m.
( )189
362lim
2
2
6 +−−+
→ xx
xxx
n. xx
xxxx 5814
567817lim
23
9 −−+−−
→
o.
x
xxlimx
+−−→
110
p.
3
213 −
−+→ x
xlimx
q.
−−+−
−+
→ xx
xx
x
xlimx 2
2
2
12
22
2
r.
x
xxx 318
665lim
6 −−+
→
s.
522935
23lim
3
2
6 −−+−
→ xx
xxx
t.
49143
3557lim
2
23
7 −−+−−
→ xx
xxxx
u. 722
879lim 26 −
+−−→ x
xx
35. Calcule los siguientes límites:
a.
1
12
1 −−
→ x
xlimx
b.
1
38lim
2
2
1 −−+
→ x
xx
c.
1442
122
3
5 +−+−
→ xx
xxlimx
d. 418
2lim
2 −++
−→ x
xx
e. 6
5432lim
2
6 −−−
→ x
xxx
f.
9257
5275lim
2
2
4 −+−+
−→ xx
xxx
g.
32
562lim
2
23
1 −−+++
−→ xx
xxxx
h.
3
27lim
327 −−
→ x
xx
i.
5692
2lim
2
3
8 −++
−→ xx
xx
j.
64
4lim
3
64 −−
→ x
xx
k. ( )9
2lim
2
2
3 −→ x
xx
l.
3234
lim24
3
1 −++−
→ xx
xxx
m. 20113
3575lim
2
23
5 −−+−−
→ xx
xxxx
n. 132235
lim35
24
1 −−−−
−→ xx
xxx
o. 4113
26234lim
24 −++−−
−→ xx
xxx
p. x
xxx 520
443lim
4 −−+
→ q.
33
1321lim
6 −−+−
−→ x
xx
r. 4131374
14lim
3
2
7 −−−
→ xx
xx
36. Calcule el límite:
a. ( ) 93
x
im 24x 2
xl −∞→
+ b.
−+
∞→ 1323
limx
xx
c.
++∞→ x
xx
4lim d.
xxxx
xxx 2435
436lim
223
2
−−
+−∞→
e. 254
2967lim
2
223
+−−−
∞→ xx
xxxxx
f. 17136
2967lim 23
223
++−−
∞→ xx
xxxxx
g. ( )1354
3296lim 23
322
−−++
−∞→ xxx
xxxxx
h. 254
23255lim 2
22
+−+
∞→ xx
xxxx
37. Calcule el límite:
i. x
im45
72
4
++
∞→ x
xxl j. 973436
lim2
2
−+−+
→∞ xx
xxx
k. 973
4974lim 2
2
−++−
−∞→ xx
xxxx
l. 99
lim2
2
3 −+
+−→ x
xx
m. 1353
9467lim 2
22
+−++
→∞ xx
xxxx
n. 16
6033lim 2
2
4 −−+
−→ x
xxx
o. 6434
5lim
223
3
++−∞→ xxx
xx
p. 1433
2253lim
2
2 +−+−+
→ xx
xxx
q. 15
416lim
2
+−
→∞ x
xxx
r. xx
xx 536
44lim
2 ++
−∞→
s. 65
124lim 2
2
3 +++
−−→ xx
xxx
t. 209
3110116lim 25 +−
+−++→ xx
xxx
38. Calcule el límite:
a. 73
22
23
+−+−
−∞→ xx
xxxlim
x b.
52
3
351
147
xx
xxlim
x +−+−
+∞→
c. xxxx
xxx 2929
375lim
223
2
−−
+−∞→
d. 95
35lim 2
3
+−+−
−∞→ xx
xxx
e.
xxxx
xxx 5924
7612lim
223
3
−−+−
−∞→
f.
xxxx
xxx 2435
436lim
223
2
−−
+−∞→
39. Determine si la función tiene asíntotas verticales y elabore su representación gráfica
a. ( )3
1−= xxf b. ( )
5
252
−−=
x
xxf
40. Determine, para la función, intersecciones con los ejes, asíntotas, signo y elabore su representación
gráfica:
a) ( )1
2
−=
x
xxf b)
1212
)(−+=
x
xxf c) ( )( )31
21)(+−=
x
xxf
d) ( )4013
5432
2
++−−=
xx
xxxf e) ( )
592
21542
2
−+−+=
xx
xxxf f)
423)(−
−=x
xxf
g) ( )125
843
3
+−−=
xxx
xxf
1
INSTITUTO TECNOLÓGICO METROPOLITANO
FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y APLICADAS
JEFATURA DE EDUCACIÓN Y CIENCIAS BÁSICAS
TALLER 2 CÁLCULO DIFERENCIAL
EJE TEMÁTICO 2: LÍMITES Y CONTINUIDAD1
OBJETIVO Comprender y aplicar el concepto de límite, sus operaciones y propiedades para dar solución a situaciones en distintos contextos.
1. Aplicando las propiedades, evalúe el límite indicado, si existe
A.
B.
C.
D.
E.
F.
G.
H.
I.
J.
K.
L.
M.
N.
2. Si y determine el valor de:
A.
B.
1 Ejercicios seleccionados por Sergio Alarcón Vasco y María Cristina González Mazuelo,
profesores de la Facultad de Artes y Humanidades del ITM.
C.
D.
2
E.
F.
G.
H.
3. Evalúe los siguientes límites:
A.
B.
C.
D.
E.
F.
G.
H.
I.
J.
K.
L.
M.
N.
O.
P.
Q.
R.
S.
T.
U.
V.
W.
X.
Y.
Z.
AA.
BB.
4. Determine los siguientes límites trigonométricos.
A.
B.
C.
D.
E.
F.
G.
H.
3
I.
J.
K.
L.
M.
N.
O.
P.
Q.
R.
S.
T.
5. Determine los siguientes límites trigonométricos, usando una sustitución idónea en cada
caso.
A.
B.
C.
D.
E.
F.
G.
H.
I.
6. Dadas las siguientes gráficas de funciones, determine los límites laterales en el punto
indicado y analice la existencia del límite.
A. B.
2en =x
y
2 x
9
6
5en =x
x5
y
4
4
C.
D.
E.
F.
G. H.
6=xen
6
3
y
x
2
x
3en =x
3
2
y
5
y
2en =x
2x
1en =x
1
y
x
1
2en =x
x2-
y y
x x
y-
3en -=x
5
I.
J.
7. Dadas las siguientes funciones, evalúe la existencia del límite en el punto indicado
A. ( )îíì
³-
á-=
33
32 2
xsix
xsixxxg en 3=x
B. ( )ïî
ïí
ì
-³+
-á-=
12
11
1
2 xsixx
xsixxh en 1-=x
C. ( )îíì
ñ
£+=
22
21
xsi
xsixxf en y
D. ( )îíì
ñ+
á+=
342
312
xsix
xsixxg en y
E.
F. ( )îíì
³
<=
0cos
0
xsix
xsiexf
x
en
G.
x
y
4en =x
1-
4
2-
0en =x
x
y
0=x
6
H.
8. Dada las siguientes funciones, determine el valor de para que el límite exista en el punto indicado.
A. ( )ïî
ïí
ì
-<-+
-³-=
1131
14
2
2
xsixx
xsiAx
xf 1-=xen
B. ( )îíì
<
³=
320
3
xsi
xsiexg
Ax
3=xen
9. Dada:
( )( )( )ïï
î
ïï
í
ì
³
£á+
£á--
-£+
=
2
201
021
212
3
2
2
xsix
xsix
xsix
xsix
xf
Determinar:
A.
B.
C.
D.
E. ¿Existe ( )xfLimx 0®
? Justifique su respuesta.
10. Determine los límites infinitos que se presentan a continuación:
A.
B.
C.
D.
E.
F.
G.
H.
I.
J.
K.
L.
M. N.
7
O. P.
Q.
R.
T.
U.
11. Calcule los siguientes límites al infinito:
A.
B.
C.
D.
E.
F.
G.
H.
I.
J.
K.
L.
M.
N.
O.
P.
Q.
R.
S.
T.
12. Si está representado por la siguiente gráfica:
56-
2-
x
1
3
y
56-
2-
x
1
3
y
3- 2
8
Determine
A.
B.
C.
D.
E.
F.
G.
H.
I. ¿Existe el ? Justifique su respuesta.
J. ¿Existe el ? Justifique su respuesta.
K. ¿Existe el ? Justifique su respuesta.
13. Sea representada por:
A. ¿ pertenece al dominio de ? Justifique su respuesta.
B. Determine y
C. ¿Existe el ?
D. ¿Puede afirmarse que la recta es una asíntota vertical para el gráfico de la
función ? Justifique su respuesta.
x5-
y
9
14. Sea representado por:
A. ¿ está en el dominio ? Justifique su respuesta.
B. Determine y
C. ¿Existe el ?
D. ¿Puede afirmarse que en hay una asíntota vertical? Justifique su respuesta.
E. Determine y .
F. ¿Puede afirmarse que la recta es una asíntota horizontal? Justifique su respuesta.
15. Dadas las siguientes funciones, determine la posición de las asíntotas verticales y horizontales, si las tiene:
A.
B.
C.
D.
E.
F.
G.
H.
I.
J.
K.
L.
16. Proponga una gráfica para , tal que se cumplan las siguientes condiciones:
( ) ¥=-¥®
xfLimx
, ( ) 12
-=-®
xfLimx
,
1
3-
x
y
2
10
( ) 30
=-®xfLim
x
,
( ) ¥=+®xfLim
x 0
,
( ) 0=¥®
xfLimx
17. Proponga la expresión analítica de una función f(x) que cumpla las siguientes
condiciones.
( ) -¥=--®xfLim
x 5
y ( ) ¥=+-®xfLim
x 5
18. Dadas las siguientes gráficas de funciones, analice la continuidad en el punto indicado.
4en =x
5
x
y
4
1en -=x
x
2
1-
y
4
x
y
6
5
5en =x
2
x2
02en == xyx
0
1
3
x
y
1eny3en == xx
1
2
3-
2-
x
y
0en =x
a. b.
c. d.
f.e.
11
19. Analice la continuidad de las siguientes funciones en el punto indicado.
A.
B.
C. 2
)(x
Tanxf = en p=x y p4=x
D. 63
12)(
-
+=x
xxf en 1=x y 2=x
£
E.
£ F.
G. =)(xf4
2
-
-
x
x 4=x 9=x
£
H.
20. En cada una de las siguientes funciones determine el valor que debe tomar para que sean continuas en el punto indicado.
A.
³
B.
³
12
4
2
-+x
x 1<x
C. 1=x
1³x
21. En cada una de las siguientes funciones determine los valores que deben tomar y , para que sean continuas en el punto indicado.
A.
B.
C.
D.
22. Con base en el teorema que se presenta a continuación, encontrar el límite de las
funciones dadas. “Teorema (Límite de una función compuesta): Si y
es continua en , entonces .”
A.
B.
C.
D.
E.
F.
G.
H.
I.
J.
13
23. Con base en el teorema que se presenta a continuación, analizar la continuidad de
las funciones dadas. “Teorema (Continuidad de una función compuesta): Si es
continua en y es continua en , entonces la función compuesta
es continua en ”
A.
B.
C.
D.
24. Dadas las siguientes funciones, demuestre que f es continua en el intervalo indicado.
A. 216)( xxf -= [ ]4,4-
B. 1
1)(
-=x
xf [ ]3,2
C.
³
Bibliografía ALARCÓN, Sergio, GONZÁLEZ, Cristina y QUINTANA, Hernando, Cálculo Diferencial.
Límites y derivadas. Medellín, Colombia: ITM, 2008.
STEWART, James. Cálculo de una variable: Conceptos y contextos. Cuarta edición. México D.F.: Cengage Learning Editores, 2010.
THOMAS, George B. Cálculo de una variable. Decimosegunda edición. México: Addison-
Wesley, 2010. ZILL G., Dennis, WRIGHT, Warren S. Cálculo: Trascendentes tempranas. Cuarta edición.
México: Mc Graw-Hill, 2011.