INSTITUTO TECNOLGICO METROPOLITANO

FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y APLICADAS JEFATURA DE EDUCACIN Y CIENCIAS BSICAS

GUA DE TRABAJO INDEPENDIENTE

EJE TEMTICO 1: FUNCIONES DE VARIABLE REAL1

I. OBJETIVO Utilizar el concepto de funcin, sus propiedades y representaciones para dar solucin a situaciones problema en distintos contextos.

II. CONTENIDO TEMTICO SABER: Inecuaciones: Desigualdades y propiedades. Intervalos. Inecuaciones lineales. Inecuaciones no lineales. SABER COMPLEMENTARIO: Operaciones con fracciones, factorizacin y productos especiales, solucin de ecuaciones polinmicas (de primero y segundo grado). Conjuntos (operaciones y relaciones)

III. EJERCICIOS

1. Indique cuales de las siguientes expresiones algebraicas corresponden a funciones:

A. 3 5 = 3

B. 24 5 = 2

C. 9 2 + = 0

D. 32 52 = 1

E. 1 = 0

F. 2 2ln =0

1 Los ejercicios que se presentan en esta gua de trabajo hacen parte de 5 Mdulos de trabajo independiente del curso de Clculo Diferencial, elaborados por los profesores de la Facultad de Artes y Humanidades Sergio Alarcn Vasco y Mara Cristina Gonzlez Mazuelo. Hacen parte de los productos del Proyecto Hurn para la mitigacin de causas de desercin en la Facultad de Artes y Humanidades del ITM.

2. Determine cules de los siguientes grficos corresponden a funciones:

3. Para cada una de las siguientes funciones, determinar: (3); (0); (2

3); (2);

(1 ):

A. () = 5 + 4

B. () = 32 2

C. () = log3(1 )

D. () =

Responda las preguntas 4 y 5 de acuerdo con grfico de la funcin = (), mostrada a continuacin:

4. De acuerdo con el grfico, evaluar:

A. (2.75)

B. (1)

C. (3)

5. Encontrar los valores de para los cuales se cumple que:

A. () = 5.75, para en el intervalo (, 0) B. () = 6, si 0 C. () = 4 , para todo en el dominio de la funcin

6. El grfico siguiente representa la corriente elctrica, (), que se distribuye a travs de un tramo de un circuito elctrico en un tiempo ; donde () se expresa en Amperes (), y en segundos ().

De acuerdo con la informacin que se da en el grfico, responder lo siguiente: A. Cul es la corriente en el circuito cuando han pasado 2 ?

B. Entre 1.75 y 2.25 s, cules son los valores mnimo y mximo alcanzados por la

corriente?

C. Despus de cuntos segundos la corriente en el circuito alcanza los 2 ?

D. Para qu intervalo de tiempo la corriente se encuentra entre los 0 y los 4 ?

7. El modelo matemtico de una cuerda de guitarra que se muestra a continuacin representa la amplitud del sonido (en centmetros), en funcin del tiempo (en segundos), generada por la nota musical LA y una frecuencia angular de 880:

() = 80 880 Cul es la amplitud del sonido de la nota musical despus de 1.3 segundos?

8. Hallar el dominio y el rango de las funciones cuyos grficos se muestran a continuacin:

A.

B.

C.

D.

9. Encontrar el dominio de cada una de las siguientes funciones:

A. =22+1

5

B. () =23

92

C. () = ln (5 + 10)

D. () = 2 + 5 + 63

E. = 7

42+220

4

F. () = 23

2+20

7

G. () = 34 62 + 2 3

H. = 24

3

I. =31

2+1

J. () =+3

1+

2

42

K. () =252

266

L. () =22+32

245

M. () =log2(+4)3

24

10. Para cada uno de los pares de funciones que se dan a continuacin, encontrar:

( + )(), ( )(), ()() y (

) ().

A. () = 3 1 y () = 42 3 + 1

B. () = 2 y () = 2 2

C. () =+1

24 y g() =

x+2

x+1

D. () =2

4 y () =

+5

11. Para cada uno de los pares de funciones que se muestra a continuacin, hallar: ()(), ()(), ()() y ()().

A. () = ln y () =

B. () = 2 y () =1

C. () =1

+1 y () =

2

D. () = 2 9 y () = + 5

E. () = tan 2 y () =

F. () =+2

1 y () =

5

+4

12. Cada una de las funciones que se dan a continuacin son funciones compuestas. Encontrar las funciones que las componen y comprobar que la composicin de dichas funciones es la funcin compuesta dada.

A. () = 2 5 + 75

B. () = 58 C. () = 3

D. () = 9(2 + 2 5)2 E. () = sec(2 5) + tan (2 5) F. () = log( 5) ( 5)2 + 35

13. Encontrar la inversa de cada una de las funciones que se dan a continuacin, e

indicar si dicha inversa es o no es funcin:

A. = 2 8

B. () = 2 4 C. () = 3 + 6 D. () = log( 5) E. () = (2)

F. () =34

5

Funcin lineal 14. Hallar la pendiente de la recta cuya inclinacin se da a continuacin:

A. = 30 B. = 143.5 C. = 72

D. = 132 E. = 0

15. Hallar la inclinacin de la recta cuya pendiente se da a continuacin:

A. = 3.8 B. = 4.7

C. = 1 D. = 2.4

16. Hallar la pendiente de la recta que pasa por los puntos dados: A. (2, 1) y (3, 5) B. (4, 8) y (3, 9)

C. (2

3, 6) y (

1

2,

1

4)

D. (3.5, 4.2) y (1.3, 5.1)

17. Hallar la ecuacin de la recta que cumple las siguientes condiciones:

A. Tiene pendiente = 3

2 y pasa por el punto (1,4)

B. Pasa por los puntos (2, 8) y (5, 3) C. Tiene pendiente = 2 y pasa por el punto (4, 8) D. Pasa por los puntos (4, 9) y (2, 6)

9

18. Para cada una de las siguientes ecuaciones hallar: la pendiente, el intercepto con el

eje , el intercepto con el eje y el grfico de la recta.

A. 3 4 + 5 = 0 B. 5 + 4 6 = 0 C. + 2 = 0 D. = 2

19. El grfico que se presenta a continuacin representa el voltaje (), que pasa a travs de una resistencia dada, como una funcin lineal de la corriente , donde () se expresa en milivoltios () y la corriente en miliamperios ().

De acuerdo con la informacin suministrada en el grfico, encontrar:

A. El valor de la resistencia , en ohmios (). B. Un modelo matemtico que represente el voltaje como funcin de la corriente

A partir del modelo matemtico, hallar:

C. El voltaje (), en voltios, cuando la corriente es de 15.4 D. La corriente cuando el voltaje es de 3.65 .

20. Supngase que el voltaje que pasa a travs de una resistencia se modela mediante la

funcin () = 500, donde es el voltaje, en milivoltios (), e la corriente, en miliamperios (). De acuerdo con esta informacin, hallar: A. La resistencia en el circuito. Hay corto circuito? (justifique su respuesta) B. El voltaje, en voltios, cuando la corriente en el circuito es de 11

-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

600

1200

1800

2400

3000

3600

4200

v

i

10

C. La corriente cuando el voltaje es de 8.5 D. El grfico de la funcin

E. Qu ocurre con el voltaje si la corriente no vara, sino que permanece constante? Cmo sera el grfico?

21. El grfico que se presenta a continuacin representa la manera como vara la carga (en coulomb, C), en una batera de un dispositivo mvil, en funcin del tiempo (en minutos). Responda las siguientes preguntas de acuerdo con la informacin dada en el grfico:

A. Qu cantidad de carga entra a la batera cada minuto? B. Encontrar una frmula que exprese la carga de la batera en funcin del tiempo

A partir del modelo matemtico del numeral B., responder lo siguiente:

C. Cunta carga habr en la batera 2 horas y 45 minutos despus de haber

comenzado a cargarse? D. Cundo la batera obtendr una carga de 29.25 C E. Si la capacidad de la batera es de 80 C, cundo termina la batera de cargarse?

22. La carga elctrica en una batera disminuye de manera constante a razn de

0.4 coulomb por minuto. Despus de 1 hora y 20 minutos de haberse iniciado la descarga, la carga en la batera es de 43 coulomb. De acuerdo con esta informacin, encontrar: A. Un modelo matemtico que exprese la carga (en coulomb) de la batera en funcin

del tiempo (en segundos). B. La capacidad de carga de la batera.

-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

3

6

9

12

15

q(t)

t

11

C. La carga de la batera 35 minutos despus de haberse iniciado la descarga. D. El tiempo en el cual la carga en la batera es de 17 coulomb E. Despus de cuantos minutos queda totalmente descargada la batera F. Representar grficamente la situacin

23. El grfico siguiente representa la velocidad (), en pies, de un objeto que se mueve en cada libre en un tiempo , en segundos.

De acuerdo con la informacin del grfico, hallar:

A. La velocidad inicial del objeto (el objeto fue lanzado o fue dejado caer?) B. La aceleracin del objeto

C. Una frmula para la velocidad del objeto en funcin del tiempo t.

De acuerdo con el modelo matemtico del numeral C. encontrar lo siguiente:

D. La velocidad del objeto 6.3 segundos despus de haberse iniciado el movimiento.

E. El tiempo en el que el objeto adquiere una velocidad de 238

.

24. La velocidad de un objeto en cada libre est representada por el modelo matemtico

() = 9.8 + 54, donde () se expresa en metros por segundo (

) y el tiempo en

segundos (). De acuerdo con esta informacin, hallar:

A. El significado de la pendiente en el modelo matemtico. B. La velocidad inicial del objeto. C. El tiempo en que el objeto alcanza la mxima altura D. La velocidad en = 2.5 y la velocidad en = 6 (Indicar si en estos tiempos el

objeto sube o baja) E. El grfico de la funcin

-2 2 4 6 8 10 12

50

100

150

200

250

300

350

v(t)

t

12

25. Una prctica en un laboratorio de Fsica Mecnica consisti en colocar un carrito de

cuerda sobre una pista recta, ponerlo en marcha con velocidad constante y medir luego la posicin del carrito, con respecto al inicio de la pista, cada 10 segundos. A continuacin se presenta un esquema de la actividad y los resultados obtenidos por un grupo de estudiante

t 0 10 20 30 40 50

s(t) 9 39 69 99 129 159

Donde t es el tiempo (en segundos) y s(t) la posicin del carrito con respecto al inicio de la pista (en centmetros).

De acuerdo con la situacin anterior:

A. Represente los datos obtenidos en el plano cartesiano B. Halle el modelo matemtico que representa la situacin

A partir del modelo matemtico del numeral B., responder lo siguiente:

C. A qu distancia, a partir del inicio de la pista, se encuentra el carrito 37 segundos

despus de haber comenzado el movimiento? D. A los cuntos segundos, despus de haber comenzado el movimiento, el carrito se

encuentra a 82 centmetros del inicio de la pista? E. Si la pista tiene una longitud de 200 centmetros, cunto tiempo se tard el carrito

en recorrer toda la pista? F. Qu longitud recorre el carrito cada segundo? G. Cules son las unidades de la pendiente? A qu concepto de la Fsica

corresponde? H. Determinar el dominio y el rango de la situacin

26. Un fabricante compra una maquinaria por valor de $2000000. Esta se deprecia linealmente, de manera que despus de 10 aos su valor comercial ser $100000. De acuerdo con esta informacin responde las siguientes preguntas:

A. Expresar el valor de la maquinaria como una funcin de su antigedad y dibujar la

grfica. B. Calcular el valor de la maquinaria despus de 4 aos. C. Cundo se depreciar totalmente esta maquinaria?

0 cm.

t=0 t=20 t=50

9 cm. 69 cm. 159 cm.

Inicio de la pista

Direccin del

movimiento

13

D. Es constante la forma como se deprecia anualmente la maquinaria? De ser as, Cunto se deprecia anualmente?

27. Desde el comienzo del ao, el precio del pan integral en un supermercado local sube

a una tasa constante de $2 por mes la unidad. El primero de noviembre, el precio por unidad haba llegado a $800. De acuerdo con esta informacin responde lo siguiente:

A. Expresar el precio del pan como funcin del tiempo.

De acuerdo con el modelo matemtico responda lo siguiente:

B. Cul es el precio del pan al principio del ao? C. Cul es el precio del pan septiembre? D. En qu mes el precio del pan es de $7810?

28. La temperatura medida en grados Farenheit es una funcin lineal de la temperatura

medida en grados Celsius. Si se sabe que 0 Celsius son iguales a 32 Farenheit y que 100 Celsius son iguales a 212 Farenheit,

A. Escribir la ecuacin de esta funcin lineal B. Emplear la funcin obtenida en el numeral a., para convertir 15 Celsius en grados

Farenheit C. Convertir 68 Farenheit en grados Celsius

29. Un tanque contiene 50 litros de agua. A las 8:00 a.m. se abre una llave para llenarlo

de tal forma que a la 1:00 p.m. hay en el tanque 1.250 litros de agua. Si se considera que la cantidad de agua que entra al tanque es constante y que la capacidad del tanque es de 2.000 litros,

A. Representar grficamente, en el plano cartesiano, la situacin B. Cuntos litros de agua entran al tanque cada hora? C. Hallar el modelo matemtico que represente la situacin

A partir del modelo matemtico del numeral c., responder lo siguiente:

D. A qu horas hay en el tanque 1.875 litros de agua? E. Cunta agua habr en el tanque a las 11:30 a.m.? F. Cundo quedar lleno el tanque?

30. Una motocicleta se compr hace 5 aos y desde entonces se deprecia anualmente

en $750.000 hasta valer hoy en da $1.200.000. De acuerdo con esta informacin:

A. Hallar el modelo matemtico que representa la situacin B. Representar la situacin grficamente, en el plano cartesiano

A partir del modelo matemtico del numeral b., responder lo siguiente:

14

C. Cundo se depreciara totalmente la motocicleta? D. Cul fue el valor de adquisicin de la motocicleta?

31. El volumen de gasolina en un carro tanque una vez se abre la vlvula dispensadora viene dado por la expresin

( ) 520 6.800V t t

Donde t es el tiempo transcurrido a partir de la apertura de la vlvula (en horas) y V(t) el volumen de gasolina (en litros). De acuerdo con esta informacin: A. Representar en el plano cartesiano la informacin B. Cunta gasolina sale del tanque cada hora? C. Cul es el contenido mximo de gasolina en el tanque? D. Cundo queda vaco el tanque?

Funcin cuadrtica 32. Hallar las coordenadas del vrtice de las siguientes parbolas a partir de su expresin

cannica:

A. 2( ) 4f x x

B. 2( ) 5f x x

C. 2( ) 0.3f x x

D. 2( ) 2f x x

E. 2( ) 7f x x

F. 2( ) ( 1)f x x

G. 2( ) ( 3)f x x

H. 2( ) ( 2) 4f x x

I. 2( ) ( 5) 3f x x

33. Determine las coordenadas del vrtice de las siguientes parbolas a partir de su

expresin general:

A. () = 22 4 1 B. () = 2 + 6 5 C. () = 2 + + 1 D. () = 102 + 40 + 113 E. () = 2 1,2 + 16 F. () = 100 49 72

G. () = 1002 1500

H. () = 1

22 + 3

I. () = 7 + 2 2

3

J. () = 2( 4) + 7

34. Para las funciones cuadrticas de los numerales A. hasta J., encontrar::

I. El vrtice de la parbola a la cual representa II. Los intersectos con los ejes cartesianos

III. El dominio y el rango de la funcin IV. Realice un grfico de la parbola

15

A. () = 2 + 8 B. () = 2 + 10 C. () = + 2 D. () = 2 2 E. () = 2 2 + 2

F. () = 22 + 6 G. () = 62 + 12 5 H. () = 1 6 2 I. () = 32 12 + 13 J. () = 2 3 + 3

35. Encontrar la funcin cuya grfica es una parbola con vrtice (1, 2) y que pasa por el punto (4,16).

36. Hallar una funcin cuya grfica es una parbola con vrtice en (3,4) y que pasa por

el punto (1, 8).

37. Encontrar una funcin cuya grfica es una parbola con vrtice en (2,8) y que pasa por el punto (5,3).

38. Para la funciones cuadrticas de los numerales 35, 36 y 37:

A. Halle los intersectos con los ejes cartesianos B. Determine el dominio y el rango de la funcin C. Realice un bosquejo de la parbola

39. Si en la funcin cuadrtica () = 2 + + ( () = ( )2 + ) el valor de es mayor que cero, > 0, el grfico de la parbola se abre hacia arriba. Si el valor de es menor que cero, < 0, el grfico de la parbola se abre hacia abajo. Adems, si || < 1, la parbola es ms ancha (ms abierta), en comparacin con la parbola de la funcin () = 2 ; si || > 1, la parbola es ms angosta (ms cerrada), en comparacin con la parbola de la funcin () = 2. De acuerdo con lo anterior, para cada una de las funciones cuadrticas que se presentan a continuacin indique si el grfico se abre hacia arriba o hacia abajo y,

adems, si el grfico es ms ancho, ms angosto o igual al de la funcin 2( )f x x

A. 2( ) 3f x x

B. 2( ) 0.5f x x

C. 2( ) ( 1)f x x

D. 22( ) ( 1)

3f x x

E. 2( ) ( 5) 3f x x

F. 25( ) ( 2) 4

3f x x

40. Considrense los siguientes grficos:

16

Relacione cada uno de los grficos anteriores con las funciones que se presentan a continuacin (numerales A. hasta H.)

A. 2( ) 2f x x

B. 2( ) 5g x x

C. 2( ) 4h x x

D. 2( ) 4k x x

E. 2( ) ( 1)q x x

F. 2( ) ( 1)r x x

G. 2( ) ( 1) 1t x x

H. 2( ) ( 1) 1v x x

41. Un proyectil se lanza hacia arriba de modo que su distancia (en pies) sobre el suelo t segundos despus de que se dispara viene dada por el modelo:

2( ) 16 400s t t t

De acuerdo con este modelo, encontrar

A. El tiempo que tarda en alcanzar la mxima altura B. La altura mxima que alcanza el proyectil despus de ser lanzado C. El tiempo que tarda el proyectil en caer D. Represente en el plano cartesiano la situacin. E. Determine el dominio y el rango de la situacin.

17

42. Una mujer que iba en un globo dej caer sus binoculares cuando el globo se encontraba

a 150 pies sobre el suelo y se elevaba con una velocidad de 10

. La altura de los

binoculares respecto al suelo est dado por:

() = 150 10 162

A partir del modelo matemtico conteste las siguientes preguntas: A. A qu altura respecto al suelo se encontraban los binoculares 2 segundos

despus de que la seora los dej caer? B. En qu momento los binoculares se encontraban a 30 pies de altura respecto al

suelo? C. Cunto tardarn los binoculares en llegar al suelo? D. Represente en el plano cartesiano la situacin. E. Determine el dominio y el rango de la situacin.

43. Un nio lanza una pelota hacia arriba desde el borde de una terraza. La altura (en

metros), , alcanzada por la pelota con respecto al nivel de la calle, segundos despus de haberla lanzado, viene dada por la expresin

2( ) 5 5 15H t t t

De acuerdo con lo anterior:

A. Encontrar la altura de la terraza

B. Despus de cuntos segundos la pelota vuelve a pasar por el borde de la terraza?

C. Cul es la altura mxima alcanzada por la pelota y el tiempo que tarda en alcanzarla?

D. Despus de cuntos segundos la pelota choca contra el suelo?

E. Representar en el plano cartesiano la situacin

F. Determinar el dominio y el rango de la situacin

18

44. El grfico que se presenta a continuacin representa el desplazamiento de un objeto en cada libre. De acuerdo con la informacin suministrada en el grfico encontrar lo que se pide a continuacin:

A. La altura mxima alcanzada por el objeto, y el tiempo que tarda en alcanzarla. B. La altura desde donde fue lanzado el objeto. C. El tiempo que demora el objeto en caer al piso

D. Un modelo matemtico que represente la altura () con respecto al piso, en metros, alcanzada por el objeto en un tiempo , en segundos.

E. A partir del modelo matemtico encontrar la altura alcanzada por el objeto 8 segundos despus de haber sido lanzado.

F. A partir del modelo matemtico indicar cuando el objeto alcanza una altura de 100 metros.

45. La funcin () = 42 40 + 39 representa la corriente elctrica, (), que se distribuye a travs de un tramo de un circuito elctrico en un tiempo ; donde () se expresa en Amperes (), y en segundos (). De acuerdo con esta informacin encontrar lo siguiente:

A. La corriente mnima que llega al circuito y el tiempo que demora en alcanzarla. B. La corriente que hay inicialmente en el circuito. C. La corriente en el circuito a los 7 segundos de ser encendido

D. El tiempo en el cual la corriente en el circuito es de 80 E. Grfico de la funcin que representa la situacin.

19

46. El grfico siguiente representa la corriente (), en Amperes (), que fluye a travs de un tramo de un circuito, en un tiempo , dado en segundos (s). De acuerdo con la informacin suministrada en el grfico, dar respuesta a lo que se pide a continuacin:

A. La corriente mnima en el tramo del circuito, y el tiempo que tarda en alcanzarla. B. La corriente inicial en el tramo del circuito

C. Un modelo matemtico para la corriente (), en el tramo del circuito, en un tiempo dado .

D. A partir del modelo matemtico encontrar la corriente, en el tramo del circuito, despus de 11.5 segundos.

E. A partir del modelo matemtico determinar cundo se alcanza, en el tramo del

circuito, una corriente de 130 .

47. A las 6:00 am una batera de un dispositivo mvil se encuentra totalmente cargada con 42 coulombs. 30 horas despus el dispositivo perdi toda su carga. Si se considera que la descarga de la batera obedece a un modelo cuadrtico:

A. Represente la situacin en un plano cartesiano. B. Halle el modelo matemtico que representa la situacin.

A partir del modelo responda las siguientes preguntas: C. Cunta carga tena la batera a las 9:00 pm? D. A qu horas la batera tiene una carga de 25 coulombs? E. Determine el dominio y el rango de la situacin.

20

48. En un cultivo de flores, cierto da a las 11:00 pm la temperatura empez a descender de tal manera que la temperatura mnima registrada fue de 1 C bajo cero a las 3:00 de la madrugada. Luego volvi a subir hasta alcanzar 19 C a las 8:00 am. Si se sabe que la temperatura en el cultivo obedece a un modelo cuadrtico:

A. Identificar las variables que intervienen en la situacin y determinar cul es la

independiente y cul la dependiente. B. Seale la informacin clave: puntos de inters y realice una grfica aproximada de

la situacin. C. Hallar el modelo matemtico que representa la situacin.

Sustentado en el modelo matemtico responda las siguientes preguntas:

D. Cul fue la temperatura a la 1:00 am? E. A qu horas se registr una temperatura de 0C? F. Cul fue la temperatura a las 11:00 pm? G. A qu horas vuelve a alcanzar la temperatura inicial?

49. El consumo mundial de petrleo en millones de barriles diarios viene dado por el modelo matemtico

2( ) 0.1 2 58C x x x

Donde es el nmero de aos desde 1985. De acuerdo con este modelo:

A. En qu ao se alcanzar el consumo mximo? B. Cul ser el consumo mximo? C. Cul ser el consumo en 1985? D. Hallar el dominio y el rango de la situacin

50. La seccin transversal del techo de un auditorio tiene la forma de una parbola, tal

como se muestra a continuacin:

De acuerdo con lo anterior:

A. Expresar la altura del techo con respecto al suelo como una funcin del ancho del auditorio.

21

B. A qu altura con respecto al suelo quedarn ubicados unos parlantes cuya distancia horizontal desde los muros al auditorio es de 3 metros?

C. A qu distancia horizontal, medida desde los muros, se tienen que colocar unos parlantes de sonido para que su altura con respecto al suelo sea de 4 metros?

Funciones exponencial y logartmica 51. Para cada una de las siguientes funciones exponenciales (numerales A. hasta J.),

determinar:

I. La ecuacin de la asntota horizontal II. Los interceptos con los ejes cartesianos

III. Realice un bosquejo de la curva IV. El dominio y el rango de la funcin

A. () = 5

B. () = 3 2

C. () = 10+3

D. () = 4 (1

2)

E. () = 2 1

F. () = 21 + 3

G. () = 4 + 3. 5

H. () = 1 5. 3(2)

I. () = 3 (1

)

+ 7

J. () = 10 + 4

52. Encuentre una funcin exponencial de la forma = + , cuya base es 5, tiene asntota horizontal en = 3, y que pasa por el punto (2, 28).

53. Halle una funcin exponencial de la forma () = . + para cada uno de los grficos que se presentan a continuacin:

A.

22

B.

54. Para cada una de las siguientes funciones logartmicas (numerales A. hasta J.), encontrar:

I. El dominio de la funcin

II. La ecuacin de la asntota vertical III. Halle los interceptos con los ejes cartesianos IV. Realice un bosquejo de la curva

A. () = 3 +

B. () = 4 + log( 2)

C. () = 1 + log2( + 3)

D. () = 2 log5( + 1)

E. () = 1 + ()

F. () = log3(1 ) 4

G. () = 3(2 )

H. () = 5 log2(1 + ) 4

I. () =1

2log( + 3) + 1

J. () = (4 ) 1

55. Halle una funcin de la forma () = . log( ) + para cada uno de los grficos que se presentan a continuacin:

23

A.

B.

C.

24

Resuelva los numerales 56 a 60 de acuerdo con la siguiente informacin.

El nivel de intensidad de un sonido como funcin de su intensidad I, viene dado por

() = 10

0

Donde () se expresa en decibeles (db), I en vatios por metro cuadrado (

2) e 0 es una

intensidad de referencia que, para el caso del sonido en el aire, viene dada por 0 =

1012

2 , que es la intensidad mnima (o umbral de audicin) que puede detectar el odo

humano, es decir, el menor ruido que el odo humano es capaz de escuchar.

Adems, la intensidad sonora, , de una onda esfrica que se transmite desde una fuente puntual es inversamente proporcional al rea del frente de onda = 42, donde es la distancia a la fuente sonora. Esto es:

=

=

42

De esta manera, la intensidad sonora I, en un punto situado a una distancia de la fuente sonora, puede calcularse en trminos de la potencia P de dicha fuente mediante la frmula:

=

42

Donde P se expresa en vatios (W) y r en metros (m). 56. Calcular el nivel de intensidad del sonido en el punto donde la intensidad sonora es

mnima (umbral de audicin). 57. Cul ser la intensidad mxima que puede escuchar el odo humano (umbral de dolor),

sabiendo que en el punto donde esta se da el nivel de intensidad sonora es de 120 db. 58. Determine la intensidad ocasionada por el despegue de un avin si se sabe que el

nivel de intensidad = 110 59. Una guitarra elctrica emite ruido con una potencia de 15 W. De acuerdo con esta

informacin:

A. Calcular la intensidad sonora en un punto situado a 5 m de la guitarra. B. Cul es el nivel de intensidad a esa distancia? C. Si en un punto dado el nivel de intensidad es de 121 db, cul es la intensidad del

sonido en dicho punto? A qu distancia de la guitarra estar situado este punto?

P

A

25

60. Un nio ubicado en el jardn de su casa apenas puede escuchar el zumbido que emite

un insecto si se encuentra a 3 de distancia del mismo. De acuerdo con esto, encuentre lo siguiente: A. La potencia con que se emite el zumbido. B. La intensidad sonora cuando su nivel de intensidad es de 50 db. C. A qu distancia debe estar el insecto para que se produzca este nivel de

intensidad? 61. Cuando se incrementa el control de volumen de un sistema estereofnico, el voltaje

que pasa por la bocina cambia de 1 a 2, y el aumento de amplificacin (nivel de intensidad), en decibeles, est dado por:

= 20 log (21

)

A. Encuentre el aumento de amplificacin en un sistema si el voltaje cambia de 2 volts

a 4.5 volts.

B. Si el aumento de la amplificacin es de 6.5 db, encontrar el valor de la relacin 21

62. La ganancia de potencia de un amplificador se encuentra definida como:

= 10 log (

)

donde es la potencia de salida y es la potencia de entrada, ambas en vatios.

A. Si un amplificador tiene una potencia de salida de 12,6 vatios y una potencia de entrada de 0,146 vatios, determine la ganancia de potencia.

B. Si un amplificador de sonido profesional tiene una potencia de salida de 1200 vatios y una ganancia de 95 dB cul es su potencia de entrada?

63. Un circuito electrnico contiene una batera que produce un voltaje de 60 voltios (V),

un resistor con una resistencia de 13 ohms (), y un inductor con una inductancia de 5 henrys (H). La corriente (en Amperios, (A)) t segundos despus de que se cierra el interruptor viene dada por el modelo matemtico:

() =60

13(1

135 )

A. Cul es la corriente en el circuito 1.5 segundos despus de haberse cerrado el interruptor? B. Despus de cuantos segundos la corriente es de 2 A?

26

64. La velocidad de un paracaidista en el tiempo t est representada por:

)1(80)( 2,0 tetV

Donde t est dada en segundos y V en pies / s

A. Determinar la velocidad inicial del paracaidista. B. Determinar la velocidad del paracaidista despus de transcurridos 5 y 10 segundos. C. Cundo la velocidad del paracaidista es de 26,4 pies/s?

65. Una persona conduce un automvil en un da fro de invierno (20F en el exterior) y la mquina se sobrecalienta (a cerca de 220F). Cuando el auto se estaciona, la mquina comienza a enfriarse. La temperatura T de la mquina t minutos despus de que se estaciona viene dada por el modelo matemtico

ln (T 20

200) = 0.11t

A. Si la temperatura del motor es de 205 F, cuntos minutos lleva el automvil de

haberse estacionado? B. Cul es la temperatura del motor despus de 20 minutos de haberse estacionado

el auto? 66. En ptica, una sola lmina de vidrio cancela el 3% de la luz que pasa por ella, el

porcentaje de luz que pasa por lminas sucesivas est dado por la expresin:

() = 1000.03

A. Qu porcentaje de luz pasar por una ventana fabricada con 4 lminas de vidrio? B. Cuntas lminas de vidrio se necesitan para obtener un porcentaje de luz del

38%? 67. Supngase que el nmero de bacterias de cierto cultivo t horas a partir de este

momento ser:

tetN 468,0200)(

A. Cuntas bacteria habrn en el cultivo despus de 2.5 horas? B. Cundo habrn 10.000 bacterias?

27

68. La grfica que se da a continuacin muestra la poblacin de monos en un sector del

Amazonas entre el ao 2002 y 2006.

A. Cul es la poblacin de monos en 2002?

B. Encontrar una funcin que modele la poblacin de monos t aos despus de 2002.

C. Cul es la poblacin de monos proyectada en 2012?

D. En qu ao la poblacin de venados llega a 100 000?

Funcin definida por tramos

En los ejercicios 69 al 72 encontrar lo siguiente:

A. Evaluar la funcin definida por tramos en los valores indicados. B. Hacer un bosquejo del grfico

69.

0 si 5

0 si )(

2

xx

xxxf

Evaluar: ),0(f ),5(f ),3(f )2(f

70.

3 si 73

3 si 2)(

xx

xxf

Evaluar: )5(f , ),5(f ),3(f )(3

10f

Poblacin de

monos

()

0

1 2 3 4

10 000

20 000

30 000

Aos desde 2002

(4, 31 000)

40 000

28

71.

1 Si 1

11 Si

1 Si 2

)(

2

x

xx

xxx

xg

Evaluar: ),5(g ),3(g ),(21g )(

41g , )1(g

72.

0 si

0 si

xx

xxx

Evaluar: 4 , |3

4|

73. Considrense los siguientes grficos:

F a

x

y

-1 1

1

c

y

x x

y

-3 1

1

d

-2

29

Relacione cada uno de los grficos anteriores (numerales a. hasta e.), con las funciones (la que mejor los describa) que se presentan a continuacin (numerales A. hasta F.).

A. 2

2 3 si 0

( ) si 0 2

1 si 2

x x

f x x x

x

B. 2 si 3

( )1 si 3

xf x

x

C.

2

2

( 2) 3 si 2

( ) si 2 3

6 7 si 3

x x

f x x x

x x x

D. si 0

( ) si 0

x xf x

x x

E.

23 si 1( ) 4

3 si 1

x xf x

x x

F. 1 si 1

( )1 si 1

x xf x

x x

x

y

-3

3

3

-2

e

30

74. La corriente que fluye por un elemento es:

() = {2 , 0 < 1

22 , 1

De acuerdo con lo anterior encontrar: A. El grfico de la funcin () B. La corriente en el elemento cuando = 0.5 s. y = 2.5 s.

75. En la grfica a continuacin se presenta la corriente que pasa a travs de un oscilador.

A. Determine el modelo matemtico que representa a () B. Halle la corriente que pasa a travs del oscilador en = 1, = 2 y = 3.5 C. Cundo la corriente que pasa por el oscilador es de 48 ?

76. Un telfono celular cuesta 39 dlares al mes. El plan incluye 400 minutos gratis y cada minuto adicional de uso cuesta 20 centavos de dlar. El costo mensual es una funcin de la cantidad de minutos empleados, y se expresa como

39 si 0 400( )

39 0.2( 400) si 400

xC x

x x

Determinar:

A. El coso de 350 minutos B. El costo de 400 minutos C. El costo de 1000 minutos

77. Una distribuidora de msica ofrece a sus clientes un gran surtido de msica en DVDs.

Si compran no ms de 6 DVDs, se venden a $35.000 cada uno. Si compran ms de 6 DVDs, cada DVD adicional se vende a $33.000.

De acuerdo con lo anterior

A. Encontrar un modelo matemtico que represente el costo C de x DVDs

31

B. Cul es el costo de 5 DVDs? C. Cul es el costo de 15 DVDs?

Funcin trigonomtrica 78. Encontrar el dominio y el rango de las funciones cuyos grficos se presentan a

continuacin:

A. Funcin = () =

B. Funcin = () =

32

C. Funcin = () =

D. Funcin = () =

33

E. Funcin = () =

79. Para cada una de las siguientes funciones trigonomtricas:

I. Determine la amplitud, el perodo y la frecuencia. II. Halle los interceptos con los ejes cartesianos

III. Grafique la funcin para un perodo de 2 IV. Determine el dominio y el rango de la funcin

A. () = 3(4)

B. () = 2(5)

C. () =2

3

D. () = 1

2()

E. () = 7 (1

2)

F. () = (1

3)

G. () = 2 +

H. () = 4 + (6)

I. () = 3 7(4)

J. () = 7 3 (1

4)

K. () = ( +

2)

L. () = 2 (

3)

M. () = 2 (3 +

3)

N. () = 1

2( +

4)

O. () = 3 + 2 (

2+ )

P. () =1

2

1

2 (2

3)

34

80. Para cada uno de los siguientes grficos, determinar:

I. La amplitud, el perodo y la frecuencia. II. Una funcin de la forma: = () = ( + ) + o = () = ( + ) +

que represente la curva. III. El rango de la funcin

A. B. C.

D. E. F.

G. H.

35

81. La posicin de una cuerda que vibra con respecto al tiempo est representada por:

A. Cul es la amplitud de vibracin de la cuerda? B. Cul el perodo? C. Cul su frecuencia? D. Halle el modelo matemtico que represente la posicin de la cuerda con respecto al

tiempo.

E. Determine )(),(),( 67126 fff a partir de la grfica y del modelo matemtico.

F. Determine el rango de la situacin.

82. En un cultivo de mangos el nmero de mangos cosechados tiende a variar peridicamente de a cuerdo con el siguiente modelo matemtico.

tSentN 315503250)(

Donde )(tN representa el nmero de mangos cosechados y t es el nmero de aos a

partir del 2005.

A. Construir a partir de la expresin analtica su grfica que represente la situacin en el plano cartesiano

B. Cul es el mayor nmero de mangos cosechados en el cultivo? C. Cundo se alcanz por primera vez? D. Cuntas cosechas hay cada ao? E. Cul ser el nmero de mangos cosechados a finales de octubre del 2007? F. Cul es el nmero de mangos cosechados a finales de marzo del 2007?

83. La corriente que fluye a travs de un dispositivo en un tiempo est dada por:

() = 20 cos ( +

6)

Donde () se mide en micro amperes () y en segundos ().

A. Realice el grfico que representa a () durante 0 1 .

B. Determine (0), (1

2) e (

2

3)

t

f (t)

1

4

-2

/ 3

36

C. Cundo () = 5?

Resuelva los numerales 84 a 86, de acuerdo con la siguiente informacin. El modelo matemtico que describe el desplazamiento () de un objeto, en un tiempo dado , es de la forma () = o () = , entonces se dice que el objeto sigue un Movimiento Armnico Simple (MAS). Adems:

I. = || es la amplitud o desplazamiento mximo del objeto.

II. =2

es el periodo o tiempo necesario para completar un ciclo.

III. =

2 o =

1

es la frecuencia o nmero de ciclos por unidad de tiempo. Su

unidad de medida es

, tambin llamada Hertz (Hz).

84. Se golpea un diapasn, lo cual produce un tono puro cuando sus puntas vibran. Dichas

vibraciones estn representadas por:

() = 0,7(880)

Donde () es el desplazamiento de las puntas en milmetros en segundos. De acuerdo con lo anterior:

A. Determine el perodo y la frecuencia de la vibracin. B. Cul es el desplazamiento de las puntas en el instante del golpe? C. Cul es el desplazamiento de las puntas 2 segundos despus del golpe? D. En qu momento el desplazamiento es de 0,5 milmetros?

E. Graficar ()

85. La variacin de la presin para la nota MI, de una tuba, a partir de la presin normal del aire viene determinada por el modelo matemtico () = 0.2 80, donde ()

se mide en

2 y en segundos. De acuerdo con este modelo matemtico,

encontrar:

A. La amplitud B. El periodo C. La frecuencia D. El grfico de () para en el intervalo [0, 0.25]

86. El grfico siguiente muestra la pantalla de un osciloscopio, donde se lee la variacin del voltaje de una corriente alterna que produce un generador sencillo. De acuerdo con la informacin suministrada por el oscilador:

37

A. Encontrar el voltaje mximo producido B. Determinar la frecuencia del generador C. Cuntos ciclos por segundo da la armadura del generador? D. Determinar una frmula que describa la variacin en el voltaje en funcin del

tiempo

Bibliografa recomendada

DEMANA,F.D., WAITS, B.K., FOLEY, G.D. y KENNEDY, D., Preclculo: Grfico,

Numrico, Algebraico. Sptima edicin. Mxico D.F: Pearson, 2007.

DOWLING, Edward T., Clculo para administracin, economa y ciencias sociales. Primera edicin. Bogot: Mc. Graw Hill, 1992.

HOFFMAN, Laurence D. y BRADLEY, Gerard L. Clculo para administracin, economa y

ciencias sociales. Sexta edicin. Bogot: Mc. Graw Hill, 1998.

LEITHOLD, Louis. El Clculo con geometra analtica. 7a edicin. Mxico: Oxford University, 2003.

PURCELL, Edwin J. y DALE, Varberg. Clculo con geometra analtica. Sexta edicin.

Mxico: Prentice Hall Hispanoamricana, 1992. STEIN, Sherman K. y BARCELLOS, Anthony. Clculo y geometra analtica. Quinta edicin.

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D.F.: Cengage Learning Editores, 2010.

38

STEWART, James. Clculo diferencial e integral. Segunda edicin. Bogot: Thompson editores, 2007.

SWOKOWSKI, Earl W. Clculo con geometra analtica. 2da edicin. Mxico: Grupo editorial

Iberoamrica, 1989. THOMAS, George B. Clculo de una variable. Decimosegunda edicin. Mxico: Addison-

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Thomsom Learning, 2002. ZILL G., Dennis. Clculo con geometra analtica. Mxico: Grupo editorial Iberoamrica,

1987.