Universidad Nacional de Colombia - Sede ManizalesDepartamento de Matematicas y Estadıstica

Taller: Distribuciones de Probabilidad y Variables Aleatorias ContinuasEstadistica i

1. El tiempo requerido por los estudiantes para presentar un examen de una hora es una variable aleatoriacon funcion de densidad dada por

f(y) =

{cy2 + y 0 ≤ y ≤ 1

0 en cualquier otro punto

(a) Determine el valor de c (1.5)

(b) Obtener F (y)

(c) Graficar f(y) y F (y)

(d) Calcular la probabilidad de que un estudiante termine en menos de media hora. (0.1875)

(e) Dado que un estudiante necesita al menos de 15 minutos para presentar el examen, encuentre laprobabilidad de que necesita al menos 30 minutos para terminarlo. (0.8455)

2. Una gasolinera tiene dos bombas, que pueden bombear cada una hasta 10000 galones de gasolina pormes. La cantidad total de gasolina bombeada en un mes es una variable aleatoria Y (expresada en diezmiles de gasolina), con una funcion de densidad de probabilidad dada por

f(y) =

⎧⎨⎩y 0 < y < 1

2 − y 1 ≤ y < 2

0 en cualquier otro punto

(a) Obtener F (y)

(b) Graficar f(y) y F (y)

(c) Calcule la probabilidad de que la gasolinera bombee entre 8000 y 12000 galones en un mes.

(d) Si se sabe que la gasolinera ha bombeado mas de de 10000 galones en un mes en particular,encuentre la probabilidad de que haya bombeado mas de 15000 galones durante el mes.

3. Se pueden modelar las magnitudes sismicas registradas (segun la escala de Richter) en una region deNorteamerica mediante una distribucion exponencial con media 2.4. Obtenga la probabilidad de quela magnitud de un sismo en esta region,

(a) sea mayor que 3.0 (escala Richter)

(b) caiga entre 2.0 y 3.0 (escala Richter)

4. Las puntuaciones en un test de biologia eran 0,1,2,...10 puntos, segun el numero de respuestas correctasde entre las 10 cuestiones. La nota media fue 6.7 y la desviacion estandar 1.2. Supunga que las notasestuvieran normalmente distribuidas, determinar:

(a) el porcentaje de estudiantes que tuvo 6 puntos. (27%)

(b) la nota maxima del 10% mas bajo. (5)

(c) la nota mınima del 10% mas alto de la clase. (8)

NOTA:Para aplicar la distribucion normal a datos discretos es necesario tratarlos como continuos. Esdecir la nota 6 se considera que esta en el intervalo (5.5,6.5)

5. El diametro medio interior de una muestra de 200 tubos producidos por una maquina es 0.502 pulgadasy la desviacion estandar es 0.005 pulgadas. El uso de los tubos permitira una tolerancia en el diametrode 0.496 a 0.508 pulgadas; de otro modo, se consideraran defectuosos. Determinar el porcentaje detubos defectuoso, con el supuesto de que los tubos producidos por esa maquina estan normalmentedistribuidos.

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6. La longitud de tiempo para que un individuo sea atendido en una cafeterıa, es una variable aleatoriaque tiene una distribucion exponencial con una media de 4 minutos.

(a) Cual es la probabilidad de que una persona sea atendida en menos de 3 minutos, en al menos 6de los siguientes 10 dıas?

(b) Cual es la probabilidad de que sea atendida en menos tres minutos, al tercer dia del mes?

7. El tiempo empleado para ir de un hotel al aeropuerto por la ruta A, se distribuye normalmente conuna media igual a 27 minutos y desviacion estandar igual a 5 minutos; por la ruta B la distribucion esnormal con media igual a 30 y desviacion estandar igual a 2. Que ruta conviene utilizar si se disponede 30 minutos y 34 minutos?

8. La duracion de las barreras de perforacion para pozos petroleros depende de las caracteristicas geologicasque se encuentren, pero se estima que su duracion media es de 75 horas. Si una compania exploradorade petroleo adquiere barreras que tienen una duracion con una distribucion aproximadamente normalcon media de 75 horas y desviacion estandar de 12 horas,

(a) Que proporcion de barreras de perforacion fallara antes de 60 horas?

(b) Que proporcion durara al menos 60 horas?

(c) Que proporcion debera ser reemplazada despues de mas de 90 horas de uso?

9. El tiempo de un viaje (ida y vuelta) de los camiones que transportan concreto hacia una obra deconstruccion en una carretera, est”a distribuido uniformemente en un intervalo de 50 a 70 minutos.

(a) ¿ Cual es la probabilidad de que la duracion del viaje sea mayor a 65 minutos si se sabe que laduracion del viaje es mayor a 55 minutos?

(b) Cuanto se espera que dure el viaje?

(c) Cuanto varia el tiempo con respecto al tiempo promedio el viaje?

10. El numero de tarjetas defectuosas de circuito impreso que salen de una maquina de soldadura, sigueuna districucion de poisson. Se encontro una tarjeta defectuosa durante una jornada especifica de 8horas de trabajo.

(a) Halle la probabilidad de que haya sido producida durante la primera hora de opercion de ese dıa.(0.125)

(b) Halle la probabilidad de que haya sido producida durante la ultima hora de operacion de ese dıa.(0.125)

(c) Obetenga la probabilidad de que la tarjeta se haya originado durante la quinta hora, dado que nose produjeron tarjetas defectuosas en las primeras 4 horas de produccion. (0.5)

NOTA: Algunas distribuciones como la distribucion de poisson,tienen aproximadamente distribucion uni-forme. Por ejemplo las llamadas telefonicas que llegan a un conmutador, si se sabe que exactamente uno detales eventos ha ocurrido en un intervalo dado, digamos (0,t), entonces el tiempo real de ocurrencia tendriauna distribucion uniforme.

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