UNIVERSITAT DE BARCELONAUBProblemasyConjeturasdelaTeoradeGrafos(TrabajoAcademicamenteDirigido)Autora:CristinaAra uzLombardaTrabajoAcademicamenteDirigidoporF.JavierSoriadeDiegoSemestredeOto nodelcurso2008/2009LicenciaturadeMatematicasUniversitatdeBarcelonaIndicegeneralIntroduccion 31. Resultadosbasicos 51.1. Denicionesbasicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2. ElTeoremadeEuler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3. Caminosyconexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4. Subgrafos,eliminacionyadicion . . . . . . . . . . . . . . . . 121.5. Tiposdegrafos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.6. Distancias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.7.Arboles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182. Planaridad 232.1. Grafosplanosyplanares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.2. Grafosduales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.3. FormuladeEuler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.4. Elevaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.5. Subdivisionesyconjuntoscortantes. . . . . . . . . . . . . . . 412.6. TeoremadeKuratowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473. N umerosdecorte 533.1. Dibujosyn umerodecortedeungrafo. . . . . . . . . . . . . 533.2. N umerodecortedeKn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.3. N umerodecortedeKm,n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6813.4. Comportamientoasintoticode cr(Kn)ycr(Km,n). . . . . . . 794. Coloraciondevertices 854.1. N umerocromatico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 864.2. Unalgoritmobasicodecoloracion . . . . . . . . . . . . . . . 894.3. Cotasparaeln umerocromatico . . . . . . . . . . . . . . . . . 914.4. Coloracionengrafosplanares . . . . . . . . . . . . . . . . . . 974.5. LasconjeturasdeHadwigeryHajos . . . . . . . . . . . . . . 1015. TeoremadeTuranypropiedad(n, k) 1035.1. TeoremadeTuran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1035.2. TeoremadeTuranparaelcasok= 3. . . . . . . . . . . . . . 1055.3. DemostraciondelTeoremadeTuran . . . . . . . . . . . . . . 1065.4. Propiedad(n, k) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1076. LaConjeturadeUlam 1116.1. ConjeturadeUlamparagrafos . . . . . . . . . . . . . . . . . 1116.2. Unicidaddelareconstruccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1136.3. Existenciadereconstrucciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118Bibliografa 123Indicealfabetico 127IntroduccionLamonoografaquesepresentaacontinuaciones el resultadodeunTrabajoAcademicamente Dirigido, asignaturadel segundociclodelaLi-cenciaturadeMatematicas. Estetrabajotienecomoobjetivoprincipal laintroduccionalos resultados basicos delaTeoradeGrafos, as comolafamiliarizaciondellectorconlosproblemasylasconjeturasmasconocidasenestecampo.LaTeoradeGrafosesunaramarelativamentenuevadelasmatemati-cas, pues su nacimiento tuvo lugar en el a no 1736 de la mano del matematicoLeonhard Euler. Su objetivoera encontraruna solucional famosoproblemadelossietepuentesdeKonigsberg[12] y, usandounasimpleperoefectivaherramientamatematicadesuinvencion,descubrioquedichoproblemanotenasolucion. Estaherramientasehaidodesarrollandopordiversosma-tematicos,entreelloselpropioEuler,yesloqueahoraconocemoscomolaTeoradeGrafos.Aunquesimpleensuplanteamientoodenicionesbasicas, laTeoradeGrafosesa ununcampoenplenodesarrollodel quequedanmuchospro-blemasporresolveryconjeturaspordemostrar.Enestetrabajosedaunamuestra tanto de la facilidad de trabajo con las deniciones basicas como delacrecientecomplejidadqueseadquiereal trabajarcongrafosdemaneraabstractaydelosmotivosdeestasdicultadesenalgunosde estoscasos.LaTeoradeGrafosconstadeunaimportantepartecomputacional yalgortmica,debido a la casusticasiempre presente en ella.En este trabajo,sinembargo,setratatansololaparteteoricade lamismay lasincursionesenlapartealgortmicasonanecdoticas. Larazonparaelloes que, comoyasehadicho, lacomputaciontratacasoporcasoyesunaherramientasustitutiva para aquellos resultados que la mano del hombre no podra llegara comprobar o estudiar en un tiempo razonable; el objetivo de este proyecto,sinembargo,esdarunavisiongeneralyampliadeestateora.Unadelasmetasesencialeshasidoladecrearuntrabajoautoconteni-do, dondetodasaquellasdeniciones, nocionesoresultadosqueseusaranhubieran sido previamente detalladas en el mismo. Esto se ha conseguido en34granparte,exceptuandoelusodealgunosresultadosquenosehandemos-trado o bien por su elevada dicultad o bien porque se trataba de resultadosdeotrocampodelasmatematicas.El contenidodeestetrabajoabarcadiversostemas muydiferenciadosentreellos. Enel primer captuloseintentadar unbreveperodetalladoresumendelas deniciones mas usadas ylos resultados relacionados conellas. Enel resto de captulos nos adentramos enel estudiode diversosproblemasyconjeturasdelaTeoradeGrafos.El Captulo2estudiael problemade laplanaridadde los grafos (lapropiedaddepoderrepresentarloscorrectamenteendosdimensiones)ysellegaal TeoremadeKuratowski, resultadoquedeterminacu andoungrafotieneestapropiedad.El Captulo3, encambio, estudialaspropiedadesdeaquellosgrafosquenosonplanaresmediantesun umerodecortey, dadoqueel problemaadquiereunacomplejidadelevada, seestudiael n umerodecortedeunaclaserestringidadegrafosparadarunaacotaciongeneral.EnelCaptulo4setrataelproblemadelacoloracionque,probablemente,seaunodelosresultadosmasfamososdeestecampo;tambiensedetallalainteresante historia de dicho problema y del conocido Teorema de los CuatroColores, as como algunas conjeturas relacionadas con el tema. El Captulo 5trata problemas lmite de la Teora de Grafos y esta completamente dedicadoa la demostracion del Teorema de Turan y a algunos resultados similares queusan la propiedad (n, k). Finalmente, en el Captulo 6 se estudia la ConjeturadeUlamensuversionparagrafosyseintentaarrojarunpoco deluzsobreellademostrandoqueenalgunoscasosconcretosestasecumple.Captulo1Resultadosbasicos1.1. DenicionesbasicasUngrafoesunparG=(V, E)deconjuntosnitosV =V (G)yE=E(G). El primero, V (G), esunacoleccionnovacadepuntosalosquesellama verticesde Gy elsegundo, E(G),es una coleccionde lneas que unenelementos de V (G), llamadas aristasde G. Se dice que dos vertices u, v Vsonadyacentes si estanunidosporunaarista, generalmenterepresentadapor uv, y se diceque estos verticesson los extremosde dicha aristao,dichodeotramanera,estaaristaesincidenteenuyv.Unamaneramuyhabitual derepresentarungrafoconsisteendibujarunpuntopor cadavertice del grafoyunir dos deestos puntos conunalneasi existeunaaristaqueunalosdosvertices correspondientes. EnlaFigura1.1sepuedeverlarepresentaciongracadel grafoG=(V, E)conV = {u, v, w, x, y}yE= {uv, uw, xu, vx}: vyusonadyacentesmientrasque wyxno loson,uwesincidenteen uyenwyninguna aristaincideeny. Aunquelasaristasvxyuwsecrucenenel dibujosuinterseccionnoesunverticedeG.uvxwyFigura1.1:Representaciongracade G.56 CAPITULO1. RESULTADOSBASICOSCuando dosaristassecruzanenlarepresentaciongracadeungrafosedicequesecortanysellamacorte al puntodeinterseccionentreambas.Porejemplo,enlaFigura1.1lasaristasvxyuwsecortan.Sidos verticesestanunidos por masde una arista,sedice que estassonaristasm ultiples. Unaaristaquetienecomoextremosaunmismoverticesedenominalazo.Ungrafosedicequeessimplecuandonotieneniaristasm ultiplesni lazos.El grafo G1de laFigura1.2es ungrafosimple, mientrasque G2no lo es por dos razones:la arista e es un lazoy las aristas fy gsonm ultiples.G1G2fgeFigura1.2:Ejemplosdegrafossimples,aristasm ultiplesylazos.Es conveniente observar que, en un grafo simple con n vertices, el maximon umeroposibledearistasesn(n 1)2=_n2_,puescadaverticepuedetener,comomucho, n 1verticesadyacentes,estoes,n 1aristasincidentes,ysisecuentantodasestasaristaspor cadaunodelosnverticesenrealidadseestacontandocadaaristadosveces.Seconsideraquedosgrafossoniguales si tienenel mismoconjuntodeverticesy el mismo conjunto de aristas, independientemente de su represen-tacion graca. Dos grafos G y Hson isomorfossi existe una correspondenciabiyectivaentresusconjuntosdevertices : V (G) V (H)tal queuv E(G)si, ysolosi, (u)(v) E(H). Ental caso, seescribeG =H. EnlaFigura1.3losgrafosG1yG2sonigualesylosgrafosG3yG4sonisomorfos,puestomandolaaplicacionbiyectiva : V (G3) V (G4)vi witenemosquevivj E(G3)si,ysolosi,wiwj E(G4).Porejemplo,existen11grafossimplesnoisomorfoscon4vertices(verFigura1.4).1.2. ELTEOREMADEEULER 7G1G2G3G4abc abcv1v2v3v4w1w2w3w4Figura1.3:Igualdad,isomorfa.Figura1.4:Todoslosgrafossimplescon4vertices.UninvariantedeungrafoGesunn umeroasociadoal grafoquetieneel mismovalor para cualquier grafo isomorfo aG. Por ejemplo, dos in-variantes deungrafosonel n umerode vertices, quesedenotapor =(G) = card (V (G)),y eln umerodearistas,que sedenotapor = (G) =card (E(G)). Dos grafos con el mismo n umero de vertices y el mismo n umerodearistasnotienenporqueserisomorfos;unbuenejemplodeellosonlosgrafosG1yG2delaFigura1.5, amboscon4verticesy3aristasperonoisomorfos.G1G2Figura 1.5: Ejemplo de dos grafos no isomorfos con igual n umero de verticesyaristas.1.2. El TeoremadeEulerEl gradod(v)de un verticevde un grafo G es, por denicion, el n umerode aristas incidentes en dicho vertice, donde los lazos se cuentan dos veces. Se8 CAPITULO1. RESULTADOSBASICOSdenen los invariantes grado mnimo (G) y grado maximo (G) de un grafoGcomoel mnimoyel maximogradodesusvertices, respectivamente. Lasucesiondegradosde un grafo G esla sucesionde losgrados de losverticesde G, ordenada de manera creciente.En la Figura 1.6 se puede observar queG tiene grado mnimo = 1 y grado maximo = 5, y g(v) = 3. La sucesiondegradosdeGes {1, 2, 2, 3, 3, 5}.vGFigura1.6:Ejemplodegradomnimo,gradomaximoysucesiondegrados.Es obvioquedos grafos isomorfos tienenidenticasucesiondegrados.El recproco, sinembargo, no es cierto: enla Figura 1.7 se muestra uncontraejemplo,pues G1yG2tienenamboslasucesiondegrados {1, 2, 3}ynosongrafosisomorfos.G1G2Figura1.7: Ejemplodedosgrafosnoisomorfosconlamismasucesiondegrados.SiseobservanlosejemplosdadosporlasFiguras1.6y1.7sepuedeverasimplevistaquelasumadelosterminosdelasucesiondegradosdelosgrafosG, G1yG2da, respectivamente, 16, 6y6, cifraqueesel dobledesu n umero de aristas (8, 3 y 3, respectivamente).Es esto una coincidencia?LeonhardEuler,en1736, observoel mismohecho[12] yconcluyoqueesteresultado se cumple para todos los grafos, dando lugar al primer teorema delahistoriaenTeoradeGrafos:Teorema1.2.1(TeoremadeEuler) Lasumadelosgradosdetodoslosverticesdeungrafoesel dobledesun umerodearistas.

vVg(v) = 2.1.3. CAMINOSYCONEXION 9Demostraci on: Como toda arista (incluyendo los lazos) tiene exactamentedosextremos, todaaristatienedosincidenciasenel conjuntodevertices.As,2eseln umero totaldeincidenciasenelgrafo,esdecir,esla sumadetodoslosgradosdelosverticesdelgrafo. 2Se dice que un grafo es r-regularsi = =r, esto es, si todos los verticestienen el mismo grado r. En la Figura 1.8 se muestran grafos r-regulares conr = 1(a),r = 2(b),r = 3(c)yr = 4(d).(a) (b)(c) (d)Figura1.8:Ejemplosdegrafosr-regularesconr = 1, 2, 3y4.1.3. CaminosyconexionUn camino de longitud k en un grafo G es una sucesion alternada de k+1verticesykaristasW= v0e1v1e2v2. . . vk1ekvk,donde visonlosverticesyejson lasaristas, talque los extremosde eisonvi1y vipara 1 i k. Sedice que Wes un camino de v0a vk. Los verticesv0y vkse llamanel origenyelnal delcaminoW,respectivamente,yelrestodeverticesv1, . . . , vk1sonlosverticesinteriores deW. AvecessedenotaratambienaWcomoW= v0v1 vk1vk.Observacion1.3.1Ladenicionanteriorpermitequeserepitanverticesy/oaristasenunmismocamino.Sedicequeuncaminoessimplecuandonohayrepeticiondearistasyqueeselemental cuandonohayrepeticiondevertices(y, enconsecuencia,nohayrepeticiondearistas).UncaminocerradoenGesuncaminocuyosverticesorigenynalsonelmismo;cuandonoexistarepeticiondeverticesinterioresdichocaminocerradosellamaraciclo.10 CAPITULO1. RESULTADOSBASICOSEnlaFigura1.9semuestranejemplosdetodosestostiposdecaminos,marcadosconlneasmasgruesas.Porejemplo,elcaminoW1= v0e1v1e2v2e3v3e4v4e5v5e6v3e3v2e7v6tiene longitud 8, con origen v0 y nal v6 y vertices interiores {v1, v2, v3, v4, v5}.W1 no es ni simple, ni elemental, ni cerrado. W2= v0e1v1e2v2e8v7e9v3e3v2e7v6,sinembargo,esuncaminosimpleyW3= v0e1v1e2v2e7v6esuncaminoele-mental. W4=v0e1v1e2v2e3v3e9v7e8v2e10v8e11v0es uncaminocerradodelongitud7peronoesunciclo. W5=v0e1v1e2v2e10v8e11v0esunciclodelongitud4.e3v0v1v2v3v4v5v6v7v8e1e2e4e5e6e7e8e9e10e11e12G(a)W1e3v0v1v2v3v4v5v6v7v8e1e2e4e5e6e7e8e9e10e11e12G(b)W2e3v0v1v2v3v4v5v6v7v8e1e2e4e5e6e7e8e9e10e11e12G(c)W31.3. CAMINOSYCONEXION 11e3v0v1v2v3v4v5v6v7v8e1e2e4e5e6e7e8e9e10e11e12G(d)W4e3v0v1v2v3v4v5v6v7v8e1e2e4e5e6e7e8e9e10e11e12G(e)W5Figura1.9:Ejemplosdediversostiposdecaminosenelgrafo G.Como en el caso del campo de la Topologa, en Teora de Grafos tambiensenecesitahablardecomponentesconexas. UngrafoGesconexosi todopar de vertices u, v G estan unidos por un camino elemental de u a v. Unaconsecuenciaautomaticadeestadeniciones quetodografoes launiondisjuntadegrafosconexos, alosquellamaremoscomponentesconexas. Enla Figura 1.10 G1es un grafo conexo y G2no lo es, pues tiene 2 componentesconexas.G1G2eFigura1.10:ComponentesconexasenG1yG2.Sedenotapork(G)el n umerodecomponentesconexas deungrafoG.Porejemplo,k(G1) = 1yk(G2) = 2enlaFigura1.10.12 CAPITULO1. RESULTADOSBASICOS1.4. Subgrafos, eliminacionyadicionAparte del estudio de las caractersticaso propiedades de un grafo ensutotalidad, tambiensepuedeestudiarsolamenteunaregionounapartedelmismo. Por ejemplo, dado un grafo no conexo a veces es conveniente estudiarcadaunade sus componentes conexas por separado. Mas a un, podemosestudiarconjuntosarbitrariosdeverticesyaristasdeungrafocualquiera.Unsubgrafo G

deungrafoGes ungrafoquetienetodossusvertices yaristasenG, demaneraquetodaaristadeG

incidaenverticesdeG

. Sedicequeunsubgrafoes expansivo cuandocontienetodos los vertices delgrafodepartida.EnlaFigura1.11G1yG2sonsubgrafosdeG, perosoloG2esexpansivo.G1G2 GFigura1.11:Ejemplosdesubgrafos.Lamayorpartedelossubgrafosquemerecelapenaestudiarsonaque-llos quedierendemaneramnimadel grafodepartida, pues conservancasitodassuspropiedadesysonlaspeque nasdiferenciaslasquemuestrandetallesimportantes. Esporelloqueexistenciertasmanerasdemodicarmnimamenteungrafo,comosemuestraenlossiguientesparrafos.EliminarunaaristaedeungrafoGesquitarladelconjuntodearistasdeG, obteniendounsubgrafodeGdenotadoporG e,queesexpansivo.Losgrafostambiensepuedenmodicara nadiendoelementos: porejemplo,la adiciondeunaaristae en un grafo G es el resultado de a nadir una aristaal conjuntoE(G)tal queunadosverticescualesquierayaexistentesenelgrafo.SeescribeG + e.DadoungrafoG = (V, E),unaaristae E(G)esun puentede G si el subgrafo obtenido al eliminarlatiene mas componentesconexasqueG.Proposicion1.4.1Cuandoseeliminaunpuentedeungrafoseobtieneunsubgrafoconexactamenteunacomponenteconexamasqueel grafodepartida.Demostraci on: Al eliminar un puente de un grafo se estan separando (porserpuente)exactamentedosregionesdelgrafodepartidaqueestanunidaspor una sola arista, debido a que toda arista tiene exactamente dos extremos.1.4. SUBGRAFOS,ELIMINACIONYADICION 13Tal arista no puede unir mas regiones porque no tiene mas extremos. As, elsubgrafo obtenido tiene una componente conexa mas que el grafo de partida.2Por ejemplo, retomando la Figura 1.10, la arista e de G1 es un puente y aleliminarlaseobtieneelgrafoG2que,efectivamente, tieneunacomponenteconexamasqueG1.Proposicion1.4.2SeaGungrafo. Setienequee E(G) esunpuentesi,ysolosi,enoperteneceaning unciclodeG.Demostraci on: Seae E(G)unpuente.PorlaProposicion1.4.1sesabeque Ge tiene una componente conexa mas que G. Si e pertenece a un cicloCdeGytieneextremosv0yv1enV (G)podemossuponer,sinperdidadegeneralidad, queC=v0ev1e2. . . vk1ekv0paraalgunak. As, C eeselcaminoelementalv1e2. . . vk1ekv0.Ahorabien, C e Gey,portanto,v0y v1estan unidos por un camino en Ge. Como v0y v1son los extremosdee,ala nadireaGenoseaumentaeln umerodecomponentesconexasdelgrafoporquev0yv1yaestanunidos.Observandoque(Ge) + e = Gsellegaacontradiccion.Recprocamente,siunaaristae E(G)conextremosv0yv1noperte-nenceaning unciclodeGsetienequelosextremosdeeestanunidosporun unicocamino,queesprecisamente v0ev1.As,Genotienetalcaminoy,portanto,tieneunacomponenteconexamasqueG,indicandoasqueeesunpuentedeG. 2Prescindir de un verticeenun grafono es tansimple comoeliminarunaarista, pues al quitar un vertice todas las aristas incidentes en este pierden unextremo.En consecuencia,es necesariauna buena denicionde estaaccion:la eliminacion de un verticev de un grafo G consiste en quitar v del conjuntodeverticesV (G)ytodaslasaristasincidentesenvdelconjuntodearistasE(G),obteniendounsubgrafodeGdenotadoporGv.Laeliminaciondeunconjuntodearistasy/overticesdeun grafovienedenidaporlaeliminacionunoaunodeestoselementos.Otraoperacionmuyusadaparaalterarligeramenteungrafoeslacon-traccionde aristas.Esta consiste eneliminar la arista que se contrae eidenticarsus dosextremosenunsolovertice.Unacontracciondelaaristaeenel grafoGsedenotaporG e. SedicequeungrafoGescontrableaun grafo Hcuando existe una sucesion nita de contraccionesde aristas quetransformaGenH.La Figura 1.12 ilustra todos los conceptos aqu denidos: fes un puente,pues al eliminarlo se obtiene el subgrafo G2de G, que tiene una componente14 CAPITULO1. RESULTADOSBASICOSconexamas; G1yG2muestranlaeliminaciondeunaarista, G3ladeunvertice,G4laadicionyG5lacontracciondeunaarista.GefuvG1= GefuvG2= GfeuvG3= Guefv1.5. TIPOSDEGRAFOS 15G4= G+uvefuvuvG5= G efuvFigura1.12:Ejemplosdeadicionyeliminacion.Seg un la Conjetura de Ulam, que se detallara mas adelante en este traba-jo, la coleccion de subgrafos Gvi de G, donde vi G, da mucha informacionsobre elgrafode partida G hastatalpunto que estese puede determinardemanera unicaapartirdetodosellos.1.5. TiposdegrafosEs de utilidad poder clasicar ciertos grafos seg un su n umero de verticesyaristas oseg unlas propiedades que cumplen. Acontinuacionse daladeniciondealgunosdeestostiposdegrafosqueseutilizaranalolargodeestetrabajo.El llamado grafo trivial es el grafo formado por un solo vertice y ningunaarista. Ademasdeestegrafo, existenmuchosotrostiposdegrafosque, alrestringirproblemasdeungradoelevadodedicultadsobreellos, arrojanciertaluzsobrelasolucion.Esteeselcaso,porejemplo,delosgrafoscom-pletosyel problemadel maximon umerodecorteenungrafocualquiera,problemaqueseestudiaramasadelanteenestetrabajo.Un grafocompletode n vertices,Kn, es un grafosimple con nverticesy(n 1)-regular.Usando elTeoremade Euler (Teorema1.2.1)se deduce que16 CAPITULO1. RESULTADOSBASICOSeln umerodearistasdeestegrafoes(Kn) =12

vV (Kn)g(v) =n(n 1)2=_n2_.Como se ha demostrado antes,_n2_ es el n umero maximo de aristas que puedetenerungrafosimpledenvertices. Precisamenteel grafocompletorecibeestenombreporquealcanzaestemaximo.Un grafonulode n vertices,Nn, es el grafo de n verticescon el conjuntode aristas vaco; se puede decir que es la union disjunta de n grafos triviales.Los grafos planosPnson caminos elementales de n vertices con, obviamente,n 1aristasylosgrafoscclicosCnsonciclosdenvertices.Estos ultimossongrafos 2-regulares, pues todocicloes uncaminoelemental dondelosverticesorigenynalsonelmismoyentodocaminoelementallosverticesinteriores noserepitenyunenexactamente dos aristas. As, los verticesinteriores de un grafo cclicotienengrado 2 y, nalmente, los verticesorigeny nal, que son el mismo, tienen grado 2 porque la primera y la ultima aristadelcicloincidenen el.Obviamente,losciclosde nverticestienennaristas.Estos tipos de grafos presentan una peculiaridad: si dos grafos completos(onulos,oplanos,occlicos)tienenelmismon umerodev ertices, entoncessonisomorfos.Acontinuacion,enestayenotrassecciones de estecaptulo,seestudiaranotrostiposdegrafoscuyasdenicionespermitenqueexistangrafos del mismo tipo con el mismo n umero de vertices y no isomorfos: grafosbipartitos,arboles,. . .Ungrafobipartitoesungrafocuyoconjuntodeverticestieneunapar-ticionendosconjuntosXeY tales quecadaaristatieneunextremoenXyunextremoenY . Ungrafobipartitocompleto es ungrafobipartitosimpleconparticion(X, Y )enelquecadaverticedeXesadyacenteato-doverticedeY ; si |X| =my |Y | =ntal grafosedenotaporKm,n, con (Km,n) = m+nverticesy(Km,n) = mnaristas.Teorema1.5.1Ungrafoes bipartitosi, ysolosi, nocontienening uncicloconunn umeroimpardevertices.Demostraci on: Sea G un grafo bipartito con particion (X, Y ). Sea x1. . . xlunciclodeG. Podemossuponer, sinperdidadegeneralidad, quex1 X.Entonces, necesariamentex2 Y , x3 X, x4 Y yas sucesivamente:xi Xsi,ysolosi, iesimparyxi Y si,ysolosi,iespar.Como xldebeperteneceraY ,lespar.Recprocamente, supongamos queGnocontiene ning uncicloconunn umero impar de vertices.Como un grafo es bipartito si, y solo si, cada unade sus componentes conexaslo es,podemos suponer que G es conexo.Sea v1.6. DISTANCIAS 17unverticedeV (G)yseaX:= {u |d(v, u)esimpar}.SeaY:= V (G) X.ConsideremoslaparticiondelosverticesdeGenesasdosclasesX, Y .Noexiste ninguna arista que una dos vertices de la misma clase, pues si existieraentoncesGcontendrauncicloconunn umeroimpardevertices.As,Gesbipartitoconparticion(X, Y ). 2Esfacil observarque,sisecolorearanlosverticesdeungrafobipartitocon colores diferentes, bastara usar solamente dos colores para conseguir quetodoslosparesde verticesadyacentestuvierandistintocolor.EstacuestionseraestudiadamasafondoenelCaptulo4deestetrabajo.Acontinuacion, enla Figura 1.13, se detallanejemplos de todos losgrafos denidos en estaseccion.Como se puede observar, existengrafosquepertenecenamasdeunacategora.grafotrivialK3oC3C2K4K5N3P4C6C1grafobipartitoK3,3K3,5Figura1.13:Ejemplosdegrafos.1.6. DistanciasLadistanciad(u, v)entredosverticesuyvdeungrafoGeslalongi-tudmenordetodosloscaminoselementales quelosunen. Si uyvnoseencuentranenlamismacomponenteconexa,se diceque d(u, v) = .Enla18 CAPITULO1. RESULTADOSBASICOSFigura 1.14 la distancia entre los vetices w y v del grafo G es 3 y la distanciaentreuyves porquenoseencuentranconectadosporning uncamino.u vwGFigura1.14:Ejemplosdedistanciasentrevertices.Proposicion1.6.1Enungrafoconexo,ladistanciadeneunametrica.Demostraci on: Sea G un grafo conexo.Para todo u, v, w V (G) se tiene:1. d(u, v) 0;d(u, v) = 0si,ysolosi,u = v.2. d(u, v) = d(v, u). Basta tomar el camino inverso a un camino elementalcond(u, v)aristasentreuyv.3. SiW1esuncaminoelemental cond(u, v)aristasentreuyvyW2esuncaminoelemental cond(v, w)aristasentrevyw, entoncesW=W1W2es un camino elemental que une u y w y tiene longitud menoroigualqued(u, v) +d(v, w).Wpuedenoserelcaminoelementalconmenordistanciaentreuyw; estalongitudsimplementedaunacotasuperiorparaestadistancia.As,d(u, w) d(u, v) +d(v, w).Esdecir,paratodografoconexoladistanciaesunametrica. 21.7.ArbolesSedicequeungrafoes unarbol si es conexoynotieneciclos. Estadenicion, que a simple vista no parece ser demasiado restrictiva, en realidadloes: el n umerodearistasdeunarbol determinasun umerodeverticesyviceversa, comoseveraenlaProposicion1.4.2.Noobstante,antessedebeconocerelsiguienteresultado:Teorema1.7.1Ges un arbol si, y solo si, todo par de vertices de Gestaunidoporunsolocamino(elemental).1.7.ARBOLES 19Demostraci on: Sea G un arbol. Como, por denicion, G es conexo, enton-ces existeun caminoelementalentre todo par de verticesde G.Ahora bien,estecaminoes unico:siuyvsondosverticescualesquieradeGysupone-mosqueexistendoscaminosdistintosdeuav, al unirdichoscaminosseformara un subgrafo de G que contendra un ciclo,debido a que existen doscaminosdiferentes,hechoque nosllevaauna contradiccion.Recprocamen-te, si todopardeverticesdeGestaunidoporunsolocaminoelemental,obviamenteGesungrafoconexoy,ademas,Gnocontieneciclosporquesiexistieraunciclotodoslosparesdeverticesenel sepodranunircondoscaminosdistintos. 2EnlaFigura1.15sepuedenverdiferentestiposdearboles.Figura1.15:Ejemplosdearboles.Para lasiguiente proposicionsera de utilidadremarcar que unarbolexpansivo es, aplicandola denicionde subgrafoexpansivo, unsubgrafoexpansivoque,asuvez, esunarbol.Todografoconexotienealmenosunarbol expansivo,pues se puede construir uno eliminando una aristade cadaciclo.Proposicion1.7.2Gesunarbol si,ysolosi,(G) = (G) + 1.Demostraci on: Por induccion en . Sea G un arbol con = 1. Como G notieneciclos,enparticularnotienelazosy,portanto,no puedeteneraristasdebidoaque tiene unsolovertice. As, =0, cumpliendolaigualdad.Supongamosahoraquelaigualdadsecumpleparatodos los arboles conmenosdevertices yseaGunarbol con 2. Seauv Eunaaristacualquiera de G con extremos u y v. Como G es un arbol, Guv no contienening un camino de u a v, pues por el Teorema 1.7.1 uv es el unico camino de ua v en G. As, Guvno es conexo y su n umero de componentes conexas es 2por la Proposicion 1.4.1.Sean G1y G2tales componentes. Como ambas son20 CAPITULO1. RESULTADOSBASICOSsubgrafos de Guvquien, a suvez,es subgrafo de G,setieneque G1y G2sonsubgrafosdeunarbol y,enconsecuencia,notienenciclos.Ademas,porserconexas, G1yG2sonarboles.Comoambastienenmenosdeverticesporconstruccion,porlahipotesisdeinduccionsetiene que (Gi) = (Gi) + 1, parai = 1, 2y,enconsecuencia,(G) = (Guv) + 1 = (G1) +(G2) + 1 = (G1) + (G2) 1= (Guv) 1 = (G) 1,cumpliendolaigualdad.Recprocamente,seaGungrafoconexocumpliendolaigualdad(G) =(G) + 1. SeaG

unarbol expansivodeG. Como (G

)= (G), G

tiene(G

)= (G

) 1= (G) 1=(G)aristasporlaprimeraimplicacionyG

essubgrafodeG,sesiguequeG = G

. 2Sin embargo, el hecho de que el n umero de vertices de un arbol determinesun umerodearistasnoimplicaquetodoslosarbolesconidenticon umerodeverticesseanisomorfos. Hay, porejemplo, 2arbolesnoisomorfoscon4vertices,3arbolesnoisomorfoscon5vertices,6arbolesnoisomorfoscon6vertices, 11 arboles no isomorfos con 7 vertices y 23 arboles no isomorfos con8vertices,comosemuestraenlaFigura1.16.Lasiguientetablamuestraeln umerodearbolesnoisomorfosconnverticespara1 n 10[22]:n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101 1 1 2 3 6 11 23 47 106(a) (b)(c)1.7.ARBOLES 21(d)(e)Figura1.16:Todoslosarbolescon4,5,6,7y8vertices.Existeuna maneraalternativadedenir unarbol,dadaporlasiguienteproposicion:Proposicion1.7.3SeaGungrafoconexo. Entonces, Gesunarbol si, ysolosi,todaaristadeGesunpuente.Demostraci on: Sea G un arbol. Por denicion, G un arbol si, y solo si, notieneciclosy, porlaProposicion1.4.2, si ysolosi todaaristadeGesunpuente. 2Captulo2PlanaridadLaplanaridades, agrandesrasgosydemaneraintuitiva, lapropiedadque tiene un objeto de poder vivir dentro del plano, esto es, de poder incluirsedentrodelmismosinperderningunadesuspropiedades.2.1. GrafosplanosyplanaresSe dice que un grafo es planaro que tiene una representacionen el planosi estepuedeser dibujadosobreel planoasignandopuntos alos verticesylneas alas aristas (tal comose deniolarepresentaci ongracaenelCaptulo 1) de tal manera que las lneas se intersequen entre ellas solamenteensusextremos. Tal representaciongracadeungrafoGsellamadibujosincortes o representacionplanar de Gyse puede entender como unaaplicaciondelgrafoGenelplanotalqueacadaverticeleasignaunpuntoy a cada arista una lnea que une los puntos de sus extremos. De hecho, unarepresentacionplanarGdeGpuedecontemplarsecomoungrafoisomorfoaG. Deahoraenadelante, sehablaraderepresentacionplanarcuandosequieraenfatizarelusodelaaplicacionydedibujoencasocontrario.Ungrafoplanoes,abusandodellenguaje,unarepresentacionplanardeun grafo planar. La Figura 2.1 muestra un representacion planarG del grafoplanarG.Esimportanteobservarquecualquiersubgrafodeungrafoplanoestambienplano,puessielgrafodeorigennopresentacortesentrearistastampocolospresentaraningunodesussubgrafos.2324 CAPITULO2. PLANARIDADGGFigura2.1:Ejemplodeunarepresentacionplanardeungrafoplanar.Comosehaadelantadoenel Captulo1, latopologajuegaunpapelmuyimportanteenel estudiodelosgrafos.Losresultadostopologicosqueson especialmente relevantes en el estudio de los grafos planares son aquellosquetratansobrelascurvasdeJordan.UnacurvadeJordanesunacurvacerradaycontinuaquenoseauto-corta. La union de las aristas en un ciclo de un grafo planar constituyen unacurvadeJordanenel plano; estaeslarazondequesedebausarenestaseccionunconocidoteoremarelacionadoconestascurvasparademostrarlaplanaridaddeciertosgrafos.Antes,sinembargo,sedebendenirciertosconceptosparapoderentenderelteorema.SeaJ unacurvadeJordanenel plano. Entonces, el restodel planoestadivididoendosconjuntosabiertosdistintos,unoacotadoyelotrono,llamadoselinteriordeJyelexteriordeJrespectivamente. SeescribeintJparadenotarelinteriordeJyextJparadenotarelexteriordeJysusclausurassedenotanporIntJ=intJyExtJ=extJ, respectivamente.Claramente,IntJ ExtJ= J.AhorayasepuedeenunciarelTeoremadelacurvadeJordan:Teorema2.1.1(TeoremadelacurvadeJordan) DadaunacurvadeJordanJ,cualquierlneaqueunaunpuntodeintJconunpuntodeextJdebecortaraJenal menosunpunto(verFigura2.2).intJextJlJFigura2.2:LalnealcortaaJenunpunto.Dadoqueesteteorematrataconlatopologadel planoy, peseaserintuitivo, la demostracion formal del mismo tiene un alto grado de dicultad,2.1. GRAFOSPLANOSYPLANARES 25nose demostraraeneste trabajo. Se puede encontrar unademostracionformaldelTeoremadelacurvadeJordanen[13].Conesteresultadosepuededemostrar yalanoplanaridaddeciertosgrafos,comoporejemploK5yK3,3.Teorema2.1.2K5esnoplanar.Demostraci on: Porcontradiccion.SupongamosqueexisteungrafoplanoGquesecorrespondeconunarepresentacionplanardeK5.Sedenotanlosverticesde Gporv1,v2,v3,v4yv5.ComoGescompleto,cualquierpardeverticesdeGestaunidoporunaarista.As,sepuedeconsiderarelcicloCformadoporlosverticesv1, v2yv3enesteorden,C=v1v2v3v1abusandodelanotacion. CesunacurvadeJordanenel plano. El verticev4, al noestarenel cicloC,perteneceobienaintCobienaextC.Sedistinguencasos:v4 intCEnestecaso, lasaristas v4v1, v4v2yv4v3dividenint Centresre-gionesintC1,intC2yintC3,dondeC1= v2v4v3v2,C2= v3v4v1v3yC3= v1v4v2v1(verFigura2.3).v1v2v3v4intC1intC2intC3extCCFigura2.3:Siv4 intC.Ahorav5perteneceaunadelas4regionessiguientes: extC, intC1,intC2ointC3.Si v5 extCentonces,porelTeoremade lacurvadeJordan(Teorema2.1.1),laarista v4v5secortaconCenalg unpunto,hechoquecontradicelasuposiciondeque Gesun grafoplano.Enloscasosv5 intCi,coni = 1, 2, 3, laaristav5viunev5,queestaenint26 CAPITULO2. PLANARIDADCi,conel verticevique,porconstruccion, noestanienCinienintCi. Laaristav5vi, portanto, debepasarpordosregionesdiferentes,obligandoaquedichaaristacorteaalgunaotraaristayllegandoacontradiccionconlasuposiciondeque Gesungrafoplano.v4 extCEnestecaso, lasaristasv4v1, v4v2yv4v3dividenextCentresre-giones.Podemossuponer,sinperdidadegeneralidad,quesonintC1,extC2y intC3,donde C1= v2v4v3v2, C2= v3v4v1v3y C3= v1v4v2v1(verFigura2.4),yv2 intC2.v1v2v3v4intCintC3intC1extC2CFigura2.4:Siv4 extC.Ahorav5perteneceaunadelas4regionessiguientes: intC, intC1,extC2ointC3.Si v5 intCentonces,por elTeoremade lacurva deJordan(Teorema2.1.1),laarista v4v5secortaconCenalg unpunto,hechoquecontradicelasuposiciondequeGes plano. Enlos casosv5 intCi,coni = 1, 3,laaristav5viunev5,queestaenintCi,conel verticevique, porconstruccion, noestani enCini enintCi. Laarista v5vi, por tanto, debe pasar por dos regiones diferentes, obligandoa que dicha arista corte a alguna otra arista y llegando a contradiccionconlasuposiciondequeGesplano. Finalmente, siv5 extC2, porconstruccionsetienequev2 intC2y,portanto,laaristav5v2cortaaC2porelTeoremadelacurvadeJordan(Teorema2.1.1), llegandotambienacontradiccion.2.1. GRAFOSPLANOSYPLANARES 27Portanto,K5noesplanar. 2Teorema2.1.3K3,3esnoplanar.Demostraci on: Porcontradiccion.SupongamosqueexisteungrafoplanoGquesecorrespondeconunarepresentacionplanar deK3,3. SedenotanlosverticesdeGporv1,v2,v3,v4,v5yv6.ComoGesbipartitocompleto,podemos suponer que ({v1, v3, v5} , {v2, v4, v6}) es la particion de su conjuntodeverticesylosverticesdelprimerconjuntoestanunidosacualquierotrodel segundo conjunto y viceversa. As, se puede considerar el ciclo Cformadoporlosverticesv1, v2, v3yv4enesteorden, C=v1v2v3v4v1abusandodelanotacion.Cesuna curvadeJordanenelplano.Elverticev5,alnoestarenelcicloC,perteneceobienaintCobienaextC.Sedistinguencasos:v5 intCEneste caso, las aristas v5v2yv5v4dividenint Cendos regionesintC1yintC3,dondeC1= v2v3v4v5v1yC3= v1v2v5v4v1(verFigu-ra2.5).v1v2v3v4v5extCCintC3intC1Figura2.5:Siv5 intC.Ahorav6perteneceaunadelas3regionessiguientes:ext C,intC1ointC3.Siv6 extCentonces,porelTeoremadelacurvadeJordan(Teorema2.1.1), laaristav6v5secortaconCenalg unpunto, hechoquecontradicelasuposiciondeque Gesungrafoplano.Enloscasosv6 intCi, con i = 1, 3, la arista v6viune v6, que esta en int Ci, con elvertice vique, por construccion, no esta ni en Cini en int Ci. La aristav6vi, por tanto, debe pasar por dos regiones diferentes, obligando a quedichaaristacorteaalgunaotraaristayllegandoacontradiccionconlasuposiciondequeGesungrafoplano.28 CAPITULO2. PLANARIDADv5 extCEnestecaso, lasaristasv5v2yv5v4dividenextCendosregiones.Podemos suponer, sinperdidadegeneralidad, quesonextC1yintC3, dondeC1=v4v5v2v3v4yC3=v5v2v1v4v5(ver Figura2.6), yv1 intC1.v1v2v3v4v5intC3CextC1intCFigura2.6:Siv5 extC.Ahorav6perteneceaunadelas3regiones intC, int C3oextC1.Siv6 intCentonces,porelTeoremadelacurvadeJordan(Teore-ma 2.1.1), la arista v6v5se corta con Cen alg un punto, contradiciendolasuposicion.Enelcasov6 intC3laaristav6v3une v6,queestaenintC3,conelverticev3que,porconstruccion,noestanienC3nienintC3.Laaristav6v3,portanto,debe pasarpordosregionesdiferen-tes,obligandoaquedichaaristacorteaalgunaotraaristay llegandoacontradiccionconlasuposiciondequeGesplano. Finalmente, siv6 extC1, por construccionsetienequev1 intC1y, por tan-to, laaristav6v1cortaaC1por el TeoremadelacurvadeJordan(Teorema2.1.1),llegandotambienacontradiccion.22.2. GrafosdualesHastaahorase hapodidoobservar quetodografoplanoGdivideelplanoencierton umero de regionesconectadas;dehecho,estasregionessonsiempre elinterioro exteriorde alg unciclodel grafo.Las clausuras de estasregionessellamanlascarasdeG.LaFigura2.7muestraungrafoplanoGcon6caras,f1,f2,f3,f4,f5yf6.2.2. GRAFOSDUALES 29f6v8v7f5f4f1v1f3Gv2v3v4v5v6f2e1e2e3e4e5e6e7e8e9e10e11e12Figura2.7:Ejemplodecarasdeungrafo.SedenotaporF(G)y(G)alconjuntodecarasyaln umerodecaras,respectivamente, deungrafoplanoG. Todografoplanotieneexactamen-teunacaranoacotada, quesellamalacaraexterior. Porejemplo, enlaFigura2.7lacaraexteriordeGesf1.Sedenotalafrontera deunacaraf deungrafoplanoGporb(f). SiGesconexo,entoncesb(f)sepuedevercomouncaminocerradoenelquesepasadosvecesporcadapuentedeG; cuandob(f)nocontienepuentesesunciclodeG. Porejemplo, enel grafoplanodelaFigura2.7setienequeb(f2) =v1e3v2e4v3e5v4e1v1yb(f5) =v7e10v5e11v8e12v8e11v5e8v6e9v7.Sedicequeunacarafesincidenteenlosverticesyaristasdesufrontera.Sieesunpuenteenungrafoplano, solamenteunacaraesincidenteene;encasocontrario, existendoscarasincidentesene. Sedicequeunaaristaseparalas caras incidentes en ella.El gradodeunacarafen un grafo planoG,dG(f),eseln umerodearistasenlasque estaincide,estoes,eln umerodearistasenb(f),dondelospuentessecuentandosveces.Porejemplo,enlaFigura2.7,dG(f5) = 6.Dadoungrafoplano G,sepuedeconstruirotrografoGdelasiguientemanera:seaunverticefdeGcorrespondiendoacadacarafdeGyseaeunaaristadeGcorrespondiendoacadaaristaedeG; dosverticesfygestanunidosporlaaristaeenGsi, ysolosi, suscorrespondientescarasfygestanseparadasporlaaristaeenG.SedicequeGeselgrafodual deG.Existe una manera natural de crear una representacion de Gen el plano,que consiste en colocar cada vertice fen el interior de la cara fde la repre-sentacionplanardeGydibujarcadaaristaedemaneraquesecorteconlacorrespondientearistaedeGexactamenteunavezysincortarningunaotraaristadeG. EnlasFiguras2.8y2.9semuestraungrafoysudual,dibujadoporelprocedimientonaturalaqudescrito.30 CAPITULO2. PLANARIDAD. . . . . . . . ........... . . . . . . . .......................G GFigura2.8:Ejemplodeungrafoysudual.G......................................................................................................................................................... . . . ........ . . . ....... .............GFigura2.9:Ejemplodeungrafoysudual.Intuitivamente estaclaroquesepuededibujar siempreel dual deungrafoplanodeestamanera. Esmas, estomuestraqueel dual deungrafoplanoesplanar: bastatomarestarepresentacionplanarnatural. NotemosquesieesunlazodeGentonceseesunpuentedeGdebidoaquesi eesunlazo, entonceserodeaaunacaraf deGcuyafronteraesey, portanto, fes un verticeque soloes incidenteen la arista een G, hecho queimplicaqueeesunpuenteenG.Sedebeobservarquedosgrafosplanosisomorfospuedentenerdualesno isomorfos. Por ejemplo, los grafos planos de la Figura 2.10 son isomorfos,pero sus duales no lo son, pues el grafo plano de (a)tiene una cara de grado5mientras queel de(b) notiene tal cara. Por tanto, lanociondedualsolotienesignicadoparagrafosplanosynosepuedeextenderparagrafosplanaresengeneral.2.2. GRAFOSDUALES 31............................................................................................(a)GG............................................................ . . . . . . . . . . . ............................... . . . . . . . . . . . .HH(b)Figura2.10:Ejempodegrafosplanosisomorfoscondualesno isomorfos.Las siguientes relaciones sonconsecuencia directade ladeniciondedual:Observacion2.2.1SiGesungrafoplanocondual G,secumple: (G) = (G)(G) = (G)gG(f) = dG(f)Teorema2.2.2SiGesplano,entonces

fF(G)d(f) = 2.Demostraci on:SeaGel grafodual deG. Entonces, porel TeoremadeEuler(Teorema1.2.1)ylaObservacion2.2.1setieneque

fF(G)d(f) =

fV (G)g(f) = 2(G) = 2(G),comosequerademostrar. 232 CAPITULO2. PLANARIDAD2.3. FormuladeEulerExiste una formula sencilla que relaciona el n umero de vertices, el n umerodearistasyel n umerodecarasdeungrafoplanoconexo. EstaformulaseconocecomoFormuladeEuler porqueel matematicoLeonhardEuler ladescubrioparaaquellosgrafosplanosdenidosporlosverticesyaristasdelos poliedros y mostro que esta se poda extender para grafos planos con unasolacomponenteconexa.Teorema2.3.1(FormuladeEuler) SiGesungrafoplanoconexo,en-tonces + = 2.Demostraci on: Por induccionsobre. Si Gtiene solamente unacara,es decir, =1, entonces toda arista de Ges unpuente y, como Gesconexo, setienequeGesunarbol (porlaProposicion1.7.3). As, porlaProposicion1.7.2, = 1y,portanto, + = ( 1) + 1 = 2.Supongamos ahoraque laformulaes ciertaparatodos los grafos planosconexos conmenos dencaras. SeaGungrafoplanoconexoconn 2caras. Porel hechodeexistirmasdeunacarasepuedeescogerunaaristaedeGqueno seapuente.Entonces,Geesungrafoplanoconexoytienen 1caras,yaqueladoscarasdeGseparadasporeformanunasolacaraenGe.Porhipotesisdeinduccion, (Ge) (Ge) +(Ge) = 2y usando que (Ge) = (G), (Ge) = (G)1 y (Ge) = (G)1setieneque(G) (G) +(G) = (Ge) (Ge) 1 +(Ge) + 1 = 2,demostrandoaslaformuladeEuler. 2Corolario2.3.2SiGesplanarysimplecon 3,entonces 3 6.Demostraci on: Es suciente demostrar este corolario para grafos conexos.SeaGungrafosimpleconexocon 3. ComoGessimplenopermiteniaristasm ultiplesnilazos,hechoqueimplicaque d(f) 3 f F(G).As,

fFd(f)

fF3 = 3.2.3. FORMULADEEULER 33PorelTeorema2.2.2,setieneque2 =

fFd(f) 3o,loqueeslomismo, 23yporlaFormuladeEuler(Teorema2.3.1),2 = + +23o,loqueeslomismo, 3 6 2Corolario2.3.3SiGesungrafoplanarsimple,entonces 5.Demostraci on: SeaGun grafoplanarsimple.Si = 1,como Ges simplesetieneque = 0y,portanto,= mnvV (G){d(v)} = mn{0} = 0 5.Si= 2,comoGessimplesetieneque 1y,portanto,= mnvV (G){d(v)} mn{1, 1} = 1 5.Si 3,porelTeoremadeEuler(Teorema1.2.1)yporelCorolario2.3.2

vV (G)d(v) = 2 6 12y,portanto, 6 12< 6. 2Noobstante haber demostradoyalanoplanaridaddeK5yK3,3, esinteresantevercomoestosresultadossonsencilloscorolariosdelaFormuladeEuler:Corolario2.3.4K5noesplanar.Demostraci on: Si K5fuera planar, entonces por el Corolario 2.3.2 setendraque(K5) 3(K5) 6=9. Como(K5) =_52_=10, selle-gaacontradiccion. 2Corolario2.3.5K3,3noesplanar.34 CAPITULO2. PLANARIDADDemostraci on: Si K3,3fueraplanar, existiraunarepresentacionplanarGdeK3,3enel plano. ComoK3,3notieneciclosdelongitudmenorque4por ser un grafo bipartito simple, cada cara de G debe tener al menos grado4porquelafronteradecadacaracontiene, al menos, unciclo. As, porelTeorema2.2.2,setieneque18 = 2 =

fFd(f)

fF4 = 4,estoes, 4 +24.Como N, 4yporlaFormuladeEuler(Teore-ma2.3.1)1 = 6 9 + 4 + = 2,loqueesabsurdo. 2Los grafos K5y K3,3, tambienconocidos como los grafosdeKuratowski,tomaranespecial relevanciaal nal de este captulo, pues sonlos grafosbasicos apartir de los cuales se puedenenunciar importantes resultadossobreplanaridad.2.4. ElevacionesCiertossubgrafos,llamadoselevaciones, jueganunpapelimportanteenelestudiodelosgrafosplanares.Es porelloque sedebenconoceraldetallelaspropiedadesdeestossubgrafos.Sea Hun subgrafo dado de un grafo G. Se dene la relacion en E(G)E(H)porlacondicionsiguiente: paratodopardearistase1, e2 E(G) E(H),e1 e2siexisteuncaminoWtalque(i) laprimerayla ultimaaristadeWsone1ye2,respectivamente.(ii) noexistening unverticeinteriorde WqueseaverticedeH.En palabras llanas, esta es la relacion que identica las aristas que se encuen-tranen la misma componente conexa en GE(H).La Figura 2.11muestralaideagracadeesteconcepto:lasclasesdeequivalenciaenE(G) E(H)son- e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9- e11 e12 e13 e14- e10,dondeHestadibujadoconlneascontinuasmasnasycadaclasedeequi-valenciaenE(G) E(G)estarepresentadaporuntipodiferentedelnea.2.4. ELEVACIONES 35HGe1e2e3e4e5e6e7e8e9e10e11e12e13e14vwu............. . . . .......Figura2.11:ClasesdeequivalenciaenE(G) E(H).Proposicion2.4.1 esunarelaciondeequivalenciaenE(G) E(H).Demostraci on:Propiedadreexiva:Paratodaaristae E(G) E(H)setienequee e, puesW=ecumpletrivialmentelaspropiedadesiyiiPropiedadsimetrica:Seane1, e2 E(G) E(H) tales quee1 e2. Entonces, existeuncamino Wcon primera arista e1y ultimaarista e2que es internamen-tedisjuntoaH. Tomandoel caminoW

inversodeWsetienequee2 e1.Propiedadtransitiva:Seane1, e2, e3E(G) E(H) tales que e1e2ye2e3. En-tonces, existeuncaminoW1conprimeraaristae1y ultimaaristae2queesinternamentedisjuntoaHyexisteuncaminoW2conprimeraarista e2y ultima arista e3que es internamentedisjunto a H. Seavelextremodee2queestambiennaldeW1yorigendeW2. TomandoW= (W1W2) {e2, v} se obtiene un camino con primera arista e1y ultima arista e3que tiene como vertices internos a los vertices internosdeW1yW2,esdecir,setienequee1 e3.As, como cumplelas propiedades reexiva, simetricaytransitiva, sepuedearmarque esunarelaciondeequivalenciaenE(G) E(H). 236 CAPITULO2. PLANARIDADSeanGungrafoyHunsubgrafode G. Unsubgrafode G E(H)inducidoporunaclasedeequivalenciabajolarelacion antesdenidasellamaelevaciondeHenG.Deladenicionsesiguedemaneradirectaquesi BesunaelevaciondeHentoncesBesungrafoconexoycualquierpardevertices u, v deBestaconectadopor uncaminoquees internamentedisjuntoaH(bastatomaruncaminoconprimeraaristaincidenteenuycon ultimaaristaincidenteenvtal quenotengaverticesinterioresenH;estecaminoexistepordeniciondelarelaciondeequivalencia ).De aqu se deduce facilmente que dos elevaciones de un subgrafo dado HdeungrafoGnotienenverticesencom unexcepto,quizas,verticesdeH.SeaGungrafoyHunsubgrafodeG.SeaBunaelevacionde HenG.Losverticesqueseencuentrantantoen GcomoenHsellamanverticesdeanexiondeBenHysedenotanporV (B, H) = V (B) V (H).RetomandolaFigura2.11, haytreselevaciones deHenG, indicadasconunalneacontinuagruesa, unalneadiscontinuayunalneapuntea-da. Estaselevacionestienencomoverticesdeanexiona {v, w}, {u}y {u}respectivamente.De ahora en adelante en esta seccion se tratara el estudio de las elevacio-nes de un ciclo Cdado en un grafo determinado. As, para evitar repeticionesinnecesarias,seescribira elevacioncuandonosreramosaunaelevaciondeC. LaFigura2.12muestra5elevaciones, representadas cadaunaconuntipodelneadiferente.................................. .................................CB1B2B3B4B5Figura2.12:Ejemplosdeelevaciones.2.4. ELEVACIONES 37En un grafo conexo toda elevacion tiene, al menos, un vertice de anexion.Se dice que una elevacioncon kverticesde anexionesuna k-elevacion.Dosk-elevaciones conlos mismos vertices deanexionsellamank-elevacionesequivalentes. Porejemplo,en laFigura 2.12 B1y B2son 3-elevacionesequi-valentes.Losverticesdeanexiondeunak-elevacionBconk 2delimitanunaparticiondel cicloCencaminosdisjuntosllamadossegmentos deB. Doselevaciones seevitanlaunaalaotrasi todos los vertices deanexiondeunadelaselevacionesseencuentranenunmismosegmentodelaotraele-vacion;siestonosecumple,sedicequelasdoselevacionessesolapan. EnlaFigura2.12B2yB3seevitanlaunaalaotramientrasqueB4yB3sesolapan.DoselevacionesByB

estansesgadassiexisten4verticesdiferentesu,v, u

yv

del cicloCtalesqueuyvsonverticesdeanexiondeB, u

yv

sonverticesdeanexiondeB

ylos4verticesaparecenenel ordencclicou, u

, v, v

enC.EnlaFigura2.12B3yB4estansesgadasyB1yB2noloestan.Teorema2.4.2Sidoselevacionessesolapan,entoncesobienestansesga-dasobienson3-elevacionesequivalentes.Demostraci on: Sean B y B

dos elevaciones que se solapan. Por denicion,comose solapan, cadaunade ellas debe tener al menos dos vertices deanexion. Si BoB

esuna2-elevacionentoncesdebenestarsesgadas, puescomosesolapannoseevitany, portanto, losverticesdeanexiondecadaelevacionestan en segmentosdiferentes respecto de la otra elevacion.Si ByB

tienenalmenostres verticesde anexionexistendos posibles situaciones:ByB

nosonelevacionesequivalentes.Entonces,B

tieneunverticedeanexionu

entredosverticesdeanexionconsecutivosuyvdeB.ComoByB

se solapan, alg unvertice de anexionv

de B

noseencuentra en el segmento de Bque conecta u y v. De aqu se sigue queByB

estansesgadas.ByB

sonk-elevaciones equivalentes conk 3. Si k=3, son3-elevaciones equivalentes. Si k 4, entonces ByB

estansesgadasporque existenvertices de anexionu, v, wyxde Byde B

quemantienenunordencclicodemaneraqueelprimeroyeltercerosondeByelsegundoyelcuartosondeB

.Portanto,ByB

estansesgadasoson3-elevacionesequivalentes. 2Teorema2.4.3SiunaelevacionBtiene3verticesdeanexionv1,v2yv3entoncesexisteunverticev0enV (B) V (C)ytrescaminosP1, P2yP338 CAPITULO2. PLANARIDADenBqueunenv0av1,v2yv3respectivamenteytalesque,parai =j, PiyPjtienensoloel verticev0encom un(verFigura2.13).C P1P2P3Bv0v1v2v3Figura2.13:RepresentaciongracaparaelTeorema2.4.3.Demostraci on:SeaPuncaminodev1av2enBinternamentedisjuntoaC. Pdebetenerunverticeinternovporquesi nofueraas entonceslaelevacionBserasimplementePi nocontendrauntercerverticev3. SeaQuncaminodev3avenB,internamentedisjuntoaC,yseav0elprimerverticede Q en P. Denotaremos por P1a la secciondel camino Pentre v0yv1,porP2alasecciondelcaminoPentrev0yv2yporP3alasecciondelcaminoQentrev0yv3.Claramente,P1,P2yP3satisfacenlascondicionesrequeridasyv0 V (B) V (C). 2Paraajustarnosalproblemadelaplanaridad,apartirdeahorasecon-sideraransoloelevaciones engrafosplanos. SeaGungrafoplanoyCuncicloenG. Entonces, CesunacurvadeJordanenel planoytodaaristaE(G) E(C)estacontenidaenunadelasdosregionessiguientes:IntCoExtC.UnaelevacioncontenidaenIntCsellamaelevacioninternayunaelevacioncontenidaenExtCsellamaelevacionexterna. Noexistenotrostiposdeelevacionesenungrafoplanoporquenoexistenaristasquesecor-teny, portanto, ningunaaristapuedecortaral cicloC.EnlaFigura2.14B1yB2sonelevacionesinternasyB3yB4sonelevacionesexternas:................. . . ......................................................CB1B2B3B4Figura2.14:Elevacionesinternasyexternasenungrafoplano.2.4. ELEVACIONES 39Teorema2.4.4Laselevacionesinternas(externas)seevitanentres.Demostraci on:Porcontradiccion. SeanByB

doselevacionesinternasque se solapan. Entonces, por el Teorema 2.4.2,o bien estan sesgadas o bienson3-elevacionesequivalentes.Si ByB

estansesgadas, pordenicionexistenverticesuyvdeByu

yv

deB

queaparecenenel ordencclicou, u

, v, v

enC. SeaP uncaminodeuavenByP

uncaminodeu

av

enB

, losdosinternamentedisjuntosaC. LosdoscaminosPyP

nopuedentener ning un vertice interior en com un porque pertenecen a elevacionesdiferentes. A su vez, tanto Pcomo P

deben estar contenidos en Int CporqueByB

sonelevacionesinternas.ComoPdivideIntCendosregiones, IntC1yIntC2,dondeC1esuncicloquecontieneau,vyu

y C2es un cicloque contienea u,vy v

, se tienepor elTeoremadelacurvadeJordan(Teorema2.1.1)que P

debecortaraPenalgunaarista, pues P

vadeu

av

yP yP

nocompartenvertices. As,Gnopuedeserungrafoplano,encontradiccionconlahipotesis(verFigura2.15).Cuvu

v

PP

Figura2.15:SiByB

estansesgadas.Si By B

son 3-elevacionesequivalentes, sea {v1, v2, v3} el conjunto deverticesdeanexionquetienenencom un.PorelTeorema2.4.3existeen Bun vertice v0y tres caminos P1, P2y P3que unen v0a v1, v2y v3respectivamenteytalesque,parai = j,PiyPjsolotienenelverticev0encom un. Analogamente,B

tiene un verticev

0y tres caminos P

1,P

2yP

3queunenv

0av1, v2yv3respectivamenteytalesque, parai =j, P

iyP

jsolotienenel verticev

0encom un. LoscaminosP1,P2yP3dividenIntCentresregionesyv

0, porconstruccion, debeestarenel interiordeunadeellas. Comosolodosdelosverticesv1,v2yv3puedenestarenlafronteradelaregionquecontieneav

0sepuedesuponer,porsimetra,queesv3elverticequenoseencuentraenella. Por el Teorema de lacurvade Jordan(Teorema 2.1.1), el40 CAPITULO2. PLANARIDADcamino P

3debe cortara P1, aP2oa C. Como By B

sonelevacionesinternas distintas, P

3no comparte ning un verticecon ninguno de ellosy, por tanto, debecortarlos enalgunaarista, hechoquenos llevaacontradiccion(verFigura2.16).BP

1v1v2v3v0v

0P1P2P3B

P

2P

3CFigura 2.16: Si B (en lneas discontinuas) y B

son 3-elevaciones equivalentes.Seconcluyeas quelaselevacionesinternasseevitanunasaotras. Lade-mostracionparaelevacionesexternassehaceanalogamente. 2Sea G un grafo plano. Una elevacion interna (externa) B de un ciclo CdeG es transferiblesi existe una representacion planarG de G que sea identicaal propio G excepto por el hecho de que Bes una elevacion externa (interna)de CenG. Se dice que el grafoplano planoGse obtiene transriendoBenG.LaFigura2.17muestraunatransferenciadeunaelevacionBenG:BGGBC CFigura2.17:GeselresultadodelatransferenciadeBenG.2.5. SUBDIVISIONESYCONJUNTOSCORTANTES 41Teorema2.4.5Una elevacioninterna(externa)que evita atodaelevacionexterna(interna)estransferible.Demostraci on: SeaBunaelevacioninternaqueevitaatodaelevacionexterna. Entonces, losverticesdeanexiondeBenCseencuentrantodosenunmismosegmentodetodaslasotraselevacionesinternas.Tomandolainterseccion de todos los segmentos de estas elevaciones que contengan alg unverticedeBsecompruebafacilmentequeestacontenidaenlafronteradealgunacaradeGcontenidaenExt C. AhoraBsepuededibujarenesacara, tal comosemuestraenlaFigura2.17. Lademostracionesanalogaparaelevacionesexternas. 2Comoseveramasadelante, este ultimoteoremaescrucial paralade-mostraciondeunresultadomuyimportantedeplanaridad: el TeoremadeKuratowski,quesedemostraraenlaSeccion2.6.2.5. SubdivisionesyconjuntoscortantesEsta seccion esta totalmente encaminada a adquirir tecnicas y notacionesparademostrarel TeoremadeKuratowski, teoremaquedeterminacualessonlosgrafosplanares.Senecesita,paraello,considerarunamaneraalternativaalaquecono-cemos de eliminar verticesde un grafo y, ademas, se necesita considerar unamaneradea nadirnuevosverticesenunaarista.Paradiferenciarlanuevatecnicadeeliminaciondeverticesde laqueyaconocemos,a esta nueva tecnicala llamaremossupresion y deberemos tenerencuentaquesolosepuedensuprimirverticesdegrado2.Sea vun vertice de grado 2 de un grafo G con aristas incidentes e = uv yf= vw,donde uywsonlosotrosextremosdedichasaristas.La supresiondel verticevconsisteenobtener ungrafoG

apartir deGa nadiendolaaristauwyeliminandoelverticev.SeaahoraeunaaristadeungrafoGconextremosuyv.Unaadiciondeunvertice degrado2(ene) consisteencrear unnuevoverticewnopresenteenG, a nadirlasaristasuwyvwyeliminarlaaristae=uv. EnlaFigura2.18sepuedeverlasupresiondelverticev(a)ylaadiciondeunverticew(b)algrafoG.42 CAPITULO2. PLANARIDADv w(a) (b) GFigura2.18:Ejemplodesupresionyadiciondeverticesdegrado2.Observacion2.5.1SiGesel resultadodea nadirunverticedegrado2aGyGeselresultadodesuprimirunverticedeG,porconsecuenciadirectadeladenicionsetieneque:( G) = (G) + 1, ( G) = (G) + 1 y ( G) = (G).( G) = (G) 1, ( G) = (G) 1 y ( G) = (G).Sedicequeungrafoesunasubdivisiondeotrografosi ambossoniso-morfosdespuesdeposiblesadiciones osupresionesdealgunosvertices degrado2. Porejemplo, enlaFigura2.19HesunasubdivisiondeG(H1esel resultadodesuprimirudeH,H2esel resultadodesuprimirvdeH1yH3,queesisomorfoaG,eselresultadodea nadirwaH2).uv vwH G H3 = G H1H2Figura2.19:HesunasubdivisiondeG.Lossiguientesresultadossonlemassencilloseintuitivosquemuestranquelaplanaridadesinvarianterespectosubdivisiones.Lema2.5.2SiGesplanarentoncestodosubgrafodeGesplanar.Demostraci on:SeaGungrafoplanarconrepresentacionplanaryHunsubgrafodeG.BastatomarlarepresentacionplanarrestringidaalosverticesyaristasdeHcomorepresentacionplanarde H. 2Lema2.5.3Si G es no planarentonces toda subdivision de G es no planar.Demostraci on:SeaGungrafonoplanar.Sepuedesuponer,sinperdidadegeneralidad,queGesconexo.SeaGunasubdivisionplanardeG.2.5. SUBDIVISIONESYCONJUNTOSCORTANTES 43SiGeselresultadodea nadirunverticevdegrado2aalgunaaristae E(G), comoGesplanarexisteunarepresentacionplanardeGy,porelLema2.5.2,G vtambientieneunarepresentacionplanar.Gv es un subgrafo de G y, mas precisamente, si e1 y e2 son las aristasincidentesenvenG,setienequeGv=G{v, e1, e2} = Ge,hecho que muestra que Ge tiene tambienuna representacion planar.Por hipotesis G no tiene ninguna representacion planar y, por tanto, laarista e debe cortar a alguna otra arista de G, llegando a contradiccionporquesi ecortaraaotraaristadeGentonces, porconstruccion, obiene1obiene2cortaraaalgunaotraaristaenelgrafoplanarG.SiGes el resultado de suprimir un vertice v de grado 2 de Gy llamamosealaaristaquesea nadeaG vparaobtenerG,comoGesplanartieneunarepresentacionplanary, porel Lema2.5.2,G etambientiene unarepresentacionplanar. Ahorabien,G ees unsubgrafode G. Mas precisamente,G e =G v, hecho que muestra queG vtambientieneunarepresentacionplanar. Por hipotesisGnotiene ninguna representacion planar y, por tanto, una de las dos aristasincidentesenvenG(lamemoslase1ye2)debecortaraalgunaotraarista de G excepto a la otra incidente en v (porque si se cortaran entresdichocortesepodraevitar,comomuestralaFigura2.20).Estoesunacontradiccion, puessi e1oe2cortaaotraaristadeGentonces,porconstruccion,edebecortaraotraaristaenGyGesplanar.v ve1e1e2e2Figura2.20:Elcorteentrelasaristase1ye2sepuedeevitar.SiGeselresultadodesucesivasadicionesy/osupresionesdev erticesdegrado2,bastaaplicarlosdosapartadosanteriores.Sehavisto, pues,quenoexisteningunasubdivisionplanardeungrafonoplanar. 2Observacion2.5.4ComoK5yK3,3songrafosnoplanares, sededuceapartirdeestosdoslemasquesiGesplanarentoncesGnopuedecontenerunasubdivisiondeK5odeK3,3.44 CAPITULO2. PLANARIDADDe ahora en adelante en esta seccion se supondra, a no ser que se indiquelocontrario,que todos los grafosconlosque se tratasonconexos,pues esteaspectonoafectaenabsolutoasuplanaridad.Se dice que un conjuntocortantede G es un subconjunto V

de V (G) talqueG V

esdesconexo. Unk-conjuntocortante esunconjuntocortantede kelementos.Porejemplo,enla Figura2.21 G1tienea {v}como conjun-tocortanteyG2tienea {u, v}como2-conjuntocortante. Cualquiergrafocompletonotienening unconjuntocortante.vvuG1G2Figura2.21:Ejemplosdeconjuntoscortantes.SeaGungrafoconun2-conjunto cortante {u, v}. Entonces, existendossubgrafosG1yG2deGconconjuntosdisjuntosdearistas tales queG1 G2= GyV (G1) V (G2) = {u, v}.Consideraremostalseparacionensubgrafos de G. Consideraremos tambienla siguienteconstruccion: tanto enG1 como en G2 se unen los vertices u y v con una nueva arista e para obtenerlosgrafosH1yH2respectivamente,comoseindicaenlaFigura2.22:uvGu u u uv v v veeG1G2H1H2Figura2.22: EjemplodeconstrucciondelosgrafosH1yH2apartirdeG1yG2.Claramente,G = (H1 H2) ey(Hi) < (G)parai = 1, 2.Lema2.5.5SiGesnoplanar, entoncesH1oH2esnoplanar.Demostraci on:Porcontradiccion.SeaGnoplanarysupongamosqueni2.5. SUBDIVISIONESYCONJUNTOSCORTANTES 45H1ni H2son planares. SeaH1una representacionplanar de H1y sea funacaradeH1incidenteene.SiH2esunarepresentacionplanardeH2enlacara fde manera queH1yH2tengansololos verticesu y vy la arista e encom un, entonces(H1H2) eesuna representacionplanarde G,llegandoacontradiccion. 2SeaGungrafo. Si Gtiene al menos unpar de vertices distintos noadyacentes, laconectividad deG, representadapor (G), es el mnimokpara elqueGtieneun k-conjuntocortante;sinotieneninguno, sediceque(G) = 1.As,(G) = 0siGestrivialonoconexo.SedicequeGesk-conexosi (G) k. Porejemplo, todoslosgrafosconexosnotrivialesson1-conexos. EnlaFigura2.15G1es1-conexoyG2es2-conexoy1-conexo.Sellamabloque aungrafoconexoquenotiene1-conjuntoscortantes.Todobloqueconalmenos3verticeses2-conexo. Unbloquedeungrafoesunsubgrafoqueesunbloqueyqueesmaximalconsupropiedad. Ademas,todografoeslauniondesus bloques,comoseilustraenlaFigura2.23(losgrafosen(b)representanlosbloquesdelgrafoGen(a)):(a)G(b)Figura2.23:Ungrafo(a)ysusbloques(b).Teorema2.5.6UngrafoGcon 3es2-conexosi, ysolosi, cualquierpardeverticesdeGestaconectadoporalmenosdoscaminosinternamentedisjuntos.Demostraci on:SidosverticescualesquieradeGestanconectadosporalmenosdoscaminosinternamentedisjuntosentoncesGesconexoynotienening un1-conjuntocortante.Portanto,Ges2-conexo.Recprocamente, seaGungrafo2-conexo. Demostraremos, porinduc-cionsobreladistanciaentreellos,quedosverticescualesquierauyvestanconectados por, al menos, dos caminos internamente disjuntos. Supongamosprimeroqued(u, v)=1. Entonces, comoGes2-conexo, laaristauvnoesunpuentey, porlaProposicion1.4.2, estacontenidaenunciclo. Sesigue46 CAPITULO2. PLANARIDADqueuyvestanconectadospordoscaminosinternamentedisjuntosenG.Supongamos ahoraque elteoremaes ciertopara cualquierpar de verticesadistanciamenorquekelunodelotroyqued(u, v)= k 2.Consideramosuncaminode uavdelongitudkyseawelverticequeprecedeavenestecamino. Comod(u, w) =k 1, porlahipotesisdeinduccionexistendoscaminosdeuawinternamentedisjuntos, PyQ, enG. Ademas, comoGes2-conexo,Gwesconexoy,portanto,contieneuncamino P

deuav.SeaxelverticenaldeP

quetambienestaenP Q(verFigura2.24).u vwPQP

xFigura2.24:EjemplodeloscaminosP,QyP

enG.ComouestaenP Qpodemosasegurarqueexistetalx,sinexcluirlaposibilidaddequexseav. Suponemos, sinperdidadegeneralidad, quexestaenP.Entonces,Gtienedoscaminosinternamentedisjuntosdeuav,unocompuestoporlasecciondecaminode Pdeuaxjuntoconlasecciondecaminode P

dexavyelotrocompuestoporelcaminoQjuntoconlaaristawv. 2Corolario2.5.7SiGes2-conexo,entoncescualquierpardeverticesde Gseencuentraenel mismociclo.Demostraci on: Comodosvertices estanenel mismociclosi, ysolosi,estanconectadospordoscaminosinternamentedisjuntos,estecorolariosesiguedelteoremaanterior(Teorema2.5.6). 2Lema2.5.8SeaGungrafoconexonoplanar quenocontenganingunasubdivisiondeK5ni deK3,3ytal quetengael menor n umeroposibledearistas.Entonces,Gessimpley3-conexo.Demostraci on: Por contradiccion. Sea G un grafo conexo no planar que nocontenga ninguna subdivision de K5ni de K3,3y con tan pocas aristas comoseaposible.Entonces,Gesungrafonoplanarminimaly,enconsecuencia,debeserunbloquesimple,pues situvieraun1-conjuntocortantesepodraprescindirdealgunadelasaristasincidentesenelverticedeeseconjuntoysi tuvieraaristasm ultiplesolazostambiensepodraprescindirdealgunadeellasydetodosloslazos, obteniendoas ungrafonoplanarconmenorn umerodearistasyentrandoencontradiccionconlahipotesis.2.6. TEOREMADEKURATOWSKI 47SiGnoes3-conexo, sea {u, v}un2-conjuntocortantedeGyseanH1yH2losgrafosobtenidosapartirdeesteconjuntocortantetalcomosehaexplicadoenlaconstruccionprecedente.PorelLema2.5.5 oH1oH2esnoplanar. Podemos suponer que es H1. Como (H1) < (G), H1 debe contenerunsubgrafo KqueseaunasubdivisiondeK5odeK3,3debidoalhechodequeG, por hipotesis, es minimal respectoalapropiedaddenocontenertalsubdivision.Comoconsecuenciadeesto,KnopuedesersubgrafodeGporqueGnocontienetal subdivisiony, portanto, laaristaeestaenK.ConsideremosuncaminoPdeuavenH2 e:setienequeGcontienealsubgrafo(K P) e, queesunasubdivisiondeKy, enconsecuencia, esunasubdivisiondeK5odeK3,3,loqueesunaconrtradiccion. 2Comoseobservaramasadelante, lashipotesisdeestelemanosecum-plennunca. Sinembargo, esunresultadocrucial paralademostraciondelTeoremadeKuratowski.2.6. TeoremadeKuratowskiComolaplanaridadesunapropiedadfundamentalenel estudiodelosgrafos, esmuyimportantepoderdeterminardeunamanerarelativamentesencilla si un grafo es planar o no lo es. Hemos visto ya que K5y K3,3no sonplanaresyquesi ungrafoGesplanarentoncesGnopuedecontenerunasubdivisiondeningunodeestosdosgrafos. Kuratowski demostroen1930queestacondicionnecesariatambienessuciente.ParademostrarelTeoremadeKuratowskiadoptaremoslasiguienteno-tacion: supongamos que Ces un ciclo en un grafo plano. Cse puede recorrerenunsentidooenotro. Aestasdosposiblesorientacioneslasllamaremoshoraria yantihoraria siguiendoel criteriodelasagujasdeunreloj. ParadosverticescualesquierauyvdeGsedenotaraporC[u, v] el caminodeuavquesigueslaorientacionhorariadeC; demanerasimilarseusaranlossmbolosC(u, v],C[u, v)yC(u, v)paradenotarloscaminosC[u, v] u,C[u, v] vy C[u, v] {u, v}respectivamente.La demostraciondel TeoremadeKuratowski quesigueacontinuacionsebasaenladeDiracySchuster(1954)[22].Teorema2.6.1(TeoremadeKuratowski) Un grafo es planar si, y solosi,nocontieneningunasubdivisiondeK5odeK3,3.Demostraci on: Ya se ha visto que la necesidad es cierta (Observacion 2.5.4).Elrecprocosedemuestraporcontradiccion.Seescoge,siesposible,ungrafonoplanarGquenocontenganingunasubdivisiondeK5odeK3,3y48 CAPITULO2. PLANARIDADconel menorn umerodearistasposible. Porel Lema2.5.8, Gessimpley3-conexo. Ademas,Gdebeserungrafonoplanarminimal deacuerdoconelargumentodadoenlademostraciondedicholema.Seauv unaaristadeGyseaHunarepresentacionplanar del grafoplanarGuv.DicharepresentacionplanarexisteporquesehaescogidoGnoplanar conel menor n umerodearistas posibley, por tanto, al quitarunasolaaristaGdejadesernoplanar.ComoGes3-conexo, setieneque(G) 3. En particular,al eliminaruna arista de G se estaquitando, comomucho,ungradodeconectividad,puessiGtenaun3-conjuntocortanteyesteeraelmnimoconjuntocortantedeGentoncesG uvtienealmenosun 2-conjunto cortante y este es el mnimo conjunto cortante de Guv. As,(Guv) 2,indicando que larepresentacionplanar Hde Guvcumple(H) 2y,portanto,Hes2-conexo.PorelCorolario2.5.7, uyvestancontenidosenunmismociclodeH.EscogemosuncicloCdeHquecontengaauyavytalqueeln umerodearistasdeIntCsealomasgrandeposible. ComoHessimpley2-conexo,todaelevaciondeCenHdebeteneral menosdosverticesdeanexion; sisolamentetuvierauno,esteverticeseraun1-conjuntocortante,encontra-diccionconelhechode que Hes2-conexo.TodaslaselevacionesexternasaCdebenser2-elevacionesquesesolapanconuvporquesialgunaelevacionexternaaCfueraunak-elevacionparak 3ouna2-elevacionqueevitaraauv, entoncesexistiraun ciclo C

que contendraa u y avconmas aristasenlaclausuradesuinteriorqueC, contradiciendoas laelecciondeeste ultimo. EstosdoscasosseilustranenlaFigura2.25(conC

representadoporlneasmasgruesas).(a) (b)u uv vCCC

C

Figura2.25: Si existierauna3-elevacionexterna(a)ouna2-elevacionqueevitaauv(b).De hecho, todas las elevaciones externas aCenHdebenser aristassolas, pues si una 2-elevacioncon verticesde anexion x e ytuviera un tercervertice,el conjunto {x, y} sera un 2-conjunto cortante de G, contradiciendoelhechodequeGes3-conexo.2.6. TEOREMADEKURATOWSKI 49Por el Teorema2.4.4,no existendos elevacionesinternas que se solapen.As,debeexistiralgunaelevacioninternasesgadaconuvquesesolapeconalguna elevacion externa. Si no fuera as, por el Teorema 2.4.5 tales elevacio-nespodran sertransferidasunaauna alexterioryentonceslaaristauvsepodradibujarenIntC,obteniendounarepresentacionplanardeG;comoGesnoplanar, estonoesposible. Portanto, existeunaelevacioninternaBqueestasesgadatantoconuvcomoconalgunaelevacionexternaxy.Apartir de este punto se deben distinguir dos casos, dependiendo de se Btienealg unverticedeanexiondiferentede u,v,xeyono.Btieneunverticedeanexiondistintoau,v,xey.Podemosescogerla notacion de manera que Btenga un vetice de anexion v1en C(x, u).Existendosposiblessubcasos:- Btieneunverticedeanexionv2enC(y, v).Enestecaso,existeuncaminodev1av2enPquees internamentedisjuntoaC.Peroentonces(C P) + {uv, xy}esunasubdivisiondeK3,3enG,llegandoacontradiccion(verFigura2.26).v1v2vuxyCPFigura2.26:SiBtieneunverticedeanexionv2enC(y, v).- B no tiene ning un vertice de anexion en C(y, v). Como B esta ses-gadoconuvyconxy, Bdebetener unvertice deanexionv2enC(u, y] yunvertice deanexionv3enC[v, x). As, Btienetresverticesdeanexionv1, v2yv3. Porel Teorema2.4.3, exis-te unvertice v0enV (B) V (C) ytres caminos P1, P2yP3enBqueunenv0av1, v2yv3respectivamente, tales quepa-rai =j, PiyPjtienensoloel vertice v0encom un. Ahora,(CP1P2P3)+{uv, xy} contiene una subdivision de K3,3, lle-gando a contradiccion.Este caso esta ilustrado en la Figura 2.27,dondelasubdivisiondeK3,3estamarcadaconlneasmasgrue-sas en (a) y se da una reordenacion graca de esta subdivision deK3,3en(b):50 CAPITULO2. PLANARIDADCuvxyv0v1v2v3P1P2P3(a) (b)uvv0v1v2v3xyFigura2.27:SiBnotienening unverticedeanexionenC(y, v).B no tiene mas vertices de anexion que u, v, x e y. Como B esta sesgadoconuvyconxy, sesiguequeu, v, xeydebensertodosveticesdeanexiondeB. Porel Teorema2.4.3, existeunverticev0enV (B) V (C)ytrescaminosPu, PvyPxdev0au, vyxrespectivamentetales que, parai =j, PiyPjtienensoloel vertice v0encom un.Analogamente, existeunverticev1enV (B) V (C)ytrescaminosQy, QvyQxdev1ay, vyxrespectivamentetalesque, parai =j,QiyQjtienensoloelverticev1encom un.Ahorabien,v1perteneceaunadelastresregionesdeIntCdelimitadasporPu, PvyPx. Sepuede suponer, sin pedida de generalidad,que yno esta enla fronterade esa region y, por el Teorema de la curva de Jordan (Teorema 2.1.1),elcamino Qydebe cortara Px, a Puoa Pv. Como habamossupuestoqueGes planar conel menor n umerodearistas posible, nopuedeexistiruncorteentrearistasdondeningunadeellasdossealaaristauv y, as, el corte entre estos dos caminos debe tener lugar enunverticedeB,llamemoslev2(verFigura2.28).CogiendoP= Pu PvyQ = Qy Qx,setienequePyQsoninternamentedisjuntosaCyquev2 V (P) V (Q),hechoqueimplicaque |V (P) V (Q)| 1.Cuvx yv0v1v2PxPuPvQxQyQvFigura2.28:Representaciongracadelcasoqueseestudiaenesteparrafo.2.6. TEOREMADEKURATOWSKI 51As, enresumiendoestos ultimospasos,sehavistoqueexisteunca-minoPdeuavyQuncaminodexayenBtalesque:(i) PyQsoninternamentedisjuntosaC(ii) |V (P) V (Q)| 1.Consideramosdos subcasos, dependiendodesi PyQtienenunoomasverticesencom un.- |V (P) V (Q)| = 1.Enestecaso,(C P Q) +{uv, xy}esunasubdivisiondeK5enG,unacontradiccion(verFigura2.29).PQuvx yCFigura2.29:Si |V (P) V (Q)| = 1.- |V (P) V (Q)| 2. Sean u

y v

el primero y el ultimo verticedePen Q, y sean P1y P2las secciones de camino de u a u

y de vav

en P, respectivamente. Entonces, (C P1 P2 Q)+{uv, xy}contieneunasubdivisionde K3,3enG,hechoqueesunacontra-diccion (ver Figura 2.30, donde la subdivision de K3,3 esta marca-da con lneas mas gruesas en (a) y se da una reordenaciongracadeestasubdivisiondeK3,3en(b)).vx uCuvxy(a) (b)yu

v

P1P2v

u

QFigura2.30:Si |V (P) V (Q)| 2.52 CAPITULO2. PLANARIDADAs, todoslosposiblescasosllevanacontradiccion, acabandolademostra-ciondelTeoremadeKuratowski. 2Conrmarqueungrafoesplanaresrelativamentefacil: bastaconpo-derdibujarunarepresentacionplanardeeste. Conrmarquenoloes, sinembargo,esunatareamuycomplicadasinoseusaesteteorema:conelte-nemosunapotenteherramientaparadeterminarlaausenciadeplanaridadencualquiergrafo.Porejemplo,elgrafodelaFigura2.31(a)esnoplanar,puessepuedeencontrarunasubdivisiondeK3,3en el(b):(a) (b)Figura2.31:Ejemplodegrafonoplanar.Otro ejemplo muestra que el grafo de Petersen de 5 puntas, representadoenlaFigura2.32(a),esnoplanar,puesen(b)semuestraunasubdivisiondeK3,3enel.(a) (b)Figura2.32:ElgrafodePetersende5puntasesnoplanar.SepuededecirqueelTeoremadeKuratowskiresuelveengranparteelproblemadelaplanaridad.Captulo3N umerosdecorteEnel momentodedarunarepresentaciondeungrafoenel plano, latendencianaturalesquererdarundibujodelmismoconelmenorn umeroposibledecortesentrearistas,yaseaporesteticaopornecesidad.Esteproblemaseconocecomoelproblemadel n umerodecorteyfueelmatematicoPaulTuranquien diopor primera vezun planteamientoformaldeunproblemaderivadodel mismoenel a no1954. TuransevioobligadoahacertrabajosforzadosdurantelaSegundaGuerraMundial. Seg unsuspropiaspalabras,elproblemanaciodeunanecesidad:Habaalgunascasetasdondesefabricabanladrillosyalgunosalma-cenes donde estosse guardaban. Todas las casetasestabanconectadaspor rales con todos los almacenes (. . . ) el unico problema estaba en loscrucesentrerales. Loscamionesgeneralmentesaltabanlosralesenestos cruces y los ladrillos caan de los camiones: eso creaba problemasyperdidas detiempo(. . . ). Semeocurrioqueestos inconvenientessepodranmejorarsiseminimizabaeln umerodecrucesentrerales.Pero,cualeselmenorn umerodecruces?Aesteplanteamientodel problemaparagrafosbipartitoscompletossele llama el Problemade laFabricade Ladrillos de Turan. As, conesteproblemapracticonacio,asuvez,elproblemadeln umero decorteparaelgrafoengeneral.3.1. Dibujosyn umerodecortedeungrafoUndibujodeungrafoessurepresentaciongracaenelplano.Unbuendibujode un grafo es un dibujo del mismo en el que dos aristas incidentes en5354 CAPITULO3. NUMEROSDECORTEun mismo verticeno se cortannunca y dos aristas cualesquierano se cortanentreellasmasdeunavez.Larazonparadenirunbuendibujodeestamaneraeslasiguiente: sidosaristasincidentesenunmismoverticesecortaran, entoncesestecortesepodraevitarsincambiareldibujodelrestodelgrafo(verFigura3.1)ysidosaristascualesquierasecortarandosvecesomas,sepodraevitarunn umero par de cortes entre ellas sin cambiar el dibujo del resto del grafo (verFigura3.2). Enambasgurasantesmencionadassemuestraundibujodelgrafoen(a)yunbuendibujodelmismoen(b),dondelapartesombreadarepresentaelrestodelgrafo.(a) (b)G GFigura3.1:Ejemplodecortequesepuedeevitar.(a) (b)G2G2G1G1Figura3.2:Ejemplodecortesquesepuedenevitar.Un dibujo optimode un grafo es un dibujo que muestra el menor n umeroposible de cortesentre las aristasdel grafo. En particular, un dibujo optimoesunbuendibujo.3.1. DIBUJOSYNUMERODECORTEDEUNGRAFO 55Sedicequeel n umerodecortedeungrafoG, denotadoporcr(G), esel mnimon umerodecortesentrearistasdetodoslosposiblesdibujosdeG. Enconsecuencia, si undibujodeGmuestracr(G)cortesentrearistasentoncestaldibujoesoptimo.Porejemplo,enlaFigura3.3semuestraundibujo de K5en (a) y un dibujo optimo de K5en (b), pues cr(K5) = 1 comosedemostraramasadelante.K5K5(a) (b)Figura3.3:DibujosdeK5.Muchas de las preguntas sobre n umeros de corteque uno se puede plan-tear permanecen sin resolucionen la actualidad. Hasta el momento no se haencontradoa unning unalgoritmoecienteparacalculareln umerodecortedeungrafoarbitrario. Dehecho, esteproblemaesNP-completo[14] y, enconsecuencia,noesprobablequetalalgoritmoexista.Sinembargo,existenalgunos resultados que s que permiten acotar el n umero de corte de un grafoytambienconjeturassobreesten umeroparaciertostipos degrafos.Observacion3.1.1Cadacarade larepresentacionplanardeun grafopla-narsimpleGtienecomomnimotresaristasensuborde.Portanto,al serunarepresentacionplanar,sedebecumplirlasiguientedesigualdad:3(G) 2(G).Demostraci on:Esteresultadoesconsecuenciadirectadequesi3(G)>2(G), entoncesalgunaaristadebeformarpartedel bordedemasdedosregiones y, por tanto, debe existir alg un corte entre aristas, hecho que es unacontradiccion. LaFigura3.4muestraesteconceptodeformagracaparaunamayorcomprensiondeestademostracion. 256 CAPITULO3. NUMEROSDECORTEFigura 3.4: Si 3(G) > 2(G),entonceshay al menos un corte entre aristas.Proposicion3.1.2Lacotainferiormassimpleparaeln umerodecortedeungrafosimpleGcon 3verticesyaristases: 3 + 6 cr(G).Estacotaseconoceporelnombredeacotacionlineal del n umerodecorte.Demostraci on: SeaGungrafosimple. Si cr(G) =0, por laObserva-cion3.1.1setieneque 3(G) 2(G).Usando la Formulade Euler (Teore-ma2.3.1),3 (2 (G) +(G)) 2(G) 6 3(G) +(G) 0 = cr(G).Si cr(G)=k>0, consideramosel grafoGresultadodeeliminarkaristasdelgrafoGdetalmaneraquecr( G) = 0.Aplicandoloanterior,6 3( G) +( G) 0.Como( G) = (G)y( G) = (G) kporconstruccion,6 3(G) +(G) k,comoqueramosdemostrar. 2La acotacion lineal del n umero de corte es razonablemente buena cuandocrecelinealmentecon , es decir, cuando ambos valores son relativamentecercanos.En1973,Erdos yGuy conjeturaron,de maneraindependiente, una aco-tacionmejor que esta ultima para los casos en que crece mas rapidamenteque:cr(G) C 22paraalgunaconstantepositivaC. En1982variosmatematicos dieron, demanera independiente, una primera demostracion de este resultado con C 1100.MastardesevioqueC 164para 4[2]yC 133,75para 152[31]. LamejorconstanteCencontradahastaahoraesC=131,08para 10316 [30].3.2. NUMERODECORTEDEKN57Masengeneral, si g(, )esel mnimodecr(G)detodoslosgrafosGconverticesyaristas,entoncessehaconjeturadoque[10]:C1 32 g(, ) C2 32,dondeC1yC2sonconstantes positivas. Enotras palabras, laconjeturaarmaqueellmitelmg(, )32existe. Hastalafecha, solosehapodidodemostrarquelacotasuperiordela conjetura es trivial para C2=18y que la cota inferior es una consecuenciaautomaticadelhechodequecualquierdibujodeungrafoGconverticesyaristascontieneunarcoconal menosC3 22cortes, dondeC3esunaconstante positiva. Este ultimo resultado sigue siendo tambien una conjetura[10].Enlassiguientesseccionesseestudiaraelproblema deln umero de cortepara grafos con una estructura determinada: los grafos completos y los grafosbipartitoscompletos.3.2. N umerodecortedeKnAl restringirel estudiodel n umerodecortealosgrafoscompletosKnseconsigueunaacotacionsuperiordel n umerodecortedecualquiergrafosimpleconnvertices, puesKntieneel maximon umeroposibledearistasconesen umerodevertices.Acontinuacionseestudiaranalgunos resultados sobrecr(Kn) paranpeque no.Teorema3.2.1cr(Kn) = 0paran = 2, 3, 4.Demostraci on: K2,K3y K4se puedendibujar de maneraque noexistancortesentrearistas,comosepuedeverenlaFigura3.5. 2K2K3K4Figura3.5:Dibujossincortesde K2,K3yK4.58 CAPITULO3. NUMEROSDECORTETeorema3.2.2cr(K5) = 1.Demostraci on: Se ha demostrado ya que K5es no planar (Teorema 2.1.2).Portanto,no existeninguna representacionplanar o, dicho de otramanera,undibujosincortesdeK5enel plano. As, cr(K5) 1. Porotrolado, laFigura3.6muestraundibujodeK5conunsolocorte. 2K5Figura3.6:DibujooptimodeK5.Observacion3.2.3SisetieneundibujodeungrafoGconunsolocorteentrearistas,al considerarunnuevografoGdenidocomoelprimeroperoenel quedichocorteesunnuevovertice,secumplelosiguiente:- Seincrementaen1el n umerodevertices.- Seincrementaen2el n umerodearistas.- Seincrementaen1el n umerodecaras.Demostraci on:Esobvioqueel dibujodeGtieneunverticemasqueeldeGyque,ala nadirdichovertice, loqueenGeran2aristasahorason4enG.Portanto(verFigura3.7),( G) = (G) + 1,( G) = (G) + 2.GGFigura3.7:Dibujos de GyG, donde lapartesombreadarepresentaelrestodelgrafo.3.2. NUMERODECORTEDEKN59Como, por construccion, el dibujodeGno tiene cortes, entonces esunarepresentacionplanar deGyse puede aplicar laFormulade Euler(Teorema2.3.1).As,( G) = 2 ( G) +( G) = 2 (G) + 1 +(G) + 2 = (G) + 1,comoqueramosdemostrar. 2Observacion3.2.4Al aplicarlatransformaciondelaObservacion3.2.3alosccortesdeundibujodeungrafosimple,setieneque:- Seincrementaencel n umerodevertices.- Seincrementaen2cel n umerodearistas.- Seincrementaencel n umerodecaras.Teorema3.2.5cr(K6) = 3.Demostraci on:Recordemosque(K6)=6, (K6)=15y(K6)=11.UndibujodeK6conccortesinduce,porlaObservacion3.2.4, unaaplica-cionenel planocon6 + cvertices, 15 + 2caristasy11 + ccaras. PorlaObservacion3.1.1,3(11 +c) 2(15 + 2c),dedondesededucequec 3, esdecir, quecr(K6) 3. ComoexisteundibujodeK6con3cortes(verFigura3.8), setienequecr(K6) 3y, portanto,cr(K6) = 3. 2K6Figura3.8:DibujooptimodeK6.Existe unademostracionmuchomas directa ysencilla paralos Teo-remas 3.2.2y3.2.5usandolaacotacionlineal del n umerodecorte delaProposicion3.1.2:60 CAPITULO3. NUMEROSDECORTECorolario3.2.6cr(K5) = 1.Demostraci on:ComomuestralaFigura3.2,cr(K5) 1.PorlaProposi-cion3.1.2,cr(K5) (K5) 3(K5) + 6 = 10 15 + 6 = 1.As,cr(K5) = 1. 2Corolario3.2.7cr(K6) = 3.Demostraci on:ComomuestralaFigura3.4,cr(K6) 3.PorlaProposi-cion3.1.2,cr(K6) (K6) 3(K6) + 6 = 15 18 + 6 = 3.As,cr(K6) = 3. 2Sinembargo,hasidonecesarioverlasdemostracionesanterioresa estasporque su estudio ayuda a comprender la naturaleza del problema y las di-cultadesque se presentanalincrementareln umero de vertices:elproblemadeln umero decorteparaelgrafocompletoKnaumentaconsiderablementesucomplejidadconcadan. Paraencontrarcr(Kn)conn 7senecesitanalgunasnocionesyalgunosresultadosprevios.Se dice que un corte en un dibujo de un grafo es responsablede un verticecuandodichoverticeesextremodeunadelasaristasdel corte. As, cadacortedeldibujodeungrafoesresponsabledeexactamente4vertices.Diremosque un verticetiene responsabilidadde un corteen el dibujo deungrafosiesextremodeuna delasaristasdedichocorte.Avecesdiremosqueunverticetieneresponsabilidadl sitieneresponsabilidaddel.Observacion3.2.8Siundibujodeungrafoconnverticestieneccortes,entonceslasumadelasresponsabilidadesdesusverticeses4c.Enconsecuencia, existeunverticeconresponsabilidadal menos_4cn_,donde {}denotael menorenteromayoroigual que.El siguienteargumentonumericoclasicoseradegranayudaparadarunaestimaciondel n umerode corte de Kn+1enfunciondel n umerodecortedeKn. Supongamosquetenemos undibujooptimodeKn+1yqueconocemos cr(Kn). Eliminando, por turnos, cada unode los vertices deKn+1seobtienenn + 1dibujosdiferentesdeKn. Cadaunodeellosdebeteneral menoscr(Kn)cortes, as quesepuedeestimarel n umerodecortedeKn+1por(n + 1)cr(Kn).3.2. NUMERODECORTEDEKN61Teorema3.2.9cr(Kn+1) n+1n3 cr(Kn)Demostraci on:EsobvioqueseestancontandoalgunoscortesdeldibujodeKn+1mas deunavez. Cuantas veces estamos contandouncorte yadado?SabemosqueuncortedeKn+1apareceenalgunodelosdibujosdeKnsi los4verticesdeloscualesestecorteesresponsableestantodosendicho Kn. As,si estos4verticesestanen Kn,soloquedan n 4verticesdeKnparaescogerentrelos n 3verticesrestantesde Kn1. Portanto,estos4vertices(y,portanto,elcortedelcualsonextremos)estanen_n 3n 4_ = n 3de los Kn, hechoque nos conduce alaconclusionde que cadacorte seestacontandon 3vecesyquenosllevaalasiguienteestimacion:cr(Kn+1) n + 1n 3 cr(Kn),comoqueramosdemostrar. 2Observacion3.2.10La estimacion cr(Kn+1) n+1n3cr(Kn) es equivalentealadesigualdadcr(Kn+1)_n+14_ cr((Kn)_n4_ .Teorema3.2.11Paranimpar,cr(Kn)y_n4_tienenlamismaparidad.Demostraci on: Ver[9]. 2Por otro lado, tambien necesitaremos los siguientes resultados, de los quenodaremosdemostracionenestetrabajo.Teorema3.2.12CualquierdibujooptimodeK6esisomorfoal dibujodelaFigura3.8.Demostraci on: Ver[17]. 2Teorema3.2.13Existenexactamente tres dibujos optimos noisomorfosdeK8,dadosenlaFigura3.9.Demostraci on: Ver[17]. 262 CAPITULO3. NUMEROSDECORTEK8K8K8Figura3.9:DibujosoptimosdeK8.3.2. NUMERODECORTEDEKN63As, todaestateoradeapoyonos permitirademostrar los siguientesresultados.Teorema3.2.14cr(K7) = 9.Demostraci on: LaFigura3.10muestraquecr(K7) 9. Por el Teore-ma3.2.9,cr(K7) 76 3 cr(K6) = 7.As, 7 cr(K7) 9. Por el Teorema3.2.11, como_74_=35es impar,entoncescr(K7)tambienloes.Portanto,cr(K7) = 7ocr(K7) = 9.Supongamosquecr(K7)=7. Entonces, existeundibujodeK7con7cortes. PorlaObservacion3.2.8, existeunverticedeK7quetienerespon-sabilidadal menos_477_=4enestedibujoy, portanto, al eliminardichoverticetendremosundibujodeK6concomomucho7 4 = 3cortes.PerocualquierdibujodeK6tienemasde3cortesporel Teorema3.2.5. As, seconcluyequetodoslosdibujos optimosde K7seobtienenintroduciendo unnuevoverticealaFigura3.8. Comoestagurasoloconienetresregionesesencialmente diferentes donde se pueda a nadir un vertice para conseguir undibujo de K7y entodasellassedeben a nadirmas de 4cortesaldibujar lasaristasque faltanpara formar K7, seobtieneun dibujo de K7conmasde 7cortes.UsandoelTeorema3.2.12,llegamosacontradiccion.Portanto,cr(K7) = 9. 2K7Figura3.10:DibujooptimodeK7.Teorema3.2.15cr(K8) = 18.Demostraci on: LaFigura3.11muestraquecr(K8) 18. Porel Teore-ma3.2.9,cr(K8) 87 3 cr(K7) = 18.64 CAPITULO3. NUMEROSDECORTEAs,cr(K8) = 18. 2K8Figura3.11:DibujooptimodeK8.Teorema3.2.16cr(K9) = 36.Demostraci on: LaFigura3.12muestraquecr(K9) 36. Porel Teore-ma3.2.9,cr(K9) 98 3 cr(K8) = 32 +25> 32.As, 33 cr(K9) 36. Por el Teorema3.2.11, como_94_=126es par,entoncescr(K9)tambienloesy,portanto,cr(K9) = 34ocr(K7) = 36.Supongamosquecr(K9) = 34.Entonces,existeundibujodeK9con34cortes. Porla Observacion 3.2.8,existe un verticede K9que tiene responsa-bilidadalmenos_4349_=16enestedibujoy, portanto, al eliminardichovertice tendremos un dibujo de K8con como mucho 3416 = 18 cortes. Pe-ro cualquier dibujo de K8tiene mas de 18 cortes por el Teorema 3.2.15.As,seconcluyequetodoslosdibujosoptimosdeK9seobtienenintroduciendounnuevoverticeaunodelosdibujosoptimosdeK8delaFigura3.9. Sinembargo, es imposible inroducir un nuevo verticeen cualquiera de estos tresdibujos para crear un dibujo de K9con 34 cortes. Usando el Teorema 3.2.13,llegamosacontradiccion.Portanto,cr(K9) = 36. 23.2. NUMERODECORTEDEKN65K9Figura3.12:DibujooptimodeK9.Hastaelmomentosolosehapodido encontrarcr(Kn)paran 12[18],comosemuestraacontinuacion:n 5 6 7 8 9 10 11 12cr(Kn) 1 3 9 18 36 60 100 150El problemacreceendicultadconcadany, porejemplo, nosepudode-mostrar quecr(K11) =100ycr(K12) =150hastael a no2007[32]. Sinembargo,existeunaconjeturaparaeln umero decortede Knyestosresul-tadosobtenidoshastaahoraseajustanaella:cr(Kn) =14_n2__n 12_ _n 22_ _n 32_,donde [] denotala parte entera. Blazek, Komanyotros [5], [16] y[20]handadoconstruccionesquemuestranque14_n2 _n12 _n22 _n32esunacotasuperiordecr(Kn). LademostraciondeestaconjeturaesunodelosproblemasabiertosactualmenteenTeoradeGrafos.No obstante,existeuna manera de comprobarque esta conjetura es unacotasuperiorcuandoel n umerodevertices espar. ConsideremosK2n. Eldibujodelgrafoquesedescribeacontinuaciontieneexactamente14 [n]_2n 12_[n 1]_2n 32_cortes.Consideremosuncilindrovistodesdearribaycoloquemosnverticesdemaneraequidistanteenel bordedel discosuperioryotrosnverticesenelbordedeldiscoinferior.66 CAPITULO3. NUMEROSDECORTEAhoradibujemosKnenelinteriordeldiscoinferiorconlneasrectasydibujemosKnenelexteriordeldiscosuperiordemaneraqueesedibujodeKnseaelresultadodedeformarcontinuamenteundibujoconlneasrectasde Kndentro del disco superior. Por tanto,tiene el mismo n umero de cortesqueelKndeldiscoinferior(verFigura3.13).Figura 3.13: Ejemplo de como se deben dibujar los Knen los discos superioreinferiordelcilindro.Eldibujodentrodelapareddelcilindrodelrestodearistasseharadelasiguientemanera:escojamosunverticedeldiscoinferioryunamoslocontodoslosverticesdeldiscosuperiormediantecurvashelicoidalesensentidohorario,talcomosemuestraenlaFigura3.14.Figura3.14:Ejemplodecomosedebentrazarlascurvashelicoidales.Repitamos estepaso contodos los verticesdel disco inferior del cilindro.EstaconstruccionfueestudiadaporGuy,BlazekyKomanen[19]y[5]yesdondesedemuestraqueestemetododaundibujooptimo: conel seobtiene el n umero de corte conjeturado para K2n [37]. As, se tiene un dibujode K2ncon14 [n]_2n12[n 1]_2n32 cortes (ver Figura 3.15), demostrandoconelloquelaconjeturadaunacotasuperiorparaeln umerodecortedelgrafocompletosieln umerodeverticesespar.3.2. NUMERODECORTEDEKN67Figura3.15:DibujodeK8siguiendoestemetodo.Enlasiguienteseccionsedemostraraqueestedibujo de Kn,ndentrodelapareddelcilindroesoptimo.Existe,ademas,unargumentonumericoquearmaquelaconjeturaesciertaparanparsiestaesciertaparaeln umeroimparprecedenten 1yqueusaestos ultimosresultadosqueacabamosdever:Teorema3.2.17Seanpar.Sicr(Kn1) =14_n 12_ _n 22_ _n 32_ _n 42_,entoncescr(Kn) =14_n2__n 12_ _n 22_ _n 32_.Demostraci on:Seanpar.Entonces, n

Ztal quen= 2n

.Acabamosdeverquecr(K2n ) 14 [n

]_2n

12_[n

1]_2n

32_ =14_n2__n 22_2_n 42_.Supongamosqueesciertalaconjeturaparan 1:cr(Kn1) =14_n 12_ _n 22_ _n 32_ _n 42_.PorelTeorema3.2.9,cr(Kn) nn 4 cr(Kn1) =14_n2__n 22_2_n 42_.As,cr(Kn) =14_n2__n 22_2_n 42_ =14_n2__n 12_ _n 22_ _n 32_,comoqueramosdemostrar. 268 CAPITULO3. NUMEROSDECORTE3.3. N umerodecortedeKm,nEl problema del n umero de corte para el grafo bipartito completo, Km,n,aparecioporprimeravezcomoel ProblemadelaFabricadeLadrillosdeTuran(verlaintroducciondeestecaptulo).Comoenel casodelosgrafoscompletos, existeunaconjeturaparaeln umerodecortedelosgrafosbipartitoscompletos:cr(Km,n) =_m2__m12__n2__n 12_.EstaconjeturaseconocecomolaConjeturadel N umerodeCortedeZa-rankiewicz yel mismoautordelaconjeturadiounademostraciondeesta[40] en ela no 1954.Sin embargo, a nos mas tarde Ringel y Kainen encontra-ron, demaneraindependiente, unalagunaenestademostracion[19] y, enconsecuencia,laconjeturahapermanecidocomotalhastanuestrosdas.Acontinuacionse detallaunamanerade comprender unpocomejorestaconjeturausandodibujosdeKm,n:supongamosquetenemosunplanoconunejehorizontal yunejevertical. Dibujemos_m2verticesenlapartenegativadel ejehorizontal y_m2_vertices enlapartepositivadel mismoeje, donde[l] denotalaparteenteradel y {l}esel menorenteromayoroigual quel. Analogamente, dibujemos_n2vertices enlapartenegativadelejeverticaly_n2_enlapartepositiva.Dibujemosahoralasmnaristasrectilneasqueunentodoslosverticesdeunejecontodoslosdel otro. EnlaFigura3.16sedanunpardeejemplosdeestetipodedibujos deKm,n:.......................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..........................K3,3K4,5Figura3.16:DibujosdeK3,3ydeK4,5.Proposicion3.3.1Este tipo de dibujo de Km,nexplicado arriba tiene exac-tamente_m2 _m12 _n2 _n12cortes.Demostraci on: Observemosquelasaristas queunenlos 4vertices mascercanosal cruceentrelosejesnuncapresentarancortesporconstruccion.3.3. NUMERODECORTEDEKM,N69Construimos primero las aristas que unen los dos vertices de la parte positivayde laparte negativa, respectivamente, del eje vertical m as cercanos alcentrode losejes contodos losverticesdel eje horizontal.Porconstruccion,nohaycortesentrearistas(verFigura3.17).Figura3.17:EjemplodeestepasodelaconstrucciondeldibujodeK9,6.Ahoraescogemoselsiguienteverticedelapartepositivadelejeverticalmascercanoal centrodelosejesyquenoseaningunodelosdosverticesanteriores.Lo unimos conaristasa todoslosverticesdelejehorizontal.Porconstruccion,sehancreado[m2 ]

k=1__m2_k_+{m2 }

k=1__m2_k_cortes(verFigura3.18).Figura3.18:EjemplodeestepasodelaconstrucciondeldibujodeK9,6.Al hacer lomismoconel vertice delapartenegativadel ejeverticalmascercanoal centrodelosejesyquenoseaningunodelostresverticesanteriores,secrean[m2 ]

k=1__m2_k_+{m2 }

k=1__m2_k_cortes mas. Ahora, al unir con aristas los dos vertices siguientes mas cercanosal centro en el eje vertical (siguiendo el metodo usado hasta ahora) con todos70 CAPITULO3. NUMEROSDECORTElosverticesdelejehorizontal,secrean2___[m2 ]

k=1__m2_k_+{m2 }

k=1__m2_k____cortes. Analogamente, al hacerlomismoconel verticecorrespondientedelapartenegativadeleje:2___[m2 ]

k=1__m2_k_+{m2 }

k=1__m2_k____cortes.Haciendoassucesivamente,alunirlosi-esimosverticesdelejevertical(si-guiendoestemetodo)contodoslosdelejehorizontal,secrearan(i 1)___[m2 ]

k=1__m2_k_+{ m2 }

k=1__m2_k____cortes.+(i 1)___[m2 ]

k=1__m2_k_+{ m2 }

k=1__m2_k____cortes.Sumando todosloscortesquesehancreadoenesteprocedimiento,setienequeeln umerototaldecorteseneldibujoes(verFigura3.19):[n2]1

l=1l___[m2 ]

k=1__m2_k_+{m2 }

k=1__m2_k____+{ n2 }1

l=1l___[m2 ]

k=1__m2_k_+{ m2 }

k=1__m2_k_.___Figura3.19:EjemplodeestepasodelaconstrucciondeldibujodeK9,6.3.3. NUMERODECORTEDEKM,N71Simplicando,estacantidades,exactamente,_m2__m12__n2__n 12_.Estosedebeaque: comomesentero, entoncesobienm2esenteroobienm2= s +12,consentero.Pasalomismoconn2.Sedene(m) :=[m2 ]

k=1__m2_k_+{m2 }

k=1__m2_k_.Sim2esentero,_m2+_m2_ = my(m) =m22m4.Sim2= s +12,consentero,_m2+_m2_ = my(m) =m22m+14.As,sisedene(m, n) :=[n2]1

l=1l(m) +{ n2 }1

l=1l(m),sedistinguen4casos:Sin2esenteroym2esenteroentonces(m, n) =m2n22mn22m2n + 4mn16=_m2__m12__n2__n 12_eseln umerodecorteseneldibujo.Sin2= t +12,contentero,ym2esenteroentonces(m, n) =m2n22mn22m2n +m2+ 4mn 2m16eseln umerodecorteseneldibujo,quecoincideconlacantidad_m2__m12__n2__n 12_.Sin2esenteroym2= s +12,consentero,entonces(m, n) =m2n22mn22m2n +n2+ 4mn16eseln umerodecorteseneldibujo,quecoincideconlacantidad_m2__m12__n2__n 12_.72 CAPITULO3. NUMEROSDECORTESin2= t +12,contentero,ym2= s +12,consentero,entonces(m, n) =m2n22mn22m2n +n2+m2+ 4mn 2m2n + 116eseln umerodecorteseneldibujo,quecoincideconlacantidad_m2__m12__n2__n 12_.As,estetipodedibujotieneexactamente_m2 _m12 _n2 _n12cortes. 2Teorema3.3.2cr(Km,n) _m2 _m12 _n2 _n12.Demostraci on: Bastaconsiderar laconstrucciondeundibujodeKm,ncomosehaexplicadoantes. 2HastaahoranadiehaencontradoundibujodeKm,nconmenoscortesquelosdadosporestaconjetura. Dehecho, laconjeturaarmaqueestosdibujossonoptimosparacadanym.Peseaquenosehademostradoel casogeneral s quesehanpodidodemostraralgunosresultadosparciales: sehapodidovericarlaconjeturaparamn{m, n} 6[29], param=7yn 10[38] ypara7 m 8y7 n 10[38].A continuaciondaremos algunas de estas demostracionespara los grafosbipartitoscompletosmaspeque nos.Teorema3.3.3cr(Ki,j) = 0parai, j {1, 2}.Demostraci on:VerFigura3.20. 2K1,1K1,2= K2,1K2,2Figura3.20:DibujosdeKi,jsincortesparai, j {1, 2}.Teorema3.3.4cr(K2,3) = cr(K3,2) = 0.Demostraci on:VerFigura3.21. 23.3. NUMERODECORTEDEKM,N73K2,3Figura3.21:DibujodeK2,3= K3,2.Teorema3.3.5cr(K3,3) = 1.Demostraci on:PorelTeorema3.3.2,cr(K3,3) _32 _22 _32 _22=1(verFigura3.22).K3,3Figura3.22:DibujodeK3,3.Porotrolado,elTeorema2.1.3arma que K3,3esno planar.Portanto,cr(K3,3) 1y,enconsecuencia,cr(K3,3) = 1. 2Teorema3.3.6cr(K3,4) = cr(K4,3) = 2.Demostraci on:PorelTeorema3.3.2,cr(K3,4) _32 _22 _42 _32=2(verFigura3.23).K3,3Figura3.23:DibujodeK3,4= K4,3.74 CAPITULO3. NUMEROSDECORTEK3,4contieneuna subdivision de K3,3y, enconsecuencia,no es un grafoplanar.As,cr(K3,4) 1.NumeremoslosverticesdeK3,4delasiguientemanera:v1, v2yv3sonlosverticesdel primerconjuntodelaparticiondeverticesyv1

, v2

, v3

yv4

sonlos vertices del segundoconjunto. Supongamosquecr(K3,4) =1.ElsubgrafodeK3,4formadoporlosvertices {v1, v2, v3}, {v1