t 5.8 a 5.9 bj parte 3
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Mecnica vectorial para ingenieros: Dinmica
No
ve
na
e
dic
in
Razn de cambio con respecto a un sistema de referencia en
rotacin
15 - 1
Consideremos el sistema de
referencia OXYZ como fijo.
El sistema de referencia
Oxyz gira alrededor del eje
fijo OA con velocidad
angular
La funcin vectorial tQ
kQjQiQQ zyxOxyz
Respecto al sistema de referencia OXYZ:
kQjQiQkQjQiQQ zyxzyxOXYZ
razn de
cambio con respecto al sistema de referencia
rotatorio.
Oxyzzyx QkQjQiQ
S OXYZQ
QkQjQiQ zyx
Q
Respecto al sistema de referencia rotatorio Oxyz:
kQjQiQQ zyx
Respecto al sistema de referencia OXYZ:
QQQ OxyzOXYZ vara en direccin y magnitud.
est fijado en Oxyz, entonces es
es equivalente a la velocidad de un punto en un
cuerpo rgido adjunto a Oxyz y adems:
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na
e
dic
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Aceleracin de Coriolis
15 - 2
El sistema de referencia OXY es fijo y el sistema de
referencia rotatorio Oxy gira con velocidad angular .
El vector de posicin Pr
La velocidad absoluta de la partcula P es:
OxyOXYP rrrv
Imagine una placa rgida junto al sistema de referencia rotatorio Oxy, o F para abreviar. Sea P un punto sobre
la placa que corresponde de manera instantnea a la
posicin de la partcula P.
OxyP rv
F velocidad de P a lo largo de su
trayectoria en la placa.
'Pv
velocidad absoluta del punto P sobre la placa.
La velocidad absoluta de la partcula P puede escribirse
como:
FPPP vvv
para la partcula P es el
mismo en ambos sistemas de referencia, pero la razn
de cambio depende de la eleccin del sistema de
referencia.
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Aceleracin de Coriolis
15 - 3
FPP
OxyP
vv
rrv
La aceleracin absoluta de la partcula P es:
OxyOXYP rdt
drra
OxyOxyP rrrra
2
OxyOxyOxy
OxyOXY
rrrdt
d
rrr
Pero:
OxyP
P
ra
rra
F
Utilizando el punto conceptual P sobre la placa:
La aceleracin absoluta para la partcula P se
convierte en:
22
2
F
F
F
POxyc
cPP
OxyPPP
vra
aaa
raaa
Aceleracin de
Coriolis.
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Aceleracin de Coriolis
15 - 4
Considerar un collar P hecho para deslizarse a una
velocidad relativa constante u a lo largo de la varilla
OB.
cPAP aaaa
F
La aceleracin absoluta del collarn es:
0 OxyP ra
F
uava cPc 22 F
La aceleracin absoluta consiste en los vectores radial y
tangencial mostrados.
2rarra AA
donde:
La varilla gira a una velocidad angular constante . El punto A sobre la varilla corresponde a la posicin
instantnea de P.
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Aceleracin de Coriolis
15 - 5
uvvtt
uvvt
A
A
,at
,at
El cambio de la velocidad superior a t est
representado por la suma de tres vectores:
TTTTRRv
2rarra AA Recordando:
se debe al cambio en la direccin de la
velocidad del punto A en la varilla:
AAtt
arrt
vt
TT
2
00lmlm
TT
se derivan de los efectos combinados
del movimiento relativo de P y la rotacin de la
varilla:
TTRR y
uuu
t
r
tu
t
TT
t
RR
tt
2
lmlm00
uava cPc 22 F
Recordando:
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Problema resuelto:
15 - 6
El disco D del mecanismo de Ginebra
gira con una velocidad angular
constante de D = 10 rad/s en sentido contrario al de las manecillas del reloj.
En el instante en que f = 150o, determinar la velocidad angular del
disco S, y la velocidad del pasador P
relativa al disco S.
La velocidad absoluta del punto P
puede escribirse como:
sPPP vvv
La magnitud y la direccin de la
velocidad de Pv
La direccin de la velocidad Pv
La direccin de la velocidad sPv
Resolver el tringulo vectorial de la
velocidad angular de S y velocidad
relativa de P.
SOLUCIN:
del pasador P se
calculan a partir de la velocidad angular
y del radio del disco D.
del
punto P en donde S coincide con P es
perpendicular al radio OP.
de P
con respecto a S es paralela a la ranura.
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Problema resuelto:
15 - 7
SOLUCIN:
La velocidad absoluta del punto P puede escribirse como:
sPPP vvv
La magnitud y la direccin de la velocidad absoluta del
pasador P se calculan a partir de la velocidad angular y del
radio del disco D:
smm500srad 10mm 50 DP Rv
La direccin de la velocidad de P con respecto a S es
paralela a la ranura. De la ley de los cosenos:
mm 1.37551.030cos2 2222 rRRllRr
De la ley de los cosenos:
4.42742.0
30sensen
30sen
R
sen
r
6.17304.4290
El ngulo interior del tringulo vectorial es:
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Problema resuelto:
15 - 8
La direccin de la velocidad del punto P en donde S
coincide con P es perpendicular al radio OP. De la velocidad
triangular:
mm 1.37
smm2.151
smm2.1516.17sensmm500sen
ss
PP
r
vv
ks
srad08.4
6.17cossm500cosPsP vv
jiv sP
4.42sin4.42cossm477
smm 500Pv
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Problema resuelto:
15 - 9
En el mecanismo de Ginebra, el
disco D gira con una velocidad
angular constante de 10 rad/s en
sentido contrario al de las
manecillas del reloj. En el instante
en que j = 150o, determinar la
aceleracin angular del disco S.
SOLUCIN:
La aceleracin absoluta del pasador P puede
expresarse como:
csPPP aaaa
La velocidad angular instantnea del disco S
se determin como en el problema anterior
resuelto.
La nica incgnita involucrada en la
ecuacin de la aceleracin es la aceleracin
angular instantnea del disco S.
Resolver cada trmino de aceleracin en la
componente paralela a la ranura. Asimismo
determinar la aceleracin angular del disco
S.
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Problema resuelto:
15 - 10
SOLUCIN:
La aceleracin absoluta del pasador P puede
expresarse como
csPPP aaaa
Del problema resuelto 15.9,
jiv
k
sP
S
4.42sen4.42cossmm477
srad08.44.42
Considerando cada trmino de la ecuacin de la
aceleracin,
jiaRa
P
DP
30sen30cossmm5000
smm5000srad10mm500
2
222
jia
jira
jira
aaa
StP
StP
SnP
tPnPP
4.42cos4.42senmm1.37
4.42cos4.42sen
4.42sen4.42cos2
nota: S puede ser positivo o negativo
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Problema resuelto 15.10
15 - 11
La aceleracin relativa debe ser paralela a la
ranura. sPa
sPv
La direccin de la aceleracin de Coriolis se obtiene
girando la direccin de la velocidad relativa de
90 en el sentido S.
jiji
jiva sPSc
4.42cos4.42sensmm3890
4.42cos4.42sensmm477srad08.42
4.42cos4.42sen2
2
Equiparando los componentes de los trminos de
aceleracin perpendicular a la ranura,
srad233
07.17cos500038901.37
S
S
kS
srad233
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Movimiento alrededor de un punto fijo
15 - 12
El desplazamiento ms general de un cuerpo rgido
con un punto fijo O es equivalente a una rotacin del
cuerpo alrededor de un eje que pasa por O.
Con el eje instantneo de rotacin y velocidad
angular la velocidad de una partcula P del
cuerpo es
,
rdt
rdv
y la aceleracin de la partcula P es
.dt
drra
Las velocidades angulares tienen magnitud y direccin
y obedecen la ley del paralelogramo de adicin. Son
vectores.
A medida que el vector se desplaza en el cuerpo y en
el espacio, genera un cuerpo y un espacio cnicos que
son tangentes a lo largo del eje instantneo de rotacin.
La aceleracin angular representa la velocidad de la
punta de .
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Movimiento general
15 - 13
Para las partculas A y B de un cuerpo rgido,
ABAB vvv
La partcula A est fija dentro del cuerpo, y el
movimiento de ste en relacin con AXYZ es el
movimiento de un cuerpo con un punto fijo
ABAB rvv
De manera similar, la aceleracin de la partcula
P es
ABABAABAB
rra
aaa
La mayor parte del movimiento general de un cuerpo rgido es
equivalente a:
- una traslacin en la que todas las partculas tienen la misma
velocidad y la aceleracin de una partcula de referencia A, y
- a un movimiento en el que la partcula A se supone fija.
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Problema resuelto 15.11
15 - 14
La gra gira con una velocidad angular
constante 1 = 0.30 rad/s, y la pluma se eleva con una velocidad angular
constante 2 = 0.50 rad/s. La longitud de la pluma es l = 12 m.
Determinar:
la velocidad angular de la pluma,
la aceleracin angular de la pluma,
la velocidad de la punta de la pluma,
la aceleracin de la punta de la
pluma.
Aceleracin angular de la pluma,
21
22221
Oxyz
Velocidad de la punta de la pluma,
rv
Aceleracin de la punta de la pluma,
vrrra
SOLUCIN:
Con
Velocidad angular de la pluma,
21
ji
jir
kj
639.10
30sen30cos12
50.030.0 21
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Problema resuelto 15.11
15 - 15
jir
kj
639.10
50.030.0 21
SOLUCIN:
Velocidad angular de la pluma,
21
kj
srad50.0srad30.0
Aceleracin angular de la pluma,
kj
Oxyz
srad50.0srad30.021
22221
i 2srad15.0 Velocidad de la punta de la pluma,
0639.10
5.03.00
kji
rv
kjiv
sm12.3sm20.5sm54.3
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Problema resuelto 15.11
15 - 16
jir
kj
639.10
50.030.0 21
Aceleracin de la punta de la pluma,
kjiik
kjikji
a
vrrra
90.050.160.294.090.0
12.320.53
50.030.00
0639.10
0015.0
kjia 222 sm80.1sm50.1sm54.3