1. Bevezetés

A matematikának a természeti jelenségek magyarázatával foglalkozó ága még

meglehetősen felderítetlen terület. Megfigyelve a növények szerkezetét, állatok viselkedését,

szokásait, számtalan érdekes jelenségnek lehetünk tanúi. Ezek magyarázatával több

tudományág foglalkozik. Számos esetben a matematika adja meg a választ.

A zeneirodalomban jól ismert műfaj egy alaptémára változatokat írni. (Mozart igen

kedvelte ezt a műfajt.) Az említett műfajra jellemző, hogy legtöbbször egyszerű alaptémából

indul ki, és azt variálja egymástól nagyon is különböző ritmusú, hangulatú, jellegű, néha

egészen váratlan és bravúros változatokban.

Tudjuk, hogy Bartók is „számolt" népdalainak gyűjtése közben, és Fibonacci - típusú

sorozat elemeit kapta végeredménynek. A dolgot tetézi, hogy Bartók íróasztalán fenyőtobozt

tartott, amely hasonló struktúrával írható le.

A Fibonacci – sorozat fontos szerepet játszik a matematika számos területén, szoros

kapcsolatban áll a természetes növekedés törvényszerűségeivel, felfedezhetjük különböző

növények mintázatában és a természeti jelenségek tükröződéseképpen számos művészeti

alkotás szerkezetében.

A következőkben a zeneirodalom példáját követve bemutatok egy igen egyszerű

matematikai témát – az úgynevezett Fibonacci- számsorozatot – és annak számos változatát és

megjelenési formáit. E változatok a Fibonacci – számsorozat különböző tulajdonságaira,

különböző értelmezéseire, alkalmazásaira, általánosításaira vonatkozik.

Fibonacci, Leonardo Pisano

(1175?-1240 után)

Fibonacci, Leonardo Pisano olasz matematikus volt. 1175-ben született Pisában. Apja,

Guilielmo Bonacci a gazdag itáliai városnak, Pisának volt kereskedelmi ügyvivõje Algírban.

Leonardo itt tanulta a matematika alapjait. Bejárta Szíriát, Észak-Afrikát, Hispániát, Szicíliát.

Üzleti útjain ismerte meg kelet mûveltségét és ezen belül matematikáját.1225-ben Flos című

könyvében Leonardo Pisano Bigollo néven illeti magát.

Leonardo Pisano (1170-1250), akit ma legtöbben Fibonacci néven ismerünk. Még

gyermekként, az algír Bejaia város kereskedelmi iskolájában ismerte meg a hindu/arab

helyiértékes számokat és használatukat, és később utazásai során volt alkalma meggyőződni

ennek előnyeiről, lett légyen az az ,,egyiptomi, szír, görög, szíciliai, vagy Provence-i

változata'' a módszernek.

Az összegyûjtött és az általa kiegészített aritmetikai és algebrai ismereteket a Liber Abaci

(1202,1228) (Könyv az abakuszról) címû mûvében foglalta össze, amivel gyakorlatilag

bevezette az arab számokat Európában, és ami - tekintve az európai matematika, technika, és

gazdaság későbbi eredményeit - az egyetemes kultúra egyik legnagyobb hatású tankönyve.

Egyéb művei: Practica geometriae (1223), Flos (1225), Epistola ad Magistrum Theodorum

(?), Liber quadrotorum (1225)

1

A XIV. században élt Pisában Fibonacci, aki számokat keresett a természetben. Ilyesmiket

kérdezett: hogyan növekszik egy nyúltenyészet egyedszáma, hány pikkely van a

fenyőtobozokon, hogyan éri utol a vadászkutya a nyulat? Furcsa szabályosságot talált,

sorozatát nevezték el Fibonacci-sornak. A Fibonacci sor a következő:

1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55...

Jól látható, hogy minden egyes tag (az első kettőt kivéve) az előző két tag összegével egyenlő.

A sorozat aztán bőven adott munkát a matematikusoknak, főleg, hogy egymást követő tagjai

hozzávetőlegesen aranymetszési arányban vannak egymással.

Leonardo Pisano: Liber quadrotorum első oldala:

2

Fibonacci és az arab számjegyek:

Az indiai eredetű, ún. arab számok először a spanyolországi latin kéziratokban tünedeztek fel

a X. század óta, de európai elterjedésük csupán a XII. századtól számítható. Ebben nagy

szerephez jutott Mohamed ibn Musa al-Kharizmi (780-847) arab matematikus, akinek

latinra fordított számtankönyvét (algorismus) ettől fogva széltében tanították Nyugat-Európa

iskoláiban. Az arab számoknak a kereskedelmi gyakorlatban való meghonosodását a pisai

Leonardo Fibonacci 1202-ben összeállított Liber Abaci című gyakorlati célú kézikönyve

készítette elő. A társadalom maga azonban sokáig idegenkedett az új számok használatától.

Különösen az oklevelek keltezésében hódítottak nagyon lassan tért az arab számok. A

közhiedelem ugyanis azt tartotta, hogy könnyebben hamisíthatók, mint a betűkből álló római

számok. Amíg a kódexekben az arab számok a XIII. század folyamán egészen kivételes

esetekben, a XIV. században azonban már meglehetősen gyakran előfordultak, az

oklevelekben csak a XV. század közepe után tünedeztek fel, és csak a XVI. század elején

terjedtek el számottevő mértékben. A társadalom idegenkedésének jeleként fogható fel az is,

hogy eleinte az arab számokat olykor a rómaiakkal keverten használták (pl. MCCCC7 =

1407).

Az arab számok mai alakjukat a XVI. század elején nyerték el. Ezt megelőzően

különösképpen a 2, 3, 4, 5, 7 számnak volt helytől és időtől függően változó különleges

alakja. Például a 4-et a 8 felezése által nyert jellel jelölték.

A kezdetek kezdete:

A számolást segítõ eszközök története gyakorlatilag egyidõs az emberiség történetével. Az

õsember az ujjait használta a számoláshoz, aminek a latin neve digitus. Innen származik az

angol számjegy, a digit elnevezés is. Késõbb a számoláshoz köveket, fonalakat használtak, az

eredményt a barlang falába, csontba vagy falapokba bevésve rögzítették.

A nagyobb számértékek megjelenésével kialakult az átváltásos rendszerû számábrázolás, a

tizes, tizenkettes, majd a hatvanas számrendszer. Az elsõ máig is fennmaradt helyiértékes

írásmód a kipukon látható.

3

Az egyik elsõ eszközként az abakusz tette lehetõvé az egyszerûbb mûveletvégzést. Az

abakusz sínekbe helyezett apró kövekbõl áll. A kövecske latin neve calculus, innen származik

a kalkulátor szó is. Az abakuszt némileg módosítva a XVI. századig mint fõ számolást segítõ

eszközt használták, egyetemen tanították a vele való szorzás és osztás mûveletsorát. A mai

európai formája a golyós számolótábla.

1202-ben Leonardo da Pisa, Fibonacci

(1170?-1240) Liber Abaci címû könyve

hathatósan közremûködött abban is, hogy

Európa megismerkedjék a hindu-arab

számokkal és használatukkal. A könyvében

még hindu számjegyekrõl beszélt helyesen!

A könyv címe azt sugallja, hogy csak az

abakusszal elvégezhetõ mûveletekrõl szól,

ezzel szemben valójában az arab számokkal

való számolás érdekében az abakusz

ellenpropagandáját jelenti.

A középkorban azonban még tudtak

ezeknek a számoknak az igazi eredetérõl.

Ezt mutatja egy latin nyelvû könyv címe is:

Algoritmi de numerus indorum (magyarul: al-Khwarizmi az indusok számjegyeirõl). A latin

címben szereplõ algoritmi szó az Abu Abdalláh Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi (780?-

850?) (Khwarizm városából való) nevének elferdítésébõl ered. Ebbõl származik az algoritmus

valamilyen számolási eljárást jelentõ szavunk.

Ramón Lull spanyol szerzetes 1275-ben azt a gondolatot vetette fel, hogy az igazság

mechanikus módszerekkel is igazolható. Módszerének elveit az "Ars Magna et Ultima Lulli"

címû munkájában fejtette ki. Egy gondolkodó gépet szerkesztett, amelyben számok helyett az

egymással összefüggésbe hozandó fogalmak, illetõleg azok jelei szerepeltek. E logikai gép

segítségével akarta bebizonyítani Isten létezését és mindenhatóságát, megtéríteni a hitetlen

muzulmánokat. (Kora nem értékelte munkásságát, Tuniszban megkövezték.)

A tényleges áttörést a logaritmus megjelenése jelentette.

4

Amint a genovaiak keleten megtanulták a navigációt - mint annak idején a velenceiek -,

érdeklődésük nyugat felé fordult. Az egyik genovai család, a Pessagniaké már 1317-ben

tengernagyságig vitte Portugáliában. Antonio Uso di Mare 1454-ben felfedező utat tett egy

nyugat-afrikai partszakaszon. Genovából származott Kolumbusz Kristóf (sz. 1451-ben), és

ami azt illeti, John Cabot is. Nem véletlen, hogy ezek az olasz hajósok mind Spanyolország

vagy Anglia szolgálatába álltak, hisz Genovától nem várhattak segítséget. Annak dicsősége

már a múltba merült, hajózási és csillagászati ismereteit mások örökölték. Miből álltak ezek

az ismeretek? Először is egy pisai kereskedő, Leonardo Fibonacci Észak-Afrikában

megismerte az indiai számrendszert, amelyben a számjegy vagy nulla értéke a többihez képest

elfoglalt helyétől függ. A rendszert 1201-ben kiadott munkájában ismertette, s ezután már

nem volt akadálya a matematikai - és csillagászati - számítások elvégzésének. 1269-re

használatba került a forgó iránytű, amelyet 1300-ra kartonlapra szereltek; addig nem sok

hasznát lehetett venni. De ezután elterjedt a tengeri kvadráns (vagy csillagmagasság-mérő) és

a nokturnális használata is (mindkettő a földrajzi szélesség megállapítására szolgált), amelyek

iránytű nélkül megbízhatatlanok voltak. A 15. századi hajós nem szűkölködött eszközökben:

volt térképe a nappálya hajlásáról az Északi Sarkcsillag helyesbített magasságával,

útmérőfonala és homokórája. Elég jó térképek álltak rendelkezésére a Földközi-tenger

vidékéről; ezekről az úgynevezett a hajóskönyvekről először 1270-ben történik említés;

eleinte csak becsült távolságok alapján rajzolták meg őket, de 1350 táján már így is

meglehetősen pontosak voltak. A híres 1375-ös katalán hajóskönyv pedig viszonylag pontos

térképpel szolgált a Keletről. Az olasz hajósok egyre jobban értettek a navigációhoz.

Az itáliai tengerészek Portugáliában találkoztak az atlanti-parti hajósokkal, akik egészen más

iskolához tartoztak: nem a navigációhoz értettek, hanem a tengeri hajózáshoz. A földközi-

tengeri hajós bármilyen szögből felismerte bármelyik szárazföld körvonalait, és ismereteit

térképpel, iránytűvel és kvadránssal egészítette ki; az északi hajós nem remélhette, hogy

5

bármit is látni fog, így a mérőónnal tájékozódott. Nem sokra becsülte az ókori eredetű

evezősgályát. Mi haszna lett volna egy két csomó ( 3704 m / óra) átlagsebességű, négy és fél

csomó (8784 m / óra) maximális sebességű gályának azokon az árapályos vizeken,

amelyekkel az angoloknak, meg hollandoknak meg kellett küzdeniük? A hat csomó sebességű

dagályban a hajósnak nagy ügyességre és vitorlafelületre volt szüksége, az evezőt csak

időpocsékolásnak tekinthette. Akár árapályos vizeken járt, akár nem, az északi hajóhoz vastag

gerendák és hajókötelek kellettek, tartós vászon és erős horgonyok. Más tulajdonságokat

tartottak nagy becsben hajónál és hajósnál egyaránt. Azokhoz a tengeri utakhoz, amelyekről a

genovaiak álmodtak, mindkét féle képességgel rendelkező hajósokra, s mindkét hajóépítő

hagyományt egyesítő vízi járművekre volt szükség. És ez sem volt elég magában. Az is

kellett, hogy a hajóépítőt és hajóst lendület és célratörés hajtsa, évszázadok során

felhalmozódott vad indulat, türelmetlenség és harag. Ezzel az erőforrással rendelkeztek a

portugálok meg a spanyolok.

        

        

6

3. A Fibonacci – sorozat és a Matematika

I. A Fibonacci sorozat:

A pizzai Leonardo a XII. és XIII. század fordulóján élt matematikus egyike volt azoknak, akik

a hinduktól származó, de az akkori világban arab közvetítéssel elterjedő tízes alapú, helyi

értékes rendszerre épülő számírási módot Európában meghonosították. Leonardo Pisano,

ismertebb nevén Fibonacci kora matematikai ismereteit Liber Abaci címen ismert munkájában

foglalta össze. E híres munkájában található a következő probléma, amit Fibonacci nyulaiként

is gyakran emlegetnek:

A feladat leírása: Egy ember egy minden oldalról fallal körülvett helyre helyez egy fiatal

nyúlpárt. A nyúlpár a második hónapban ivaréretté válik, és a harmadik hónaptól kezdve

minden hónapban egy új nyúlpárat fial. Hány nyúlpárral rendelkezik az ember az n-dik

hónapban, ha tudjuk, hogy az új nyúlpárak is hasonlóan szaporodnak (és persze feltesszük,

hogy a nyulak nem pusztulnak el)?

Hány pár nyúlra szaporodik egy év alatt a kezdeti pár, ha tudjuk, a nyulak két

hónap alatt válnak ivaréretté, és ezután minden pár minden hónapban egy új

párnak ad életet és mindegyikük életben marad?

A feladat megoldásában a nyúl-párok számának időbeli alakulását kell követni. Az első

hónapban egy nyúl-párunk van, és ugyanannyi lesz a másodikban is; a párok száma csak a

harmadik hónapban változik egyről kettőre. A következő hónapban a szülők újabb párnak

adnak életet, így a párok száma háromra nő. Az ötödik hónapban azonban már az új pár is

szaporulatképes, így az új párok száma kettővel nő, és az összes párok száma ötre gyarapodik.

A következő hónapban már mindkét ifjabb generáció hoz létre utódokat, és a párok száma

hárommal növekedve nyolcra változik.

1. Az elsõ hónap végén még csak 1 pár van.

2. A második hónap végén születik 1 új pár, így most már 2 pár van.

3. A harmadik hónap végén az eredeti nõsténynek születik a második pár nyula, így

már 3 pár lesz.

7

4. A negyedik hónap végén az eredeti nõsténynek lesz újabb kicsinye, a második

hónapban született nõstény most elli az elsõ kicsinyeit, így összesen már 5 pár nyúl

van.

A párok száma

Az egyes hónapokhoz tartozó nyúl-párok számát leíró

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …

számsor Fibonacci-sorozat néven vonult be a matematika történetébe. A sorozat

előállításának alapja az a tulajdonság, mely szerint a harmadik elemtől kezdve bármely elem

az előző kettő összege. A sorozat első két elemét azonban meg kell adni; ezek értéke a

Fibonacci-sorozat esetén 1. A sorozat definíciója ennek megfelelően:

,  és , ha n>2.

A sorozatok ilyen előállítási módját – mely az újabb elemek képzését az előzőekre vezeti

vissza – rekurzív eljárásnak nevezik.

8

a) Lehet folytatni a sorozatot:

1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610...

b) Visszafelé is lehet folytatni a sorozatot:

...-21, 13, -8, 5, -3, 2, -1, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5...

Két irányban végtelen sorozat. Az új tagok váltakozó előjellel ugyanazok, mint 0- tól

"jobbra".

c) Írjuk minden tag alá a rákövetkező tag és az illető tag különbségét!

1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34...

1, 2, 3, 5, 8, 13,

d) A feladatot a fák növekedésére átfogalmazva a feltevések kevésbé irreálisak, mint a nyulak

szaporodása esetén:

Tegyük fel, hogy a fa úgy nő, hogy minden új ág a létrejöttét követő évben csak növekszik, a

második évtől kezdve azonban minden évben egy-egy új oldalágat hajt. Így az ágak száma

ismét az 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34... sorozatot adja.

e) A következőekben az:

1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34... (1)

sorzatot átalakítjuk úgy, hogy minden taghoz hozzáadjuk a kettővel megelőző tagot:

1,3,4,,7,11,18,29,47,76,123... (2)

Tehát például 18 = 7+11.

Ugyanolyan tulajdonsága van, mint a Fibonacci - sorozatnak.

Oka: Jelöljük az (1) sorozat n-edik tagját Fn-nel!

F1 = 1, F2 = 2, F3 = 3, F4 = 5, F5 = 8, ... Fibonacci - számokra érvényes:

Fn = Fn-1 + Fn-2 összefüggés.

Jelöljük Gn - nel a (2) sorozat n-edik tagját, így

G1 = 1, G2 = 3, G3 = 4, G4 = 7, G5 = 11 ...

Tudjuk, hogy Gn = Fn + Fn-2

Be kell látni, hogy Gn = Gn-1 + G n-2:

Gn = Fn + Fn-2 = (Fn-1 + Fn-2) + (Fn-3 + Fn-4) = (Fn-1 + Fn-3) + (Fn-2 + Fn-4) = Gn-1 + Gn-2

(2) Fibonacci-típusú sorozat, tehát a harmadik tagtól kezdve minden tag egyenlő az előző két

tag összegével.

9

f) Most egy Fibonacci típusú sorozat n-edik tagját jelöljük an- nel. ( n= 1,2...)

Tegyük fel, hogy an = an-1 + an-2 (n = 1,2...) összefüggés fennáll az ilyen sorozatokra.

Az első két tagot tetszőlegesen választhatjuk meg, de ez majd az összeset meghatározza.

Vegyük például 1,6,7,13,20,33,53,86,... sorozatot, ahol a1 =1, a2 = x, a3 = 1 + x , a4 =9.

Mi a sorozat?

a4 = x + (1 + x) = 1 + 2x x = 4

A sorozat tehát a következő: 1, 4, 5, 9, 14, 23,...

g) Egyszerű számtani sorozatok lehetnek-e Fibonacci-típusú sorozatok?

Számtani sorozat : Csak úgy lehet Fibonacci, ha csupa 0-ból áll, mert a számtani

sorozat egymás utáni tagjainak különbsége állandó, de a Fibonacci- típusú sorozatoknál az

egymás után következő tagok különbsége ugyanazt a sorozatot adja. Ezt a c) változatban

láttuk.

Mértani sorozat lehet- e Fibonacci-típusú sorozat?

Mértani sorozatnak nevezünk olyan sorozatot, amelyben az egymás után következő tagok

hányadosa állandó.

Ha a1 , a2 ... an egy mértani sorozat, q az egymás utáni tagok hányadosa.

a2 = a1 · q, a3 = a2 · q = a1 ·q2 , akkor általában an = a1 ·qn-2 (n = 1,2...), ha ez Fibonacci-típusú

sorozat, akkor fennáll, hogy a3 = a1 + a2 ... Általában: an = an-1 + an-2

Így igaz a q2 - q -1 =0 egyenlet, aminek gyökei: q1 = (5-1) /2, q2 = (5+ 1) /2

Tehát ha q1 és q2 ilyen számok, akkor an = a1 · q1 n-1 és an = a1 · q1

n-2 mértani sorozatok is

Fibonacci- féle sorozatok, a1 itt tetszőleges szám.

10

II. A Fibonacci-sorozat és az aranymetszés :

Ha egy szakaszt úgy osztunk két részre, hogy a nagyobbik rész az egésznek q1-ed része, akkor

a nagyobbik rész úgy aránylik az egészhez, mint a kisebbik rész a nagyobbikhoz. Az ilyen

felosztást az ókori görög matematikában aranymetszésnek nevezték.

A Fibonacci-sorozat szoros kapcsolatban van az aranymetszéssel. Érvényes az

egyenlet az aranymetszésnek megfelelően felosztott szakasz esetében (ahol a jelöli a szakasz

teljes hosszát, x a hosszabbik metszetet). Az aranymetszésnél a rövidebb és a hosszabbik

metszet, valamint a felosztandó szakasz olyan mértani sorozatot alkotnak, melynek hányadosa

. Ezt az egyenletet pedig kapcsolatba hozhatjuk a Fibonacci-sorozattal.

11

Az ókori görögök az építészetben is alkalmazták az aranymetszés szabályát.

Jelöljük a továbbiakban -et q-val! A fenti egyenlőség mindkét oldalát -nal szorozva,

ahol  tetszőleges, zérustól különböző szám, az

egyenlőséget kapjuk, ami éppen azt jelenti, hogy a fenti  hányadossal képzett mértani

sorozatokra igaz, hogy a harmadik elemtől kezdve bármely elem egyenlő az előző kettő

összegével.

Ez utóbbi tulajdonsága megvan a Fibonacci-sorozatnak is. Ugyanis a sorozat (n+1)-edik

eleme (a harmadik elemtől) a következő módon állítható elő:

Mindkét oldalt a n-nel (nem nulla) egyszerűsítve, az

egyenlethez jutunk.

A kapott összefüggés formailag hasonló az aranymetszésnél kapott egyenlethez, és (a

harmadik elemtől) alkalmas a sorozat előállítására:

és így tovább.

A kapott összefüggés akkor egyezne meg az aranymetszési egyenlettel, ha a Fibonacci-

sorozat egymást követő elemeinek hányadosa ugyanaz az érték lenne, vagyis az elemek

geometriai sorozatot alkotnának.

12

A Fibonacci-sorozat elemei azonban nem alkotnak mértani sorozatot, az egymást követő

elemek hányadosa nem állandó, ami különösen jól látszik alacsony sorszámok esetén.

Az elemek számának növelésével azonban ez a hányados egy állandó számhoz, a –hez

közelít.

A közelítés kétoldali: két egymást követő elem hányadosa nagyobb, illetve kisebb, mint a

közrefogott arányszám.

Írjuk fel a Fibonacci-sorozat elemeit és vizsgáljuk a két egymást követő tag hányadosának

alakulását!

13

n an      

1 1 1

2 1 2

3 2 1,5

4 3 1,667

5 5 1,6

6 8 1,625

7 13 1,615

8 21 1,619

9 34 1,617

10 55 1,618

Ez a kétoldali közelítés más módon is világossá tehető. Ismeretes a mértani sorozatnak azon

tulajdonsága, miszerint a második tagtól kezdve bármely elem az előtte lévő és őt követő elem

mértani középarányosa. Ez másképpen fogalmazva azt jelenti, hogy a középső elem négyzete

a vele közvetlenül szomszédos elemek szorzatával egyenlő. A Fibonacci-sorozat elemeire

vonatkozóan ez a tulajdonság azzal a módosítással érvényesül, hogy a sorozat bármely

elemének a négyzete (a másodiktól kezdve) a szomszédos elemek szorzatánál eggyel kisebb

vagy eggyel nagyobb. Az elemek négyzetei és a szomszédos tagok szorzatai a következő

táblázatról leolvashatók:

n an                     

1 1 1

2 1 1             

3 2 4            

4 3 9          

5 5 25         

6 8 64        

Általánosan: az  különbség –1, illetve +1 lesz, annak megfelelően, hogy n páros

vagy páratlan.

14

III. A Fibonacci-négyzetek :

Hogyan lehet még szemléltetni a Fibonacci

számokat?

Rajzoljunk két 1 egységnyi oldalú négyzetet egymás

mellé, melyeknek egyik oldaluk érinti egymást. Ezek

fölé kétegységnyi oldalhosszúságú négyzetet

(2=1+1).

Ezután folytathatjuk a 3 egységnyi

oldalhosszúságúval, amely az elõzõt érinti...

Ezt így folytathatjuk tovább. Minden oldalhosszúság

az elõzõ 2 összegével egyezik meg. Ezen négyszögeknek az oldalhosszúságai

Fibonacci számok, ezért ezeket Fibonacci négyszögeknek nevezzük.

Azokat a négyzeteket, amelyek oldalainak mérőszámai a Fibonacci-sorozat elemei, Fibonacci-

négyzeteknek nevezik. Az első n négyzet egymáshoz illesztésével olyan téglalapokat kapunk,

melynek oldalhosszai megegyeznek az n-edik és az (n+1) -edik négyzet oldalának hosszával.

Ha fn jelenti magát az n-edik négyzet oldalának hosszát, akkor ezek között a következő

összefüggés áll fenn:

Az összefüggés helyessége a négyzetek illesztésével a következő módon látható be: vegyünk

két egységnyi oldalhosszúságú négyzetet (F1 , F2) és ezek fölött helyezzük el a 2 egységnyi

oldalhosszúságú F3 négyzetet. Az így kapott alakzathoz illesszünk (jobbról) olyan négyzetet,

melynek oldalhossza megegyezik az előző két négyzet oldalának összegével (F4). Az így

kapott téglalap fölé illesszük az F5, majd ezekhez ismét jobbról az F6 négyzetet, és így tovább.

15

Az első két négyzet olyan téglalapot határoz meg, melyben az oldalak hosszúsága 1 és 2,

vagyis amennyi az előző két négyzet oldalainak hossza. Az első három négyzet területösszege

S3, olyan téglalapot határoz meg, melynek oldalai 2 és 3, és ezek éppen az F3 és F4 négyzetek

oldalhosszaival egyeznek meg. Az összefüggés helyessége, mely a Fibonacci-sorozat

tulajdonságából következik, az ábráról is leolvasható.

IV. A Fibonacci-sorozat általánosítása

A Lucas-sorozat:

A Fibonacci-sorozat többféle módon is általánosítható. Az általánosítás egyik módja olyan

Fibonacci-típusú sorozatok előállítása, melyeknél a rekurzivitási tulajdonságot változatlanul

hagyva, a sorozat első két elemét más értékekkel definiáljuk. Az ilyen módosított sorozatot

Lucas-sorozatnak nevezzük. A legfontosabb Lucas-sorozatok az ,

valamint az .

Megmutatható, hogy ennek a sorozatnak is megvan az a tulajdonsága, hogy két egymást

követő elem hányadosa a tagok számának növelésével egy állandó számhoz tart, és ez az

aranymetszési hányados.

A következő segédtétellel megmutatjuk, hogy minden Lucas-sorozat visszavezethető a

Fibonacci-sorozatra.

16

Segédtétel:

Minden Lucas-sorozatra ( ) és minden természetes számra érvényes,

hogy

Bizonyítás:

A bizonyítást k-szerinti teljes indukcióval végezzük. Az indukció kezdése biztosított,

ugyanis érvényes, hogy

és

Tegyük fel, hogy érvényes mindkét következő egyenlet:

   és

A Lucas-sorozat meghatározott tulajdonságát kihasználva kapjuk a következőt:

Ha egy általános Lucas-sorozat helyett a speciális ( ) = ( ) és (

) = ( ) sorozatokat vizsgáljuk, a következőt kapjuk:

                  (1)

             (2)

Ebből következik:

A második egyenlőség is egyértelműen adja a következőt:

17

Ezen egyenlőségek segítségével állíthatók elő a híres Binet-formulák, amelyek egy explicit

előállítása a Fibonacci-számoknak az aranymetszés segítségével.

Binet-formula:

Bármely n természetes számra érvényes:

A formula érvényességét beláthatjuk, ha (1)-ből kivonjuk (2)-t:

.

Ebből pedig már egyértelműen látszik a Binet-fomula.

V. A geometriai sorozat és az aranymetszés :

A geometriai sorozat egyik meghatározó tulajdonsága, hogy a második elemtől kezdve

bármely eleme a két szomszédos elem mértani középarányosa:

Ha a geometriai sorozat hányadosa az aranymetszésnek megfelelő növekedési arány ( ),

a sorozat harmadik elemétől kezdve igaz, hogy minden elem az előző kettő összege. A

középső elemet a-val jelölve:

.

18

A fenti összefüggés szerint az aranymetszési növekedési aránnyal, mint hányadossal képzett

geometriai sorozat bármely eleméből a rákövetkező úgy is képezhető, hogy a kérdéses

elemhez hozzáadjuk az azt megelőző elemet.

Hogyan értelmezhető ez a tulajdonság az exponenciális függvény esetére? Mivel az

exponenciális függvényt minden valós számra értelmezzük, a fenti tulajdonság az  

alakú exponenciális függvényre vonatkozóan azt jelenti, hogy ha annak alapja az

aranymetszésnek megfelelő növekedési arány,  akkor bármely valós x értékre fenn kell

állnia a következő egyenlőségnek:

c·qx-1+c·qx=c·q x+1.

Az egyenlet mindkét oldalát kifejezéssel osztva (mivel  és q>0), éppen az

,

az aranymetszés szerinti növekedést meghatározó egyenlethez jutunk.

Legyen most  valós szám. Ha a ,  és  függvényértékeknek megfelelő

távolságokat ,  és  szakaszok jelölik. Az ábra b) részéről leolvasható, hogy a B

pont az  szakaszt az aranymetszésnek megfelelő arányban osztja. Mivel , az A

pont az  szakasznak szintén aranymetsző pontja.

19

Ha az idő függvényében leírt növekedési görbe olyan exponenciális függvény, melynek alapja

az aranymetszési növekedési arány, akkor a növekedési folyamatban egy adott időponthoz

tartozó állapotnak megfelelő érték aranymetszete az azt egy időegységgel megelőző és az azt

ugyanannyival követő állapotok közötti növekedési szakasznak. A megelőző állapothoz

tartozó érték aranymetszete a jelenleginek; ugyanakkor fennáll az az összefüggés is, hogy a

meglévőt egy időegységgel követő állapotnak megfelelő érték a meglévő és az azt megelőző

értékek összege.

VI. Egy feladat a Fibonacci – sorozatra:

Feladat: Egy számsorozatot nevezzünk Fibonacci-típusúnak, ha a harmadiktól kezdve

mindegyik eleme az előző kettő összege. Bizonyítsuk be, hogy a pozitív egész számok

halmaza felbontható olyan Fibonacci-típusú végtelen sorozatok uniójára, amelyek közül

semelyik kettőnek nincs közös eleme.

1. megoldás: Definiálunk egy f: N N függvényt. Ez a függvény minden számhoz az illető

számot tartalmazó sorozat következő elemét fogja rendelni.

Legyen f(1)=2. Ha f(1), ..., f(n-1) már definiálva van, akkor vizsgáljuk meg, hogy az n szám

előáll-e függvényértékként. Ha n=f(m) valamilyen m-re, akkor vegyük a legkisebb ilyet, és

legyen f(n)=n+m. Ha az n nem áll elő függvényértékként, akkor pedig legyen f(n)=f(n-1)+1.

Az első néhány érték:

f(1)=2

f(2)=2+1=3mert

2=f(1)

f(3)=3+2=5mert

3=f(2)

f(4)=5+1=6

f(5)=5+3=8mert

5=f(3)

f(6)=6+4=10 mert

20

6=f(4)

f(7)=10+1=11

f(8)=8+5=13mert

8=f(5)

f(9)=13+1=14

f(10)=10+6=16mert

10=f(6)

f(11)=11+7=18mert

11=f(7)

...

Minden olyan n számra, ami nem áll elő f értékeként, vegyük az n, f(n), f(f(n)), ... sorozatot.

Ez Fibonacci-típusú, mert f definíciója szerint f(f(x))=f(x)+x tetszőleges x-re:

1 2 3 5 8 13 ...

4 6 10 16 26 42 ...

7 11 18 29 47 76 ...

9 14 23 37 60 ...

...

A konstrukció miatt minden pozitív egész szerepel legalább egy sorozatban. Ha még azt is

bebizonyítjuk, hogy f szigorúan monoton, akkor azt is garantáljuk, hogy a sorozatoknak nincs

közös eleme.

I. lemma. Minden n-re f(n)>n. Ez indukcióval azonnal kijön. Ha n=f(m), akkor f(n)=n+m>n.

Ha n f(m), akkor f(n)=f(n-1)+1>(n-1)+1=n.

II. lemma. Az f függvény szigorúan monoton nő. Szintén indukció; n<10-re már láttuk. Ha n

nem áll elő f(m) alakban, akkor f(n)=f(n-1)+1>f(n-1). Ha n=f(m), akkor az I. lemma miatt

csak m<n lehetséges, és az indukciós feltevés szerint csak egy ilyen m létezik. Legyen k=f(m-

21

1). Erre persze k<n. A k+1, k+2, ..., n-1 számok az f(m-1)=k és f(m)=n függvényértékek közé

esnek, ezért nem értékei f-nek. Ezért

f(k)=k+(m-1)

Mert

k=f(m-

1),

f(k+1)=f(k)+1=k+m,

f(k+2)=f(k+1)+1=k+m+1,

...

f(n-1)=f(n-2)+1=n+m-2.

f(n)=n+m,mert

n=f(m).

Ebben az esetben is f(n)>f(n-1). Az f függvény tehát szigorúan monoton nő.

2. megoldás: Az előző megoldáshoz hasonlóan ismét egy olyan f: N N függvényt

definiálunk, amely szigorúan monoton nő és teljesül rá az f(f(n))=f(n)+n függvényegyenlet.

Legyen a q2=q+1 egyenlet pozitív gyöke, és legyen tetszőleges n pozitív egészre

f(n) a qn-hez legközelebbi egész szám. Erre a függvényre is teljesül, hogy f(n)>n, mert qn>n+

.

A szigorú monotonitás is igaz, mert qn és q(n+1) különbsége nagyobb, mint 1, így a q(n+1)-

hez legközelebbi egész nagyobb, mint a qn-hez legközelebbi egész.

Végül tetszőleges n pozitív egészre

|f(f(n))-f(n)-n|=|f(f(n))-qf(n)+(q-1)f(n)-q(q-1)n|

|f(f(n))-qf(n)|+(q-1)|f(n)-qn| +(q-1). <1, amiből f(f(n))-f(n)-n=0.

3. megoldás: Ismeretes, hogy minden pozitív egész egyértelműen felírható olyan Fibonacci-

számok összegeként, amelyek mind különbözőek, és szomszédos nincs közöttük, például

17=1+3+13. Tekintsünk egy tetszőleges pozitív egész számot, amelynek felírásában az 1

22

szerepel. Ha ebben az összes tagot kicseréljük a rákövetkező Fibonacci számra, akkor egy

újabb számot kapunk, illetve ezt a felírást ismételve pedig egy Fibonacci típusú sorozatot:

1+3+13 2+5+21 3+8+34 5+13+55 ...

Ha ezt minden lehetséges kezdőelemre megtesszük, végtelen sok Fibonacci-típusú sorozatot

kapunk. Minden pozitív egész n-et pontosan az egyik sorozat tartalmaz, mert az n felírását

visszacsúsztatva egyértelműen meghatározható az n-et tartalmazó sorozat kezdőeleme;

például a 100=3+8+89 számot az 1+2+34=37 kezdőelemű sorozat tartalmazza.

1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...

4=1+3, 7=2+5, 11=3+8, 18=5+13, 29=8+21, ...

6=1+5, 10=2+8, 16=3+13, 26=5+21, 42=8+34, ...

9=1+8, 15=2+13, 24=3+21, 39=5+34, 63=8+55, ...

12=1+3+8, 20=2+5+13, 32=3+8+21, 52=5+13+34, ...

...

23

4. A Fibonacci – sorozat és a Természet

I. A méhek hatszöges viaszsejt építése:

A méhek munkaidejében a méztartók készítése egybeesik a mézgyűjtéssel. Világos, hogy

minél tovább tart az előbbi munka, annál kevesebb idő jut a mézgyűjtésre; a méz pedig

számukra téli élelem. Tehát azt a problémát kell megoldaniuk, hogy milyen formájú edények

készülnek a lehető legkevesebb anyagból, legkevesebb munkával minél több méz

elraktározására.

1. A mennyiségtan szerint a gömbalakú edény a leggazdaságosabb, tehát a poszméh

okosan választott, viszont a méh cserbenhagyta a matematikát, mert hatszögű sejteket

készít. A poszméh azért választja az abszolút

gazdaságos formát, mert egyedül él. A méh

ellenben "vita communis perfecta"

közösségében építi méztartó sejtjeit. A

közösség időben és anyagban vesztene, mert a

gömböket a nem lehet egymás mellé

illeszteni, a tér kihasználatlansága nélkül. A

méhek tulajdonképpen téli konzervet készítenek és ezért kis adagolású edényre van

szükségük, nem pedig egy nagy gömbre, amelyben a felbontás után esetleg

megromlana a táplálék.

A jól illeszthetőség szempontjából a henger és az ötoldalú hasáb figyelmen kívül

hagyható. A három- és négyszögű hasábok inkább megfelelnének, mert két közfal

helyett mindenütt csak egyet kell építeni. Viszont az anyagban való takarékosság

céljából azon mennyiségtani tétel szerint, hogy egyenlő térfogat és magasság esetén a

több lap zárta test előnyösebb, ezektől is el kell tekinteni. Így tehát a méh az összes

testek közt a legelőnyösebben a hatszögű hasábot választotta.

Egy önálló egyenlö oldalú négyzet hexagon

24

cella területe

háromszög

0.048

0.063 0.075

Egy gramm viasz előállításához kb. 6-7 gramm mézet kell felhasználni. Ezért az ideális terület

kitöltés az anyag- és energia-felhasználás szempontjából nagy jelentőséggel bír. A

hexagonális szerkezet ezen kívül a maximális teherbírást is lehetővé teszi: a csupán 0.05 mm

vastagságú falak által határolt cellák saját tömegük 25x-ösét is képesek tárolni.

Ezzel a sejtépítésnek csak a kisebb nehézsége van megoldva; sokkal nehezebb a sejtfenék és

szögeinek megválasztása. Megértéséhez tudni kell, hogy a lép egymás mellé és fölé épített

sejtek tömege. A két sejtréteg közös fenéklapjai a lépnek tartósságot, szilárdságot adnak. Az

egyetlen szóba jöhető megoldás a három rombusszal való elzárás. Ehhez az alábbi feladatot

kell megoldaniuk a méheknek:

"Adva van egy hatoldalú edény, amelynek alapja három

rombuszlap. Milyen nagyoknak kell lenniük az alaplapok

szögeinek, hogy a legkevesebb anyag felhasználásával a

legnagyobb teret zárják be?" A megoldás az , hogy az edény

a tompaszög 109 fok 28' 16" a hegyesszög 70 fok 31' 44"

nagysága mellett felel meg a maximum-minimum törvény

követelményeinek, melyet a méhek tökéletesen kiviteleznek.

A diszkrét geometria jeles hazai képviselője, Fejes Tóth László akadémikus foglalkozik annak

meghatározásával, hogy milyen dimenziók eredményezhetik az optimális elrendezést.

Végleges megoldás még ugyan nem született, de azt már kimutatták, hogy a méhek által

épített alakzat közel van az optimálishoz.

2. A méhek nem csak a sejtépítés szépségeivel nyűgözték le a számtan és geometria művelőit.

Leonardo Fibonacci (1170-1250) olasz matematikus nevét a róla elnevezett számsorozat

őrizte meg.

Egy méh kolóniában csak a királynő rak tojásokat. Ha a tojásokat megtermékenyítik,

dolgozók (munkásnők) kelnek ki, akik két szülőtől származnak. A hímek ezzel szemben

parthenogenezissel (szűznemzés) szaporodnak, ezért csak egy szülővel rendelkeznek.

25

Felmenők száma Dolgozó Here

szülő(k) 1 2

Nagyszülők 2 3

Dédszülők 3 5

Ükszülők 5 8

ük-ükszülők 8 13

ük-ük-ükszülők 13 22

ük-ük-ük-ükszülők 22 35

Az alábbi diagramm egy here családfáját mutatja be 7 generáción keresztül, amely jól

demonstrálja a Fibonacci sorozatot.

II. A Fibonacci ábra:

26

A virágok többségénél a szirmok száma 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89 sorozat tagja.A

növényeknél elôforduló számok - nemcsak szirmok számai - matematikai szabályosságot

mutatnak, az ún. Fibonacci-sorozat elejét alkotják.Ebben a sorozatban minden szám az

elôzô kettônek az összege (3+5=8, 5+8=13..stb).De nemcsak a szirmok esetében találunk

Fibonacci-számokat.

Ha megnézünk egy óriási napraforgót: a virágocskák két, egymást metszô spirálcsaládba

rendezôdnek, az egyik az óramutató járásával megegyezô, a másik ellenkezô irányba.Egyes

fajtáknál az elsô spirálok száma 34, a másik spiral száma 55.Ez két egymás utáni Fibonacci-

szám.

Leonardo Fibonacci 1200 körül fedezte fel sorozatát egy nyúlpopuláció növekedésével

kapcsolatos probléma vizsgálatakor.Az elsô ilyenfajta modellt készítette így el.A

matematikusok a Fibonacci-számokat elragadónak és önmagukért szépnek találják.

Az ábrán pontok sorakoznak egymás után 137,5-os szögben egymáshoz képest egy szorosan

megcsavart spirál mentén (nincs ábrázolva) és természetes módon, lazán megcsavart

spirálok két családjára oszlanak szét, amely szabad szemmel jól láhatóak.Itt 8 spirál látszik

az egyik, 13 a másik irányba - ezek egymást követô Fibonacci-számok.

27

III. Fibonacci spirál:

A következõ ábra megmutatja, hogy hogyan lehet negyed körívekbõl spirált rajzolni

úgy, hogy minden négyzetben egy negyed körív legyen.

Ezt Fibonacci spirálnak nevezzük.

Hasonló alakzatok a természetben is megjelennek csigaházakon, kagylókon:

A fenyõ tobozain is felfedezhetõ a Fibonacci spirál:

A piros vonalak mutatják az egyik irányt, a zöldek a másikat.

A Fibonacci számok a természet ezernyi területén megjelennek, mint például

növények leveleinek elrendezésében a száron, aztán a virágok szirmainak száma is

Fibonacci szám.

28

Nézd a saját kezed!

2 kezed van, mindkettõn...

5 ujj, ezeken...

3 ujjperc...

Mindez véletlen lenne csupán?????

29

5. A Fibonacci – sorozat versben:

FÁBRI PÉTER:

Fibonacci-verssorok

Első abakusz

Bonacci

fia

Filius Bonacci,

más néven Fibonacci,

találta ki a Fibonacci-sort.

Tán meglepő, de ihletője a nyulak szaporodása volt.

A

fönti

példából látható,

hogy mire képes

akár egyetlen egy önismétlő szabály.

Jó lesz vigyázni: épp így szaporodik, ami írva áll.

Egy

meg

egy egykettőre

hárommá válik, és

saját folytatásáról máris maga dönt.

Hagyjuk abba versünket idejében, amikor jobb a csönd.

30

Második abakusz

A

fönti számsor

összeadva

ennyi

(szünet vagy csönd):

suttog a Semmi.

Elmúlik — elmúlt.

Világjáró pillanat.

Lombos végtelen.

Imaginárius szöveg

a2 + 1 = 0

mint egy krimiben egy képzelt hulla,

a2 = -1

az egész csak átverésre megy,

a =  -1

létezik is, nem is — na ki ez?

Imaginárius létező,

mint egy önmagán fekvő mező,

forma, de amelynek nincs alakja,

tiszta öntvény, melynek nincs salakja,

a rímben van ott, nem a szavakban,

az időben, nem a pillanatban,

ott van a zenében, nincs a hangban,

nincs a parole-ban, ott van a langue-ban,

a formátlan, az egyetlenegy:

a =  -1

31

6. A Fibonacci – sorozat és a Szent Korona

Közkeletű felfogás szerint “mai Szent koronánk két részből van összeillesztve, mégpedig elég

primitív módon: a felső, szentistvánkori rész 1.5 mm vastag aranyszögekkel van

hozzászögezve az I. Géza-féle bizánci alsó koronához”.

Kiterebélyesedőben van egy új quasi tudomány, amely művészettörténeti, ötvösművészeti,

fizikai, teológiai eszközök igénybevételével törekszik a magyar Korona eredetének és

szerkezetének feltárására. Ennek nagy lökést adott a Korona hazahozatala az Amerikai

Egyesült Államokból 1978-ban. Újra a magyar államra hárult a koronázási jelvények méltó

őrzésének, megóvásának, esetleges helyreállításának kötelessége. Ekkor nyílt meg a kutatás

lehetősége a magyarországi tudósok előtt.

A koronázási jelvények tudományos igénylő kutatásának összehangolására, a helyreállítás

teendőinek meghatározására a művelődési miniszter történészekből, művészettörténészekből

és restaurátorokból álló szakértő és tanácsadó bizottságot létesített. E “koronabizottság”

sürgető feladata lett a foszladozó koronapalást megmentéséről való gondoskodás. A korona

romlásával fenyegető 1867-es cin forrasztások megbolygatását elhalasztották addig, amíg

változás nem észlelhető, a palástot pedig kivonták a kiállított koronázási jelvények közül,

helyreállításáig, a további romlás lassítása végett sötétben elhelyezve.

Legalább ennyire fontos döntés volt egy nemzetközi tudományos ülésszak megrendezése a

Magyar Nemzeti Múzeumban 1981. szeptember 22–24. között a korona és a többi koronázási

jelvény kérdésköréről.

Milyen előzményekre támaszkodhatott a koronakutatás ebben az időben?

Ennek tárgyilagos, torzítás nélküli leírása könyvtárnyi irodalom összefoglalását igényelné egy

vaskos kötetben. Az érdekelt kutatók saját eredményeik köré csoportosítják az eddigi

adatokat, saját felfogásuknak megfelelően értékelve és rangsorolva ezeket. Az ilyen értékelő

ismertetéseket akkor fogadhatnánk el minden tekintetben jónak, ha az ismertető szerző

eredményeit igaznak, nézőpontját ebből eredően kifogástalannak tekintenénk. Előfeltevés

nélküli, zárt logikai láncba illeszkedő, s minden tekintetben megdönthetetlen okirati és tárgyi

32

bizonyítékokkal körülbástyázott elmélet a korona keletkezésének idejéről, módjáról,

szerkezete kialakulásáról nem létezik. Vannak viszont a valószínűség különböző fokán álló

elméletek.

A legnagyobb számban képviselt nézet szerint a Szent Korona két részből, az alsó, görög

koronából és a felső latin koronából való egyesítéssel jött létre a X–XIII. században, s a két

rész közül a latin korona lehetett a régebbi alkotás, amely nagy valószínűséggel kapcsolatot

hordoz Szent István királyunkkal. Koronánk vitathatatlanul kifejezi az uralkodói hatalom

Istentől való eredetét, és egyértelműen utal a bizánci császársággal való szoros kapcsolatra.

“F. és tsai” szigorú kutatási követelményt követtek. A Koronát, mivel nyersanyagból készült

vég-termék, tudatos, átgondolt munkával létrehozott műnek tekintették, amelynek

szükségképpen “szerkezete” van, amely éppen ezért vizsgálható. Megállapításaikat a) a

tények, b) a levonható következtetések, c) a felvethető lehetőségek (hipotézisek)

kategóriájába sorolták.

A tények közül a legfontosabb megállapítás a KORONA SZERKEZETÉRE vonatkozott.

Kiderült, hogy a Szent Korona egészét, úgy ahogy van, EGYETLEN MÉRTÉKEGYSÉG

jellemzi. A mértékegység az angol hüvelyk (inch), amelynek értéke 25,4 mm. Ez a

mértékegység AZONOS A FELSŐ PÁNTOKRÁTOR kép, továbbá az ALSÓ

(ABRONCSON LÉVŐ) JÉZUS KÉP TRÓNUSÁNAK SZÉLESSÉGÉVEL, az 1

HÜVELYKKEL.

MINDEN MÉRET KIVÉTEL NÉLKÜL EGÉSZ SZÁM. “Két hüvelyk az ABRONCS

magassága, a PÁNTOK SZÉLESSÉGE, a ferdén álló KERESZT (függőleges) magassága, a

FELSŐ, négyzet alakú PÁNTOKRÁTOR kép oldalhossza, a homlokzati PANTOKRÁTOR

kép szélessége, magassága, az ABRONCSON a két kis gyöngyökből álló gyöngysort rögzítő

FÜLEK TÁVOLSÁGA, a 8 APOSTOLKÉP MAGASSÁGA, az abroncson a nyolc nagy

ékkövet tartalmazó mező szélessége, azaz két kép távolsága… A hagyományosan corona

graeca-nak és corona latinának nevezett részeken ezek a két hüvelykes méretek a gyártáskor

véglegesen kialakított méretek. MÁR ENNEK ALAPJÁN LEHETETLENNEK KELL

NYILVÁNÍTANI A RÉGEBBI hipotézist, miszerint a Korona KÉT RÉSZE egymástól

függetlenül, nem egymáshoz készült… Ha viszont… a Korona egységesen tervezett, akkor az

egyetlen tervet A TELJES KORONÁN RÉSZLETEIBEN IS MEG KELL TALÁLJUK

következetesen és hiánytalanul… Szemből nézve az abroncs magassága két hüvelyk, a

33

“corona latina” magassága az abroncstól mérve 3 (három) hüvelyk, a korona teljes magassága

5 hüvelyk és a szemből nézeti átmérő 8 hüvelyk. Ezek pedig… (a XIII. század óta Fibonacci-

ról elnevezett) számsorozat tagjai, amelyek az “aranymetszést” definiálják, az egymásutáni

tagok hányadosának határértékeként. A szereplő számok 1, 1, 2, 3, 5, 8. A következő tag

(5+8=) 13 lenne s érdekes, hogy az abroncson éppen 13 rögzítő fül tartja – egymástól 2

hüvelyk távolságra – a kis gyöngyök mindegyik sorát, azaz a kerület 13×2=26 hüvelyk. Ezt a

rendet KÜLÖN-KÜLÖN egyik rész se tartalmazza, a 3 és az 5 ugyanis az

EGYÜTTESÜKNEK – ÉS CSAK AZ EGYÜTTESÜKNEK – a sajátja.” “A Koronán tehát

egy szigorú, következetes REND tűnik a szemünk elé. A rend az arányokban az

aranymetszést valósítja meg.”

34

7. Érdekes cikk a Fibonacci sorozattal

kapcsolatban:

MARTIN GARDNER: PENROSE-CSEMPÉZÉS

A Scientific American egyik 1975-ös, a sík egybevágó konvex sokszögekkel való periodikus

csempézéseiről szóló cikkének végén (mely a Time Travel and Other Mathematical

Bewilderments című könyvemben újra megjelent) beígértem egy későbbi cikket, a nem

periodikus csempézésekről. Mostani írásom eme ígéret teljesítésének új kiadása, az eredeti

cikk 1977-ben jelent meg, elsőként beszámolva arról a figyelemre méltó nem periodikus

csempézésről, melyet Roger Penrose a jeles brit matematikus, fizikus és kozmológus talált

fel. Először is, hadd kezdjem néhány definícióval és a háttérrel.

Egy periodikus csempézés olyan, hogy körül tudunk határolni egy síkbeli tartományt, amely

eltolással – vagyis forgatás és tükrözés nélküli helyváltoztatással – csempézi a síkot. M. C.

Escher holland grafikus híres arról, hogy sok képe ábrázol olyan periodikus csempézést, ahol

a csempe alakja valamilyen élőlényre emlékeztet. Az 1. ábra tipikus példa erre. Egy fekete és

egy vele szomszédos fehér madár együttese alkotja az alapábrát, melyből eltolással adódik a

csempeminta. Képzeljük el, hogy a síkot lefedtük átlátszó papírral, melyre átmásoltuk az

összes csempe körvonalát. Csak akkor tudjuk a papírt forgatás nélkül úgy áthelyezni

máshova, hogy az összes átmásolt körvonal illeszkedjen a mintára, ha a csempézés

periodikus.

1. ábra. M. C. Escher egyik periodikus csempemintája (1949)

2. ábra. (A) Nem periodikus csempézés egybevágó alakzatokkal B) Kilencszög (szaggatott vonallal a baloldalon) és két kilencszögből összerakott nyolcszög (a jobb oldalon), mellyel periodikusan

35

csempézhető a sík

Végtelen sok olyan alakzat van – például a szabályos hatszög –, amellyel csak periodikusan

csempézhető a sík. Olyan alakzat is végtelen sok van, amellyel periodikusan is és nem

periodikusan is lehet csempézni. A sakktáblából kiindulva, péIdául könnyen kaphatunk

egybevágó, egyenlő szárú derékszögű háromszögekkel vagy négyszögekkel történő nem

periodikus csempézést. Egyszerűen a 2/A ábrán a bal oldalon látható módon elfelezünk

minden mezőt, az irányítás megválasztásával ügyelve arra, hogy megakadályozzuk a

periodicitást. Dominók segítségével is könnyen készíthető nem periodikus csempézés.

A 2/A ábra közepén látható sugaras csempeminta is egyenlő szárú háromszögekből épül fel.

Bár a csempézés nagyon szabályos, nyilvánvalóan nem periodikus. Mint azt Michael

Goldberg kimutatta egy 1955-ös, "Central Tesselations" című cikkben, az ilyen csempézések

félbevághatók, majd az egyik fél sík elcsúsztatható egy vagy több lépéssel úgy, hogy a 2/A

ábra jobb oldalán látható spirális, nem periodikus csempemintához hasonlót kapjunk. A

háromszög végtelen sokféleképpen eltorzítható úgy, hogy két egyenlő oldalát kicseréljük két

egybevágó vonalra, mint a 2/B ábra bal oldali rajzán. Ha az új oldalak törött vonalak, akkor

az eredmény egy 5, 7, 9, 11, .... oldalú sokszög, mellyel spirálisan csempézhető a sík. A 3.

ábra megkapó rajza egy ily módon készített, kilencoldalú sokszögekből felépített mintát

mutat. Ezt először Heinz Voderberg találta fel egy igen bonyolult eljárás során, Goldberg

módszerével viszont szinte triviálisan adódik.

Az egybevágó alakzatokkal történő, nem periodikus csempézések minden ismert esetében

periodikus csempézés is készíthető az alakzattal. A 2/B ábra jobb oldali rajza mutatja, hogyan

illeszthető össze két Voderberg - féle kilencszög egy nyolcszöggé, mellyel nyilvánvaló

módon készíthető periodikus csempézés.

3. ábra. Heinz Voderberg spirális csempemintája 4. ábra. Szfinxek három generációjaegy nem periodikus csempézésben

36

A nem periodikus csempézések egy másik fajtája olyan csempékből kapható, melyekből

néhánnyal kirakható saját maguk nagyított példánya. Az ilyen fajtáknak adta Solomon W.

Golomb a "reptiles" nevet. (Lásd az Unexpected Hanging című könyvem 19. fejezetét.) A 4.

ábrán látható, hogy a "szfinx" nevű alakzat hogyan csempézi nem periodikusan a síkot,

miközben egyre nagyobb és nagyobb szfinxeket formáz. Két szfinx (ahol az egyik 180o-os

elforgatottja a másiknak) segítségével megint csak könnyen készíthető periodikus

csempeminta is.

Vannak-e olyan csempekészletek, melyekkel csak nem periodikusan csempézhető a sík? Azt,

hogy "csak", úgy értjük, hogy a készlet semelyik alakzata, semelyik részhalmaza és a teljes

készlet sem csempézi a síkot periodikusan, de az összes alakzat felhasználásával készíthető

nem periodikus csempézés. A csempék elforgathatók és tükrözhetők.

Évtizedeken keresztül azt hitték a szakértők, hogy ilyen készlet nem létezik, de ez a sejtés

hamisnak bizonyult. 1961-ben Hao Wang azzal kezdett foglalkozni, hogy miként

csempézhető a sík olyan egységnégyzetekkel, melyek élei különféleképpen vannak

kiszínezve. Ezeket Wang - dominóknak hívják, és Wang egy igen kellemes cikket írt róluk a

Scientific American számára 1965-ben. Wang egy olyan eljárást szeretett volna találni,

melynek segítségével eldönthető, hogy a dominók egy tetszőlegesen adott halmazával

csempézhető-e a sík, ha az egymáshoz illeszkedő éleknek egyforma színűeknek kell lenniük.

A forgatásokat és a tükrözéseket nem engedjük meg. A probléma fontos, mert összefügg a

szimbolikus logika eldöntési kérdéseivel. Wang azt sejtette, hogy tetszőleges csempekészlet

esetén igaz, hogy ha a készlettel csempézhető a sík, akkor periodikusan is csempézhető, és

megmutatta, hogy ha ez így van, akkor eldöntési eljárás is létezik az ilyen csempézéshez.

1964-ben Robert Berger, a Harvard Egyetemen alkalmazott matematikából írt doktori

értekezésében megmutatta, hogy Wang sejtése hamis volt. Nincs általános eljárás. Tehát

léteznie kell Wang-dominók olyan készletének, mellyel csak nem periodikusan csempézhető a

sík. Berger meg is adott egy ilyen készletet, amely több mint 20 000 dominót tartalmazott.

Később egy sokkal kisebb, 104 dominóból álló készletet is talált, amit Donald Knuthnak

sikerült 92-re csökkentenie.

Wang-dominók egy ilyen készletét könnyen

megváltoztathatjuk úgy, hogy sokszög alakú

csempéket kapjunk, melyek csak nem

5. ábra. Raphael Robinson hat csempéje,melyekkel csak nem periodikusancsempézhető a sík

37

periodikusan csempéznek. Egyszerűen ki- és beszögelléseket helyezünk el az éleken úgy,

hogy olyan puzzle - darabokat kapjunk, melyek oly módon illeszkednek egymáshoz, amit

eredetileg a színezés határozott meg. Eredetileg egy bizonyos színű él csak azokhoz

illeszkedett, amelyek ugyanolyan színűek voltak, és hasonló volt a helyzet a többi színre is.

Megengedve a csempék forgatását és tükrözését, Robinson konstruált hat csempét (5. ábra),

melyek nem periodikus készletet alkotnak a fenti értelemben. 1977-ben Robert Ammann talált

egy másik hat csempéből álló nem periodikus készletet. Az, hogy az ilyen négyzetes típusú

csempék száma lecsökkenthető-e hat alá, nem ismeretes, de komoly alapjai vannak annak a

sejtésnek, hogy hat a minimum.

Az Oxfordi Egyetem matematikaprofesszora, Roger Penrose talált kisebb nem periodikus

csempekészleteket, de nem négyzetes típusúakat. Bár fő munkaterülete a relativitáselmélet és

a kvantummechanika, apjához, az egykori híres genetikus L. S. Penrose-hoz hasonlóan

aktívan érdeklődik a szórakoztató matematika iránt. (Ők találták fel a nevezetes Penrose-féle

lépcsőt, amely úgy halad körbe-körbe, hogy közben nem emelkedik, amint az Escher

"Ascending and Descending" című litográfiáján látható.) 1973-ban Penrose talált egy hatos

nem periodikus készletet. 1974-ben rájött, hogyan lehet négyre csökkenteni. Nem sokkal

később sikerült lemennie kettőre.

Mivel a csempék játékszernek is alkalmasak, Penrose nem akarta eredményét elárulni, amíg

nem szabadalmaztatta Angliában, az Egyesült Államokban és Japánban. Mostanra már

érvénybe lépett a szabadalmi jog. Köszönettel tartozom John Horton Conway-nek is a

Penrose - csempékről írt tanulmányának sok eredményéért.

38

6. ábra. (A) A sárkány és a dárda szerkesztése (B) A sárkány és a dárda egy színezése (fekete és szürke), mely kikényszeríti a nem periodikus csempézést (C) Ászok és

csokornyakkendők, melyek felgyorsítják a kirakásokat

A Penrose - csempék alakja különféle lehet, de a legérdekesebb pár az, amit Conway "dárdá"-

nak és "sárkány"-nak nevezett. A 6/A ábra mutatja, hogy hogyan készíthetők el egy olyan

rombuszból, melynek szögei 72, ill. 108 fokosak. Osszuk fel a hosszabbik átlót a jól ismert

aranymetszés arányában ((1+ 51/2)/ 2=1,61803398...), majd kössük össze az osztópontot a

tompaszögű csúcsokkal. JelöIjük -vel az aranymetszés arányát. Ekkor minden szakasz

hossza 1 vagy , ahogy azt az ábrán jelöltük. A legkisebb szög 36 fokos, a többi ennek egész

számú többszöröse.

A rombusz persze penodikusan csempézi a síkot, de most nem szabad így összeilleszteni a

darabokat. Ahhoz, hogy ezt megtiltsuk, elláthatnánk az éleket dudorokkal és horpadásokkal,

de vannak egyszerűbb módok is. Például megbetűzhetjük a csúcsokat a 6/B ábrán látható

módon H és T betűkkel, és bevezethetjük azt a szabályt, hogy két él csak akkor illeszkedhet,

ha a végpontjaikban azonos betűk találkoznak. Ahhoz, hogy megkönnyítsük a szabály

betartását, kétféle színű pöttyöket helyezhetnénk el a csúcsoknál, de Conway egy tetszetősebb

megoldást javasolt, miszerint rajzoljunk kétféle színnel köríveket minden csempére, ahogy az

ábra szürke, ill. fekete ívei mutatják. Minden ív az oldalakat is és a szimmetriatengelyeket is

aranymetszéssel osztja. A szabályunk az, hogy összeillesztéskor minden ívnek ugyanolyan

színű ívhez kell csatlakoznia.

39

Ahhoz, hogy teljes mértékben kiélvezhessük a Penrose - csempézés szépségeit és rejtélyeit,

legalább 100 sárkányra és 60 dárdára van szükségünk. A darabokat csak az egyik oldalukon

kell kiszínezni. A kétféle alakzat darabszámának aránya (területük arányához hasonlóan)

egyenlő az aranymetszés arányszámával. Azt hihetnénk, hogy a kisebb dárdából van szükség

több darabra, de ez pont fordítva van. Sárkányból 1,618...-szor annyi kell, mint dárdából.

Végtelen csempézés esetén ez a szám a pontos arányt adja meg. Azt, hogy ez az arány

irracionális, Penrose kihasználja annak bizonyításában, hogy a csempézés nem periodikus,

mert ha periodikus lenne; akkor az aránynak nyilvánvalóan racionálisnak kellene lennie.

Érdemes először egy lapra annyi dárdát és sárkányt rajzolni, amennyi ráfér, úgy, hogy

körülbelül öt sárkány jusson három dárdára, az íveket vékony vonallal behúzva. Ezután erről a

lapról akárhány fénymásolat készíthető. Másolás után kiszínezhetjük az íveket, mondjuk piros

és zöld filctollal. Conway úgy találta, hogy felgyorsítja az eljárást és megkönnyíti különböző

minták kirakását, ha a 6/C ábrán látható három nagyobb alakzatról készítünk sok másolatot.

Nagyobb méretű mintázatok kirakása során folyamatosan helyettesíthetjük a dárdákat és

sárkányokat ászokkal és csokornyakkendőkkel. Az is igaz, hogy végtelen sok sárkányból és

dárdából felépíthető tetszőlegesen nagy alakzatpár alkalmas bármelyik végtelen csempeminta

elkészítésére.

Penrose-mintát úgy készíthetünk, hogy egy csempe valamelyik csúcsát körülrakjuk dárdákkal

és sárkányokkal, majd kifelé terjeszkedünk. Minden alkalommal, amikor egy új darabot

illesztünk valamelyik élhez, választanunk kell, hogy az dárda vagy sárkány legyen. Van,

amikor kényszerűen választjuk az egyiket, van, amikor nem. Néha mindkettő odaillik, de

később ellentmondásra jutunk (vagyis olyan hely keletkezik, ahova egyik darab sem

illeszthető), így vissza kell térnünk és a másik darabbal folytatnunk. Érdemes a már elkészült

alakzaton körbehaladva először a kényszerből adódó darabokat elhelyezni. Ezek sem vezetnek

ellentmondáshoz. Ezek után kísérletezhetünk a szabad helyekkel. Minden kirakás a

végtelenségig folytatható. Minél többet játszunk a darabokkal, annál jobban kiismerjük a

"kényszerszabályokat", így egyre hatékonyabbak leszünk. A dárda például arra kényszerít

minket, hogy konkáv csúcsához két sárkányt illesszünk, létrehozva ezzel a mindenütt

előforduló ászt.

Sokféleképpen bizonyítható, hogy a Penrose-csempézések száma az egyenes pontjainak

számosságához hasonlóan nem megszámlálható. A bizonyítások egy meglepő jelenségen

alapulnak, melyet Penrose fedezett fel. Conway ezt "felfújás"-nak, ill. "leeresztés"-nek

40

nevezte. A 7. ábra mutatja a felfújás első lépését. Képzeljük el, hogy egy kirakott mintában

az összes dárdát kettévágjuk a szimmetriatengelye mentén, majd az összes rövid él mentén

egymáshoz ragasztjuk a csatlakozó darabokat. Az eredmény egy új csempézés (vastag fekete

vonaIak ), ahol nagyobb dárdák és sárkányok a csempék.

7. ábra. Példa egy minta felfújására

8. ábra. A Nap végtelen csempemintája

9. ábra. A csillag végtelen csempemintája

A felfújást a végtelenségig folytathatjuk, ahol a csempék minden új "generációja" nagyobb,

mint az előző. Megjegyzem, hogy bár a második generációs sárkány pontosan ugyanolyan

alakú és nagyságú, mint egy első generációs ász, más a származtatása. Emiatt szokás az ászt

"álsárkány"-nak is nevezni. Soha nem szabad összetévesztenünk egy második generációs

sárkánnyal. A leeresztés ugyanez a folyamat, csak visszafelé. Tetszőleges Penrose-

csempemintán megrajzolhatjuk dárdák és sárkányok egyre kisebb és kisebb generációit. Ezt is

a végteIenségig folytathatjuk, egy fraktálszerkezetet hozva létre.

Conway bizonyítása arra, hogy a Penrose-csempézések számossága nem meg számlálható, a

következőképpen vázolható (Penrose korábban ezt másképp bizonyította). Minden sárkányon

jelöljük meg a szimmetriatengely egyik oldalát B-vel, a másikat J-vel (bal, ill. jobb).

Csináljuk ugyanezt a dárdákkal, a b és j betűket használva. Ezután válasszunk ki

véletlenszerűen egy pontot a síkon, jegyezzük fel azt a betűt, amely a pont helyzetének

megfelelő tartományt jellemzi. Ezután fújjuk fel a mintázatot, figyeljük meg pontunk

helyzetét a második generációs csempézésben, és ismét jegyezzük fel a helyzetét jellemző

betűt. Ha folytatjuk a csempézés felfújását egyre nagyobbra és nagyobbra, betűk egy végtelen

sorozatot kapjuk, ami egyértelműen jellemzi az eredeti mintázatot, hogy úgy mondjam, a

kiválasztott ponthoz képest.

41

Válasszunk ki egy másik pontot az eredeti mintázaton. Eljárásunk olyan sorozatot ad, ami

talán másképp kezdődik, de el fog érni egy betűt, melytől kezdve a sorozat a végtelenségig

megegyezik az előbbi sorozattal. Ha egy ponton túl nem egyezik meg a két sorozat, akkor

különböző mintázatokhoz tartoznak. A négy betűből készíthető különböző sorozatok közül

nem mindegyik származtatható ily módon, de azokról, amelyek különböző mintázatokhoz

tartoznak, megmutatható, hogy számuk megfelel az egy egyenesen levő pontok

számosságának.

Ábráinkról lehagytuk a színes íveket, hogy a csempék jobban látszódjanak. Ha azonban valaki

a kiszínezett csempékkel dolgozik, akkor láthatja, hogy milyen lenyűgözően szép

mintázatokat hoznak létre ezek a színes ívek. Penrose és Conway egymástól függetlenül

bizonyította, hogy valahányszor egy – ezekből az ívekből álló – görbe bezárul, akkor

ötszögesen szimmetrikus, és a görbe által határolt teljes tartomány is ötszörösen

szimmetrikus. Általában egy mintázatban színenként két olyan görbe lehet, amelyik nem

zárul. A legtöbb mintázatban minden görbe zárt.

Bár lehet olyan Penrose-csempézést készíteni, amely magas rendben szimmetrikus (végtelen

sok kétoldali szimmetriával rendelkező csempézés van), a legtöbb mintázat olyan, mint az

univerzum, a rendezettség és a rendtől való váratlan eltérések zavarba ejtő keveréke. Ahogy a

mintázatok nőnek, úgy tűnik, mintha igyekeznének saját magukat ismételni, de ezt sosem

sikerül teljesen elérniük. K. G. Chesterton egyszer felvetette, hogy egy Földön kívüli lény, aki

megfigyelte, hogy az emberi testnek milyen sok része fordul elő a bal és a jobb oldalon

egyaránt, ésszerűen gondolhatná azt, hogy mindkét oldalon van szívünk. Ezt mondta: "csak

egy kicsit látszik matematikásabbnak és szabályosabbnak, mint amennyire az. A pontossága

nyilvánvaló, de a pontatlansága rejtett; a vadsága lesben áll". Mindenhol azt tapasztaljuk,

hogy valami "csendben elkerüli a helyét pár centivel, ami a mindenben jelen levő rejtélyes

elem...egyfajta rejtett kincs az univerzumban". Az idézet pompásan illik a síkbeli Penrose-

világokra.

Van a Penrose-világoknak egy még meglepőbb tulajdonága. Egy sajátos, véges értelemben,

amit a "lokális izomorfizmus-tétel" határol körül, minden Penrose-mintázat egyforma.

Penrose-nak sikerült megmutatnia, hogy bármelyik mintázat bármelyik véges tartománya

valahol szerepel az összes többi mintázatban is. Sőt, mi több, minden mintázatban végtelen

sokszor szerepel.

42

Hogy megértsük, milyen döbbenetes tényről van szó, képzeljük el, hogy egy végtelen síkon

élünk, mely a megszámlálhatatlanul sok Penrose-csempézések egyikével van lefedve.

Megvizsgálhatjuk mintázatunkat darabról darabra, egyre táguló területeken. Nem számít,

mekkora részt derítettünk fel, soha nem leszünk képesek eldönteni, hogy melyik csempézésen

vagyunk. Az sem segít, ha egymástól nagy távolságra lévő különálló tartományokat

vizsgálunk meg, hiszen akárhány tartományhoz is lesz egy nagy, de véges tartomány, amely

tartalmazza őket, és amely végtelen sokszor megismétlődik minden mintázatban. Mindez

persze nyilvánvalóan teljesül egy periodikus csempézésre, de a Penrose-világok nem

periodikusak. Végtelen sok különbség van bármelyik kettő között, mégis elérhetetlen az a

határ, melyen túl megkülönböztethetők egymástóI.

Tegyük fel, hogy felderítettünk egy kör alakú tartományt, melynek d az átmérője. Mondjuk ez

a "város", ahol élünk. Hirtelen átkerülünk egy véletlenszerően kiválasztott párhuzamos

Penrose-világba. Milyen messze leszünk egy kör alakú tartománytól, mely pontosan olyan,

mint a mi városunk? Conway válasza egy valóban figyelemre méltó tétel. Egy város határától

a legközelebbi másolatának határáig a távolság soha sem több, mint d-szer az aranymetszés

köbének a fele, vagyis 2,11...-szer d. (Ez felső korlát, nem átlag.) Ha megfelelő irányban

indulunk el, akkor ennél többet biztos nem kell sétálnunk ahhoz, hogy saját városunk pontos

másolatában találjuk magunkat. A tételt saját világunkra is alkalmazhatjuk. Minden nagy kör

alakú tartomány valamilyen irányból biztosan elérhető a körülbelül kétszeres átmérőjénél

rövidebb úton, de még valószínűbb, hogy elég annyit sétálnunk, mint amennyi az átmérő.

A tétel elég meglepő. Tekintsünk egy hasonló szituációt, nézzük meg, mi a helyzet

számjegyek egy nem szabályos sorozatával, mint például a tizedesjegyei. Ha kiválasztunk

egy 10 számjegyből álló véges részt, és egy véletlenszerűen kiválasztott helyről elindulunk a

tizedesjegyei mentén, akkor meglehetősen biztosak lehetünk benne, hogy ha elég messzire

megyünk, akkor rábukkanunk ugyanerre a sorozatra; de arra, hogy ehhez mekkora távolságot

kell megtennünk, nincs ismert felső korlát, és a távolság várható hossza sokkal több, mint 10

számjegy. Minél hosszabb a kiválasztott véges sorozat, várhatóan annál hosszabb utat kell

megtennünk ahhoz, hogy újra rábukkanjunk. Egy Penrose-mintázaton mindig nagyon közel

vagyunk a saját városunk másolatához.

Egy csúcspontot hétféleképpen rakhatunk körül dárdákkal és sárkányokkal. Conway

elnevezéseit követve vizsgáljuk meg először azt a kettőt, mely ötszöges szimmetriát mutat.

43

A Nap (a 8. ábrán a fehér rész) nem határozza meg a hozzáilleszthető darabokat. Ha azonban

szeretnénk megtartani az ötös szimmetriát, akkor már csak az ábrán látható szépséges

mintázatot építhetjük tovább, mely a végtelenségig egyértelműen meg van határozva.

A 9. ábrán látható fehér csillag köré csak a 10 világosszürke sárkányt rakhatjuk. Ha az ötös

szimmetriát megtartva folytatjuk az építkezést, újabb végtelen és egyértelműen meghatározott

virágszerű mintázatot kapunk. A csillagon és a Napon kívül nincs más Penrose-világ, mely

tökéletes ötszöges szimmetriávai rendelkezik, ráadásul ezek egy igen bájos módon

ekvivalensek. Fújjuk fel, vagy eresszük le valamelyik mintázatot, és megkapjuk a másikat.

Az ász a harmadik példa egy csúcs körülrakására. Ez

nem határozza meg a köré rakható darabokat. A 10.

ábrán fehérben látható a kettes, a bubi és a dáma;

körülvéve a kikényszerített darabokkal. Mint Penrose

felfedezte (később tőle függetlenül Clive Bach is

rájött), a hétféle csúcsponti alakzat közül bizonyosan

olyan csempék lerakását kényszerítik ki, melyek nem

csatlakoznak közvetlenül az alakzathoz. Színes

képünkön a király "birodalmának" egy része látható.

(A király a középen levő sötétszürke alakzat.) Az összes sötét árnyalatú csempe lerakását a

király kényszeríti ki. (A bal, ill. jobb szélről éppen lemaradó két ászt is, csak azok már nem

látszanak.)

A király birodalmának képét

számítógép rajzolta, melynek

programját Eric Regener írta a

montreali Concordia Egyetemen. A

program bármelyik Penrose-mintázat

leeresztését meg tudja rajzolni, akárhány lépésen át. A vastag fekete vonal azt a területet

határolja, melyet a király közvetlenül kikényszerít. A vékony fekete vonalak a harmadik

generációs leeresztést mutatják, ahol a király és majdnem a teljes birodalma megismétlődik.

10. ábra. A kettes, a bubi és a dáma "birodalma"

44

Az összes Penrose-világ közül

a legrendkívülibb és a

legfontosabb ahhoz, hogy

megértsük a csempék

természetét, a végtelen

kocsikerék-mintázat, melynek

egy része a 11. ábrán látható.

Az ábra közepén látható vastag

fekete vonallal határolt

szabályos tízszöget nevezi Conway "kocsikerék"-nek. Bármelyik mintázat bármelyik pontja

egy pontosan ugyanilyen kocsikerék belsejében van. Egyszeri felfújás után azt láthatjuk, hogy

minden pont egy nagyobb kocsikerék belsejében lesz. Hasonlóképpen, minden generáció

minden pontja egy kocsikerékben lesz, bár a kerekek nem feltétlenül lesznek koncentrikusak.

Figyeljük meg a 10 világosszürke küllőt, melyek sugárirányban haladnak a végtelenségig.

Conway ezeket "hernyók"-nak hívja. Hosszú és rövid csokornyakkendőkből épülnek fel, ahol

a hosszúak száma aranymetszéssel aránylik a rövidekéhez. Minden Penrose-világban végtelen

sok tetszőlegesen hosszú hernyó van. Ha felfújunk vagy leeresztünk egy hernyót, akkor egy

másik hernyót kapunk, ugyanannak a tengelynek a mentén. Vegyük észre, hogy a végtelen

kocsikerék-mintázatban két teljes hernyó halad keresztül a középső kocsikeréken (a

kocsikeréken belül nem szürkék). A többi küllő félig végtelen hernyó. A küllőktől és a

középső kocsikerék belsejétől eltekintve a mintázat tökéletes tízszögű szimmetriával

rendelkezik. Két küllő között a nap- és a csillagmintázat egyre nagyobb darabjai váltakoznak:

A végtelen kocsikerék-mintázát bármelyik küllőjét megfordíthatjuk (vagy ami ugyanezt

jelenti, az összes csokornyakkendőjét megfordítjuk), és ekkor a küllő a középső kocsikerék

belsejétől eltekintve még mindig illeszkedni fog az összes vele szomszédos csempéhez. Mivel

10 küllő van, ez 210 = 1024 lehetséges állapotot jelent. Ha azonban kihagyjuk azokat, melyek

forgatással vagy tükrözéssel megkaphatók egy másikból, akkor csak 62 különböző esetet

kapunk. Minden eset meghatároz a kocsikerék belsejében egy alakzatot, aminek Conway a

"tízlábú" nevet adta.

Minden tízlábú felépíthető 10 egybevágó egyenlő

szárú háromszögből, melynek alakja olyan, mint egy

felnagyított dárda fele. A tízlábúak közül a 12. ábrán

11. ábra. A Batmant körülvevő végtelen kocsikerékminta

12. ábra. Három tízlábú45

látható körfűrész és tengeri csillag rendelkezik a legtöbb szimmetriával. A hernyókhoz

hasonlóan, minden háromszög megfordítható. Most sem számolva az elforgatottakat és

tükörképeket, 62-féle tízlábút kapunk. Képzeljük el, hogy minden tízlábún megjelöltük a

konvex csúcsokat T-vel, a konkáv csúcsokat pedig H-val. Ha folytatni akarjuk a csempézést,

akkor ezeknek a H-knak és T-knek a szokásos módon kell illeszkedniük a csempék betűihez.

Ha a küllőket úgy rendezzük el, ahogy a végtelen kocsikerékmintán vannak, akkor középen a

Batman nevű tízlábú alakul ki. A Batman (az ábrán sötétszürke) az egyetlen tízlábú, amely

szabályosan kirakható a csempékből. (Semmilyen véges tartomány nem rakható szabályosan

ki egynél többféleképpen.) Ugyanakkor a Batman nem határozza meg a végtelen

kocsikerékmintát. Pusztán lehetővé teszi. Valójában egy szabályos csempemintát sem

határozhat meg egy véges tartomány, hiszen az minden csempézésben előfordul.

MegfigyeIhető, hogy a végtelen kocsikerékminta tükörszimmetrikus, szimmetriatengelye

függőlegesen halad át a Batmanen. Ha felfújjuk a mintázatot, akkor változatlan marad, csak

éppen az előbbi szimmetria tengelyre merőleges egyenesre lesz tükrös. Akármelyik Penrose-

világban a Batman öt dárdája és két középső sárkánya alkotja az egyetlen olyan tartományt,

amely nem része egy ötszörösen szimmetrikus alakzatnak. Ennek is és bármelyik más

mintázatnak is minden más csempéje végtelen sok ötszörösen szimmetrikus alakzatnak része.

A többi 61 tízlábút a küllőket alkotó hernyók megfordításainak további 61 kombinációja

hozza létre. Mind a 61 "lyuk", a következő értelemben: lyuknak nevezünk egy tetszőleges

véges üres tartományt, melyet körülvesz egy végtelen csempézés, és amely szabályosan nem

fedhető le csempékkel. Azt gondolhatnánk, hogy mindegyik tízlábú köré végtelen sok

csempeminta építhető fel, de ezzel a Penrose-világok megint megtréfálnak minket. Meglepő

módon, 60 tízlábú egyértelmű csempézést kényszerít ki, melyek csak a küllők állásában

különböznek a már látott mintától. Csak a Batman és egy másik, a francia képregény figura

után Asterixnek nevezett tízlábú nem ilyen. A Batmanhez hasonlóan az Asterix is lehetővé

tesz egy végtelen kocsikerékmintát, de másféle mintázatokat is megenged.

Most egy meghökkentő sejtés következik. Conway úgy gondolja, bár a bizonyítása még nem

teljes, hogy minden lehetséges lyuk, bármilyen méretű vagy alakú, ekvivalens egy tízlábú

lyukkal, a következő értelemben. A lyuk körüli csempék átrendezésével, szükség esetén véges

számú csempe hozzáadásával vagy elvételével minden lyuk tízlábúvá alakítható. Ha ez igaz,

akkor tetszőleges véges számú lyuk is egyetlen tízlábúvá alakítható. Mindössze elég sok

46

csempét el kell vennünk, hogy a lyukak összeérjenek egyetlen nagy lyukat alakítva ki, aztán a

nagy lyukat csökkentjük addig, míg egy csempézhetetlen tízlábút kapunk.

Gondoljunk most egy tízlábúra úgy, mint egyetlen szilárd csempére. A Batmanen és az

Asterixen kívül minden tízlábú olyan kristályszennyeződésként viselkedik, amely rögzíti a

kristály szerkezetét. Egyértelműen meghatároz egy végtelen kocsikerékmintát, küllőkkel és

mindennel, a végtelenségig. Ha Conway sejtése igaz, akkor minden "idegen darab" (ez

Penrose elnevezése), amely egyértelműen meghatároz egy csempézést, nem számít, milyen

nagy, olyan lyukat fed le, amely átalakítható a 60 tízlábú lyuk valamelyikévé.

A sárkányok és dárdák éppúgy eltorzíthatók más alakzatokká, ahogy korábban az egyenlő

szárú háromszögeket alakítottuk át spirális csempézést adó sokszögekké. Escher ugyanezt a

módszert alkalmazta, amikor sokszög alakú csempék helyett állatok alakjára emlékeztető

csempéket használt. A 13. ábrán látható, hogy Penrose miként alakította át dárdáit és

sárkányait csaknem periodikusan csempéző csirkékké. Megjegyezném, hogy bár a csirkék

nem szimmetrikusak, a sík csempézéséhez sosincs szükség arra, hogy valamelyiket

felfordítsuk. Milyen kár, hogy Escher meghalt, még mielőtt megismerhette volna a Penrose-

csempéket! Hogy dúskálhatott volna az általuk kínált lehetőségekben!

13. ábra. Penrose nem periodikus csirkéi 14. ábra. Egy nem periodikus csempézésRoger Penrose rombuszaival

Ha szétvágjuk a dárdákat és sárkányokat kisebb darabokra, majd ezeket másképp rakjuk

össze, újabb olyan csempe párokat készíthetünk, melyek a dárdákhoz és sárkányokhoz

hasonló tulajdonságokkal rendelkeznek. Penrose egy szokatlanul egyszerű ilyen párt talált: a

14. ábra mintájában szereplő kétféle rombuszt. Minden él egyforma hosszú. A nagyobb

daraboknak 72, ill. 108 fokosak a szögei, a kisebbeknek 36, ill. 144 fokosak. Ugyanúgy,

47

ahogy korábban, a területek aránya is és az egyes típusokból felhasznált darabok számának

aránya is aranymetszéses. A csempeminták felfújhatók és leereszthetők, a darabokkal

megszámlálhatatlanul végtelen sokféleképpen csempézhető nem periodikusan a sík. Azt, hogy

csak nem periodikusan legyen csempézhető a sík, vagy dudorokkal és horpadásokkal érhetjük

el, vagy egy olyasfajta színezéssel, mint amit Penrose alkalmazott, és amit a rajzon a világos,

ill. sötétszürke területek jeleznek.

Ahhoz, hogy láthassuk, milyen szorosan összefügg

egymással és az aranymetszéssel a két csempekészlet,

vizsgáljuk meg a 15. ábra ötszögét. Az ókori görög

Pitagoreus-szövetség misztikus szimbólumnak tekintette a

pentagrammát, és ennek rajza volt az, amivel Goethe

Fausztja tőrbe csalta Mefisztót. Az ábrát kifelé és befelé

egyaránt akármeddig folytathatjuk, és minden szakasz

aranymetszéssel aránylik a következő kisebbhez. Vegyük

észre, hogy mind a négyféle Penrose-csempe megtalálható az

ábrában. A sárkány az ABCD négyszög, a dárda az AECB. A

rombuszok, bár egymáshoz képest nem méretarányosan, AECD és ABCF. Ahogy Conway

szokta mondani, a két csempekészlet ugyanazokon az "arany izéken" alapul. Bármelyik,

sárkányokról és dárdákról szóló tétel átalakítható a Penrose-rombuszokról szóló tétellé, vagy

akármelyik Penrose-féle csempe párról szólóvá, és viszont. Conway a sárkányokkal és

dárdákkal dolgozik szívesebben, más matematikusok jobban szeretik az egyszerűbb

rombuszokat. Robert Ammann elképesztően sokféle nem periodikus csempekészletet talált ki.

Az egyik készlete, amely két konvex ötszögből és egy konvex hatszögből áll, az élek

bármilyen eltorzítása vagy színezése nélkül kényszeríti ki a nem periodikus csempézést. Több

olyan hatszögekből álló párt talált, ahol a hatszögek öt belső szöge 90 fokos, egy pedig 270

fokos. E készletek leírása és figyelemre méltó tulajdonságaik tárgyalása megtalálható Branko

Grünbaum és G. C. Shephard "Some Problems on Plane Tilings" című könyvében.

Vajon vannak-e olyan csempe párok, melyek kikényszerítik a nem periodikus csempézést, de

nincsenek kapcsolatban az aranymetszéssel? Van-e két egymáshoz hasonló csempéből álló

pár, amely nem periodikus csempézést kényszerít ki? Van-e olyan konvex csempékből álló

pár, amely az élek megjelölése nélkül kényszerít ki nem periodikus csempézést?

15. ábra. A Pitagoreusok

pentagrammája

48

A legjelentősebb megoldatlan probléma persze az, hogy van-e egyetlen alakzat, mellyel nem

periodikusan csempézhető a sík. A legtöbb szakértő szerint nincs, de senki nem jutott még

csak közel sem a bizonyításhoz. Még azt sem bizonyították, hogy ha van ilyen csempe, akkor

az nem lehet konvex.

Az elmúlt évtizedben, mióta a Penrose-csempézésről szóló cikkem megjelent a Scientific

Americanben (1977. január), Roger Penrose, John Conway, Robert Ammann és mások

hatalmas lépéseket tettek a nem periodikus csempézések felderítése terén. (Változatlanul a

"nem periodikus" kifejezést fogom használni, bár Branko Grünbaum és G. C. Shephard a

Tilings and Patterns című nagyszabású művükben "aperiodikus"-nak hívnak egy

csempekészletet, ha azzal csak nem periodikusan csempézhető a sík. Annak felfedezése, amit

manapság Ammann-csíkoknak vagy egyeneseknek nevezünk, és a Penrose-csempézés

háromdimenziós megfelelői, a kristálytan bámulatos fejlődéséhez vezetett, de először is hadd

foglaljam össze ennek az áttörésnek az előzményeit.

Egy tehetséges fiatal matematikus, Robert

Ammann, aki alacsony szintű számítógépes

munkákat végzett Massachusettsben, Penrose-tól

függetlenül felfedezte a rombusz-csempéket 1976-

ban, körülbelül nyolc hónappal a Penrose-

csempézésről szóló cikkem megjelenése előtt.

Levélben számoltam be neki a dárdákról és

sárkányokról, melyben azt is megírtam, hogy

Penrose már korábban felfedezte a rombuszokat.

Ammann hamarosan rájött, hogy mindkét

csempepár olyan mintákhoz vezet, melyeket öt,

párhuzamos egyenesekből álló egyenescsalád

határoz meg, ahol az egyenesek öt különböző irányban haladnak át a síkon, 360/5=72 fokos

szögben metszve egymást. Egy ilyen egyenescsalád – mai elnevezéssel Ammann-csíkok –

látható az 1. ábrán.

Észrevehető, hogy az egyenesek olyan dárdák konkáv csúcsán haladnak át, melyek egyik

része egy irányba, a többi pedig ellenkező irányba mutat. Szigorú értelemben ez nem pontos

meghatározás az egyenesek elhelyezkedésére, de a mi céljainknak ez az egyszerű szabály is

megfelel. A precíz meghatározás a Grünbaum–Shephard-könyvben megtalálható. Ha a pontos

1. ábra. Az Ammann-csíkok egy családja,

melyen megfigyelhető (balról jobbra)

egy RHHRHHR sorozat

49

helyükre kerülnek az egyenesek, akkor mindegyik egy hajszálnyival a dárdák konkáv csúcsán

kívül halad. A minta minden szabályos tízszögének belsejében tökéletes pentagrammát (ötágú

csillagot) rajzolnak ki az Ammann-csíkok.

A szomszédos egyenesek között kétféle távolság figyelhető meg, az egyiket H-val (hosszabb),

a másikat R-rel (rövidebb) fogjuk jelölni. Ha megfelelően helyezzük el az egyeneseket, akkor

a két távolság aranymetszéssel aránylik egymáshoz. Ráadásul a teljes síkot tekintve az egy

családon belül levő csíkok között a H-k számának aránya a R-ek számához szintén

aranymetszés. Ha elindulunk a csíkok egyik családjára merőleges irányban, H-k és R-ek

sorozatával jegyezhetjük le az egymást követő távolságokat. Ez a sorozat nem lesz periodikus,

és a Penrose-csempézésnek szép, egydimenziós megfelelőjét adja, teljesül rá a lokális

izomorfizmus-tétel. Bármilyen véges részét kiválasztva a sorozatnak, mindig meg fogjuk

találni a közelben annak másolatát. Induljunk el bárhol és jegyezzünk fel akárhány betűt

véges sok, mondjuk egymilliárd lépésen keresztül. A sorozat bármelyik pontjáról elindulva

biztosak lehetünk abban, hogy elérünk egy ugyanilyen egymilliárd betűs sorozatot. Csak

akkor nem ismétlődik meg a betűsorozat, ha végtelen.

Conway felfedezte, hogy ez a sorozat a következőképpen kapható meg az aranymetszésből.

Írjuk fel növekvő sorrendben az aranymetszés arányszámának ((1+51/2)/2) a többszöröseit,

lefelé kerekítve a legközelebbi egész számra. A kapott sorozat így fog kezdődni: 1, 3, 4, 6, 8,

9, 11, 12, 14, 16, 17, 19, 21, 22, 24, 25, 27, 29, 30, 32, 33, 35, 37, 38, 40, 42, 43, 45, 46, 48,

50, ... Ez a 917-es számú sorozat N. J. A. Sloane: Handbook of Integer Sequences (Egész

számokból álló sorozatok kézikönyve) című könyvében. Ha az aranymetszés négyzetének a

többszöröseit kerekítjük le, akkor a 2, 5, 7, 10, 13, 15, 18, 20, 23, ... sorozatot kapjuk. A két

sorozatot szokás egymás "komplementerének" nevezni. A kettő egyesítésében minden pozitív

egész egyszer és csak egyszer fordul elő. Ha egy tetszőleges a valós szám többszöröseit

kerekítjük lefelé a legközelebbi egészre, akkor az így kapott sorozatot az a spektrumának

nevezik. Ha a irracionális, akkor szokás a sorozatot Beatty-sorozatnak hívni, Samuel Beatty

kanadai matematikus neve után, aki az ilyesfajta sorozatokra irányította a figyelmet 1926-ban.

Mint arról egy másik cikkemben írtam, az aranymetszésen alapuló komplementer Beatty-

sorozatok szolgáltatják a NIM-játék Wythoff-játéknak nevezett híres változatának nyerő

stratégiáját.

Az aranymetszéses Beatty-sorozat szomszédos tagjainak különbsége vagy 1, vagy 2. Ha

felírjuk az első különbségsorozatot, majd minden 1-est 0-ra és minden 2-est 1-re változtatunk,

50

egy végtelen bináris sorozatot kapunk, amely így kezdődik: 101101011011010... Ez az

Ammann-csíkok bármelyik végtelen családjában az R-ek és H-k sorozatának egy darabja.

Conway a "zenei sorozat" kifejezést használja az aranymetszéses sorozat bármelyik véges

szakaszára. Én Penrose-t követve Fibonacci-sorozatoknak fogom őket ne vezni. [Az elnevezés

némileg félreérthető, ugyanis általában az 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... (minden további tag az

előző összege) sorozatot szokás Fibonacci-sorozatnak nevezni, vagy néha ennek azt az

általánosítását, ahol az első két tag tetszőleges, a képzési szabály viszont ugyanaz. (A

fordító)]

Az ilyen sorozatok számos érdekes tulajdonsággal rendelkeznek, ha például a fenti, binárisan

megadott Fibonacci-sorozat elé tizedesvesszőt rakunk, akkor az eredmény egy olyan

irracionális szám kettes számrendszerbeli vesszős tört alakja lesz, melyet a következő lánctört

határoz meg:

A lánctörtben szereplő kitevők éppen a Fibonacci-számok. Conway számos publikálatlan

eredménnyel rendelkezik arról, hogy a Penrose-csempézések hogyan függenek össze a

Fibonacci-számokkal, amik viszont különböző növények növekedési szabályaival függenek

össze.

A Penrose-csempézések, mint láttuk, ön-hasonlóak abban az értelemben, hogy ha felfújjuk

vagy leeresztjük őket, akkor egy másik csempézést kapunk. A Fibonacci-sorozatok is

rendelkeznek ugyanevvel a tulajdonsággal. Sokféle módon felfújhatók és leereszthetők úgy,

hogy egy másik ilyen sorozatot kapjunk, de a legegyszerűbb a következő. A leeresztéshez

cseréljünk ki minden R-et H-ra, minden HH-t R-re, és hagyjuk el az egyedül álló H-kat. Ha

például a HRHHRHRHHRHHRHR sorozatot ezzel a szabállyal eresztjük le, akkor a

leeresztettje HRHHRHRHH. A felfújáshoz cseréljünk ki minden H-t R re, minden R-t HH-ra,

és két R közé mindenhova rakjunk be egy H-t.

51

Egy Fibonacci-sorozatban sosem fordulhat elő RR vagy HHH. Ezt felhasználva könnyen

eldönthető, hogy R-ek és H-k egy sorozata Fibonacci-e. Alkalmazzuk a leeresztési szabályt

egészen addig, míg vagy egy olyan sorozatot nem kapunk, amelyben RR vagy HHH van

(ebben az esetben a sorozat nem Fibonacci), vagy egyetlen betűt nem kapunk, ami bizonyítja,

hogy az. Egy Penrose-csempézés felfújásakor vagy leeresztésekor az Ammann-csíkok

bármelyik családjához tartozó sorozat is felfújódik, illetve leeresztődik. Bármelyik olyan

hernyóban, mint a kocsikerékminta tíz küllőjének hernyói, a hosszú és rövid

csokornyakkendők sorozata szintén Fibonacci-sorozat.

Az Ammann-csíkok két családja nem periodikus paralelogrammák olyan hálózatát hozza

létre, melybe beleilleszkednek a csempék. Ahogy Grünbaum és Shephard fogalmazza, "az,

ami alapvető, az a csíkok rendszere, és a csempék szerepe mindössze az, hogy egy gyakorlati

megvalósítást adnak". A csíkok valami olyasmik, amik halványan emlékeztetnek a

kvantummezőkre, melyek meghatározzák a részecskék helyét és pályáját. Ammann volt az

első, aki már 1977 elején észrevette, hogy a csíkok hálózata "kényszertételek"-hez vezet –

olyan tételekhez, melyek arról szólnak, hogy csempék egy kicsiny halmaza hogyan határozza

meg végtelen sok más csempe helyzetét.

Ammann ezt így fogalmazta meg egy nekem írt levélben: "Valahányszor csempék egy

halmaza egy bizonyos helyzetbe kényszerít egy párhuzamos egye3nest, akkor ezzel végtelen

sok nem szomszédos párhuzamos egyenest is bizonyos helyzetbe kényszerít. Valahányszor

három egyenes megfelelő szögben metszi egymást, ez kikényszerít egy csempét". Ez a

tulajdonság, hogy csempék egy véges halmaza kikényszeríti tetszőlegesen nagy távolságra

levő csempék helyzetét, a Penrose-rombuszok mellett a Robinson-négyzetekre is jellemző,

pedig ezek semmilyen kapcsolatban nincsenek az aranymetszéssel.

Ammann felfedezéseiből kiindulva Conway számos további figyelemre méltó kényszertételt

mondott ki. Most csak azt említem meg, miszerint két Penrose-csempe (mindkettő akármilyen

típusú lehet), ha megfelelően helyezzük el őket, tetszőleges távolságra egymástól, csíkok két

végtelen (nem teljes) családját határozza meg. Az egymást metsző két egyenes család viszont

végtelen sok csempe helyzetét határozza meg. A király, dáma, bubi, kettes és a csillag például

olyanok, hogy birodalmukban végtelen sok csempe helyét kényszerítik ki. (Az ász és a nap

nem kényszerít ki egyetlen csempét sem.) A király birodalma különösen sűrű. Azt hihetnénk,

hogy a kikényszerített csempék sűrűsége csökken, ahogy távolodunk a centrumtól, de nem ez

a helyzet. A sűrűség a teljes síkon állandó.

52

Ammann másik nagy felfedezése, szintén 1976-ból, egy

- két romboéderből (olyan paralelepipedon, melynek hat

egy bevágó rombuszlapja van) álló készlet volt, mellyel

alkalmas illesztési szabályok esetén csaknem

periodikusan csempézhető a tér. A két romboéder

testhálója a 2. ábrán látható. Ha kartonpapírból kivágjuk

a két hálót, a vonalak mentén összehajtva és az éleket

összeragasztva megkapjuk az ábra alsó részén látható két

testet. Az egyik olyan, mint egy testátlója mentén

összenyomott, a másik pedig, mint egy testátlója mentén

széthúzott kocka. Mind a tizenkét lap egybevágó, a

lapátlók aránya aranymetszés. H. S. M. Coxeter, a híres

geométer, az ilyen típusú romboédereket "arany

romboéder"-nek nevezte W. Rouse Ball klasszikus Mathematical Recreations and Essays

(Dover, 1987.) című művének, melyet ő szerkesztett, a tizenharmadik kiadásában, egy, a 161.

oldalhoz fűzött jegyzetében. Mindössze kétféle arany romboéder van, melyek mindegyikét

tanulmányozta már Kepler is. A hegyes szögű arany romboédernek van két átellenes csúcsa,

melyben három egyenlő hegyesszög találkozik. A tompaszögű arany romboédernek olyan két

átellenes csúcsa van, melyben egyenlő tompaszögek találkoznak. Mindkét test több csúcsában

vegyesen fordulnak elő hegyes- és tompaszögek.

Ammann két romboédere éppen a kéféle arany típusú. A periodikus csempézést megfelelően

elhelyezett lyukakkal és kiemelkedésekkel akadályozhatjuk meg. Figyeljük meg az ábra

testhálóin a pöttyöket. Képzeljük el, hogy mindkét testnek elkészítjük a másolatát úgy, hogy a

pöttyök mintázata a tükörképe legyen az eredetiének. Ekkor egy olyan, négy testből álló

készletet kapunk, mellyel csaknem periodikusan lehet csempézni, ha úgy illesztjük össze a

darabokat, hogy minden pötty fedjen egy másik pöttyöt. Nem tudni, hogy ez a tükrözés

kihagyható-e úgy, hogy csak két – megfelelő jelölésekkel ellátott – test kényszerítse ki a nem

periodikus csempézést. Ha egy sík megfelelő szögben metszi a kicsempézett teret, akkor a

síkon a Penrose-rombuszokéhoz nagyon hasonló csempézés jelenik meg.

Elküldtem Ammann eredményeit Penrose-nak. Egy 1976. május 4.-re datált levélben Penrose

megkért, hogy továbbítsam gratulációit Ammann-nak két dologért is: a rombuszcsempék

független felfedezéséért és a tér csempézéséért a két arany romboéderrel. Így folytatta:

2. ábra. A tompa- és a hegyesszögű

arany romboéder testhálója

53

Még az is lehetséges, hogy ezek a dolgok jelentőséggel bírhatnak a biológia

szempontjából. Ne felejtsük el, hogy bizonyos vírusok szabályos dodekaéder és

ikozaéder alakban növekednek. Mindig is zavarba ejtő kérdés volt, hogy hogyan

csinálják ezt. Ammann nem periodikus testjeivel viszont mint alapegységekkel,

kváziperiodikus "kristályokhoz" juthatunk, olyan látszólag lehetetlen (kristálytanilag)

hasadási irányokkal, melyek síkjai dodekaédert vagy ikozaédert határoznak meg.

Lehetséges, hogy talán a vírusok növekedése is valami ilyesfajta nem periodikus

egységen alapul –- vagy túlságosan elrugaszkodott ez az elképzelés?

Egy évvel a tér Ammann-féle nem periodikus csempézésének felfedezése után a japán Koji

Miyazaki, a kobei egyetem építésze újra felfedezte azt. Ezen kívül talált egy másik módot is

arra, hogy a két arany romboéderrel nem periodikusan csempézzük a teret, bár ez a csempézés

nem kikényszerített. Öt hegyesszögű és öt tompaszögű arany romboéder illeszkedik úgy

össze, hogy egy rombikus triakontraédert alkotnak. Két ityen testet, melyek hegyesszögű

csúcsukban érintkeznek, körülvehetünk további hatvan arany romboéderrel (mindkét típusból

30) úgy, hogy egy nagyobb rombikus triakontraédert kapjunk. Ez a nagyítás a végtelenségig

folytatható, méhsejtszerűen csempézve a teret, melynek közepe ikozaéderes szimmetriát

mutat.

Penrose sejtései a kristályokról még megfogalmazásukat tekintve is meglepően profetikusnak

bizonyultak. Az 1980-as évek elején számos természettudós és matematikus kezdte fontolóra

venni annak lehetőségét, hogy kristályok atomi szerkezete esetleg alapulhat egy nem

periodikus hálózaton is. Ezt követően 1984-ben Dany Schechtman és kollégái a Nemzeti

Szabványügyi Hivatalnál drámai bejelentéssel álltak elő. Nem periodikus szerkezetet találtak

egy hirtelen lehűtött alumínium-mangán ötvözetnek – melyet a kémikusok azonnal elneveztek

Schechtmanitnak – az elektronmikroszkópos vizsgálata során. A mikroszkóp világosan

mutatta az ötszöges szimmetriát, ami erősen sugall egy a Penrose-csempézéssel analóg nem

periodikus csempemintát a térben.

Semmi ehhez hasonlót nem tapasztaltak korábban, ahogy Ivars Peterson szakíró

megfogalmazta, ez olyan volt, mintha valaki egy ötszögű hópelyhet figyelt volna meg. A

krisztallográfiában régóta egyfajta dogmának számított, hogy a kristályok csak 2, 3, 4 vagy 6-

szoros forgásszimmetriával rendelkezhetnek, 5, 7 vagy 8-szorossal soha. Egy másik dogma

szerint a szilárd anyagok szerkezete csak kétféle lehet, az atomok elrendezése vagy

periodikus, vagy teljesen rendezetlen, mint az üveghez hasonló amorf anyagokban.

54

A rendezett szerkezetű kristályok közül minden ismert kristályhálót három szabályos platóni

testre – tetraéder, kocka, oktaéder – vezettek vissza. A dodekaédert és az ikozaédert azért

zárták ki, mert ötszörös szimmetriájuk lehetetlenné tette a periodikus csempézést. És akkor itt

volt egy anyag, amely úgy tűnt, hogy ikozaéderes szimmetriát mutat. Akárcsak a Penrose-

csempézés 72 fokkal, azaz a teljes kör ötödrészével elforgatva nagyjából – egy általános

statisztikai értelemben – változatlan maradt, de hosszú távú periodicitás nélkül. Úgy tűnt,

hogy a szerkezete valahol félúton van az üveg és a rendezett kristályok között, azt mutatva,

hogy a kétféle szerkezet közti éles határ helyett átmeneti formák folytonos sokasága

lehetséges.

A fizikusok, kémikusok és krisztallográfusok körében ez a felfedezés a robbanás erejével

hatott. Hasonló, nem periodikus szerkezeteket fedeztek fel hamarosan más ötvözetekben, és

cikkek tucatjai kezdtek megjelenni. Világossá vált, hogy szilárd anyagok nem periodikus

rácsszerkezete bármiféle forgásszimmetriát mutathat. Két vagy több csempéből álló térbeli

készletek széles választékát adták meg modellként, melyek némelyike kikényszeríti a nem

periodikus csempézést, némelyike pusztán lehetővé teszi. Előállítottak egy réteges

kristályszerkezetet, melynek egymáson fekvő rétegei a Penrose-féle síkbeli rombuszos

csempemintát mutatják. A holland N. G. de Bruijn kifejlesztette a nem periodikus csempézés

algebrai elméletét, amely az Ammann-csíkokhoz hasonló, általa "pentarácsok"-nak nevezett

szerkezeteken alapul. Egy 1987-es publikálatlan cikkben meglepő kapcsolatról számolt be a

nem periodikus csempézések elmélete és egy kártyakeverési tétel – melyet a bűvészek

Galbreath-féle elv néven ismernek – között. (ErrőI az elvről a New Mathematical Diversions

from Scientific American című könyvem 9. fejezetében írtam.)

Mindezek igen megtermékenyítően hatottak a "kvázikristályok" – ahogy most ezeket az új,

félúton levő kristályokat nevezik – kísérleti és elméleti kutatására. Ugyanakkor ellenzői is

vannak annak a nézetnek, hogy ezek a rácsszerkezetek természetükből adódóan nem

periodikusak. Az ellenzők vezéralakja Linus Pauling, aki szerint a mikroszkópos képet úgy

kellene magyarázni, hogy az ötszörös szimmetria hamis formáját mutatja, melyet a

krisztallográfusok sokszoros ikerképződésként ismernek. "Nem kell tovább aggódniuk a

krisztallográfusoknak amiatt, hogy tudományuk egyik elfogadott alappillérének érvényessége

megkérdőjeleződött" – jelentette ki Pauling a Nature egy 1985-ös cikkében. Egy másik

lehetőség, hogy a kvázikristályok egyszerűen csak hatalmas egységcellái egy periodikus

mintának, ami ki fog derülni, mihelyt nagyobb mintákat készítenek. És vannak más

55

lehetőségek is. A kvázikristályok hívei azt állítják, hogy mindezeket az alternatív

magyarázatokat kizárták, és a nem periodikus minta a legegyszerűbb magyarázat. Lehet, hogy

néhány éven belül a kísérleti kutatások megcáfolják, és a kvázikristályok a balsorsú polivíz

sorsára jutnak; de ha a nem periodikus magyarázat igaznak bizonyul, akkor az szenzációs

fordulópont lesz a krisztallográfiában.

Feltéve, hogy a kvázikristályok tényleg léteznek, a következő néhány évben várhatóan egyre

hatékonyabb technikák fognak megszületni az előállításukra. Sok kérdés vár válaszra. Miféle

fizikai erők játszanak szerepet az ilyen furcsa kristályok képződésében? Penrose felvetette,

hogy talán szerepe van a nem lokális kvantumhatásoknak, hiszen egy átfogó terv nélkül

nehezen látható, hogy miképp nőhet egy ilyen kristály oly módon, hogy hosszú távon

megőrizze nem periodikus mintázatát. (1976-os levelének abban a részében, ahonnan a

vírusokkal kapcsolatos gondolatait idéztük, Penrose azon elmélkedik, hogy egy kvázikristály

növekedését hogyan irányíthatják nem lokális erők.) Milyenek a rugalmassági és elektromos

tulajdonságai a kvázikristályoknak? Fognak-e a geológusok valaha is természetes módon

képződött kvázikristályt találni?

Ha a kvázikristályok olyanok, mint amilyennek hívei hiszik őket, akkor kitűnő példát

szolgáltatnak arra, hogy hogyan derülhet ki valamiről, amit a népszerű matematika pusztán a

szórakozás és az esztétikai élvezet kedvéért hozott létre, hogy a fizikai világban és a

technológiában jelentős gyakorlati alkalmazásai vannak.

1980-ban meghallgattam Conway egy előadását a Penrose-csempézésről a Bell

Laboratóriumban. A "lyukak elméletének" tárgyalása során elmondta, hogy szeret elképzelni

egy hatalmas templomot, melynek a padlója Penrose-csempékkel van kirakva, pontosan

középen egy oszloppal. Úgy látszik, mintha a csempézés folytatódna az oszlop alatt.

Valójában az oszlop egy csempézhetetlen lyukat fed el. Mellesleg az Ammann-csíkok sora

megtörik, amikor keresztülhaladnak a lyukon.

Egy Penrose-féle csempeminta nyilván mindig kiszínezhető négy színnel úgy, hogy semelyik

két közös éllel rendelkező csempe nem egyforma színű. Vajon kiszínezhető-e három színnel?

A lokális izomorfizmus-tételből belátható, mondta Conway, hogy ha bármelyik Penrose-

csempeminta kiszínezhető három színnel, akkor az összes többi is, de mindeddig senki nem

bizonyította, hogy bármelyik végtelen minta is kiszínezhető lenne három színnel.

56

Conway elmondott egy egyszerű indirekt bizonyítást (amit ő Peter Barlow brit

matematikusnak tulajdonított, aki 1862-ben halt meg, és akit manapság leginkább az általa

készített függvénytáblázatokról ismernek) arra, hogy semelyik csempemintának nem lehet

egynél több ötszörös forgási szimmetriacentruma. A bizonyítás a következő: Tegyük fel, hogy

egynél több van. Válasszuk ki azt a kettőt, A t és B-t, melyek a legközelebb vannak

egymáshoz (3. ábra). Forgassuk el B körül a mintázatot 360/5=72 fokkal az óramutató

járásával megegyező irányban, A t az A'-be víve, ahogy az ábrán látható. Ezután forgassuk el

az eredeti mintázatot A körül 72 fokkal, most az óramutató járásával ellenkező irányban, B-t

B'-be víve. Az eredmény: mindkét forgatás (indirekt feltevésük szerint) változatlanul hagyja a

mintázatot. Ekkor azonban lenne két szimmetriacentruma, A' és B', melyek közelebb vannak

egymáshoz, mint A és B. Ez ellentmond annak a felvetésünknek, hogy A és B az egymáshoz

legközelebb levő szimmetriacentrumok.

3. ábra. Barlow bizonyítása arra, hogy egy

csempemintának sem lehet két ötszörös

szimmetriacentruma

4. ábra. A Conway-csempe,

amely 0-féleképpen csempéz

Vannak olyan csempék (és csempekészletek), melyekkel csak egyféleképpen csempézhető

periodikusan a sík, például a szabályos hatszög vagy a kereszt alakú pentomino. Egy

tetszőleges háromszög vagy paralelogramma megszámlálhatatlanul végtelen sokféleképpen

csempéz. Grünbaum és Shephard sejtése az, hogy nincs olyan csempe, ami megszámlálható

végtelen sokféleképpen csempéz periodikusan. Azt is sejtik, hogy tetszőlegesen adott r pozitív

egész esetén van olyan csempe, amely pontosan r-féleképpen csempézi a síkot. Az r=1-től 10-

ig esetekhez már találtak ilyen csempéket. Előadása során Conway bemutatta azt, amit ő

"Conway-csempének" nevez, az r=0 esethez (4. ábra). Avval zárta az előadást, hogy ez volt az

első valaha is tartott előadása a Penrose-csempézésről, ahol nem mondott véletlenül "sárdákat

és dárkányokat".

57

Biológia és matematika - a Lotka-Volterra egyenletek

A tudományfilozófiával foglalkozó gondolkodók számára régóta egyértelmű, hogy a

matematika nem természettudomány. Ha valamihez, hát a nyelvészethez áll közel (talán nem

csoda, hogy az emberi agyban is a matematikára specializálódott régiók a nyelv és a zene

közelében helyezkednek el.) De ha nyelv is a matematika, bizonyos, hogy ez az a nyelv, amin

a természettudományok beszélnek. Ahhoz azonban, hogy a matematika és a

természettudományok egymásra találjanak, hosszú időnek kellett eltelnie, hiszen a biológia

hosszú ideig csak leíró és nem modellező tudomány volt.

Fordította:TÖRÖK JUDIT

Irodalomjegyzék:

1. Rényi Alfréd: Napló az információ elméletéről

Budapest: Gondolat, 1976.

2. Török Judit: A Fibonacci – sorozat

58

Budapest: Tankönyvkiadó, 1984.

3. Fibonacci, Leonardo: The book of squares

Boston: Press, 1987.

4. http://www.iif.hu/~visontay/ponziculus/megcsapottak/math-fabri.html

5. http://alas.matf.bg.ac.yu/~mm97106/math/fibo/fibo.htm

6. http://www.inlap.jate.u-szeged.hu/tortenet/oskor/kezdet.htm

Tartalomjegyzék:

1. Bevezetés……………………………………………………….. 2

2. Fibonacci, Leonardo Pisano

- Fibonacci, Leonardo Pisano……………………………………..…. 3

59

- Fibonacci és az arab számok ……………………………………..... 5

- A kezdetek kezdete ……………………………………………….. 5

3. A Fibonacci – sorozat a Matematikában

I. A Fibonacci – sorozat …………………………………………….. 9

II. A Fibonacci – sorozat és az aranymetszés …………………………… 13

III. A Fibonacci négyzetek ……………………………………………. 17

IV. A Fibonacci – sorozat általánosítása (Lucas - sorozat) …………………. 18

V. A geometriai sorozat és az aranymetszés ……………………………. 20

VI. Egy feladat a Fibonacci – sorozatra …………………………………. 22

4. A Fibonacci – sorozat a Természetben

I. A méhek hatszöges viaszsejt építése ………………………………… 26

II. A Fibonacci ábra …………………………………………………. 28

III. A Fibonacci spirál ………………………………………………... 30

5. A Fibonacci – sorozat versben …………………………………. 32

6. A Fibonacci – sorozat és a Szent Korona ……………………… 34

7. Érdekes cikk a Fibonacci – sorozattal kapcsolatban …………. 37

Irodalomjegyzék …………………………………………………… 61

Tartalomjegyzék …………………………………………………… 62

60