1

測量之簡介及誤差理論基礎

●測量：目標物之三維度量

含 1 . 觀測：儀器之操作及校正

2 . 計算：數學模式及誤差之評估

3 . 應用：測繪及測設

2

Ⅰ . 地球形狀：旋轉橢球

半長軸 a = 6378137m

b：半短軸

扁率

附註：

1. GRS 80 (Geodetic Reference System of 1980)

2. 後GPS計算始用WGS 84 (World Geodetic System 84)相同 地球形狀。

257522101.298

1

a

baf

●測量之基準

3

Ⅱ . 坐標系統

1 . 平面坐標(X,Y)：地圖投影(橢球面→平面)

地圖投影：將不可展開之橢球表面上之位置投影於可展之

曲面(如圓柱、圓錐、……)，再展為平面，以

建立X，Y坐標系統。

台灣地區：橫麥卡托投影(Transverse Mercator)屬圓柱投影

2 . 高程(Z) ：平均海水面為基準

台灣地區 ：以基隆驗潮站，19年潮位平均值為原點(高程

為零)

4

●測量學之內涵：(平面2維+高程1維)

◎平面位置：二維

方 法 儀 器 觀 測 量 未 知 數

(待求量)

三角測量 經緯儀 水平角 X,Y

三邊測量

電子測距儀

(捲尺) 距離 X,Y

三角/三邊測量

經緯儀+電子測距儀(捲尺)

水平角+

距離 X,Y

導線測量 經緯儀+電子測距儀(捲尺)

水平角+

距離 X,Y

全球定位系統

接收機 測距訊號 X,Y

5

◎高程：一維

方 法 儀 器 觀 測 量

未 知 數

(待求量)

直接水準

測量 水準儀 高程 Z

三角高程

測量

經緯儀+

電子測距儀(捲尺)

縱角+距離

Z

全球定位系統 接收機 測距訊號 Z

6

●誤差 ：關係著成果品質之良寙，為測量工作中

重要之考量

儀器 人為 自然環境

觀測誤差 計算方法之模式誤差

誤差來源

7

註：

1 . 三類誤差之特性不同，為面對誤差時必要之思考方

向，必須學習透徹。

2 . 誤差種類之分類與教科書P.67稍有不同

隨機誤差

Random Error

系統誤差

Systematic Error

錯誤 Blunder,

Gross Error,

Mistake

誤差種類

8

Ⅰ.隨機誤差

1.不可能消除

2 .增加觀測次數，以提升自由度並處理觀測量

(最小二乘平差Least Squares Adjustment)

Ⅱ.系統誤差

1.儀器之校正：降低觀測量誤差

2.觀測方法之改善

3.使用較佳之計算方法以降低模式誤差

Ⅲ.錯誤

1.增加自由度以提升檢核之能力

2.檢核方法之改善

三類誤差於測量中之考慮

9

註：

1. 自由度(Degree of Freedom)

=獨立之觀測量個數－獨立之未知數個數

=多餘觀測數 (Redundancy)

2. 自由度>0時，須進行最小二乘法平差，最簡單例

子：一段距離重複觀測N次，則取平均值代表該

距離(而非N段距離相乘再開N次方，或其他…)

三類誤差於測量中之考慮

10

●真誤差不可得(真值不可得)

●須由重複之觀測估計之 (觀察其散佈範圍)

●隨機誤差具不確定性，以一分佈函數描述為最適切之方

法

●隨機誤差之分佈(機率密度)以高斯曲線代表，此時

假設誤差為常態分佈(Normal Distribution)

又稱偶然誤差(Accidental Error)

即

其中 (稱為殘差，Residual)

： 觀測值

： 平均值

σ： 標準誤差(中誤差，Standard Error)

2)(2

1

2

1)(

iv

i evf

il

ii lv

隨機誤差之處理

11

例如，一段距離觀測n次，得

則

，

(參考教科書P.76)

nlll ....., 21

n

li ii lv

2

12

)1

(

n

v

隨機誤差之處理

12

直方圖與機率密度函數：以成績統計為例

分數 人數 分數 人數

<44 3 70-74 16

45-49 4 75-79 12

50-54 6 80-84 10

55-59 10 85-89 6

60-64 12 90-94 4

65-69 15 >95 2

13

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

<44 45-49 50-54 55-59 60-64 65-69 70-74 75-79 80-84 85-89 90-94 >95

平均值：70

標準差：13 觀念：

1. (分數區間人數/總

人數)為該分數區

間之出現率(機率)

2. 可由一曲線表示分

數之分佈

3. 此曲線可使用連續

性函數表示

4. 若視“機率”為

“質量”，則此曲線

之縱軸為“機率密

度”

14

15

●隨機誤差之大小，以標準誤差(中誤差)為指標，

σ為一數值，可由一組之觀測成果進行評估，其

所描述者為觀測量或成果(未知數)散佈之程度。

●常態分佈曲線：

隨機誤差之處理

16

●由重複觀測之觀測量可定出該常態曲線，σ即

為觀測量之誤差(標準誤差)

●常態分佈曲線下之面積為1 即

±σ為反曲點，σ大，則曲線扁平；σ小，則

曲線尖陡。

1)( dvvf

隨機誤差之處理

17

●曲線下某一區間之面積為機率

例如 ◎ －σ～+σ：68%

(68%之信賴區間，68%Confidence Interval)

◎ －1.65σ～+1.65σ：90%

(90%之信賴區間，90%Confidence Interval)

◎ －1.96σ～+1.96σ：95%

(95%之信賴區間，95%Confidence Interval)

●σ決定曲線之形狀，因此面對σ時，即A±σ，

所思考者：A之散佈行為

隨機誤差之處理

18

Ⅰ. 標準誤差：σ，反曲點，68%信賴區間

Ⅱ.或然 誤差：r，±r區間內，散佈曲線下之面積為1/2，即

50%信賴區間

Ⅲ.平均誤差：

其中

n

vt

i

ii lv

誤差度量之指標

19

註 1.若某一觀測量確實為常態分佈，則

σ：r：t = 1：0.6745：0.7979

2.觀測量一般假設為常態分佈，若自由度越

高，則其平均值越接近常態分佈(中央極限定理)

誤差度量之指標

20

●若

而 之標準誤差為 ，

之標準誤差為 ，

之標準誤差為 ，

………………………………

之標準誤差為 ，

則y之標準誤差為：

),.....,( 21 nxxxfy

1x1x

2x

3x

2x

3x

nxnx

2

1

2222

2

22

1

])(........)()[(21 nx

n

xxyx

f

x

f

x

f

2

1

2

1

2 ])([ix

n

i ix

f

誤差傳播定律(Error Propagation)

21

◎基本假設：

(1) 之誤差為隨機(不含錯誤或系統誤差)

(2) 誤差為常態分佈(確實可用 表示)

(3) 間誤差為獨立不相關(否則須考慮各誤差間之相

關性，使本定律複雜化)

註：本定律極為重要，於未來之內容將重複出現！

誤差傳播定律(Error Propagation)

ix

ixix

22

◎例一：

且 ， ，

求 及 =？

解：

2

3

2

2

2

1 xxxy

1.00.101 x 2.00.152 x 3.00.203 x

y

725201510 222 y

2

1

2222

2

22

1

])(........)()[(21 nx

n

xxyx

f

x

f

x

f

2

1

22

3

22

2

22

1 ])2()2()2[(321 xxx xxx

184])3.0()40()2.0()30()1.0()20[( 2

1

222222

y

y

23

◎例二： ……

若一距離L，經分段量測n次得且已知各之誤差相同

(相同之散佈曲線)均為σ，則L之誤差為若干？

L1l 2l 3l nl

解： nlllL .......21

2

1

2222

2

22

1

L ])(........)()[(

nl

L

l

L

l

L

n 2

1

222 ].....[

24

◎例三：若一距離D經重複觀測n次，得 且已

知各 之誤差相同，則其平均值D之誤差為若干？

解：

nddd ,.......,, 21

id

n

i

i

n

dD

1

nnd

D n

i

d

n

i i

D i

1])

1([])([ 2

1

1

222

1

2

1

2

25

練習題：

1.某矩形長、寬分別為30.000±0.030m，25.000±0.025m則該

矩形面積為若干？該面積誤差為若干？ 750.000m2;1.061m2

2.某圓之半徑為5.00m±0.02m，則該圓之面積及誤差分別為若干？其週長及誤差分別為若干？ 25πm2;0.628m2;10πm;0.126m

3.已知A點座標 (XA，YA) 之中誤差小至可

不計。AB間方位角φ(自北順鐘向之轉

角)之中誤差為 ，AB間水平距離d之

中誤差為

請推導：(1)

(2)

A

B

d

X

Y

φ

d

d , , Y gY d , , X fX ABAB ，

, d , , , , X h dXAX AB

, d , , , , Y k dYAY AB

26

4.承上題，計算下列子題B點 (XB，YB) 之中誤差。

(1)

(2)

(3)

(4)觀察以上計算之成果，尋找特性。 注：角度誤差需換算為“Rad”(即弧度量)計

參考答案：

0.010m 100.000md

620. 000010

d

，

，

0.010m 100.000md

5 000010

d

，

，

0.010m 100.000md

620. 0000100

d

，

，

mm 010.0 010.0 )1(BB YX

mEmE 3857.9 3952.2 )2(BB YX

mm 0.010 0.010 )3(BB YX

27

5.如圖，已知AB間距d之誤

差小至不計，僅考慮α、

β、γ之

中誤差 、 、

請推導：

α

γ

β

d A B

C

, , , , d fAC

sinsin

dAC d

γ

βFd

γ

βAC

sin

sin

sin

sin 令

2

1

2

2

2

2

2

2

dAC

d

FFF

d2

1

2

2

2

2

FFAC

cos

sin

dF

ddF

22 sin

sincos

sin

cossin

sin

sin

d

F

,,,,

sin

sincoscos

sin

2

1

2

2

2

2

2

dfdd

AC

正弦定律知 故

誤差傳播定律可知

可忽略，故 ，其中，

故，

參考答案：

28

6.承上題，計算下列各子題之σAC

(1)

(2)

(3)

(4)觀察以上計算成果，尋找特性。

γ值為90度時誤差量為最小，無論γ值增大或減小誤差

量皆會上升。

參考答案：

620.

100.000md , 90 , 45 , 45

620.

100.000md , 176 , 2 , 2

620.

100.000md , 4 , 88 , 88

mmm 046.2 )3( 160.0 )2( 007.0 )1(

29

S

7.

d

如圖，若AB的斜距 S=200.000m±0.010m

AB的高程差 Δh=10.000m±0.005m

則AB的水平距d為若干？d之標準誤差(中誤差)為若干？

參考答案： 199.749 m; 0.010 m

8. 如下圖，以三角高程測量，由A測B之高程

已知

z

α

B

i A

d

請問：(1)B點的高程為若干？ 參考答案： 200.000 m

(2)若B點之高程誤差不得大於±0.020m，則仰角α之誤差

不得超過若干？ 參考答案：σα< 8.93”

h

mmHA 010.0000.100

mmi 005.0500.1

mmd 010.0000.100 "'000045o

mmz 010.0500.1

30

若

則全微分：

誤差傳播定律：

(1)與(2)有相當之相似性，但其意義不同。

(1)式所示為各在某一定值下對y之影響

(2)式所示為由各之散佈曲線所傳遞至y而得

到y誤差之散佈曲線

)2(])(........)()[( 2

1

2222

2

22

121

nx

n

xxyx

f

x

f

x

f

)1(...........2

2

1

1

n

n

dxx

fdx

x

fdx

x

fdy

),.....,( 21 nxxxfy

誤差傳播定律與

全微分(Total Differentiation)之差異

31

例如：

公式(1)，若A=x*y且x=10.0，dx=-0.2

y=5.0，dy=+0.1

則dA=(y)*dx+(x)*dy=0

公式(2)，若x=10.0±0.2 ，y=5.0±0.1

則

2])1.0()10()2.0()5[( 2

1

2222 A

誤差傳播定律與

全微分(Total Differentiation)之差異

32

Ⅰ.影響測量成果品質之因素：

(1)觀測量之準確度：

(a) 無錯誤

(b) 無系統誤差

(c) 隨機誤差小(σ小，散佈集中)

(2)計算時模式之正確性：是否能完整描述觀測量與未知數

之間數學/物理關係

(3)未知數與觀測量間之幾何性：

是否會放大觀測量之誤差

測量成果品質與誤差傳播定律

33

Ⅱ.與誤差傳播定律之關係：假設

(1)若 大，則 大

(2)若 不完整(數學模式不全)，則 將增大

(3)若幾何性不良，則 大，使誤差放大

iii xxfy ),(

iy

)( ixfy y

ix

y

測量成果品質與誤差傳播定律

34

Ⅰ.一距離觀測n次，得 ，則該距離之最或是值

(Most Probable Value，MPV)為n次 觀測量之平均(Mean)

即

MPV=

nlll ,.......,, 21

Xn

li

直接平差(求均值)

◎此一結果乃由最小二乘法平差求得(推導過程較複雜將於

“空間資訊學概論”課程中探討，於此僅提供結果)

◎最小二乘法之基本精神：求MPV(出現機率最大之估計值)

，以滿足觀測量之修正量之平方和為最小

35

Ⅱ. 觀測量誤差之估計：

殘差 ， ，

----------(檢核)

則觀測量之標準誤差

此時假設各觀測量中誤差(散佈曲線)均相同

Xlv 11 Xlv 22 Xlv nn

0 iv

2

12

]1

[

n

直接平差(求均值)

注意：假設

但 ， ，……， 各值均不相等

因為：各 為抽樣之值(在相同之散佈，即相同σ之抽樣值不

n .........21

1v 2v nv

il

不同為理所當然)

36

Ⅲ. X(即MPV，平均值)之中誤差：

因為各 均有誤差且散佈相同，故X亦有誤差，X之準誤差

因為：X

il

2

12

))1(

(

nn

vX

n

li

2

1

2

1

22

1

2

1

2 ])([])([

n

i i

i

n

i i

Xl

x

l

x

)1

()1

(1

])1

([ 2

12

2

1

2

1

2

nn

v

nn

n

i

2

12

])1(

[

nn

v

直接平差(求均值)

37

例： ， ， ， ，

ml 010.301 ml 005.302 ml 000.303 ml 990.294

ml 995.295

則 MPV = x = 30.000 n

l

010.011 xlv

005.022 xlv

000.033 xlv

010.044 xlv

005.055 xlv

0v

觀測值中誤差

m0035.05

0079.0平均值(MPV)X之中誤差

mn

v0079.0]

)1([ 2

12

42

1 101 v

42

2 1025.0 v

02

3 v

42

4 101 v

42

5 1025.0 v

38

例： ， ， ，

， ， ，

， ， ，

，則X=？ ？

若考慮觀測量中可能有錯誤(Blunder)：

則依信賴區間做為除錯之依據

例如，以99%之信賴區間考慮(2.5σ)

則判斷：若

則 視為錯誤，並剔除之，否則接受。

5.2iv

il

ml 010.301 ml 005.302 ml 000.303

ml 990.294 ml 995.295 ml 100.306

ml 010.307 ml 005.308 ml 990.299

ml 995.2910 X

mn

lX 010.30

解：

39

， check , okay！ 0iv

mn

v032.0]

)1([ 2

12

觀測值中誤差

2.5σ=0.081而 =0.090>0.081

mv 000.01 mv 005.02 mv 010.03

mv 020.04 mv 015.05 mv 090.06

mv 000.07 mv 005.08 mv 020.09

mv 015.010

0095.02 iv

6v

表示在99%之信賴區間中， 與其餘9個 之散佈不同，故視為錯誤予以剔除。然後，用 ， ，…， ， ，… 9觀測量重行計算

6l l

1l 2l 5l 7l 10l

40

●自行練習：使用 等6個觀測量依照前例中判斷條

件， 會得到什麼結論？ 621 ,.......,, lll

注意：

1. 2.5σ，此σ為觀測值之中誤差，而非平均值之中誤差。

2. 當信賴區間改變，2.5一值亦隨之而變。

3. 當有錯誤之觀測量時，自由度降愈低，則平均值被〝污染〞

愈嚴重，故σ增大，因此2.5σ之門檻降低，以致降低偵錯

之能力。

41

◎結論： 不再被視為錯誤

◎原因：自由度不足，使得平均值被 〝污染〞嚴重，使σ增

大，而無法在相同之判標準下， 判定為錯誤。

◎因應：為提升成果之可靠度(有錯誤易被發現而剔除，使成

果變佳)，自由度之提升為必要條件。

◎其他優點：因為自由度提升，即觀測次數N增加，使平均值

中誤差(在僅含隨機誤差下)亦降低。

◎此外：若10個 中有兩個錯誤，則偵錯之能力亦顯著降低，

請依前例自行模擬數據，並練習之。

6l

6l

6l

l

42

p

plX

2

1

i

2

12

])1)((

[

nP

PvX

ip

2

i

0Pv

不等權之平均值：加權平均

， 為〝權〞

稱為Variance(變方)

check ：

例如：五組科學家分別進行光速測量，得結果如下：

298,000 km/sec±1000km/sec

298,500 km/sec±1000km/sec

299,900 km/sec±200km/sec

299,950 km/sec±1000km/sec

299,930 km/sec±100km/sec

則平均值及平均值中誤差各為若干？

(Hint)： X

i

ip

plXP

2

1自行練習

43

精密度(Precision)與精確度(Accuracy)

精密度：方法、儀器、或成果(σ)

精確度：成果(抽樣值之RMSE)

使用檢核資料

(須為更好儀器方法所得之結果)

RMSE：Root Mean Square Error

就成果而言，兩者間最大的差異：系統誤差

(假設無錯誤)

※精密度與精確度的指標分別為何？

※如何得到該指標？

本單元作業：請參考〝附錄-單元I〞