1

Sud Definicija: Sud je svaka smislena izjavna reenica koja moe biti samo istinita ili neistinita, odnosno lana. Primjer: ''Je li zrakoplov sletio?'' nije sud jer nije izjavna reenica. ''Jutro je pametnije od veeri.'' nije sud jer nema smisla, osim u prenesenom znaenju. ''Danas je etvrtak.'' je sud koji je istinit ili neistinit, ve prema danu u kojem se izgovara. ''Svaki brod je jedrenjak.'' je laan sud. ''Zemlja se vrti oko svoje osi.'' je istinit sud. Ako je sud A istinit pisat emo TA (i itati: tau a je te), a ako je neistinit pisat emo A (i itati: tau a nije te).

Osnovne operacije sa sudovima i A B * konjunkcija, oznaka: A B (itamo: a i be)

TA B tono onda kad je TA i T;B * disjunkcija, oznaka: A B (itamo: a ili be)

A B tono onda kad je A i ;B * ekskluzivna (iskljuiva) disjunkcija, oznaka: A vB (itamo: ili a ili be)

sud A vB je istinit tono onda kad je jedan i samo jedan od sudova , A B istinit;

* implikacija, oznaka: A B (itamo: a povlai be; iz a slijedi be; ako je a onda je be;

a je dovoljan uvjet za be; be je nuan uvjet za a) sud A B je laan tono onda kad je sud A istinit, a sud B laan;

* ekvivalencija, oznaka: A B (itamo: a je ekvivalentno s be; a je ako i samo ako je

be; a je nuan i dovoljan uvjet za be) sud A B je istinit tono onda kad oba suda , A B imaju istu istinosnu vrijednost

(odnosno kad su oba istinita ili oba neistinita); * negacija, oznaka: A (itamo: nije a; ne a; non a)

A tono onda kad je .A Za sudove , A B i C vrijede DeMorganovi zakoni:

,

,

A B A B

A B A B

i zakoni distribucije:

,

.

A B C A B A C

A B C A B A C

2

Primjer: Pokaimo da vrijedi prvi DeMorganov zakon usporeujui tablice istinitosti sudova

A B i .A B

A B A B A B T T T T T

T T

T

A B A B A B T T T T T

T T T

T T T

Dakle, sudovi A B i A B u svakom od 4 mogua sluaja imaju istu istinosnu

vrijednost pa je sud A B A B zaista uvijek istinit. Zadatak: Pomou tablica istinitosti pokaite da vrijede preostali zakoni. Definicija: Otvorena reenica ili predikat je svaka izjavna reenica koja sadri nepoznanice i koja postaje sud kad sve te nepoznanice poprime odreene vrijednosti. Primjer: '' x je roen prije .y '' je izjavna reenica s nepoznanicama x i y koja postaje sud ako su x i

y dvije osobe. Dakle, '' x je roen prije .y '' je predikat.

Predikat s dvije nepoznanice oznaavamo s , .P x y U prethodnom primjeru P predstavlja odnos ''je roen prije'' izmeu nepoznanica x i .y

Kod izraavanja pomou predikata koristimo kvantifikatore:

* univerzalni, ,x P x odnosno za svaki x je ,P x i

* egzistencijalni, ,x P x odnosno postoji x takav da je P x te ! ,x P x

odnosno postoji tono jedan (jedan i samo jedan, jedinstveni) x takav da je .P x Primjer:

Neka P x glasi 2 16.x Tada vrijedi:

,

T,

! ,

! T.

x P x

x P x

x P x

x P x

3

Skup Skup je osnovni matematiki pojam koji se ne definira, tj. ne svodi na neke ''jednostavnije'' pojmove. Skup je zadan, odnosno sasvim odreen, ako su poznati svi elementi (lanovi) tog skupa. Skupove emo oznaavati velikim, a njihove elemente malim slovima. Ako je s element skupa ,S pisat emo ,s S a ako t nije element skupa ,S pisat emo .t S S

oznaavamo prazan skup, odnosno skup bez elemenata. Ako skup X ''nema mnogo''

elemenata, primjerice, ako su , , ,x y z w svi elementi skupa ,X onda piemo , , , .X x y z w Zadatak: Ponovite pojmove podskupa, nadskupa, unije skupova, presjeka skupova i razlike skupova te osnovna svojstva tih operacija. Definicija:

Partitivni skup skupa X je skup, u oznaci 2 ,X iji su elementi svi podskupovi skupa .X

Primjer:

Ako je , , ,X x y z onda je 2 , , , , , , , , , , .X x y z x y x z y z X

Relacija Definicija:

Svaki dvolani skup, npr. , ,X x y se zove par. Dogovorimo li se da emo jednom elementu para, recimo ,x dati ''prednost'' tako da ga uvijek piemo ispred onoga drugoga - ,y

dobivamo ureeni par , .x y Dakle, par ,x y je jednak paru , ,y x dok za ureene

parove ,x y i ,x y vrijedi:

, , .x y x y x x y y

Po dogovoru, ureenim parom smatramo i ''par'' , .x x Definicija: Direktni ili Kartezijev produkt nepraznog skupa X nepraznim skupom ,Y u oznaci

,X Y je skup svih ureenih parova , ,x y pri emu je x X i .y Y Dakle,

, : .X Y x y x X y Y U sluaju X Y stavljamo .X Y Primjer:

Ako je 1,2,3X i , ,Y a b onda je 1, , 1, , 2, , 2, , 3, , 3, .X Y a b a b a b Posebno je vaan direktni produkt skupa X samim sobom, tj.

2 , : , .X X X x x x x X Definicija: Binarna relacija (ubudue relacija) na skupu X je svaki podskup (oznaimo ga s R ) skupa

.X X Kaemo da je x u relaciji R s ,x i piemo xRx ili , ,R x x ako i samo ako je

, .x x R

4

Relacija R na skupu X je: * refleksivna ako i samo ako je xRx za svaki ;x X

* simetrina ako i samo ako xRy yRx za svaki par , ;x y X

* tranzitivna ako i samo ako xRy yRz xRz za svaka tri elementa , , ;x y z X * relacija ekvivalencije (klasifikacije) ako i samo ako je refleksivna, simetrina i

tranzitivna. Primjer: Neka je X skup ljudi te neka je xRy ako su x i y roeni istog dana. Oito , ,x y z X

vrijedi:

, , ,xRx xRy yRx xRy yRz xRz pa je R relacija ekvivalencije (na skupu X ). Relacija ekvivalencije na skupu X cijepa taj skup na meusobno disjunktne podskupove (tj. podskupove koji se meusobno ne sijeku), tzv. klase ekvivalencije. Skup X se moe na jedinstven nain prikazati kao unija tih klasa ekvivalencije. U prethodnom primjeru jednu klasu ekvivalencije ine sve osobe roene istog dana. Definicija: Relacija parcijalnog ureaja (itamo: manje ili jednako) na skupu X je svaka relacija na skupu X koja je refleksivna, tranzitivna i antisimetrina to znai da za svaki par ,x y X

vrijedi:

.x y y x x y Ako je x y i ,x y piemo .x y Takoer, x y moemo pisati i kao y x ( itamo:

vee ili jednako). Ako su, dodatno, svaka dva elementa skupa X u relaciji , odnosno ,x y X vrijedi

,x y y x onda je relacija potpunog ureaja, a X je (potpuno) ureen skup.

Primjeri: Skup ljudi je ureen s relacijom , ako je definirana sa

x y x nije stariji (vii, laki) od .y

Skupovi , , i su ureeni sa standardnom relacijom ureaja .

Definicija:

Na ureenom skupu ,X definiraju se sljedei skupovi:

* zatvoreni interval , : ,a b x X a x b * otvoreni interval , : ;a b x X a x b * poluotvoreni intervali:

, : ;

, : ;

, : ;

, : .

a b x X a x b

a b x X a x b

b x X x b

a x X a x

5

Definicija:

Neka je A neprazan podskup ureenog skupa , .X Element m X je donja mea skupa A ako i samo ako a A vrijedi .m a Skup A je omeen odozdo ako i samo ako ima bar jednu donju meu. Element inf A X je najvea donja mea ili infimum skupa A ako i samo ako vrijedi: * inf A je donja mea od ;A

* za svaku donju meu m skupa A vrijedi inf .m A Element min A A je najmanji element ili minimum skupa A ako i samo ako je ujedno i donja mea skupa .A Zadatak: Definirajte pojmove gornja mea, skup omeen odozgo, najmanja gornja mea ili supremum, najvei element ili maksimum. Primjeri:

Neka je X i 4,5,6 .A Donje mee skupa A su brojevi 1, 2, 3 i 4. Najvea donja mea je inf 4,A a kako je 4 ,A to je i min 4.A Gornje mee skupa A su brojevi

6, 7, 8, ..., a sup max 6.A A

Neka je X i 5,10 .A Donje mee skupa A su svi realni brojevi manji ili jednaki 5 i

vrijedi inf min 5.A A Gornje mee skupa A su svi realni brojevi vei ili jednaki 10, pa je sup 10,A dok A nema maksimum jer nijedan element skupa A nije gornja mea od .A

Zadatak: Pokaite da su infimum, supremum, minimum i maksimum jedinstveni (ukoliko postoje).

Funkcija Definicija: Funkcija ili preslikavanje sa (iz) skupa X u skup Y je svako pravilo f po kojemu se

svakom elementu x X pridruuje jedinstveni element .y Y Uobiajeni zapis takve

funkcije je

:f X Y ili .y f x Kad su u nekom razmatranju X i Y poznati i nepromjenjivi, esto se, jednostavnosti radi, i samo pravilo f naziva funkcijom.

Skup X se zove podruje definicije ili domena funkcije ,f skup Y je podruje

vrijednosti ili kodomena funkcije ,f x je nezavisna varijabla ili argument funkcije ,f a

y zavisna varijabla funkcije .f Domenu X funkcije ,f tj. skup svih vrijednosti nezavisne

varijable x za koje je funkcija f doista definirana, jo oznaavamo s .fD

Skup svih vrijednosti koje poprima zavisna varijabla oznaavamo s fR i zovemo slika

funkcije .f Dakle,

: .f fR y Y x D y f x Y

6

Definicija: Funkcije f i g su jednake, odnosno ,f g ako i samo ako vrijedi:

, .f g fD D f x g x x D

Ako je funkcija zadana samo pravilom ,f npr. 2 5 6,f x x x onda se pod njenom domenom fD podrazumijeva najvei mogui podskup skupa takav da je

.fx D f x Dakle,

: .fD x f x Primjeri:

Ako je 2 5 6,f x x x onda je

2 2: 5 6 : 5 6 0 \ 2,3 .fD x x x x x x

Funkcije f x x i 2x

g xx

nisu jednake jer je ,fD dok je \ 0 .gD

Definicija: Kompozicija funkcija :f X Y i : ,g V Z gdje je ,fR V je funkcija :h X Z

definirana pravilom .h x g f x Jo se koristi i oznaka .h g f Pokaimo da je kompozicija funkcija asocijativna, odnosno da je

.h g f h g f Za proizvoljni x iz domene kompozicije vrijedi

h g f x h g f x h g f x h g f x h g f x pa tvrdnja slijedi iz definicije jednakosti funkcija. Definicija: Funkcija g je restrikcija ili suenje funkcije f na skup ,gD a funkcija f je ekstenzija ili

proirenje funkcije g na skup fD ako i samo ako je g fD D i g x f x za svaki ,gx D

Primjer:

Funkcija 2x

g xx

je restrikcija funkcije f x x na skup \ 0 .gD

Jo se koristi i oznaka .gD

g f

Funkcija f je jedna (od beskonano mnogo) ekstenzija funkcije g na skup .fD

7

Naime, svaka funkcija h definirana pravilom , za 0 , za 0

,, za 0, za 0

g x x x xh x

r xr x

pri emu je r bilo koji realan broj, je ekstenzija funkcije g na skup .hD

Definicija: Funkcija :f X Y je:

* surjekcija ili preslikavanje na ako i samo ako je ;fR Y

* injekcija ili 1 - 1 preslikavanje ako i samo ako f x f x x x za svaki par , ;x x X

* bijekcija ili obostrano jednoznano preslikavanje ako i samo ako je surjekcija i injekcija.

Primjer:

Identiteta, odnosno funkcija :Xi X X definirana pravilom ,Xi x x je bijekcija. Teorem: Funkcija :f X Y je bijekcija ako i samo ako postoji funkcija :g Y X takva da je

Xg f i i .Yf g i Funkcija g je, takoer bijekcija, jedinstvena je, a zove se inverzna

funkcija funkcije f i oznaava s 1.f

Dokaz teorema (za bolju ocjenu pogledati sami). Definicija: Skupovi X i Y su ekvipotentni, odnosno imaju jednako mnogo elemenata, ako i samo ako postoji bijekcija izmeu ta dva skupa. Ekvipotencija, odnosno relacija ''biti ekvipotentan sa'', je oito relacija ekvivalencije na skupovima. Klasa ekvivalencije kojoj pripada neki skup X zove se kardinalni broj skupa X i oznaava s card .X Definicija: Skup X je beskonaan, odnosno ima beskonano mnogo elemenata, ako i samo ako je ekvipotentan sa svojim pravim podskupom. Skup X je konaan ako i samo ako nije beskonaan. Primjer: Skup prirodnih brojeva je beskonaan jer je funkcija definirana pravilom

2f n n bijekcija izmeu skupa svih prirodnih brojeva i skupa svih parnih prirodnih brojeva. Dakle, svih parnih prirodnih brojeva ima jednako mnogo kao i svih prirodnih brojeva.

8

Dodatak o skupovima

,A B odnosno sud A B je istinit, ako i samo ako je svaki element skupa A ujedno i

element skupa .B

;

;

\ ;

;

x A B x A x B

x A B x A x B

x A B x A x B

x C A x A

*

**

*

;

;

\ ;

;

x A B x A x B

x A B x A x B

x A B x A x B

x C A x A

Zadatak: Koristei sudove, dokaimo da za proizvoljne neprazne skupove , ,A B D vrijede sljedee

skupovne jednakosti:

a) ;C A B C A C B prvi DeMorganov zakon za skupove

b) .A B D A B A D prvi zakon distribucije za skupove Rjeenje: a)

*

.

x C A B x A B x A x B

x C A x C B x C A C B

b)

***

;

x A B D x A x B D x A x B x D

x A x B x A x D x A B x A D

x A B A D

Napomena: Ekvivalencija * je prvi DeMorganov zakon za sudove. Ekvivalencija ** je drugi DeMorganov zakon za sudove. Ekvivalencija *** je prvi zakon distribucije za sudove.