Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica

w Krakowie

Sterowanie odporne

Bartosz Laszczyński IMIR IV

- 1 -

Metody sterowania podzielić można ze względu na charakter sygnałów sterujących będących bądź sygnałami ciągłymi, bądź też dyskretnymi. W pierwszym przypadku, wszystkie sygnały w układzie, przetwarzane są w sposób ciągły, we wszystkich jego elementach. W drugim przypadku, sterowanie realizowane jest za pomocą sygnałów nieciągłych, czyli dyskretnych. Taki model regulacji rozpowszechnił się wraz z wprowadzeniem jednoukładowych mikroprocesorów, zdolnych do przetwarzania skomplikowanych algorytmów. Wymusiło to wprowadzenie przetwarzania sygnału analogowego na cyfrowy i odwrotnie. Takie działanie wprowadza pewne szumy pomiarowe, stanowiące dodatkowe źródło zakłóceń.

Sterowanie cyfrowe można podzielić na: • sterowanie klasyczne PID • sterowanie adaptacyjne • sterowanie odporne • sterowanie nieostre • sterowanie metodami sztucznych sieci neuronowych • sterowanie z maksymalnym wzmocnieniem

Klasyczne metody projektowania układów sterowania, do których należą metody sterowania optymalnego oraz różne metody algebraiczne, wymagają znajomości modelu matematycznego obiektu i parametrów tego modelu. Jednak wyznaczenie dokładnego modelu obiektu z oceną wartości jego parametrów jest często zadaniem bardzo trudnym, zwłaszcza wtedy, gdy właściwości obiektu zmieniają się w trakcie pracy. W związku z tym, stosowane w praktyce modele jedynie w przybliżeniu opisują właściwości obiektów. W teorii sterowania, od pewnego czasu, rozwijane są metody projektowania układów sterowania takie, jak wymienione wyżej, sterowanie odporne (krzepkie) i adaptacyjne, niewymagające dokładnej znajomości modelu obiektu i uwzględniające w sposób jawny występowanie niepewności.

W metodzie sterowania odpornego na podstawie posiadanej wiedzy obiekcie, określa się dokładność modelu za pomocą przewidywanego przedziału zmienności każdego z parametrów. Następnie projektuje się regulator, składający się z członu kompensującego nieliniowości obiektu i członu stabilizującego tak, aby układ zamknięty pracował poprawnie dla każdego obiektu mieszczącego się w założonych granicach zmienności parametrów. Otrzymany w ten sposób regulator nosi nazwę regulatora odpornego. Zaletą tej metody syntezy algorytmów sterowania jest jej prostota i duża pewność działania układu. Do wad opisanego podejścia należy zaliczyć fakt, że w praktyce najmniejsze wartości ograniczeń zakłóceń parametrycznych i nieparametrycznych są rzadko dostępne i stosuje się ich zawyżone wartości, co może powodować odmienne amplitudy sygnału sterowania, a w konsekwencji występowanie poślizgów.

Układy oparte o sterowanie odporne, znajdują zastosowanie w sytuacjach, gdy sterowany obiekt może znacznie zmieniać swoje parametry, a układ musi się do nich dostosowywać.

Aby zająć się dokładnie sterowaniem odpornym należy wprowadzić definicję sterowalności. Jest to własność układu sterowania, polegająca na tym, że istnieje sterowanie przeprowadzające układ w pewnym skończonym przedziale czasu do zadanego stanu, przy spełnieniu warunku początkowego.

Z matematycznego punktu widzenia układy sterowania odpornego maja strukturę składającą się ze sprzężenia kompensującego i sprzężenia zwrotnego.

- 2 -

Uproszczony model układu sterowania odpornego

Na powyższym rysunku wprowadzono oznaczenia: r – śledzony sygnał odniesienia, y – sygnał wyjściowy, d – sygnał zakłócający, n – szum pomiarowy. Zależność łącząca wprowadzone oznaczenia:

nGK

GKdGK

rGK

GKy+

−+

++

=11

11

Proces projektowania układu sterowania opiera się o wyznaczenie funkcji wrażliwości S i komplementarnej do niej funkcji T. Obie funkcje stanowią ograniczenie w dziedzinie częstotliwości odpowiednio od dołu i góry, a ich ukształtowaniem zajmuje się odpowiednio skonstruowany kompensator. Przebiegi obu funkcji przedstawione zostały na poniższym rysunku.

Funkcje wrażliwości

Skonstruowany układ ze sprzężeniem zwrotnym musi być stabilny i musi realizować pewne założenia dotyczące jego zachowania, zwane założeniami nominalnymi. Mowa jest wtedy o stabilności i odporności zachowania. Powyższe wymogi nie zawsze są spełnione, gdyż do śledzonego układu dodaje się sygnał zakłócający przychodzący na wyjście, oraz szum pomiarowy dodający się do sygnału wyjściowego w pętli sprzężenia zwrotnego. Ze względu na małą znajomość sterowanego obiektu, dodatkowo wprowadza się pojęcie niepewności, co daje praktyczne możliwości weryfikacji stabilności zaprojektowanej pętli sprzężenia zwrotnego w założonych granicach. Niepewność dzieli się na:

• niepewność parametryczną – znana jest funkcja transmitancji oraz przedziały wartości do których należą nieznane jej parametry

• niepewność strukturalną – dokładna postać funkcji transmitancji nie jest znana, jednak wiadomo, że odpowiedź systemu leży w pewnych granicach

Do modelowania obu rodzajów niepewności najczęściej wykorzystuje się:

• niepewność addytywną:

- 3 -

Schemat przedstawiający niepewność addytywną

)()()( sNGsGsa −=Δ

• niepewność multiplikowała:

Schemat przedstawiający niepewność multiplikatywną

)(

)()()(

sNG

sNGsGsm

−=Δ

Warunki zapewniające odporność można otrzymać, w przypadku niepewności parametrycznej, z twierdzenia Kharitonova, a w przypadku niepewności strukturalnej, z twierdzenia o małym wzmocnieniu.

Twierdzenie o małym wzmocnieniu mówi, że jeżeli Δm i G(s) są stabilne i

11<Δ⋅

+⋅ m

NGING to stabilny jest także cały układ w zamkniętej pętli sprzężenia

zwrotnego.

Rozważany układ

- 4 -

Przypuśćmy że dla pewnych stałych 02,1,2,1 ≥ββγγ , operatory H1 i H2 spełniają poniższe

nierówności:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+≤

+≤

22)2,2(

11)1,1(

βγ

βγ

ptepteH

ptepteH

.,...,2,1 tp ∀∞=

Jeżeli 12,1 ≤γγ to

)211(122221

1 γγ

βγβγ

−

+++≤ ptu

ptu

pte

)211(211112

2 γγ

βγβγ

−

+++≤ ptuptu

pte

Jeżeli ponadto ,1u ∞<2u to e1, e2, y1, y2 mają skończone normy. Normy e1 i e2 są

ograniczone przez prawe strony.

Powyższe twierdzenie pozwala stwierdzić czy układ w zamkniętej pętli sprzężenia zwrotnego pozostanie stabilny, lub określić jakie najmniejsze zakłócenie jest w stanie wytrącić układ ze stabilności. Ogólnie twierdzenie o małym wzmocnieniu gwarantuje stabilność systemu pod warunkiem 12,1 <γγ .

Twierdzenie Kharitonova mówi nam że dany wielomian ,0...11)( ansnanssa ++−

−+=

],,[ iaiaa∈ to jest on ściśle wielomianem Hurwitza wtedy i tylko wtedy, gdy każdy z czterech wielomianów Kharitonova jest także wielomianem Hurwitza.

nssasasasasaasK

nssasasasasaasK

nssasasasasaasK

nssasasasasaasK

+++++++=

+++++++=

+++++++=

+++++++=

...55

44

33210)(4

...55

44

33210)(3

...55

44

33210)(2

...55

44

33210)(1

- 5 -

Struktura odpornego układu regulacji z modelem obiektu

+y0(s) Rm(s) M(s)

R(s)

P(s)

-

em

um(s)

+

+ uR(s)

+ +

+

-

ym(s)

y(s)

d(s)

Dwupętlowa struktura odpornego układu regulacji Model Following Control (MFC)

Na rysunku wprowadzono oznaczenia transmitancji: P(s) – obiektu (procesu), R(s) – regulatora obiektu, M(s) – modelu obiektu, Rm(s) – regulatora modelu.

Powyższa struktura wykorzystuje model procesu sterowanego. Jest to podstawowa struktura odpornego układu regulacji z modelem obiektu. Nie jest to jednak struktura adaptacyjna, bo w czasie sterowania zarówno algorytm sterowania, jak i jego parametry pozostają stałe mimo zmian parametrów procesu i/lub zakłóceń. Charakterystyczną cechą tej struktury jest to, że obiekt perturbowany lub o niepewnych parametrach sterowany jest sumą sygnałów: z regulatora modelu procesu Rm(s) i regulatora procesu (korekcyjnego) R(s).

Strukturę tę cechują następujące właściwości:

• prostota układu • wysoka odporność na perturbacje występujące w obiekcie sterowanym • bardzo dobre tłumienie zakłóceń • porównywalne własności do układów adaptacyjnych, ale osiągalne w

prostszym układzie

Zależności obowiązujące w układzie na schemacie:

)()(1

)()()(0)(

sMsmR

sMsmRsysmy

+=

)()(1)()(0)(

sMsmRsMsysmu

+=

)()(1)(

))()(1))(()(1(

))()(1)(()()(0)(

sRsPsd

sMsmRsRsP

sMsmRsPsmRsysy

++

++

+=

Po uproszczeniu podstawiając do wzoru na y(s) wzór ym(s) otrzymujemy:

- 6 -

)()(1)(

))()(1(

))()(1)(()()(

sRsPsd

sPsR

sMsmRsPsmysy

++

+

+=

Zwykle regulator jest projektowany dla pewnego modelu reprezentującego obiekt lub proces rzeczywisty. Stąd transmitancja modelu różni się zazwyczaj od transmitancji procesu o pewną wielkość perturbacji Δ(s):

))(1)(()( ssMsP Δ+=

Perturbacje te mają różne źródła, np. pochodzą z błędów identyfikacji, modelowania, zbytniego uproszczenia przyjętego modelu, nieliniowości występujących w procesie, fluktuacji jego parametrów itp.

Uwzględniając zależność na P(s) w zależności na y(s), otrzymuje się dla struktury przedstawionej na schemacie:

))(1)(()(11)(

))(1)(()(1)(1)()(

ssMsRsd

ssMsRssmysy

Δ+++⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡Δ++

Δ+=

Układ regulacji przedstawiony na schemacie powyżej cechuje się bardzo małą wrażliwością (dużą odpornością) na zmiany parametrów obiektu. Z powyższej zależności wynika, że regulator modelu o transmitancji Rm(s) działa tylko na ym(s), a kluczowe znaczenie w likwidacji perturbacji obiektu ma (procesu) i zakłóceń ma regulator procesu o transmitancji R(s).

Wpływ zakłóceń i perturbacji obiektu na sygnał wyjściowy jest mniejszy, jeżeli moduł funkcji przejścia regulatora R(s) jest mniejszy od modułu funkcji przejścia regulatora modelu Rm(s) w całym przedziale pulsacji ω:

)()( ωω jmRjR >

Warunek ten nie zawsze może być spełniony, ponieważ )(sR jest ograniczony od góry, co wynika z równania charakterystycznego:

0))(1)(()(1 =Δ++ ssMsR

a )(smR jest ograniczony od dołu, co wynika z warunku dostatecznie dobrego śledzenia

wartości zadanej (wyprowadzonego wcześniej wzoru na ym(s)). Dla układ

regulacji traci swoje własności i staje się jednopętlowym klasycznym układem regulacji automatycznej.

)()( smRsR =

Zwykle regulator R(s) jest projektowany przy zachowaniu mniejszego marginesu stabilności niż regulator Rm(s) w strukturze klasycznej.

- 7 -

Analiza przykładowych struktur regulacji odpornej przy użyciu oprogramowania Matlab Simulink:

Do analizy struktury przyjąłem następujące dane:

• transmitancja procesu:

3)12)(13)(1(

1)(+++

=sss

sP

• proporcjonalny regulator R(s) procesu, modelu procesu o transmitancji:

3)13(

1)(+

=s

sM

• proporcjonalny regulator Rm(s) modelu procesu.

Proces

Model

Charakterystyki skokowe procesu P(s) i modelu M(s)

Powyższy wykres obrazuje różnicę (perturbację Δ(s)) pomiędzy procesem P(s), a modelem obiektu M(s) dla przyjętych danych.

Analiza układu z proporcjonalnym regulatorem obiektu

umym

ys

ur

em

yo

yMFC

d

2

Rm

0.6

R

1

3s +4s+12

Proces2

1

8s +12s +6s+13 2

Proces1

1

3s+1Model3

1

3s+1Model2

1

3s+1Model1

Schemat struktury MFC z modelem obiektu i proporcjonalnym regulatorem obiektu zaprojektowany w

Matlab Simulink

- 8 -

Przebieg wielkości regulowanej w układzie MFC przy skokowej zmianie wartości zadanej

Porównanie właściwości układu sterowania MFC z klasycznym:

um

ym

ys

ur

em

Uklad klasyczny

yoym

modelu

y MFCy klas

yprocesu

yMFC

d

d

2

Rm

2

R

0.6

R

1

3s +4s+12

Proces2

1

3s +4s+12

Proces2

1

8s +12s +6s+13 2

Proces1

1

8s +12s +6s+13 2

Proces1

1

3s+1Model3

1

3s+1Model2

1

3s+1Model1

Układu regulacji z modelem obiektu do porównania sterowania MFC z klasycznym, zaprojektowany w

Simulinku

- 9 -

yklas

yMFC

Przebieg wielkości regulowanej w klasycznym układzie regulacji yklas i MFC yMFC

yMFC

yklas

Przebiegi wielkości regulowanej w klasycznym układzie regulacji i MFC przy zmianie stałej czasowej procesu P(s) z 3sec do 10sec

yMFC

yklas

Przebiegi wielkości regulowanej w klasycznym układzie regulacji i MFC przy zmianie stałej czasowej procesu P(s) z 3sec do 0.3sec

Z przebiegów na powyższych charakterystykach wynika, że nasz układ sterowania odpornego z modelem obiektu sprawdza się lepiej niż klasyczny układ sterowania oparty na tradycyjnym regulatorze dla badanego modelu.

- 10 -

Układ posiada mniejsze przeregulowania oraz krótszy czas regulacji w porównaniu do układu klasycznego.

Analiza układu z regulatorem PI obiektu

ym

ys

yo

ymmodelu

yMFC

0.5

kp

1.4

kp

d

1

3s +4s+12

Proces2

1

8s +12s +6s+13 2

Proces1

1

3s+1Model3

1

3s+1Model2

1

3s+1Model1

1s

I

1s

I

1/15

1/Ti

1/8

1/Ti

Schemat struktury MFC z modelem obiektu i regulatorem obiektu PI zaprojektowany w Matlab

Simulink

Przebieg wielkości regulowanej w układzie MFC przy skokowej zmianie wartości zadanej

- 11 -

Porównanie właściwości układu sterowania MFC z klasycznym:

ym

ys

Uklad klasyczny

yo

ymmodelu

y MFCy klas

yprocesu

yMFC

1.4

kp1

0.5

kp

1.4

kp

d

d

1

3s +4s+12

Proces2

1

3s +4s+12

Proces2

1

8s +12s +6s+13 2

Proces1

1

8s +12s +6s+13 2

Proces1

1

3s+1Model3

1

3s+1Model2

1

3s+1Model1

1s

I1

1s

I

1s

I

1/8

1/Ti1

1/15

1/Ti

1/8

1/Ti

Układu regulacji z modelem obiektu do porównania sterowania MFC z klasycznym, zaprojektowany w

SimulInku

yklasyMFC

Przebieg wielkości regulowanej w klasycznym układzie regulacji yklas i MFC yMFC

- 12 -

yMFC

yklas

Przebiegi wielkości regulowanej w klasycznym układzie regulacji i MFC przy zmianie stałej czasowej procesu P(s) z 3sec do 10sec

yMFC

yklas

Przebiegi wielkości regulowanej w klasycznym układzie regulacji i MFC przy zmianie stałej czasowej procesu P(s) z 3sec do 0.3sec

- 13 -

yMFC

yklas

Przebiegi wielkości regulowanej w klasycznym układzie regulacji i MFC przy zmianie wzmocnienia regulatora PI z 1/8 na 1/3

Zwiększenie wzmocnienia regulatora PI z 1/8 do 1/3 spowodowało, że układ klasyczny stał się niestabilny, podczas gdy układ MFC wciąż jest stabilny. Udowadnia to, że układ MFC oprócz mniejszej wrażliwości na zmiany parametrów obiektu jest również mniej wrażliwy na zmiany parametrów regulatora w porównaniu do odpowiadającego mu klasycznego układu sterowania.

Porównanie układu sterowania odpornego z regulatorem obiektu proporcjonalnym i odpowiadającego mu układu sterowania z regulatorem PI wykazuje, że w odpornym układzie sterowania jako regulatory obiektu można stosować te same regulatory, co w układzie klasycznym. Różnice odpowiedzi skokowych pomiędzy różnymi rodzajami regulatorów dla układu sterowania odpornego z modelem obiektu są adekwatne do różnic pomiędzy tymi regulatorami w układzie klasycznym.

Z przebiegów na powyższych charakterystykach wynika, że nasz układ sterowania odpornego z modelem obiektu sprawdza się lepiej niż klasyczny układ sterowania oparty na tradycyjnym regulatorze i może z powodzeniem zastępować klasyczny układ sterowania. Jego poziom skomplikowania jest większy niż układów klasycznych, ale jednak dużo mniejszy niż w układach adaptacyjnych, a własności otrzymane są dużo lepsze od klasycznych i porównywalne do układów adaptacyjnych. W efekcie otrzymaliśmy prosty układ o dużej pewności działania potrafiący sterować obiektem o parametrach zmiennych w pewnym przediale.

- 14 -

Bibliografia:

Opracowanie Krzysztofa Habowskiego z Politechniki Wrocławskiej „Sterowanie Adaptacyjne i Odporne”

M.Giergiel, Z.Hendzel, W.Żylski „Modelowanie i sterowanie mobilnych robotów kołowych”

Jerzy Brzózka „Regulatory i Układy Automatyki”

- 15 -