FREKANS DAĞILIMLARI

KONU: Frekanslar, Sınıf Ortalaması, Sınıf Aralığı, Histogram ve Histogram Oluşturma, Frekans Dağılımlarının Grafikle Gösterilmesi

Araştırmalarda elde edilen veriler genellikle düzensiz ham verilerdir. Toplanan veriler kolay ve anlaşılır bir biçimde düzenlenebilir. Bu düzenleme çeşitli şekillerde yapılabilir. Verileri küçükten büyüye doğru sıralayıp düzenli hale getiren yöntemlerden bir tanesi gövde-yaprak (stem –and-leaf) görüntüsü yöntemidir. Yöntemde sayılar basamaklarına ayrılarak bir kısmı gövde bir kısmı da yaprak şeklinde gösterilir.

Örnek: Aşağıdaki sayılar saat 24 ile 7 arasında bir telefon santraline gelen toplam 911 çağrının 36 günlük dağılımını göstermektedir.

22 76 6 23 54 31 30 27 35 19 71 48 17 30 48 28 105 22 63 41 26 37 35 44 11 41 64 65 52 63 8 34 38 32 43 30 Bu verileri gövde-yaprak şeklinde düzenleyelim:

gövde yaprak 10 57 1, 66 3,3,4,55 2,44 1,1,3,4,8,83 0,0,0,1,2,4,5,5,7,82 2,2,3,6,7,81 1,7,90 6,8

gövde-yaprak gösteriminde verilerin ranj değeri de belirlenerek bazı istatistik ölçülerin hesaplanması kolaylaşır. Ranj için ilk veri 1 den başlayacak şekilde tüm veriler sırayla numaralandırılır.06 ya 1, 08 e 2, 11 e 3, 17 ye 4 ranj numarası verilerek devam edilir. Veriler derecelendirildikten sonra istatistikte çok kullanılan bir ortalama ölçüsü medyan kolaylıkla hesaplanabilir. Medyan sıranmış bir dizide tam ortadaki elemanın değeridir. Eğer dizinin eleman sayısı çift ise ortadaki iki elemanın aritmetik ortalaması alınır. Örnekteki verilere uygularsak;

Veri sayısı 32 olduğu için 18. ve 19. elemanların ortalaması alınacaktır. Her iki elemanın değeri de 35 olduğundan (35+35 )/2 = 35 medyan değeridir

1

Aşağıdaki veri grubunu gövde-yaprak şeklinde düzenleyiniz.(60 adet)

5,9 7,7 8,9 5,2 7,3 7,7 6,3 7,3 5,7 5,65,6 6,7 6,9 7 7,3 6,2 6,5 6,5 9,2 7,14,1 4,9 7,5 7,5 9,6 7,9 5,3 5,5 6,1 6,18,3 8,1 8,1 4,5 7,3 9,4 5,8 6,7 6,7 6,96,9 7,1 6,9 7,7 7,7 8,1 8,7 6,5 6,7 9,17,1 6,3 5,1 7,3 8,3 8,9 9,3 5,7 6 5,9

gövde yaprak 9. 1,2,3,4,68. 1,1,1,3,3,7,9,97. 0,1,1,1,3,3,3,3,3,5,5,7,7,7,7,9 6. 0,1,1,2,3,3,5,5,5,7,7,7,7,9,9,9,95. 1,2,3,5,6,6,7,7,8,9,94. 1,5,9

Sınıflama

İncelenen vasfın aynı şıkkına sahip birimleri kümeler halinde bir araya getirme işlemine sınıflama (tasnif) denir. Vasıfların çeşitli şıklarının kütlede kaç defa tekrarlandığını gösteren sayılar frekans adını alır. Bir sınıfa düşen veri sayısı o sınıfın frekansıdır diyebiliriz. Verilerin sınıflar ve bu sınıflara karşı gelen frekanslar şeklinde düzenlenmesine frekans dağılımı veya frekans tablosu denir.

Örnek: 100 kişilik bir sınıfta öğrenciler yaş vasfının şıklarına göre sınıflanıyor.

Yaş ( şıklar ) frekans(n)

18 2119 2520 3021 1822 6

toplam 100

Ele alınan vasfın şıkları çok sayıda ise sınıflamada sorun çıkabilir. Bu durumda gruplamaya başvurulur.

2

Sınıf Sayısının Belirlenmesi

• Genel olarak frekans dağılımları oluşturulurkenKullanılacak sınıf sayısı 5 ile 15 arasındaOlmalıdır. Eldeki toplam veri sayısı kullanılarakGerekli sınıf sayısını belirlemek mümkündür.k:sınıf sayısın:toplam veri sayısı

...... Eşitsizliği sağlanmalıdır.

Sınıf Aralığının Belirlenmesi

• Sınıf aralığı seçerken yuvarlak rakamlarKullanılmalı• Birinci sınıfın alt limiti sınıf aralığının çift bir katıOlmalı• Sınıf aralıkları birbirleri ile örtüşmemeli• Açık sınıf aralıklarından kaçınılmalı

Gruplama

Bir vasfın birbirine yakın olan şıklarını bir araya getirmeye gruplama denir. Örneğin meslek istatistikleri yapılırken serbest çalışan doktor, avukat, dişçi, tüccar gibi meslekler “serbest meslekler” grubuna alınmaktadır. Gruplama ile toplanan veriler hakkında daha geniş ve açık bilgiler alınabileceği gibi, her gruba düşen frekans sayısı da büyür. Gruplamanın bu yararları yanında bazı sakıncaları da vardır. Örneğin grup sınırlarının belirtilmesi önemli bir sorundur. Günlük gelirleri “12-16 dolar”, “16-20 dolar” gibi grupladığımızda, 16 doların hangi gruba gireceği belirsizdir. Bu durumda “12-16 dolardan az”, “16-20 dolardan az” şeklinde bir gruplamaya gidilmelidir. Gruplamada grup sayısı genellikle 7-20 arasında tutulmaktadır. Nicel vasıflara göre yapılan gruplamada gruplara “sınıf”, gruba girebilecek en küçük şıkkın değerine “ sınıf alt sınırı”, en büyük şıkkın değerine de “sınıf üst sınırı”, bunlar arasındaki farka “sınıf aralığı” ve sınıf sınırlarının aritmetik ortalamasına “sınıf ortalaması” adı verilir.

3

Örnek:1993 verileri kullanılarak dünyadaki 30 büyük şehir nüfuslarına göre gruplandırılarak frekans dağılımları gösterilmektedir.

Nüfus grupları(*1000 kişi) şehir sayısı(frekans)

3000 - 4000 den az 64000 - 5000 den az 65000 - 6000 den az 46000 - 7000 den az 67000 - 8000 den az 28000 - 9000 den az 49000 ve üzeri 2

Yukarıdaki örnekte 3000-4000 den az sınıfının alt sınırı ”3000”, üst sınırı “4000” , sınıf Aralığı “ 4000-3000=1000” ve ortalaması “(3000+4000)/2=3500” olarak bulunur. “9000 ve üzeri” sınıfı ise açık sınıf aralığı olarak tanımlanır.

Vasıf Kombinezonu

Bir kütleyi oluşturan bütün birimler bir vasfın şıklarına göre sınıflandıktan sonra, diğer bir vasfın şıklarına göre tekrar sınıflandırılırsa buna vasıf kombinezonu veya bileşik sınıflama adı verilir.

Aşağıdaki tabloda nüfusun yaş, cinsiyet ve medeni duruma göre vasıf kombinezonunu göstermektedir.

Yaş Bekar Evli Dul BoşanmışSınıfları Erkek Kadın Erkek Kadın Erkek Kadın Erkek Kadın0 - 9        10 -19        20 - 29        30 - 39        ...........        

Vasıf kombinezonu ile daha homojen gruplar elde edilmektedir. Ayrıca kütlenin bileşimi daha ayrıntılı olarak belirtilmektedir. Ancak vasıf kombinezonunda aşırıya kaçılmamalıdır, tablolar büyür ve yayınlanması güçleşir.

Seriler

Sayısal olarak düzenlenmemiş verilerin artan veya azalan büyüklükte sıraya konmuş, düzenlenmiş şekline seri denir. Serideki en büyük değerle en küçük değer arasındaki farka “ranj” adı verilir. Seriyi oluşturan sayılardan her biri bir terimdir. Seriler çeşitli şekillerde sınıflandırılırlar. En çok kabul görmüş sınıflandırma aşağıdaki gibidir. Zaman serisi Mekân serisi Bölünme serisi

4

Zaman serisi

Verileri gün, hafta, ay, yıl gibi zaman vasfının şıklarına göre düzenlenmiş olarak gösteren serilerdir. Zaman serisi iki sütundan oluşur. Birinci sütunda zaman vasfının şıkları, ikinci sütunda ise olaya ait değerler bulunur.

Örnek: Yıllara göre Türkiye nüfusuYıllar Nüfus(milyon)1950 20,91955 24,11960 27,81965 31,41970 35,6Mekan serisi

Toplanan verileri mekân vasfının şıklarına göre sıralanmış olarak gösteren seriler mekân serileri adını alır. Mekân vasfının şıkları ülke, bölge, il, ilçe, köy gibi şıklar olabilir. Seri iki sütundan oluşur. İlk sütunda mekân vasfının şıkları, ikici sütunda değerler bulunur.

Örnek: İllere göre 1970 yılı nüfus değerleri

İller Nüfus(bin kişi)İstanbul 3.019Ankara 2.042İzmir 1.427Adana 1.035Bursa 848

Bölünme serisi

Zaman ve mekân vasfının dışında kalan maddi vasıflar olarak tanınan vasıfların şıklarına göre düzenlenmiş seriler bölünme serileridir. Bir sınıftaki öğrencilerin aldığı notlar, boy uzunluğu, ağırlık, işçi sayısı gibi vasıflar örnek verilebilir. Bölünme serileri sayısal olmayan vasıflara göre de düzenlenebilir. Ancak sayısal vasıflara göre düzenlenmiş bölünme serileri daha çok kullanılmaktadır. Bu tür bölünme serileri 4 sınıfta toplanabilir. Basit seriler Sınıflanmış(tasnif edilmiş) seriler Gruplanmış seriler Bileşik seriler

Basit seriler

Sayısal verilerin küçükten büyüğe ya da büyükten küçüğe doğru sıralanması ile elde edilen serilerdir.

5

Örnek: 12 öğrencinin bir dersten aldığı notlar

Notlar(xi )02530304550505065707590

Sınıflanmış seri

Gözlem sonuçlarının düzenlenerek birinci sütunda olaya ait değerleri, ikinci sütunda frekansları gösterecek şekilde hazırlanırsa sınıflanmış seri elde edilir.

Örnek: 12 öğrencinin bir derse ait notları (basit seri için verilen örnek) ve frekansları

Notlar(xi) Frekanslar(ni)0 125 130 245 150 365 170 175 190 1

Gruplanmış seri

Bu tip seride gözlem değerleri sınıflar şeklinde gruplandırılarak gösterilirler. İkinci sütunda yine frekanslar yer alır. Yukarıda verilen notlar örneğini 25 ‘ er aralıklı olarak gruplarsak aşağıdaki tablo elde edilir.

Not sınıfları Frekanslar(ni)0-25 den az 125-50 den az 450-75 den az 575-100 den az 2

6

Bileşik seri

Gözlem sonuçlarını iki veya daha fazla vasfa göre düzenleyen seriler bileşik serilerdir. Bileşik serilerde birden çok vasıf ile ilgili bilgiler değerlendirildiği için vasıflar arasında bir ilişkinin var olup olmadığı kolaylıkla öğrenilir. Basit bileşik seri iki sütundan meydana gelir. Sütunlardan birinde veriler vasıflardan birine göre küçükten büyüğe doğru sıralanır. Diğer sütunda ise, her birimin diğer vasfına ait gözlem değerleri gösterilir.

Bileşik serileri gruplayarak tablo şeklinde de gösterebiliriz. Buğday üretimi ile harcanan su arasındaki ilişkiyi tablo şeklinde gösterelim.

Bu tabloya iki vasıf arasındaki ilişkiyi gösterdiği için “korelasyon tablosu” adı da verilmektedir. Tablo içersindeki sayılar frekansları göstermektedir. Frekanslar sol üst köşeden sağ alt köşeye doğru toplandığı için ilişki pozitiftir. Aksi durumda ilişkinin negatif olduğu, bir değişkenin değeri artarken diğerinin azaldığı ortaya çıkacaktır.

GRAFİKLER

Gözlem değerlerinin rakamlarla gösterilmesi olayın genel eğiliminden çok ayrıntılara dikkat çekilmesine neden olur. Grafikler gözlem sonuçlarının daha iyi anlaşılmasını sağlar. Grafikler değişik şekillerde sınıflandırılabilirler. Basit seriler grafikle gösterilemediği için tablo şeklinde sunulmaları uygundur. Sınıflanmış serilerde her şıkkın frekansına göre uzunluğu değişen çizgiler ya da ayrık sütunlar kullanılır.

Örnek: 1988-1994 döneminde kişi başına GSMH(dolar) değerleri verilmektedir. Bunları kullanarak sütun diyagramını çizelim.

Yıllar GSMH1988 17061989 19861990 26821991 26201992 27081993 30041994 2193

Sütun diyagramı

Su miktarı Buğday üretimi  5-6 dan az 6-7 den az 7-8 den az 8-9 dan az Toplam4-5 den az 1       15-6 dan az   2     26-7 den az     1   17-8 den az       1 1Toplam 1 2 1 1 5

7

Gruplanmış serilerin grafiği çizilirken histogramlar kullanılır. Histogramda her sınıfın frekansı, o sınıfa ait sütunun yüksekliği ile değil , alanı ile gösterilir.

Örnek: bir okuldaki öğrencilerin matematik dersinden aldıkları notların dağılımı

NotlarÖğr. sayısı

0-2 den az 1002-4 den az 2004-6 dan az 5006-8 den az 1508-10 dan az 50

8

Bu verilere ait histogram

FREKANS DAĞILIMLARININ OLUŞTURULMASINDA DİKKAT EDİLECEK NOKTALAR

Mümkün olduğunca eşit sınıf aralıklar seçilmelidir. Çok sayıda boş sınıf oluşması vb. durumlarda eşit olmayan sınıf aralıklı frekans

dağılımları oluşturulabilir. Eşit olmayan sınıf aralıkları grafik aşamasında bazı sorunlar doğurabilir. Uygun olarak seçilmemiş sınıf sayısına göre oluşturulmuş frekans dağılımları, verinin

frekans dağılımı hakkında faydalı ve net bildiler sunmayabilir.

FREKANS DAĞILIM GRAFİĞİ(HİSTOGRAM)

Histogram elde edilen verilerin şema halinde gösterimidir. bir problem hakkında toplanan verilerin belirli bir zaman içinde nasıl bir dağılıma veya değişkenliğe sahip olduğunu gösterir. ortaya çıkan değişkenlik yorumlanarak soruna yolaçan nedenlerin ortadan kaldırılması kolaylaştırılır. histogramlar ölçülebilir veriler için hazırlanabilir

Histogram: Grafiklerin dikdörtgen bloklar ( sütunlar ) halinde gösterilmesidir.Histogram oluştururken öncelikle sayısal verilere ihtiyacımız vardır.Verilerimizin hazır olduğunu düşünelim.

Önce verimizin açıklığını bulalım: Açıklık verideki en büyük değerden en küçük değerin çıkartılmasıyla oluşturulur.

9

Şimdi elimizdeki mesafe belli olduğuna göre; bu mesafeyi kaça böleceğimizi belirleyelim. Kaç tane sütun olmasını istiyorsanız o sayıya bölelim.

Bulacağımız sayı hangi aralıklarla sütun oluşturacağımızı anlatır. Sonrasında ise her aralıkta kaç sayı varsa grafikte yerleştirilir. Sonrasında grafik çizilir.

Belki de yukarıda yazdığımızı anlamak zor olacak.

En iyisi örnekle açıklamaya çalışalım.

Bir okuldaki öğrencilerin verilen bir maketi ne kadar sürede hazırlayacakları araştırılmıştır.

Araştırma sonucu öğrencilerin maketi hazırladıkları süre aşağıdaki gibidir.(dakika cinsinden)

8.10.12.18.22.26.35.39.45.47.24.35.40.42.45.64.56.13.27.29.27.35.19.28.36.41.44.26.24

,64,56,,,

Önce verilerin aralığını bulalım.Aralık verideki en büyük sayı ile en küçük sayını farkıdır.O halde aralığımız En büyük sayı olan 64 ile en küçük sayı olan 8 in farkıdır.Yani aralığımız 64-8=56 dır.

Şimdi ise kaç tane sütun oluşturmak istediğimizi belirleyelim.isteğimize göre sonuç değişir.Bu kısım değişkendir ve grafiği hazırlayan kişiye bağlıdır.Biz 5 tane sütundan oluşturalım.O halde 56 lık bir aralığımız vardı,her aralık kaç sayıdan oluşacak onu bulalım.

56 sayısını 5 e bölelim.56:5=11,2 Bu durumda bulduğumuz sonucu bir büyüğü olan tam sayıya yuvarlıyoruz. (Eğer sonuç bir tam sayı çıkarsa yine bir büyüğü olan tam sayıyı grup genişliği olarak kabul ediyoruz).Yani bu durumda grup genişliği yaklaşık olarak 12 bulunur ( bir büyük tam sayı ).Grafiğimiz 8 den başlayacak ve 64 ü de içine alarak sona erecek. Çünkü en küçük sayımız 8,en büyük sayımız 64 tür.

Şimdi aralıkları yazalım. Her Aralık 12 şer artarak yazılacak.8 den başlıyoruz. 8-19 20-31 32-43 44-55 56-67 görüldüğü gibi 5 grup oluştu ve tüm sayılar bu

aralıklarda bulunmakta. Şimdi tabloyu oluşturalım.

Maket oluşturma hızı… ( sn ) Kişi sayısı

8-19 …………………… 6

20-31 …………………… 9

32-43 …………………… 8

44-55 …………………… 4

56-67 …………………… 2

Yukarıda hangi aralıkta kaç kişi olduğu tablo halinde verilmiştir.

10

Şimdi sıra geldi sütun grafiği oluşturmaya.

Dikey eksene Kişi sayısını, yatay eksene ise aralıkları 8-19 … gibi yazarak sütun grafiği oluşturulur.

Bu yaptığımız işlem histogram oluşturmaya bir örnektir.

Önemli Not: Histogramda genişliği bulurken çıkan değer için her zaman bir büyük tam sayı alınmaktadır.Eşit bile çıksa bir büyük tam sayıyı almak daha net sonuç vermektedir.

• Frekans dağılım tablosundaki veriler yardımıile aşağıdaki grafik oluşturulabilir.

11

• Bir önceki histogramdasınıf sayısı 8 iken buhistogramda 3 sınıfKullanılmıştır. Bunakarşılık sınıf aralıklarıGenişlemiş ve araçlardaha yüzeysel birGruplamaya tabiTutulmuştur.

Nisbi Frekans Dağılımları(relative frequencydistributions)

Sınıfın nisbi frekansı: o sınıfın frekansının toplamFrekansa oranı ile tanımlanabilir. Genellikle sınıfın mutlak frekansından çok nisbiFrekansını bilip buna göre işlem yapmak dahaGerekli olmaktadır.

12

Nisbi frekans dağılım grafiği;

Histogramlar, genellikle bir olayın oluş sıklığını göstermek ve belirlenen zaman Aralığında tanımlanan problemin daha sık meydana gelip gelmediğini hesaplayarak ortaya çıkan dağılım şeklini bilinen bir dağılım ile karşılaştırmak amacıyla kullanılmaktadır. Her histogram sadece bir tek özelliği ölçmektedir. Aynı özelliğe ait Zaman içersinde birden fazla histogram yapılmak suretiyle olayların gelişme seyri takip edilebilir (Akın ve diğerleri, 1998, 302). Genellikle histogramlar da yatay eksen değişken verilere ait ölçümleri dikey eksen ise ölçülen değerlerin gerçekleşme sıklığını (frekansını) göstermektedir. Tek değişkene göre olanları en basit olanlarıdır (Ensari, 2002, 135). En etkili histogramlar bir davranış ya da etkinliğin belirli bir zaman dilimi içerisindeki ortalamalarını gösterenlerdir (Akın ve diğerleri,1998, 302). Özellikle, büyük sayılı örneklemler alındığında, verinin tümünü şemada göstermek güç olmaktadır. Histogram, verinin sunumunu kategoriler oluşturmak suretiyle kolaylaştırır. Alan sınırları kararlaştırıldığında, frekansların –bir değerin belirli bir alana denk düşme sayısı ve yüzdesi- dağılımı grafikleştirilir. Frekanslar çubuk diyagramları halinde gösterildiğinden, değişkenin ne tür bir dağılımı olduğunu buradan söylemek mümkün olmaktadır (Ensari, 2002, 135). Örnek olarak, aşağıda bir okulda öğrencilerin devamsızlıklarının sıklığını ve

13

belirlenen aylarda bu devamsızlıkların daha sık meydana gelip gelmediğini gösteren bir histogram modeli verilmiştir. Belirlenen aylarda öğrenci devamsızlıkları normal bir dağılım göstermiyorsa, nedenlere inebilmek için daha kapsamlı bir çalışma yapmak gerekir.

KAYNAKÇA

. Bostan,F.(2005).Yatılı ilköğretim bölge okullarında toplam kalite yönetimi uygulamasının değerlendirilmesi. Yüksek lisans tezi. Çukurova Üniversitesi sosyal bilimler enstitüsü. Adana.

Akın, Besim ve Diğerleri (1998), Toplam Kalite Yönetimi ve İSO 9000 Kalite Güvence Sistemi, İstanbul: Beta Yayıncılık.

Ensari, Hoşcan (2002), 21.Yüzyıl Okulları İçin Toplam Kalite Yönetimi, İstanbul: Sistem Yayınları.

Tekindal,B.(2007)Analitik hiyerarşi süreci (ahs) ve bulanık ahs (ahs) yöntemlerinin yüksek lisans öğrencisi seçimi problemi üzerinde karşılaştırılması.Gazi Üniversitesi Endüstriyel Sanatlar Eğitim Fakültesi Dergisi Sayı:21, s.14-37

Karaca,F.(2008)Büyükçekmece Havza Atmosferindeki PM2.5 ve PM10 Partikül Gruplarındaki Metallerin istatistik Dağılım Özelliklerinin incelenmesi. Ekoloji 17, 68, 33-42

Çepni,S.(2006).Öğretimde Planlama ve Değerlendirme. Pegem Yayıncılık.Ankara 2.Baskı.(256-272)

http://209.85.135.132/search?q=cache:LIzOLvdgsM8J:tip.erciyes.edu.tr/ Anabilim/D ahili/Web/Halk_Sagligi/DERSLER/Siniflandirma.ppt+s%C4%B1n %C4%B1f+aral% C4%B1%C4%9F %C4%B1+filetype:ppt&cd=1&hl=tr&ct=clnk&gl=tr

http://atlas.cc.itu.edu.tr/~seker/files/Istatistik.doc

http://ocw.ankara.edu.tr:81/eduCommons/isletme/istatistik/materyal/1

http://209.85.135.132/search?q=cache:mjA5isSzI7UJ:80.251.40.59/ science.ankara .edu.tr/ozdemirt/isttatistikselkalitekontrolu/KAL%25DDTE %2520KONTROL/%25D6l %25E7me%2520Sonu%25E7lar%25FD %2520%25DCzerinde%2520%25DDstatist iksel%2520%25DD %25FElemler.doc+frekans+tablosu&cd=1&hl=tr&ct=clnk&gl=tr

14

http://onurtas.etu.edu.tr/Maliye_Egitim/Onur.ppt

15