Statistik Bose-EinsteinDari Wikipedia, ensiklopedia bebas Langsung ke: navigasi , cari

Mekanika statistik

Termodinamika Kinetic teori

Partikel Statistik [show] Ensemble [show] Model [show] Potensi [show] Para ilmuwan [show]

v t e

Dalam mekanika statistik , Bose - Einstein statistik (atau lebih bahasa sehari-hari B-E statistik) menentukan distribusi statistik identik tidak bisa dibedakan boson atas negara-negara energi dalam kesetimbangan termal . Hal ini dinamai Satyendra Nath Bose dan Albert Einstein .

Isi

1 Konsep 2 Sejarah 3 Sebuah derivasi dari distribusi Bose-Einstein 4 Catatan 5 Interdisipliner aplikasi 6 Lihat juga 7 Catatan 8 Referensi

KonsepPada temperatur rendah, boson berperilaku berbeda dari fermion (yang mentaati Statistik FermiDirac ) dalam jumlah yang tidak terbatas dari mereka bisa "memadatkan" ke dalam keadaan energi yang sama. Properti tampaknya tidak biasa juga menimbulkan keadaan khusus materi Kondensat Bose Einstein . Fermi-Dirac dan statistik Bose-Einstein berlaku bila efek kuantum yang penting dan partikel " dibedakan ". Efek kuantum muncul jika konsentrasi partikel memenuhi . Dimana N adalah jumlah partikel dan V adalah volume dan n q adalah konsentrasi kuantum , yang jarak interparticle sama dengan panjang gelombang de Broglie termal , sehingga fungsi gelombang partikel yang menyentuh tetapi tidak tumpang tindih. FermiDirac statistik berlaku untuk fermion (partikel yang mematuhi prinsip eksklusi Pauli ), dan statistik Bose-Einstein berlaku untuk boson . Sebagai konsentrasi kuantum tergantung pada suhu, sistem paling pada suhu tinggi mematuhi batas (Maxwell-Boltzmann) klasik kecuali mereka memiliki kepadatan sangat tinggi, seperti untuk white dwarf . Kedua Fermi-Dirac dan BoseEinstein menjadi Maxwell-Boltzmann statistik pada suhu tinggi atau pada konsentrasi rendah. Boson, tidak seperti fermion, tidak tunduk pada prinsip eksklusi Pauli : tidak terbatas jumlah partikel dapat menempati keadaan yang sama pada waktu yang sama. Hal ini menjelaskan mengapa, pada suhu rendah, boson dapat berperilaku sangat berbeda dari fermion, semua partikel akan cenderung berkumpul di negara terendah-energi yang sama, membentuk apa yang dikenal sebagai kondensat Bose-Einstein . B-E statistik diperkenalkan untuk foton pada tahun 1924 oleh Bose dan umum untuk atom oleh Einstein di 1924-25. Jumlah yang diharapkan dari partikel dalam keadaan energi saya untuk B-E statistik adalah

dengan > i dan mana n i adalah jumlah partikel di negara saya, g i adalah degenerasi negara i, i adalah energi dari negara ke-i, adalah potensial kimia , k adalah konstanta Boltzmann , dan T adalah mutlak suhu . Hal ini akan mengurangi ke Hukum Rayleigh-Jeans distribusi untuk . , Yaitu

SejarahSementara presentasi kuliah di Universitas Dhaka pada teori radiasi dan bencana ultraviolet, Satyendra Nath Bose seorang ilmuwan Bengali, dimaksudkan untuk menunjukkan muridmuridnya bahwa teori kontemporer tidak cukup, karena hasil prediksi tidak sesuai dengan hasil

eksperimen. Selama kuliah ini, Bose melakukan kesalahan dalam menerapkan teori, yang tanpa diduga memberikan prediksi bahwa setuju dengan percobaan (dia kemudian diadaptasi kuliah ini menjadi sebuah artikel pendek yang disebut Hukum Planck dan Hipotesis dari Quanta Light). [1] [2] Kesalahan adalah kesalahan sederhana-mirip dengan alasan bahwa membalik dua koin yang adil akan menghasilkan dua kepala sepertiga dari waktu yang akan muncul jelas salah untuk siapapun yang memiliki pemahaman dasar statistik. Namun, hasil itu diprediksi setuju dengan eksperimen, dan Bose menyadari mungkin bukan kesalahan sama sekali. Ia untuk pertama kalinya mengambil posisi bahwa distribusi Maxwell-Boltzmann tidak akan berlaku untuk partikel mikroskopis dimana fluktuasi akibat prinsip ketidakpastian Heisenberg akan signifikan. Dengan demikian ia menekankan probabilitas untuk menemukan partikel dalam ruang fase, masing-masing negara memiliki volume h, dan membuang posisi yang berbeda dan momentum partikel. Jurnal fisika menolak untuk mempublikasikan kertas Bose. Editor Berbagai diabaikan temuannya, berpendapat bahwa ia telah disajikan dengan kesalahan sederhana. Putus asa, ia menulis kepada Albert Einstein, yang langsung setuju dengan dia. Teorinya akhirnya tercapai hormat ketika Einstein mengirim kertas sendiri untuk mendukung itu Bose untuk Zeitschrift fr Physik, meminta bahwa mereka akan diterbitkan bersama-sama. Ini dilakukan pada tahun 1924. Bose sebelumnya diterjemahkan teori Einstein tentang Relativitas Umum dari Jerman ke Inggris. Alasan "kesalahan" Bose menghasilkan hasil yang akurat adalah bahwa karena foton yang bisa dibedakan satu sama lain, orang tidak dapat memperlakukan setiap dua foton memiliki energi yang sama sebagai dua foton diidentifikasi berbeda. Dengan analogi, jika dalam sebuah koin alam semesta alternatif adalah untuk berperilaku seperti foton dan boson lainnya, kemungkinan memproduksi dua kepala memang akan sepertiga (ekor-kepala = kepala-ekor). "Kesalahan" Bose sekarang disebut Bose-Einstein statistik. Einstein mengadopsi ide dan diperpanjang ke atom. Hal ini menyebabkan prediksi adanya fenomena yang kemudian dikenal sebagai kondensat Bose-Einstein , koleksi padat boson (yang adalah partikel dengan spin bilangan bulat, dinamai Bose), yang menunjukkan ada dengan percobaan pada tahun 1995.

Sebuah derivasi dari distribusi Bose-EinsteinMisalkan kita memiliki beberapa tingkat energi, diberi label oleh indeks , Masing-masing tingkat memiliki energi dan berisi total partikel. Misalkan tingkat masing-masing berisi sublevels berbeda, yang semuanya memiliki energi yang sama, dan yang dibedakan. Sebagai contoh, dua partikel dapat memiliki momentum yang berbeda, dalam hal ini mereka dibedakan satu sama lain, namun mereka masih dapat memiliki energi yang sama. Nilai dari terkait dengan tingkat disebut "degenerasi" dari tingkat energi. Sejumlah boson bisa menempati sublevel sama. Membiarkan menjadi sejumlah cara untuk mendistribusikan partikel antara sublevels dari tingkat energi. Hanya ada satu cara untuk mendistribusikan partikel dengan satu

sublevel, oleh karena itu . Sangat mudah untuk melihat bahwa ada mendistribusikan partikel dalam dua sublevels yang akan kita tulis sebagai:

cara

Dengan sedikit pemikiran (lihat Catatan di bawah) dapat dilihat bahwa sejumlah cara untuk mendistribusikan partikel dalam tiga sublevels adalah

sehingga

mana kita telah menggunakan teorema berikut yang melibatkan koefisien binomial :

Melanjutkan proses ini, kita dapat melihat bahwa Catatan di bawah)

hanya koefisien binomial (Lihat

Sebagai contoh, nomor penduduk untuk dua partikel dalam tiga sublevels adalah 200, 110, 101, 020, 011, atau 002 untuk total enam yang sama dengan 4 / (2 2!!). Jumlah cara yang satu set nomor pendudukan dapat direalisasikan adalah produk dari cara bahwa setiap tingkat energi individu dapat diisi:

mana pendekatan berasumsi bahwa

.

Mengikuti prosedur yang sama digunakan untuk menurunkan Maxwell-Boltzmann statistik , kita ingin menemukan set yang W dimaksimalkan, sesuai dengan kendala yang ada menjadi jumlah tetap partikel, dan energi total tetap. Maxima dari dan terjadi pada nilai yang sama dan, karena lebih mudah untuk menyelesaikan secara matematis, kami akan

memaksimalkan fungsi kedua sebagai gantinya. Kami membatasi solusi kami menggunakan pengali Lagrange membentuk fungsi:

Menggunakan

pendekatan dan menggunakan pendekatan Stirling untuk faktorial memberikan

Dimana K adalah jumlah dari sejumlah istilah yang tidak fungsi . Mengambil derivatif sehubungan dengan , Dan menetapkan hasilnya ke nol dan pemecahan untuk , Menghasilkan Bose-Einstein jumlah populasi:

Dengan proses yang sama dengan yang digariskan dalam statistik Maxwell-Boltzmann artikel, dapat dilihat bahwa:

yang, menggunakan hubungan terkenal Boltzmann

menjadi pernyataan hukum

kedua termodinamika pada volume konstan, dan itu berarti bahwa dan dimana S adalah entropi , adalah potensial kimia , k adalah konstanta Boltzmann 's dan T adalah suhu , sehingga akhirnya:

Perhatikan bahwa rumus di atas kadang-kadang ditulis:

dimana

adalah mutlak aktivitas .

CatatanSebuah cara yang lebih sederhana untuk memikirkan Bose-Einstein fungsi distribusi adalah untuk mempertimbangkan bahwa n partikel ditandai dengan bola identik dan kerang g ditandai

oleh g-1 partisi baris. Jelas bahwa permutasi dari bola-bola n dan g-1 partisi akan memberikan cara untuk mengatur boson dalam tingkat energi yang berbeda. Katakanlah, 3 (= n) partikel dan 3 (= g) kerang, karena itu (g-1) = 2, pengaturan mungkin | | , atau | | , atau | | , dan lain-lain Maka jumlah permutasi yang berbeda dari n (g-1) + objek yang n item identik dan (g-1) item yang sama akan menjadi: (N + g-1) / n (g-1)! ATAU Tujuan catatan ini adalah untuk menjelaskan beberapa aspek dari derivasi dari distribusi BoseEinstein (B-E) untuk pemula. Penghitungan kasus (atau cara) dalam distribusi B-E dapat ditampilkan ulang sebagai berikut. Pertimbangkan permainan dadu di lempar yang ada dadu, dengan mati masing-masing mengambil nilai-nilai di set , Untuk . Kendala dari permainan adalah bahwa nilai dari sebuah dadu , Dinotasikan dengan , Harus lebih besar atau sama dengan nilai mati , Dinotasikan dengan , Dalam lemparan sebelumnya, yaitu, . Jadi urutan valid lemparan mati dapat digambarkan oleh tupel-n , Sehingga himpunan ini berlaku n-tuple: . Membiarkan menunjukkan

(1) Kemudian kuantitas mendistribusikan ( didefinisikan di atas sebagai sejumlah cara untuk sublevels dari tingkat energi) adalah kardinalitas . Dengan demikian masalah . menjadi masalah menghitung unsur-unsur dalam ,

partikel antara

Yaitu jumlah elemen (atau valid n-tuple) dalam menemukan ekspresi untuk Contoh n = 4, g = 3:

(Ada

elemen dalam

)

Subset terakhir,

diperoleh dengan memperbaiki semua indeks , Yang bertambah dari untuk , Dan incrementing dari , Indeks dan

untuk , Kecuali untuk indeks

. Subset diperoleh dengan memperbaiki untuk . Karena kendala .

pada indeks di Pembangunan subset

otomatis harus mengambil nilai dalam berikut dengan cara yang sama.

Setiap elemen dapat dianggap sebagai multiset dari kardinalitas ; Unsur multiset tersebut diambil dari set kardinalitas , Dan jumlah multisets tersebut adalah koefisien multiset

Secara umum, setiap elemen unsur-unsur yang diambil dari set

adalah multiset dari kardinalitas (Jumlah dadu) dengan kardinalitas (Jumlah nilai yang mungkin dari adalah koefisien multiset

mati masing-masing), dan jumlah multisets tersebut, yaitu,

(2)

yang persis sama dengan rumus untuk , Sebagai berasal di atas dengan bantuan sebuah teorema yang melibatkan suku dua koefisien, yaitu

(3)

Untuk memahami dekomposisi

atau misalnya,

dan

mari kita mengatur ulang unsur-unsur

sebagai berikut

Jelas, subset

dari

adalah sama dengan himpunan .

Dengan menghapus indeks ganda) pada subset dari

(Ditampilkan dalam warna merah dengan garis bawah , Diperoleh himpunan .

Dengan kata lain, ada korespondensi satu-ke-satu antara subset . Kami menulis . Demikian pula, mudah untuk melihat bahwa

dari

dan mengatur

(Himpunan kosong). Jadi kita dapat menulis

atau lebih umum,

(5) ;

dan sejak set

yang tidak berpotongan, kita dengan demikian memiliki

(6) , dengan konvensi yang . Melanjutkan proses, kita sampai pada rumus berikut (7)

Menggunakan konvensi (7) 2 di atas, kita memperoleh rumus

(8)

dengan mengingat bahwa untuk

dan

menjadi konstanta, kita memiliki

(9) . Hal ini kemudian dapat memverifikasi bahwa (8) dan (2) memberikan hasil yang sama untuk , , , Dll

Aplikasi InterdisiplinerDipandang sebagai murni distribusi probabilitas , distribusi Bose-Einstein telah menemukan aplikasi di bidang lain:

Dalam beberapa tahun terakhir, Bose Einstein statistik juga telah digunakan sebagai metode untuk pembobotan istilah dalam pencarian informasi . Metode ini adalah salah satu dari kumpulan DFR ("Divergence Dari Randomness") model, gagasan dasar adalah

bahwa Bose Einstein statistik sebagai indikator yang berguna dalam kasus di mana istilah tertentu dan dokumen tertentu memiliki hubungan yang signifikan yang tidak akan terjadi murni secara kebetulan. Source code untuk menerapkan model ini tersedia dari proyek Terrier di Universitas Glasgow.

Artikel utama: Bose-Einstein (teori jaringan) Evolusi sistem yang kompleks, termasuk Wide Web Dunia, bisnis, dan jaringan kutipan, dikodekan dalam web dinamis yang menggambarkan interaksi antara konstituen sistem. Meskipun sifatnya dapat diubah dan nonequilibrium jaringan ini mengikuti statistik Bose dan dapat mengalami kondensasi Bose-Einstein. Mengatasi sifat dinamik sistem ini nonequilibrium dalam kerangka keseimbangan gas kuantum memprediksi bahwa "pertama-penggerak-keuntungan," "fit-menjadi kaya (FGR)," dan "pemenang mendapatkan segalanya" fenomena yang diamati dalam sistem kompetitif adalah fase termodinamika yang berbeda dari jaringan berkembang yang mendasarinya. [3]

Lihat juga

Bose-Einstein korelasi Boson Higgs boson Maxwell-Boltzmann statistik Fermi-Dirac statistik Parastatistics Planck hukum radiasi benda hitam

Catatan1. ^ Lihat hal. 14, catatan 3, dari Ph.D. Tesis emtitled kondensasi Bose-Einstein: analisis masalah dan hasil yang ketat, yang disajikan oleh Alessandro Michelangeli ke Sekolah Internasional untuk Studi Lanjutan, Sektor Fisika Matematika, Oktober 2007 untuk tingkat Ph.D. Lihat: http://digitallibrary.sissa.it/handle/1963/5272?show=full , dan download dari http://digitallibrary.sissa.it/handle/1963/5272 2. ^ Untuk mendownload kertas Bose, lihat: http://www.condmat.unioldenburg.de/TeachingSP/bose.ps 3. ^ Bianconi, G.; Barabasi, A.-L. (2001). " Kondensasi Bose-Einstein di Jaringan Kompleks. " Phys. Rev Lett. 86: 5632-35.

Referensi

Annett, James F. (2004). Superkonduktivitas, superfluids dan kondensat. Jakarta:. Oxford University Press ISBN 0-19-850755-0 . Carter, Ashley H. (2001). Termodinamika Klasik dan statistik. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall. ISBN 0-13-779208-5 .

Griffiths, David J. (2005). Pengantar Quantum Mechanics (2nd ed.). Upper Saddle River, NJ: Pearson, Prentice Hall. ISBN 0-13-191175-9