STATISTIK BOSE-EINSTEIN

Download STATISTIK BOSE-EINSTEIN

Post on 30-Jun-2015

8.963 views

Category:

Documents

0 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

<ul><li> 1. STATISTIK BOSE-EINSTEIN1.1 Sifat Dasar Boson Sifat sistem sub atomic yang tidak dapat dibedakan dapat dipahami darikonsep gelombang sistem. Panjang gelombang de Broglie sistem-sistem tersebutmemenuhidengan m massa sistem dan laju sistem. Karena m untuksistem sub atomic sangat kecil maka panjang gelombangcukup besar. Panjanggelombang yang besar menyebabkan fungsi gelombang dua sistem yangberdekatan menjadi tumpang tindih.Kalau dua fungsi gelombang tumpang tindihmaka kita tidak dapat lagi membedakan dua sistem yang memiliki fungsi-fungsigelombang tersebut. Kondisi sebaliknya dijumpai pada sistem klasik seperti molekul-molekulgas.massa sistem sangat besar sehingga sangat kecil. Akibatnya tidak terjaditumpang tindih fungsi gelombang sistem-sistem tersebut, sehingga secara prinsipsistem-sistem tersebut dapat dibedakan. Pada suhu yang sangat tinggi sistem sub atomic dapat berperilaku sepertisistem klasik. Pada suhu yang sangat tinggikecepatan sistem sangat besarsehingga panjang gelombangnya sangat kecil.Akibatnya, tumpang tindihgelombang sistem-sistem menjadi hilang dan sistem menjadi terbedakan. Sistem kuantum yang akan kita bahas ada dua macam yaitu boson danfermion.Boson adalah sistem yang memiliki spin kelipatan bulat dari . Sistem initidak memenuhi prinsip eksklusi Pauli sehingga satu tingkat energi dapatditempati oleh sistem dalam jumlah berapa pun. Sebaliknya, fermion memilikispin yang merupakan kelipatan ganjil dari . Sistem ini memenuhi prinsipeksklusi Pauli. Tidak ada dua sistem atau lebih yang memiliki keadaan yang sama. 1</li></ul><p> 2. 1.2 Konfigurasi Boson Statistik untuk menurunkanboson dinamakan statistik Bose-Einstein.Untuk menentukan fungsi distribusi Bose-Einstein, kita terlebih dahuluharus menentukan konfigurasi dengan probabilitas paling besar.Konfigurasi inimemiliki probabilitas yang jauh lebih besar daripada konfigurasi-konfigurasilainnya sehingga hampir seluruh waktu sistem boson membentuk konfigurasitersebut. Sifat rata-rata assembli dapat dianggap sama dengan sifat padakonfigurasi maksimum tersebut.Kita tetap membagi tingkat energi sistem-sistemdalam assembli atas M kelompok sebagai berikut : Kelompok-1 memiliki jumlah keadaandan eneri rata-rata Kelompok-2 memiliki jumlah keadaandan energi rata-rata - - Kelompok-s memiliki jumlah keadaandan energi rata-rata - - - Kelompok-M memiliki jumlah keadaandan energi rata-rataKita akan menentukan berapa cara penyusunan yang dapat dilakukan jika : Terdapat sistem di kelompok-1 Terdapat sistem di kelompok-2 - - - 2 3. Terdapatsistem dikelompok-s--- Terdapat sistem di kelompok-M Jika ditinjau kelompok-1 di mana terdapatkeadaan dan sistem. Marikita analogikan satu keadaan sebagai sebuah kursi dan satu sistem dianalogikansebagai sebuah benda yang akan diletakkan dikursi tersebut. Satu kursi dapat sajakosong atau menampung benda dalam jumlah beberapa saja. Untuk menghitungjumlah penyusun benda, dapat dilakukannya sebagai berikut :Gambar 1.1Penyusunan benda dan kursi analog dengan penyusunan boson dalam tingkat-tingkat energi.Untuk merepresentasikan sistem boson, bagian paling bawah harus selalu kursi. 3 4. Dari gambar 1.1, apa pun cara penyusunan yang dilakukan, yang berada di ujungbawah selalu kursi karena benda harus disangga oleh kursi (sistem harusmenempati tingkat energi). Oleh karena itu, jika jumlah total kursi adalah makajumlah total kursi dapat dipertukarkan dengan hargakarena salah satukursi harus tetap di ujung bawah. Bersama dengan sistem banyak, maka jumlahtotal benda yang dipertukarkan dengan tetap memenuhi sifat boson adalah(Akibatnya, jumlah cara penyusunan yang dapatdilakukan adalah . Karenna sistem boson tidak dapat dibedakan satu degan lainnya, makapertukaran sesame sistem dan sesame kursi tidak menghasilkan penyusunan yangberbeda.Jumlah penyusunansebanyak! Secaraemplisitmemperhitungkan jumlah pertukaran antara sistem dan antar kursi. Jumlahpertukaran antar sistem adalah dan pertukaran jumlah antar kursi adalahOleh karena itu, jumlah penyusunan yang berbeda untuk boson di dalamkeadaan hanyalah Hal yang sama berlaku untuk kelompok-2 yang mengandungkeadaandengan populasisistem. Jumlah cara penyusunan yang berada sistem-sistem,ke dalam keadaan-keadaan tersebut adalahTerakhir hingga kelompok energi ke-M, jumlah cara penyusunan yang berbedauntuksistem dalamkeadaan adalahAkhirnya jumlah total cara penyusunan yang berbeda secara bersamaan sistemdi dalamkeadaan, sistem di dalam., sistem dalam keadaanadalah 4 5. Harus juga diperhitungkan jumlah cara membawa N sistem dari luar untukdidistribusikan ke dalam tingkat-tingkat energi di atas. Jumlah cara pengambilanN sistem adalah N! cara. Karena sistem tidak dapat dibedakan maka jumlahtersebut harus dibagi dengan N!,sehingga jumlah total cara membawa N sistem kedalam tingkat-tingkat energi di dalam assembli adalah N!/N!=1.Akhirnya, kitadapatkan jumlah penyusunan sistem-sistem dalam assembli boson adala1.3 Konfigurasi Maksimum Selanjutnya kita akan menentukankonfigurasi dengan peluangkemunculan paling besar. Ambil logaritma ruas iri dan kanan persamaan (1.5) Kemudian kita gunakan pendekatan Stirling untuk melakukanpenyederhanaan sebagai berikut :Dengan pendekatan tersebut maka persamaan (1.6) menjadi :5 6. Jumlah total sistem serta energi total assembli memenuhi Untuk assembli yang terisolasi sehingga tidak ada pertukaran sistemmaupun energi antara assembli dan lingkungan.Jumlah sistem maupun energiassembli constant.Pembatasan ini dapat dinyatakan dalam bentuk diferensial berikut ini : Konfigurasi dengan probabilitas maksimumdiperoleh denganmemaksimumkan ln W. Dengan memperhatikan konstrain pada persamaan (1.8)dan (1.9) maka konfigurasi dengan probabilitas maksimum memenuhi(1.10)Selanjutnya denganmengambildiferensial persamaan (1.7) diperolehHitung suku per suku yang terkandung dalam persamaan (1.11)i) 6 7. ii)iii)iv)Persamaan (1.11) selanjutnya menjadiKarenadan makasehingga persamaan(1.12) dapat disederhanakan lebih lanjut menjadiSubtitusikan persamaan (1.8), (1.9), dan (1.13) ke dalam persamaan (1.10)diperolehAtau7 8. Kesamaan di atas harus berlaku untuk semua variasi . Ini dijamin ika bagian didalam kurung selalu nol, yaituDan akhirnya ungkapan untuk jumlah populasi pada tiap-tiap tingkat energisebagai berikutTernyata untuk assembli boson, parameterjuga berbentukDengandemikian, bentuk lengkap fungsi Bose-Einstein untuk assembli boson adalah1.4 Parameteruntuk foton dan fonon Parameter pada persamaan (1.16).ada satu kekhususan untuk assemblifoton (kuantisasi gelombng elektromagnetik) dan fonon (kuantitasi getaran atomdalam Kristal) dan ini berimplikasi pada nilai parameter Dalam suatu kotak,foton bias diserap atau diciptakan oleh atom-atom yang berada pada dindingkotak. Akibatnya, jumlah foton dalam satu assembli tidak harus tetap. Jumlahfoton bias bertambah, jika atom-atom di dinding memancarkan foton dan biasberkurang jika atom-atom di dinding menyerap foton. Untuk sistem semacam inipembatasan bahwa jumlah total sistem dalam assembli konstan sebenarnya tidakberlaku. Padapenurunan fungsi distribusi Bose-Einstein kita telahmengamsusikan bahwa jumlah sistem dalam assembli selalu tetap, yaitu. 8 9. Konstrain ini dimasukkan dalam persamaan dengan memperkenalkan faktorpengali Langrange . Oleh karena itu, agar konstrain ini tidak diberlakukan untukassembli dengan jumlah sistem tidak tetap, seperti foton dan fonon maka nilaiharus diambil nol. Dengan nilai ini maka fungsi distribusi untuk sistem semacamini menjadi9 10. APLIKASI STATISTIK BOSE-EINSTEIN2.1 Radiasi Benda HitamTeori tentang radiasi benda hitam menandai awal lahirnya mekanika kuantum danfisika modern.Benda hitam merupakan penyerap sekaligus pemancar kalorterbaik.Benda hitam dapat dianalogikan sebagai kotak yang berisi gasfoton.Jumlah foton dalam kotak tidak selalu konstan.Ada kalanya foton diserapoleh atom-atom yang berada di dinding kotak dan sebaliknya atom-atom didinding kotak dapat memancarkan fotonn ke dalam ruang kotak. Karena jumlahfoton yang tidak konstan ini maka faktor Bose-Einstein untuk gas foton adalahYang diperoleh dengan menggunakanFotonadalah kuantumgelombang elektromagnetik.Ekstensifotondirespresentasikan oleh keberadaan gelombang berdiri dalam kotak. Karenagelombang elektromagnetik memiliki dua kemungkinan arah osilasi (polarisasi)yang saling bebas, maka kerapatan keadaan foton dalam kotak merupakan duakali kerapatan gelombang stasioner, yaitu :Dengan demikian, jumlah foton dengan panjang gelombang antara sampaiadalahKarena energi satu foton adalahmaka energy foton yang memilikipanjang gelombang antara sampai adalah10 11. 2.1.1Hukum Pergeseran WienGambar 1.2 adalah plot E(sebagai fungsi pada berbagai suhu. Tampak bahwaE(mula-mula naik, kemudian turun setelah mencapai nilai maksimum padapanjang gelombang. Kita dapat menentukandengan mendiferensial E(terhadapdab menyamakandengan Gambar 1.2Spektrum radiasi benda hitam pada berbagai suhuBerdasarkan persamaan (1.20) maka 11 12. Untuk memudahkan diferensial persamaan (1.22) persamaan diatas kita misal. Dengan pemisalan tersebut maka dapat ditulisAgar terpenuhimaka pada persamaan 1.24 harus memenuhiJika didiferensiasi secara seksama akan dapat hubungan berikutNilai x pada persamaan (1.26)dapat diselesaikan dengan berbagai cara. Jikamenggunakan instruksi Wolfram Research, maka solusi untuk x yangmemenuhipersamaan 91.26) adalah 0,194197. Dengan demikian,memenuhihubunganAtaudengan menggunakan nilai konstanta k=1,38x h= 6,625 x, dan maka kita peroleh12 13. Gambar 1.3 Spektrum energi radiasi matahari berdasarkan hasil pengukurandan prediksi dengan persamaan radiasi matahari (gari).Gambar 1.4Warna bintang menunjukan suhu bintang. Semakain menuju kewarnabiru suhu bintang semakin tinggi. Sebaliknya suhu bintangsemakin rendah apabila menuju ke warna merah.13 14. Persamaan (1.28) tidak lain daripada ungkapan hukum pergeseran Wien. Hukumini menjelaskan hubungan antara suhu benda dengan gelombang dan intensitasmaksimum yang dipancarkan benda tersebut.Makin tinggi suhu benda makamakin pendek gelombang yang dipancarkan benda tersebut, atau warna bendabergeser kea rah biru.Ketika pandai besi memanaskan logam maka warna logamberubah secara terus menerus dari semula merah, kuning, hijau dan selanjutnya kebiru-biruan.Ini akibat suhu benda yang semakin tinggi.Hukum pergeseran Wientelah dipakai untuk memperkirakan suhu benda berdasarkan spectrumelektromagnetik yang dipancarkan.Energi yang dipancarkan benda diukur padaberbagai panjang gelombang.Kemudian intensitas tersebut diplot terhadappanjang gelombang sehingga diperoleh selanjutnya diterapkan pada hukumpegeseran Wien guna memprediksi suhu benda.Pada astronom memperkirakansuhu bintang-bntang, berdasarkan spectrum energy yang dipancarkan olehbintang-bintang tersebut.2.1.2Persamaan Stefan-BoltzmannSebuah benda hitam memancarkan gelombang, elektromagnetik pada semuajangkauan frekuansi dari nol sampai tak berhingga.Hanya intensitas gelombangyang dipancarkan berbeda-beda.Ketika panjang gelombang menuju nol, intensitasyang dipancarkan menuju nol. Juga ketika panjang gelombang menuju takberhingga, intensitas yang dipancarkan juga menuju tak berhingga. Intensitasgelombang yang dipancarkan mencapai maksimum pada saat.Energytotalyang dipancarkan oleh benda hitam diperoleh denganmengintegralkan persamaan (1.20) dari panjang gelombang nol sampai takberhingga, yaitu 14 15. Untuk menyelesaikan persamaan integral (1.29) misalkan . Denganpemisalan tersebut maka diperoleh ungkapan-ungkapan berikut ini :Syarat batas yang berlaku bagi y. saat maka y=~ dan saatmaka y=0.Dengan demikian, dalam variable y integral (1.29) menjadiPersamaan (1.30) merupakan kerapatan energy foton di dalam kotak. Hubunganantara kerapatan energy yang diradiasi dengan energy foton dalam kotak adalah 15 16. Persamaan (1.31) sangat mirip dengan persamaan Stefan-Boltzman. Jadi padapersamaan (1.31) kita dapat menyamakanDengan menggunakan instruksi matematika sederhana kita dapatkanSelanjutnyadenganmemasukkan nilai konstanta-konstanta lain kita dapatkannilai konstanta Stefan-boltzman.2.1.3 Cosmic Microwave Background (CMB)Salah satu gejala penting sebagai hasil peristiwa Big bang adalahkeberadaan radiasi yang bersifat isotropic (sama ke segala arah) di alam semestadalam panjang gelombang mikro. Gejala ini selanjutnya dikenal dengan icosmicmicrowave background (CMB). Radiasi ini benar-benar isotropic.Penyimpangandari sifat isotropic hanya sekitar seper seribu.Dua astronom muda, Arno Penziasdan Robert Wilson yang pertama kali mengidentifikasi gejala ini tahun 1965dengan menggunakan antene horn yang dikalibrasi dengan teliti.Dengananggapan bahwa alam semesta berupa benda hitam sempurna dan setelahdilakukan pengukuran yang teliti intensitas radiasi gelombang mikro ini padaberbagai panjang gelombang yang mungkin, selanjutnya hasil pengukuran di-fitdengan persamaan radiasi benda hitam (1.4) disimpulkan bahwa suhu rata-rataalam semesta sekarang adalah 2,725 K. 16 17. Gambar 1.5CMB dengan persamaan radiasi benda hitam Gambar 1.6Variasi suhu alam semesta berdasarkan posisiAda sekitar variasi suhu pada arah yang berbeda seperti ditunjukkan dalamgambar diatas. Bagian berwarna merah sedikit lebih panas dan bagian berarna birusedikit lebih dingin dengan penyimpangan 0,0002 derajat. 17 18. 2.2 Kapasitas kalor Kristal Dalam Kristal-kristal atom bervibrasi.Jika diselesaikan dengan mekanikakuantum maka energy vibrasi atom-atom dalam Kristal terkuantisasi.Kuantisasigetaran atom tersebut disebut fonon. Energy fonon dengan bilangan kuantum nadalah. Karena jumlah fonon tidak konstan maka fungsidistribusi untuk fonon diperoleh dengan mengambil. Fungsi distribusitersebut persis sama dengan fungsi distribusi untuk foton. Karena frekuensi fonon umumnya merupakan fungsi bilangan gelombang, , maka secara umum energy toal yang dimiliki fonon dalam Kristal dapat ditulisJika fonon memiliki sejumlah polarisasi dan polarisasi kep memiliki frekuensi maka energy total fonon setelah memperhitungkan polarisasi tersebutadalahPenjumlahan terhadapdilakukan engan asumsi bahwa adalah integer. Tetapijika adalah variable kontinu maka penjumahan terhadap dapat diganti denganintegral dengan melakukan transformasi berikut iniTetapi karena merupakan fungsimaka kita dapat mengubah integral terhadapmenjadi integral terhadapdengan melakukan transformasiAkhirnya kita dapat menulis menulis ulang persamaan (1.34) menjadi18 19. Dari definisi energy dalam persamaan (1.37) maka kita dapat menentukankapasitas panas yang didefinisikan sebagai berikutUntuk menyederhanakan persamaan (1.38) mari kita lihat suku diferensial dalampersamaan tersebut. Untuk mempermudah kita misalkan . Denganpemisalan tersebut makaDengan demikian, kapasitas kalor dapat ditulis19 20. 2.2.1 Model EinsteinUntuk mencari kapasitas kalor Kristal, Einstein mengusulkan modelbahwa semua fonon berisolasi dengan frekuensi karakteristik yang sama,dengan asumsi ini maka dapat ditulisDi manamerupakanfungsi data dirac. Dengan model ini kita dapatkankapasitas kalor Kristal untuk satu macam...</p>