beschreibende statistik betriebswirt vwa. beschreibende statistik 2 ©jb wesen der statistik...

Beschreibende Statistik

Betriebswirt VWA

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Wesen der Statistik

• Beschreibende Statistik (Deskriptive Statistik)Methoden zur Erfassung, Aufbereitung, Darstellung und Analyse fest umrissener und konkret vorliegender Daten.

• Schließende Statistik (Induktive Statistik)Methoden, deren Anwendung Schlüsse von Stichproben auf übergeordnete Gesamtheiten erlauben.

Statistik ist das methodische Vorgehen bei der Beschaffung von Informationen, die man braucht, um vernünftige Entscheidungen treffen zu können.

Wesen der Statistik

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Statistische Daten

• verbale oder qualitative Informationen- nicht sehr präzise- wenig objektiv- Zusammenfassung schwierig

• quantitative, zahlenmäßige Informationen- zahlenmäßige Aussage- objektiv- einfach zusammenzufassen und zu verarbeiten

Daten, die sich für eine Zusammenfassung eignen, werden als Statistische Daten bezeichnet.

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Statistische Modell

• sachlich• örtlich• zeitlich

Ein Modell ist ein vereinfachtes Bild der Wirklichkeit und entsteht durch Beschränkung auf das Wesentliche.

Modelle in der Statistik entstehen in der Regel durch Vereinfachung in dreifacher Weise:

Problem: Es gibt keine eindeutigen, allgemein anerkannte Grundsätze zur Bildung Statistischer Modelle.

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Anwendungsgebiete

• Politik• Verkehr• Sozialwissenschaften• Biologische Wissenschaften• Naturwissenschaft und Technik• Betriebstatistik• Medizin

Statistische Methoden können überall dort eingesetzt werden, wo größere Informationsmengen zu verarbeiten sind.

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Statistisches Material

Grundgesamtheit:Menge von Elementen über die sich die Entscheidung, die man statistisch untermauern will, erstreckt und über die man Informationen benötigt.Die Grundgesamtheit setzt sich aus den statistischen Einheiten zusammen.

Untersuchungszweck: Festlegung, wozu man Informationen benötigt

Abgrenzung der Gesamtheit:• sachlich• örtlich• zeitlich

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Bestands- und Bewegungsmassen

Bestandsmassen:Erfassung zu einem bestimmten Zeitpunkt.

Bewegungsmassen:Erfassung während eines Zeitraumes.

Fortschreibung:Bestandsmassen werden durch Bewegungsmassen fortgeschrieben (Zugangsmassen und Abgangs- massen).

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Bestands- und Bewegungsmassen

Beispiele für Bestandsmassen:• Einwohner von Mannheim• Studenten einer Hochschule• Kraftfahrzeuge in München• Unternehmen in NRW

Beispiele für Bewegungsmassen:• Geburten in Bayern im September 1988• Verbrauch an Bier in Hessen im Jahre 1987• Regenfälle in einem bestimmten Gebiet• Umsätze von Unternehmen

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Vollerhebung oder Totalerhebung

Erfassung aller statistischer Einheiten

Vorteil:• Vollständige Information

Nachteil:• große Gesamtheiten nicht exakt abgrenzbar• Bei komplizierten Sachverhalten können Ergeb-

nisse fehlerhafter werden, je mehr Einheiten berücksichtigt werden

• große Kosten• Zeitdauer zu lang

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Teilerhebung / Stichprobe

Vorteil:• Kostengünstig, da geringer Aufwand• Vollerhebung eventuell unsinnig• Ergebnisse liegen schneller vor• Genauigkeit

Nachteil:• Stichprobenfehler

Beschränkt man sich nur auf einen Teil der statistischen Masse, so spricht man von einer Teiler-hebung. Der ausgewählte Teil heißt Stichprobe.

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Herkunft der Daten

primärstatistische Erhebung:

• Daten werden eigens für die Untersuchung erhoben• aus Kostengründen kaum durchführbar

sekundärstatistische Erfassung:

• Rückgriff auf bereits vorhandene Daten• Kostengünstig, da geringerer Aufwand

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Erhebungsmethoden bei Primärstatistik

1. Mündliche BefragungInterview sehr Zeitaufwendig

2. Schriftliche Befragunggeringer Aufwand, Güte kann leiden

3. BeobachtungDaten in der Regel unverfälscht

4. ExperimentProdukttest

5. Automatische ErfassungAnwendung im tech. Bereich (z.B. Stromverbrauch)

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Träger der amtlichen Statistik

staatliche Institutionen oder vom Staat abhängige Stellen. Sie sind staatlich finanziert.

Beispiele:• Statistisches Bundesamt• Statistische Landesämter• Statistische Ämter der Städte• Ministerien des Bundes und der Länder• Bundesargentur für Arbeit

Veröffentlichung der amtlichen Statistik:• Staatistische Jahrbuch• Zeitschrift „Wirtschaft und Statistik• Der Statistische Wochendienst

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Träger der nichtamtlichen Statistik

• Wirtschaftsverbände• Markt- und Meinungsforschungsinstitute• wissenschaftliche Institute• Unternehmen• Arbeitgeber- und Arbeitnehmerorganisationen

Erhebungen können schneller an aktuelle Bedürfnisse angepasst werden.Ergebnisse sind weniger objektiv.Ergebnisse sind oft Mittel der Selbstdarstellung.

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Statistische Merkmale

Merkmale:Eigenschaften einer statistischen Einheit, für die man sich bei einer statistischen Untersuchung interessiert. Sie sind Gegenstand der Untersuchung.

Merkmalsträger:Träger der Merkmale sind die statistische Einheiten, die gezählt oder gemessen werden.

Merkmalsausprägungen:Es sind die verschiedenen Ergebnisse, die bei der Beobachtung oder Messung auftreten können.

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Beispiele für Merkmalsausprägungen

Nr Merkmalsträger Merkmal Merkmalsausprägung

1 best. Person Waschmaschi-nenbesitzer

Besitzer, Nichtbesitzer

2 best. Person Anhänger einer Partei

Anhänger, kein Anhänger

3 best. Person Familienstand ledig, geschieden, verheiratet, verwitwet

4 Fernsehzuschauer Meinung zur Sendung

sehr gut, gut, durchsch., schlecht, sehr schlecht

5 Betriebsangehörige Alter in Jahren 16 – 65 Jahre

6 Betriebsangehörige Urlaubstage 18, 19, 20, ... 28 Tage

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Merkmal 1-3:Es handelt sich um Eigenschaften. Jede Reihen- und Rangfolge ist willkürlich und zufällig.

Merkmal 4:Es handelt sich um eine Bewertung. Es liegt eine eindeutige Rangfolge vor.

Merkmal 5-6:Es handelt sich um Zahlen. Eine Rangfolge ist vorge-geben. Abstände zwischen Ausprägungen sind gleich lang.

Festlegung der Maßeinteilung nennt man Skalierung

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Arten von Skalierungen

1. Nominale Skalierung: (Unterscheidungsmerkmale)Die Merkmalsausprägungen drücken lediglich die Verschiedenartigkeit aus.

2. Ordinale Skalierung: (Rangmerkmale)Die Merkmalsausprägungen bringen neben der Verschiedenartigkeit eine natürliche Rangfolge zum Ausdruck.

3. Metrische Skalierung: (Abstandsmerkmale)Merkmalsausprägungen grundsätzlich Zahlen. Neben der Rangordnung werden auch die Abstände zwischen den Merkmalsausprägungen verglichen.

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Gruppen von Skalierungen

Quantitative Ausprägungen:

• metrisch skalierte Merkmale• Ausprägungen unterscheiden sich in ihrer Größe

Qualitative Ausprägungen:

• ordinal und nominal skalierte Merkmale• Ausprägungen unterscheiden sich in ihrer Art

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Qualitative Daten

• können nicht durch Auszählen oder Messen ermittelt werden

• Haben keine natürliche Reihenfolge• Liefern keine Abstände oder Verhältnisse

nominal: Merkmalsausprägungen

ordinal: Merkmalsausprägungen

• können in eine natürliche Reihenfolge gebracht werden

• Sind keine absoluten, sondern relative Werte

• Liefern keine Abstände oder Verhältnisse

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Quantitative Daten

• Sind messbar oder abzählbar (reelle Zahlen)

• Sind somit absolute Werte• Liefern Abstände oder Verhältnisse

metrisch: Merkmalsausprägungen

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Diskrete und stetige Merkmale

Diskrete Merkmale: (Beispiel Nr. 6)

• Merkmal kann nur endlich viele Ausprägungen annehmen

• Ausprägungen sind exakt bestimmbar• Abgrenzungsschwierigkeiten treten nicht auf

Stetige Merkmale: (Beispiel Nr. 5)

• Können jeden beliebigen reellen Wert in einem bestimmten Intervall annehmen

• Ausprägungen sind nicht abzählbar, sie werden durch messen bestimmt

• Sie sind genaugenommen nur Näherungswerte

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Nr Merkmalsträger Merkmal Merkmalsausprägung

1 best. Person Waschmaschi-nenbesitzer

Besitzer, Nichtbesitzer

2 best. Person Anhänger einer Partei

Anhänger, kein Anhänger

3 best. Person Familienstand ledig, geschieden, verheiratet, verwitwet

4 Fernsehzuschauer Meinung zur Sendung

sehr gut, gut, durchsch., schlecht, sehr schlecht

5 Betriebsangehörige Alter in Jahren 16 – 65 Jahre

6 Betriebsangehörige Urlaubstage 18, 19, 20, ... 28 Tage

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Übersicht

Nominalskala Ordinalskala

diskret stetig

Nr. 6 Nr. 5

Datenerfassung vergleichen vergleichen zählen messen

Skala

Metrische Skala

Nr. 5 und 6

Qualitative Merkmale Quantitative Merkmale

Nr. 1-3 Nr. 4

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Rechnen mit Summenzeichen

i= 1

n

i 1 + 2 + 3 + ... + n

i= 1

n

ai a1 a2 ... an

i: Index1: Untere Summationsgrenzen: Obere Summationsgrenzeai: beliebige Werte, hier z.B. Merkmalsaus-prägungen

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Rechenbeispiele

i= 1

5

2i 2 4 6 8 10 30

i= 1

5

i 2 1 4 9 16 25 55

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Rechenregeln mit Summen

i= 1

n

a na

i= 1

n

aii= 1

m

a ii=m 1

n

ai mit 1 m n

i= 1

n

a i b ii=1

n

a ii= 1

n

b i

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Rechenregeln mit Summen

i= 1

n

cai ci =1

n

ai

k =0

n

a ii= - j

n - j

a i j

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Gesamtsumme

j =1

m

i =1

n

uij

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Häufigkeitsverteilung

UrlisteUngeordnete Niederschrift der Zahlenwerte in der Reihenfolge ihres Auftretens.

HäufigkeitszahlGleiche Messwerte werden mit der Zahl ihres Auftretens versehen.

Absolute HäufigkeitAnzahl der statt. Einheiten mit einer bestimmten Merkmalsausprägung.

Relative HäufigkeitAbsolute Häufigkeit dividiert durch Anzahl der stat. Einheiten

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Klassenbildung

1. Anzahl der Klassen festlegen

• opt. Anzahl erfolgt nicht nach festen Regeln• Problemstellung ist maßgebend• Zu viele Klassen -> unübersichtlich• Zu wenige Klassen -> Informationsverlust• In der Regel 5-20 Klassen

2. Klassengrenzen festlegen

• Es soll eine obere und untere Grenze festge-legt werden

• In der Regel gleichbreite Klassen• Ungleiche Klassen nur, wenn viele Beobach-

tungen in einem kleinen Bereich und geringer Rest in weitem Bereich

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Aufgabe Häufigkeitsverteilung

Die nachfolgende Tabelle enthält die Gewichte von 40 männlichen Studenten auf das nächste volle Pfund gerundet.

Erstellen Sie eine Häufigkeitsverteilung.

Urliste

150 156 145 128161 145 135 142

135 153 140 135146 173 142 147

163 119 154 165168 126 138 176

157

146 158 140 147 136 148 152 144

138 164 150 132 144 125 149

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Lösung Strichliste

Gewicht in Pfund Strichliste Häufigkeit rel. Häufigkeit

118 - 122 I 1 0,025

123 - 127 II 2 0,050

128 - 132 II 2 0,050

133 - 137 IIII 4 0,100

138 - 142 IIIII I 6 0,150

143 - 147 IIIII III 8 0,200

148 - 152 IIIII 5 0,125

153 - 157 IIII 4 0,100

158 - 162 II 2 0,050

163 - 167 III 3 0,075

168 - 172 I 1 0,025

173 - 177 II 2 0,050

Summe 40 1,000

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Stamm-Blatt Darstellung

11 91212 5 6 813 213 5 5 5 6 8 814 0 0 2 2 4 414 5 5 6 6 7 7 8 915 0 0 2 3 415 6 7 816 1 3 416 5 817 317 6

Stamm Blatt

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Lösung Häufigkeitsdiagramm

160 170 180

1

120 130 140 150

0

2

3

4

6

7

8

5

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Stabdiagramm

40

25

15

20

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

Ar An B S

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Rechteckdiagramm

20

15

25

40

0

20

40

60

80

100

120

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Kreisdiagramm

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Mittelwerte oder Lagerparameter

• Das arithmetische Mittel– Einfaches arithmetische Mittel– Gewogenes arithmetisches Mittel– Arithmetisches Mittel für klassierte Daten

• Modalwert oder häufigster Wert

• Zentralwert oder Meridian

• Quantile

• Das geometrische Mittel

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Einfaches arithmetische Mittel

Arithmetische Mittel bei Einzelwerten

Arithmetisches Mittel x i 1

n

xi

nSumme derEinzelwerte

Anzahlder Einheiten

Eigenschaften:

i 1

n

xi x 0

i 1

n

xi x 2 Min

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Das gewogene arithmetische Mittel

Arithmetische Mittel bei einer Häufigkeitsverteilung

Anstatt gleiche Merkmalsausprägungen mehrfach zu addieren, gewichtet man sich unterscheidende Merkmalsausprägungen xi (i=1,2,...,n) mit der Häufigkeit des Auftretens hi.

x i 1

n

xi hi

i 1

n

hi

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Arithmetisches Mittel für klassierte Daten

Ist von einer Stichprobe weder die Urliste noch eine Häufigkeitsverteilung bekannt, so lässt sich der Mittelwert nicht exakt berechen.

In einem solchen Fall ermittelt man einen Näher-ungswert, indem man von jeder Klasse die Klassen-mitte verwendet.

x1n i 0

n

x ix hi mit xi

xKlassenmitteder Klassei

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Modalwert

Die am häufigsten vorkommende Merkmalsaus-prägung.

Der Modalwert ist um so aussagekräftiger, je stärker die entsprechende Merkmalsausprägung dominiert.

Für nominal skalierte Merkmale ist der Modalwert der einzige sinnvolle Lageparameter.

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Zentralwert oder Median

Der Zentralwert ist diejenige Merkmalsausprägung, die in der Mitte der in eine Rangfolge gebrachten Einzelausprägungen steht.

D.h. die Merkmale müssen mindestens Ordinalskala besitzen.

Anzahl gerade: Zentralwert an der Stelle (n+1)/2

Anzahl ungerade: Mittel der Werte an der Stelle n/2 und n/2 +1

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Quantile

Das p% Quantil ist der Wert Lp für den p % der Beobachtungen kleiner und (100-p)% größer als Lp sind.

Für p = 25%, 50%, 75% nennt man die Quantile Quartile (unteres, Median, oberes);

Bezeichnung ist Q1,Q2,Q3.

Den Wert Q3 - Q1 nennt man Interquantilsabstand.

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Das geometrische Mittel

Bei der Bestimmung von durchschnittlichen Wachs-tumsraten ist das arithmetische Mittel nicht brauchbar.

Hier muss man auf das geometrische Mittel zurück-greifen.

GM n x 1 x2 ... xn für xi 0

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Negatives Wachstum

Jahr Absatzmenge Wachstumsrate Wachstumsfaktor

0 10001 1200 0,20 1,202 1080 -0,10 0,903 1350 0,25 1,254 1512 0,12 1,12

GM 4 1,2 0,9 1,25 1,12 1,1089

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Streuungsmaße

• Spannweite oder Variationsbreite• Quartilsabstand und Boxplot• Mittlere lineare Abweichung• Varianz und Standardabweichung• Varianzkoeffizient

Zur Beschreibung einer Stichprobe reicht der Mittel-wert oft nicht aus, da er keine Aussage darüber er-laubt, wie weit die einzelnen Merkmalswerte vom Mittelwert abweichen.

Aus diesem Grund wird der Mittelwert oft durch einen Streuungsparameter ergänzt.

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Spannweite oder Variationsbreite

Spannweite = Differenz zwischen dem größten (xmax) und dem kleinsten (xmin) Wert

Vorteil:• leicht zu berechnen• schneller Vergleich der Streuung zweier Merkmals-

reihen• rascher Überblick über die Breite der Skala

Nachteil:• Extremwerte verzerren die Aussagekraft• Keine Aussage über Streuung zw. Extremwerten• Bei großen Untersuchungen treten öfter Werte auf,

die die Spannweite erhöhen

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Quartilsabstand und Boxplot

Der Quartilsabstand ist die Differenz zwischen dem ersten und dem dritten Quartil. Er umfasst den Be-reich mit den mittleren 50% der Werte.

Das Box- oder Whiskerdiagramm stellt die Häufig-keitsverteilung schematisch dar: Zwischen dem 1. und dem 3. Quartil wird ein Kasten aufgebaut. In diesen Bereich fallen 50% der Beobachtungen.

Die seitlich angesetzten „Schnurrhaare“ vermitteln einen Eindruck, wie weit die restlichen 50% streuen

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Box- und Whiskersdiagramm

4 6 8 10 12 14 16 18 Tage20 22 24 28

Aufenthaltsdauer von Patientinnen nach Schnittentbindung (Seite 65)

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Mittlere lineare Abweichung

Durchschnittliche lineare Abweichung der Merkmals-werte vom Mittelwert.

Arithmetisches Mittel der absoluten Abweichungen der Merkmalswerte von einem Mittelwert (arith. Mittel oder Median)

d1n i 1

n

x i M M = Mittelwert

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Varianz und Standardabweichung

s2 Summealler AbweichungsquadrateZahl derMeßwerte

1n i 1

n

xi AM 2

Varianz s2:

Standardabweichung s = positve Wurzel der Varianz s2

s s2 1n i 1

n

xi AM 2

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Beispiel Standardabweichung

s2 40030

13,33 s 3,65

Liegezeit xi (xi-AM) (xi-AM)(xi-AM) hi hi*(xi-AM)(xi-AM)

8 -5 25 1 259 -4 16 1 16

10 -3 9 3 2711 -2 4 6 2412 -1 1 5 513 0 0 4 014 1 1 5 515 2 4 2 817 4 16 1 1620 7 49 1 4928 15 225 1 225

30 400

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Variationskoeffizient

Der Variationskoeffizient ist ein relativer Streuungs-parameter.

Variationskoeffizient v = Quotient aus Stabdardabw. und arithmetischem Mittel

Der Variationskoeffizient gibt an, wie viel Prozent vom arithmetischen Mittel die Standardabweichung beträgt.

vs

AM

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Regression und Korrelation

Beschreibung eines (tendenziellen) Zusammenhangs zwischen zwei Merkmalsausprägungen.

Korrelationsanalyse:Bestimmung einer Maßzahl, die die Stärke des Zusammenhangs beschreibt.(Korrelations- bzw. Kontingenzkoeffizient)

Regressionsanalyse:Bestimmung von Funktionen zur Beschreibung der Form des Zusammenhangs zwischen zwei Merk- malen. (Regressionsgerade)

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Die drei Fragenstellungen

I. Besteht zwischen den Merkmalen ein Zusammenhang oder nicht?

• Kontingenz• Korrelation

II. Wie ausgeprägt ist ein Zusammenhang?

• Kontingenz-Koeffizient• Korrelations-Koeffizient

III. Durch welche Funktion kann die Tendenz eines Zusammenhangs beschrieben werden?

• Regressionsrechnung

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Beispiel Kontingenztabellen

Soziale Stellungdes Vaters

Schultyp desKindes

Häufigkeit

Arbeiter Hauptschule 6

Arbeiter Realschule 4

Arbeiter Gymnasium 0

Angestellter Hauptschule 2

Angestellter Realschule 2

Angestellter Gymnasium 1

Beamter Hauptschule 1

Beamter Realschule 2

Beamter Gymnasium 2

Selbständiger Hauptschule 1

Selbständiger Realschule 2

Selbständiger Gymnasium 2

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Arbeiter Angestellter Beamter Selbst.

Hauptschule 6 2 1 1

Realschule 4 2 2 2

Gymnasium 0 1 2 2

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Zusammenhang zwischen Körpergröße und Körpergewicht

Person Nr. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Größe in cm 174 182 178 190 172 165 172 189 168 181

Gewicht in kg 62 75 63 95 69 58 78 84 62 70

Person Nr. 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Größe in cm 172 178 174 184 189 167 172 184 168 181

Gewicht in kg 72 65 70 65 78 60 65 72 65 72

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0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

164 168 172 176 180 184 188 192

Größe in cm

Ge

wic

ht

in k

g

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0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

164 168 172 176 180 184 188 192

Größe in cm

Ge

wic

ht

in k

g

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Regressionsanalyse

Die Regressionsanalyse verfolgt das Ziel, die Ten-denz des Zusammenhangs durch eine mathema-tische Funktion zu beschreiben.

Mögliche Funktionen:

Gerade: y = ax + b

Parabel: y = ax2 + bx + c

Potenzfunktion: y = bx2

Exponentialfunktion: y = bax

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Kriterium der kleinsten Quadrate

Zur Ermittlung der Regressionsfunktion hat sich das Kriterium der kleinsten Quadrate bewährt. In einem Koordinatensystem werden die Beobach-tungspunkte eingezeichnet. Der Abstand zwischen den Punkten und der Funktion soll möglichst klein werden.

d1 , d2 , d 3 , ... , dn mit dn y i y ix

Von allen möglichen Funktionen wird nun die ausge-wählt, für die die Quadrate der Abstände minimal sind

i i

n

y i y ix 2

i 1

n

di2 min

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Kriterium der kleinsten Quadrate

P1*

P2*

P1

P2

x1 x2

y1

y2

y2*

y1*

x

y

d1d2

y = ax + b

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Lineare Regressionsfunktion

Forderung für Regressionsgerade y = ax + b:

f a, bi 1

n

yi y ix 2

i 1

n

yi axi b 2 Minimum

Für Minimum muss 1. Ableitung nach a und b ver-schwinden:

dfda i 1

n

2 y i axi b xi

dfdb i 1

n

2 y i axi b 1

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Durch Null-Setzen der 1. Ableitungen folgt:

i 1

n

x i yi bi 1

n

x i ai 1

n

xi2

i 1

n

yi nb ai 1

n

x i

Auflösen nach a und b ergibt:

an

i 1

n

x i y ii 1

n

x ii 1

n

y i

ni 1

n

xi2

i 1

n

x i

2b i 1

n

xi2

i 1

n

y ii 1

n

xii 1

n

x i yi

ni 1

n

x i2

i 1

n

xi

2

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chre

iben

de S

tatis

tik68

©JB


Andere Rechenmöglichkeit:

a i 1

n

x i x yi y

i 1

n

xi x 2

= Kovarianz

Varianzder x Werte

b y ax

Bes

chre

iben

de S

tatis

tik69

©JB

Einkommen - Miete

0

100

200

300

400

500

600

700

800

1200 1400 1600 1800 2000 2200 2400 2600 2800 3000 3200

Nettoeinkommen

Mie

te

Bes

chre

iben

de S

tatis

tik70

©JB

Einkommen - Miete

y = 0,1579x + 202,65

0

100

200

300

400

500

600

700

800

1200 1400 1600 1800 2000 2200 2400 2600 2800 3000 3200

Nettoeinkommen

Mie

te

Bes

chre

iben

de S

tatis

tik71

©JB


Bisher haben wir die die Abhängigkeit des Merkmals Y vom Merkmal X beschrieben. (Regression von y auf x).

Wollen wir die Abhängigkeit des Merkmals X vom Merkmal Y beschreiben (Regression von x auf y), so ergeben sich folgende Formeln:

a ' i 1

n

x i x yi y

i 1

n

y i y 2

b ' x a 'y

Bes

chre

iben

de S

tatis

tik72

©JB

Miete - Einkommen

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

350 400 450 500 550 600 650 700 750

Miete

Net

toei

nko

mm

en

Bes

chre

iben

de S

tatis

tik73

©JB

Miete - Einkommen

y = 5,73x - 946,5

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

350 400 450 500 550 600 650 700 750

Miete

Net

toei

nko

mm

en

Bes

chre

iben

de S

tatis

tik74

©JB

Werbungskosten - Umsatz

0

2

4

6

8

10

12

14

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Werbungskosten (in 1000 €)

Um

satz

(in

Mio

. €)

Bes

chre

iben

de S

tatis

tik75

©JB

Werbungskosten - Umsatz

y = 1,22x - 0,54

0

2

4

6

8

10

12

14

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Werbungskosten (in 1000 €)

Um

satz

(in

Mio

. €)

Bes

chre

iben

de S

tatis

tik76

©JB

Alter - Wartungskosten

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

4,5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Alter in Jahren

Ko

sten

in 1

000

DM

Bes

chre

iben

de S

tatis

tik77

©JB

Alter - Wartungskosten

y = 0,1903x + 1,3854

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

4,5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Alter in Jahren

Ko

sten

in 1

000

DM

Bes

chre

iben

de S

tatis

tik78

©JB

Korrelationsanalyse

In der Korrelationsanalyse versucht man, die Stärke des Zusammenhangs zwischen zwei Merkmalen durch eine Maßzahl auszudrücken.

Wir unterscheiden folgende Maßzahlen:

• Korrelationskoeffizient von Pearson(metrisch skalierte Merkmale)

• Rangkorrelationskoeffizient von Spearman(ordinalskalierte Merkmale)

• Kontingenzkoeffizienten(nominalskalierte Merkmale)

Bes

chre

iben

de S

tatis

tik79

©JB

Korrelationskoeffizient von Pearson

r i 1

n

x i x y i y

i 1

n

x i x 2

i 1

n

y i y 2

r

1n i 1

n

x i x y i y

1n i 1

n

x i x 2 1n i 1

n

y i y 2

sxysx s y

Bes

chre

iben

de S

tatis

tik80

©JB


Der Korrelationskoeffizient r ist eine Zahl zwischen +1 und -1

r = 1: Alle Beobachtungswerte liegen auf einer steigenden Geraden.

r = –1: Alle Beobachtungswerte liegen auf einer fallenden Geraden.

r > 0: Merkmale positiv korreliert, d.h. die Regressionsgerade ist steigend.

r < 0: Merkmale negativ korreliert, d.h. die Regressionsgerade ist fallend.

r = 0: Die Merkmale sind unkorreliert,d.h. es besteht kein linearer Zusammenhang.

Bes

chre

iben

de S

tatis

tik81

©JB


Zur Berechnung des Korrelationskoeffizienten von Pearson ist die folgende Formel besser geeignet:

rn

i 1

n

x i y ii 1

n

x ii 1

n

y i

ni 1

n

xi2

i 1

n

x i

2n

i 1

n

y i2

i 1

n

yi

2

Bes

chre

iben

de S

tatis

tik82

©JB

Beispiel Korrelationskoeffizient

174 62 -3 9 -8 64 24182 75 5 25 5 25 25178 63 1 1 -7 49 -7190 95 13 169 25 625 325172 69 -5 25 -1 1 5165 58 -12 144 -12 144 144172 78 -5 25 8 64 -40189 84 12 144 14 196 168168 62 -9 81 -8 64 72181 70 4 16 0 0 0172 72 -5 25 2 4 -10178 65 1 1 -5 25 -5174 70 -3 9 0 0 0184 65 7 49 -5 25 -35189 78 12 144 8 64 96167 60 -10 100 -10 100 100172 65 -5 25 -5 25 25184 72 7 49 2 4 14168 65 -9 81 -5 25 45181 72 4 16 2 4 8

3540 1400 1138 1508 954177 70

Bes

chre

iben

de S

tatis

tik83

©JB

Rangkorrelationskoeffizient von Spearman

• Zwei Merkmale besitzen mindestens eine Ordinalskala.

• Merkmalswerte aufsteigend geordnet und jedem Platz eine Rangzahl zugeordnet.

• Für Berechnung werden nur Rangzahlen benötigt.

• Stimmen mehrere Merkmaleswerte überein, wird das arith. Mittel der Rangzahlen gebildet.

rs 1

6i 1

n

d i2

n n2 1

Bes

chre

iben

de S

tatis

tik84

©JB

Beispiel 1

SchülerNr.

Lehrer ARang

Lehrer BRang

Lehrer ARang

Lehrer BRang

Lehrer ARang

Lehrer BRang

1 9 9 9 2 3 5

2 8 8 1 10 1 6

3 5 5 2 9 10 3

4 10 10 5 6 7 7

5 4 4 6 5 6 1

6 3 3 7 4 5 4

7 1 1 3 8 2 2

8 2 2 8 3 9 8

9 7 7 4 7 4 10

10 6 6 10 1 8 9

Fall 2 Fall 3Fall 1

Bes

chre

iben

de S

tatis

tik85

©JB

Beispiel 1

SchülerNr.

Fall 1 Fall 2 Fall 3

1 0 49 4

2 0 81 25

3 0 49 49

4 0 1 0

5 0 1 25

6 0 9 1

7 0 25 0

8 0 25 1

9 0 9 36

10 0 81 1

Summen: 0 330 142

r: 1 -1 0,14

Bes

chre

iben

de S

tatis

tik86

©JB

Beispiel 2

Teilnehmer-Nr. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12A-Note 4,8 5,0 5,8 5,5 5,3 5,0 5,1 4,6 4,7 5,9 5,5 5,4B-Note 4,4 5,1 5,6 5,7 5,7 5,5 5,3 4,9 4,4 5,8 5,7 5,4

Rang: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12



Bes

chre

iben

de S

tatis

tik87

©JB

Beispiel 2

Teilnehmer Nr. Rang Note A Rang Note B Differenz Quadrat

1 3 1,5 1,5 2,252 4,5 4 0,5 0,253 11 8 3 9,004 9,5 10 -0,5 0,255 7 10 -3 9,006 4,5 7 -2,5 6,257 6 5 1 1,008 1 3 -2 4,009 2 1,5 0,5 0,2510 12 12 0 0,0011 9,5 10 -0,5 0,2512 8 6 2 4,00

36,50

rs 16 36,5

12 144 1 = 1

2191716

0,87

Bes

chre

iben

de S

tatis

tik88

©JB


Soziale Stellungdes Vaters

Schultyp desKindes

Häufigkeit

Arbeiter Hauptschule 6

Arbeiter Realschule 4

Arbeiter Gymnasium 0

Angestellter Hauptschule 2

Angestellter Realschule 2

Angestellter Gymnasium 1

Beamter Hauptschule 1

Beamter Realschule 2

Beamter Gymnasium 2

Selbständiger Hauptschule 1

Selbständiger Realschule 2

Selbständiger Gymnasium 2

Bes

chre

iben

de S

tatis

tik89

©JB

Mittlere quadratische Kontingenz


Hauptschule 6 2 1 1 10

Realschule 4 2 2 2 10

Gymnasium 0 1 2 2 5

10 5 5 5 25


Hauptschule 4 2 2 2 10

Realschule 4 2 2 2 10

Gymnasium 2 1 1 1 5

10 5 5 5 25

Bes

chre

iben

de S

tatis

tik90

©JB

Mittlere quadratische Kontingenz

C 1n i 1

m

j 1

r nij

ni n j

n

2

n i n j

n

Ci 1

m

j 1

r nij2

n i n j

1

Bes

chre

iben

de S

tatis

tik91

©JB

Vierfelderkorrelation

n12 n21 n11 n22

n11 n12 n21 n22 n11 n21 n12 n22

n11 n12 n1*

n21 n22 n2*

n*1 n*2 n

Bes

chre

iben

de S

tatis

tik92

©JB

Korrigierter Vierfelderkoeffizient

korr

n12n21 n11n22

n min n11,n22 n12n21 n11n22

wenn n12n21 n11n22

korrmax

korr

n12n21 n11n22

n min n21,n12 n12n21 n11n22

wenn n12n21 n11n22

beschreibende statistik betriebswirt vwa. beschreibende statistik 2 ©jb wesen der statistik...

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